फलन $f$ और $g$ की समानता के लिए,निम्नलिखित में से कौन सी शर्तें पूरी होनी चाहिए?
$(i)$ $f$ का प्रांत = $g$ का प्रांत
(ii) $f(x) = g(x)$,जहाँ $x$ प्रांत में है
(iii) $x \in f$ का प्रांत

माना $f:[0,2] \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=(3-\sin(2\pi x)) \sin(\pi x-\frac{\pi}{4})-\sin(3\pi x+\frac{\pi}{4})$ द्वारा परिभाषित है। यदि $\alpha, \beta \in[0,2]$ इस प्रकार हैं कि $\{x \in[0,2]: f(x) \geq 0\}=[\alpha, \beta]$,तो $\beta-\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक फलन $f(x) = \frac{5^{x}}{5^{x} + \sqrt{5}}$ द्वारा दिया गया है,तो श्रेणी $f\left(\frac{1}{20}\right) + f\left(\frac{2}{20}\right) + f\left(\frac{3}{20}\right) + \ldots + f\left(\frac{39}{20}\right)$ का योग ....... के बराबर है।

मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं जो $f(x) = \begin{cases} [x] & x < 0 \\ |1-x| & x \geq 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} e^x - x & x < 0 \\ (x-1)^2 - 1 & x \geq 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित हैं,जहाँ $[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो,फलन $(f \circ g)(x)$ ठीक कितने बिंदुओं पर असतत है?

मान लीजिए कि फलन $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$,$f(x) = \frac{4^x}{4^x+2}$ द्वारा परिभाषित है। तो $f\left(\frac{1}{40}\right) + f\left(\frac{2}{40}\right) + f\left(\frac{3}{40}\right) + \dots + f\left(\frac{39}{40}\right) - f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \cos(\log x)$ है,तो $f(x^2) \cdot f(y^2) - \frac{1}{2} \left[ f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) + f(x^2 y^2) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।