यदि int frac{d x}{cos ^4 x+sin ^4 x}=frac{1}{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I = \int \frac{d x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}$.अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{\sec^4 x}{1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{	an x-\cot x}{\sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $I = \int \frac{d x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}$.अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{\sec^4 x}{1+	an^4 x} d x = \int \frac{\sec^2 x(1+	an^2 x)}{1+	an^4 x} d x$.माना $	an x = t$,तब $\sec^2 x d x = d t$.$I = \int \frac{1+t^2}{1+t^4} d t = \int \frac{1+\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}} d t$.$I = \int \frac{1+\frac{1}{t^2}}{(t-\frac{1}{t})^2+2} d t$.माना $u = t-\frac{1}{t}$,तब $d u = (1+\frac{1}{t^2}) d t$.$I = \int \frac{d u}{u^2+(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}(\frac{u}{\sqrt{2}}) + C$.$u = t-\frac{1}{t} = 	an x - \cot x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}(\frac{	an x - \cot x}{\sqrt{2}}) + C$.दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$g(x) = \frac{	an x - \cot x}{\sqrt{2}}$.

यदि $\int \frac{d x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}=\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}[g(x)]+C$ है,तो $g(x)$ का मान क्या होगा?

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फलन $f(x)$,जो शर्त $f(x)=x+\int_{0}^{\pi / 2} \sin x \cdot \cos y f(y) dy$ को संतुष्ट करता है,वह है:

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समाकलन $\int \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

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