max _{0 leq x leq pi}left{x-2 sin x cos x+fra | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = x - 2 \sin x \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x = x - \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x$. अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापे

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5 \pi+2+3 \sqrt{3}}{6}$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = x - 2 \sin x \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x = x - \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x$. अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $f'(x) = 1 - 2 \cos 2x + \cos 3x$. $f'(x) = 0$ रखने पर: $1 - 2(2 \cos^2 x - 1) + (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 0$ $4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 3 \cos x + 3 = 0$ $(4 \cos^2 x - 3)(\cos x - 1) = 0$. इससे $\cos x = 1$ या $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है। $x \in [0, \pi]$ के लिए,$x = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi$. इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर: $f(0) = 0$. $f(\pi) = \pi$. $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi + 2 - 3\sqrt{3}}{6}$. $f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi + 3\sqrt{3} + 2}{6}$. मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $\frac{5\pi + 2 + 3\sqrt{3}}{6}$ है।

$\max _{0 \leq x \leq \pi}\left\{x-2 \sin x \cos x+\frac{1}{3} \sin 3 x\right\}=$

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