JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$ છે.
અહીં,$h$ એ ઢળતા સમતલની શિરોલંબ ઊંચાઈ છે,$h = L \sin \theta = 60 \times 10^{-2} \times \sin 30^{\circ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3\,m$.
નક્કર નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ માટે $k^2 = \frac{R^2}{2}$ થાય,તેથી $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 0.3}{1 + 0.5}} = \sqrt{\frac{6}{1.5}} = \sqrt{4} = 2\,ms^{-1}$.

(B) આપેલ છે કે ગતિઊર્જા $(KE)$ એ સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ કરતા $25\%$ વધારે છે:
$KE = PE + 0.25 PE = 1.25 PE = \frac{5}{4} PE$
આપણે જાણીએ છીએ કે $SHM$ માં ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
આ કિંમતોને આપેલ શરતમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{5}{4} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right)$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $\frac{1}{2} m \omega^2$ ને દૂર કરતા:
$A^2 - x^2 = \frac{5}{4} x^2$
$A^2 = x^2 + \frac{5}{4} x^2 = \frac{9}{4} x^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \frac{2}{3} A$
અહીં કંપવિસ્તાર $A = 3\,cm$ આપેલ છે:
$x = \frac{2}{3} \times 3\,cm = 2\,cm$
આમ,સ્થાનાંતર $2\,cm$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_H = 99^{\circ} C = 99 + 273 = 372 K$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\eta_1 = \frac{1}{3} = 1 - \frac{T_C}{372}$.
$\frac{T_C}{372} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$T_C = \frac{2}{3} \times 372 = 248 K$.
બીજા કિસ્સા માટે,ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન $x$ જેટલું વધારવામાં આવે છે,તેથી $T_C' = T_C + x = 248 + x$.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{248 + x}{372}$ છે.
$\frac{248 + x}{372} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$248 + x = \frac{5}{6} \times 372 = 5 \times 62 = 310$.
$x = 310 - 248 = 62 K$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,મહત્તમ ઊંચાઈએ:
$1$. વેગનો શિરોલંબ ઘટક $V_{y} = 0$ હોય છે.
$2$. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $V_{x} = u_{x} = u \cos \theta$ હોય છે,જે સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
$3$. ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_{g} = mgh$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max}$ પર મહત્તમ હોય છે કારણ કે ઊંચાઈ $h$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$4$. મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા શૂન્ય હોતી નથી કારણ કે સમક્ષિતિજ વેગ ઘટક $V_{x}$ શૂન્ય હોતો નથી.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા મહત્તમ ઊંચાઈએ મહત્તમ હોય છે.

(C) આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 6\,m$
ક્ષેત્રફળ $A = 3\,mm^2 = 3 \times 10^{-6}\,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
દળ $m = 4\,kg$
પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણ $g_e = 10\,m/s^2$
ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણ $g_p = \frac{1}{4} g_e = \frac{10}{4} = 2.5\,m/s^2$
તારમાં તણાવ $F$ એ ગ્રહ પર બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે:
$F = m \times g_p = 4 \times 2.5 = 10\,N$
તારમાં થતા વધારા $\Delta L$ માટેનું સૂત્ર:
$\Delta L = \frac{FL}{AY}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{10 \times 6}{3 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta L = \frac{60}{6 \times 10^5} = 10 \times 10^{-5} = 10^{-4}\,m$
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta L = 10^{-4} \times 10^3\,mm = 0.1\,mm$

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $(T)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T^2 = \frac{4\pi^2}{g} \times L$
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = T^2$,$x = L$,અને ઢાળ $m = \frac{4\pi^2}{g}$ છે.
અહીં $m$ એ ધન અચળાંક હોવાથી,$T^2$ વિરુદ્ધ $L$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા મળે છે.
તેથી,સાચો આલેખ વિકલ્પ $(C)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(D) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
$M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,$V_e = \sqrt{\frac{2G \rho \frac{4}{3}\pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho} \cdot R$ મળે.
આમ,$V_e \propto \rho^{1/2} R$.
આપેલ છે કે $\frac{V_{eA}}{V_{eB}} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{3}$.
$\frac{V_{eA}}{V_{eB}} = \sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} \cdot \frac{R_A}{R_B}$ પરથી,$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} \cdot \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} = \frac{3}{2}$,તેથી $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{9}{4}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}G\pi\rho R$ છે.
તેથી,$\frac{g_A}{g_B} = \frac{\rho_A R_A}{\rho_B R_B} = \left(\frac{\rho_A}{\rho_B}\right) \left(\frac{R_A}{R_B}\right) = \left(\frac{9}{4}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{4}$.

(B) ઈમ્પલ્સ (આઘાત) એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$(a)$ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.5 = 0.25 \, N \cdot s$
$(b)$ ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 2.0 \times 0.5 = 1.0 \, N \cdot s$
$(c)$ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.75 = 0.375 \, N \cdot s$
$(d)$ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0.5 = 0.5 \, N \cdot s$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા, આકૃતિ $(b)$ માં ઈમ્પલ્સ સૌથી વધુ છે.

(A) ધારો કે દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $M = h^x c^y G^z$ છે.
પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$h = [ML^2T^{-1}]$
$c = [LT^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [ML^2T^{-1}]^x [LT^{-1}]^y [M^{-1}L^3T^{-2}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = M^{x-z} L^{2x+y+3z} T^{-x-y-2z}$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $x - z = 1$
$2$) $2x + y + 3z = 0$
$3$) $-x - y - 2z = 0$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2x + y + 3z) + (-x - y - 2z) = 0 + 0$
$x + z = 0 \implies x = -z$
$x = -z$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$-z - z = 1 \implies -2z = 1 \implies z = -1/2$
તેથી $x = 1/2$ મળે.
$x = 1/2$ અને $z = -1/2$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$-1/2 - y - 2(-1/2) = 0$
$-1/2 - y + 1 = 0 \implies y = 1/2$
આમ,દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[h^{1/2} c^{1/2} G^{-1/2}]$ થાય છે.

(A) સમકદ પ્રક્રિયા (અચળ કદ) માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P = (\frac{nR}{V})T$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે,જે સેલ્સિયસમાં તાપમાન $t$ સાથે $T = t + 273.15$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $P = (\frac{nR}{V})(t + 273.15)$ મળે છે.
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું સીધી રેખાનું સમીકરણ દર્શાવે છે,જ્યાં તાપમાન અક્ષ પરનો આંતરછેદ ત્યારે મળે છે જ્યારે દબાણ $P = 0$ હોય.
$P = 0$ લેતા,આપણને $0 = (\frac{nR}{V})(t + 273.15)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t + 273.15 = 0$,અથવા $t = -273.15^{\circ}\,C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,બિંદુ '$K$' પરનું તાપમાન $-273^{\circ}\,C$ છે,જે નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન દર્શાવે છે.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \; m/s$. અંતિમ વેગ $v = 0$. અંતર $S_1 = 500 \; m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 - 2aS_1$:
$0 = (20)^2 - 2 \cdot a \cdot 500$
$1000a = 400 \Rightarrow a = 0.4 \; m/s^2$.
હવે,જો બ્રેક અડધા અંતરે લગાવવામાં આવે,તો $S_2 = 250 \; m$:
$v^2 = u^2 - 2aS_2$
$v^2 = (20)^2 - 2 \cdot 0.4 \cdot 250$
$v^2 = 400 - 200 = 200$
$v = \sqrt{200} \; m/s$.
$\sqrt{x} \; m/s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 200$ મળે છે.

(B) ચલ બળ $F(y)$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{y_1}^{y_2} F(y) \, dy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F(y) = 5 + 3y^2$,$y_1 = 2 \, m$,અને $y_2 = 5 \, m$ આપેલ છે.
$W = \int_{2}^{5} (5 + 3y^2) \, dy$
$W = [5y + y^3]_{2}^{5}$
$W = (5(5) + 5^3) - (5(2) + 2^3)$
$W = (25 + 125) - (10 + 8)$
$W = 150 - 18 = 132 \, J$.

(D) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીની ધાર પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી અને તકતીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = R$ એ બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ મળે છે.
આને આપેલ પદ $\frac{x}{2} MR^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(D) સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$,જ્યાં $A = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર,કુલ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E = \frac{1}{2} k x^2 + K(x)$.
અહીં $x = 5 \, cm = 0.05 \, m$ પર ગતિ ઉર્જા $0.25 \, J$ લેતા:
કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k (0.1)^2 = \frac{1}{2} k (0.05)^2 + 0.25$.
$\frac{1}{2} k (0.01 - 0.0025) = 0.25$
$\frac{1}{2} k (0.0075) = 0.25$
$k = \frac{0.5}{0.0075} = 66.67 \, N/m \approx 67 \, N/m$.

(A) જ્યારે દડો અચળ ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડાનું વજન નીચેની તરફ: $W = Mg = \rho Vg$ (જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે).
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ ઉપરની તરફ: $F_B = \rho_0 Vg$.
$3$. સ્નિગ્ધ બળ ઉપરની તરફ: $F_{vis}$.
સંતુલન માટે,નીચેની તરફ લાગતું બળ ઉપરની તરફ લાગતા બળોના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ:
$Mg = F_{vis} + F_B$
$F_{vis} = Mg - F_B$
$F_{vis} = \rho Vg - \rho_0 Vg$
$F_{vis} = \rho Vg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$
કારણ કે $M = \rho V$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $M$ મૂકતા:
$F_{vis} = Mg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$

(B) ગેસના અણુઓની અથડામણ આવૃત્તિ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \sqrt{2} \pi d^2 v n_v$
જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે,$v$ એ સરેરાશ ઝડપ છે,અને $n_v$ એ સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા) છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે અથડામણ આવૃત્તિ એ સંખ્યા ઘનતાના સીધા પ્રમાણમાં છે: $f \propto n_v$.
પ્રારંભિક સંખ્યા ઘનતા $n_{v1} = 3 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ અને અંતિમ સંખ્યા ઘનતા $n_{v2} = 12 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ આપેલ છે.
અથડામણ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{n_{v1}}{n_{v2}} = \frac{3 \times 10^{19}}{12 \times 10^{19}} = \frac{3}{12} = 0.25$.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,સિસ્ટમને આપવામાં આવતી ગરમી $(dQ)$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(dU)$ અને સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $(dW)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે: $dQ = dU + dW$.
સમયના અંતરાલ $(dt)$ વડે ભાગતા,આપણને દરનું સમીકરણ મળે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{dU}{dt} + \frac{dW}{dt}$.
આપેલ છે:
ગરમીનો દર,$\frac{dQ}{dt} = 1000 \, W$.
કાર્યનો દર,$\frac{dW}{dt} = 200 \, W$.
આંતરિક ઉર્જામાં વધારાનો દર શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dU}{dt} = \frac{dQ}{dt} - \frac{dW}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dU}{dt} = 1000 \, W - 200 \, W = 800 \, W$.

(A) ધારો કે કણની અચળ ઝડપ $v$ છે અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જ્યારે કણ $90^{\circ}$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના ખૂણે વળે છે,ત્યારે ચાપ પર કાપેલું અંતર $s = R \theta = R(\pi/2) = \pi R / 2$ થાય છે.
આ ગતિ માટે લાગતો સમય $t = s / v = (\pi R / 2) / v = \pi R / (2v)$ છે.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે જીવાની લંબાઈ $AB = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે.
સરેરાશ વેગને કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\langle v \rangle = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{R\sqrt{2}}{\pi R / (2v)} = \frac{R\sqrt{2} \cdot 2v}{\pi R} = \frac{2\sqrt{2}v}{\pi}$.
તત્કાલીન વેગ $v$ અને સરેરાશ વેગ $\langle v \rangle$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v}{\langle v \rangle} = \frac{v}{2\sqrt{2}v / \pi} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\pi : x\sqrt{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi}{x\sqrt{2}}$.
તેથી,$x = 2$.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતો વધારો $x$ છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = 0.2 + x$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગ બળ (તણાવ) દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$T = m \omega^2 r$
$kx = m \omega^2 (0.2 + x)$
અહીં $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$k = 7.5\,N/m$,$\omega = 5\,rad/s$,અને કુદરતી લંબાઈ $l_0 = 0.2\,m$ આપેલ છે.
$7.5x = 0.1 \times (5)^2 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 0.1 \times 25 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 2.5 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 0.5 + 2.5x$
$5x = 0.5$
$x = 0.1\,m$
સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T = kx = 7.5 \times 0.1 = 0.75\,N$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
અવધિ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2\theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $1$ છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $2\theta = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^{\circ}$.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે $45^{\circ}$ પર અવધિ મહત્તમ હોય છે.
કારણ $R$ પણ સાચું છે કારણ કે તે મહત્તમ અવધિ માટે $\sin 2\theta = 1$ ની શરતને યોગ્ય રીતે ઓળખે છે,જે સીધી રીતે વિધાન $A$ ના નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે.

(C) સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ છે.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{\Delta R}{R^2} = \frac{\Delta R_1}{R_1^2} + \frac{\Delta R_2}{R_2^2}$ મળે છે.
પ્રથમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ ની ગણતરી કરીએ:
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{10 \times 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = 6 \ \Omega$.
હવે,ત્રુટિના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\Delta R = R^2 \left( \frac{\Delta R_1}{R_1^2} + \frac{\Delta R_2}{R_2^2} \right) = 6^2 \left( \frac{0.5}{10^2} + \frac{0.5}{15^2} \right) = 36 \left( \frac{0.5}{100} + \frac{0.5}{225} \right)$.
$\Delta R = 36 \left( 0.005 + 0.00222 \right) = 36 \times 0.00722 = 0.26 \ \Omega$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \frac{0.26}{6} \times 100 = 4.33 \%$ થાય છે.

(C) ગ્રહનું દળ $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
ઘનતા $\rho$ અચળ હોવાથી,$M \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto M^{1/3}$.
વસ્તુનું વજન $W = mg$ છે,જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
$g$ ના સમીકરણમાં $R \propto M^{1/3}$ મૂકતા,આપણને $g \propto \frac{M}{(M^{1/3})^2} = \frac{M}{M^{2/3}} = M^{1/3}$ મળે છે.
વજન $W \propto g$ હોવાથી,$W \propto M^{1/3}$ થાય.
આપેલ છે કે ગ્રહનું દળ પૃથ્વીના દળ કરતા બમણું છે $(M_p = 2M_e)$,તેથી નવું વજન $W' = (2)^{1/3} W$ થશે.

(D) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સરખામણીમાં ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા ઘણી ઓછી હોવાથી,તેનો નિષ્ક્રમણ વેગ પૃથ્વી (આશરે $11.2 \ km/s$) કરતા ઘણો ઓછો (આશરે $2.38 \ km/s$) છે.
ચંદ્ર પર નિષ્ક્રમણ વેગ ઓછો હોવાને કારણે,ચંદ્રની સપાટીના તાપમાને વાયુના અણુઓનો થર્મલ વેગ (rms વેગ) નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા વધી જાય છે.
પરિણામે,વાયુના અણુઓ ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી છટકી જાય છે,જેના કારણે ત્યાં વાતાવરણ બની શકતું નથી.
તેથી,વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) જ્યારે દળ $m$ ને જમણી બાજુ $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે $K_1$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે અને $K_2$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
બંને સ્પ્રિંગ ડાબી દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F = -(K_1 x + K_2 x) = -(K_1 + K_2)x$
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -K_{eff} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = K_1 + K_2$ મળે છે.
દળનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{F}{m} = -\left(\frac{K_1 + K_2}{m}\right)x$
કારણ કે $a = -\omega^2 x$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ થશે:
$\omega = \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}$
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$

(D) ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ પ્રતિપ્રવેગી બળની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
પ્રતિપ્રવેગી બળ $F = m \cdot a = m \cdot (2x)$.
પ્રતિપ્રવેગી બળની વિરુદ્ધ કરેલું કાર્ય $W = \int_{0}^{x} F \, dx = \int_{0}^{x} m(2x) \, dx = m \cdot x^2$.
આપેલ દળ $m = 10\,g = 10^{-2}\,kg$.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $= 10^{-2} \cdot x^2 = \frac{x^2}{100} = \left(\frac{10}{x}\right)^{-2}\,J$.
આને આપેલ પદ $\left(\frac{10}{x}\right)^{-n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે હોર્નની આવૃત્તિ $f_0$ છે. કારની ઝડપ $v_c = 15\,m/s$ અને ધ્વનિની ઝડપ $v = 330\,m/s$ છે.
જ્યારે કાર દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે દીવાલ સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ધ્વનિ મેળવે છે,અને પછી તે ધ્વનિને ડ્રાઈવર તરફ પરાવર્તિત કરે છે.
દીવાલ દ્વારા સંભળાતી ધ્વનિની આવૃત્તિ $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$ છે.
આ પરાવર્તિત ધ્વનિ ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવે છે જે $v_c$ ઝડપે દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે,તેથી અવલોકિત આવૃત્તિ $f = f' \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$ થાય.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f - f_0 = 40\,Hz$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $f = f_0 \left( \frac{330 + 15}{330 - 15} \right) = f_0 \left( \frac{345}{315} \right)$.
$\Delta f = f_0 \left( \frac{345}{315} - 1 \right) = f_0 \left( \frac{30}{315} \right) = 40$.
$f_0 = \frac{40 \times 315}{30} = 4 \times 105 = 420\,Hz$.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 20\,mm = 0.02\,m$,બળ $F = 62.8\,kN = 62.8 \times 10^3\,N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11}\,N/m^2$.
સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Stress} = \frac{62.8 \times 10^3}{\pi \times (0.02)^2} = \frac{62.8 \times 10^3}{3.14 \times 4 \times 10^{-4}} = \frac{62.8 \times 10^3}{12.56 \times 10^{-4}} = 5 \times 10^7\,N/m^2$.
રેખીય વિકૃતિ (Strain) $\text{Strain} = \frac{\text{Stress}}{Y}$ દ્વારા મળે છે.
$\text{Strain} = \frac{5 \times 10^7}{2.0 \times 10^{11}} = 2.5 \times 10^{-4}$.
જરૂરી ફોર્મેટમાં રૂપાંતર કરતા: $2.5 \times 10^{-4} = 25 \times 10^{-5}$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક ગોળાની સળિયાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા (ગોળાના કેન્દ્રથી $d = 20\,cm = 0.2\,m$ અંતરે) $I = I_{cm} + md^2$ થાય.
અહીં બે સમાન ગોળાઓ હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 2(I_{cm} + md^2) = 2\left(\frac{2}{5}mr^2 + md^2\right)$ થશે.
આપેલ છે કે $m = 2\,kg$,$r = 10\,cm = 0.1\,m$,અને $d = 20\,cm = 0.2\,m$:
$I_{total} = 2 \left[ \frac{2}{5} \times 2 \times (0.1)^2 + 2 \times (0.2)^2 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ \frac{4}{5} \times 0.01 + 2 \times 0.04 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ 0.8 \times 0.01 + 0.08 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ 0.008 + 0.08 \right] = 2 \times 0.088 = 0.176\,kg\,m^2$.
જરૂરી સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $0.176\,kg\,m^2 = 176 \times 10^{-3}\,kg\,m^2$.

(C) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે ટૂથપેસ્ટની ટ્યુબને દબાવવી એ પાસ્કલના સિદ્ધાંતનો વ્યવહારુ ઉપયોગ છે,જ્યાં એક બિંદુ પર લાગુ કરાયેલ દબાણ પ્રવાહી દ્વારા ખુલ્લા ભાગ સુધી પ્રસારિત થાય છે.
કારણ $R$ એ પાસ્કલના સિદ્ધાંતની ઔપચારિક વ્યાખ્યા છે,જે જણાવે છે કે બંધ અદબનીય પ્રવાહી પર લાગુ કરાયેલ દબાણમાં ફેરફાર પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર અવિભાજિત રીતે પ્રસારિત થાય છે.
જેમ કે $A$ માં વર્ણવેલ ઘટના $R$ માં વર્ણવેલ ભૌતિક નિયમને કારણે જ થાય છે,તેથી $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|\vec{v}_{avg}| = \frac{|\vec{r}_B - \vec{r}_A|}{\Delta t}$.
સ્થાનાંતર $|\vec{r}_B - \vec{r}_A|$ એ જીવા $AB$ ની લંબાઈ છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં,$\theta = 120^{\circ}$ ખૂણા માટે જીવાની લંબાઈ $2R \sin(\theta/2) = 2R \sin(60^{\circ}) = 2R(\sqrt{3}/2) = R\sqrt{3}$ થાય છે.
લાગતો સમય $\Delta t$ એ ચાપની લંબાઈ અને ઝડપ $v$ નો ગુણોત્તર છે. ચાપની લંબાઈ $s = R\theta = R(2\pi/3)$ છે.
તેથી,$\Delta t = s/v = (2\pi R / 3) / \pi = 2R/3$.
આમ,$|\vec{v}_{avg}| = \frac{R\sqrt{3}}{2R/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3} \, m/s$.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $C = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
તાપમાન $T$ અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ($H_2$ અને $O_2$ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ માટે) સમાન હોવાથી,ધ્વનિની ઝડપ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $C \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$ છે.
તેથી,હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનમાં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{C_{H_2}}{C_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T = 3.14\,s$ અને $\pi \approx 3.14$ આપેલ છે,તેથી $\omega = \frac{2 \times 3.14}{3.14} = 2\,rad/s$.
કેન્દ્રત્યાગી બળ $F_c$ નું સૂત્ર $F_c = m\omega^2R$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 5\,kg$,$\omega = 2\,rad/s$,અને $R = 2\,m$.
$F_c = 5 \times (2)^2 \times 2 = 5 \times 4 \times 2 = 40\,N$.
તેથી,બાળક પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $40\,N$ છે.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 10.0 \, m/s$
અંતિમ વેગ $v = 60.0 \, m/s$
પ્રવેગ $a = 2.0 \, m/s^2$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = u + at$
કિંમતો મૂકતા:
$60.0 = 10.0 + (2.0)t$
$60.0 - 10.0 = 2.0t$
$50.0 = 2.0t$
$t = \frac{50.0}{2.0} = 25.0 \, s$
તેથી,લાગતો સમય $25 \, s$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે ગ્રહ સૂર્યની નજીક હોય ત્યારે તે ઝડપથી ગતિ કરે છે અને જ્યારે તે દૂર હોય ત્યારે ધીમો પડે છે.
તેથી,લંબગોળ કક્ષામાં સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહની રેખીય ઝડપ અચળ રહેતી નથી.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહની ઝડપ $v = \sqrt{GM/r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે નિશ્ચિત ત્રિજ્યા $r$ માટે અચળ છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે લંબગોળ કક્ષામાં ગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે પૃથ્વીનું દળ કોઈપણ પડતા પદાર્થની સરખામણીમાં ઘણું વધારે છે,જેના કારણે તેનો પ્રવેગ અને સ્થાનાંતર નગણ્ય બને છે.
આમ,ખોટું વિધાન $D$ છે.

(D) આદર્શ વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 200 \ K$ અને $T_2 = 800 \ K$.
આપેલ છે કે $V_{rms,1} = v_0$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{V_{rms,2}}{V_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{rms,2}}{v_0} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$V_{rms,2} = 2 v_0$.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 60^{\circ}\,C$,અંતિમ તાપમાન $T_2 = 40^{\circ}\,C$,સમય $t = 7$ મિનિટ,અને આસપાસનું તાપમાન $T_s = 10^{\circ}\,C$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{60 - 40}{7} = K \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right)$
$\frac{20}{7} = K(50 - 10) = 40K$
$K = \frac{20}{7 \times 40} = \frac{1}{14} \ldots (i)$
હવે,પછીની $7$ મિનિટ માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે:
$\frac{40 - T}{7} = K \left( \frac{40 + T}{2} - 10 \right)$
$K = \frac{1}{14}$ મૂકતા:
$\frac{40 - T}{7} = \frac{1}{14} \left( \frac{40 + T - 20}{2} \right)$
$\frac{40 - T}{7} = \frac{1}{14} \left( \frac{20 + T}{2} \right)$
$2(40 - T) = \frac{20 + T}{4}$
$8(40 - T) = 20 + T$
$320 - 8T = 20 + T$
$9T = 300$
$T = \frac{300}{9} = 33.33^{\circ}\,C \approx 34^{\circ}\,C$ (આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત).

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 100\,N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં $h = \frac{R}{4}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/4} \right)^2 = g \left( \frac{R}{5R/4} \right)^2 = g \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25}g$.
$h$ ઊંચાઈએ વજન $W' = mg' = m \left( \frac{16}{25}g \right) = \frac{16}{25} \times W$ થાય.
$W = 100\,N$ મૂકતા:
$W' = \frac{16}{25} \times 100 = 16 \times 4 = 64\,N$.

(C) તણાવ પ્રતિબળ $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ દીઠ બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $F = mg$ અને $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ છે.
આપેલ છે: $\sigma = 7 \times 10^5\,N m^{-2}$,$D = 14\,mm = 14 \times 10^{-3}\,m$,$g = 9.8\,m s^{-2}$,અને $\pi = \frac{22}{7}$.
આ મૂલ્યોને સૂત્ર $\sigma = \frac{4mg}{\pi D^2}$ માં મૂકતા:
$m = \frac{\sigma \pi D^2}{4g}$
$m = \frac{(7 \times 10^5) \times (22/7) \times (14 \times 10^{-3})^2}{4 \times 9.8}$
$m = \frac{(7 \times 10^5) \times (22/7) \times (196 \times 10^{-6})}{39.2}$
$m = \frac{22 \times 10^5 \times 28 \times 10^{-6}}{39.2} = \frac{616 \times 10^{-1}}{39.2} = \frac{61.6}{39.2} = 11\,kg$.

(C) રીંગ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M_1 R_1^2$ છે. $I = M_1 K_1^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_1 = R_1$ થાય.
નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{2}{5} M_2 R_2^2$ છે. $I' = M_2 K_2^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_2 = \sqrt{\frac{2}{5}} R_2$ થાય.
આપેલ છે કે બંનેની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા સમાન છે,તેથી $K_1 = K_2$.
તેથી,$R_1 = \sqrt{\frac{2}{5}} R_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{2}{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(C) સાદા લોલકમાં મહત્તમ તણાવ મધ્યમાન સ્થાને જોવા મળે છે,જેનું સૂત્ર $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા એ અંતિમ સ્થાને સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - \cos \theta_0)$,જ્યાં $\sin \theta_0 = \frac{A}{l} = \frac{10}{100} = 0.1$.
તેથી,$\frac{mv^2}{l} = 2mg(1 - \cos \theta_0)$.
આ કિંમત તણાવના સૂત્રમાં મૂકતા: $T_{max} = mg + 2mg(1 - \cos \theta_0) = mg(3 - 2\cos \theta_0)$.
અહીં $\cos \theta_0 = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_0} = \sqrt{1 - (0.1)^2} = \sqrt{0.99} \approx 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$.
$T_{max} = 0.25 \times 9.8 \times (3 - 2 \times 0.995) = 2.45 \times (3 - 1.99) = 2.45 \times 1.01 = 2.4745$.
આપેલ છે કે $T_{max} = \frac{x}{40}$,તેથી $x = 40 \times 2.4745 = 98.98 \approx 99$.

(C) ધારો કે $V_1$ એ જમીન સાથે અથડાયા પહેલાનો વેગ છે અને $V_2$ એ જમીન સાથે અથડાયા પછીનો વેગ છે.
આપેલ છે કે વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = 4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $V_1 = 4V_2$.
જમીન સાથે અથડાયા પહેલાની ગતિ ઊર્જા $KE_{before} = \frac{1}{2}mV_1^2$ છે.
જમીન સાથે અથડાયા પછીની ગતિ ઊર્જા $KE_{after} = \frac{1}{2}mV_2^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{V_1}{4}\right)^2 = \frac{1}{2}mV_1^2 \times \frac{1}{16}$ છે.
ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta KE = KE_{before} - KE_{after} = \frac{1}{2}mV_1^2 \left(1 - \frac{1}{16}\right) = \frac{15}{32}mV_1^2$ છે.
ગતિ ઊર્જામાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta KE}{KE_{before}} \times 100 = \left(1 - \frac{1}{16}\right) \times 100 = \frac{15}{16} \times 100 = \frac{1500}{16} = \frac{375}{4} \%$ છે.
આને $\frac{x}{4} \%$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 375$ મળે છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $A$ માટે: $u_1 = 40\,m/s$,$\theta_1 = 30^{\circ}$.
$R_A = \frac{40^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{1600 \sin(60^{\circ})}{g} = \frac{1600 \times \sqrt{3}}{2g} = \frac{800\sqrt{3}}{g}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $B$ માટે: $u_2 = 60\,m/s$,$\theta_2 = 60^{\circ}$.
$R_B = \frac{60^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{3600 \sin(120^{\circ})}{g} = \frac{3600 \times \sqrt{3}}{2g} = \frac{1800\sqrt{3}}{g}$.
તેમની અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = \frac{800\sqrt{3}/g}{1800\sqrt{3}/g} = \frac{800}{1800} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ છે.

(D) વિધાન $I:$ $\Delta Q > 0$. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. જો સિસ્ટમમાં ઉષ્મા ઉમેરવામાં આવે,તો સિસ્ટમ દ્વારા એવું કાર્ય $W$ થઈ શકે કે જેથી $W > \Delta Q$ થાય,જેના પરિણામે $\Delta U < 0$ (આંતરિક ઉર્જા અને તાપમાનમાં ઘટાડો) થાય. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II:$ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $W > 0$ હોય,તો $\int P \, dV > 0$ થાય. વાયુ માટે દબાણ $P$ હંમેશા ધન હોવાથી,કદમાં ફેરફાર $dV$ ધન હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમનું કદ વધવું જોઈએ. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 400\,N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાણે,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં ઊંડાઈ $d = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
આ ઊંડાણે પદાર્થનું નવું વજન $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ થશે.
આમ,$mg = 400\,N$ હોવાથી,$W' = \frac{400}{2} = 200\,N$ મળે.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત એકમ કદ દીઠ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{યંગ મોડ્યુલસ} \times (\text{વિકૃતિ})^2$
આપેલ છે:
$Y = 7.0 \times 10^{10} \ N/m^2$
$\text{વિકૃતિ} = 0.04 \% = \frac{0.04}{100} = 4 \times 10^{-4}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (7.0 \times 10^{10}) \times (4 \times 10^{-4})^2$
$u = \frac{1}{2} \times 7.0 \times 10^{10} \times 16 \times 10^{-8}$
$u = 3.5 \times 16 \times 10^2$
$u = 56 \times 10^2 = 5600 \ J/m^3$
આમ,એકમ કદ દીઠ ઉર્જા $5600 \ J/m^3$ છે.

(A) આપેલ દળ $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$ છે.
વેગ સદિશ $\vec{v} = 2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a}$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) = 2 \hat{i} + 6t \hat{j}$.
$t = 1 \, s$ સમયે,પ્રવેગ $\vec{a} = 2 \hat{i} + 6(1) \hat{j} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} \, ms^{-2}$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m\vec{a} = 0.5(2 \hat{i} + 6 \hat{j}) = 1 \hat{i} + 3 \hat{j} \, N$.
આને આપેલ બળ $(\hat{i} + x \hat{j}) \, N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યાની ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U = 2E$. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
ઉપગ્રહની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{GMm}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને કુલ ઉર્જા $E$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $K = -E$,જેનો અર્થ છે કે ગતિ ઉર્જાનું મૂલ્ય $|K|$ એ કુલ ઉર્જાના મૂલ્ય $|E|$ જેટલું જ છે.
આમ,વિધાન $II$ પણ ખોટું છે.

(D) ધારો કે બે બળો $\vec{F}_1$ અને $\vec{F}_2$ છે,જ્યાં $|\vec{F}_1| = A$ અને $|\vec{F}_2| = \frac{A}{2}$ છે.
બળો એકબીજાને લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
પરિણામી બળ $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos 90^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,સમીકરણ આ રીતે સાદું બને છે:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{F}| = \sqrt{A^2 + \left(\frac{A}{2}\right)^2} = \sqrt{A^2 + \frac{A^2}{4}}$
$|\vec{F}| = \sqrt{\frac{4A^2 + A^2}{4}} = \sqrt{\frac{5A^2}{4}}$
$|\vec{F}| = \frac{\sqrt{5}A}{2}$

(B) ડોપ્લર અસર એ ધ્વનિના ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિને કારણે ઉદ્ભવે છે.
આ કિસ્સામાં,મુસાફર ટ્રેનની અંદર છે અને એન્જિન (ધ્વનિનું ઉદગમ) પણ તે જ ટ્રેનનો ભાગ છે.
તેથી,ઉદગમ અને અવલોકનકાર બંને એક જ વેગથી સાથે ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $0\,ms^{-1}$ છે.
ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ ન હોવાથી,આવૃત્તિમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,મુસાફર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ એ સીટી દ્વારા ઉત્પન્ન થતી આવૃત્તિ જેટલી જ એટલે કે $400\,Hz$ રહેશે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 1\,cm^3$
ઊંડાઈ $h = 40\,m$
વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = 1 \times 10^5\,Pa$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000\,kg/m^3$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$
તાપમાન અચળ છે.
તળાવના તળિયે દબાણ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_1 = P_0 + \rho gh$
$P_1 = 1 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 40) = 1 \times 10^5 + 4 \times 10^5 = 5 \times 10^5\,Pa$
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$P_1 V_1 = P_0 V_2$
$5 \times 10^5 \times 1 = 1 \times 10^5 \times V_2$
$V_2 = 5\,cm^3$
તેથી,જ્યારે હવાના પરપોટો સપાટી પર પહોંચે છે ત્યારે તેનું કદ $5\,cm^3$ હશે.

(D) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $(I_s)$ નું સૂત્ર $I_s = \frac{NBA}{k}$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$A$ એ ક્ષેત્રફળ અને $k$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે.
અહીં $I_s \propto N$ હોવાથી,જો $I_s$ માં $50 \%$ નો વધારો થાય,તો નવા આંટાઓની સંખ્યા $N' = 1.5N$ થાય.
વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $(V_s)$ નું સૂત્ર $V_s = \frac{I_s}{R}$ છે,જ્યાં $R$ એ ગૂંચળાનો અવરોધ છે.
અવરોધ $R$ એ તારની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને લંબાઈ એ આંટાઓની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R \propto N)$.
તેથી,$V_s = \frac{I_s}{R} \propto \frac{N}{N} = \text{અચળ}$.
આમ,$V_s$ એ આંટાઓની સંખ્યા $N$ પર આધારિત નથી,તેથી વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $0 \%$ છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc = 1240 \, eV \cdot nm$ અને $\lambda = 350 \, nm$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = \frac{1240}{350} \approx 3.54 \, eV$ મળે છે.
ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે હોય $(E > \Phi)$.
ધાતુ $A$ માટે: $\Phi_A = 4.8 \, eV$. $3.54 \, eV < 4.8 \, eV$ હોવાથી,ધાતુ $A$ ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે નહીં.
ધાતુ $B$ માટે: $\Phi_B = 2.2 \, eV$. $3.54 \, eV > 2.2 \, eV$ હોવાથી,ધાતુ $B$ ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.
તેથી,ધાતુ $A$ ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે નહીં.

(A) આપેલ અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજનું સમીકરણ $V = V_m \sin(\omega t)$ છે.
તેને $V = 260 \sin(628t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 628\,rad/s$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટરનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5\,mH = 5 \times 10^{-3}\,H$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$X_L = 628 \times 5 \times 10^{-3} = 3140 \times 10^{-3} = 3.14\,\Omega$.
તેથી,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $3.14\,\Omega$ છે.

(C) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$1$. માઇક્રોવેવ્ઝ $(A)$ નો ઉપયોગ એરક્રાફ્ટ નેવિગેશન $(IV)$ માટે રડાર સિસ્ટમમાં થાય છે.
$2$. $UV$ કિરણો $(B)$ નો ઉપયોગ લેસિક આઈ સર્જરી $(III)$ માં થાય છે.
$3$. ઇન્ફ્રારેડ કિરણો $(C)$ નો ઉપયોગ ફિઝિયોથેરાપી $(I)$ માં ગરમીની સારવાર આપવા માટે થાય છે.
$4$. $X$-કિરણો $(D)$ નો ઉપયોગ કેન્સરની સારવાર $(II)$ (રેડિયોથેરાપી) માં થાય છે.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-I, D-II$ છે.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n$મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
આપેલ પરમાણુ માટે $a_0$ અને $Z$ અચળ હોવાથી,$r_n \propto n^2$ મળે.
આપેલ છે કે $2$જી કક્ષા $(n=2)$ ની ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી $R = k(2)^2 = 4k$ લખી શકાય,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
$3$જી કક્ષા $(n=3)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_3 = k(3)^2 = 9k$ થશે.
હવે,ગુણોત્તર શોધતા: $\frac{r_3}{R} = \frac{9k}{4k} = \frac{9}{4} = 2.25$.
તેથી,$3$જી કક્ષાની ત્રિજ્યા $2.25R$ થશે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્રમાંના તમામ વિદ્યુતભારો ધન હોવાથી,સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$ હંમેશા ધન પદોનો સરવાળો હશે,જે અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ (અનંત સિવાય) ક્યારેય શૂન્ય થઈ શકતું નથી.
જોકે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \sum \frac{kq_i}{r_i^2} \hat{r}_i$ એ સદિશ રાશિ છે. વિદ્યુતભારોના સમૂહ માટે,અવકાશમાં એવા બિંદુઓ હોઈ શકે છે જ્યાં વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોના વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય,પરિણામે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય મળે.
તેથી,ધન વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે,કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય ન હોઈ શકે,પરંતુ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર કોઈ બિંદુએ શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(C) વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં ત્રણેય વિભાગોમાં ડોપિંગનું સ્તર અલગ-અલગ હોય છે. એમિટર ભારે ડોપ્ડ હોય છે,બેઝ હળવા ડોપ્ડ હોય છે અને કલેક્ટર મધ્યમ ડોપ્ડ હોય છે.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે કલેક્ટરને સૌથી મોટો (જાડો) બનાવવામાં આવે છે જેથી કાર્ય દરમિયાન ઉત્પન્ન થતી ગરમીનો નિકાલ થઈ શકે,અને બેઝને ખૂબ જ પાતળો બનાવવામાં આવે છે જેથી એમિટરમાંથી આવતા મોટાભાગના ચાર્જ કેરિયર્સ કલેક્ટરમાં પસાર થઈ શકે.
તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) આપેલ પરિમાણો $R = 80\,\Omega$,$X_{L} = 100\,\Omega$ અને $X_{C} = 40\,\Omega$ છે.
પીક વોલ્ટેજ (કંપવિસ્તાર) $V_{0} = 2500\,V$ છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_{L} - X_{C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{80^2 + (100 - 40)^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_{0}$ એ $I_{0} = \frac{V_{0}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_{0} = \frac{2500}{100} = 25\,A$.

(C) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે શલાકાની પહોળાઈ $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda_1 = 800 \, nm = 8 \times 10^{-7} \, m$,$\lambda_2 = 600 \, nm = 6 \times 10^{-7} \, m$,$D = 7 \, m$,અને $d = 0.35 \, mm = 3.5 \times 10^{-4} \, m$.
શલાકાની પહોળાઈની ગણતરી:
$\omega_1 = \frac{8 \times 10^{-7} \times 7}{3.5 \times 10^{-4}} = 16 \times 10^{-3} \, m = 16 \, mm$.
$\omega_2 = \frac{6 \times 10^{-7} \times 7}{3.5 \times 10^{-4}} = 12 \times 10^{-3} \, m = 12 \, mm$.
પ્રકાશિત શલાકાઓ મધ્યસ્થ અધિકતમથી $y$ અંતરે સંપાત થાય છે જ્યાં $y = n_1 \omega_1 = n_2 \omega_2$,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ પૂર્ણાંક છે.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $\omega_1$ અને $\omega_2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીએ છીએ.
$LCM(16, 12) = 48 \, mm$.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $48 \, mm$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2}\,eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6\,eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા (બાઈન્ડિંગ એનર્જી) આ ઉર્જાનું મૂલ્ય છે,જે $13.6\,eV$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ ઉર્જા $x \times 10^{-1}\,eV$ છે.
તેથી,$13.6 = x \times 10^{-1} \implies x = 136$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. તેથી,કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સર્કિટ $6 \ V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે.
શાખા $ABC$ માં શ્રેણીમાં બે અવરોધ છે: $2 \ \Omega$ અને $1 \ \Omega$. આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{ABC} = 2 + 1 = 3 \ \Omega$ છે.
આ શાખામાં પ્રવાહ $i_{ABC} = \frac{6 \ V}{3 \ \Omega} = 2 \ A$ છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A - V_B = i_{ABC} \times 2 \ \Omega = 2 \ A \times 2 \ \Omega = 4 \ V$ છે. જો $V_A = 6 \ V$ અને $V_C = 0 \ V$ લઈએ,તો $V_B = 6 - 4 = 2 \ V$ થાય.
શાખા $ADC$ માં શ્રેણીમાં બે અવરોધ છે: $10 \ \Omega$ અને $2 \ \Omega$. આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{ADC} = 10 + 2 = 12 \ \Omega$ છે.
આ શાખામાં પ્રવાહ $i_{ADC} = \frac{6 \ V}{12 \ \Omega} = 0.5 \ A$ છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A - V_D = i_{ADC} \times 10 \ \Omega = 0.5 \ A \times 10 \ \Omega = 5 \ V$ છે. તેથી,$V_D = 6 - 5 = 1 \ V$ થાય.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\left| V_{B}-V_{D}\right| = |2 \ V - 1 \ V| = 1 \ V$ છે.

(C) પ્રારંભિક સ્થિતિ: બંને કેપેસિટર $C = 10 \mu F$ ધરાવે છે અને $V_0 = 100 \, V$ સુધી ચાર્જ થયેલ છે.
$C_1$ માટે: તે સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ રહે છે. જ્યારે $K = 10$ નો ડાયલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_1' = K \cdot C = 10 \times 10 \mu F = 100 \mu F$ થાય છે. તે સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ હોવાથી,પોટેન્શિયલ $V_1 = 100 \, V$ રહે છે. $C_1$ પરનો ચાર્જ $Q_1 = C_1' \cdot V_1 = 100 \mu F \times 100 \, V = 10000 \mu C$ છે.
$C_2$ માટે: તે સ્ત્રોતથી અલગ કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો ચાર્જ અચળ રહે છે. $Q_2 = C \cdot V_0 = 10 \mu F \times 100 \, V = 1000 \mu C$. જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_2' = K \cdot C = 100 \mu F$ થાય છે. $C_2$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_2 = Q_2 / C_2' = 1000 \mu C / 100 \mu F = 10 \, V$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિ: કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે. કુલ ચાર્જ $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 10000 \mu C + 1000 \mu C = 11000 \mu C$. કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1' + C_2' = 100 \mu F + 100 \mu F = 200 \mu F$.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = Q_{total} / C_{eq} = 11000 \mu C / 200 \mu F = 55 \, V$.

(B) $1$. શુદ્ધ (Intrinsic) સેમિકન્ડક્ટર: શુદ્ધ સેમિકન્ડક્ટરમાં,કન્ડક્શન બેન્ડમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વેલેન્સ બેન્ડમાં રહેલા હોલ્સની સંખ્યા જેટલી હોય છે. તેથી,ફર્મી લેવલ ફોરબિડન એનર્જી ગેપની બરાબર મધ્યમાં હોય છે. તેથી,$A \rightarrow II$.
$2$. $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર: $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,ડોનર એનર્જી લેવલ કન્ડક્શન બેન્ડની બરાબર નીચે ઉમેરવામાં આવે છે. પરિણામે,ફર્મી લેવલ કન્ડક્શન બેન્ડ તરફ ઉપરની તરફ ખસે છે. તેથી,$B \rightarrow I$.
$3$. $p$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર: $p$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,એક્સેપ્ટર એનર્જી લેવલ વેલેન્સ બેન્ડની બરાબર ઉપર ઉમેરવામાં આવે છે. પરિણામે,ફર્મી લેવલ વેલેન્સ બેન્ડ તરફ નીચેની તરફ ખસે છે. તેથી,$C \rightarrow III$.
$4$. ધાતુઓ: ધાતુઓમાં,વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે,અને ફર્મી લેવલ કન્ડક્શન બેન્ડની અંદર હોય છે. તેથી,$D \rightarrow IV$.
તેથી,સાચી જોડી $(A \rightarrow II, B \rightarrow I, C \rightarrow III, D \rightarrow IV)$ છે.

(C) $AC$ જનરેટરનો કાર્યકારી સિદ્ધાંત વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ પર આધારિત છે $(A-II)$.
ટ્રાન્સફોર્મરનો કાર્યકારી સિદ્ધાંત મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ (પરસ્પર પ્રેરકત્વ) પર આધારિત છે $(B-IV)$.
$AC$ સર્કિટમાં અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ બંને હાજર હોય,જે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સાથે રદ કરવાની મંજૂરી આપે છે $(C-I)$.
અનુનાદની તીક્ષ્ણતા સર્કિટના ક્વોલિટી ફેક્ટર ($Q$-ફેક્ટર) દ્વારા માપવામાં આવે છે $(D-III)$.
તેથી,સાચી જોડ $A-II, B-IV, C-I, D-III$ છે.

(B) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$1$. માઇક્રોવેવ્સ ક્લાઇસ્ટ્રોન વાલ્વ અથવા મેગ્નેટ્રોન વાલ્વ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે $(A-IV)$.
$2$. ગેમા કિરણો ન્યુક્લિયસના રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે $(B-I)$.
$3$. રેડિયો તરંગો એરિયલ્સમાં ઇલેક્ટ્રોનના ઝડપી પ્રવેગ અને પ્રતિપ્રવેગ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે $(C-II)$.
$4$. $X$-કિરણો ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન ધાતુના લક્ષ્ય સાથે અથડાય છે,જેનાથી આંતરિક કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોનનું સંક્રમણ થાય છે $(D-III)$.
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-I, C-II, D-III$ છે.

(B) જ્યારે $I$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝિંગ શીટમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તીવ્રતા $I_1 = \frac{I}{2}$ થાય છે.
ત્યારબાદની શીટ્સ માટે,આપણે મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I_{k} = I_{k-1} \cos^2(\theta)$,જ્યાં $\theta = 45^{\circ}$.
કારણ કે $\cos^2(45^{\circ}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$,દરેક શીટ પછી તીવ્રતા અડધી થાય છે.
પ્રથમ શીટ પછી,તીવ્રતા $I_1 = \frac{I}{2}$ છે.
બીજી શીટ પછી,$I_2 = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{I}{2^2}$.
$n$-મી શીટ પછી,તીવ્રતા $I_n = \frac{I}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{I}{2^n}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $I_n = \frac{I}{64}$,તેથી $\frac{I}{2^n} = \frac{I}{64}$.
$2^n = 64 = 2^6$.
તેથી,$n = 6$.

(C) બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે સીધા તારના ટુકડાઓ અને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
$1$. અર્ધ-અનંત સીધા તાર માટે,$r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ છે. બે આવા ટુકડાઓ માટે,કુલ ક્ષેત્ર $B_1 = 2 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ થાય.
$2$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{1}{2} \times \frac{\mu_0 i}{2 r} = \frac{\mu_0 i}{4 r}$ છે.
$3$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_P = B_1 + B_{arc} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 i}{4 r}$ છે.
$4$. $\frac{\mu_0 i}{2 r}$ સામાન્ય લેતા,$B_P = \frac{\mu_0 i}{2 r} \left( \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} \right)$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(B) $FM$ (ફ્રીક્વન્સી મોડ્યુલેશન) રેડિયો પ્રસારણ માટેની પ્રમાણભૂત આવૃત્તિ શ્રેણી $88\,MHz$ થી $108\,MHz$ છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$A) 106\,MHz$ આ શ્રેણીમાં આવે છે.
$B) 64\,MHz$ આ શ્રેણીની બહાર છે.
$C) 99\,MHz$ આ શ્રેણીમાં આવે છે.
$D) 89\,MHz$ આ શ્રેણીમાં આવે છે.
તેથી,$64\,MHz$ એ $FM$ બ્રોડકાસ્ટ બેન્ડનો ભાગ નથી.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$p = \frac{h}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
બંને કણોની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $K \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $(K_p)$ અને આલ્ફા કણની ગતિઊર્જા $(K_\alpha)$ નો ગુણોત્તર $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p}$ થાય.
આલ્ફા કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતાં આશરે $4$ ગણું હોવાથી $(m_\alpha \approx 4m_p)$,આપણને $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{4m_p}{m_p} = 4:1$ મળે છે.

(D) આપેલ પરિપથ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે નોડ્સને એવી રીતે નામ આપવામાં આવ્યા છે કે જેથી અવરોધો $R$,$3R$,$2R$ અને $6R$ બ્રિજની ચાર ભુજાઓ બનાવે છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત તપાસતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$.
અહીં,$\frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{3R}{6R} = \frac{1}{2}$ છે.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે અને મધ્યના અવરોધ $(9R)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: એક $(R + 3R) = 4R$ અને બીજી $(2R + 6R) = 8R$ સાથે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{8R} = \frac{2+1}{8R} = \frac{3}{8R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{8R}{3}$.

(D) પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત પાતળી શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ અને તેનાથી દૂર જતો એકમ સદિશ છે.
ધારો કે જમણી બાજુની દિશા એ ધન દિશા $\hat{n}$ છે.
વિસ્તાર $I$ માં (બંને શીટ્સની ડાબી બાજુએ),બંને શીટ્સ ડાબી તરફ $(-\hat{n})$ નિર્દેશિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે:
$\vec{E}_{ I } = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n}$.
વિસ્તાર $II$ માં (બે શીટ્સની વચ્ચે),ડાબી શીટ જમણી તરફ $(+\hat{n})$ અને જમણી શીટ ડાબી તરફ $(-\hat{n})$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે:
$\vec{E}_{ II } = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = 0$.
વિસ્તાર $III$ માં (બંને શીટ્સની જમણી બાજુએ),બંને શીટ્સ જમણી તરફ $(+\hat{n})$ નિર્દેશિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે:
$\vec{E}_{ III } = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n}$.

(B) હિલિયમ ન્યુક્લિયસ $(_{2}^{4}He)$ માં $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\Delta m = (2 m_p + 2 m_n) - m_{He}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta m = [2(1.0073) + 2(1.0087)] - 4.0015$.
$\Delta m = [2.0146 + 2.0174] - 4.0015 = 4.0320 - 4.0015 = 0.0305\,u$.
કારણ કે $1\,u = 931.5\,MeV/c^2$, તેથી બંધન ઉર્જા $(B.E.)$:
$B.E. = \Delta m \times 931.5\,MeV$.
$B.E. = 0.0305 \times 931.5 \approx 28.4\,MeV$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
જ્યારે કણ $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થાય,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $r^2 = \frac{2mV}{B^2 q} \implies m = \frac{r^2 q B^2}{2V}$.
આપેલ છે: $q = 2 \times 10^{-6}\,C$,$V = 100\,V$,$B = 4 \times 10^{-3}\,T$,$r = 3 \times 10^{-2}\,m$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{(3 \times 10^{-2})^2 \times (2 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-3})^2}{2 \times 100}$.
$m = \frac{(9 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{-6}) \times (16 \times 10^{-6})}{200} = \frac{288 \times 10^{-16}}{200} = 1.44 \times 10^{-16}\,kg = 144 \times 10^{-18}\,kg$.

(B) પોટેન્શિયોમીટર માટે,કોષનું $emf$ એ સંતુલન લંબાઈ $(l)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto l$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
આપેલ છે કે $E_1 = 1.5 \ V$ અને $l_1 = 60 \ cm$.
નવી લંબાઈ $l_2 = l_1 + 40 \ cm = 60 + 40 = 100 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.5}{E} = \frac{60}{100}$.
$\frac{1.5}{E} = \frac{6}{10} = 0.6$.
$E = \frac{1.5}{0.6} = \frac{15}{6} = 2.5 \ V$.
આપેલ છે કે $E = \frac{x}{10} \ V$,તેથી $\frac{x}{10} = 2.5$.
$x = 25$.

(B) ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \; eV$ છે.
જ્યારે પરમાણુ $12.75 \; eV$ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનું શોષણ કરે છે,ત્યારે તેની નવી ઉર્જા $E_n$ નીચે મુજબ થાય છે:
$E_n = E_1 + 12.75 = -13.6 + 12.75 = -0.85 \; eV$.
$E_n = \frac{-13.6}{n^2} \; eV$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{-13.6}{n^2} = -0.85$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$.
$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ બોહરના અધિતર્ક મુજબ:
$L = \frac{nh}{2\pi} = \frac{4h}{2\pi} = \frac{2h}{\pi}$.
$h = 4.14 \times 10^{-15} \; eVs$ મૂકતા:
$L = \frac{2 \times 4.14 \times 10^{-15}}{\pi} = \frac{8.28 \times 10^{-15}}{\pi} = \frac{828 \times 10^{-17}}{\pi} \; eVs$.
આને $\frac{x}{\pi} \times 10^{-17} \; eVs$ સાથે સરખાવતા,$x = 828$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q$ ને $(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ ને $(x, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા $q_0$ પર લાગતું બળ $F' = \frac{K q q_0}{x^2 + a^2}$ છે.
આ બળોના $y$-અક્ષ પરના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે $x$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
પરિણામી બળ $F = 2 F' \cos \theta = 2 \left( \frac{K q q_0}{x^2 + a^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right) = \frac{2 K q q_0 x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ છે.
મહત્તમ બળ શોધવા માટે,આપણે $\frac{dF}{dx} = 0$ લઈએ છીએ.
$\frac{d}{dx} [x(x^2 + a^2)^{-3/2}] = (x^2 + a^2)^{-3/2} + x \cdot (-\frac{3}{2}) (x^2 + a^2)^{-5/2} \cdot 2x = 0$.
$(x^2 + a^2)^{-3/2} = 3x^2 (x^2 + a^2)^{-5/2}$.
$x^2 + a^2 = 3x^2 \implies 2x^2 = a^2 \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
આને $\frac{a}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -20\,cm$. સળિયાનું મધ્યબિંદુ ધ્રુવથી $40\,cm$ અંતરે છે. સળિયાની લંબાઈ $10\,cm$ હોવાથી,તેના છેડા $A$ અને $B$ ધ્રુવથી અનુક્રમે $u_A = -(40 + 5) = -45\,cm$ અને $u_B = -(40 - 5) = -35\,cm$ અંતરે છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = \frac{uf}{u-f}$ મળે.
છેડા $A$ માટે: $v_A = \frac{(-45)(-20)}{-45 - (-20)} = \frac{900}{-25} = -36\,cm$.
છેડા $B$ માટે: $v_B = \frac{(-35)(-20)}{-35 - (-20)} = \frac{700}{-15} = -\frac{140}{3}\,cm$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ $|v_A - v_B| = |-36 - (-140/3)| = |-108/3 + 140/3| = |32/3|\,cm$ થાય.
આને $\frac{x}{3}\,cm$ સાથે સરખાવતા,$x = 32$ મળે.

(B) ઉર્જા પૂરી પાડવાનો સરેરાશ દર મહત્તમ કરવા માટે,સર્કિટમાં પાવર મહત્તમ હોવો જોઈએ.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં પાવર મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આપેલ છે $X_L = 79.6\,\Omega$ અને આવૃત્તિ $f = 50\,Hz$.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ છે.
$X_L$ અને $X_C$ ને સરખાવતા: $79.6 = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 50 \times C}$.
$C = \frac{1}{314.16 \times 79.6} \approx \frac{1}{25007} \approx 3.998 \times 10^{-5}\,F$.
$C \approx 40 \times 10^{-6}\,F = 40\,\mu F$.

(A) $Q$ ચાર્જ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વાહક ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર નક્કર અને પોલા બંને વાહક ગોળાઓ માટે લાગુ પડે છે કારણ કે ચાર્જ સંપૂર્ણપણે બહારની સપાટી પર રહે છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓની ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે અને બંને સમાન સ્થિતિમાન $V$ પર ચાર્જ થયેલ છે,તેથી $V = \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 R}$ અને $V = \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 R}$ મળે.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને $Q_1 = Q_2$ મળે છે.
તેથી,નક્કર ગોળા અને પોલા ગોળા પર સમાન ચાર્જ હશે,જે વિધાન $A$ ને ખોટું સાબિત કરે છે.
કારણ $R$ જણાવે છે કે ધાતુના ગોળાનું કેપેસીટન્સ તેની ત્રિજ્યા $(C = 4\pi\epsilon_0 R)$ પર આધાર રાખે છે,જે સાચું વિધાન છે.
આમ,$A$ ખોટું છે પણ $R$ સાચું છે.

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $\theta = \pi$ રેડિયન છે.
વાહકના સીધા ભાગો કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી કારણ કે બિંદુ $O$ આ સીધા તારની અક્ષ પર આવેલું છે.
આમ,કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે છે:
$B = \frac{\mu_0 I \pi}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{4 R}$.
અહીં $I = 3 \, A$,$R = \frac{\pi}{10} \, m$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ આપેલ છે:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{4 \times (\frac{\pi}{10})} = \frac{12 \pi \times 10^{-7}}{\frac{4 \pi}{10}} = \frac{12 \pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \pi} = 3 \times 10^{-6} \, T$.
કારણ કે $1 \, \mu T = 10^{-6} \, T$,તેથી $B = 3 \, \mu T$ મળે છે.

(D) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ સૂત્ર $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય છે,$A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $(B)$ બદલીને,ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. (વિધાન $A$ સાચું છે).
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ બદલીને,ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. (વિધાન $B$ સાચું છે).
$3$. ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અને કોઈલના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $(\theta)$ બદલીને,ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. (વિધાન $C$ સાચું છે).
$4$. ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાને અચાનક ઉલટાવીને,ખૂણો $\theta$ બદલાય છે (દા.ત. $0^\circ$ થી $180^\circ$),જેનાથી ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. (વિધાન $D$ સાચું છે).
તેથી,ચારેય પદ્ધતિઓ દ્વારા કોઈલમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરી શકાય છે.

(C) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના એમ્પ્લિટ્યુડ $(A_m)$ અને કેરિયર સિગ્નલના એમ્પ્લિટ્યુડ $(A_c)$ નો ગુણોત્તર છે: $\mu = \frac{A_m}{A_c}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનું એમ્પ્લિટ્યુડ $A_m = X$ છે અને કેરિયર સિગ્નલનું એમ્પ્લિટ્યુડ $A_c = Y$ છે. તેથી,$\mu_1 = \frac{X}{Y}$.
બીજા કિસ્સામાં,મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનું એમ્પ્લિટ્યુડ $A_m = X$ છે અને કેરિયર સિગ્નલનું એમ્પ્લિટ્યુડ $A_c = 2Y$ છે. તેથી,$\mu_2 = \frac{X}{2Y}$.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{X/Y}{X/2Y} = \frac{2}{1}$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -40\,cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે). કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = -20\,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
પદાર્થ $A$ માટે $u_1 = -15\,cm$:
$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{15} = \frac{-3 + 4}{60} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v_1 = 60\,cm$ (પ્રતિબિંબ આભાસી અને અરીસાની પાછળ છે).
પદાર્થ $B$ માટે $u_2 = -25\,cm$:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-25} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{25} = \frac{-5 + 4}{100} = -\frac{1}{100}$.
તેથી,$v_2 = -100\,cm$ (પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને અરીસાની સામે છે).
પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $d = |v_1 - v_2| = |60 - (-100)| = 160\,cm$.

(A) ધારો કે બહુકોણનો કુલ અવરોધ $R$ છે. તે $n$-બાજુવાળો બહુકોણ હોવાથી,દરેક બાજુનો અવરોધ $r = \frac{R}{n}$ થશે.
જ્યારે આપણે બે પાસપાસેના ખૂણાઓ,ધારો કે $A$ અને $B$ લઈએ,ત્યારે પરિપથ બે સમાંતર માર્ગોમાં વિભાજિત થાય છે:
$1$. સીધી બાજુ $AB$ જેનો અવરોધ $r$ છે.
$2$. બાકીની $(n-1)$ બાજુઓ જે શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે અને તેનો કુલ અવરોધ $(n-1)r$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ બે માર્ગોના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$R_{eq} = \frac{r \cdot (n-1)r}{r + (n-1)r}$
$R_{eq} = \frac{(n-1)r^2}{nr} = \frac{(n-1)r}{n}$
સમીકરણમાં $r = \frac{R}{n}$ મૂકતા:
$R_{eq} = \frac{(n-1)}{n} \cdot \frac{R}{n} = \frac{(n-1)R}{n^2}$

(A) વોલ્ટમીટરને તે ઘટકની સમાંતર જોડવામાં આવે છે જેના પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપવાનો હોય છે.
લોડિંગ અસરને ઘટાડવા અને માપેલ વોલ્ટેજ વાસ્તવિક વોલ્ટેજની શક્ય તેટલી નજીક રહે તેની ખાતરી કરવા માટે,વોલ્ટમીટરનો અવરોધ શક્ય તેટલો વધારે હોવો જોઈએ.
વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે $4000\,\Omega$ અવરોધ ધરાવતા વોલ્ટમીટરને $1000\,\Omega$ અવરોધ ધરાવતા વોલ્ટમીટર કરતા વધુ પસંદ કરવામાં આવે છે,કારણ કે ઉચ્ચ અવરોધ સર્કિટમાંથી ઓછો પ્રવાહ ખેંચે છે,જેનાથી માપનમાં ભૂલ ઘટે છે.
કારણ $R$ સાચું છે કારણ કે,ઓહ્મના નિયમ $(I = V/R)$ મુજબ,આપેલ વોલ્ટેજ $V$ માટે,ઉચ્ચ અવરોધ $R$ ને કારણે વોલ્ટમીટર દ્વારા ઓછો પ્રવાહ $I$ ખેંચાય છે.
તેથી,$A$ ખોટું છે પણ $R$ સાચું છે.

(A) $Zener$ ડાયોડ ખાસ કરીને રિવર્સ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કામ કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે.
જ્યારે તેને રિવર્સ બાયસમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઇનપુટ વોલ્ટેજ અથવા લોડ કરંટમાં ફેરફાર હોવા છતાં તેના ટર્મિનલ્સ પર અચળ વોલ્ટેજ જાળવી રાખે છે,આમ તે વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
ફોરવર્ડ બાયસમાં,તે બરાબર સામાન્ય $P-n$ જંકશન ડાયોડની જેમ વર્તે છે,જે ફોરવર્ડ વોલ્ટેજ બેરિયર પોટેન્શિયલ કરતા વધી જાય ત્યારે કરંટનું વહન કરે છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રારંભિક અવસ્થા $n_i$ થી અંતિમ અવસ્થા $n_f$ માં કૂદકો મારે ત્યારે મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ છે.
અહીં $Z = 4$,$n_i = 4$,અને $n_f = 2$ આપેલ છે:
$\Delta E = 13.6 \times (4)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 16 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 16 \left( \frac{4-1}{16} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 3 \text{ eV} = 40.8 \text{ eV}$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $\langle u_E \rangle$ અને સરેરાશ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $\langle u_B \rangle$ સમાન હોય છે.
$\langle u_E \rangle = \langle u_B \rangle$
કુલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $\langle u_{\text{total}} \rangle$ એ સરેરાશ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતાનો સરવાળો છે:
$\langle u_{\text{total}} \rangle = \langle u_E \rangle + \langle u_B \rangle = 2 \langle u_E \rangle$
તેથી,સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા અને કુલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\langle u_E \rangle}{\langle u_{\text{total}} \rangle} = \frac{\langle u_E \rangle}{2 \langle u_E \rangle} = \frac{1}{2}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = hf - \phi$ છે,જ્યાં $\phi = hf_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપાત આવૃત્તિ $f = 2f_0$ માટે:
$\frac{1}{2}mv_1^2 = h(2f_0) - hf_0 = hf_0$ --- $(1)$
આપાત આવૃત્તિ $f = 5f_0$ માટે:
$\frac{1}{2}mv_2^2 = h(5f_0) - hf_0 = 4hf_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{hf_0}{4hf_0}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$

(D) ન્યુક્લિયસ $A$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 17$. પ્રોટોનની સંખ્યા અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા સમાન હોવાથી, ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = 17$. તેથી, દળ ક્રમાંક $A_{mass} = Z + N = 17 + 17 = 34$ થશે.
$A$ ની કુલ બંધન ઉર્જા: $BE_A = (\text{ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા}) \times (\text{દળ ક્રમાંક}) = 1.2 \, MeV \times 34 = 40.8 \, MeV$.
ન્યુક્લિયસ $B$ માટે, દળ ક્રમાંક $A_{mass} = 26$ અને ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $1.8 \, MeV$ છે.
$B$ ની કુલ બંધન ઉર્જા: $BE_B = 1.8 \, MeV \times 26 = 46.8 \, MeV$.
બંધન ઉર્જાનો તફાવત: $\Delta BE = BE_B - BE_A = 46.8 \, MeV - 40.8 \, MeV = 6 \, MeV$.

(D) આપેલ છે: $N = 600$,$A = 70 \times 10^{-4} \, m^2$,$B = 0.4 \, T$,$f = \frac{500}{60} \, Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{500}{60} = \frac{50 \pi}{3} \, rad/s$.
તત્કાલીન emf નું સૂત્ર $e = N A B \omega \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે હોવાથી,સમતલના લંબ (ક્ષેત્રફળ સદિશ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
$e = 600 \times (70 \times 10^{-4}) \times 0.4 \times (\frac{50 \pi}{3}) \times \sin(30^{\circ})$.
$e = 600 \times 0.007 \times 0.4 \times \frac{50}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5$.
$e = 4.2 \times 0.4 \times \frac{50}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5$.
$e = 1.68 \times \frac{50}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5 = 44 \, V$.

(D) $10\,V$ અને $20\,V$ ની બેટરી વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $V_x = 20\,V$ ધારો. ડાબી બાજુના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $10\,V$ છે અને નીચેના અવરોધના જમણા છેડા પરનું સ્થિતિમાન $0\,V$ છે.
બે સમાંતર $10\,\Omega$ ના અવરોધો માટે,દરેક પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_x - 10\,V = 20\,V - 10\,V = 10\,V$ છે.
તેથી,$I_1 = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$ અને $I_2 = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$.
નીચેની શાખા માટે,$10\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $10\,V - 0\,V = 10\,V$ છે.
તેથી,$I_3 = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$.
હવે,જરૂરી મૂલ્યની ગણતરી કરતા:
$\left|\frac{I_1+I_3}{I_2}\right| = \left|\frac{1\,A + 1\,A}{1\,A}\right| = \left|\frac{2}{1}\right| = 2$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં જ્યારે એક સ્લિટની સામે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી પ્લેટ મૂકવામાં આવે ત્યારે મધ્યસ્થ અધિકતમમાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta y = \frac{t(\mu - 1)D}{d}$
ફ્રિન્જ-પહોળાઈ $\beta_0 = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,આપણે સ્થાનાંતરને આ રીતે લખી શકીએ:
$\Delta y = \frac{t(\mu - 1)}{\lambda} \cdot \frac{\lambda D}{d} = \frac{t(\mu - 1)}{\lambda} \beta_0$
અહીં સ્થાનાંતર $x\beta_0$ આપેલ છે,તેથી $x = \frac{t(\mu - 1)}{\lambda}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$t = 10\,\mu m = 10 \times 10^{-6}\,m$
$\mu = 1.2$
$\lambda = 500\,nm = 500 \times 10^{-9}\,m = 5 \times 10^{-7}\,m$
$x = \frac{10 \times 10^{-6} \times (1.2 - 1)}{5 \times 10^{-7}}$
$x = \frac{10^{-5} \times 0.2}{5 \times 10^{-7}}$
$x = \frac{2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{20}{5} = 4$
તેથી,$x$ નું મૂલ્ય $4$ છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = E_0 x \hat{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ ફક્ત $x$-અક્ષને લંબ સપાટીઓમાંથી જ પસાર થાય છે.
$x = 0$ આગળ,ફ્લક્સ $\phi_1 = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (E_0 \cdot 0) \cdot (a^2 \hat{i}) = 0$.
$x = a$ આગળ,ફ્લક્સ $\phi_2 = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (E_0 a \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i}) = E_0 a^3$.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{net}} = \phi_2 - \phi_1 = E_0 a^3$.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\phi_{\text{net}} = \frac{q_{\text{en}}}{\varepsilon_0}$,તેથી $q_{\text{en}} = \varepsilon_0 E_0 a^3$.
અહીં $E_0 = 4 \times 10^4 \text{ N C}^{-1} \text{m}^{-1}$,$a = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$,અને $\varepsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{m}^{-2}$ આપેલ છે.
$q_{\text{en}} = (9 \times 10^{-12}) \times (4 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-2})^3$.
$q_{\text{en}} = 36 \times 10^{-8} \times 8 \times 10^{-6} = 288 \times 10^{-14} \text{ C}$.
$Q \times 10^{-14} \text{ C}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $Q = 288$ મળે છે.

(A) સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_{rms}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0} = \frac{1}{2} \frac{B_{rms}^2}{\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$.
$u_E$ ના સમીકરણમાં $E_0 = c B_0$ મૂકતા:
$u_E = \frac{1}{4} \epsilon_0 (c B_0)^2 = \frac{1}{4} \epsilon_0 \left(\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}\right) B_0^2 = \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0} = u_B$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{u_E}{u_B} = 1$ થાય છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચ $A$ અને $B$ ને અવરોધ $R$ દ્વારા ગ્રાઉન્ડ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવી છે. આઉટપુટ $Y$ અવરોધ $R$ ની આજુબાજુ લેવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને સ્વીચ $A$ અને $B$ ખુલ્લી હોય (લોજિક $0$),ત્યારે $+5 \text{V}$ સ્ત્રોતમાંથી પ્રવાહ અવરોધ $R$ માંથી વહે છે,જેના કારણે $LED$ પ્રકાશિત થાય છે (લોજિક $1$).
જ્યારે સ્વીચ $A$ અથવા સ્વીચ $B$ (અથવા બંને) બંધ હોય (લોજિક $1$),ત્યારે પ્રવાહ સીધો ગ્રાઉન્ડ થઈ જાય છે અને અવરોધ $R$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી $LED$ પ્રકાશિત થતી નથી (લોજિક $0$).
ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \Rightarrow Y=1$
$A=0, B=1 \Rightarrow Y=0$
$A=1, B=0 \Rightarrow Y=0$
$A=1, B=1 \Rightarrow Y=0$
આ ટ્રુથ ટેબલ $NOR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(B) પ્રકાશના તરંગની આવૃત્તિ માત્ર ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને જ્યારે તે એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય ત્યારે તે અચળ રહે છે. તેથી,$v_2 = v_1$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$,જ્યાં $\mu_1$ અને $\mu_2$ અનુક્રમે હવા અને માધ્યમના વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે $i = 45^{\circ}$ અને $r = 30^{\circ}$,અને હવા માટે $\mu_1 \approx 1$ હોવાથી:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu_2 \cdot \sin 30^{\circ}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu_2 \cdot \frac{1}{2}$
$\mu_2 = \sqrt{2}$.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_1 f}{\lambda_2 f} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ હોવાથી,આપણને $\mu_2 = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ મળે છે.
$\mu_2 = \sqrt{2}$ મૂકતા,$\sqrt{2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત પાતળા ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,એટલે કે $V_{\text{inside}} = \frac{kQ}{R}$.
$2$. કવચની બહાર $(r \ge R)$,કવચ તેના કેન્દ્ર પર મૂકાયેલા બિંદુવત વિદ્યુતભારની જેમ વર્તે છે,તેથી સ્થિતિમાન વ્યસ્ત સંબંધ $V_{\text{outside}} = \frac{kQ}{r}$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે.
$3$. આમ,$V$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ $r \le R$ માટે આડી રેખા અને $r > R$ માટે લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે.

(B) પદાર્થની અવરોધકતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$n$ એ વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
અર્ધવાહકોમાં,જેમ તાપમાન $(T)$ વધે છે,તેમ બેન્ડ ગેપમાં વિદ્યુતભાર વાહકોના ઉષ્મીય ઉત્તેજનને કારણે ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સની સંખ્યા ઘનતા $(n)$ ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.
$m$ અને $e$ અચળ હોવાથી,અને ઊંચા તાપમાને $\tau$ માં થતા નજીવા ઘટાડા કરતા $n$ માં થતો વધારો વધુ પ્રભાવી હોવાથી,તાપમાન $T$ વધવાની સાથે અવરોધકતા $\rho$ માં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.
આ સંબંધ ઘાતાંકીય ક્ષય વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે અરેખીય ઘટાડો છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલો આલેખ અર્ધવાહક માટે તાપમાન સાથે અવરોધકતાનું વર્તન યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $m_e \approx \frac{m_p}{1840}$,$K_e = 4K$. તેથી,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2(m_p/1840)(4K)}} = \frac{h}{\sqrt{2m_pK/230}}$.
પ્રોટોન માટે: $m_p = m$,$K_p = K$. તેથી,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
$\alpha$-કણ માટે: $m_\alpha = 4m_p$,$K_\alpha = 2K$. તેથી,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{16m_pK}} = \frac{h}{4\sqrt{m_pK}}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$\lambda_e = \sqrt{230} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 15.16 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_\alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 0.35 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
તેથી,$\lambda_\alpha < \lambda_p < \lambda_e$.