यदि alpha, beta समीकरण x^2-2x+4=0 के मूल हैं, | vedclass

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Question

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $\alpha, \beta = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}

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$2^{n+1}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $\alpha, \beta = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ हैं। मूलों को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर: $\alpha = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}ight)$ और $\beta = 2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}ight) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}ight)ight)$। डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left(\cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3}ight) + 2^n \left(\cos \left(-\frac{n\pi}{3}ight) + i \sin \left(-\frac{n\pi}{3}ight)ight)$। चूंकि $\cos(-	heta) = \cos 	heta$ और $\sin(-	heta) = -\sin 	heta$,हमें प्राप्त होता है: $\alpha^n + \beta^n = 2^n \left(2 \cos \frac{n\pi}{3}ight) = 2^{n+1} \cos \left(\frac{n\pi}{3}ight)$।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-2x+4=0$ के मूल हैं,तो किसी भी $n \in N$ के लिए $\alpha^n+\beta^n = \ldots \cos \left(\frac{n\pi}{3}\right)$.

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