y=x(log x)^2 का अधिकतम मान है | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $y = x(\log x)^2$. क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = x \cdot (2 \log x \cdot

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$4 e^{-2}$

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(D) दिया गया है $y = x(\log x)^2$. क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = x \cdot (2 \log x \cdot \frac{1}{x}) + (\log x)^2 \cdot 1 = 2 \log x + (\log x)^2$. $\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर: $\log x (2 + \log x) = 0$. इससे $\log x = 0$ या $\log x = -2$ प्राप्त होता है। अतः,$x = e^0 = 1$ या $x = e^{-2}$. अब,द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{x} + 2 \log x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 + 2 \log x}{x}$. $x = 1$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 0}{1} = 2 > 0$,इसलिए $x = 1$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। $x = e^{-2}$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 2(-2)}{e^{-2}} = \frac{-2}{e^{-2}} अधिकतम मान $y(e^{-2}) = e^{-2}(\log e^{-2})^2 = e^{-2}(-2)^2 = 4e^{-2}$ है।

$y=x(\log x)^2$ का अधिकतम मान है

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