मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। तो $f(1) + f(2) = f(4) - 1$ को संतुष्ट करने वाले फलनों $f: A \rightarrow B$ की संख्या क्या है?

माना $f:[0,2] \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=(3-\sin(2\pi x)) \sin(\pi x-\frac{\pi}{4})-\sin(3\pi x+\frac{\pi}{4})$ द्वारा परिभाषित है। यदि $\alpha, \beta \in[0,2]$ इस प्रकार हैं कि $\{x \in[0,2]: f(x) \geq 0\}=[\alpha, \beta]$,तो $\beta-\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $X$,$S$ से $S$ तक के उन सभी संबंधों $R$ का समुच्चय है जो निम्नलिखित दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं:
$i$. $R$ में ठीक $6$ अवयव हैं।
$ii$. प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए,$|a-b| \geq 2$ है।
माना $Y = \{R \in X : R \text{ का परिसर ठीक एक अवयव रखता है}\}$ और $Z = \{R \in X : R, S \text{ से } S \text{ तक एक फलन है}\}$।
माना $n(A)$,समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या को दर्शाता है।
$(1)$ यदि $n(X) = {}^{m}C_{6}$ है,तो $m$ का मान . . . . है।
$(2)$ यदि $n(Y) + n(Z)$ का मान $k^{2}$ है,तो $|k|$ का मान . . . . है।

मान लीजिए $f(x) = \max(\sin x, \cos x)$ और $g(x) = \min(\cos x, \sin x)$ है। $h(y) = f(x)y^2 + ay + g(x)$ को परिभाषित करें। यदि समीकरण $h(y) = 0$ के सभी $x \in R$ के लिए वास्तविक मूल हैं,तो $a$ के मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A=\{-1, 0, 1, 2\}$ और $B=\{-4, -2, 0, 2\}$ हैं। मान लीजिए $f, g: A \rightarrow B$ ऐसे फलन हैं जो $x \in A$ के लिए $f(x)=x^{2}-x$ और $x \in A$ के लिए $g(x)=2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1$ द्वारा परिभाषित हैं। क्या $f$ और $g$ समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\pi} \tan^{-1}(nx)$ के ग्राफ का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है?