left(cos frac{pi}{2}+i sin frac{pi}{2}right) | vedclass

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Question

(C) सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप के गुण का उपयोग करते हुए,$e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$,दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

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$-1$

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(C) सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप के गुण का उपयोग करते हुए,$e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$,दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $e^{i \frac{\pi}{2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} \cdot e^{i \frac{\pi}{8}} \ldots \infty$ $= e^{i(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \ldots \infty)}$ घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{\pi}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ होता है। $S_{\infty} = \frac{\frac{\pi}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}} = \pi$. अतः,व्यंजक $e^{i\pi}$ हो जाता है। यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i(0) = -1$. इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

$\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \times \left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \times \left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right) \times \ldots \infty =$

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