मान लीजिए कि समतल P: 4x - y + z = 10 को समतल | vedclass

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Question

(D) समतल $P_1: 4x - y + z - 10 = 0$ और $P_2: x + y - z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(4x - y + z - 10) + \la

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$126$

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(D) समतल $P_1: 4x - y + z - 10 = 0$ और $P_2: x + y - z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(4x - y + z - 10) + \lambda(x + y - z - 4) = 0$ है,जो सरल होकर $(4 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (1 - \lambda)z - (10 + 4\lambda) = 0$ हो जाता है।मूल समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (4, -1, 1)$ है और नए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = (4 + \lambda, -1 + \lambda, 1 - \lambda)$ है।चूंकि समतलों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हैं,अतः $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.$4(4 + \lambda) - 1(-1 + \lambda) + 1(1 - \lambda) = 0 \Rightarrow 16 + 4\lambda + 1 - \lambda + 1 - \lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda + 18 = 0 \Rightarrow \lambda = -9$.$\lambda = -9$ को परिवार के समीकरण में रखने पर: $(4 - 9)x + (-1 - 9)y + (1 - (-9))z - (10 + 4(-9)) = 0 \Rightarrow -5x - 10y + 10z + 26 = 0$,या $5x + 10y - 10z - 26 = 0$.बिंदु $(2, 3, -4)$ की इस समतल से दूरी $\alpha = \frac{|5(2) + 10(3) - 10(-4) - 26|}{\sqrt{5^2 + 10^2 + (-10)^2}} = \frac{|10 + 30 + 40 - 26|}{\sqrt{25 + 100 + 100}} = \frac{54}{\sqrt{225}} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5}$ है।अतः,$35\alpha = 35 	imes \frac{18}{5} = 7 	imes 18 = 126$.

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