माना फलन f :[0,2] rightarrow R इस प्रकार परिभ | vedclass

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Question

(C) $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ है,इसलिए $x - [x] = x$ होता है। $x \in [0, 1]$ के लिए $x^2 \le x$ होने के कारण,$\min \{x^2, x\} = x^2$ होता है। अत

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$2e - \frac{1}{2}$

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(C) $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ है,इसलिए $x - [x] = x$ होता है। $x \in [0, 1]$ के लिए $x^2 \le x$ होने के कारण,$\min \{x^2, x\} = x^2$ होता है। अतः $f(x) = e^{x^2}$।$x \in [1, 2]$ के लिए,$x - \log_e x$ पर विचार करें। चूँकि $x \ge 1$,$\log_e x \ge 0$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए,$1 \le x - \log_e x अब,समाकलन $\int_0^2 x f(x) dx = \int_0^1 x e^{x^2} dx + \int_1^2 x e dx$ है।पहले भाग के लिए,$u = x^2$ लेने पर,$du = 2x dx$ मिलता है,इसलिए $\int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1)$।दूसरे भाग के लिए,$\int_1^2 x e dx = e [\frac{x^2}{2}]_1^2 = e(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3e}{2}$।दोनों को जोड़ने पर: $\frac{1}{2}(e - 1) + \frac{3e}{2} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3e}{2} = 2e - \frac{1}{2}$।

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