JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે જે $\alpha$ ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,તેની અવધિ $R_1 = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે જે $\beta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,તેની અવધિ $R_2 = \frac{u^2 \sin 2\beta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,તેથી $\beta = 90^{\circ} - \alpha$.
$R_2$ ના સૂત્રમાં $\beta$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_2 = \frac{u^2 \sin 2(90^{\circ} - \alpha)}{g} = \frac{u^2 \sin(180^{\circ} - 2\alpha)}{g}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,તેથી $R_2 = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}}{\frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}} = \frac{1}{1}$ થાય છે.

(A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,સૂર્ય અને ગ્રહ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે $F \propto \frac{1}{r^2}$.
$2$. વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે બળ એ દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto Mm)$,વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નહીં.
$3$. વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે કેન્દ્રગામી બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) સૂર્ય તરફની દિશામાં હોય છે,સૂર્યથી દૂર નહીં.
$4$. વિધાન $D$ સાચું છે કારણ કે તે કેપ્લરનો ગ્રહીય ગતિનો ત્રીજો નિયમ દર્શાવે છે,જે મુજબ $T^2 \propto a^3$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે અને $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને $D$ સાચા છે.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$f = 320\,Hz$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$v = 330\,m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$v_s = 66\,m/s$ (ઉદગમની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 320 \left( \frac{330}{330 - 66} \right)$
$f' = 320 \left( \frac{330}{264} \right)$
$f' = 320 \times 1.25$
$f' = 400\,Hz$
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિ $400\,Hz$ છે.

(B) ધારો કે પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ $T$ છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વિભાજન પ્રક્રિયા દરમિયાન કદ સમાન રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
મૂળ ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $u_i = T \times 4 \pi R^2$ છે.
$1000$ નાના ટીપાંની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જા $u_f = 1000 \times (T \times 4 \pi r^2)$ છે.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{u_f}{u_i} = \frac{1000 \times 4 \pi r^2}{4 \pi R^2} = 1000 \times \left(\frac{r}{R}\right)^2$.
$R = 10r$ મૂકતા:
$\frac{u_f}{u_i} = 1000 \times \left(\frac{r}{10r}\right)^2 = 1000 \times \frac{1}{100} = 10$.
આપેલ છે કે $\frac{u_f}{u_i} = \frac{10}{x}$,તેથી $10 = \frac{10}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(B) ધારો કે $m_1 = 1\,kg$,$m_2 = 3\,kg$,$u_1$ એ $1\,kg$ દળના પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ છે,અને $u_2 = 0$ એ $3\,kg$ દળના પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ છે.
અથડામણ પછી,$1\,kg$ દળના પદાર્થનો વેગ $v_1 = -2\,m/s$ છે (કારણ કે તે દિશા ઉલટાવે છે).
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$1(u_1) + 3(0) = 1(-2) + 3(v_2)$
$u_1 = -2 + 3v_2 \quad \dots(1)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$
$1 = \frac{v_2 - (-2)}{u_1 - 0} \Rightarrow u_1 = v_2 + 2 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $v_2 = u_1 - 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$u_1 = -2 + 3(u_1 - 2)$
$u_1 = -2 + 3u_1 - 6$
$2u_1 = 8$
$u_1 = 4\,m/s$.

(B) $m_1$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેની સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + m_1 R^2 = \frac{2}{5} m_1 R^2 + m_1 R^2 = \frac{7}{5} m_1 R^2$. $m_1 = 5 \, kg$ મૂકતા,$I_{\text{sphere}} = \frac{7}{5} \times 5 \times R^2 = 7 R^2$ મળે છે.
$m_2$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I_{\text{disc}} = I_{\text{cm}} + m_2 R^2 = \frac{1}{4} m_2 R^2 + m_2 R^2 = \frac{5}{4} m_2 R^2$. $m_2 = 4 \, kg$ મૂકતા,$I_{\text{disc}} = \frac{5}{4} \times 4 \times R^2 = 5 R^2$ મળે છે.
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા અને ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\text{disc}}}{I_{\text{sphere}}} = \frac{5 R^2}{7 R^2} = \frac{5}{7}$ થાય છે.
આને $\frac{x}{7}$ સાથે સરખાવતા,$x = 5$ મળે છે.

(C) દબાણ પ્રચલન $= \frac{dp}{dx} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[L]} = [M^1 L^{-2} T^{-2}]$. તેથી,$(A)-(III)$.
ઉર્જા ઘનતા $= \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$. તેથી,$(B)-(II)$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $= \frac{\text{Force}}{\text{Charge}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[AT]} = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$. તેથી,$(C)-(IV)$.
ગુપ્ત ઉષ્મા $= \frac{\text{Heat}}{\text{Mass}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[M]} = [M^0 L^2 T^{-2}]$. તેથી,$(D)-(I)$.

(D) ધારો કે પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુએ ગતિઊર્જા $KE_{POP} = \frac{1}{2} m u^2$ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,અને વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ જેટલો જ રહે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $KE_{top} = \frac{1}{2} m (u \cos 30^{\circ})^2 = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 30^{\circ}$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{KE_{POP}}{KE_{top}} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{1}{2} m u^2 \cos^2 30^{\circ}} = \frac{1}{\cos^2 30^{\circ}}$ છે.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\cos^2 30^{\circ} = \frac{3}{4}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ મળે છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ નીચેની તરફ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઢળતા સમતલ પર ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = ma$
આપેલ છે કે $a = \frac{g}{4}$,કિંમતો મૂકતા:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = m \left( \frac{g}{4} \right)$
$mg$ વડે ભાગતા:
$\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ} = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} - \mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{4}$
$\mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$\mu = \frac{1}{4} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

(C) સમક્ષિતિજ વળાંકવાળા રસ્તા પર ગતિ કરતી કાર માટે,વળાંક લેવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ઘસરકા વગર સુરક્ષિત વળાંક લેવા માટેની શરત $f_s \leq \mu N$ છે,જ્યાં $N = mg$ છે.
મહત્તમ ઝડપ $v_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે ઘર્ષણ બળ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર હોય:
$\frac{mv_{\max}^2}{r} = \mu mg$
$v_{\max}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$v_{\max} = \sqrt{\mu rg}$
આપેલ કિંમતો $\mu = 0.34$,$r = 50\,m$,અને $g = 10\,ms^{-2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v_{\max} = \sqrt{0.34 \times 50 \times 10}$
$v_{\max} = \sqrt{0.34 \times 500}$
$v_{\max} = \sqrt{170}$
$v_{\max} \approx 13.038\,ms^{-1}$
તેથી,આશરે મહત્તમ ઝડપ $13\,ms^{-1}$ છે.

(D) બે કણો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ છે.
'$m$' દળ ધરાવતા કણ માટે જે '$r$' ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં '$v$' ઝડપથી ગતિ કરે છે,તેના માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
'$v$' માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{Gm^2}{4r^2} \cdot \frac{r}{m} = \frac{Gm}{4r}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{Gm}{4r}}$.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી તેનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ થાય.
ત્રિજ્યા $R_1$ થી $R_2$ સુધી વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = T \times \Delta A = T \times (A_2 - A_1) = T \times 8 \pi (R_2^2 - R_1^2)$.
આપેલ છે:
$T = 2.0 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$
$R_1 = 3.5 \; cm = 3.5 \times 10^{-2} \; m$
$R_2 = 7.0 \; cm = 7.0 \times 10^{-2} \; m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 2.0 \times 10^{-2} \times 8 \times \frac{22}{7} \times [(7.0 \times 10^{-2})^2 - (3.5 \times 10^{-2})^2]$
$W = 16 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times (49 - 12.25) \times 10^{-4}$
$W = 16 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times 36.75 \times 10^{-4}$
$W = 16 \times 10^{-2} \times 22 \times 5.25 \times 10^{-4}$
$W = 18.48 \times 10^{-4} \; J$.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(dU)$ એ સિસ્ટમને આપેલી ઉષ્મા $(dQ)$ અને સિસ્ટમ પર કરેલા કાર્ય $(dW)$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $dU = dQ + dW$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
જો આપણે $dQ$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ,તો આપણને $dQ = dU - dW$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ ખરેખર ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું એક સ્વરૂપ છે,જે જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,માત્ર તેનું રૂપાંતર થઈ શકે છે. તેથી,કારણ $R$ સાચું છે.
વિધાન $A$ માં આપેલ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ સીધી રીતે કારણ $R$ માં ઉલ્લેખિત ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પરથી તારવવામાં આવી છે,તેથી $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ટાયરનું કદ અચળ રહે છે તેમ ધારતા,આપણે ગે-લ્યુસેકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$P_1 = 270\,kPa$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$
$T_2 = 36^{\circ}C = 36 + 273 = 309\,K$
કિંમતો મૂકતા:
$P_2 = \frac{P_1 \times T_2}{T_1} = \frac{270 \times 309}{300}$.
$P_2 = 0.9 \times 309 = 278.1\,kPa$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,દબાણ $278\,kPa$ મળે છે.

(B) ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આભાસી આવૃત્તિ $f' = f_0 \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ છે.
અહીં,$v = 330\,m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ),$v_o = 0$ (અવલોકનકાર સ્થિર છે),$v_s = 30\,m/s$ (સ્ત્રોતની ઝડપ),અને $f_0 = 300\,Hz$ છે.
ટ્રેન $A$ માટે (સ્ટેશન/અવલોકનકાર તરફ આવતી),સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે: $f_A = 300 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{300} \right) = 330\,Hz$.
ટ્રેન $B$ માટે (સ્ટેશન/અવલોકનકારથી દૂર જતી),સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે: $f_B = 300 \left( \frac{330}{330 + 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{360} \right) = 300 \left( \frac{11}{12} \right) = 275\,Hz$.
સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિઓનો તફાવત $\Delta f = f_A - f_B = 330 - 275 = 55\,Hz$ છે.

(A) સમાન કંપનવિસ્તાર $A$ અને કળા તફાવત $\Delta \phi$ ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપનવિસ્તાર $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = 2A \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$.
અહીં $A = 8\,cm$ અને $R = 8\,cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $8 = 2(8) \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $1 = 2 \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{\Delta \phi}{2} = 60^{\circ}$.
આમ,કળા તફાવત $\Delta \phi = 120^{\circ}$ થાય.

(A) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$.
પ્રથમ $6$ મિનિટના અંતરાલ માટે:
$\frac{60 - 40}{6} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right)$
$\frac{20}{6} = k(50 - 10) = 40k$ --- $(i)$
આગામી $6$ મિનિટ માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે:
$\frac{40 - T}{6} = k \left( \frac{40 + T}{2} - 10 \right)$
$\frac{40 - T}{6} = k \left( \frac{40 + T - 20}{2} \right) = k \left( \frac{20 + T}{2} \right)$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{20 / 6}{(40 - T) / 6} = \frac{40k}{k(20 + T) / 2}$
$\frac{20}{40 - T} = \frac{80}{20 + T}$
$20(20 + T) = 80(40 - T)$
$400 + 20T = 3200 - 80T$
$100T = 2800$
$T = 28^{\circ} C$.

(A) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,રેખીય વેગ $(v)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = R\omega$ છે,એટલે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતોને ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
અહીં $m = 2\,kg$ અને $KE = 2240\,J$ આપેલ છે:
$2240 = \frac{7}{10} \times 2 \times v^2$
$2240 = \frac{7}{5}v^2$
$v^2 = \frac{2240 \times 5}{7} = 320 \times 5 = 1600$
$v = \sqrt{1600} = 40\,m/s$.

(A) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$8^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n = 8)$:
$S_8 = 0 + \frac{10}{2}(2 \times 8 - 1) = 5 \times 15 = 75\,m$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = mgh$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $h$ એ છેલ્લા સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર છે.
$\Delta U = 0.4 \times 10 \times 75 = 4 \times 75 = 300\,J$.

(A) જમીન સાથે અથડાતા પહેલા બોલનો વેગ $v_i = \sqrt{2gh_i} = \sqrt{2 \times 10 \times 9.8} = \sqrt{196} = 14\,m/s$ (નીચેની તરફ).
નીચેની દિશાને ઋણ લેતા,$v_i = -14\,m/s$.
ઉછળ્યા પછી તરત જ બોલનો વેગ $v_f = \sqrt{2gh_f} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10\,m/s$ (ઉપરની તરફ).
ઉપરની દિશાને ધન લેતા,$v_f = +10\,m/s$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = v_f - v_i = 10 - (-14) = 24\,m/s$.
સરેરાશ પ્રવેગ $a_{\text{avg}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{24}{0.2} = 120\,m/s^2$ છે.

(B) વાયુના અણુઓની rms ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{rms} = \sqrt{\frac{\alpha+5}{\alpha}} \times v_{avg}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{\alpha+5}{\alpha}} \times \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT}{M} = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{8RT}{\pi M}$.
બંને બાજુથી $\frac{RT}{M}$ દૂર કરતા: $3 = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{8}{\pi}$.
આપેલ છે કે $\pi = \frac{22}{7}$,તેથી $\frac{8}{\pi} = \frac{8 \times 7}{22} = \frac{56}{22} = \frac{28}{11}$.
આમ,$3 = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{28}{11}$.
$33\alpha = 28(\alpha + 5)$.
$33\alpha = 28\alpha + 140$.
$5\alpha = 140$.
$\alpha = 28$.

(B) ધારો કે બળ $F$ છે અને દળ $m = 20\,kg$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
પ્રથમ $20\,s$ દરમિયાન,પદાર્થ $a = F/m$ જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
$20\,s$ ના અંતે વેગ $v = u + at = 0 + (F/20) \times 20 = F$ થાય છે.
બળ દૂર થયા પછી,પદાર્થ $10\,s$ સુધી $v = F$ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
આ સમયગાળામાં કાપેલું અંતર $d = v \times t = F \times 10 = 50\,m$ છે.
તેથી,$10F = 50$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $F = 5\,N$ મળે છે.

(D) લિફ્ટ ફોર્સ $F_L$ એ એરક્રાફ્ટના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F_L = mg = (5.4 \times 10^5 \, kg) \times (10 \, m/s^2) = 5.4 \times 10^6 \, N$.
નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણ તફાવત $\Delta P = P_2 - P_1$ એ $\Delta P = \frac{F_L}{A} = \frac{5.4 \times 10^6 \, N}{500 \, m^2} = 1.08 \times 10^4 \, Pa$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$,જ્યાં $v_1$ એ નીચેની સપાટી પરની ઝડપ છે અને $v_2$ એ ઉપરની સપાટી પરની ઝડપ છે.
$P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2) = \frac{1}{2} \rho (v_1 - v_2)(v_1 + v_2)$.
એરક્રાફ્ટની ઝડપ $v = 1080 \, km/h = 1080 \times \frac{5}{18} \, m/s = 300 \, m/s$ છે. ધારો કે $v_1 + v_2 \approx 2v = 600 \, m/s$.
$1.08 \times 10^4 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (v_2 - v_1) \times 600$.
$1.08 \times 10^4 = 360 \times (v_2 - v_1) \implies v_2 - v_1 = \frac{10800}{360} = 30 \, m/s$.
આંશિક વધારો $\frac{v_2 - v_1}{v} \times 100 = \frac{30}{300} \times 100 = 10 \%$ છે.

(A) વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$(A)$ જ્યારે માણસ ડોલ ઊંચકે છે,ત્યારે તેના દ્વારા લાગુ પાડવામાં આવેલું બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં (ઉપરની તરફ) હોય છે. તેથી,કાર્ય ધન છે. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગે છે જ્યારે સ્થાનાંતર ઉપરની તરફ છે. બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ હોવાથી,કાર્ય ઋણ છે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ ઘર્ષણ હંમેશા ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. નીચે સરકતા પદાર્થ માટે,ઘર્ષણ સપાટી પર ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે સ્થાનાંતર નીચેની તરફ છે. તેથી,કાર્ય ઋણ છે. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
$(D)$ ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર અચળ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,લાગુ પાડેલું બળ ગતિક ઘર્ષણને સંતુલિત કરે છે. બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં હોવાથી,કાર્ય ધન છે. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
$(E)$ હવાના અવરોધ હંમેશા લોલકના ગોળાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. તેથી,કાર્ય ઋણ છે. વિધાન $(E)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(B) પદાર્થ $r = 2\,m$ ત્રિજ્યા અને $v = 4\,m/s$ ની અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8\,m/s^2$ છે.
$x = +2\,m$ પર,વેગ $-4 \hat{j}\,m/s$ છે,જે સૂચવે છે કે પદાર્થ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ગતિ કરે છે.
$x = -2\,m$ પર,પદાર્થ વ્યાસની વિરુદ્ધ બાજુએ હશે.
તે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,$x = -2\,m$ પર,વેગ સદિશ ઉપરની તરફ હશે,તેથી $v = 4 \hat{j}\,m/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હંમેશા કેન્દ્ર $(0,0)$ તરફ હોય છે. $x = -2\,m$ પર,કેન્દ્ર જમણી બાજુએ છે,તેથી પ્રવેગ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં હશે,એટલે કે $a = 8 \hat{i}\,m/s^2$.

(A) આપેલ છે: ઉષ્મા $\Delta Q = 184 \times 10^3\,J$,દળ $m = 0.6\,kg$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = -12^{\circ}C$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_{ice} = 2222.3\,J\,kg^{-1\circ}C^{-1}$,ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 336 \times 10^3\,J\,kg^{-1}$.
પગલું $1$: બરફનું તાપમાન $-12^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 0.6 \times 2222.3 \times 12 = 16000.56\,J$.
પગલું $2$: પીગળવા માટે બાકી રહેલી ઉષ્મા:
$Q_{rem} = \Delta Q - Q_1 = 184000 - 16000.56 = 167999.44\,J$.
પગલું $3$: $0^{\circ}C$ પર બરફના સંપૂર્ણ દળને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_{melt} = m \cdot L = 0.6 \times 336000 = 201600\,J$.
અહીં $Q_{rem} < Q_{melt}$ હોવાથી,બરફ સંપૂર્ણપણે પીગળશે નહીં અને અંતિમ તાપમાન $0^{\circ}C$ રહેશે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પગલું $4$: પીગળેલા બરફનું દળ $(m_w)$ શોધો:
$m_w = \frac{Q_{rem}}{L} = \frac{167999.44}{336000} \approx 0.5\,kg$.
પગલું $5$: બાકી રહેલા બરફનું દળ $(m_i)$ શોધો:
$m_i = m - m_w = 0.6 - 0.5 = 0.1\,kg$.
પગલું $6$: બરફ અને પાણીનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= \frac{m_i}{m_w} = \frac{0.1}{0.5} = 1:5$. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
આમ,$(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 24 \ hours$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{R}{4}$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{24}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{R}{R/4}\right)^3 = (4)^3 = 64$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{24}{T_2} = \sqrt{64} = 8$.
તેથી,$T_2 = \frac{24}{8} = 3 \ hours$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x-At)^2+(y-\frac{t}{B})^2=a^2$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$x$ અને $y$ માંથી બાદ થતા પદોના પરિમાણ લંબાઈ $[L]$ જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$At$ પદ માટે:
$[At] = [L]$
$[A][T^{-1}] = [L]$
$[A] = [LT]$
$\frac{t}{B}$ પદ માટે:
$[\frac{t}{B}] = [L]$
$\frac{[T^{-1}]}{[B]} = [L]$
$[B] = [L^{-1}T^{-1}]$
આમ,$A$ અને $B$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[LT]$ અને $[L^{-1}T^{-1}]$ છે.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times (m\vec{g})$ છે.
અહીં $\vec{g}$ નીચેની તરફ ($-y$ દિશામાં) કાર્ય કરે છે,તેથી $\vec{\tau} = (x\hat{i} + y\hat{j}) \times (-mg\hat{j}) = -xmg\hat{k}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = xmg = (v_x t)mg$ છે.
કોણીય વેગમાન શોધવા માટે ટોર્કનું સંકલન કરતા: $L = \int_0^t \tau dt = \int_0^t (v_x t)mg dt = mg v_x \frac{t^2}{2}$.
આપેલ છે: $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$v = 20\,ms^{-1}$,$\theta = 45^{\circ}$,$t = 2\,s$,$g = 10\,ms^{-2}$.
$v_x = v \cos 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\,ms^{-1}$.
$L = (0.1)(10)(10\sqrt{2}) \frac{2^2}{2} = 10 \times 10\sqrt{2} \times 2 = 20\sqrt{2} = \sqrt{400 \times 2} = \sqrt{800}$.
તેથી,$K = 800$.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{h}{h'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 5.25\,mm$ અને $h' = 5.00\,mm$ છે.
મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$ $= \frac{1}{20}\,cm = 0.5\,mm$ છે.
ટ્રાવેલિંગ માઇક્રોસ્કોપનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ $= 1\,MSD - 1\,VSD = 1\,MSD - \frac{49}{50}\,MSD = \frac{1}{50}\,MSD = \frac{0.5\,mm}{50} = 0.01\,mm$ છે.
વક્રીભવનાંકના સૂત્રનું લઘુગણક લેતા: $\ln \mu = \ln h - \ln h'$.
વિકલન કરતા,સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા મળે છે: $\frac{d\mu}{\mu} = \frac{dh}{h} + \frac{dh'}{h'}$.
અહીં,$dh = dh' = LC = 0.01\,mm$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d\mu = \mu \left( \frac{dh}{h} + \frac{dh'}{h'} \right) = \left( \frac{5.25}{5.00} \right) \left( \frac{0.01}{5.25} + \frac{0.01}{5.00} \right)$.
$d\mu = \frac{0.01}{5.00} + \frac{0.01}{5.25} = 0.002 + 0.00190476 = 0.00390476$.
$d\mu \approx 3.90476 \times 10^{-3} = \frac{39.0476}{10} \times 10^{-3} \approx \frac{41}{10} \times 10^{-3}$.
આમ,$x = 41$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 600\,m$,પ્રારંભિક ઝડપ $u = 54\,km/h = 15\,m/s$.
સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{ds}$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R}$.
આપેલ છે કે $a_t = a_c$,તેથી $v\frac{dv}{ds} = \frac{v^2}{R} \Rightarrow \frac{dv}{v} = \frac{ds}{R}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{15}^{v} \frac{dv}{v} = \int_{0}^{s} \frac{ds}{R} \Rightarrow \ln(\frac{v}{15}) = \frac{s}{R} \Rightarrow v = 15e^{s/R}$.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,આપણી પાસે $\frac{ds}{dt} = 15e^{s/R} \Rightarrow e^{-s/R} ds = 15 dt$ છે.
પ્રથમ ચતુર્થાંશ પરિભ્રમણ માટે સમય $T$ શોધવા માટે,$s$ ની કિંમત $0$ થી $\frac{\pi R}{2}$ સુધી લેવી.
$\int_{0}^{\pi R/2} e^{-s/R} ds = \int_{0}^{T} 15 dt$.
$[-R e^{-s/R}]_{0}^{\pi R/2} = 15T$.
$-R(e^{-\pi/2} - 1) = 15T \Rightarrow R(1 - e^{-\pi/2}) = 15T$.
$T = \frac{600}{15}(1 - e^{-\pi/2}) = 40(1 - e^{-\pi/2})$.
$t(1 - e^{-\pi/2})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $t = 40$ મળે છે.

(B) ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધ બળ $F$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$F = \eta A \frac{dv}{dx}$
જ્યાં:
$F = 0.1 \,N$ (પ્રયુક્ત બળ)
$\eta = 5.0 \times 10^{-3} \,Pa-s$ (સ્નિગ્ધતા)
$A = 0.20 \,m^2$ (પાયાનું ક્ષેત્રફળ)
$dx = 0.25 \,mm = 0.25 \times 10^{-3} \,m$ (પ્રવાહીના પડની જાડાઈ)
બ્લોક અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,પ્રયુક્ત બળ એ સ્નિગ્ધ બળ જેટલું જ હોય છે:
$0.1 = (5.0 \times 10^{-3}) \times 0.20 \times \frac{v}{0.25 \times 10^{-3}}$
$0.1 = \frac{1.0 \times 10^{-3} \times v}{0.25 \times 10^{-3}}$
$0.1 = 4v$
$v = \frac{0.1}{4} = 0.025 \,m/s$
$v = 25 \times 10^{-3} \,m/s$
આમ,બ્લોકની ઝડપ $25 \times 10^{-3} \,m/s$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 250\,g = 0.25\,kg$,બળ $F = -25x$,અને મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = 4\,m/s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $ma = -25x$,જે આપણને $a = -\frac{25}{0.25}x = -100x$ આપે છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = 100$ મળે છે,તેથી $\omega = 10\,rad/s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 = 10 \times A$.
તેથી,$A = 0.4\,m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $A = 0.4 \times 100 = 40\,cm$.

(D) આપેલ સંબંધ $PT^2 = C$ છે (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $P = \frac{nRT}{V}$ લખી શકાય.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(\frac{nRT}{V}\right)T^2 = C$.
આથી, $\frac{nRT^3}{V} = C$, જેનો અર્થ છે કે $V = \left(\frac{nR}{C}\right)T^3$.
ધારો કે $K = \frac{nR}{C}$, તેથી $V = KT^3$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$.
$V$ નું $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dT} = 3KT^2$.
હવે, $\gamma$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\gamma = \frac{1}{KT^3} \times (3KT^2) = \frac{3}{T}$.

(C) $1$. દડો $P$ એ $h = 20\,cm = 0.2\,m$ ઊંચાઈ પરથી નીચે સરકે છે.
$2$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાં દડા $P$ નો વેગ $v_P = \sqrt{2gh}$ દ્વારા મળે છે.
$3$. કિંમતો મૂકતા: $v_P = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2\,m/s$.
$4$. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને બંને દડાના દળ સમાન હોવાથી,અથડામણ પછી વેગની અદલાબદલી થાય છે.
$5$. અથડામણ પહેલાં,દડા $P$ નો વેગ $v_P = 2\,m/s$ છે અને દડો $Q$ સ્થિર છે $(v_Q = 0)$.
$6$. અથડામણ પછી,દડો $P$ સ્થિર થઈ જાય છે $(v_P' = 0)$ અને દડો $Q$ તે વેગ સાથે ગતિ કરે છે જે અથડામણ પહેલાં દડા $P$ નો હતો $(v_Q' = v_P = 2\,m/s)$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$,મોડ્યુલસ ઓફ રિજિડિટી $(\eta)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેના સંબંધો નીચે મુજબ છે:
$Y = 2\eta(1+\sigma)$ --- $(1)$
$Y = 3K(1-2\sigma)$ --- $(2)$
$Y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2\eta(1+\sigma) = 3K(1-2\sigma)$
$2\eta + 2\eta\sigma = 3K - 6K\sigma$
$2\eta\sigma + 6K\sigma = 3K - 2\eta$
$\sigma(6K + 2\eta) = 3K - 2\eta$
$\sigma = \frac{3K - 2\eta}{6K + 2\eta}$

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે,જે $dU = nC_{V}dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $dT = 0$,જેનો અર્થ છે કે $dU = 0$. આમ,વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી ($C$ સાચું છે).
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$.
કારણ કે $dU = 0$,તેથી $dQ = dW$.
આપેલ છે કે વાયુને ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,તેથી $dQ > 0$. તેથી,$dW > 0$,જેનો અર્થ છે કે વાયુ ધન કાર્ય કરે છે ($D$ સાચું છે).
આમ,સાચા વિધાનો $C$ અને $D$ છે.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
ધારો કે સંપર્કકોણ $\theta$ અને ત્રિજ્યા $r$ અચળ રહે છે,તેથી $h \propto \frac{S}{\rho}$ મળે.
પ્રવાહી $A$ માટે: $h_1 = 5 \ cm$,પૃષ્ઠતાણ $= S_1$,ઘનતા $= \rho_1$.
પ્રવાહી $B$ માટે: પૃષ્ઠતાણ $S_2 = 2S_1$,ઘનતા $\rho_2 = 2\rho_1$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{S_1}{S_2} \times \frac{\rho_2}{\rho_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{h_2} = \frac{S_1}{2S_1} \times \frac{2\rho_1}{\rho_1} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
આમ,$h_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$ થાય.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ છે.
આપેલ છે $E = -\frac{K}{r^2}$,તેથી $-\frac{dV}{dr} = -\frac{K}{r^2}$,જેનો અર્થ છે $dV = \frac{K}{r^2} dr$.
સંદર્ભ બિંદુ $(r_1 = 2\,cm, V_1 = 10\,J/kg)$ થી લક્ષ્ય બિંદુ $(r_2 = 3\,cm, V_2 = V)$ સુધી બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{10}^{V} dV = \int_{2}^{3} \frac{K}{r^2} dr$.
$V - 10 = K \left[ -\frac{1}{r} \right]_{2}^{3} = K \left( -\frac{1}{3} - (-\frac{1}{2}) \right) = K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = K \left( \frac{1}{6} \right)$.
$K = 6\,J\cdot cm/kg$ મૂકતા:
$V - 10 = 6 \times \frac{1}{6} = 1$.
$V = 10 + 1 = 11\,J/kg$.

(D) સૌ પ્રથમ,$h = 20\,m$ ઊંચાઈ પરથી જમીન સુધી પહોંચવા માટે બંને પદાર્થો દ્વારા લેવાયેલ સમય $h = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરીને ગણો:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
ધારો કે અથડામણ પછી દડાનો વેગ $v_1$ અને ગોળીનો વેગ $v_2$ છે.
દડા માટે: $v_1 = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{30}{2} = 15\,m/s$.
ગોળી માટે: $v_2 = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{120}{2} = 60\,m/s$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$m_{bullet} u = m_{ball} v_1 + m_{bullet} v_2$
$(0.01) u = (0.2)(15) + (0.01)(60)$
$0.01 u = 3 + 0.6 = 3.6$
$u = \frac{3.6}{0.01} = 360\,m/s$.

(A) વેગ $v$ એ $x-t$ આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $v = \frac{dx}{dt}$.
$(A)$ $x-t$ આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે વધતો ઢાળ સૂચવે છે. આમ,$v$ સમય સાથે વધે છે. આ આલેખ $II$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ $x-t$ આલેખ ઘટતી સ્થિતિ અને ઘટતો ઢાળ (મૂલ્ય) દર્શાવે છે,જે શૂન્યની નજીક જાય છે. આ એક ઋણ વેગને અનુરૂપ છે જેનું મૂલ્ય શૂન્ય તરફ ઘટે છે. આ આલેખ $IV$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ $x-t$ આલેખ અચળ ધન ઢાળ અને ત્યારબાદ અચળ ઋણ ઢાળ દર્શાવે છે. આ અચળ ધન વેગ અને ત્યારબાદ અચળ ઋણ વેગને અનુરૂપ છે. આ આલેખ $III$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ $x-t$ આલેખ અચળ ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે અચળ ધન વેગ સૂચવે છે. આ આલેખ $I$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(III), (D)-(I)$ છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતું બળ $\vec{F}$ એ વેગમાનના સમયની સાપેક્ષે ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.
આનો અર્થ એ છે કે બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}|$ એ $p-t$ આલેખના ઢાળના મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $|\vec{F}| = |p-t \text{ વક્રનો ઢાળ}|$.
$1$. વિભાગ $a$ માં,ઢાળ ધન અને મધ્યમ છે.
$2$. વિભાગ $b$ માં,ઢાળ ધન અને નાનો છે (રેખા લગભગ આડી છે).
$3$. વિભાગ $c$ માં,ઢાળ ઋણ છે અને તેનું મૂલ્ય ખૂબ મોટું છે (રેખા ખૂબ જ તીવ્ર છે).
ઢાળના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિભાગ $c$ માં ઢાળ મહત્તમ છે અને વિભાગ $b$ માં ન્યૂનતમ છે.
તેથી,બળનું મૂલ્ય વિભાગ $c$ માં મહત્તમ અને વિભાગ $b$ માં ન્યૂનતમ છે.

(D) સ્થાનાંતર $x = A \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2 \omega t$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા-સમય વક્રનો ઢાળ $\frac{dU}{dt}$ છે.
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} k A^2 \sin^2 \omega t) = \frac{1}{2} k A^2 (2 \sin \omega t \cos \omega t) \cdot \omega = \frac{1}{2} k A^2 \omega \sin(2 \omega t)$.
ઢાળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(2 \omega t)$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\sin(2 \omega t) = 1$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $2 \omega t = \frac{\pi}{2}$.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ મૂકતા,આપણને $2 (\frac{2 \pi}{T}) t = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$\frac{4 \pi t}{T} = \frac{\pi}{2} \implies t = \frac{T}{8}$.
આને $t = \frac{T}{\beta}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = 8$ મળે છે.

(D) ધારો કે કુલ અંતર $2D$ છે. સવાર $D$ અંતર $v_1 = 5\,m/s$ ની ઝડપે કાપે છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{D}{5}$ છે.
બાકીના $D$ અંતર માટે,સવાર $t_2$ સમય સુધી મુસાફરી કરે છે જેમાં પ્રથમ અડધા સમય $t_2/2$ માટે ઝડપ $v_2 = 10\,m/s$ અને બીજા અડધા સમય $t_2/2$ માટે ઝડપ $v_3 = 15\,m/s$ છે.
અંતર $D = (v_2 \cdot \frac{t_2}{2}) + (v_3 \cdot \frac{t_2}{2}) = (10 \cdot \frac{t_2}{2}) + (15 \cdot \frac{t_2}{2}) = 5t_2 + 7.5t_2 = 12.5t_2$.
તેથી,$t_2 = \frac{D}{12.5} = \frac{D}{25/2} = \frac{2D}{25}$.
સરેરાશ ઝડપ $\langle v \rangle = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2D}{t_1 + t_2} = \frac{2D}{\frac{D}{5} + \frac{2D}{25}} = \frac{2D}{\frac{5D + 2D}{25}} = \frac{2D \cdot 25}{7D} = \frac{50}{7}\,m/s$.
આને $\frac{x}{7}\,m/s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 50$ મળે છે.

(D) સ્ક્રૂ ગેજનું પિચ $0.5\,mm$ છે અને વર્તુળાકાર વિભાગોની સંખ્યા $100$ છે.
$\text{લીસ્ટ કાઉન્ટ (LC)} = \frac{\text{પિચ}}{\text{કુલ વર્તુળાકાર વિભાગો}} = \frac{0.5\,mm}{100} = 5 \times 10^{-3}\,mm$.
વર્તુળાકાર સ્કેલનું શૂન્ય સંદર્ભ રેખાથી $6$ વિભાગ નીચે હોવાથી,શૂન્ય ત્રુટિ ધન છે.
$\text{શૂન્ય ત્રુટિ} = +6 \times \text{LC} = 6 \times 5 \times 10^{-3}\,mm = 30 \times 10^{-3}\,mm$.
અવલોકન કરેલ રીડિંગ $MSR + (CSR \times LC) = 4 \times 0.5\,mm + 46 \times 5 \times 10^{-3}\,mm = 2.0\,mm + 0.23\,mm = 2.23\,mm$.
સુધારેલ વ્યાસ = $\text{અવલોકન કરેલ રીડિંગ} - \text{શૂન્ય ત્રુટિ} = 2.23\,mm - 0.03\,mm = 2.20\,mm$.
આમ,$2.20\,mm = 220 \times 10^{-2}\,mm$.

(D) ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષ પર ફરતા $\ell$ લંબાઈના પાતળા સમાન સળિયા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m \ell^2}{12}$ છે.
સળિયાનું દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = d \times (A \ell) = d A \ell$ થાય.
$I$ ના સૂત્રમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા,$I = \frac{(d A \ell) \ell^2}{12} = \frac{d A \ell^3}{12}$ મળે.
હવે,ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{d A \ell^3}{12} \right) \omega^2 = \frac{d A \ell^3}{24} \omega^2$.
અહીં $\ell = 2 \ m$ આપેલ છે,તેથી $E = \frac{d A (2)^3}{24} \omega^2 = \frac{8 d A}{24} \omega^2 = \frac{d A}{3} \omega^2$.
$\omega$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\omega^2 = \frac{3 E}{d A}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{3 E}{d A}}$.
આપેલ સમીકરણ $\omega = \sqrt{\frac{\alpha E}{Ad}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$ મળે છે.

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m = \sqrt{3} \, kg$ છે. બ્લોકનું વજન નીચેની તરફ $W = mg = \sqrt{3} \times 10 = 10\sqrt{3} \, N$ લાગે છે.
તે બિંદુના સંતુલનનો વિચાર કરો જ્યાં દોરી,બળ $F$ અને વજન જોડાયેલા છે. દોરીમાં તણાવ $T$ એ શિરોલંબ દીવાલ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos 30^{\circ}$ (ઉપરની તરફ)
સમક્ષિતિજ ઘટક: $T \sin 30^{\circ}$ (દીવાલ તરફ)
તંત્ર સંતુલનમાં હોવા માટે:
$1$. શિરોલંબ બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ: $T \cos 30^{\circ} = mg$
$T \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$
$T = 10 \times 2 = 20 \, N$
આમ,તણાવ $T$ એ $20 \, N$ છે.

(B) આદર્શ વાયુના પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_{av} = \frac{3}{2} kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન બંને એક જ ફ્લાસ્કમાં હોવાથી,તેઓ સમાન તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 300 \ K$ પર છે.
પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના અણુઓના દળ કે પ્રકાર પર આધારિત નથી.
તેથી,હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનની પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{H_2}}{K_{O_2}} = \frac{\frac{3}{2} kT}{\frac{3}{2} kT} = 1: 1$ થાય.

(D) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
કુલ અંતર $d_{total} = 4\,km + 4\,km = 8\,km$.
પ્રથમ ભાગ માટે લીધેલો સમય $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{4}{3}\,h$.
બીજા ભાગ માટે લીધેલો સમય $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{4}{5}\,h$.
કુલ સમય $t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{5} = \frac{20 + 12}{15} = \frac{32}{15}\,h$.
સરેરાશ ઝડપ $V_{av} = \frac{d_{total}}{t_{total}} = \frac{8}{32/15} = \frac{8 \times 15}{32} = \frac{15}{4} = 3.75\,km/h$.

(D) આપેલ છે:
ગનનું દળ,$M = 10\,kg$
દરેક ગોળીનું દળ,$m = 20\,g = 0.02\,kg$
પ્રતિ મિનિટ છોડાતી ગોળીઓની સંખ્યા,$n = 180$
દરેક ગોળીનો વેગ,$v = 100\,m s^{-1}$
પ્રતિ સેકન્ડ છોડાતી ગોળીઓનો દર,$n' = \frac{180}{60} = 3\,bullets/s$
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગન અને ગોળીઓનું કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$M \times V + n' \times (m \times v) = 0$
$10 \times V + 3 \times (0.02 \times 100) = 0$
$10 \times V + 3 \times 2 = 0$
$10 \times V = -6$
$V = -0.6\,m/s$
રિકોઇલ વેગનું મૂલ્ય $0.6\,m/s$ છે.

(B) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરની કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NiAB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ પ્રવાહ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
સસ્પેન્શન વાયર દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = K\theta$ છે,જ્યાં $K$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે અને $\theta$ એ કોણાવર્તન છે.
બંને ટોર્કને સરખાવતા: $NiAB = K\theta$.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $A = \frac{K\theta}{NiB}$.
આપેલ કિંમતો:
$K = 4.0 \times 10^{-5}\,Nm\,rad^{-1}$
$\theta = 0.05\,rad$
$N = 200$
$i = 10\,mA = 10 \times 10^{-3}\,A = 0.01\,A$
$B = 0.01\,T$
કિંમતો મૂકતા:
$A = \frac{4.0 \times 10^{-5} \times 0.05}{200 \times 0.01 \times 0.01}$
$A = \frac{2.0 \times 10^{-6}}{0.02} = 1.0 \times 10^{-4}\,m^2$.
કારણ કે $1\,m^2 = 10^4\,cm^2$,તેથી:
$A = 1.0 \times 10^{-4} \times 10^4\,cm^2 = 1\,cm^2$.

(A) મેક્સવેલના ચાર સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{s} = \frac{q}{\epsilon_0}$ $(A-IV)$
$2$. ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = -\frac{d \phi_B}{d t}$ $(B-I)$
$3$. ચુંબકત્વમાં ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0$ $(C-II)$
$4$. એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = \mu_0 i_C + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d \phi_E}{d t}$ $(D-III)$
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-I, C-II, D-III$ છે.

(D) વિધાન-$I$ સાચું છે: $Si$ (ગ્રુપ $14$) માં બોરોન (ગ્રુપ $13$) ઉમેરવાથી $P$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર બને છે જેમાં હોલ્સની અધિકતા હોય છે. $Si$ માં આર્સેનિક (ગ્રુપ $15$) ઉમેરવાથી $N$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર બને છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોનની અધિકતા હોય છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે: જ્યારે $P-N$ જંકશન બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે ડેપ્લેશન રીજન અને બેરિયર પોટેન્શિયલ ઉત્પન્ન થાય છે. આ બેરિયર પોટેન્શિયલ મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સને જંકશન ઓળંગતા અટકાવે છે. તેથી,બાહ્ય બાયસ વોલ્ટેજની ગેરહાજરીમાં જંકશનમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી. અનબાયસ્ડ $P-N$ જંકશન સાથે જોડાયેલ એમીટર $zero$ વિદ્યુતપ્રવાહ દર્શાવશે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q_1 = 10\,\mu C$ એ $x_1 = 0$ પર છે અને વિદ્યુતભાર $q_2 = 40\,\mu C$ એ $x_0$ પર છે.
બિંદુ $P$ $(x = 2\,cm)$ પર $q_1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{K q_1}{r_1^2} = \frac{K \times 10}{(2)^2}$ (જમણી તરફની દિશામાં) છે.
બિંદુ $P$ પર $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{K q_2}{r_2^2} = \frac{K \times 40}{(x_0 - 2)^2}$ (ડાબી તરફની દિશામાં) છે.
$P$ આગળ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$ હોવું જોઈએ.
$\frac{K \times 10}{2^2} = \frac{K \times 40}{(x_0 - 2)^2}$
$\frac{10}{4} = \frac{40}{(x_0 - 2)^2}$
$(x_0 - 2)^2 = \frac{40 \times 4}{10} = 16$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x_0 - 2 = 4$ (કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે તે માટે વિદ્યુતભાર $P$ ની જમણી બાજુએ હોવો જોઈએ).
$x_0 = 6\,cm$.

(D) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\lambda = 124.1 \, nm = 124.1 \times 10^{-9} \, m$.
$hc \approx 1241 \, eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા,જરૂરી ઉર્જા તફાવત $\Delta E = \frac{1241 \, eV \cdot nm}{124.1 \, nm} = 10 \, eV$ મળે છે.
આકૃતિ પરથી:
સંક્રમણ $A$: $\Delta E = 0 - (-2.2) = 2.2 \, eV$.
સંક્રમણ $B$: $\Delta E = 0 - (-5.2) = 5.2 \, eV$.
સંક્રમણ $C$: $\Delta E = -2.2 - (-5.2) = 3.0 \, eV$.
સંક્રમણ $D$: $\Delta E = 0 - (-10.0) = 10.0 \, eV$.
આમ,સંક્રમણ $D$ એ $10 \, eV$ ના ઉર્જા તફાવતને અનુરૂપ છે,તેથી તે $124.1 \, nm$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(A) વાતાવરણના સ્તરો અને તેમની અંદાજિત ઊંચાઈ નીચે મુજબ છે:
$1$. ટ્રોપોસ્ફિયર: પૃથ્વીની સપાટીથી આશરે $10 \ km$ સુધી વિસ્તરેલું છે $(A-III)$.
$2$. આયનોસ્ફિયરનો $D$-ભાગ: આશરે $65-75 \ km$ ની ઊંચાઈ પર આવેલો છે $(D-I)$.
$3$. આયનોસ્ફિયરનો $E$-ભાગ: આશરે $100 \ km$ ની ઊંચાઈ પર આવેલો છે $(B-IV)$.
$4$. આયનોસ્ફિયરનો $F_2$-ભાગ: આશરે $300 \ km$ ની ઊંચાઈ પર આવેલો છે $(C-II)$.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II, D-I$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકના છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = Bv\ell$
જ્યાં:
$B = 2\,T$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા)
$v = 8\,m/s$ (તારનો વેગ)
$\ell = 1\,m$ (તારની લંબાઈ)
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 2 \times 8 \times 1 = 16\,V$
તેથી,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $16\,V$ છે.

(C) પ્રારંભિક અવરોધ $R_{\text{initial}} = \frac{\rho \ell}{A} = 5 \Omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$V_i = V_f$
$A_i \ell_i = A_f \ell_f$
અહીં $\ell_f = 5 \ell_i$ આપેલ છે,તેથી $A_i \ell_i = A_f (5 \ell_i)$,જેનો અર્થ છે કે $A_f = \frac{A_i}{5}$.
નવો અવરોધ $R_f$ નીચે મુજબ છે:
$R_f = \frac{\rho \ell_f}{A_f} = \frac{\rho (5 \ell_i)}{\left(\frac{A_i}{5}\right)}$
$R_f = 25 \left(\frac{\rho \ell_i}{A_i}\right)$
$R_f = 25 \times 5 = 125 \Omega$.

(D) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_S$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max}$ સાથે $V_S = \frac{KE_{\max}}{e}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\lambda$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તેથી,$V_S = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \phi}{e}$.
વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ (અથવા તરંગલંબાઈ) પર આધાર રાખે છે અને તે પ્રકાશના સ્ત્રોતની તીવ્રતા કે પાવરથી સ્વતંત્ર છે.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે આપેલ ધાતુ માટે મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max}$ એ આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું વિધેય છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(B) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 5 \mu F$ છે.
જ્યારે $t = \frac{d}{2}$ જાડાઈ અને $K = 1.5$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C_{\text{new}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{1.5}}$
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{3}}$
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{3d + 2d}{6}} = \frac{6 \epsilon_0 A}{5 d}$
કારણ કે $\frac{\epsilon_0 A}{d} = 5 \mu F$,તેથી:
$C_{\text{new}} = \frac{6}{5} \times 5 \mu F = 6 \mu F$.

(B) આપેલ છે: બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 10\,cm$. લેન્સથી અરીસાનું અંતર $= 20\,cm$. અંતિમ પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $5\,cm$ અંતરે મળે છે.
અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $5\,cm$ અંતરે છે. આનો અર્થ એ છે કે અરીસા માટેની વસ્તુ (જે લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $I_1$ છે) અરીસાની આગળ $5\,cm$ અંતરે હોવી જોઈએ.
અરીસો લેન્સથી $20\,cm$ અંતરે હોવાથી,લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $I_1$ લેન્સથી $v = 20\,cm - 5\,cm = 15\,cm$ અંતરે છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{15} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{15} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$
તેથી,$u = 30\,cm$. આમ,વસ્તુ લેન્સથી $30\,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવી છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ થી દરેક તારનું અંતર $d$ છે. બિંદુ $P$ ને તાર સાથે જોડતી રેખાઓ લંબ હોવાથી,બે તાર વચ્ચેનું અંતર એ $d$ અને $d$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે. તેથી,$d^2 + d^2 = (7\,cm)^2$,જે $2d^2 = 49$ આપે છે,તેથી $d = \frac{7}{\sqrt{2}}\,cm = \frac{7}{1.4} \times 10^{-2}\,m = 5 \times 10^{-2}\,m$.
લાંબા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi d}$ છે.
તાર $1$ $(i_1 = 8\,A)$ માટે,$B_1 = \frac{\mu_0 \times 8}{2\pi d}$.
તાર $2$ $(i_2 = 15\,A)$ માટે,$B_2 = \frac{\mu_0 \times 15}{2\pi d}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi d} \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B_{\text{net}} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi \times 5 \times 10^{-2}} \sqrt{8^2 + 15^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-2}} \sqrt{64 + 225} = \frac{2 \times 10^{-5}}{5} \times 17 = 68 \times 10^{-6}\,T$.

(B) આપેલ છે કે વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 = m_2 v_2$. તેથી,તેમના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{2}{3}$ થાય.
ન્યુક્લિયર દળ ઘનતા અચળ હોવાથી,ન્યુક્લિયસનું દળ તેના કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $m \propto r^3$,જ્યાં $r$ એ ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા છે.
આમ,$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$.
દળનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$.
આને આપેલ પદ $\left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કોષોનું સમતુલ્ય emf $(E_{eq})$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $(r_{eq})$ શોધીએ છીએ.
સમાંતરમાં જોડાયેલા કોષો માટે સમતુલ્ય emf નું સૂત્ર છે:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
અહીં $E_1 = 12 \, V$,$r_1 = 3 \, \Omega$ અને $E_2 = 6 \, V$,$r_2 = 6 \, \Omega$ આપેલ છે. નોંધો કે કોષો એવી રીતે જોડાયેલા છે કે તેમની પોલેરિટી એકબીજાની વિરુદ્ધ છે,તેથી:
$E_{eq} = \frac{\frac{12}{3} - \frac{6}{6}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{4 - 1}{\frac{2+1}{6}} = \frac{3}{\frac{3}{6}} = \frac{3}{0.5} = 6 \, V$
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies r_{eq} = 2 \, \Omega$
હવે,પરિપથ એક $6 \, V$ અને $2 \, \Omega$ ના કોષ અને $4 \, \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ $R$ ના શ્રેણી જોડાણમાં ફેરવાય છે.
પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i = \frac{E_{eq}}{r_{eq} + R} = \frac{6}{2 + 4} = \frac{6}{6} = 1 \, A$

(B) $LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,$Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ શોધો.
અહીં $R = 80\,\Omega$,$X_L = 70\,\Omega$,અને $X_C = 130\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$Z = \sqrt{80^2 + (130 - 70)^2}$
$Z = \sqrt{80^2 + 60^2}$
$Z = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$.
હવે,પાવર ફેક્ટરની ગણતરી કરો:
$\cos \phi = \frac{80}{100} = \frac{8}{10}$.
આને આપેલ પાવર ફેક્ટર $\frac{x}{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,$q$ વિદ્યુતભારને ઘેરતી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
ચોક્કસ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ ગણવા માટે,આપણે સંમિતિની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આપેલ લંબઘન પર $2 L \times 2 L \times L$ પરિમાણ ધરાવતો બીજો સમાન લંબઘન એવી રીતે મૂકો કે જેથી વિદ્યુતભાર $q$ બંને લંબઘનની સામાન્ય સપાટી પર રહે.
હવે,વિદ્યુતભાર $q$ એ $2 L \times 2 L \times 2 L$ પરિમાણ ધરાવતા મોટા લંબઘન (જે વાસ્તવમાં $2 L$ બાજુવાળો સમઘન છે) દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આ મોટી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,આ મોટા સમઘનની $6$ સપાટીઓમાંથી દરેકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોય છે.
તેથી,મોટા સમઘનની એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{face} = \frac{1}{6} \left( \frac{q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{q}{6 \varepsilon_0}$ થાય.
સપાટી '$S$' અને તેની વિરુદ્ધની સપાટી આ મોટા સમઘનની સપાટીઓનો ભાગ હોવાથી,વિરુદ્ધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{q}{6 \varepsilon_0}$ મળે છે.

(A) જ્યારે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોય,ત્યારે દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
અવરોધમાં મુક્ત થતી ઉષ્મીય ઉર્જા $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{V^2}{R} \times t$ છે,જ્યાં $t$ એ સમય છે.
પ્રથમ અવરોધ $R_1 = R$ માટે,મુક્ત થતી ઉર્જા $H_1 = \frac{V^2 t}{R}$ છે.
બીજા અવરોધ $R_2 = 3R$ માટે,મુક્ત થતી ઉર્જા $H_2 = \frac{V^2 t}{3R}$ છે.
મુક્ત થતી ઉષ્મીય ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\frac{V^2 t}{R}}{\frac{V^2 t}{3R}} = \frac{3R}{R} = 3:1$ થાય છે.

(C) $xy$ સમતલમાં રહેલા પ્રવાહ લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ $z$-અક્ષની સાથે લૂપના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$xy$ સમતલમાં (કોઇલના સમતલમાં) કોઈપણ બિંદુએ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ સમતલને લંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો માત્ર $z$-ઘટક છે. તેથી,$z = 0$ પર $B_y = 0$ થાય છે.
જેમ આપણે $z$-અક્ષથી $a$ જેટલા નિશ્ચિત અંતરે ($yz$ સમતલમાં) $z$-અક્ષની સાથે આગળ વધીએ છીએ,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વળાંક લે છે. $z > 0$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $y$-ઘટક $(B_y)$ ધન છે,અને $z < 0$ માટે,લૂપની સમપ્રમાણતા અને પ્રવાહની દિશાને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $y$-ઘટક $(B_y)$ ઋણ છે.
તેથી,$B_y$ વિરુદ્ધ $z$ નો આલેખ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થવો જોઈએ અને અસમપ્રમાણ (antisymmetric) વર્તણૂક દર્શાવવો જોઈએ,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) પ્રવાહની ગોઠવણી બે વળેલા તારની બનેલી છે. બિંદુ $O$ એ વિભાગ $BC$ અને $ET$ થી $a$ જેટલા લંબ અંતરે છે.
અર્ધ-અનંત તાર માટે,છેડાથી $r$ જેટલા લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિભાગ $AB$ અને $ED$ અનુક્રમે ખૂણા $B$ અને $E$ તરફ નિર્દેશિત છે,અને $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેમનું યોગદાન શૂન્ય છે કારણ કે બિંદુ $O$ આ વિભાગોની રેખા પર આવેલું છે.
વિભાગ $BC$ અને $ET$ બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $O$ પર $BC$ માં પ્રવાહને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બહારની તરફ (સપાટીને લંબ) નિર્દેશિત છે.
બિંદુ $O$ પર $ET$ માં પ્રવાહને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ બહારની તરફ નિર્દેશિત છે.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ નીચે મુજબ છે:
$B_0 = B_{BC} + B_{ET} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$.

(C) $i$ પ્રવાહ ધરાવતા $L$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ તેની ચાર બાજુઓને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું હોય છે.
એક બાજુ માટે,કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi L} (2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi L} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi L}$ છે.
ચાર બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \cdot \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi L} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L}$ થાય.
$L \gg R$ હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે નાના વર્તુળાકાર લૂપના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે.
$A = \pi R^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L} \right) (\pi R^2) = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 R^2 i}{L}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\phi = Mi$,તેથી $M = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 R^2}{L}$ મળે છે.

(D) $1$. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ સાર્વત્રિક અચળાંક $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ છે અને તે પ્રસરણની દિશા પર આધારિત નથી,તેથી વિધાન $A$ ખોટું છે.
$2$. માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે,જે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે (વિક્ષેપની ઘટના),તેથી વિધાન $B$ ખોટું છે.
$3$. વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતો મુજબ,પ્રકાશની ઝડપ સ્ત્રોતની ગતિથી સ્વતંત્ર છે,તેથી વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ માધ્યમના ગુણધર્મો (પરમિટિવિટી અને પરમીબિલિટી) દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે પ્રકાશની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે,તેથી વિધાન $D$ સાચું છે.
$5$. તેથી,વિધાન $C$ અને $D$ સાચા છે.

(C) $P$ બિંદુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = A_2 P - A_1 P = \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$A_1 P = D$ અને $A_2 P = \sqrt{D^2 + a^2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{D^2 + a^2} - D = \frac{\lambda}{2}$.
$a \ll D$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sqrt{D^2 + a^2} = D(1 + \frac{a^2}{D^2})^{1/2} \approx D(1 + \frac{a^2}{2D^2}) = D + \frac{a^2}{2D}$.
આને પથ તફાવતના સમીકરણમાં મૂકતા: $(D + \frac{a^2}{2D}) - D = \frac{\lambda}{2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{a^2}{2D} = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે,જે $a = \sqrt{\lambda D}$ આપે છે.
અહીં $\lambda = 800 \, nm = 800 \times 10^{-9} \, m = 8 \times 10^{-7} \, m$ અને $D = 5 \, cm = 0.05 \, m$ છે.
$a = \sqrt{8 \times 10^{-7} \times 0.05} = \sqrt{40 \times 10^{-9}} = \sqrt{400 \times 10^{-10}} = 20 \times 10^{-5} \, m = 0.2 \times 10^{-3} \, m = 0.2 \, mm$.

(D) ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_T$ અને રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_R$ વચ્ચેનું મહત્તમ લાઇન ઓફ સાઇટ અંતર $(d_M)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d_M = \sqrt{2Rh_T} + \sqrt{2Rh_R}$.
આપેલ છે: $h_T = 80\,m$,$h_R = 80\,m$ અને $R = 6.4 \times 10^6\,m$.
કિંમતો મૂકતા: $d_M = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 80} + \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 80}$.
$d_M = 2 \times \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 80} = 2 \times \sqrt{1024 \times 10^6} = 2 \times 32 \times 10^3\,m$.
$d_M = 64 \times 10^3\,m = 64\,km$.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં $\lambda_0 = 5500\,\mathring A$ આપેલ છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણની તરંગલંબાઈ $7000\,\mathring A$ કરતા વધારે હોય છે,જે $5500\,\mathring A$ કરતા મોટી છે. તેથી,તે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન કરી શકતું નથી.
અલ્ટ્રા-વાયોલેટ વિકિરણની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $100\,\mathring A$ થી $4000\,\mathring A$ ની વચ્ચે હોય છે,જે $5500\,\mathring A$ કરતા ઓછી છે. તેથી,લેમ્પના પાવરને ધ્યાનમાં લીધા વગર તે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન કરી શકે છે.
તેથી,$75\,W$ અને $10\,W$ બંને અલ્ટ્રા-વાયોલેટ લેમ્પ ઉત્સર્જન કરશે.
સાચો વિકલ્પ $D$ (માત્ર $C$ અને $D$) છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો $t$ સમય પછી બાકી રહેતો અંશ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
અહીં,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 30 \ min$ અને કુલ સમય $t = 90 \ min$ આપેલ છે.
પસાર થયેલા અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
આમ,અક્ષયિત રહેલા રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો અંશ $\frac{1}{8}$ છે.

(C) લાઇટ એમિટિંગ ડાયોડ $(LED)$ એ હેવીલી ડોપ્ડ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે.
તે ફક્ત ત્યારે જ પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે જ્યારે તે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય,કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સનું પુનઃસંયોજન ફોટોનના સ્વરૂપમાં ઊર્જા મુક્ત કરે છે.
તે રિવર્સ બાયસમાં હોય ત્યારે પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરતું નથી.
ઉત્સર્જિત પ્રકાશની ઊર્જા $(E = h
u)$ એ વપરાયેલ સેમિકન્ડક્ટર મટીરીયલના એનર્જી બેન્ડ ગેપ $(E_g)$ જેટલી અથવા તેનાથી થોડી ઓછી હોય છે.
તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે.

(A) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ ${}_{92}^{242}X$ છે.
$\alpha$-કણ ${}_{2}^{4}He$ છે,ઇલેક્ટ્રોન $(\beta^-)$ ${}_{-1}^{0}e$ છે,અને પોઝિટ્રોન $(\beta^+)$ ${}_{+1}^{0}e$ છે.
ઉત્સર્જન પ્રક્રિયા: ${}_{92}^{242}X \rightarrow 2({}_{2}^{4}He) + 1({}_{-1}^{0}e) + 2({}_{+1}^{0}e) + {}_{P}^{234}Y$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ: $92 = 2(2) + 1(-1) + 2(1) + P$.
$92 = 4 - 1 + 2 + P$.
$92 = 5 + P$.
$P = 92 - 5 = 87$.

(A) ધારો કે પ્રોટોનને ઉગમબિંદુથી $r$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. ઉગમબિંદુ પર રહેલા $q_1$ ને કારણે લાગતું બળ $F_1 = \frac{k (4q_0) q_0}{r^2}$ (અપાકર્ષી,જમણી તરફ) છે.
$x = 12 \, cm$ પર રહેલા $q_2$ ને કારણે લાગતું બળ $F_2 = \frac{k q_0 q_0}{(r - 12)^2}$ (આકર્ષી,ડાબી તરફ) છે.
કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,$F_1 = F_2$ હોવું જોઈએ:
$\frac{4 k q_0^2}{r^2} = \frac{k q_0^2}{(r - 12)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{r} = \frac{1}{r - 12}$
$2(r - 12) = r$
$2r - 24 = r$
$r = 24 \, cm$.
આમ,પ્રોટોન ઉગમબિંદુથી $24 \, cm$ ના અંતરે છે.

(A) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$P = 2\,\Omega$ અને $Q = 3\,\Omega$. ધારો કે સંતુલન લંબાઈ $l_1$ છે. તેથી $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100-l_1}$.
આને ઉકેલતા,$200 - 2l_1 = 3l_1 \Rightarrow 5l_1 = 200 \Rightarrow l_1 = 40\,cm$.
જ્યારે $3\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં $x\,\Omega$ નો શંટ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $Q' = \frac{3x}{3+x}$ થાય છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = l_1 + 22.5 = 40 + 22.5 = 62.5\,cm$.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{2}{Q'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ છે.
આમ,$Q' = 2 \times \frac{3}{5} = 1.2\,\Omega$.
$Q'$ માટેના સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{3x}{3+x} = 1.2$ મળે છે.
$3x = 1.2(3+x) \Rightarrow 3x = 3.6 + 1.2x \Rightarrow 1.8x = 3.6$.
તેથી,$x = 2\,\Omega$.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A = B \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ છે.
તેનું મૂલ્ય લેતા,$\varepsilon = \left| \frac{d}{dt} (B \pi r^2) \right| = B \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો: $B = 0.8 \, T$,$r = 10 \, cm = 0.1 \, m$,અને $\frac{dr}{dt} = -2 \, cm/s = -0.02 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = 0.8 \times \pi \times 2 \times 0.1 \times 0.02$.
$\varepsilon = 0.8 \times \pi \times 0.004 = 0.0032 \pi \, V$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$\varepsilon \approx 0.0032 \times 3.14159 \approx 0.010053 \, V$.
મિલીવોલ્ટ $(mV)$ માં ફેરવતા: $\varepsilon \approx 10.053 \, mV$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $10 \, mV$ મળે છે.

(A) ધારો કે સ્ત્રોત $S$ માંથી આવતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 256 \text{ W/m}^2$ છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{256}{2} = 128 \text{ W/m}^2$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે જેની પાસ અક્ષ આપાત પ્રકાશની ધ્રુવીભવન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે હોય,ત્યારે પારગમિત તીવ્રતા $I = I_{incident} \cos^2(\theta)$ થાય છે.
$P_2$ માટે,$P_1$ સાથેનો ખૂણો $\theta_1 = 60^{\circ}$ છે. તેથી,$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = 128 \times (\frac{1}{2})^2 = 128 \times \frac{1}{4} = 32 \text{ W/m}^2$.
$P_3$ માટે,$P_2$ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે. તેથી,$I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = 32 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 32 \times \frac{3}{4} = 24 \text{ W/m}^2$.
આમ,બિંદુ $O$ પર તીવ્રતા $24 \text{ W/m}^2$ છે.

(A) ના પ્રારંભિક મોલ: $(n_0)_A = \frac{320}{16} = 20 \text{ મોલ}$.
$B$ ના પ્રારંભિક મોલ: $(n_0)_B = \frac{320}{32} = 10 \text{ મોલ}$.
$2$ દિવસ પછી $A$ ના બાકી રહેલા મોલ ($T_{1/2} = 1$ દિવસ): $n_A = \frac{20}{2^{2/1}} = \frac{20}{4} = 5 \text{ મોલ}$.
$2$ દિવસ પછી $B$ ના બાકી રહેલા મોલ ($T_{1/2} = 0.5$ દિવસ): $n_B = \frac{10}{2^{2/0.5}} = \frac{10}{2^4} = \frac{10}{16} = 0.625 \text{ મોલ}$.
કુલ બાકી રહેલા મોલ: $n_{total} = 5 + 0.625 = 5.625 \text{ મોલ}$.
પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા: $N = 5.625 \times 6.023 \times 10^{23} \approx 3.388 \times 10^{24}$.
આમ,જવાબ આશરે $3.38$ છે.

(C) $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત $M$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2MqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha$-કણ માટે,$M_{\alpha} = 4M_p$ અને $q_{\alpha} = 2e$. પ્રોટોન માટે,$M_p = M_p$ અને $q_p = e$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{M_p q_p}{M_{\alpha} q_{\alpha}}} = \sqrt{\frac{M_p \cdot e}{4M_p \cdot 2e}} = \sqrt{\frac{1}{8}}$.
આને $\frac{1}{\sqrt{m}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 8$ મળે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. ઉપરના $AND$ ગેટને $\bar{A}$ અને $B$ ઇનપુટ મળે છે. તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \bar{A} \cdot B$ છે.
$2$. નીચેના $AND$ ગેટને $A$ અને $\bar{B}$ ઇનપુટ મળે છે. તેનું આઉટપુટ $Y_2 = A \cdot \bar{B}$ છે.
$3$. અંતિમ $OR$ ગેટ આ આઉટપુટને જોડે છે: $X = Y_1 + Y_2 = \bar{A}B + A\bar{B}$.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$XOR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
- જો $A=0, B=0$ હોય,તો $X = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
- જો $A=0, B=1$ હોય,તો $X = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$.
- જો $A=1, B=0$ હોય,તો $X = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$.
- જો $A=1, B=1$ હોય,તો $X = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$.
આમ,સાચું ટ્રુથ ટેબલ તે છે જેમાં $X=1$ ત્યારે જ હોય જ્યારે $A$ અને $B$ અલગ હોય,જે વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_E = q \vec{E} \cdot \vec{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{d}$ એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આપેલ છે: $q = 2 \times 10^{-2} \, C$,$\vec{E} = 30 \hat{i} \, N C^{-1}$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - 1)\hat{i} + (0 - 2)\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} \, m$.
હવે,$W_E = (2 \times 10^{-2}) \times (30 \hat{i}) \cdot (-\hat{i} - 2\hat{j})$.
$W_E = (2 \times 10^{-2}) \times (-30) \, J$.
$W_E = -60 \times 10^{-2} \, J = -0.6 \, J$.
કારણ કે $1 \, J = 1000 \, mJ$,તેથી $W_E = -0.6 \times 1000 \, mJ = -600 \, mJ$.

(B) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{V_{\max} - V_{\min}}{V_{\max} + V_{\min}}$
અહીં આપેલ છે કે,$V_{\max} = 14\,mV$ અને $V_{\min} = 6\,mV$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{14 - 6}{14 + 6}$
$\mu = \frac{8}{20}$
$\mu = 0.4$
તેથી,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $0.4$ છે.

(C) $N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે,$N_1 = 4$ અને $B_1 = 32 \ T$. તેથી,$32 = \frac{\mu_0 \cdot 4 \cdot i}{2R_1} \implies 32 = \frac{2 \mu_0 i}{R_1}$.
જ્યારે $L$ લંબાઈના તારને ખોલીને ફરીથી એક આંટા $(N_2 = 1)$ માં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે પરિઘ સમાન રહે છે: $L = 2\pi R_1 \cdot N_1 = 2\pi R_2 \cdot N_2$.
$N_1 = 4$ અને $N_2 = 1$ હોવાથી,$4(2\pi R_1) = 1(2\pi R_2)$,જે $R_2 = 4R_1$ આપે છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 i}{2R_2} = \frac{\mu_0 \cdot 1 \cdot i}{2(4R_1)} = \frac{\mu_0 i}{8R_1}$ છે.
$B_1$ અને $B_2$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 i / 8R_1}{2 \mu_0 i / R_1} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$B_2 = \frac{B_1}{16} = \frac{32}{16} = 2 \ T$.

(B) પોટેન્શિયોમીટરની સંવેદનશીલતા એટલે તેના દ્વારા માપી શકાય તેવો સૌથી નાનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$ ને વાયરની એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $k = V/L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંવેદનશીલતા એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,જેમ $k$ ઘટે છે,તેમ સંવેદનશીલતા વધે છે.
$k = V/L$ હોવાથી,$k$ ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે નિશ્ચિત વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ માટે પોટેન્શિયોમીટર વાયરની લંબાઈ $(L)$ વધારવી.
આમ,સંવેદનશીલતા એ વાયરની લંબાઈ $(L)$ ના સમપ્રમાણમાં અને પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(B) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(RP)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $RP = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$,જ્યાં $\mu$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$\theta$ એ વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના શંકુનો અડધો ખૂણો છે,અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
વિભેદન શક્તિ સુધારવા માટે,અંશ $(2 \mu \sin \theta)$ વધારવો જોઈએ અથવા છેદ $(1.22 \lambda)$ ઘટાડવો જોઈએ.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ વધારવાથી (દા.ત. ઓઈલ ઇમર્સનનો ઉપયોગ કરીને) વિભેદન શક્તિ સીધી રીતે વધે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(A) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તટસ્થ હોય છે અને તેના પર કોઈ વીજભાર હોતો નથી; તેથી,તેઓ વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા વિચલિત થતા નથી.
વિધાન $II$ ખોટું છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ ના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સાચો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે. કારણ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$,તેથી સાચો સંબંધ $E_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} B_0$ છે.

(A) પરિપથ $(a)$ માં,ઈમ્પિડન્સ $Z_a = R = 40\,\Omega$ છે. rms પ્રવાહ $I_a = \frac{V}{Z_a} = \frac{220}{40} = 5.5\,A$ છે.
પરિપથ $(b)$ માં,ઈમ્પિડન્સ $Z_b = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
કારણ કે $Z_b = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \geq R$ છે,તેથી $Z_b \geq Z_a$ થાય.
તેથી,પ્રવાહ $I_b = \frac{V}{Z_b} \leq \frac{V}{Z_a} = I_a$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે પરિપથ $(b)$ માં rms પ્રવાહ ક્યારેય પરિપથ $(a)$ ના rms પ્રવાહ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં.

(B) ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 25\,cm^2 = 25 \times 10^{-4}\,m^2$ છે. તેની બાજુની લંબાઈ $\ell = \sqrt{A} = 5 \times 10^{-2}\,m = 0.05\,m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 40.0\,T$ અને અવરોધ $R = 10\,\Omega$ છે.
જ્યારે લૂપને $t = 1.0\,s$ સમયમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = B\ell v$ છે,જ્યાં $v = \frac{\ell}{t} = \frac{0.05\,m}{1.0\,s} = 0.05\,m/s$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B\ell v}{R} = \frac{40 \times 0.05 \times 0.05}{10} = 0.01\,A$ છે.
લૂપ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = Bi\ell = 40 \times 0.01 \times 0.05 = 0.02\,N$ છે.
કરવું પડતું કાર્ય $W = F \times \ell = 0.02 \times 0.05 = 0.001\,J = 1 \times 10^{-3}\,J$ છે.

(B) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ છે,જ્યાં $P$ એ ડાબા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે અને $Q$ એ જમણા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે.
કિસ્સો $1$: $R_1$ અને $R_2$ શ્રેણીમાં છે. $P = R_1 + R_2$,$Q = 10 \ \Omega$,$l = 60 \ cm$.
$\frac{R_1 + R_2}{10} = \frac{60}{100-60} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$.
$R_1 + R_2 = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \ \Omega$.
કિસ્સો $2$: $R_1$ અને $R_2$ સમાંતરમાં છે. $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$,$Q = 3 \ \Omega$,$l = 40 \ cm$.
$\frac{R_1 R_2 / (R_1 + R_2)}{3} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
$\frac{R_1 R_2}{3(R_1 + R_2)} = \frac{2}{3} \Rightarrow R_1 R_2 = 2(R_1 + R_2)$.
$R_1 + R_2 = 15 \ \Omega$ કિંમત મૂકતા:
$R_1 R_2 = 2 \times 15 = 30 \ \Omega^2$.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ છે.
આપેલ $V = 2ar^2 + b$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$E = -\frac{d}{dr}(2ar^2 + b) = -4ar$ મળે છે.
સમાન રીતે વીજભારિત ગોળા માટે ગૌસના નિયમ મુજબ,અંદરના ભાગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{\rho r}{3\varepsilon}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ કદ વીજભાર ઘનતા છે.
$E$ માટેના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા: $-4ar = \frac{\rho r}{3\varepsilon}$.
$\rho$ માટે ઉકેલતા: $\rho = -12a\varepsilon$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\rho = -\lambda a\varepsilon$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 12$ મળે છે.

(B) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ માટે,સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ.
રેઝોનન્સ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે: $X_L = X_C$.
$2\pi fL = \frac{1}{2\pi fC}$.
કેપેસિટન્સ $C$ માટે સૂત્ર: $C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$.
આપેલ છે: $L = 2\,\mu\text{H} = 2 \times 10^{-6}\text{ H}$,$f = 7\,\text{kHz} = 7 \times 10^3\text{ Hz}$,અને $\pi = \frac{22}{7}$.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{1}{4 \times (\frac{22}{7})^2 \times (7 \times 10^3)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{4 \times \frac{484}{49} \times 49 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{4 \times 484 \times 2} = \frac{1}{3872}\text{ F}$.
આને $\frac{1}{x}\text{ F}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3872$ મળે છે.

(B) ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમો માટે,વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $\mu_r = 1$ આપેલ હોવાથી,$\mu_1 = \sqrt{2.8}$ અને $\mu_2 = \sqrt{6.8}$ મળે.
જ્યારે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ હોય,ત્યારે આપાતકોણ $i$ એ બ્રુસ્ટરનો ખૂણો હોય છે,જે $\tan i = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ શરતનું પાલન કરે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan i = \sqrt{\frac{6.8}{2.8}}$.
આપણે અપૂર્ણાંકને $\frac{6.8}{2.8} = \frac{2.8 + 4}{2.8} = 1 + \frac{4}{2.8} = 1 + \frac{40}{28} = 1 + \frac{10}{7}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
આમ,$\tan i = \sqrt{1 + \frac{10}{7}}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\tan i = \sqrt{1 + \frac{10}{\theta}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\theta = 7$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\varepsilon$ એ કોષનું $EMF$ છે અને $r$ તેનો આંતરિક અવરોધ છે. ધારો કે $x$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષને $R_1 = 5\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V_1 = \frac{\varepsilon R_1}{r + R_1} = \frac{5\varepsilon}{r + 5}$ થાય છે.
તટસ્થ બિંદુ $l_1 = 200\,cm$ પર છે,તેથી $V_1 = x l_1 = 200x$.
આમ,$\frac{5\varepsilon}{r + 5} = 200x$ --- (સમીકરણ $1$)
જ્યારે કોષને $R_2 = 15\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V_2 = \frac{\varepsilon R_2}{r + R_2} = \frac{15\varepsilon}{r + 15}$ થાય છે.
તટસ્થ બિંદુ $l_2 = 300\,cm$ પર છે,તેથી $V_2 = x l_2 = 300x$.
આમ,$\frac{15\varepsilon}{r + 15} = 300x$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{5\varepsilon / (r + 5)}{15\varepsilon / (r + 15)} = \frac{200x}{300x}$
$\frac{5}{r + 5} \times \frac{r + 15}{15} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 15}{3(r + 5)} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 15}{r + 5} = 2$
$r + 15 = 2r + 10$
$r = 5\,\Omega$.

(D) વિદ્યુતભાર $Q(t) = \alpha t - \beta t^2 + \gamma t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ $i$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે: $i = \frac{dQ}{dt} = \alpha - 2\beta t + 3\gamma t^2$.
ન્યૂનતમ પ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે પ્રવાહનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{di}{dt} = -2\beta + 6\gamma t = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{2\beta}{6\gamma} = \frac{\beta}{3\gamma}$ મળે છે.
હવે,$t = \frac{\beta}{3\gamma}$ ની કિંમત પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$i_{min} = \alpha - 2\beta \left(\frac{\beta}{3\gamma}\right) + 3\gamma \left(\frac{\beta}{3\gamma}\right)^2$
$i_{min} = \alpha - \frac{2\beta^2}{3\gamma} + 3\gamma \left(\frac{\beta^2}{9\gamma^2}\right)$
$i_{min} = \alpha - \frac{2\beta^2}{3\gamma} + \frac{\beta^2}{3\gamma}$
$i_{min} = \alpha - \frac{\beta^2}{3\gamma}$.

(D) વાંચવાના ચશ્માનો ઉપયોગ આંખના નજીકના બિંદુને પ્રમાણભૂત નજીકના બિંદુ $25 \, cm$ પર લાવવા માટે થાય છે.
વાંચવાના ચશ્મા માટે,વસ્તુને પ્રમાણભૂત નજીકના બિંદુ $u = -25 \, cm$ પર મૂકવામાં આવે છે,અને પ્રતિબિંબ વ્યક્તિના વાસ્તવિક નજીકના બિંદુ $v$ પર રચાય છે.
વાંચવાના ચશ્માનો પાવર $P = +2.0 \, D$ છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{2} \, m = 50 \, cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{50}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{25} = \frac{1}{50}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$
$v = -50 \, cm$.
આ વ્યક્તિ માટે સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર $50 \, cm$ છે.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = NIA$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા,$I$ એ પ્રવાહ અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે કોઈલ $A$ અને $B$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ સમાન છે,તેથી $M_A = M_B$.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે $N_A I_A A_A = N_B I_B A_B$.
વર્તુળાકાર કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે. તેથી,$A_A = \pi (r_A)^2$ અને $A_B = \pi (r_B)^2$.
કિંમતો $r_A = 10 \ cm = 0.1 \ m$ અને $r_B = 20 \ cm = 0.2 \ m$ મૂકતા:
$N_A I_A \pi (0.1)^2 = N_B I_B \pi (0.2)^2$
$N_A I_A (0.01) = N_B I_B (0.04)$
બંને બાજુ $0.01$ વડે ભાગતા,આપણને $N_A I_A = 4 N_B I_B$ મળે છે.