JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) નળાકાર તારની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 l}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ મળે.
આપેલ કિંમતો $m = 0.4 \, g, \Delta m = 0.01 \, g$,$l = 8 \, cm, \Delta l = 0.04 \, cm$,અને $r = 6 \, mm, \Delta r = 0.03 \, mm$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{0.4} + 2 \left( \frac{0.03}{6} \right) + \frac{0.04}{8}$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.025 + 0.01 + 0.005 = 0.04$.
ટકાવારી ત્રુટિ શોધવા માટે,$100 \%$ વડે ગુણતા:
$\text{ટકાવારી ત્રુટિ} = 0.04 \times 100 \% = 4 \%$.

(B) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ અને તેના વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{p^2}{2m}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $p_i$ છે. તો પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{p_i^2}{2m}$ થશે.
વેગમાનમાં $50 \%$ નો વધારો થતા,અંતિમ વેગમાન $p_f = p_i + 0.50 p_i = 1.5 p_i$ થશે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{p_f^2}{2m} = \frac{(1.5 p_i)^2}{2m} = \frac{2.25 p_i^2}{2m} = 2.25 KE_i$ થશે.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{KE_f - KE_i}{KE_i} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2.25 KE_i - KE_i}{KE_i} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$.

(B) $M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M_{total}R^2$ હોય છે.
$M$ દળ ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ માટે,દળ એવી રીતે વિતરિત થયેલું છે કે દરેક દળના ઘટકનું કેન્દ્રથી અંતર બરાબર $R$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ને $\int r^2 dm$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અર્ધવર્તુળાકાર રીંગનો દરેક દળનો ઘટક $dm$ કેન્દ્રથી $R$ જેટલા અચળ અંતરે હોવાથી,આપણને $I = \int R^2 dm = R^2 \int dm = MR^2$ મળે છે.
આને આપેલા સમીકરણ $\frac{1}{x} MR^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{1}{x} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(B) $L$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{n V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $L = 40\,cm = 0.4\,m$,હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $V = 360\,ms^{-1}$.
બીજા હાર્મોનિક માટે,$n = 2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f_2 = \frac{2 \times 360}{2 \times 0.4} = \frac{360}{0.4} = 900\,Hz$.

(B) પરપોટો અચળ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $B$ એ નીચેની તરફ લાગતા સ્નિગ્ધતા બળ $F_v$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$B = F_v$
ઉત્પ્લાવક બળ માટે આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત અને સ્નિગ્ધતા બળ માટે સ્ટોક્સનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{4}{3} \pi R^3 \rho g = 6 \pi \eta R v$
જ્યાં $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ દ્રાવણની ઘનતા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,અને $v$ એ ટર્મિનલ વેગ છે.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 6\,mm \implies R = 3\,mm = 3 \times 10^{-3}\,m$
ઘનતા $\rho = 1750\,kg/m^3$
વેગ $v = 0.35\,cm/s = 0.35 \times 10^{-2}\,m/s$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\eta = \frac{2 R^2 \rho g}{9 v}$
કિંમતો મૂકતા:
$\eta = \frac{2 \times (3 \times 10^{-3})^2 \times 1750 \times 10}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{2 \times 9 \times 10^{-6} \times 17500}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{2 \times 10^{-6} \times 17500}{0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{0.035}{0.0035} = 10\,Pa\cdot s$

(A) કણ $P$ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. $t=0$ સમયે,સ્થાન સદિશ $OP$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ (અથવા $\pi/6$ રેડિયન) નો ખૂણો બનાવે છે.
કોઈપણ સમય $t$ પર,કણ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\omega t$ જેટલા ખૂણે ફરે છે.
તેથી,$t$ સમયે સ્થાન સદિશ $OP$ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો કુલ ખૂણો $\theta = \omega t + 30^{\circ} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ છે.
$x$-અક્ષ પર સ્થાન સદિશ $OP$ નો પ્રક્ષેપ $x(t) = r \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x(t) = r \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ મળે છે.

(C) ટોર્ક $\tau = r \times F$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[L] \times [MLT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]$. જે $(II)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(B)$ પ્રતિબળ $= F/A$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$. જે $(IV)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(C)$ દબાણ પ્રચલન $= \Delta P / \Delta x$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[ML^{-1}T^{-2}] / [L] = [ML^{-2}T^{-2}]$. જે $(I)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(D)$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$,$F = 6\pi \eta r v$ પરથી. પારિમાણિક સૂત્ર: $[MLT^{-2}] = [\eta] [L] [LT^{-1}] \Rightarrow [\eta] = [ML^{-1}T^{-1}]$. જે $(III)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(III)$ છે.

(A) ગતિપથનું સમીકરણ $y = x - \frac{x^2}{20}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $y$ ની કિંમત શોધવી પડશે જ્યારે ગતિપથનો ઢાળ શૂન્ય હોય,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 0$.
સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x - \frac{x^2}{20}) = 1 - \frac{2x}{20} = 1 - \frac{x}{10}$.
વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1 - \frac{x}{10} = 0 \Rightarrow x = 10\,m$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $y_{\max}$ શોધવા માટે $x = 10$ ની કિંમત ગતિપથના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y_{\max} = 10 - \frac{(10)^2}{20} = 10 - \frac{100}{20} = 10 - 5 = 5\,m$.

(C) લોડ દ્વારા લાગતું બળ $F = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 5000\,kg$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $F = 5000 \times 10 = 50000\,N$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 250\,cm^2 = 250 \times 10^{-4}\,m^2 = 2.5 \times 10^{-2}\,m^2$ છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ,પ્રવાહી પર લાગતું દબાણ સમગ્ર પાત્રમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે. લોડ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{F}{A}$ છે.
$P = \frac{50000}{250 \times 10^{-4}} = \frac{5 \times 10^4}{2.5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^6\,Pa$.

(D) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ છે,જ્યાં $M_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$L$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \sqrt{\frac{GM_e}{r}} \cdot r = m \sqrt{GM_e} \cdot r^{1/2}$.
આ દર્શાવે છે કે $L \propto r^{1/2}$.
ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પ્રારંભિક અંતર $r_1 = r$ છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી નવું અંતર તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા આઠ ગણું વધારવામાં આવે છે,એટલે કે નવું અંતર $r_2 = r + 8r = 9r$ થાય.
હવે,નવા કોણીય વેગમાન $L'$ અને પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{L'}{L} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{1/2} = \left( \frac{9r}{r} \right)^{1/2} = (9)^{1/2} = 3$.
તેથી,નવું કોણીય વેગમાન $L' = 3L$ થશે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K = \frac{f}{2} kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$f$ અને $k$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં છે: $K \propto T$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}\,C = 27 + 273 = 300\,K$ આપેલ છે.
ધારો કે $K_1$ એ $T_1$ તાપમાને ગતિઊર્જા છે અને $K_2$ એ $T_2$ તાપમાને ગતિઊર્જા છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$K_2 = 2K_1$.
સમપ્રમાણતા $K_1 / K_2 = T_1 / T_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 / 2 = 300 / T_2$
$T_2 = 600\,K$.
તાપમાનને ફરીથી સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ}\,C$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ આવેલા બિંદુ માટે,ગુરુત્વપ્રવેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g(h) = \frac{GM}{(R+h)^2}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સમીકરણને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$g(h) = \frac{GM}{R^2(1 + \frac{h}{R})^2}$
$g(h) = \frac{GM}{R^2} (1 + \frac{h}{R})^{-2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,તેથી:
$g(h) = g (1 + \frac{h}{R})^{-2}$
શરત $h \ll R$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $|x| \ll 1$:
$(1 + \frac{h}{R})^{-2} \approx 1 - \frac{2h}{R}$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$g(h) \approx g (1 - \frac{2h}{R})$
આમ,$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g^{\prime} = g(1 - \frac{2h}{R})$ મળે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ તાપમાન $T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400\,K$ અને $T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$.
વળી,કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
આપેલ છે કે $W = 2\,kJ$,તેથી $0.25 = \frac{2\,kJ}{Q_1}$.
તેથી,$Q_1 = \frac{2}{0.25} = 8\,kJ$.

(C) વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે,અંતર નહીં (અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે). તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં 'અંતર' શબ્દનો ઉલ્લેખ છે.
પ્રવેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $\int a \, dt = \int \frac{dv}{dt} \, dt = \Delta v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વેગમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) પગલું $1$: અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરો.
$P_i = P_f$
$(0.1)(400) = (0.1 + 3.9)v$
$40 = 4v$
$v = 10\,m/s$
પગલું $2$: ખરબચડી સપાટી પર બ્લોક-ગોળી તંત્રની ગતિનું વિશ્લેષણ કરો.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu (M+m)g$.
પ્રવેગ (મંદન) $a = \frac{f}{M+m} = \mu g$.
પગલું $3$: ઘર્ષણાંક $\mu$ શોધવા માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરો.
$v_f^2 = v_i^2 + 2as$
$0 = (10)^2 - 2(\mu g)(20)$
$0 = 100 - 40 \mu (10)$
$400 \mu = 100$
$\mu = \frac{100}{400} = 0.25$

(A) બંને છેડે જડેલા તાર માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{v}{2\ell}$ છે,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને $\ell$ એ તારની લંબાઈ છે.
તારની ઝડપ $v$ એ તારના તણાવ અને રેખીય ઘનતા પર આધાર રાખે છે,જે અચળ રહે છે,તેથી $f \propto \frac{1}{\ell}$ મળે છે.
તેથી,$f_1 \ell_1 = f_2 \ell_2$.
અહીં $f_1 = 120\,Hz$,$\ell_1 = 90\,cm$,અને $f_2 = 180\,Hz$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $120 \times 90 = 180 \times \ell_2$.
$\ell_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60\,cm$.

(A) સળિયાને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવાથી ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma = Y \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દબાણ બળ $F = \text{સ્ટ્રેસ} \times A = Y A \alpha \Delta T$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
$A = 10^{-4}\,m^2$
$\alpha = 10^{-5}\,K^{-1}$
$\Delta T = 200^{\circ}C - 0^{\circ}C = 200\,K$
કિંમતો મૂકતા:
$F = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-4}) \times (10^{-5}) \times (200)$
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-9} \times 200$
$F = 2 \times 10^2 \times 200 = 400 \times 100 = 4 \times 10^4\,N$.
આમ,ઉદ્ભવતું દબાણ બળ $4 \times 10^4\,N$ છે.

(A) સૌથી ઊંચા બિંદુએ,અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = 0$ થાય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
પોલા ગોળાકાર દડા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3} mR^2$ છે. શુદ્ધ ગબડતી ગતિના કિસ્સામાં,$v = R\omega$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \times (\frac{2}{3} mR^2) \times (\frac{v}{R})^2$
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{3} mv^2 = \frac{5}{6} mv^2$
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$KE_i = PE_f$
$\frac{5}{6} mv^2 = mgh$
$h = \frac{5v^2}{6g}$
અહીં $v = 3\, m/s$ અને $g = 10\, m/s^2$ લેતા:
$h = \frac{5 \times (3)^2}{6 \times 10} = \frac{5 \times 9}{60} = \frac{45}{60} = 0.75\, m$
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $0.75\, m = 75\, cm$.

(A) આપેલ છે:
દળ $M = 5\,kg$
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 10\,kg\,m/s$
બળ $F = 2\,N$
સમયગાળો $\Delta t = 5\,s$
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ લાગુ પાડેલા આઘાત જેટલો હોય છે:
$\Delta P = F \times \Delta t = P_f - P_i$
$2\,N \times 5\,s = P_f - 10\,kg\,m/s$
$10 = P_f - 10$
અંતિમ વેગમાન $P_f = 20\,kg\,m/s$
ગતિઊર્જા $KE$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $KE = \frac{P^2}{2M}$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{P_i^2}{2M} = \frac{10^2}{2 \times 5} = \frac{100}{10} = 10\,J$
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{P_f^2}{2M} = \frac{20^2}{2 \times 5} = \frac{400}{10} = 40\,J$
ગતિઊર્જામાં થતો વધારો = $KE_f - KE_i = 40\,J - 10\,J = 30\,J$.

(A) ભૌતિક રાશિ માટેનું સૂત્ર $P = \frac{a^2 b^3}{c \sqrt{d}}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$P$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100 \%$ વડે ગુણીશું:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 \% = \left( 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100 \%$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1 \%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4 \%$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 \% = 2(1 \%) + 3(2 \%) + 3 \% + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$= 2 \% + 6 \% + 3 \% + 2 \% = 13 \%$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 200 \, N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g(1 - d/R)$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ ઊંડાઈ $d = R/2$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = g(1 - (R/2)/R) = g(1 - 1/2) = g/2$.
ઊંડાઈ $d$ પર પદાર્થનું વજન $W' = mg' = m(g/2) = (mg)/2$ થાય.
$mg = 200 \, N$ હોવાથી,$W' = 200/2 = 100 \, N$ મળે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં વેગ $v$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અચળ હોવાથી,અવધિ એ $\sin(2\theta)$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \sin(2\theta)$.
આપેલ છે કે $\theta_1 = 15^{\circ}$ અને $R_1 = 50\,m$. $\theta_2 = 45^{\circ}$ માટે આપણે $R_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sin(2\theta_1)}{\sin(2\theta_2)} = \frac{\sin(2 \times 15^{\circ})}{\sin(2 \times 45^{\circ})} = \frac{\sin(30^{\circ})}{\sin(90^{\circ})}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{50}{R_2} = \frac{0.5}{1} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$R_2 = 50 \times 2 = 100\,m$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન તેના કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $P_i = m \cdot v + 2m \cdot 0 = mv$
અથડામણ પછી,બંને કણો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,જેથી કુલ દળ $(m + 2m) = 3m$ થાય છે.
ધારો કે સંયુક્ત દળનો અંતિમ વેગ $v'$ છે.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન: $P_f = (3m) \cdot v'$
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $mv = 3m \cdot v'$
$v'$ માટે ઉકેલતા: $v' = \frac{mv}{3m} = \frac{v}{3}$

(C) વિવિધ પ્રકારના વાયુઓ માટે સ્વતંત્રતાની કોટિ $(f)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. એકપરમાણ્વીય વાયુઓ: આમાં માત્ર $3$ સ્થાનાંતરીય સ્વતંત્રતાની કોટિ હોય છે. તેથી,$(A) - (I)$.
$2$. દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓ: આમાં $3$ સ્થાનાંતરીય અને $2$ ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાની કોટિ હોય છે. તેથી,$(B) - (III)$.
$3$. અદ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓ: આમાં $3$ સ્થાનાંતરીય,$2$ ભ્રમણીય અને $1$ કંપન સ્વતંત્રતાની કોટિ હોય છે. તેથી,$(C) - (IV)$.
$4$. બહુપરમાણ્વીય વાયુઓ: આમાં $3$ સ્થાનાંતરીય,$3$ ભ્રમણીય અને એકથી વધુ કંપન સ્વતંત્રતાની કોટિ હોય છે. તેથી,$(D) - (II)$.
આમ,સાચી જોડ $(A) - (I), (B) - (III), (C) - (IV), (D) - (II)$ છે.

(D) પાત્ર $A$ માં સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે કે $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = V/8$.
$P \cdot V = P_A \cdot (V/8) \implies P_A = 8P$.
પાત્ર $B$ માં એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે,જ્યાં એકપરમાણ્વિય વાયુ માટે $\gamma = 5/3$ છે.
$P \cdot V^{5/3} = P_B \cdot (V/8)^{5/3}$.
$P_B = P \cdot (V / (V/8))^{5/3} = P \cdot (8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$.
આમ,$P_B = 32P$.
વાયુ $B$ ના અંતિમ દબાણ અને વાયુ $A$ ના અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_B}{P_A} = \frac{32P}{8P} = 4$ છે.

(C) પૃથ્વીની આસપાસ $r$ અંતરે ફરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે કક્ષીય ઝડપ ઉપગ્રહના દળ પર આધારિત નથી અને તે કક્ષાની ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$
આપેલ છે:
પ્રથમ ઉપગ્રહની ત્રિજ્યા,$r_1 = r$
બીજા ઉપગ્રહની ત્રિજ્યા,$r_2 = 3r$
કક્ષીય ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3r}{r}} = \sqrt{3}$
તેથી,કક્ષીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\sqrt{3}: 1$ છે.

(B) સ્થિર તરલ માટે,સમાન આડી ઊંડાઈ $h$ પરના કોઈપણ બિંદુએ દબાણ $P = P_{atm} + \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે આપેલ આડી સપાટી માટે $P_{atm}$,$\rho$,$g$,અને $h$ અચળ છે,તેથી સમાન સ્તરે આવેલા તમામ બિંદુઓ પર દબાણ સમાન હોય છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ અદબનીય તરલ પર લગાડવામાં આવતા દબાણમાં થતો ફેરફાર તરલના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t + \delta)$ છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાન $x = \frac{A}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \sin(\omega(0) + \delta) \Rightarrow \sin \delta = \frac{1}{2}$.
આનાથી $[0, 2\pi)$ અંતરાલમાં $\delta$ માટે બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $\delta = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\delta = \frac{5\pi}{6}$.
કણનો વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \delta)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v(0) = A\omega \cos \delta$.
કણ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી,વેગ ધન $(v > 0)$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos \delta > 0$.
$\delta = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ (માન્ય).
$\delta = \frac{5\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ (અમાન્ય).
તેથી,સાચું મૂલ્ય $\delta = \frac{\pi}{6}$ છે.

(A) $1$. સ્થાન-સમયનો આલેખ $x$-અક્ષ પર શાળાથી અંતર અને $t$-અક્ષ પર સમય દર્શાવે છે. શાળા ઉગમબિંદુ $(x=0)$ પર છે.
$2$. આલેખમાં,$A$ નો $x$-અંતઃખંડ $B$ ના $x$-અંતઃખંડ કરતા ઓછો છે. તેથી,$A$ શાળાની નજીક રહે છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$3$. સ્થાન-સમયના આલેખનો ઢાળ વેગ $(v = dx/dt)$ દર્શાવે છે. રેખા $B$ નો ઢાળ રેખા $A$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,$B$ એ $A$ કરતા ઝડપથી મુસાફરી કરે છે. વિધાન $(E)$ સાચું છે.
$4$. તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{total}} = \Delta KE = KE_f - KE_i$
અહીં,$W_{\text{total}} = W_{\text{friction}} + W_{\text{gravity}}$.
બ્લોક ઉપરથી શરૂ થાય છે અને નીચે અટકે છે,તેથી ઊંચાઈમાં ચોખ્ખો ફેરફાર $h = 2r = 2 \times 0.15\,m = 0.3\,m$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mg \times h = 1 \times 10 \times 0.3 = 3\,J$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (22)^2 = \frac{484}{2} = 242\,J$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = 0\,J$ છે (કારણ કે તે અટકી જાય છે).
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$W_f + W_g = KE_f - KE_i$
$W_f + 3 = 0 - 242$
$W_f = -242 - 3 = -245\,J$.
તેથી,નળી (ઘર્ષણ) દ્વારા બ્લોક પર થયેલું કાર્ય $-245\,J$ છે.

(D) ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો કદ મૂળ કદના $\frac{1}{64}$ ગણું થઈ જાય,તો $\frac{V'}{V} = \frac{1}{64} = \left(\frac{R'}{R}\right)^3$. આમ,$\frac{R'}{R} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $R' = \frac{R}{4}$.
પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું ન હોવાથી,તેનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ સંરક્ષિત રહે છે. નક્કર ગોળાની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
$\frac{2}{5} M R^2 \omega_1 = \frac{2}{5} M (R')^2 \omega_2$
$R^2 \omega_1 = \left(\frac{R}{4}\right)^2 \omega_2$
$R^2 \omega_1 = \frac{R^2}{16} \omega_2$
$\omega_2 = 16 \omega_1$
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\frac{2\pi}{T_2} = 16 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right)$,જે સૂચવે છે કે $T_2 = \frac{T_1}{16}$.
$T_1 = 24 \text{ h}$ આપેલ હોવાથી,આપણને $T_2 = \frac{24}{16} \text{ h}$ મળે છે.
આને $\frac{24}{x} \text{ h}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 16$ મળે છે.

(D) લંબગત હાર્મોનિક તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 5 \sin(6t + 0.003x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 6\,rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = 0.003\,cm^{-1}$.
$k$ ને $m^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીશું કારણ કે $1\,cm^{-1} = 100\,m^{-1}$.
તેથી,$k = 0.003 \times 100 = 0.3\,m^{-1}$.
તરંગનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{6}{0.3} = 20\,ms^{-1}$.

(D) પિત્તળના તારમાં તણાવ $(T_1)$ એ $1.14\,kg$ દળને ટેકો આપે છે:
$T_1 = 1.14 \times g = 1.14 \times 10 = 11.4\,N$.
સ્ટીલના તારમાં તણાવ $(T_2)$ એ $2\,kg$ અને $1.14\,kg$ બંને દળને ટેકો આપે છે:
$T_2 = (2 + 1.14) \times g = 3.14 \times 10 = 31.4\,N$.
સ્ટીલના તારમાં લંબાઈમાં વધારો $(\Delta L)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta L = \frac{T_2 L}{A Y} = \frac{T_2 L}{(\pi r^2) Y}$.
આપેલ છે: $T_2 = 31.4\,N$, $L = 1.6\,m$, $r = 0.2\,cm = 0.2 \times 10^{-2}\,m$, $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
$\Delta L = \frac{31.4 \times 1.6}{\pi \times (0.2 \times 10^{-2})^2 \times 2 \times 10^{11}} = \frac{50.24}{3.14 \times 0.04 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{50.24}{2.512 \times 10^7} \approx 20 \times 10^{-6}\,m$.
આમ, લંબાઈમાં વધારો $20 \times 10^{-6}\,m$ છે.

(C) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
કુલ અંતર $= x + x = 2x$.
પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{v_1}$.
બીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{x}{v_2}$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} = x \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)$.
સરેરાશ વેગ $v = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2x}{x \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)}$.
અંશ અને છેદમાંથી $x$ દૂર કરતા,આપણને $v = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\frac{2}{v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$ મળે છે.

(D) સિસ્ટમની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f_1 = 5$ છે (વાઇબ્રેશનલ મોડ્સને અવગણતા).
નિયોન $(Ne)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
$n_1$ મોલ વાયુ $1$ ની આંતરિક ઉર્જા $U_1 = n_1 \frac{f_1}{2} RT$ છે.
$n_2$ મોલ વાયુ $2$ ની આંતરિક ઉર્જા $U_2 = n_2 \frac{f_2}{2} RT$ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = U_1 + U_2 = (n_1 \frac{f_1}{2} + n_2 \frac{f_2}{2}) RT$.
અહીં $n_1 = 2$ (ઓક્સિજન) અને $n_2 = 4$ (નિયોન) આપેલ છે.
$U = (2 \times \frac{5}{2} + 4 \times \frac{3}{2}) RT$.
$U = (5 + 6) RT = 11 RT$.
આમ,કુલ આંતરિક ઉર્જા $11 RT$ છે.

(A) વર્નિયર કેલિપર્સની લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ $0.1\,mm = 0.01\,cm$ છે.
શૂન્ય ત્રુટિ ધન છે કારણ કે વર્નિયર સ્કેલનો શૂન્ય મુખ્ય સ્કેલના શૂન્યની જમણી બાજુએ છે.
$\text{શૂન્ય ત્રુટિ} = + (6 \times LC) = + (6 \times 0.1\,mm) = + 0.6\,mm = + 0.06\,cm$.
અવલોકિત રીડિંગ નીચે મુજબ છે: $\text{અવલોકિત રીડિંગ} = MSR + (VSR \times LC)$.
અહીં,$MSR = 3.2\,cm$ અને $VSR = 4$.
$\text{અવલોકિત રીડિંગ} = 3.2\,cm + (4 \times 0.01\,cm) = 3.2\,cm + 0.04\,cm = 3.24\,cm$.
સુધારેલ વ્યાસ: $\text{વ્યાસ} = \text{અવલોકિત રીડિંગ} - \text{શૂન્ય ત્રુટિ}$.
$\text{વ્યાસ} = 3.24\,cm - 0.06\,cm = 3.18\,cm$.

(B) અક્ષાંશ $\lambda$ પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ છે.
વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ કેન્દ્રત્યાગી બળ ઉત્પન્ન કરે છે,જે ગુરુત્વપ્રવેગના અસરકારક મૂલ્યમાં ફેરફાર કરે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે. ધ્રુવો પર,$\lambda = 90^{\circ}$ હોવાથી $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય,એટલે કે અસર શૂન્ય (ન્યૂનતમ) હોય છે. વિષુવવૃત્ત પર,$\lambda = 0^{\circ}$ હોવાથી $\cos 0^{\circ} = 1$ થાય,એટલે કે અસર $R\omega^2$ જેટલી હોય છે,જે $g$ માં થતો મહત્તમ ઘટાડો છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) ઉપગ્રહની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + h = R + R = 2R$ છે.
કક્ષીય વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$. આ કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{gR^2}{2R}} = \sqrt{\frac{gR}{2}}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi r}{v}$ છે.
$r = 2R$ અને $v = \sqrt{\frac{gR}{2}}$ મૂકતા:
$T = \frac{2\pi(2R)}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} = \frac{4\pi R}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} = 4\pi R \sqrt{\frac{2}{gR}} = 4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.
આપેલ છે કે $g = \pi^2 \ m/s^2$,તેથી $\pi = \sqrt{g}$ મૂકતા:
$T = 4\sqrt{g} \sqrt{\frac{2R}{g}} = 4\sqrt{2R} = \sqrt{16 \times 2R} = \sqrt{32R}$.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રિક પંખામાં રોટેશનલ જડત્વ (rotational inertia) હોય છે. જ્યારે પાવર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પંખો તેની ગતિના જડત્વને કારણે તરત જ અટકતો નથી,જે તેની પરિભ્રમણની સ્થિતિમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
કારણ $R$ પણ સાચું છે કારણ કે પદાર્થની તેની ગતિની સ્થિતિ જાળવી રાખવાની વૃત્તિને ગતિનું જડત્વ કહેવામાં આવે છે. તેથી,પંખો આ ગુણધર્મને કારણે ફરતો રહે છે.
જેથી $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ થાય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta W$ એ વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
$\Delta Q = 0$ હોવાથી,આપણને $\Delta U = -\Delta W$ મળે છે.
એડિબેટિક સંકોચનમાં,કદ ઘટે છે $(V \downarrow)$,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $\Delta W$ ઋણ $(-ve)$ હોય છે.
તેથી,$\Delta U = -(-ve) = +ve$,જેનો અર્થ છે કે આંતરિક ઉર્જા વધે છે.
આંતરિક ઉર્જા એ તાપમાનનું વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થવાનો અર્થ છે કે તાપમાનમાં વધારો થાય છે $(T \uparrow)$.
આમ,'આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી' તે વિધાન સાચું નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $Y = \sin \omega t + \cos \omega t$ છે.
આપણે $\cos \omega t$ ને $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$Y = \sin \omega t + \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
આ બે સરળ આવર્ત ગતિઓનું સંપાતીકરણ દર્શાવે છે,જેમાં કંપવિસ્તાર $A_1 = 1$ અને $A_2 = 1$ છે,અને કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{\text{net}}$ સૂત્ર $A_{\text{net}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta \phi)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $A_{\text{net}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos(\frac{\pi}{2})}$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી આપણને $A_{\text{net}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ મળે છે.

(B) તારમાં વિસ્તરણ $\Delta L$ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ ભાર છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે ભાર $F$ અને લંબાઈ $L$ સમાન છે,તેથી $\Delta L \propto \frac{1}{AY}$.
તેથી,વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{A_B}{A_A} \times \frac{Y_B}{Y_A}$ થશે.
અહીં $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{1}{4}$ અને $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4}{1} = \frac{12}{1}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $12: 1$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
બંને પદાર્થો સમાન ઝડપ $u$ થી ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,તેમની મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1$ અને $H_2$ નો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$ થશે.
અહીં $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{(\sin 30^{\circ})^2}{(\sin 60^{\circ})^2} = \frac{(1/2)^2}{(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 5\,kg$,કંપનવિસ્તાર $A = 1\,m$,આવર્તકાળ $T = 3.14\,s = \pi\,s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\,rad/s$.
સ્પ્રિંગ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{\max}$ એ દળ અને મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$F_{\max} = m \cdot a_{\max} = m \cdot (A\omega^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $F_{\max} = 5 \times 1 \times (2)^2$.
$F_{\max} = 5 \times 4 = 20\,N$.

(C) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,ટ્યુબના તમામ બિંદુઓ પર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
આપેલ છે:
$A_1 = 2.0\,cm^2 = 2.0 \times 10^2\,mm^2 = 200\,mm^2$
$V_1 = 4\,cm/s$
$A_2 = 10\,mm^2$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$200\,mm^2 \times 4\,cm/s = 10\,mm^2 \times V_2$
$800 = 10 \times V_2$
$V_2 = 80\,cm/s$
તેથી,બહાર નીકળતા પ્રવાહીની ઝડપ $80\,cm/s$ છે.

(C) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau}$ નું સૂત્ર $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ છે.
અહીં,બળ $\vec{F} = -P \hat{k}$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર લાગે છે.
બિંદુ $(2, -3)$ ની સાપેક્ષે ઉગમબિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (0 - 2)\hat{i} + (0 - (-3))\hat{j} = -2\hat{i} + 3\hat{j}$ છે.
હવે,સદિશ ગુણાકાર ગણતા:
$\vec{\tau} = (-2\hat{i} + 3\hat{j}) \times (-P\hat{k})$
$\vec{\tau} = -P [(-2)(\hat{i} \times \hat{k}) + 3(\hat{j} \times \hat{k})]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,તેથી:
$\vec{\tau} = -P [(-2)(-\hat{j}) + 3(\hat{i})]$
$\vec{\tau} = -P [2\hat{j} + 3\hat{i}] = P(-3\hat{i} - 2\hat{j})$.
આને $P(a\hat{i} + b\hat{j})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -3$ અને $b = -2$ મળે છે.
ગુણોત્તર $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$.
આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = \frac{x}{2}$,તેથી $\frac{3}{2} = \frac{x}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(C) લિફ્ટ સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 1400\,kg$ છે.
લિફ્ટ $v = 3\,m/s$ ની સમાન ઝડપે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે. ઝડપ સમાન હોવાથી,પ્રવેગ શૂન્ય છે.
મોટરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ઘર્ષણ બળ બંનેને દૂર કરવા માટે બળ $F$ પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = M \times g = 1400\,kg \times 10\,m/s^2 = 14000\,N$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f = 2000\,N$ છે.
તેથી,મોટર દ્વારા જરૂરી કુલ બળ $F = F_g + f = 14000\,N + 2000\,N = 16000\,N$ છે.
મોટર દ્વારા વપરાતો પાવર $P$,$P = F \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = 16000\,N \times 3\,m/s = 48000\,W$.
કિલોવોટમાં રૂપાંતરિત કરતા,$P = 48\,kW$.

(C) પથલંબાઈ એ $v-t$ આલેખ હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ છે (બધા ક્ષેત્રફળોને ધન લેતા),અને સ્થાનાંતર એ ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ છે (સમય અક્ષની નીચેના ક્ષેત્રફળને ઋણ લેતા).
$1$. $t=0$ થી $t=5\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25\,m$.
$2$. $t=5$ થી $t=10\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (લંબચોરસ): $5 \times 10 = 50\,m$.
$3$. $t=10$ થી $t=15\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (સમલંબ ચતુષ્કોણ): $\frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 5 = 75\,m$.
$4$. $t=15$ થી $t=20\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 5 \times 20 = 50\,m$.
$5$. $t=20$ થી $t=25\,s$ માટેનું ક્ષેત્રફળ (અક્ષની નીચેનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 5 \times (-20) = -50\,m$.
કુલ પથલંબાઈ $= 25 + 50 + 75 + 50 + |-50| = 250\,m$.
કુલ સ્થાનાંતર $= 25 + 50 + 75 + 50 - 50 = 150\,m$.
પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર $= \frac{250}{150} = \frac{5}{3}$.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \left( \frac{4}{3} \pi G \right) \rho R$.
તેથી,$g \propto \rho R$.
ગ્રહ $A$ માટે: $g_A \propto \rho \times R$.
ગ્રહ $B$ માટે: $g_B \propto \frac{\rho}{3} \times 4R = \frac{4}{3} \rho R$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g_A}{g_B} = \frac{\rho R}{\frac{4}{3} \rho R} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $(g_A : g_B)$ એ $3:4$ છે.

(D) ફરતા ટેબલ પર સિક્કો લપસી જાય તે માટેની શરત એ છે કે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$f_{s,max} = m \omega^2 R$
કારણ કે $f_{s,max} = \mu mg$,તેથી:
$\mu mg = m \omega^2 R$
$R = \frac{\mu g}{\omega^2}$
આ દર્શાવે છે કે અંતર $R$ એ કોણીય વેગના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \frac{1}{\omega^2}$.
આપેલ પ્રારંભિક શરતો: $R_1 = 1\,cm$ અને $\omega_1 = \omega$.
નવી શરતો: $\omega_2 = \frac{\omega}{2}$ અને $R_2 = ?$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
$\frac{R_2}{1} = \left( \frac{\omega}{\omega/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$
$R_2 = 4\,cm$.
તેથી,સિક્કો કેન્દ્રથી $4\,cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવે ત્યારે તે લપસી જશે.

(C) $TV$ ટાવરની $h$ ઊંચાઈ માટે પ્રસારણ રેન્જ $d$ નું સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1$ છે અને પ્રારંભિક રેન્જ $d_1 = \sqrt{2Rh_1}$ છે.
નવી ઊંચાઈ $h_2$ માં $21 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $h_2 = h_1 + 0.21h_1 = 1.21h_1$.
નવી રેન્જ $d_2 = \sqrt{2Rh_2} = \sqrt{2R(1.21h_1)} = \sqrt{1.21} \times \sqrt{2Rh_1} = 1.1 \times d_1$ મળે છે.
રેન્જમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{d_2 - d_1}{d_1} \times 100 \%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.1d_1 - d_1}{d_1} \times 100 \% = (1.1 - 1) \times 100 \% = 0.1 \times 100 \% = 10 \%$.

(D) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણને $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
આપેલ ઉર્જા સ્તર આકૃતિ જોતા:
સંક્રમણ $A$ એ $n=4$ થી $n=3$ છે.
સંક્રમણ $B$ એ $n=4$ થી $n=2$ છે.
સંક્રમણ $C$ એ $n=3$ થી $n=2$ છે.
સંક્રમણ $D$ એ $n=3$ થી $n=1$ છે.
$n=3$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત સૌથી વધુ છે,જે સંક્રમણ $D$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે બદલાય છે ત્યારે કોઈલમાં પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થાય છે $(\varepsilon = -d\Phi_B / dt)$.
$A.$ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલને સમાન ઝડપે ગતિ કરાવવાથી ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos \theta)$ બદલાતું નથી,તેથી કોઈ $emf$ પ્રેરિત થતો નથી.
$B.$ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલને અસમાન ઝડપે ગતિ કરાવવાથી પણ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાતું નથી,તેથી કોઈ $emf$ પ્રેરિત થતો નથી.
$C.$ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલને ફેરવવાથી ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ બદલાય છે,જેનાથી ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે અને $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
$D.$ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલનું ક્ષેત્રફળ બદલવાથી ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,જેનાથી $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
તેથી,$C$ અને $D$ બંને કિસ્સામાં પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થાય છે.

(C) સમાન પ્રવાહ વિતરણ ધરાવતા લાંબા સીધા તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < a)$: એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$. પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$I_{enclosed} = I \cdot (\frac{\pi r^2}{\pi a^2}) = I \frac{r^2}{a^2}$. તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{a^2}$,જે આપે છે $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$. આમ,$B \propto r$.
$2$. તારની બહાર $(r > a)$: એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,જે આપે છે $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$. તેથી,$B \propto \frac{1}{r}$.

(D) ધારો કે પાણીની સપાટીથી ઉપર થાંભલાની ઊંચાઈ $x$ છે.
લંબ સાથે આપાતકોણ $i = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu_W \cdot \sin r$,જ્યાં $r$ વક્રીભવનકોણ છે.
$\sin r = \frac{\sin 60^{\circ}}{\mu_W} = \frac{\sqrt{3}/2}{4/3} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.
તેથી,$\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - \frac{27}{64}} = \sqrt{\frac{37}{64}} = \frac{\sqrt{37}}{8}$.
$\tan r = \frac{\sin r}{\cos r} = \frac{3\sqrt{3}/8}{\sqrt{37}/8} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$.
ભૌમિતિક રીતે,કુલ પડછાયાની લંબાઈ $L = x \tan i + h \tan r$ છે,જ્યાં $h = 1.5 \, m$ પાણીની ઊંડાઈ છે.
અહીં,$\tan i = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
તેથી,$2.15 = x \sqrt{3} + 1.5 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$.
$x \sqrt{3} = 2.15 - \frac{4.5 \sqrt{3}}{\sqrt{37}} \approx 2.15 - 1.281 = 0.869$.
$x = \frac{0.869}{\sqrt{3}} \approx 0.5016 \, m$.
આમ,$x \approx 50 \, cm$.

(D) તારનો પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$\ell$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે લંબાઈમાં $20 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $\ell' = \ell + 0.20\ell = 1.2\ell$ થાય છે.
જ્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $4 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = A - 0.04A = 0.96A$ થાય છે.
નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = \rho \frac{\ell'}{A'} = \rho \frac{1.2\ell}{0.96A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $R' = \left( \frac{1.2}{0.96} \right) \rho \frac{\ell}{A} = 1.25 R$.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{R' - R}{R} \times 100$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
ટકાવારી ફેરફાર $= \frac{1.25R - R}{R} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25 \%$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r = 20\,cm = 0.2\,m$ અને $i = \sqrt{2}\,A$ છે.
બે કોઈલ સમાન હોવાથી અને પરસ્પર લંબ સમતલોમાં મૂકવામાં આવી હોવાથી,દરેક કોઈલ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન મૂલ્ય $B_C$ ધરાવશે પરંતુ તે પરસ્પર લંબ અક્ષો (દા.ત.,$x$ અને $y$ અક્ષ) પર હશે.
$B_C = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2}}{2 \times 0.2} = \pi \times \sqrt{2} \times 10^{-6}\,T$.
કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ એ બે ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$B_{net} = \sqrt{B_C^2 + B_C^2} = B_C \sqrt{2}$.
$B_C$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_{net} = (\pi \times \sqrt{2} \times 10^{-6}) \times \sqrt{2} = 2\pi \times 10^{-6}\,T$.
$B_{net} = 2 \times 3.14 \times 10^{-6}\,T = 6.28 \times 10^{-6}\,T$.
$B_{net} = 628 \times 10^{-8}\,T$.
આમ,જવાબ $628$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = r_0 \times \frac{n^2}{Z}$ છે, જ્યાં $r_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(0.51 \ \mathring{A})$ છે, $n$ એ કક્ષાનો ક્રમ છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે।
$Li^{++}$ (લિથિયમ આયન) માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે।
કક્ષાનો ક્રમ $n = 5$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $r_5 = 0.51 \ \mathring{A} \times \frac{5^2}{3} = 0.51 \times \frac{25}{3} \ \mathring{A}$.
$r_5 = 0.51 \times 8.333 = 4.25 \ \mathring{A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$, તેથી $r_5 = 4.25 \times 10^{-10} \ m$.
આને $10^{-12} \ m$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે, આપણે $100/100$ વડે ગુણીએ: $r_5 = 425 \times 10^{-12} \ m$.
તેથી, ખૂટતી કિંમત $425$ છે।

(D) આપેલ છે:
પ્રાથમિક વોલ્ટેજ,$V_p = 12\,kV = 12 \times 10^3\,V$
ગૌણ વોલ્ટેજ,$V_s = 120\,V$
પાવર વપરાશ,$P_s = 60\,kW = 60 \times 10^3\,W$
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,ગૌણ પરિપથમાં પાવર $P_s = V_s \times I_s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગૌણ પ્રવાહ $I_s = \frac{P_s}{V_s} = \frac{60 \times 10^3}{120} = 500\,A$.
ગૌણ અવરોધક લોડ $R_s$ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$R_s = \frac{V_s}{I_s} = \frac{120}{500} = 0.24\,\Omega$.
$m\Omega$ માં રૂપાંતર કરતા:
$R_s = 0.24 \times 10^3\,m\Omega = 240\,m\Omega$.

(D) $x$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d - x + \frac{x}{K}}$
અહીં $K = 4$ આપેલ છે,તેથી સૂત્ર:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d - x + \frac{x}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{3x}{4}}$
$x = \frac{d}{3}$ માટે:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{3}{4}(\frac{d}{3})} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{3d}{4}} = \frac{4}{3} \frac{\epsilon_0 A}{d}$
$C_1 = 2 \mu F$ આપેલ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{4}{3} \frac{\epsilon_0 A}{d} = 2 \mu F \implies \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{6}{4} = 1.5 \mu F$.
$x = \frac{2d}{3}$ માટે:
$C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{3}{4}(\frac{2d}{3})} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2}} = 2 \frac{\epsilon_0 A}{d}$
$\frac{\epsilon_0 A}{d} = 1.5 \mu F$ મૂકતા:
$C_2 = 2 \times 1.5 \mu F = 3 \mu F$.

(C) લઘુત્તમ માપશક્તિ $\Delta x = 0.2\,cm$.
વસ્તુ અંતર $u = (100 \pm 0.2) - (80 \pm 0.2) = (20 \pm 0.4)\,cm$.
પ્રતિબિંબ અંતર $v = (180 \pm 0.2) - (100 \pm 0.2) = (80 \pm 0.4)\,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f} = \frac{1}{80} - \frac{1}{-20} = \frac{1+4}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
તેથી, $f = 16\,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નું વિકલન કરતા, આપણને $\frac{\Delta f}{f^2} = \frac{\Delta v}{v^2} + \frac{\Delta u}{u^2}$ મળે છે.
કેન્દ્રલંબાઈમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = \left( \frac{\Delta v}{v^2} + \frac{\Delta u}{u^2} \right) \times f \times 100$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\% \text{ભૂલ} = \left( \frac{0.4}{80^2} + \frac{0.4}{20^2} \right) \times 16 \times 100$.
$\% \text{ભૂલ} = \left( \frac{0.4}{6400} + \frac{0.4}{400} \right) \times 1600 = \left( \frac{0.4}{4} + \frac{0.4}{64} \right) \times 16 = (0.1 + 0.00625) \times 16 = 1.6 + 0.1 = 1.70\%$.

(A) આપેલ $emf$ એ $E = E_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $E_0 = 36 \, V$ અને $\omega = 120 \pi \, rad/s$ છે.
કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0$ એ $I_0 = \frac{E_0}{X_C} = E_0 \omega C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_0 = 36 \times 120 \pi \times 150 \times 10^{-6} \, A$.
$I_0 = 36 \times 120 \times 3.1416 \times 150 \times 10^{-6} \, A$.
$I_0 = 648000 \times 3.1416 \times 10^{-6} \, A \approx 2.035 \, A$.
તેથી,મહત્તમ પ્રવાહ આશરે $2 \, A$ છે.

(C) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી પસાર થતા તરંગનો પ્રકાશીય પથ $\Delta = \mu t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બે તરંગો સમાન જાડાઈ $t$ પરંતુ અલગ-અલગ વક્રીભવનાંક $\mu_1$ અને $\mu_2$ ધરાવતા માધ્યમોમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેમના પ્રકાશીય પથ અનુક્રમે $\mu_1 t$ અને $\mu_2 t$ થાય છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda_0} \Delta x$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda_m}$ હોવાથી (જ્યાં $\lambda_m$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ છે),માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ થાય છે.
અલગ-અલગ વક્રીભવનાંકને કારણે માધ્યમોમાં તરંગલંબાઈ અલગ-અલગ હોવાથી,પ્રકાશીય પથ અલગ પડે છે,જે કળા તફાવતમાં ફેરફાર લાવે છે.
આમ,વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે જંકશન બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન $x$ છે.
જંકશન બિંદુ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા,જંકશનમાંથી બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\frac{x-30}{10} + \frac{x-12}{20} + \frac{x-2}{30} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $60$ વડે ગુણતા:
$6(x-30) + 3(x-12) + 2(x-2) = 0$
$6x - 180 + 3x - 36 + 2x - 4 = 0$
$11x - 220 = 0$
$11x = 220$
$x = 20\,V$
હવે,$20\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ:
$I = \frac{x - 12}{20}$
$I = \frac{20 - 12}{20} = \frac{8}{20} = 0.4\,A$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = hf - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$f$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{\max} = eV_s$,જ્યાં $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,આપણે લખી શકીએ: $eV_s = hf - \phi$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માટે આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $V_s = (h/e)f - (\phi/e)$.
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = h/e$ છે.
કારણ કે $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) અને $e$ (ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર) એ સાર્વત્રિક અચળાંકો છે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ વિરુદ્ધ આવૃત્તિના આલેખનો ઢાળ ધાતુના પ્રકારથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,ગોલ્ડ અને એલ્યુમિનિયમ માટે ઢાળ સમાન છે.
ઢાળનો ગુણોત્તર $1:1$ છે,જે $1$ છે.

(C) $p-n$ જંકશનમાં,ડિફ્યુઝન પ્રવાહ મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ (હોલ્સ $p$ થી $n$ તરફ અને ઇલેક્ટ્રોન $n$ થી $p$ તરફ) ના વહનને કારણે થાય છે.
જ્યારે જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય છે,ત્યારે બેરિયરની ઊંચાઈ ઘટે છે,જેના પરિણામે ડિફ્યુઝન પ્રવાહમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે,જે ડ્રિફ્ટ પ્રવાહ કરતા ઘણો મોટો બની જાય છે.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
ડિફ્યુઝન પ્રવાહ $p$-બાજુથી $n$-બાજુ તરફ વહે છે કારણ કે હોલ્સ $p$ થી $n$ તરફ જાય છે અને ઇલેક્ટ્રોન $n$ થી $p$ તરફ જાય છે (પરંપરાગત પ્રવાહની દિશા એ ધન વીજભારના વહનની દિશા છે).
કારણ $R$ જણાવે છે કે ડિફ્યુઝન પ્રવાહ $n$-બાજુથી $p$-બાજુ તરફ છે,જે ખોટું છે.
આમ,$A$ સાચું છે પરંતુ $R$ ખોટું છે.

(C) ડાયપોલ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની આસપાસ દોલન કરશે.
ધારો કે ધન વિદ્યુતભારનું દળ $m$ છે અને ઋણ વિદ્યુતભારનું દળ $2m$ છે.
$CM$ થી ધન વિદ્યુતભારનું અંતર $r_1 = \frac{2m}{m+2m} \cdot l = \frac{2l}{3}$ છે.
$CM$ થી ઋણ વિદ્યુતભારનું અંતર $r_2 = \frac{m}{m+2m} \cdot l = \frac{l}{3}$ છે.
$CM$ ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m r_1^2 + (2m) r_2^2 = m(\frac{2l}{3})^2 + 2m(\frac{l}{3})^2 = m(\frac{4l^2}{9}) + 2m(\frac{l^2}{9}) = \frac{6ml^2}{9} = \frac{2ml^2}{3}$ છે.
નાના $\theta$ માટે,પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -pE \sin \theta \approx -q l E \theta$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I \alpha = -qlE \theta$ મળે છે.
$\frac{2ml^2}{3} \alpha = -qlE \theta \Rightarrow \alpha = -\frac{3qE}{2ml} \theta$.
$\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{3qE}{2ml}}$ મળે છે.

(D) મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $U_E$ નું સૂત્ર $U_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે.
મુક્ત અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $U_B$ નું સૂત્ર $U_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતા માટેના સાચા સમીકરણો $U_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ અને $U_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે.

(C) ઓહ્મના નિયમ $(V=IR)$ ની ચકાસણી કરવા માટે,આપણે ટેસ્ટ અવરોધ $R_T$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ અને તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ માપવાની જરૂર છે.
$1$. વોલ્ટમીટરને અવરોધ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે. ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે શ્રેણીમાં ખૂબ જ ઊંચો અવરોધ જોડવો આવશ્યક છે. અહીં,$R_1=10\,M\,\Omega$ એ ખૂબ જ ઊંચો અવરોધ છે,તેથી $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ $G_1$ વોલ્ટમીટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
$2$. એમીટરને અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે સમાંતરમાં ખૂબ જ ઓછો અવરોધ જોડવો આવશ્યક છે. અહીં,$R_2=0.001\,\Omega$ એ ખૂબ જ ઓછો અવરોધ છે,તેથી $R_2$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ $G_2$ એમીટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
$3$. સર્કિટ $C$ માં,$G_1$ એ $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે (વોલ્ટમીટર બનાવે છે) અને આ સંયોજન $R_T$ સાથે સમાંતરમાં છે. $G_2$ એ $R_2$ સાથે સમાંતરમાં છે (એમીટર બનાવે છે) અને આ સંયોજન $R_T$ સાથે શ્રેણીમાં છે. ઓહ્મના નિયમની ચકાસણી કરવા માટે આ સાચી ગોઠવણી છે.

(A) સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dr} = -m \omega^2 r$ છે. આ બળનું મૂલ્ય વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$m \omega^2 r = \frac{m v^2}{r} \implies v^2 = \omega^2 r^2 \implies v = \omega r$ --- $(i)$
બોહરના કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશનના નિયમ મુજબ:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $v$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$m(\omega r)r = \frac{nh}{2\pi}$
$m \omega r^2 = \frac{nh}{2\pi}$
$r^2$ માટે ઉકેલતા:
$r^2 = \frac{nh}{2\pi m \omega}$
અહીં $h, m, \omega$ અચળાંકો હોવાથી:
$r^2 \propto n \implies r \propto \sqrt{n}$.

(B) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ $\mu = \frac{A_m}{A_c} = 0.6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_m$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો એમ્પ્લિટ્યુડ છે અને $A_c$ એ કેરિયર તરંગનો એમ્પ્લિટ્યુડ છે.
મોડ્યુલેટેડ તરંગનો ન્યૂનતમ એમ્પ્લિટ્યુડ $A_{min} = A_c - A_m = 3\,V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણમાં $A_m = 0.6 A_c$ મૂકતા: $A_c - 0.6 A_c = 3\,V$.
$0.4 A_c = 3\,V \Rightarrow A_c = \frac{3}{0.4} = 7.5\,V$.
હવે,$A_m$ ની ગણતરી કરો: $A_m = 0.6 \times 7.5 = 4.5\,V$.
મોડ્યુલેટેડ તરંગનો મહત્તમ એમ્પ્લિટ્યુડ $A_{max} = A_c + A_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A_{max} = 7.5 + 4.5 = 12\,V$.

(C) ધારો કે વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R$ છે. વોલ્ટમીટર $5\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V_{p} = 2\,V$ છે.
$5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i_1 = \frac{V_{p}}{5\,\Omega} = \frac{2\,V}{5\,\Omega} = 0.4\,A$ છે.
$2\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_{2\Omega} = E - V_{p} = 3\,V - 2\,V = 1\,V$ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V_{2\Omega}}{2\,\Omega} = \frac{1\,V}{2\,\Omega} = 0.5\,A$ છે.
વોલ્ટમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i_{v} = i - i_1 = 0.5\,A - 0.4\,A = 0.1\,A$ છે.
વોલ્ટમીટર $5\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,તેના પરનો વોલ્ટેજ પણ $2\,V$ છે. તેથી,$R = \frac{V_{p}}{i_{v}} = \frac{2\,V}{0.1\,A} = 20\,\Omega$.

(C) આકૃતિ પરથી,કુલ અંતર $d = 5 \, mm$ એ $a + c + b$ થી બનેલું છે,જ્યાં $c = 1 \, mm$ એ બે કેપેસિટર વચ્ચે રહેલી વાહક પ્લેટની જાડાઈ છે.
તેથી,$a + b = d - c = 5 \, mm - 1 \, mm = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$.
આ બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જેનું અસરકારક અંતર $d_{eff} = a + b = 4 \times 10^{-3} \, m$ છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર $C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d_{eff}}$ છે.
અહીં $A = 200 \, cm^2 = 200 \times 10^{-4} \, m^2$ આપેલ છે.
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 \times 200 \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}} = \frac{200 \times 10^{-1}}{4} \varepsilon_0 = 5 \varepsilon_0 \, F$.
આને $x \varepsilon_0 \, F$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
આંતરિક ગૂંચળાની ત્રિજ્યા,$r_1 = 1\,cm = 0.01\,m$
આંતરિક ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા,$N_1 = 10$
બાહ્ય ગૂંચળાની ત્રિજ્યા,$r_2 = 1000\,cm = 10\,m$
બાહ્ય ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા,$N_2 = 200$
બાહ્ય ગૂંચળા દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I_2}{2 r_2}$ છે.
બાહ્ય ગૂંચળાને કારણે આંતરિક ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = N_1 B_2 A_1$ છે,જ્યાં $A_1 = \pi r_1^2$.
તેથી,$\phi_1 = N_1 \left( \frac{\mu_0 N_2 I_2}{2 r_2} \right) (\pi r_1^2) = M I_2$.
આમ,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_1^2}{2 r_2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 200 \times \pi \times (0.01)^2}{2 \times 10}$
$M = \frac{4 \pi^2 \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-4}}{20}$
$\pi^2 = 10$ લેતા:
$M = \frac{4 \times 10 \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-4}}{20} = 4 \times 10^{-8}\,H$.
આમ,મૂલ્ય $4$ છે.

(C) આપેલ છે: $\lambda_1 = 7000 \; \mathring{A} = 7000 \times 10^{-10} \; m$,$\lambda_2 = 5500 \; \mathring{A} = 5500 \times 10^{-10} \; m$,$d = 2.5 \; mm = 2.5 \times 10^{-3} \; m$,$D = 150 \; cm = 1.5 \; m$.
પ્રકાશિત શલાકાઓ સંપાત થવાની શરત $y_n = y_m$ છે,જ્યાં $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ અને $y_m = \frac{m \lambda_2 D}{d}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$n \lambda_1 = m \lambda_2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n}{m} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5500}{7000} = \frac{11}{14}$.
લઘુત્તમ અંતર માટે,આપણે સૌથી નાના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $n = 11$ અને $m = 14$ લઈએ છીએ.
અંતર $y = \frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \times 7000 \times 10^{-10} \times 1.5}{2.5 \times 10^{-3}}$ દ્વારા મળે છે.
$y = \frac{11 \times 7000 \times 1.5}{2.5} \times 10^{-7} = \frac{115500}{2.5} \times 10^{-7} = 46200 \times 10^{-7} = 462 \times 10^{-5} \; m$.
આને $n \times 10^{-5} \; m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 462$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ તંત્રની બંધન ઉર્જા $U = \frac{k e^2}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ છે.
આપેલ બંધન ઉર્જા $= 12.8 \, eV = 12.8 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{2r} = 12.8 \times 1.6 \times 10^{-19}$.
$r$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$r = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 12.8} = \frac{9 \times 1.6 \times 10^{-10}}{25.6} = \frac{9 \times 10^{-10}}{16} \, m$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{9}{x} \times 10^{-10} \, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 16$ મળે છે.

(C) ગતિઊર્જા $K = 2.0 \, eV = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-19} \, J$.
વેગ $v$ એ $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.2 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-27}}} = \sqrt{4 \times 10^8} = 2 \times 10^4 \, m/s$.
હેલિકલ પથની પિચ $p$ એ $p = (v \cos \theta) \times T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = \frac{2\pi m}{qB}$ એ આવર્તકાળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $p = v \cos 60^{\circ} \times \frac{2\pi m}{qB}$.
$p = (2 \times 10^4) \times \frac{1}{2} \times \frac{2\pi \times 1.6 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times (\frac{\pi}{2} \times 10^{-3})}$.
$p = 10^4 \times \frac{2 \times 10^{-27}}{10^{-19} \times 0.5 \times 10^{-3}} = 10^4 \times 4 \times 10^{-5} = 0.4 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $p = 0.4 \times 100 = 40 \, cm$.

(C) ધારો કે $v_1$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર વેગનો ઘટક છે અને $v_2$ એ $B$ ને લંબ ઘટક છે.
$1$. સમાંતર ઘટક $v_1$ ને કારણે,ચુંબકીય બળ $F = q(v_1 \times B) = q v_1 B \sin(0^{\circ}) = 0$ થાય છે. આમ,કણ $B$ ની દિશામાં અચળ વેગ $v_1$ થી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
$2$. લંબ ઘટક $v_2$ ને કારણે,ચુંબકીય બળ $F = q(v_2 \times B)$ એ $v_2$ અને $B$ બંનેને લંબ લાગે છે,જે $B$ ને લંબ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$3$. $B$ ની દિશામાં સમાન રેખીય ગતિ અને $B$ ને લંબ સમતલમાં સમાન વર્તુળાકાર ગતિના સંયોજનને કારણે હેલિકલ પથ રચાય છે,જેમાં હેલિક્સની ધરી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર હોય છે.

(B) જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરની કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે બિન-ચુંબકીય ધાતુના કોર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા આ ફેરફારને કારણે ધાતુના કોરમાં એડી પ્રવાહ (eddy currents) ઉત્પન્ન થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,આ એડી પ્રવાહ કોઈલની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,કોઈલ ઝડપથી સ્થિર થઈ જાય છે,જે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ડેમ્પિંગ પૂરું પાડે છે.

(B) આપેલ છે: ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_T = 98\,m = 0.098\,km$. રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_R = 0\,m$. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400\,km$.
મહત્તમ દ્રષ્ટિરેખા અંતર $d$ માટેનું સૂત્ર $d = \sqrt{2 R h_T} + \sqrt{2 R h_R}$ છે.
અહીં $h_R = 0$ હોવાથી,સૂત્ર $d = \sqrt{2 R h_T}$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \sqrt{2 \times 6400 \times 0.098} = \sqrt{12800 \times 0.098} = \sqrt{1254.4} \approx 35.417\,km$.
એન્ટેના દ્વારા આવરી લેવાયેલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi d^2$ દ્વારા મળે છે.
$A = 3.14159 \times (35.417)^2 \approx 3.14159 \times 1254.4 \approx 3941.07\,km^2$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ક્ષેત્રફળ આશરે $3942\,km^2$ થાય છે.

(D) પરાવર્તક ટેલિસ્કોપમાં,પ્રાથમિક ઓબ્જેક્ટિવ એક મોટો અંતર્ગોળ અરીસો હોય છે. જો આઈપીસને આ પ્રાથમિક અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે,તો તે આવતા પ્રકાશને અવરોધશે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે,ગૌણ અરીસાનો ઉપયોગ પ્રકાશના કિરણોને ટેલિસ્કોપની નળીની બાજુમાં અથવા પાછળના ભાગમાં પરાવર્તિત કરવા માટે થાય છે,જેથી આઈપીસને આવતા પ્રકાશના મુખ્ય માર્ગની બહાર મૂકી શકાય. આ ડિઝાઇન ટૂંકી ટેલિસ્કોપ નળીમાં મોટી કેન્દ્રલંબાઈ મેળવવાની સુવિધા આપે છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં ઇનપુટ પર બે $NAND$ ગેટ છે અને ત્યારબાદ એક બીજો $NAND$ ગેટ છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ અનુક્રમે $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે (કારણ કે તેઓ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે). અંતિમ $NAND$ ગેટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે. આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$. આમ,આ સર્કિટ $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
વેવફોર્મનું વિશ્લેષણ:
$t=0$ થી $1$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
$t=1$ થી $2$ માટે: $A=0, B=1 \implies Y = 0+1 = 1$.
$t=2$ થી $3$ માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$.
$t=3$ થી $4$ માટે: $A=1, B=1 \implies Y = 1+1 = 1$.
આમ,આઉટપુટ $Y$ એ $t=0$ થી $1$ સુધી $0$ છે અને $t=1$ થી $4$ સુધી $1$ છે.

(A) અર્ધ-અનુભવજન્ય દળ સૂત્ર મુજબ:
$1$. સપાટી ઉર્જા પદ $E_s = -a_s A^{2/3}$ છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ સપાટી ઉર્જા $b_s = E_s/A = -a_s A^{-1/3}$ છે. આમ,વિધાન $A$ ખોટું છે.
$2$. કુલંબ ઉર્જા પદ $E_c = -a_c \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$ છે. આમ,વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે છેદમાં $A^{1/3}$ છે,$A^{4/3}$ નથી.
$3$. કદ ઉર્જા પદ $E_v = a_v A$ છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ કદ ઉર્જા $b_v = E_v/A = a_v$ છે. વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે કદ ઉર્જા $A$ ના પ્રમાણમાં છે.
$4$. સપાટી ઉર્જા ઉદ્ભવે છે કારણ કે સપાટી પરના ન્યુક્લિયોન પાસે અંદરના ભાગ કરતા ઓછા પાડોશી હોય છે. સપાટી પરના ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(4\pi R^2 \propto A^{2/3})$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. આમ,બંધન ઉર્જામાં ઘટાડો સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે. વિધાન $D$ સાચું છે.
$5$. લિક્વિડ ડ્રોપ મોડેલમાં,એવું માનવામાં આવે છે કે દરેક ન્યુક્લિયોન મર્યાદિત સંખ્યામાં પાડોશીઓ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે (સામાન્ય રીતે ક્લોઝ-પેક્ડ સ્ટ્રક્ચરમાં $12$),પરંતુ સપાટી ઉર્જા સુધારો સપાટી પરની ખૂટતી આંતરક્રિયાઓ માટે જવાબદાર છે. વિધાન $E$ આ મોડેલમાં એક પ્રમાણભૂત ધારણા છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે.
ઝડપ $c$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ નું પરિમાણ $[c^2] = [L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}] = L^2 / T^2$ થાય છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. તેથી,કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પ્રવાહ $i$ એ $6\,\Omega$ અવરોધ,ગેલ્વેનોમીટર અવરોધ $(2\,\Omega)$ અને $8\,\Omega$ અવરોધના શ્રેણી જોડાણમાંથી વહે છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 6\,\Omega + 2\,\Omega + 8\,\Omega = 16\,\Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{4\,V}{16\,\Omega} = 0.25\,A = \frac{1}{4}\,A$ છે.
$C_1$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ શાખા $AC$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ છે. $C_1$ એ $6\,\Omega$ અવરોધ અને ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,$C_1$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ એ બિંદુ $A$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે. $V_1 = V_{AC} = i \times (6\,\Omega + 2\,\Omega) = \frac{1}{4} \times 8 = 2\,V$.
$C_2$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ શાખા $BD$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ છે. $C_2$ એ ગેલ્વેનોમીટર અને $8\,\Omega$ અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,$C_2$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ એ બિંદુ $B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે. $V_2 = V_{BD} = i \times (2\,\Omega + 8\,\Omega) = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5\,V$.
$C_1$ અને $C_2$ ની આસપાસના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{2}{2.5} = \frac{4}{5}$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક નક્કર ગોળા માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r \leq R)$: ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3}$ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto r$,જે સુરેખ સંબંધ છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \geq R)$: ગોળો કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto 1/r^2$,જે વ્યસ્ત-વર્ગનો સંબંધ છે.
તેથી,આલેખ ઉગમબિંદુ ($r=0$ પર $E=0$) થી શરૂ થાય છે,$r=R$ સુધી સુરેખ રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે વ્યસ્ત-વર્ગના વક્ર મુજબ ઘટે છે. આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન છે,તેથી $\lambda_{p} = \lambda_{e}$.
તરંગલંબાઈનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{h}{p_{p}} = \frac{h}{p_{e}}$ મળે છે.
આના પરથી $p_{p} = p_{e}$ સાબિત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $p_{p} : p_{e} = 1: 1$ છે.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = U_f - U_i$.
ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -pE \cos \theta$ છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી $\theta_i = 0^{\circ}$. આમ,$U_i = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$.
અંતે,ડાયપોલને $180^{\circ}$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,તેથી $\theta_f = 180^{\circ}$. આમ,$U_f = -pE \cos(180^{\circ}) = pE$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = pE - (-pE) = 2pE$ છે.
અહીં $p = 6.0 \times 10^{-6} \, Cm$ અને $E = 1.5 \times 10^3 \, NC^{-1}$ આપેલ છે.
$W = 2 \times (6.0 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^3) = 18 \times 10^{-3} \, J = 18 \, mJ$.

(B) ધારો કે અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 10\,cm$ છે. પદાર્થ $O$ એ અરીસા $A$ થી $x_A = 2\,cm$ અને અરીસા $B$ થી $x_B = 8\,cm$ ના અંતરે છે.
$1$. અરીસા $A$ દ્વારા રચાતું પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_1$ એ અરીસા $A$ ની પાછળ $2\,cm$ ના અંતરે છે.
$2$. અરીસા $B$ દ્વારા રચાતું પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_2$ એ અરીસા $B$ ની પાછળ $8\,cm$ ના અંતરે છે.
$3$. અરીસા $A$ દ્વારા રચાતું બીજું પ્રતિબિંબ $(I_3)$ એ અરીસા $A$ દ્વારા $I_2$ નું પ્રતિબિંબ છે. અરીસા $A$ થી $I_2$ નું અંતર $10\,cm + 8\,cm = 18\,cm$ છે. તેથી,$I_3$ એ અરીસા $A$ ની પાછળ $18\,cm$ ના અંતરે રચાય છે.
અરીસા $A$ ની પાછળના પ્રતિબિંબો $2\,cm$ $(I_1)$ અને $18\,cm$ $(I_3)$ ના અંતરે છે. અરીસા $A$ ની પાછળ મળતું બીજું સૌથી નજીકનું પ્રતિબિંબ અરીસા $A$ થી $18\,cm$ ના અંતરે છે.

(B) ઓસિલેટિંગ $LC$ સર્કિટમાં,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,જે કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા એ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} L I_{\max}^2 = \frac{1}{2} \frac{Q_{\max}^2}{C}$
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{\max}$ માટે સૂત્ર:
$I_{\max} = Q_{\max} \sqrt{\frac{1}{LC}}$
આપેલ કિંમતો:
$L = 75 \times 10^{-3} \, H$
$C = 1.2 \times 10^{-6} \, F$
$Q_{\max} = 2.7 \times 10^{-6} \, C$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ ની ગણતરી:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{75 \times 10^{-3} \times 1.2 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{90 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{3} \, rad/s$
હવે,$I_{\max} = Q_{\max} \times \omega$:
$I_{\max} = (2.7 \times 10^{-6}) \times \frac{10^4}{3} = 0.9 \times 10^{-2} \, A = 9 \times 10^{-3} \, A = 9 \, mA$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = ni$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$H = 1.6 \times 10^3 \text{ A m}^{-1}$
$n = 8 \text{ turns/cm} = 8 \times 10^2 \text{ turns/m} = 800 \text{ m}^{-1}$
સૂત્ર $i = H / n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$i = \frac{1.6 \times 10^3}{800} = \frac{1600}{800} = 2 \text{ A}$.
તેથી,સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $2 \text{ A}$ છે.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે.
અહીં,$I = 2\,A$,$n = 2.0 \times 10^{28}\,m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$,અને $A = 25.0\,mm^2 = 25.0 \times 10^{-6}\,m^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_d = \frac{2}{(2.0 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (25.0 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{2}{80 \times 10^3 \times 10^{-6}}$
$v_d = \frac{2}{80 \times 10^{-3}}$
$v_d = \frac{2}{0.08} = 25\,ms^{-1}$.
પ્રશ્નમાં $\times 10^{-6}\,ms^{-1}$ ના સ્વરૂપમાં જવાબ માંગ્યો હોવાથી,ગણતરી મુજબ જવાબ $25$ મળે છે.

(B) શરૂઆતની ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જાની ગણતરી આ મુજબ છે: $E_{i} = 242 \times 7.6\,MeV = 1839.2\,MeV$.
અંતિમ અવસ્થામાં બે ટુકડાઓ છે,જે દરેકનો દળ-ક્રમાંક $121$ છે. દરેક ટુકડા માટે પ્રતિ ન્યુક્લિયોન બંધન ઉર્જા $8.1\,MeV$ છે.
કુલ અંતિમ બંધન ઉર્જા છે: $E_{f} = (121 \times 8.1\,MeV) + (121 \times 8.1\,MeV) = 242 \times 8.1\,MeV = 1960.2\,MeV$.
બંધન ઉર્જામાં કુલ વધારો એ અંતિમ અને શરૂઆતની બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta E = E_{f} - E_{i} = 242 \times (8.1 - 7.6)\,MeV$.
$\Delta E = 242 \times 0.5\,MeV = 121\,MeV$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ છે.
આપેલ છે: $V = 50 \; V$,$Q = 5 \times 10^{-9} \; C$,અને $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N m^2 C^{-2}$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $50 = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-9}}{r}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $50 = \frac{45}{r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{45}{50} = 0.9 \; m$.
મીટરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $r = 0.9 \times 100 \; cm = 90 \; cm$.

(D) ઇનપુટ સર્કિટમાં,બેઝ-એમિટર લૂપ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V_{BB} - I_b R_b - V_{BE} = 0$
ધારો કે ટ્રાન્ઝિસ્ટર એક્ટિવ રીજનમાં છે અને $V_{BE} \approx 0.7 \text{ V}$ છે. જો આપણે સેચ્યુરેશન (સંતૃપ્ત) સ્થિતિ માટે ગણતરી કરીએ,તો $V_{CE} = 0 \text{ V}$ લેતા:
આઉટપુટ લૂપ માટે $KVL$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V_{CC} - I_c R_c - V_{CE} = 0$
$1 \text{ V} - I_c (1 \times 10^3 \text{ } \Omega) - 0 = 0$
$I_c = \frac{1}{1000} \text{ A} = 1 \text{ mA} = 1000 \text{ } \mu\text{A}$.
કારણ કે $\beta = \frac{I_c}{I_b}$,તેથી સેચ્યુરેશન માટે જરૂરી બેઝ કરંટ:
$I_b = \frac{I_c}{\beta} = \frac{1000 \text{ } \mu\text{A}}{100} = 10 \text{ } \mu\text{A}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે પદાર્થ $3$ દિવસમાં તેના મૂળ જથ્થાના $1/8$ ભાગ જેટલો ઘટી જાય છે:
$\frac{N_0}{8} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies n = 3$.
કારણ કે $3$ અર્ધ-આયુષ્ય $3$ દિવસને અનુરૂપ છે,તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1$ દિવસ થાય.
$5$ દિવસ પછી,વીતેલા અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{5 \text{ દિવસ}}{1 \text{ દિવસ}} = 5$ છે.
બાકી રહેલો જથ્થો $N = 8 \times 10^{-3} \, kg = 8 \, g$ છે.
ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $8 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^5$.
$8 = N_0 \left(\frac{1}{32}\right)$.
$N_0 = 8 \times 32 = 256 \, g$.

(A) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બિંદુ $A$ એ તાર દ્વારા બિંદુ $D$ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી $V_A = V_D$.
તે જ રીતે,બિંદુ $C$ એ તાર દ્વારા બિંદુ $B$ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી $V_C = V_B$.
આ બે સામાન્ય સ્થિતિમાનના બિંદુઓ $(A, D)$ અને $(B, C)$ વચ્ચે ત્રણ અવરોધો જોડાયેલા છે:
$1$. $D$ અને $B$ વચ્ચે $10\,k\Omega$ નો અવરોધ.
$2$. $A$ અને $C$ વચ્ચે $20\,k\Omega$ નો અવરોધ.
$3$. $C$ અને $D$ વચ્ચે $20\,k\Omega$ નો અવરોધ.
આ ત્રણેય અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{20}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2 + 1 + 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
તેથી,$R_{eq} = 5\,k\Omega$.

(B) જ્યારે ધાતુના લક્ષ્ય પર ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનો મારો ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે લક્ષ્યના પરમાણુઓ સાથે આંતરક્રિયા દરમિયાન ઇલેક્ટ્રોનનું ઝડપથી મંદન થાય છે. ગતિ ઊર્જામાં થતો આ ઘટાડો $X$-કિરણો તરીકે ઓળખાતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના સ્વરૂપમાં ઉત્સર્જિત થાય છે. તેથી,સાચો જવાબ $X$-કિરણો છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં છે: $\beta \propto \lambda$.
તેથી,આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
આપેલ છે કે $\beta_1 = 2\,mm$,$\lambda_1 = 400\,nm$,અને $\lambda_2 = 600\,nm$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\beta_2}{2\,mm} = \frac{600\,nm}{400\,nm} = \frac{3}{2}$.
$\beta_2$ માટે ગણતરી કરતા: $\beta_2 = 2\,mm \times 1.5 = 3\,mm$.

(B) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે એવા પદાર્થોની જરૂર હોય છે જેમને સરળતાથી ચુંબકીય બનાવી શકાય અને ચુંબકત્વ દૂર કરી શકાય.
નરમ લોખંડ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે આદર્શ પદાર્થ છે કારણ કે તેમાં ઉચ્ચ ચુંબકીય પરમીએબિલિટી હોય છે,જે તેને સરળતાથી ચુંબકીય બનવા દે છે,અને ઓછી રિટેન્ટિવિટી હોય છે,જે જ્યારે પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે ત્યારે તેને સરળતાથી ચુંબકત્વ મુક્ત થવા દે છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે અને કારણ $R$ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે આ તેની ઉચ્ચ પરમીએબિલિટી અને ઓછી રિટેન્ટિવિટીને કારણે છે,તેથી $A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.