$(x^2-5x+8) \times (x^3+7x+9)$ का अवकलन किसके द्वारा किया जा सकता है?

मान लीजिए $f$ अंतराल $(0, \infty)$ पर परिभाषित एक वास्तविक मान वाला फलन है,जहाँ $f(x)=\ln x+\int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है
$(B)$ $f^{\prime}(x)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए अस्तित्व में है और $f^{\prime}$ अंतराल $(0, \infty)$ पर सतत है,लेकिन $(0, \infty)$ पर अवकलनीय नहीं है
$(C)$ ऐसा $\alpha>1$ मौजूद है कि सभी $x \in(\alpha, \infty)$ के लिए $|f^{\prime}(x)|<|f(x)|$ है
$(D)$ ऐसा $\beta>0$ मौजूद है कि सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए $|f(x)|+|f^{\prime}(x)| \leq \beta$ है

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$I. f(x) = a x^{41} + b x^{-40} \Rightarrow \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = 1640 x^{-2}$
$II. \frac{d}{d x} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2}$
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

वक्र $y \cot x = y^3 \tan x$ के लिए उस बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ भुज (abscissa) $\frac{\pi}{4}$ है:

मान लीजिए $f$,$\mathbb{R}$ पर एक अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(2) = 1$ और $f'(2) = 4$ है। यदि $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$ है,तो वक्र $y = 4x^3 - 4x^2 - 4(\alpha - 7)x - \alpha$,$x$-अक्ष को कितनी बार काटता है?

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x-[x])}{x-[x]} & , x \in (-2, -1) \\ \max \{2x, 3[|x|]\} & , |x| < 1 \\ 1 & , \text{अन्यथा} \end{cases}$ जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है। यदि $m$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ संतत नहीं है और $n$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है,तो क्रमित युग्म $(m, n)$ है