f(x)=sqrt{x^2-x}, x in[1,4] के लिए लैग्रेंज म | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x)=\sqrt{x^2-x}$ अंतराल $[1,4]$ पर।सबसे पहले,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें:$f(1)=\sqrt{1^2-1}=0$$f(4)=\sqrt{4^2-4}=\sqrt{12}=2\sqrt

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$\frac{3}{2}$

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(B) दिया गया है $f(x)=\sqrt{x^2-x}$ अंतराल $[1,4]$ पर।सबसे पहले,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें:$f(1)=\sqrt{1^2-1}=0$$f(4)=\sqrt{4^2-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$अब,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-x}} \cdot (2x-1) = \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}$लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1,4)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}$ है।मान रखने पर:$\frac{2c-1}{2\sqrt{c^2-c}} = \frac{2\sqrt{3}-0}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$\sqrt{3}(2c-1) = 4\sqrt{c^2-c}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$3(4c^2-4c+1) = 16(c^2-c)$$12c^2-12c+3 = 16c^2-16c$$4c^2-4c-3 = 0$द्विघात समीकरण को हल करने पर:$(2c-3)(2c+1) = 0$इससे $c = \frac{3}{2}$ या $c = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $c \in (1,4)$,इसलिए $c = -\frac{1}{2}$ को छोड़ दिया जाता है।अतः,$c = \frac{3}{2}$।

$f(x)=\sqrt{x^2-x}, x \in[1,4]$ के लिए लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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