JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$U = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{strain})^2 \times \text{Volume}$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$\text{strain} = \frac{\Delta L}{L}$,અને $\text{Volume} = A \times L$.
આપેલ છે: $L = 20 \, m$,$\Delta L = 2 \, cm = 0.02 \, m$,$U = 80 \, J$,$Y = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$80 = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2 \times A \times L$
$80 = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{11}) \times \left(\frac{0.02}{20}\right)^2 \times A \times 20$
$80 = 10^{11} \times (10^{-3})^2 \times A \times 20$
$80 = 10^{11} \times 10^{-6} \times 20 \times A$
$80 = 20 \times 10^5 \times A$
$A = \frac{80}{20 \times 10^5} = 4 \times 10^{-5} \, m^2$.
$mm^2$ માં રૂપાંતર કરતા:
$A = 4 \times 10^{-5} \times (10^3 \, mm)^2 = 4 \times 10^{-5} \times 10^6 \, mm^2 = 40 \, mm^2$.

(C) સ્થાનાંતર $y = A \cos(30^{\circ})$ તરીકે આપેલ છે.
આપેલ કંપવિસ્તાર $A = 40 \, cm = 0.4 \, m$.
આપેલ સમયે,સ્થાનાંતર $y = 40 \cos(30^{\circ}) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \, cm = 0.2\sqrt{3} \, m$.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - y^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $200 = \frac{1}{2} k((0.4)^2 - (0.2\sqrt{3})^2)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.16 - 0.12)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.04)$.
$200 = k(0.02)$.
$k = \frac{200}{0.02} = 10000 = 1.0 \times 10^4 \, Nm^{-1}$.
આને $1.0 \times 10^x \, Nm^{-1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(C) સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન $L = I_{com}\omega = (\frac{2}{5}MR^2)\omega$ છે.
$V_{com} = R\omega$ હોવાથી,$L = \frac{2}{5}MR^2(\frac{V_{com}}{R}) = \frac{2}{5}MRV_{com}$ મળે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}I_{com}\omega^2 + \frac{1}{2}MV_{com}^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)(\frac{V_{com}}{R})^2 + \frac{1}{2}MV_{com}^2 = \frac{1}{5}MV_{com}^2 + \frac{1}{2}MV_{com}^2 = \frac{7}{10}MV_{com}^2$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{L}{K} = \frac{\frac{2}{5}MRV_{com}}{\frac{7}{10}MV_{com}^2} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{7} \times \frac{R}{V_{com}} = \frac{4}{7} \times \frac{R}{R\omega} = \frac{4}{7\omega}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{L}{K} = \frac{\pi}{22}$,તેથી $\frac{4}{7\omega} = \frac{\pi}{22}$. જો $\pi \approx \frac{22}{7}$ લઈએ,તો $\frac{4}{7\omega} = \frac{22/7}{22} = \frac{1}{7}$ મળે.
આમ,$7\omega = 28$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 4\,rad/s$.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ નું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$.
તેથી,જો ગુણોત્તર $\frac{M}{R}$ વધે,તો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ પણ વધવો જોઈએ. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વધુમાં,કારણ કે $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તે સ્પષ્ટ છે કે $V_e$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે $(V_e \propto \frac{1}{\sqrt{R}})$. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(D) ટ્રેન $A$ નો વેગ,$V_A = 90\,km/h = 90 \times \frac{5}{18} = 25\,m/s$.
ટ્રેન $B$ નો વેગ,$V_B = 54\,km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15\,m/s$.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,ટ્રેન $A$ ની સાપેક્ષમાં ટ્રેન $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $V_{BA} = V_B - (-V_A) = 15 + 25 = 40\,m/s$ થાય.
ટ્રેનને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = 8\,s$ છે.
ટ્રેન $B$ ની લંબાઈ $\ell = V_{BA} \times t$ દ્વારા મળે છે.
$\ell = 40\,m/s \times 8\,s = 320\,m$.

(B) વાયુને અચાનક દબાવવામાં આવતો હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે વાયુનું સમીકરણ $PV^\gamma = \text{constant}$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ માટે: $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
અહીં $P_1 = P_0$,$V_1 = V_0$,અને $V_2 = \frac{V_0}{4}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $P_0 V_0^\gamma = P_2 \left(\frac{V_0}{4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 (4)^\gamma$.

(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $V_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_t \propto r^2$.
તેથી,સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V_t}{V_t} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 5 \ mm$ અને $\Delta r = 0.1 \ mm$ આપેલ છે,તેથી પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V_t}{V_t} \times 100\% = 2 \times \left( \frac{0.1}{5} \right) \times 100\% = 4\,\%$ થાય છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
કારણ $R$ જણાવે છે કે $V_t$ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,જે ખોટું છે કારણ કે $V_t \propto r^2$. તેથી,કારણ $R$ ખોટું છે.

(D) અંતર $s$ એ સમય $t$ ના વિધેય તરીકે $s = 2.5 t^2$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્કાલીન ઝડપ $v$ ને અંતર $s$ ના સમયની સાપેક્ષ વિકલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ છે.
$s$ માટેનું પદ મૂકતા: $v = \frac{d}{dt}(2.5 t^2)$.
વિકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dt}(t^n) = n t^{n-1}$,આપણને $v = 2.5 \times 2 \times t = 5t$ મળે છે.
$t = 5\,s$ સમયે તત્કાલીન ઝડપ શોધવા માટે,$v$ ના સમીકરણમાં $t = 5$ મૂકો:
$v = 5 \times 5 = 25\,m/s$.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (\frac{4}{3} \pi R^3)$ હોવાથી,$g = \frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ થાય.
ગ્રહ $A$ માટે: $g_A = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
ગ્રહ $B$ માટે: $g_B = \frac{4}{3} \pi G (\frac{\rho}{2}) (1.5 R) = \frac{4}{3} \pi G \rho R \times (0.5 \times 1.5) = \frac{4}{3} \pi G \rho R \times 0.75$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{g_B}{g_A} = \frac{0.75}{1} = \frac{3}{4}$ થાય.

(A) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F_c = m \omega^2 r$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 200\,kg$
કોણીય વેગ $\omega = 0.2\,rad/s$
ત્રિજ્યા $r = 70\,m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F_c = 200 \times (0.2)^2 \times 70$
$F_c = 200 \times 0.04 \times 70$
$F_c = 8 \times 70 = 560\,N$.
તેથી,વાહન પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $560\,N$ છે.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
પદ $[X + \frac{a}{Y^2}]$ માં,$X$ દબાણ છે,તેથી $\frac{a}{Y^2}$ પણ દબાણના પરિમાણ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$[X] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$[Y] = [L^3]$
$[\frac{a}{Y^2}] = [ML^{-1}T^{-2}] \implies [a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5T^{-2}]$
પદ $[Y - b]$ માં,$Y$ કદ છે,તેથી $b$ પણ કદના પરિમાણ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$[b] = [L^3]$
હવે,ગુણોત્તર $\frac{a}{b}$ ના પરિમાણ:
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[ML^5T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^2T^{-2}]$
આ પરિમાણ ઉર્જા (અથવા કાર્ય/ટોર્ક) ના છે.

(B) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે.
દબાણ $P$ અને વ્યાસ $d$ અચળ હોવાથી,સરેરાશ મુક્ત પથ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda \propto T$.
$STP$ પર,તાપમાન $T_1 = 273\,K$ અને સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda_1 = 1500\,d$ છે.
$T_2 = 373\,K$ તાપમાને,ધારો કે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda_2$ છે.
સમપ્રમાણતા $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 1500\,d \times \frac{373}{273}$.
કિંમત ગણતા: $\lambda_2 \approx 1500 \times 1.3663 \approx 2049.45\,d$.
આમ,સરેરાશ મુક્ત પથ આશરે $2049\,d$ છે.

(B) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $T = Mg$ (જ્યાં $M$ એ લટકાવેલું દળ છે),તેથી $f \propto \sqrt{M}$ થાય.
તેથી,$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
આપેલ છે કે $f_1 = 30\,Hz$,$M_1 = 180\,g$,$f_2 = 50\,Hz$,અને $M_2 = m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{50}{30} = \sqrt{\frac{m}{180}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{m}{180} \Rightarrow \frac{25}{9} = \frac{m}{180}$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{25}{9} \times 180 = 25 \times 20 = 500\,g$.

(B) નળાકાર પર લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલા નળાકાર માટે,તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
પદોને મૂકતા,આપણને $F \times R = (mR^2) \alpha$ મળે છે.
$\alpha$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\alpha = \frac{F}{mR}$ મળે છે.
અહીં $F = 52.5\,N$,$m = 5\,kg$,અને $R = 70\,cm = 0.7\,m$ આપેલ છે.
કિંમત ગણતા: $\alpha = \frac{52.5}{5 \times 0.7} = \frac{52.5}{3.5} = 15\,rad\,s^{-2}$.

(B) કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,કરવામાં આવેલ કાર્ય (વપરાતી ઉર્જા) એ ગતિ ઉર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રથમ પ્રક્રિયા માટે (સ્થિર સ્થિતિમાંથી $u \ m/s$ સુધી):
$E_1 = \frac{1}{2} m u^2 - 0 = \frac{1}{2} m u^2 = E$
બીજી પ્રક્રિયા માટે ($u \ m/s$ થી $2u \ m/s$ સુધી):
$E_2 = \frac{1}{2} m (2u)^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$E_2 = \frac{1}{2} m (4u^2) - \frac{1}{2} m u^2 = 2 m u^2 - 0.5 m u^2 = 1.5 m u^2 = 3 \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m u^2$,તેથી $E_2 = 3E$ મળે છે.
આને $nE$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,પ્લેટ $A$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર એ પ્લેટ $B$ માંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
ધારો કે સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H$ એ $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પ્લેટો માટે ક્ષેત્રફળ $A$ અને જાડાઈ $L$ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે:
$H_A = H_B$
$\frac{K_A A(100 - T)}{L} = \frac{K_B A(T - 0)}{L}$
$K_A(100 - T) = K_B(T)$
આપેલ કિંમતો $K_A = 84 \, W m^{-1} K^{-1}$ અને $K_B = 126 \, W m^{-1} K^{-1}$ મુકતા:
$84(100 - T) = 126T$
બંને બાજુને $42$ વડે ભાગતા:
$2(100 - T) = 3T$
$200 - 2T = 3T$
$5T = 200$
$T = 40^{\circ} C$

(A) રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં:
$(A)$ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે બળ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ પ્રવેગ $a$ એ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવેગ એ સ્થાનાંતરના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,તેઓ હંમેશા વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $SHM$ માં વેગ $v$ એ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યમાન સ્થાને $(x = 0)$,વેગ $v = \omega A$ થાય છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 |x|$ છે. અંતિમ બિંદુઓ પર $(x = \pm A)$,સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે,તેથી પ્રવેગ પણ મહત્તમ હોય છે. તેથી,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $(A), (B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) બે કણો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $r = 2a$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m m}{(2a)^2} = \frac{G m^2}{4a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m$ દળ ધરાવતા કણ માટે $a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 a$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{G m^2}{4a^2} = m \omega^2 a$.
$\omega^2 = \frac{G m}{4 a^3}$.
તેથી,કોણીય ઝડપ $\omega = \sqrt{\frac{G m}{4 a^3}}$ થશે.

(A) આદર્શ વાયુના અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બંને વાયુઓ એક જ ફ્લાસ્કમાં હોવાથી,તેઓ સમાન તાપમાન $T = 30^{\circ} C = 303 \text{ K}$ પર છે.
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર વાયુના તાપમાન પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના દળ કે અણુઓના પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,આર્ગોન અને હાઇડ્રોજનની અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{\text{argon}}}{K_{\text{hydrogen}}} = \frac{\frac{3}{2} kT}{\frac{3}{2} kT} = 1$ થાય.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{A\Delta L}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $Y = \frac{fL}{(\pi r^2)l} \Rightarrow l = \frac{fL}{Y\pi r^2}$.
બીજા તાર માટે: $Y = \frac{(2f)(2L)}{\pi(2r)^2 l'} = \frac{4fL}{4\pi r^2 l'} = \frac{fL}{\pi r^2 l'}$.
$Y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{fL}{\pi r^2 l} = \frac{fL}{\pi r^2 l'}$.
તેથી,$l' = l$.

(C) કણનું સ્થાન સમીકરણ $x = 5t^2 - 4t + 5$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 4t + 5)$.
ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને $v = 10t - 4$ મળે છે.
હવે,વેગના સમીકરણમાં $t = 2 \, s$ મૂકતા:
$v = 10(2) - 4 = 20 - 4 = 16 \, ms^{-1}$.
તેથી,$t = 2 \, s$ સમયે વેગનું મૂલ્ય $16 \, ms^{-1}$ છે.

(A) સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = 10t \hat{i} + 15t^2 \hat{j} + 7 \hat{k}$ છે.
વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન છે: $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 10 \hat{i} + 30t \hat{j}$.
પ્રવેગ સદિશ $\overrightarrow{a}$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = 30 \hat{j}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$. દળ $m$ એ ધન અદિશ હોવાથી,પરિણામી બળ $\overrightarrow{F}$ ની દિશા એ પ્રવેગ $\overrightarrow{a}$ ની દિશામાં જ હોય છે.
અહીં $\overrightarrow{a} = 30 \hat{j}$ હોવાથી,પરિણામી બળ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે.

(D) ધારો કે સદિશ $\vec{A}$ છે. $y$-ઘટક $A_y = A \cos 30^{\circ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A_y = 2 \sqrt{3}$,તેથી:
$A \cos 30^{\circ} = 2 \sqrt{3}$
$A \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \sqrt{3}$
$A = 4$
હવે,$x$-ઘટક $A_x = A \sin 30^{\circ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A_x = 4 \times \sin 30^{\circ} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
આમ,$x$-ઘટકનું મૂલ્ય $2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $v = \lambda^a g^b \rho^c$ છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો લખીએ છીએ:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[\lambda] = [L]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [L]^a [L T^{-2}]^b [M L^{-3}]^c$
$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^c L^{a+b-3c} T^{-2b}]$
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $c = 0$
$T$ માટે: $-2b = -1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}$
$L$ માટે: $a + b - 3c = 1$
$b = \frac{1}{2}$ અને $c = 0$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a + \frac{1}{2} - 3(0) = 1$
$a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
આમ,$a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{1}{2}$ અને $c = 0$ મળે છે.

(B) $P-V$ આલેખમાં,ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,થયેલ કાર્ય ધન છે.
ત્રિકોણ $CDE$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$W = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $= (V_E - V_C) = (4 - 2) = 2\,m^3$
વેધ $= (P_D - P_C) = (400 - 100) = 300\,Pa$
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times 300 = 300\,J$

(A) આપેલ છે:
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = 50\,Hz$
દોરીનું દળ $m = 18\,g = 0.018\,kg$
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 20\,g/m = 0.02\,kg/m$
પગલું $1$: દોરીની લંબાઈ $(L)$ શોધો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \frac{m}{L}$,તેથી $L = \frac{m}{\mu} = \frac{18\,g}{20\,g/m} = 0.9\,m$.
પગલું $2$: આવૃત્તિ અને તરંગની ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ.
બંને છેડે જડિત દોરીના મૂળભૂત મોડ માટે,લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઈના અડધા જેટલી હોય છે: $L = \frac{\lambda}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2L$.
$L = 0.9\,m$ મૂકતા,આપણને $\lambda = 2 \times 0.9 = 1.8\,m$ મળે છે.
પગલું $3$: તરંગની ઝડપ $(v)$ ની ગણતરી કરો.
તરંગની ઝડપ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = 50\,Hz \times 1.8\,m = 90\,m/s$.
આમ,લંબગત તરંગોની ઝડપ $90\,m/s$ છે.

(A) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = mk^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sph}} = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
આને $mk_{\text{sph}}^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k_{\text{sph}} = \sqrt{\frac{2}{5}}R$ મળે છે.
નક્કર નળાકાર માટે,તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{cyl}} = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
આને $mk_{\text{cyl}}^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k_{\text{cyl}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{k_{\text{sph}}}{k_{\text{cyl}}} = \frac{\sqrt{2/5}R}{R/\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2}{5}} \times \sqrt{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
આપેલા ગુણોત્તર $\frac{2}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(A) પ્રવાહીમાં $h$ ઊંડાઈએ રહેલા હવાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = P_0 + h \rho g + \frac{2T}{r}$
જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$h$ એ ઊંડાઈ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
આપણે વાતાવરણીય દબાણ કરતાં પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ શોધવાનું છે,જે $P - P_0 = h \rho g + \frac{2T}{r}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$h = 10\,cm = 0.1\,m$
$\rho = 1000\,kg\,m^{-3}$
$g = 10\,m\,s^{-2}$
$T = 0.075\,N\,m^{-1}$
$r = 1.0\,mm = 10^{-3}\,m$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P - P_0 = (0.1 \times 1000 \times 10) + \frac{2 \times 0.075}{10^{-3}}$
$P - P_0 = 1000 + \frac{0.15}{10^{-3}}$
$P - P_0 = 1000 + 150 = 1150\,Pa$.

(A) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
અહીં $F = 5x$,$x_1 = 2\,m$,અને $x_2 = 4\,m$ આપેલ છે.
$W = \int_{2}^{4} 5x\,dx$.
$W = 5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4}$.
$W = \frac{5}{2} [4^2 - 2^2]$.
$W = \frac{5}{2} [16 - 4]$.
$W = \frac{5}{2} \times 12$.
$W = 5 \times 6 = 30\,J$.

(C) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળભૂત લંબાઈ $L$ છે અને વિસ્તરણ $x$ છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની કુલ ત્રિજ્યા $R = L + x$ છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતું પુનઃસ્થાપક બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$F_{\text{restoring}} = F_{\text{centripetal}}$
$kx = m(L + x)\omega^2$
આપેલ છે: $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,$k = 12.5 \text{ N/m}$,$\omega = 5 \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$12.5x = 0.2(L + x)(5)^2$
$12.5x = 0.2(L + x)(25)$
$12.5x = 5(L + x)$
$12.5x = 5L + 5x$
$7.5x = 5L$
$\frac{x}{L} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$
તેથી,વિસ્તરણ અને મૂળભૂત લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, ટાંકીની સપાટી પરનો કદ પ્રવાહ દર અને નળ પાસેનો કદ પ્રવાહ દર સમાન હોવો જોઈએ: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં, $A_1 = 750 \,cm^2 = 750 \times 10^{-4} \,m^2$ અને $A_2 = 500 \,mm^2 = 500 \times 10^{-6} \,m^2$.
નળ પાસે પાણીની ઝડપ $v_2 = 30 \,cm/s = 0.3 \,m/s$ છે.
પાણીની સપાટી નીચે ઉતરવાની ઝડપ $v_1 = \frac{dh}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(750 \times 10^{-4}) \cdot \frac{dh}{dt} = (500 \times 10^{-6}) \times (0.3)$.
$\frac{dh}{dt} = \frac{500 \times 10^{-6} \times 0.3}{750 \times 10^{-4}} = \frac{150 \times 10^{-6}}{750 \times 10^{-4}} = 0.2 \times 10^{-2} \,m/s = 2 \times 10^{-3} \,m/s$.
આપેલ છે કે $\frac{dh}{dt} = x \times 10^{-3} \,m/s$, તેથી $x = 2$ મળે છે.

(A) બ્લોક ગતિની શરૂઆત કરે તે માટે,લાગુ પાડેલા બળ $F$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલો હોવો જોઈએ.
$1$. બળ $F$ ના ઘટકો પાડો:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $F_{x} = F \cos 30^{\circ}$
શિરોલંબ ઘટક: $F_{y} = F \sin 30^{\circ}$
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ નક્કી કરો:
બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળો નીચે મુજબ છે: વજનબળ $mg$ નીચેની તરફ,લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ ઉપરની તરફ અને લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin 30^{\circ}$ ઉપરની તરફ.
$N + F \sin 30^{\circ} = mg$
$N = mg - F \sin 30^{\circ}$
અહીં $m = 10 \ kg$ અને $g = 10 \ ms^{-2}$ આપેલ છે,તેથી $mg = 100 \ N$.
$N = 100 - F \sin 30^{\circ} = 100 - 0.5F$
$3$. ગતિ માટેની શરત લાગુ પાડો:
સીમાંત ઘર્ષણ $f_{L} = \mu_{s} N$ છે.
બ્લોક ત્યારે ગતિ શરૂ કરશે જ્યારે $F \cos 30^{\circ} = \mu_{s} N$ થાય.
$F \cos 30^{\circ} = 0.25(100 - 0.5F)$
$F \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 - 0.125F$
$F(0.866 + 0.125) = 25$
$F(0.991) = 25$
$F = \frac{25}{0.991} \approx 25.22 \ N$
આમ,$F \approx 25.2 \ N$ માટે બ્લોક ગતિની શરૂઆત કરશે.

(A) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $I_s = \frac{NBA}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $C$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે.
વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $V_s = \frac{I_s}{G}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગેલ્વેનોમીટર કોઈલનો અવરોધ છે.
આપેલ છે કે અવરોધ $G$ અચળ રાખવામાં આવે છે,તેથી વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા અને પ્રવાહ સંવેદનશીલતા વચ્ચેનો સંબંધ $V_s \propto I_s$ છે.
જેহেতু પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $I_s$ માં $25 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $V_s$ માં પણ $25 \%$ નો વધારો થશે કારણ કે ગુણોત્તર $\frac{1}{G}$ અચળ છે.
તેથી,વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $25 \%$ છે.

(C) તત્વ $A$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2}(A) = \frac{\ln 2}{\lambda_A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્વ $B$ નું સરેરાશ આયુષ્ય $\tau(B) = \frac{1}{\lambda_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$A$ નું અર્ધ-આયુષ્ય $B$ ના સરેરાશ આયુષ્ય જેટલું છે:
$T_{1/2}(A) = \tau(B)$
સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{\ln 2}{\lambda_A} = \frac{1}{\lambda_B}$
$\lambda_A$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$\lambda_A = \lambda_B \ln 2$
તેથી,સાચો સંબંધ $\lambda_A = \lambda_B \ln 2$ છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ માંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n_1=1$ માં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n_2(n_2-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $N = 6$,તેથી $\frac{n_2(n_2-1)}{2} = 6$,જેનો અર્થ છે $n_2^2 - n_2 - 12 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $(n_2-4)(n_2+3) = 0$ મળે છે. $n_2 > 0$ હોવાથી,$n_2 = 4$ મળે છે.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ અને ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=4)$ વચ્ચેના ઉર્જા તફાવત જેટલી હોવી જોઈએ:
$h\nu = E_4 - E_1 = -0.85 \ eV - (-13.6 \ eV) = 12.75 \ eV$.
આપેલ છે $h = 4.25 \times 10^{-15} \ eVs$,તેથી આવૃત્તિ $\nu$:
$\nu = \frac{12.75 \ eV}{4.25 \times 10^{-15} \ eVs} = 3 \times 10^{15} \ Hz$.
આને $x \times 10^{15} \ Hz$ સાથે સરખાવતા,$x = 3$ મળે છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,હવામાં લેન્સનો પાવર $P = (n_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = 20 \ cm$ અને $R_2 = -20 \ cm$ છે. તેથી,$P = (1.8 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.8 \times \frac{2}{20} = 0.8 \times 0.1 = 0.08 \ cm^{-1}$.
જ્યારે $n_l = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે પાવર $P' = \left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ થાય.
$P' = \left( \frac{1.8}{1.5} - 1 \right) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = (1.2 - 1) \times 0.1 = 0.2 \times 0.1 = 0.02 \ cm^{-1}$.
હવામાં પાવર અને પ્રવાહીમાં પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P}{P'} = \frac{0.08}{0.02} = 4$ છે.
તેથી,$x = 4$.

(B) ઢળતા સમતલ પર ઉપરના વિદ્યુતભારના સંતુલન માટે,સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક,સમતલની ઉપરની તરફ લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવો જોઈએ.
ધારો કે બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$h = r \sin 30^{\circ}$,તેથી $r = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = 2h$.
બળ સંતુલનનું સમીકરણ છે: $mg \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_0^2}{r^2}$.
$r = 2h$ અને આપેલ કિંમતો $(m = 0.02 \, kg, g = 10 \, ms^{-2}, q_0 = 2 \times 10^{-6} \, C, \sin 30^{\circ} = 0.5)$ મૂકતા:
$0.02 \times 10 \times 0.5 = 9 \times 10^9 \times \frac{(2 \times 10^{-6})^2}{(2h)^2}$
$0.1 = 9 \times 10^9 \times \frac{4 \times 10^{-12}}{4h^2}$
$0.1 = \frac{9 \times 10^{-3}}{h^2}$
$h^2 = \frac{9 \times 10^{-3}}{0.1} = 9 \times 10^{-2} \, m^2$
$h = 0.3 \, m = 300 \times 10^{-3} \, m$.
આને $h = x \times 10^{-3} \, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 300$ મળે છે.

(B) પ્લેટમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = B \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A = 4\,m^2$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે।
આલેખ પરથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ સમય $t$ (સેકન્ડમાં) નું સુરેખ વિધેય છે, જ્યાં $B$ એ $mT$ (મિલી ટેસ્લા) માં છે।
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{dB}{dt} = \frac{10\,mT - 0\,mT}{5\,s - 0\,s} = 2\,mT/s$ છે।
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ નું મૂલ્ય $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = A \left| \frac{dB}{dt} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = 4\,m^2 \times 2\,mT/s = 8\,mV$.
આમ, પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય $8\,mV$ છે।

(B) $1$. $3\, \Omega$ અને $6\, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies R_p = 2\, \Omega$.
$2$. સર્કિટનો કુલ અવરોધ શોધો:
$R_{total} = R_p + 4.5\, \Omega + r_1 + r_2 = 2 + 4.5 + 0.5 + 1 = 8\, \Omega$.
$3$. સર્કિટનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ શોધો:
કોષો વિરોધમાં જોડાયેલા છે, તેથી $E_{net} = 8\, V - 4\, V = 4\, V$.
$4$. સર્કિટમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $(I)$ શોધો:
$I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4\, V}{8\, \Omega} = 0.5\, A$.
$5$. $3\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_1)$ શોધવા માટે કરંટ ડિવાઇડર નિયમનો ઉપયોગ કરો:
$I_1 = I \times \left( \frac{R_{other}}{R_1 + R_{other}} \right) = 0.5 \times \left( \frac{6}{3+6} \right) = 0.5 \times \frac{6}{9} = 0.5 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\, A$.
$6$. આપેલ છે કે $I_1 = \frac{x}{3}\, A$, તેથી $\frac{x}{3} = \frac{1}{3}$, જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(B) આપેલ છે: $\overrightarrow{E} = 6.6 \hat{j} \, V/m$, આવૃત્તિ $f = 20 \, MHz$, અને તરંગ $x$-દિશા $(\hat{i})$ માં પ્રસરણ પામે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$B = \frac{6.6}{3 \times 10^8} = 2.2 \times 10^{-8} \, T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\hat{k} = \hat{E} \times \hat{B}$ સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં $\hat{k}$ એ તરંગ પ્રસરણની દિશા છે.
અહીં, $\hat{i} = \hat{j} \times \hat{B}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$, તેથી $\overrightarrow{B}$ ની દિશા $\hat{k}$ હોવી જોઈએ.
તેથી, $\overrightarrow{B} = 2.2 \times 10^{-8} \hat{k} \, T$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{in}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
કેપેસિટરની ધન પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ છે.
બંધ સપાટી ફક્ત ધન પ્લેટને જ આવરી લેતી હોવાથી,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{\text{in}} = Q = CV$ થશે.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{CV}{\varepsilon_0}$ થાય.

(B) સેટેલાઇટ કોમ્યુનિકેશનમાં,અપલિંક (પૃથ્વી સ્ટેશનથી સેટેલાઇટ સુધીનું પ્રસારણ) માટે વપરાતી ફ્રીક્વન્સી બેન્ડ સામાન્ય રીતે $5.925-6.425\,GHz$ ની $C$-બેન્ડ રેન્જમાં હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,ડાઉનલિંક ફ્રીક્વન્સી બેન્ડ (સેટેલાઇટથી પૃથ્વી સ્ટેશન સુધીનું પ્રસારણ) $3.7-4.2\,GHz$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તન કોણ $r$ જેટલો હોય છે. આપેલ છે કે $r = 30^{\circ}$,તેથી $i = 30^{\circ}$.
સમતલ અરીસા માટે વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = 180^{\circ} - (i + r)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\delta = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
આમ,વિચલન કોણ $120^{\circ}$ છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ ધરાવતા પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન માટે,તેમની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p K}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_e K}}} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_p = 1849 \times m_e$,તેથી $\frac{m_e}{m_p} = \frac{1}{1849}$.
તેથી,$\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \sqrt{\frac{1}{1849}} = \frac{1}{43}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 43$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા આયનમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ છે.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} \, eV$.
$E_2 = -13.6 \times \frac{4}{4} \, eV$.
$E_2 = -13.6 \, eV$.

(A) સર્કિટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A+B)$ છે.
$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $(A \cdot B)$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,જે આઉટપુટ $Z = \overline{(A+B) \cdot (A \cdot B)}$ આપે છે.
આ આઉટપુટ $Z$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જેનાથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \bar{Z} = \overline{\overline{(A+B) \cdot (A \cdot B)}} = (A+B) \cdot (A \cdot B)$ મળે છે.
બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(A+B) \cdot (A \cdot B) = (A \cdot A \cdot B) + (B \cdot A \cdot B) = (A \cdot B) + (A \cdot B) = A \cdot B$.
આમ,$Y = A \cdot B$,જે $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,પરિપથને સરળ બનાવો. અવરોધકો $R_1$ $(2\,\Omega)$ અને $R_2$ $(4\,\Omega)$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{12} = 2 + 4 = 6\,\Omega$ થાય.
આ $R_{12}$ એ $R_5$ $(6\,\Omega)$ સાથે સમાંતર છે,તેથી આ શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AC} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3\,\Omega$ થાય.
હવે,$R_{AC}$ $(3\,\Omega)$ એ $R_4$ $(3\,\Omega)$ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{DC} = 3 + 3 = 6\,\Omega$ મળે.
આ $R_{DC}$ એ $R_7$ $(3\,\Omega)$ સાથે સમાંતર છે,તેથી $R_{AD} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = 2\,\Omega$ થાય.
અંતે,$R_{AD}$ $(2\,\Omega)$ એ $R_3$ $(2\,\Omega)$ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2 + 2 = 4\,\Omega$ મળે.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{8}{4} = 2\,A$ છે.
નોડ $D$ પર કરંટ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા,શાખા $DC$ માંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 = i \times \frac{R_7}{R_7 + R_{DC}} = 2 \times \frac{3}{3 + 6} = 2 \times \frac{3}{9} = \frac{2}{3}\,A$ મળે.
નોડ $C$ પર,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1$ એ $R_5$ અને $R_1$ તથા $R_2$ ના શ્રેણી જોડાણ વચ્ચે વહેંચાય છે. $R_2$ માંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_2 = i_1 \times \frac{R_5}{R_5 + (R_1 + R_2)} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{6 + (2 + 4)} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{12} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\,A$ થાય.

(C) જ્યારે ગજિયો ચુંબક ધાતુની પાઇપમાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે પાઇપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં સતત ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો આ ફેરફાર ધાતુની પાઇપમાં એડી પ્રવાહો (Eddy currents) ઉત્પન્ન કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ એડી પ્રવાહો તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે છે,જે અહીં પડતા ચુંબકની ગતિ છે.
આ એક ઉપરની તરફનું ચુંબકીય બળ બનાવે છે જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો વિરોધ કરે છે,જેના પરિણામે બિન-ચુંબકીય સળિયાની સરખામણીમાં ચુંબકનો નીચે તરફનો પ્રવેગ ધીમો પડે છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ સમાન હોય છે અને તે તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન સોલેનોઇડની અક્ષ પર $\overrightarrow{v}$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
કારણ કે $\overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{B}$ સમાંતર છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
તેથી,ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $F = qvB \sin(0^{\circ}) = 0$ થાય છે.
ચુંબકીય બળ શૂન્ય હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ બળ લાગશે નહીં અને તે અચળ વેગ સાથે અક્ષ પર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
આમ,વિધાનો $B$ અને $C$ સાચા છે.

(A) સૌ પ્રથમ,પરિપથને સરળ બનાવો. કેપેસિટર $C_3, C_4,$ અને $C_5$ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{345}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{C_{345}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_4} + \frac{1}{C_5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{2+1+2}{4} = \frac{5}{4}$. તેથી,$C_{345} = 0.8\,\mu F$.
હવે,$C_{345}$ એ $C_2$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{2345} = C_2 + C_{345} = 0.2 + 0.8 = 1.0\,\mu F$.
આ સંયોજન $C_1$ અને $C_6$ સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{2345}} + \frac{1}{C_6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = 2\,\mu F^{-1}$. તેથી,$C_{eq} = 0.5\,\mu F$.
$10\,V$ ના સ્ત્રોતમાંથી લેવામાં આવેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 0.5\,\mu F \times 10\,V = 5\,\mu C$.
આ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $C_1, C_{2345},$ અને $C_6$ ના શ્રેણી જોડાણમાંથી વહે છે. સમાંતર જોડાણ $(C_{2345})$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{2345} = \frac{Q}{C_{2345}} = \frac{5\,\mu C}{1\,\mu F} = 5\,V$.
$C_4$ ધરાવતી શ્રેણી શાખા પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = C_{345} \times V_{2345} = 0.8\,\mu F \times 5\,V = 4\,\mu C$.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2^{1/3}}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{A_1^{1/3}}{A_2^{1/3}} = \frac{1}{2^{1/3}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$.
આમ,તેમના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 = m_2 v_2$ (ધારી લઈએ કે પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ સ્થિર હતું).
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{2}{1}$ છે.
આપેલ છે કે ઝડપનો ગુણોત્તર $n:1$ છે,તેથી $n = 2$ મળે છે.

(A) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કોષોનું કુલ emf $E_{eq} = 1.5\,V + 1.5\,V = 3.0\,V$ છે.
ધારો કે દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે. શ્રેણી પરિપથમાં કુલ આંતરિક અવરોધ $R_{int} = r + r = 2r$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R_{int} = 10 + 2r$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3}{10 + 2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$10\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V = 1.5\,V$ આપેલ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = I \times R$,તેથી $1.5 = \left( \frac{3}{10 + 2r} \right) \times 10$.
$1.5(10 + 2r) = 30$.
$15 + 3r = 30$.
$3r = 15$.
$r = 5\,\Omega$.

(A) કોઈલમાં સંતુલિત પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{V}{R} = \frac{10 \, V}{4 \, \Omega} = 2.5 \, A$.
ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
આપેલ કિંમતો $L = 2 \, H$ અને $I = 2.5 \, A$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 2 \times (2.5)^2 = 6.25 \, J$.
આને $.......... \times 10^{-2} \, J$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$E = 625 \times 10^{-2} \, J$.
આમ,જવાબ $625$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહક માટે પ્રેરિત મોશનલ $EMF$ નું સૂત્ર $\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{l}$ છે.
અહીં,વેગ સદિશ $\vec{v} = 2\hat{j}\,m/s$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = 0.5\hat{k}\,T$ છે.
તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = (2\hat{j}) \times (0.5\hat{k}) = 1\hat{i}\,V/m$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
$x$-અક્ષ પર સમઘનની લંબાઈ $l = 15\,cm = 0.15\,m$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = |\vec{v} \times \vec{B}| \times l = 1\,V/m \times 0.15\,m = 0.15\,V$ થાય.
મિલીવોલ્ટમાં ફેરવતા,$\Delta V = 0.15 \times 1000\,mV = 150\,mV$ મળે.

(A) બલ્બ પાણીની સપાટીથી $8\,cm$ ની ઊંડાઈએ ટાંકીના તળિયે છે. વક્રીભવનને કારણે,ઉપરથી જોતા બલ્બની આભાસી ઊંડાઈ $d' = \frac{d}{\mu} = \frac{8}{4/3} = 6\,cm$ મળે છે.
બલ્બનું આભાસી સ્થાન પાણીની સપાટીથી $6\,cm$ નીચે છે. આ આભાસી સ્થાનનું સમતલ અરીસાથી અંતર $50 - 6 = 44\,cm$ છે.
સમતલ અરીસો તેની પાછળ તેટલા જ અંતરે પ્રતિબિંબ રચે છે. આમ,પ્રતિબિંબ $I_2$ અરીસાની પાછળ $44\,cm$ ના અંતરે રચાય છે.
ટાંકીના તળિયેથી પ્રતિબિંબ $I_2$ નું કુલ અંતર એ તળિયેથી અરીસા સુધીનું અંતર $(50\,cm)$ અને અરીસાથી પ્રતિબિંબ સુધીનું અંતર $(44\,cm)$ નો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $= 50 + 44 = 94\,cm$.

(B) ધારો કે એક બાજુથી પરપોટાનું વાસ્તવિક અંતર $x$ છે. તો વિરુદ્ધ બાજુથી અંતર $(24 - x)$ થશે.
આભાસી ઊંડાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d_{\text{apparent}} = \frac{d_{\text{actual}}}{\mu}$.
પ્રથમ બાજુ માટે: $12 = \frac{x}{\mu} \implies x = 12\mu$.
બીજી બાજુ માટે: $4 = \frac{24 - x}{\mu} \implies 24 - x = 4\mu$.
બીજા સમીકરણમાં $x = 12\mu$ મૂકતા:
$24 - 12\mu = 4\mu$.
$24 = 16\mu$.
$\mu = \frac{24}{16} = 1.5 = \frac{3}{2}$.

(D) કેરિયર તરંગનું સમીકરણ $c(t) = 15 \sin(1000 \pi t)$ છે.
કેરિયર આવૃત્તિ $f_c$ ની ગણતરી $f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{1000\pi}{2\pi} = 500\,Hz$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનું સમીકરણ $m(t) = 10 \sin(4 \pi t)$ છે.
મોડ્યુલેટિંગ આવૃત્તિ $f_m$ ની ગણતરી $f_m = \frac{\omega_m}{2\pi} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2\,Hz$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
કંપવિસ્તાર મોડ્યુલેટેડ $(AM)$ તરંગમાં કેરિયર આવૃત્તિ અને બે સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ હોય છે: $(f_c - f_m)$ અને $(f_c + f_m)$.
સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $(500 - 2)\,Hz = 498\,Hz$ અને $(500 + 2)\,Hz = 502\,Hz$ છે.
તેથી,$AM$ સિગ્નલમાં હાજર આવૃત્તિઓ $500\,Hz, 498\,Hz$ અને $502\,Hz$ છે,જે મુદ્દાઓ $(1), (4)$ અને $(5)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) કોમન એમિટર $(CE)$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં કરંટ ગેઇન $(\beta)$ એ કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર $(\Delta I_C)$ અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફાર $(\Delta I_B)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$\Delta I_C = 16\,mA - 5\,mA = 11\,mA = 11 \times 10^{-3}\,A$
$\Delta I_B = 200\,\mu A - 100\,\mu A = 100\,\mu A = 100 \times 10^{-6}\,A$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{11 \times 10^{-3}\,A}{100 \times 10^{-6}\,A} = \frac{11 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 11 \times 10^1 = 110$
આમ,ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો કરંટ ગેઇન $110$ છે.

(A) સ્થિતિમાન તફાવત $\Delta V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વીજભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mq\Delta V}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન $(p)$ અને $\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે:
પ્રોટોનનું દળ $m_p = m$, વીજભાર $q_p = e$.
$\alpha$-કણનું દળ $m_\alpha = 4m$, વીજભાર $q_\alpha = 2e$.
આપેલ સ્થિતિમાન: $V_p = 2\,V$ અને $V_\alpha = 4\,V$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha q_\alpha V_\alpha}{m_p q_p V_p}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m \times 2e \times 4V}{m \times e \times 2V}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
આમ, ગુણોત્તર $\lambda_p : \lambda_\alpha = 4:1$ થાય.

(A) વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે ડાયામેગ્નેટિઝમ એ તમામ દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે. પેરામેગ્નેટિઝમ અને ફેરોમેગ્નેટિઝમથી વિપરીત,જે ક્યુરીના નિયમ અથવા ક્યુરી-વેઇસના નિયમનું પાલન કરે છે,ડાયામેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી તાપમાન પર આધારિત નથી.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે લેન્ઝના નિયમ મુજબ,જ્યારે ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં લાગુ કરેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રેરિત ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ઉત્પન્ન થાય છે,જેના પરિણામે પદાર્થ ક્ષેત્ર દ્વારા નબળી રીતે અપાકર્ષાય છે.

(A) તારને ઓગાળીને નવો તાર બનાવવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન તારનું કદ અચળ રહે છે.
$V_1 = V_2 \implies A_1 L_1 = A_2 L_2$
અહીં $L_2 = \frac{L_1}{4}$ આપેલ છે,તેથી $A_1 L_1 = A_2 (\frac{L_1}{4})$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $A_2 = 4 A_1$ મળે છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નવા અવરોધ $R_2$ અને મૂળ અવરોધ $R_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho L_2 / A_2}{\rho L_1 / A_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \frac{A_1}{A_2}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{R_1} = (\frac{1}{4}) \times (\frac{A_1}{4 A_1}) = \frac{1}{16}$.
આમ,$R_2 = \frac{R_1}{16} = \frac{160}{16} = 10\,\Omega$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q_{\text{in}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
વિદ્યુત ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો,$+q$ અને $-q$ નો બનેલો હોય છે. તેથી,વિદ્યુત ડાયપોલનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{in}} = (+q) + (-q) = 0$ થાય છે.
સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી,સપાટીમાંથી બહાર આવતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ થાય છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે ડાયપોલનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે,અને કારણ $R$ સાચું છે કારણ કે તે વિદ્યુત ડાયપોલની રચનાને યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે,જે કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાનું કારણ દર્શાવે છે.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ઓપ્ટિકલ કોમ્યુનિકેશન સામાન્ય રીતે ઇન્ફ્રારેડ અથવા દ્રશ્ય પ્રકાશનો ઉપયોગ કરે છે,જે $1 \, THz$ થી $1000 \, THz$ ની આવૃત્તિ શ્રેણીમાં આવે છે.
$RADAR$ માં વપરાતા માઇક્રોવેવની આવૃત્તિ $1 \, GHz$ થી $300 \, GHz$ ની શ્રેણીમાં હોય છે.
આવૃત્તિ $f$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $c = f\lambda$ દ્વારા વ્યસ્ત પ્રમાણમાં જોડાયેલા હોવાથી,ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા તરંગોની તરંગલંબાઇ ટૂંકી હોય છે.
તેથી,ઓપ્ટિકલ કોમ્યુનિકેશન માટે વપરાતા $EM$ તરંગોની તરંગલંબાઇ માઇક્રોવેવ કરતા ટૂંકી હોય છે,તેથી વિધાન $A$ ખોટું છે.
કારણ $R$ ના સંદર્ભમાં,ફોટોનની ઊર્જા $E = hf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇન્ફ્રારેડ તરંગોની આવૃત્તિ માઇક્રોવેવ કરતા વધારે હોવાથી,તેઓ વધુ ઊર્જાવાન હોય છે. આમ,કારણ $R$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: $A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2}\,eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=1$ માટે,$E_1 = -13.6\,eV$.
$n=2$ માટે,$E_2 = -3.4\,eV$.
$n=3$ માટે,$E_3 = -1.51\,eV$.
$n=4$ માટે,$E_4 = -0.85\,eV$.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી $n$ માં સ્ટેટમાં ઇલેક્ટ્રોનને ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_n - E_1$ છે.
$n=2$ માટે,$\Delta E = -3.4 - (-13.6) = 10.2\,eV$.
$n=3$ માટે,$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09\,eV$.
$n=4$ માટે,$\Delta E = -0.85 - (-13.6) = 12.75\,eV$.
આપાત ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઉર્જા $12.5\,eV$ હોવાથી,તે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓને $n=3$ સ્ટેટ સુધી ઉત્તેજિત કરી શકે છે,પરંતુ $n=4$ સ્ટેટ સુધી નહીં.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n=3$ થી $n=1$ માં પાછા ફરે છે,ત્યારે શક્ય સંક્રમણો $3 \to 2$,$2 \to 1$,અને $3 \to 1$ છે.
વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n=3$ માટે,$N = \frac{3(3-1)}{2} = 3$.

(D) વિધાન $I$ સાચું છે: શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_L = 2\pi fL$ વધે છે અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ ઘટે છે. અનુનાદ સમયે,$X_L = X_C$ થાય છે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ $(Z = R)$ થાય છે,અને પ્રવાહ $I$ મહત્તમ થાય છે. આમ,પ્રવાહ પહેલા વધીને મહત્તમ થાય છે અને પછી ઘટે છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: અનુનાદ સમયે,પરિપથ સંપૂર્ણપણે અવરોધક (resistive) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ફેઝ એંગલ $\phi = 0$ છે. પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos(0) = 1$ થાય છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય સોયની દોલન આવૃત્તિ $f$ એ $f \propto \sqrt{B_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
આપેલ છે કે $B_H = B \cos \theta$,જ્યાં $B$ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\theta$ એ ડીપ એંગલ છે.
તેથી,$f \propto \sqrt{B \cos \theta}$.
ધારો કે $\theta_1 = 30^{\circ}$ પર $f_1 = 20 \text{ દોલન/મિનિટ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ પર $f_2 = 30 \text{ દોલન/મિનિટ}$ છે.
$\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{B_1 \cos \theta_1}{B_2 \cos \theta_2}}$
$\frac{20}{30} = \sqrt{\frac{B_1 \cos 30^{\circ}}{B_2 \cos 60^{\circ}}}$
$\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{B_1 (\sqrt{3}/2)}{B_2 (1/2)}} = \sqrt{\frac{B_1 \sqrt{3}}{B_2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4}{9} = \frac{B_1 \sqrt{3}}{B_2} \Rightarrow \frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{9\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{81 \times 3}} = \frac{4}{\sqrt{243}}$.
આને $\frac{4}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 243$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.4\,T$,ત્રિજ્યામાં ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 1\,mm/s = 10^{-3}\,m/s$,અને ત્રિજ્યા $r = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફારનો દર $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = \left| \frac{d(BA)}{dt} \right| = B \frac{dA}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = 0.4 \times (2 \times \pi \times 2 \times 10^{-2} \times 10^{-3})\,V$
$\varepsilon = 0.4 \times 4\pi \times 10^{-5}\,V$
$\varepsilon = 1.6\pi \times 10^{-5}\,V = 16\pi \times 10^{-6}\,V = 16\pi\,\mu V$.
કારણ કે $16\pi \approx 16 \times 3.14 = 50.24\,\mu V$,તેથી નજીકનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $50\,\mu V$ છે.

(A) ન્યુક્લિયર ક્ષયમાં મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q)$ એ દળ ક્ષતિ અને $1 \, u$ ના ઉર્જા સમતુલ્યના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
દળ ક્ષતિ $(\Delta m) = m(U) - [m(Th) + m(He)]$
$\Delta m = 238.05060 \, u - (234.04360 \, u + 4.00260 \, u)$
$\Delta m = 238.05060 \, u - 238.04620 \, u = 0.0044 \, u$
મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q) = \Delta m \times 931.5 \, MeV/u$
$Q = 0.0044 \times 931.5 \, MeV = 4.0986 \, MeV$.

(D) વાહક સમાન સોર્સ સાથે જોડાયેલ હોવાથી,વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહે છે. તેથી,$V = i_0 R_0 = i_{100} R_{100} = i_{50} R_{50}$.
આપેલ છે કે $i_0 = 2\,A$ અને $i_{100} = 1.2\,A$.
અવરોધ-તાપમાનના સંબંધ $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 R_0 = 1.2 R_0(1 + 100 \alpha)$
$1 + 100 \alpha = \frac{2}{1.2} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
$100 \alpha = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} \Rightarrow 50 \alpha = \frac{1}{3}$.
હવે,$t = 50^{\circ}C$ માટે:
$i_{50} = \frac{V}{R_{50}} = \frac{i_0 R_0}{R_0(1 + 50 \alpha)} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{4/3} = \frac{6}{4} = 1.5\,A$.
$mA$ માં રૂપાંતર કરતા: $1.5\,A = 1500\,mA = 15 \times 10^2\,mA$.

(D) પ્રથમ લેન્સ $L_1$ માટે,વસ્તુ અનંત અંતરે છે $(u = -\infty)$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1}{20} \implies v_1 = 20\,cm$.
આ પ્રતિબિંબ $I_1$ બીજા લેન્સ $L_2$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 60\,cm$ છે.
$L_2$ થી $I_1$ નું અંતર $u_2 = -(60 - 20) = -40\,cm$ છે (કારણ કે તે લેન્સની આગળ છે).
બીજા લેન્સ $L_2$ માટે,લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} \implies v_2 = 40\,cm$.
પ્રથમ લેન્સ $L_1$ થી અંતિમ પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર $60 + 40 = 100\,cm$ છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાનો વીજભાર $q$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
દરેક નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{Kq}{r} = 10 \, mV$ છે.
જ્યારે $n = 64$ ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વીજભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$64 r^3 = R^3 \implies R = 4r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 64q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{KQ}{R} = \frac{K(64q)}{4r} = 16 \times (\frac{Kq}{r})$ થશે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V' = 16 \times 10 \, mV = 160 \, mV$ મળે છે.

(C) મેક્સવેલના સમીકરણો વર્ણવે છે કે કેવી રીતે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજા દ્વારા અને વિદ્યુતભારો અને પ્રવાહો દ્વારા ઉત્પન્ન અને બદલાય છે.
ફેરાડેનો ઇન્ડક્શનનો નિયમ,જે $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{\partial \phi_B}{\partial t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
સ્થિર પરિસ્થિતિઓમાં,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ સમયની સાપેક્ષમાં અચળ હોય છે,તેથી $\frac{\partial \phi_B}{\partial t} = 0$ થાય છે,જે સમીકરણને $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ માં ઘટાડે છે.
જોકે આ સમીકરણ સ્થિર પરિસ્થિતિઓમાં સાચું છે,તે ખાસ કરીને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનની ઘટનાને વર્ણવવા માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જે ફક્ત સમય સાથે બદલાતી પરિસ્થિતિઓમાં જ થાય છે.

(D) અચળ પ્રવાહ $I$ ધરાવતા પરિપથમાં પાવર વ્યય $P = I^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
બધા પરિપથો માટે $I$ સમાન હોવાથી,$P$ એ $R_{eq}$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto R_{eq})$.
ચાલો દરેક પરિપથ માટે સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી કરીએ:
$(A)$ સમાંતરમાં બે અવરોધ $(R/2)$ અને શ્રેણીમાં એક અવરોધ $(R)$: $R_A = R/2 + R = 1.5R$.
$(B)$ શ્રેણીમાં બે અવરોધ $(2R)$ અને સમાંતરમાં એક અવરોધ $(R)$: $R_B = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$.
$(C)$ સમાંતરમાં ત્રણ અવરોધ: $R_C = R/3 \approx 0.33R$.
$(D)$ શ્રેણીમાં ત્રણ અવરોધ: $R_D = R + R + R = 3R$.
સમતુલ્ય અવરોધોની સરખામણી કરતા: $R_C (0.33R) < R_B (0.67R) < R_A (1.5R) < R_D (3R)$.
તેથી,પાવર વ્યયનો ચડતો ક્રમ $P_C < P_B < P_A < P_D$ છે.

(A) વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d_i$ અને વક્રીભવનાંક $n_i$ ધરાવતા માધ્યમની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app, i} = \frac{d_i}{n_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પાત્રની કુલ ઊંડાઈ $d$ છે. તે બે સમાન ભાગમાં વહેંચાયેલું છે,તેથી દરેક પ્રવાહીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d_1 = d_2 = \frac{d}{2}$ છે.
તેલના સ્તરની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app, 1} = \frac{d/2}{n_1} = \frac{d}{2n_1}$ છે.
પાણીના સ્તરની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app, 2} = \frac{d/2}{n_2} = \frac{d}{2n_2}$ છે.
પાત્રની કુલ આભાસી ઊંડાઈ એ બંને સ્તરોની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$d_{app} = d_{app, 1} + d_{app, 2} = \frac{d}{2n_1} + \frac{d}{2n_2}$.
$\frac{d}{2}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $d_{app} = \frac{d}{2} \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)$ મળે છે.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા,$d_{app} = \frac{d}{2} \left( \frac{n_2 + n_1}{n_1 n_2} \right) = \frac{d(n_1 + n_2)}{2n_1 n_2}$ મળે છે.

$(A)$ સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
$1$. કાયમી ચુંબક સ્થિર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$2$. સમય સાથે રેખીય રીતે બદલાતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર અચળ સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt})$ ઉત્પન્ન કરે છે, જે અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર આપે છે, સમય સાથે બદલાતું નહીં.
$3$. ડાયરેક્ટ કરંટ અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$4$. પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભારિત કણ એ પ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર છે, જે સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો (વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો) ઉત્પન્ન કરે છે.
$5$. ડિજિટલ સિગ્નલ ધરાવતું એન્ટેના ઝડપથી બદલાતા પ્રવાહો ધરાવે છે, જે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી, $(D)$ અને $(E)$ બંને સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્ત્રોત છે.

(B) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ એ વર્ક ફંક્શન $\phi$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$.
ધાતુની સપાટી $A$ માટે,જ્યાં $\phi_A = 9 \, eV$ છે:
$\lambda_A = \frac{1242 \, eV \, nm}{9 \, eV} = 138 \, nm$.
ધાતુની સપાટી $B$ માટે,જ્યાં $\phi_B = 4.5 \, eV$ છે:
$\lambda_B = \frac{1242 \, eV \, nm}{4.5 \, eV} = 276 \, nm$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇઓ વચ્ચેનો તફાવત:
$\Delta\lambda = \lambda_B - \lambda_A = 276 \, nm - 138 \, nm = 138 \, nm$.

(B) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ $p = q \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q = 0.01\,C$ અને $d = 0.4\,mm = 0.4 \times 10^{-3}\,m$ છે.
તેથી,$p = 0.01 \times 0.4 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-6}\,Cm$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10\,dyne/C$ છે. $1\,dyne = 10^{-5}\,N$ હોવાથી,$E = 10 \times 10^{-5}\,N/C = 10^{-4}\,N/C$.
ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = pE \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta = 30^{\circ}$.
$\tau = (4 \times 10^{-6}) \times (10^{-4}) \times \sin 30^{\circ}$.
$\tau = 4 \times 10^{-10} \times 0.5 = 2.0 \times 10^{-10}\,Nm$.

(A) વાતાવરણના સ્તરો અને તેમની આશરે ઊંચાઈ નીચે મુજબ છે:
$1$. આયનોસ્ફિયરનું $F_1$-સ્તર આશરે $170-190\,km$ ની ઊંચાઈ પર આવેલું છે.
$2$. આયનોસ્ફિયરનું $D$-સ્તર આશરે $65-75\,km$ ની ઊંચાઈ પર આવેલું છે.
$3$. ટ્રોપોસ્ફિયર એ વાતાવરણનું સૌથી નીચલું સ્તર છે,જે પૃથ્વીની સપાટીથી આશરે $10\,km$ સુધી વિસ્તરેલું છે.
$4$. આયનોસ્ફિયરનું $E$-સ્તર આશરે $100\,km$ ની ઊંચાઈ પર આવેલું છે.
આ મૂલ્યોને જોડતા:
$(A) \rightarrow (II)$
$(B) \rightarrow (IV)$
$(C) \rightarrow (I)$
$(D) \rightarrow (III)$
તેથી,સાચો ક્રમ $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(III)$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે. આકૃતિનું ધ્યાનપૂર્વક અવલોકન કરતા, ઉપરનો ગેટ $NOR$ ગેટ છે અને નીચેનો ગેટ $OR$ ગેટ છે. તેથી, ઉપરના ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+B}$ છે. નીચેના ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = B+B = B$ છે. છેલ્લો ગેટ $NAND$ ગેટ છે, તેથી આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{(A+B)} \cdot B} = (A+B) + \bar{B} = A + B + \bar{B} = A + 1 = 1$. આમ, ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ ગમે તે હોય, આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $1$ રહે છે.

(D) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ દળ ક્ષતિ અને $1 \, u$ ના ઉર્જા સમતુલ્ય $(931.5 \, MeV/c^2)$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (m_A - m_B - m_D)$.
$\Delta m = (238.05079 - 234.04363 - 4.00260) \, u$.
$\Delta m = 238.05079 - 238.04623 = 0.00456 \, u$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q = \Delta m \times 931.5 \, MeV/u$.
$Q = 0.00456 \times 931.5 \, MeV \approx 4.24764 \, MeV$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,$Q \approx 4.25 \, MeV$.

(C) અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$R$ અવરોધ ધરાવતા તાર પર $V_0$ સ્થિતિમાન લાગુ પાડતા,પાવર વ્યય $P_1 = \frac{V_0^2}{R}$ થાય છે.
જ્યારે તારને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
હવે,દરેક ભાગ પર $V_0$ સ્થિતિમાન લાગુ પાડવામાં આવે છે. એક ભાગમાં વ્યય થતો પાવર $P' = \frac{V_0^2}{R'} = \frac{V_0^2}{R/2} = \frac{2V_0^2}{R}$ છે.
બંને તારમાં કુલ પાવર વ્યય $P_2 = P' + P' = 2 \times \frac{2V_0^2}{R} = \frac{4V_0^2}{R}$ છે.
ગુણોત્તર $P_2 : P_1 = \frac{4V_0^2/R}{V_0^2/R} = 4$ ની ગણતરી કરતા.
આપેલ ગુણોત્તર $\sqrt{x} : 1$ હોવાથી,આપણી પાસે $\sqrt{x} = 4$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x = 16$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો પૂર્ણ-સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ છે અને $R_G$ તેનો અવરોધ છે.
કિસ્સો $1$: $5\,\Omega$ અવરોધ સાથે શંટિંગ.
કુલ પ્રવાહ $I = 250\,mA = 0.25\,A$ છે. શંટ અવરોધ $S = 5\,\Omega$ છે.
પ્રવાહ વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I_g = I \times \frac{S}{S + R_G}$
$I_g = 0.25 \times \frac{5}{5 + R_G} \dots(i)$
કિસ્સો $2$: $1050\,\Omega$ ને શ્રેણીમાં જોડતા.
કુલ વોલ્ટેજ $V = 25\,V$ છે. શ્રેણી અવરોધ $R = 1050\,\Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I_g = \frac{V}{R + R_G}$
$I_g = \frac{25}{1050 + R_G} \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$0.25 \times \frac{5}{5 + R_G} = \frac{25}{1050 + R_G}$
$\frac{1.25}{5 + R_G} = \frac{25}{1050 + R_G}$
$1.25(1050 + R_G) = 25(5 + R_G)$
$1312.5 + 1.25 R_G = 125 + 25 R_G$
$1312.5 - 125 = 25 R_G - 1.25 R_G$
$1187.5 = 23.75 R_G$
$R_G = \frac{1187.5}{23.75} = 50\,\Omega$