मान लीजिए कि (1,0) केंद्र और frac{1}{2} लंबाई | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $4b^2 = a$ (स

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$9$

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(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $4b^2 = a$ (समीकरण $1$)।लघु अक्ष के अंतिम बिंदु $(1, b)$ और $(1, -b)$ हैं,और नाभियाँ $(1 \pm ae, 0)$ हैं। लघु अक्ष द्वारा नाभि पर अंतरित कोण $60^{\circ}$ है।नाभि $(1+ae, 0)$ और लघु अक्ष के अंतिम बिंदुओं $(1, b)$ और $(1, -b)$ द्वारा बने त्रिभुज को देखते हुए,नाभि पर कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए आधा कोण $30^{\circ}$ है।अतः,$	an(30^{\circ}) = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $ae = b\sqrt{3}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 3b^2$। चूँकि $a^2e^2 = a^2 - b^2$,इसलिए $a^2 - b^2 = 3b^2$,यानी $a^2 = 4b^2$ (समीकरण $2$)।समीकरण $1$ से,$b^2 = \frac{a}{4}$। इसे समीकरण $2$ में रखने पर,$a^2 = 4(\frac{a}{4}) = a$।चूँकि $a > 0$,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है। तब $b^2 = \frac{1}{4}$,यानी $b = \frac{1}{2}$।मुख्य अक्ष की लंबाई $2a = 2(1) = 2$ है,और लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2(\frac{1}{2}) = 1$ है।लंबाइयों के योग का वर्ग $(2a + 2b)^2 = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$ है।

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