AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
दिया है $r_1: r_2: r_3 = 1: 2: 3$,मान लीजिए $r_1 = x, r_2 = 2x, r_3 = 3x$.
तब $s-a = \frac{\Delta}{x}$,$s-b = \frac{\Delta}{2x}$,और $s-c = \frac{\Delta}{3x}$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{\Delta}{x} + \frac{\Delta}{2x} + \frac{\Delta}{3x}$
$3s - (a+b+c) = \Delta \left( \frac{6+3+2}{6x} \right)$
चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = \frac{11\Delta}{6x}$,अर्थात $s = \frac{11\Delta}{6x}$.
अब,$a = s - (s-a) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{x} = \frac{5\Delta}{6x}$.
$b = s - (s-b) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{2x} = \frac{8\Delta}{6x}$.
$c = s - (s-c) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{3x} = \frac{9\Delta}{6x}$.
अतः,$a: b: c = 5: 8: 9$.

(A) कथन $I$ के लिए: दिया है $c=6$ और $\cos C=-\frac{11}{25}$.
हम जानते हैं कि $\sin C = \sqrt{1-\cos^2 C} = \sqrt{1-\frac{121}{625}} = \sqrt{\frac{504}{625}} = \frac{6\sqrt{14}}{25}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{c}{\sin C} = 2R$,इसलिए $R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{6}{2 \times \frac{6\sqrt{14}}{25}} = \frac{25}{2\sqrt{14}}$.
अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: दिया है $a=3, b=4, c=6$.
यह जाँचने के लिए कि क्या यह न्यूनकोण त्रिभुज है,हम $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{9+16-36}{2(3)(4)} = \frac{-11}{24}$ की गणना करते हैं।
चूँकि $\cos C < 0$,कोण $C$ अधिककोण है $(C > 90^{\circ})$।
अतः,कथन $II$ असत्य है।

(C) माना $\triangle ABC$ की भुजाएँ $a, b,$ और $c$ हैं।
चूंकि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं,इसका अर्थ है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
हम जानते हैं कि बाह्य-त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $s-a, s-b, s-c$ भी समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{s-a}, \frac{1}{s-b}, \frac{1}{s-c}$ हरात्मक श्रेणी में हैं।
$\Delta$ से गुणा करने पर,$\frac{\Delta}{s-a}, \frac{\Delta}{s-b}, \frac{\Delta}{s-c}$ हरात्मक श्रेणी में हैं।
अतः,$r_1, r_2, r_3$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(C) $\triangle IBC$ में,$\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$। $\triangle IBC$ की परिवृत्त त्रिज्या $P_1 = \frac{a}{2 \sin(\angle BIC)} = \frac{a}{2 \cos(A/2)}$ है।
इसी प्रकार,$P_2 = \frac{b}{2 \cos(B/2)}$ और $P_3 = \frac{c}{2 \cos(C/2)}$।
अतः,$P_1 P_2 P_3 = \frac{abc}{8 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)}$।
$a = 2R \sin A = 4R \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर,$abc = 8R^3 \sin A \sin B \sin C = 8R^3 (8 \sin(A/2) \cos(A/2) \sin(B/2) \cos(B/2) \sin(C/2) \cos(C/2))$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$P_1 P_2 P_3 = \frac{8R^3 (8 \sin(A/2) \cos(A/2) \sin(B/2) \cos(B/2) \sin(C/2) \cos(C/2))}{8 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)} = 8R^3 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$।
चूंकि $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$,इसलिए $\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = \frac{r}{4R}$।
अतः,$P_1 P_2 P_3 = 8R^3 \times \frac{r}{4R} = 2R^2r$।

(C) दिया गया है $A = 60^{\circ}$ और $B = 105^{\circ}$,अतः $C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 105^{\circ}) = 15^{\circ}$।
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करते हुए,$s - a \cos C - c \cos A = s - b = \frac{a+c-b}{2}$।
इसी प्रकार,$s - a \cos B - b \cos A = s - c = \frac{a+b-c}{2}$।
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$ का उपयोग करके व्यंजक को सरल करने पर,परिणाम $1$ प्राप्त होता है।

(A) एक समकोण त्रिभुज $ABC$ में जहाँ $\angle A = 90^{\circ}$ है,अंतःत्रिज्या $r = \frac{b+c-a}{2}$ द्वारा दी जाती है।
परित्रिज्या $R = \frac{a}{2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$r+R = \frac{b+c-a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{b+c}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2(r+R) = b+c$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{r_1-r}{a} + \frac{r_2-r}{b} + \frac{r_3-r}{c} = \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s}\right)$
$= \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-a)}{s(s-a)}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-b)}{s(s-b)}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-c)}{s(s-c)}\right)$
$= \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta a}{s(s-a)}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta b}{s(s-b)}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta c}{s(s-c)}\right)$
$= \frac{\Delta}{s(s-a)} + \frac{\Delta}{s(s-b)} + \frac{\Delta}{s(s-c)}$
$= \frac{r_1}{s} + \frac{r_2}{s} + \frac{r_3}{s} = \frac{r_1+r_2+r_3}{s}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1+x^2}$। दिए गए समीकरणों $ax + b\sqrt{1+x^2} = c$ और $ay + b\sqrt{1+y^2} = c$ को $b\sqrt{1+x^2} = c - ax$ और $b\sqrt{1+y^2} = c - ay$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2(1+x^2) = c^2 - 2acx + a^2x^2$ और $b^2(1+y^2) = c^2 - 2acy + a^2y^2$ प्राप्त होता है।
इन्हें पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(a^2-b^2)x^2 - 2acx + (c^2-b^2) = 0$ और $(a^2-b^2)y^2 - 2acy + (c^2-b^2) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ द्विघात समीकरण $(a^2-b^2)t^2 - 2act + (c^2-b^2) = 0$ के भिन्न मूल हैं।
मूलों के गुणों का उपयोग करते हुए,मूलों का योग $x+y = \frac{2ac}{a^2-b^2}$ और मूलों का गुणनफल $xy = \frac{c^2-b^2}{a^2-b^2}$ है।
अब,$1-xy = 1 - \frac{c^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-b^2-c^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$।
अतः,$\frac{x+y}{1-xy} = \frac{2ac / (a^2-b^2)}{(a^2-c^2) / (a^2-b^2)} = \frac{2ac}{a^2-c^2}$।

(D) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों के लिए सर्वसमिकाएँ जानते हैं:
$\tanh^{-1}(x) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)$ और $\coth^{-1}(x) = \operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$.
पहले पद के लिए: $\tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}\right) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
अतः,$\operatorname{sech}^2\left(\tanh^{-1} \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$.
दूसरे पद के लिए: $\coth^{-1}(3) = \operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3^2-1}}\right) = \operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$.
अतः,$\operatorname{cosech}^2\left(\coth^{-1} 3\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)^{-2} = 8$.
दोनों पदों को जोड़ने पर: $\frac{3}{4} + 8 = \frac{3+32}{4} = \frac{35}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि $r^4+r^2+1 = (r^2-r+1)(r^2+r+1)$.
साथ ही,$r^2+r+1 - (r^2-r+1) = 2r$.
अतः,योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2r}{1+(r^4+r^2+1)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(r^2+r+1)-(r^2-r+1)}{1+(r^2+r+1)(r^2-r+1)}\right) = \tan ^{-1}(r^2+r+1) - \tan ^{-1}(r^2-r+1)$.
अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = \sum_{r=1}^n \{\tan ^{-1}(r^2+r+1) - \tan ^{-1}(r^2-r+1)\}$
$S_n = (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(7) - \tan ^{-1}(3)) + \dots + (\tan ^{-1}(n^2+n+1) - \tan ^{-1}(n^2-n+1))$
$S_n = \tan ^{-1}(n^2+n+1) - \tan ^{-1}(1)$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \lim _{n \rightarrow \infty} (\tan ^{-1}(n^2+n+1) - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) माना $a_{\infty} = \lim_{n \to \infty} a_n$.
तब $a_{\infty} = \sqrt{7 + a_{\infty}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a_{\infty}^2 = 7 + a_{\infty}$,जिसका अर्थ है $a_{\infty}^2 - a_{\infty} - 7 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a_{\infty} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$.
चूँकि $a_n > 0$,हम धनात्मक मूल लेते हैं: $a_{\infty} = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx 3.19$.
चूँकि अनुक्रम $a_n$ वर्धमान है और $a_{\infty}$ द्वारा ऊपर से परिबद्ध है,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $a_n < a_{\infty} < 4$ है।
अतः,सभी $n \geq 1$ के लिए $a_n < 4$ सत्य है।

(A) दिया गया है $f(x) = 5 \cos x + 3 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 8$.
$\cos(x + \frac{\pi}{3})$ का विस्तार करने पर:
$f(x) = 5 \cos x + 3 \left[ \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{3} \right] + 8$
$f(x) = 5 \cos x + 3 \left[ \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right] + 8$
$f(x) = \frac{13}{2} \cos x - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin x + 8$.
$A \cos x + B \sin x$ के रूप वाले फलन का परिसर $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ होता है।
यहाँ,$A = \frac{13}{2}$ और $B = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{196}{4}} = 7$.
अतः,$\frac{13}{2} \cos x - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin x$ का परिसर $[-7, 7]$ है।
$8$ जोड़ने पर,$f(x) \in [-7 + 8, 7 + 8]$,जो कि $[1, 15]$ है।
अतः,अधिकतम मान $15$ और न्यूनतम मान $1$ है।

(B) दी गई असमिका $[x]^2 - 7[x] + 12 \leq 0$ है।
मान लीजिए $y = [x]$ है। तब असमिका $y^2 - 7y + 12 \leq 0$ हो जाती है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(y - 4)(y - 3) \leq 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $3 \leq y \leq 4$ है।
चूंकि $y = [x]$,इसलिए $3 \leq [x] \leq 4$ है।
इसका मतलब है कि $[x]$ या तो $3$ हो सकता है या $4$।
यदि $[x] = 3$ है,तो $3 \leq x < 4$ है।
यदि $[x] = 4$ है,तो $4 \leq x < 5$ है।
इन दोनों अंतरालों को मिलाने पर,हमें $3 \leq x < 5$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वक्र $x^2=4y$ $(i)$ और $y^2=4x$ $(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करें:
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
अतः,$x=0$ या $x=4$ है। $x=4$ के लिए,$y = \frac{16}{4} = 4$ है। इस प्रकार,मूल बिंदु के अलावा प्रतिच्छेदन बिंदु $(4,4)$ है।
अब,$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x = 4 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$।
बिंदु $(4,4)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{4}{2} = 2$ है।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$।
बिंदु $(4,4)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{2} \right| = \frac{3}{4}$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{3}{4}$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{5}$,अर्थात $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 6x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 6$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$।
दी गई स्पर्श रेखा $5x - 2y + k = 0$ को $y = \frac{5}{2}x + \frac{k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = \frac{5}{2}$ है।
स्पर्श बिंदु पर,परवलय की स्पर्श रेखा की ढाल रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए: $\frac{3}{y} = \frac{5}{2}$।
$y$ के लिए हल करने पर,हमें $y = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
$y = \frac{6}{5}$ को परवलय के समीकरण $y^2 = 6x$ में रखने पर:
$(\frac{6}{5})^2 = 6x$
$\frac{36}{25} = 6x$
$x = \frac{36}{25 \times 6} = \frac{6}{25}$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(\frac{6}{25}, \frac{6}{5})$ है।

(C) दिया गया है,$f(x) = (x - a)(x - b) - (\frac{a + b}{2})$.
इसका विस्तार करने पर,$f(x) = x^2 - (a + b)x + ab - (\frac{a + b}{2})$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C$ का न्यूनतम मान $-\frac{D}{4A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D = B^2 - 4AC$ है।
यहाँ,$A = 1$,$B = -(a + b)$,और $C = ab - \frac{a + b}{2}$ है।
$D = (-(a + b))^2 - 4(1)(ab - \frac{a + b}{2}) = (a + b)^2 - 4ab + 2(a + b) = (a - b)^2 + 2(a + b)$ है।
न्यूनतम मान $= -\frac{(a - b)^2 + 2(a + b)}{4}$ है।
चूँकि मूल अ-ऋणात्मक हैं,मूलों का योग $\alpha + \beta = (a + b) \geq 0$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = ab - \frac{a + b}{2} \geq 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए $D \geq 0$,जो $(a - b)^2 + 2(a + b) \geq 0$ होने के कारण संतुष्ट होता है।
अ-ऋणात्मक मूलों की शर्त के अनुसार,फलन का न्यूनतम मान $x = \frac{a + b}{2}$ पर प्राप्त होता है।
$x = \frac{a + b}{2}$ को $f(x)$ में रखने पर:
$f(\frac{a + b}{2}) = (\frac{a + b}{2} - a)(\frac{a + b}{2} - b) - \frac{a + b}{2} = (\frac{b - a}{2})(\frac{a - b}{2}) - \frac{a + b}{2} = -\frac{(a - b)^2}{4} - \frac{a + b}{2}$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार,न्यूनतम मान $\geq -\frac{(a + b)^2}{4}$ है।

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{3x^2+1}{(x^2+1)(x^2+2)^2} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2} + \frac{Ex+F}{(x^2+2)^2}$
दोनों पक्षों को हर $(x^2+1)(x^2+2)^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x^2+1 = (Ax+B)(x^2+2)^2 + (Cx+D)(x^2+1)(x^2+2) + (Ex+F)(x^2+1)$
चूंकि व्यंजक $3x^2+1$ में केवल $x$ की सम घातें हैं,इसलिए $x$ की सभी विषम घातों (जैसे $x^5, x^3, x^1$) के गुणांक शून्य होने चाहिए।
पदों का विस्तार करने पर:
$(Ax+B)(x^4+4x^2+4) = Ax^5 + 4Ax^3 + 4Ax + Bx^4 + 4Bx^2 + 4B$
$(Cx+D)(x^4+3x^2+2) = Cx^5 + 3Cx^3 + 2Cx + Dx^4 + 3Dx^2 + 2D$
$(Ex+F)(x^2+1) = Ex^3 + Ex + Fx^2 + F$
$x^5$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A + C = 0$
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4A + 3C + E = 0$
चूंकि $A+C=0$,इसलिए $C = -A$ है। इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$4A + 3(-A) + E = 0 \Rightarrow A + E = 0$
अतः,$A=0, C=0, E=0$।
इसलिए,$A+C+E = 0+0+0 = 0$।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^4+24x^2+28}{(x^2+1)^3} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{(x^2+1)^2} + \frac{C}{(x^2+1)^3}$
दोनों पक्षों को $(x^2+1)^3$ से गुणा करने पर:
$x^4+24x^2+28 = A(x^2+1)^2 + B(x^2+1) + C$
माना $y = x^2+1$,तब $x^2 = y-1$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y-1)^2 + 24(y-1) + 28 = Ay^2 + By + C$
$y^2 - 2y + 1 + 24y - 24 + 28 = Ay^2 + By + C$
$y^2 + 22y + 5 = Ay^2 + By + C$
$y^2$,$y$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 1$
$B = 22$
$C = 5$
हमें $A+C$ का मान ज्ञात करना है:
$A+C = 1 + 5 = 6$

(C) दिया गया है,$\frac{x^3}{(2x - 1)(x - 1)^2} = A + \frac{B}{2x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{(x - 1)^2}$.
बहुपद विभाजन करने पर,$\frac{x^3}{2x^3 - 5x^2 + 4x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{5x^2 - 4x + 1}{2(2x - 1)(x - 1)^2}$.
यहाँ $A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{5x^2 - 4x + 1}{2(2x - 1)(x - 1)^2} = \frac{B}{2x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{(x - 1)^2}$ लेने पर।
$x = 1$ रखने पर,$D = 1$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,$B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$2A - 3B + 4C + 5D = 2(\frac{1}{2}) - 3(\frac{1}{2}) + 4(1) + 5(1) = 1 - 1.5 + 9 = 8.5 = \frac{17}{2}$.

(C) माना बिंदु $P(-9, 12, -15)$,$A(1, -2, 3)$ और $B(-4, 5, -6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-9 = \frac{-4\lambda + 1}{\lambda + 1} \implies -9\lambda - 9 = -4\lambda + 1 \implies -5\lambda = 10 \implies \lambda = -2$.
अतः,बिंदु $P$,$AB$ को $2 : 1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$AB$ के सापेक्ष $P$ का हार्मोनिक संयुग्मी वह बिंदु $Q$ है जो $AB$ को $2 : 1$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है।
अंतः विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$Q = \left(\frac{2(-4) + 1(1)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-6) + 1(3)}{2+1}\right)$
$Q = \left(\frac{-8 + 1}{3}, \frac{10 - 2}{3}, \frac{-12 + 3}{3}\right)$
$Q = \left(-\frac{7}{3}, \frac{8}{3}, -3\right)$.

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
भुजाओं $AB, BC, CA$ के मध्य-बिंदु $D(1, 5, -1)$,$E(0, 4, -2)$,और $F(2, 3, 4)$ दिए गए हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार:
$AB$ के लिए: $\frac{x_1+x_2}{2} = 1, \frac{y_1+y_2}{2} = 5, \frac{z_1+z_2}{2} = -1 \Rightarrow x_1+x_2 = 2, y_1+y_2 = 10, z_1+z_2 = -2$.
$BC$ के लिए: $\frac{x_2+x_3}{2} = 0, \frac{y_2+y_3}{2} = 4, \frac{z_2+z_3}{2} = -2 \Rightarrow x_2+x_3 = 0, y_2+y_3 = 8, z_2+z_3 = -4$.
$CA$ के लिए: $\frac{x_3+x_1}{2} = 2, \frac{y_3+y_1}{2} = 3, \frac{z_3+z_1}{2} = 4 \Rightarrow x_3+x_1 = 4, y_3+y_1 = 6, z_3+z_1 = 8$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(x_1+x_2+x_3) = 2+0+4 = 6 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 3$.
$2(y_1+y_2+y_3) = 10+8+6 = 24 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = 12$.
$2(z_1+z_2+z_3) = -2-4+8 = 2 \Rightarrow z_1+z_2+z_3 = 1$.
अब,$C(x_3, y_3, z_3)$ ज्ञात करने के लिए,$AB$ के समीकरणों को योग से घटाने पर:
$x_3 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_2) = 3 - 2 = 1$.
$y_3 = (y_1+y_2+y_3) - (y_1+y_2) = 12 - 10 = 2$.
$z_3 = (z_1+z_2+z_3) - (z_1+z_2) = 1 - (-2) = 3$.
अतः,$C = (1, 2, 3)$ है।
$C$ से $AB$ पर माध्यिका रेखाखंड $CD$ है,जहाँ $D$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु $D(1, 5, -1)$ है।
लंबाई $CD = \sqrt{(1-1)^2 + (5-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(B) एक पासे को तीन बार उछालने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
हमें समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से तीन ऐसी अलग-अलग संख्याएँ चुननी हैं जो सख्ती से बढ़ते क्रम में हों।
$6$ में से $3$ अलग-अलग संख्याओं के किसी भी चयन को केवल एक ही तरीके से बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है।
$6$ में से $3$ अलग-अलग संख्याओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $20$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ है।

(C) $1$ से $39$ तक के पूर्णांकों के समुच्चय से दो अलग-अलग संख्याएँ $a$ और $b$ चुनने के कुल तरीके ${}^{39}C_2$ हैं।
${}^{39}C_2 = \frac{39 \times 38}{2} = 741$.
हमें ऐसे युग्म $(a, b)$ खोजने हैं जो $7a - 9b = 0$ को संतुष्ट करते हों,जिसका अर्थ है $7a = 9b$।
चूँकि $7$ और $9$ सह-अभाज्य हैं,$a$ को $9$ का गुणज होना चाहिए और $b$ को $7$ का गुणज होना चाहिए।
$1 \le a, b \le 39$ को देखते हुए,संभावित युग्म $(a, b)$ हैं:
$(9, 7), (18, 14), (27, 21), (36, 28)$।
ऐसे $4$ अनुकूल युग्म हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{4}{741}$ है।

(B) अंकों $\{0, 1, 2, 3, 4, 6\}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई गई चार अंकों की कुल संख्याएँ: पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $5$ विकल्प हैं। शेष तीन स्थानों को $5 \times 4 \times 3 = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल संख्याएँ $= 5 \times 60 = 300$.
यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $4$ से विभाज्य है। संभावित जोड़े: $\{04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 60, 64\}$.
स्थिति $1$: $0$ वाले जोड़े $(\{04, 20, 40, 60\})$: $4$ जोड़े हैं। शेष $2$ स्थानों को $4 \times 3 = 12$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 4 \times 12 = 48$.
स्थिति $2$: $0$ रहित जोड़े $(\{12, 16, 24, 32, 36, 64\})$: $6$ जोड़े हैं। पहला अंक $0$ या उपयोग किए गए अंक नहीं हो सकते,इसलिए $3 \times 3 = 9$ तरीके। कुल $= 6 \times 9 = 54$.
अनुकूल परिणाम $= 48 + 54 = 102$.
प्रायिकता $= \frac{102}{300} = \frac{17}{50}$.

(A) हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,जो $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) = 0.58 + 0.32 - 0.28 = 0.62$ है।
अतः,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.62 = 0.38$ है।

(D) माना कि $i$ संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(i)$ है।
चूंकि $P(i) \propto i$,इसलिए $P(i) = Ki$ जहाँ $K$ एक स्थिरांक है।
सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\sum_{i=1}^{6} P(i) = K(1+2+3+4+5+6) = 21K = 1$.
अतः,$K = \frac{1}{21}$.
विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(1) + P(3) + P(5)$ है।
$= K(1 + 3 + 5) = 9K$.
$= 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(B) मान लीजिए $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,और $P(C) = \frac{1}{4}$ क्रमशः छात्रों $A, B$,और $C$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएँ हैं।
अतः,उनके द्वारा समस्या को हल न कर पाने की प्रायिकताएँ $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,और $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ हैं।
समस्या के उनमें से ठीक एक द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(\text{ठीक एक}) = P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(B)P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(\bar{B})P(C)$
$= (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$.

(A) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_4$ हैं।
एक ही सूट के ठीक दो पत्ते और शेष दो पत्ते दो अलग-अलग सूट के होने के लिए:
$1$. $4$ सूट में से $1$ सूट चुनें: $^4C_1$।
$2$. उस सूट के $13$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनें: $^{13}C_2$।
$3$. शेष $3$ सूट में से $2$ सूट चुनें: $^3C_2$।
$4$. इन चुने गए $2$ सूटों में से प्रत्येक से $1$ पत्ता चुनें: $^{13}C_1 \times ^{13}C_1$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{^4C_1 \times ^{13}C_2 \times ^3C_2 \times ^{13}C_1 \times ^{13}C_1}{^{52}C_4}$
$= \frac{4 \times 78 \times 3 \times 13 \times 13}{270725} = \frac{72 \times 169}{425 \times 49}$.

(A) एक घन में $8$ शीर्ष होते हैं। $8$ में से $3$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
एक समबाहु त्रिभुज तब बनता है जब $3$ शीर्षों को इस प्रकार चुना जाता है कि किन्हीं दो के बीच की दूरी घन के फलक विकर्ण की लंबाई के बराबर हो।
घन के प्रत्येक फलक में $2$ विकर्ण होते हैं और कुल $6$ फलक होते हैं,लेकिन प्रत्येक विकर्ण $2$ फलकों द्वारा साझा किया जाता है। कुल फलक विकर्णों की संख्या $12$ है।
हालाँकि,एक समबाहु त्रिभुज $3$ शीर्षों को चुनकर बनता है ताकि प्रत्येक जोड़ी एक फलक विकर्ण से जुड़ी हो। एक घन में ऐसे ठीक $8$ त्रिभुज होते हैं।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $8$ है।
प्रायिकता $\frac{8}{56} = \frac{1}{7}$ है।

(B) माना कि दिए गए समीकरण $f(x) = x^4-2ax^3+4bx^2+8ax+16=0$ के मूल $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ हैं।
नए समीकरण के मूल $p\alpha_1, p\alpha_2, p\alpha_3, p\alpha_4$ हैं।
अतः,नया समीकरण $f(\frac{x}{p}) = 0$ होगा।
$\frac{x}{p}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x}{p})^4 - 2a(\frac{x}{p})^3 + 4b(\frac{x}{p})^2 + 8a(\frac{x}{p}) + 16 = 0$
$p^4$ से गुणा करने पर:
$x^4 - 2apx^3 + 4bp^2x^2 + 8ap^3x + 16p^4 = 0$
चूंकि यह एक व्युत्क्रम समीकरण है,$x^4$ का गुणांक अचर पद के बराबर होना चाहिए:
$1 = 16p^4$
$p^4 = \frac{1}{16}$
$p^2 = \frac{1}{4} \implies |p| = \frac{1}{2}$

(A) माना तीन खंड $S_1, S_2, S_3$ हैं,जिनमें प्रत्येक में $4$ प्रश्न हैं। उम्मीदवार को $5$ प्रश्न चुनने हैं ताकि प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न चुना जाए। संभावित वितरण $(1, 1, 3)$ या $(1, 2, 2)$ हैं।
स्थिति $1$: वितरण $(1, 1, 3)$।
खंड चुनने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$.
प्रश्न चुनने के तरीके $= ^4C_1 \times ^4C_1 \times ^4C_3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
कुल तरीके $= 3 \times 64 = 192$.
स्थिति $2$: वितरण $(1, 2, 2)$।
खंड चुनने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$.
प्रश्न चुनने के तरीके $= ^4C_1 \times ^4C_2 \times ^4C_2 = 4 \times 6 \times 6 = 144$.
कुल तरीके $= 3 \times 144 = 432$.
कुल तरीके $= 192 + 432 = 624$.

(B) दिए गए वृत्त $x^2+y^2+8x-4y+c=0$ के लिए,इसका केंद्र $C_1 = (-4, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 - c} = \sqrt{20-c}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2x+4y-11=0$ के लिए,इसका केंद्र $C_2 = (-1, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - (-11)} = \sqrt{1+4+11} = 4$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$C_1C_2 = r_1 + r_2$ होगा।
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$ है।
अतः,$5 = \sqrt{20-c} + 4$,जिसका अर्थ है $\sqrt{20-c} = 1$,इसलिए $20-c = 1$,अर्थात $c = 19$ है।
अब,वृत्त $x^2+y^2+8x-4y+19=0$,वृत्त $x^2+y^2-6x+8y+k=0$ को लंबकोणीय काटता है।
लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = 4, f_1 = -2, c_1 = 19$ और $g_2 = -3, f_2 = 4, c_2 = k$ है।
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$ है।
$-24 - 16 = 19 + k$ है।
$-40 = 19 + k$ है।
$k = -59$ है।