AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) कुल बिंदुओं की संख्या $n = 5 + 7 + 9 = 21$ है। \\ $21$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके ${}^{21}C_3 = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} = 1330$ हैं। \\ यदि $3$ बिंदु संरेख (collinear) हैं तो त्रिभुज नहीं बन सकता है। \\ संरेख बिंदु वे हैं जो एक ही रेखा पर स्थित हैं: \\ $L_1$ से खोए गए त्रिभुज: ${}^{5}C_3 = 10$। \\ $L_2$ से खोए गए त्रिभुज: ${}^{7}C_3 = 35$। \\ $L_3$ से खोए गए त्रिभुज: ${}^{9}C_3 = 84$। \\ कुल त्रिभुज = $1330 - (10 + 35 + 84) = 1330 - 129 = 1201$।

(D) तीन अंकों की संख्या $abc$ के रूप में होती है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
स्थिति $1$: $9$ सैकड़े के स्थान पर है $(a=9)$.
तब $b \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ विकल्प) और $c \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ विकल्प)।
ऐसी संख्याओं की संख्या $= 1 \times 9 \times 9 = 81$.
स्थिति $2$: $9$ दहाई के स्थान पर है $(b=9)$.
तब $a \in \{1, 2, \dots, 8\}$ ($8$ विकल्प) और $c \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ विकल्प)।
ऐसी संख्याओं की संख्या $= 8 \times 1 \times 9 = 72$.
स्थिति $3$: $9$ इकाई के स्थान पर है $(c=9)$.
तब $a \in \{1, 2, \dots, 8\}$ ($8$ विकल्प) और $b \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ विकल्प)।
ऐसी संख्याओं की संख्या $= 8 \times 9 \times 1 = 72$.
कुल संख्या $= 81 + 72 + 72 = 225$.

(C) $COMBINATION$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $C, O, M, B, I, N, A, T, I, O, N$।
स्वर $O, I, A, I, O$ हैं (कुल $5$ स्वर)।
व्यंजन $C, M, B, N, N$ हैं (कुल $6$ व्यंजन)।
चूँकि स्वर हमेशा एक साथ होने चाहिए,हम $(O, I, A, I, O)$ समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $6$ व्यंजन + $1$ इकाई = $7$ वस्तुएं हैं।
इन $7$ वस्तुओं की व्यवस्था,जहाँ $N$ दो बार दोहराया गया है,$\frac{7!}{2!} = 2520$ है।
स्वर समूह $(O, I, A, I, O)$ के भीतर $5$ अक्षर हैं जहाँ $O$ दो बार और $I$ दो बार दोहराया गया है।
स्वरों की व्यवस्था $\frac{5!}{2! \times 2!} = 30$ है।
कुल तरीकों की संख्या $2520 \times 30 = 75600$ है।

(B) सबसे पहले,$LEADING$ शब्द के अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं: $A, D, E, G, I, L, N$.
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$.
$D$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$.
$E$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$.
$A, D, E$ से शुरू होने वाले कुल शब्द $720 + 720 + 720 = 2160 > 2017$ हैं।
अतः,शब्द $E$ से शुरू होगा। $E$ से पहले कुल $1440$ शब्द हैं।
अब,$EA, ED, EG, EI$ से शुरू होने वाले शब्द: $4 \times 5! = 480$ हैं।
$EI$ तक कुल शब्द: $1440 + 480 = 1920$ हैं।
आगे,$ELA, ELD, ELG$ से शुरू होने वाले शब्द: $3 \times 4! = 72$ हैं।
$ELG$ तक कुल शब्द: $1920 + 72 = 1992$ हैं।
आगे,$ELI$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ हैं।
$ELI$ तक कुल शब्द: $1992 + 24 = 2016$ हैं।
$2017^{\text{th}}$ शब्द $ELN$ से शुरू होने वाला पहला शब्द होगा।
$ELN$ के बाद शेष अक्षर $A, D, G, I$ वर्णानुक्रम में हैं।
अतः,$2017^{\text{th}}$ शब्द $ELNADGI$ है।

(A) कुल प्रश्नों की संख्या $12$ है ($3$ खंड $\times$ प्रत्येक में $4$ प्रश्न)। उम्मीदवार को $5$ प्रश्न इस प्रकार चुनने हैं कि प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न चुना जाए।
$5$ प्रश्नों का $3$ खंडों में वितरण इस प्रकार हो सकता है:
स्थिति $1$: $(2, 2, 1)$ किसी भी क्रम में। तरीकों की संख्या = $3 \times (^4C_2 \times ^4C_2 \times ^4C_1) = 3 \times (6 \times 6 \times 4) = 432$.
स्थिति $2$: $(3, 1, 1)$ किसी भी क्रम में। तरीकों की संख्या = $3 \times (^4C_3 \times ^4C_1 \times ^4C_1) = 3 \times (4 \times 4 \times 4) = 192$.
कुल तरीकों की संख्या = $432 + 192 = 624$.

(D) दिया गया समुच्चय $S = \{0, 1, 2, \ldots, 100\}$ है।
हमें ऐसे क्रमित युग्म $(x, y)$ ज्ञात करने हैं जहाँ $x, y \in S$,$x \neq y$,और $x + y = 100$ हो।
संभावित युग्म $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$(0, 100), (1, 99), (2, 98), \ldots, (49, 51)$.
यहाँ $(50, 50)$ युग्म को हटाना होगा क्योंकि $x \neq y$ की शर्त है।
इसके अतिरिक्त,$(51, 49), (52, 48), \ldots, (100, 0)$ युग्म भी अलग माने जाएंगे क्योंकि $x$ और $y$ के चयन में क्रम महत्वपूर्ण है।
$x = 0$ से $x = 49$ तक कुल $50$ युग्म हैं।
$x = 51$ से $x = 100$ तक कुल $50$ युग्म हैं।
कुल तरीकों की संख्या = $50 + 50 = 100$.

(A) दिया गया है,$10$ पुरुषों और $8$ महिलाओं का एक समूह। हमें $8$ सदस्यों की एक समिति बनानी है जिसमें $5$ से अधिक पुरुष न हों और $5$ से कम महिलाएं न हों।
इसका अर्थ है कि (महिलाएं,पुरुष) के संभावित संयोजन हैं:
$(5W, 3M), (6W, 2M), (7W, 1M), (8W, 0M)$।
तरीकों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$= \binom{8}{5} \times \binom{10}{3} + \binom{8}{6} \times \binom{10}{2} + \binom{8}{7} \times \binom{10}{1} + \binom{8}{8} \times \binom{10}{0}$
$= (56 \times 120) + (28 \times 45) + (8 \times 10) + (1 \times 1)$
$= 6720 + 1260 + 80 + 1 = 8061$ तरीके।

(C) $3$ समांतर रेखाएँ हैं,जिनमें से प्रत्येक पर $4$ बिंदु हैं। बिंदुओं की कुल संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
$12$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
त्रिभुज तब नहीं बनते हैं जब $3$ बिंदु संरेख (collinear) होते हैं। संरेख बिंदु तब होते हैं जब हम एक ही रेखा से $3$ बिंदु चुनते हैं।
चूंकि $4$ बिंदुओं वाली $3$ रेखाएँ हैं,इसलिए $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके $3 \times C(4, 3) = 3 \times 4 = 12$ हैं।
अतः,बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $220 - 12 = 208$ है।

(D) यदि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,तो $b = \frac{2ac}{a+c}$ होता है।
दिया गया है कि $\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right), \cos x, \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए:
$\cos x = \frac{2 \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}$
सर्वसमिका $\cos(A-B)\cos(A+B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ और $\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\cos x = \frac{2 \left(\cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos x \cos \frac{\pi}{3}}$
$\cos x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}$
$\frac{1}{2} \cos^2 x = \cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}$
$\sin^2 \frac{\pi}{3} = \cos^2 x - \frac{1}{2} \cos^2 x$
$\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cos^2 x$
$\cos^2 x = \frac{3}{2}$
$\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$ है।
यह द्विपद श्रेणी $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ के रूप में है।
हम श्रेणी को $S = 1 - [1 - \frac{1}{4} + \frac{1 \cdot 5}{2! \cdot 4^2} - \frac{1 \cdot 5 \cdot 9}{3! \cdot 4^3} + \ldots]$ के रूप में लिख सकते हैं।
कोष्ठक के अंदर के पदों की तुलना द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n}$ से करने पर,हमें $nx = \frac{1}{4}$ और $n = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अतः,कोष्ठक के अंदर की श्रेणी $(1+1)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{4}}$ है।
इसलिए,$S = 1 - 2^{-\frac{1}{4}} = 1 - \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \frac{2^{\frac{1}{4}}-1}{2^{\frac{1}{4}}}$।

(B) $S_n = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{n-1} n^2$ \\ $S_{77} = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (75^2 - 76^2) + 77^2$ \\ सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक युग्म $(k^2 - (k+1)^2) = (k - k - 1)(k + k + 1) = -(2k+1)$ \\ $S_{77} = -(3 + 7 + 11 + \ldots + 151) + 77^2$ \\ कोष्ठक के भीतर का योग एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n = 38$ पद,प्रथम पद $a = 3$ और अंतिम पद $l = 151$ है \\ योग $= \frac{38}{2}(3 + 151) = 19 \times 154 = 2926$ \\ $S_{77} = -2926 + 5929 = 3003$

(C) दिया गया व्यंजक: $\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots \left(1+\frac{2n+1}{n^2}\right) = 121$.
प्रत्येक पद को सरल करने पर: $\left(\frac{1+3}{1}\right)\left(\frac{4+5}{4}\right)\left(\frac{9+7}{9}\right) \ldots \left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}\right) = 121$.
यह सरल होकर बनता है: $\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) \times \left(\frac{16}{9}\right) \times \ldots \times \left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\right) = 121$.
पैटर्न को देखने पर,पद टेलीस्कोपिंग तरीके से कट जाते हैं: $\frac{4}{1} \times \frac{9}{4} \times \frac{16}{9} \times \ldots \times \frac{(n+1)^2}{n^2} = (n+1)^2$.
अतः,$(n+1)^2 = 121$.
वर्गमूल लेने पर: $n+1 = 11$.
इसलिए,$n = 10$.

(C) माना $P(n) = 2(4^{2n+1}) + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 2(4^3) + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
हम जानते हैं कि $209 = 11 \times 19$.
$n = 2$ के लिए,$P(2) = 2(4^5) + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
$P(2)$ के लिए विभाज्यता की जाँच करने पर:
$4235 / 11 = 385$ (विभाज्य है)।
$4235 / 19 = 222.89$ (विभाज्य नहीं है)।
अतः,$k = 11$ सही उत्तर है।

(C) हमें योग $\sum_{n=1}^5 (n^3 + n^2 + n)$ का मान ज्ञात करना है।
$n=1$ के लिए: $1(1^2+1+1) = 1(3) = 3$.
$n=2$ के लिए: $2(2^2+2+1) = 2(7) = 14$.
$n=3$ के लिए: $3(3^2+3+1) = 3(13) = 39$.
$n=4$ के लिए: $4(4^2+4+1) = 4(21) = 84$.
$n=5$ के लिए: $5(5^2+5+1) = 5(31) = 155$.
इन मानों का योग: $3 + 14 + 39 + 84 + 155 = 295$.

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos^3 x + \cos^3(120^{\circ} - x) + \cos^3(120^{\circ} + x) = \frac{3}{4} \cos(3x)$.
दी गई व्यंजक $\cos^3 10^{\circ} + \cos^3 110^{\circ} + \cos^3 130^{\circ}$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\cos^3 10^{\circ} + \cos^3(120^{\circ} - 10^{\circ}) + \cos^3(120^{\circ} + 10^{\circ})$.
यहाँ,$x = 10^{\circ}$.
सर्वसमिका लागू करने पर:
$= \frac{3}{4} \cos(3 \times 10^{\circ})$
$= \frac{3}{4} \cos 30^{\circ}$
$= \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{3\sqrt{3}}{8}$.

(A) हम जानते हैं कि $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ होता है।
$\tan 60^{\circ} = \tan(40^{\circ} + 20^{\circ}) = \sqrt{3}$ का उपयोग करने पर,$\tan 40^{\circ} + \tan 20^{\circ} + \sqrt{3} \tan 40^{\circ} \tan 20^{\circ} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\tan(56^{\circ} - 11^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$ का उपयोग करने पर,$\tan 56^{\circ} - \tan 11^{\circ} - \tan 56^{\circ} \tan 11^{\circ} = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,उत्तर $\sqrt{3} - 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\sec \theta \cosh y = \operatorname{cosec} x \implies \cos \theta = \sin x \cosh y \quad (i)$
$\operatorname{cosec} \theta \sinh y = \sec x \implies \sin \theta = \cos x \sinh y \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = (\sin x \cosh y)^2 + (\cos x \sinh y)^2$
$1 = \sin ^2 x \cosh ^2 y + \cos ^2 x \sinh ^2 y$
चूंकि $\cosh ^2 y = 1 + \sinh ^2 y$,इसलिए:
$1 = \sin ^2 x (1 + \sinh ^2 y) + \cos ^2 x \sinh ^2 y$
$1 = \sin ^2 x + \sin ^2 x \sinh ^2 y + \cos ^2 x \sinh ^2 y$
$1 = \sin ^2 x + \sinh ^2 y (\sin ^2 x + \cos ^2 x)$
$1 = \sin ^2 x + \sinh ^2 y (1)$
$\sinh ^2 y = 1 - \sin ^2 x$
$\sinh ^2 y = \cos ^2 x$

(D) दिया है,$\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{y}{2}\right)=\tan ^3\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)$
सूत्र $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1+\tan \frac{y}{2}}{1-\tan \frac{y}{2}} = \left(\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right)^3$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1+\sin y}{1-\sin y} = \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^3$
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{2}{2 \sin y} = \frac{(1+\sin x)^3 + (1-\sin x)^3}{(1+\sin x)^3 - (1-\sin x)^3}$
$\frac{1}{\sin y} = \frac{1+3 \sin ^2 x}{3 \sin x + \sin ^3 x}$
अतः,$\sin y = \frac{3 \sin x + \sin ^3 x}{1+3 \sin ^2 x}$.

(C) हमारे पास $x=\log _e \left[\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right]$ है।
कथन $I$ के लिए:
$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) + \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}{2}$
$= \frac{\frac{\cos(\pi/4+\theta)}{\sin(\pi/4+\theta)} + \frac{\sin(\pi/4+\theta)}{\cos(\pi/4+\theta)}}{2} = \frac{\cos^2(\pi/4+\theta) + \sin^2(\pi/4+\theta)}{2 \sin(\pi/4+\theta) \cos(\pi/4+\theta)}$
$= \frac{1}{\sin(2(\pi/4+\theta))} = \frac{1}{\sin(\pi/2+2\theta)} = \frac{1}{\cos 2\theta} = \sec 2\theta$.
अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए:
$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) - \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}{2}$
$= \frac{\frac{\cos^2(\pi/4+\theta) - \sin^2(\pi/4+\theta)}{\sin(\pi/4+\theta) \cos(\pi/4+\theta)}}{2} = \frac{\cos(2(\pi/4+\theta))}{\sin(2(\pi/4+\theta))}$
$= \cot(\pi/2+2\theta) = -\tan 2\theta$.
अतः,कथन $II$ भी सत्य है।

(B) माना $P = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{2 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{4 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{6 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$.
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$,$\cos \frac{6\pi}{8} = -\cos \frac{2\pi}{8}$,और $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$ है।
साथ ही,$\cos \frac{4\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{\pi}{4}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)(1+0)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{2 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)$.
पदों को समूहित करने पर:
$P = \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{\pi}{4}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{4}\right)$.
$P = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \sin^2 \frac{3 \pi}{8} \cdot \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{4}\right)$.
$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$P = \left(\frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{2}\right) \left(\frac{1-\cos \frac{3\pi}{4}}{2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)$.
$P = \left(\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right) \left(\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1-\frac{1}{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \sqrt{4 \sin^4 \theta + \sin^2 2 \theta} + 4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$.
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के पद को सरल करें:
$4 \sin^4 \theta + \sin^2 2 \theta = 4 \sin^4 \theta + (2 \sin \theta \cos \theta)^2 = 4 \sin^4 \theta + 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 4 \sin^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 4 \sin^2 \theta$.
अतः,$\sqrt{4 \sin^2 \theta} = 2 |\sin \theta|$.
चूंकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\sin \theta < 0$,इसलिए $2 |\sin \theta| = -2 \sin \theta$.
अब,दूसरे पद को सरल करें:
$4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = 2 \left[2 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)\right] = 2 \left[1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right] = 2 (1 + \sin \theta) = 2 + 2 \sin \theta$.
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$E = -2 \sin \theta + 2 + 2 \sin \theta = 2$.

(D) दिया गया है कि $\sec(\theta+\alpha)$,$\sec\theta$,और $\sec(\theta-\alpha)$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
अतः,$2 \sec\theta = \sec(\theta+\alpha) + \sec(\theta-\alpha)$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{1}{\cos(\theta+\alpha)} + \frac{1}{\cos(\theta-\alpha)}$.
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{\cos(\theta-\alpha) + \cos(\theta+\alpha)}{\cos(\theta+\alpha)\cos(\theta-\alpha)}$.
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2\cos A \cos B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{2\cos\theta \cos\alpha}{\cos^2\theta - \sin^2\alpha}$.
$\cos^2\theta - \sin^2\alpha = \cos^2\theta \cos\alpha$.
$\cos^2\theta(1 - \cos\alpha) = \sin^2\alpha$.
$\cos^2\theta(2\sin^2\frac{\alpha}{2}) = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}$.
अतः,$\cos^2\theta = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$.
वर्गमूल लेने पर,$\cos\theta = \pm \sqrt{2} \cos\frac{\alpha}{2}$.
इसलिए,$\cos\theta \cdot \sec\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{2}$.

(B) हल: $E = (\cos^2 252^{\circ} - \sin^2 126^{\circ})(\sin^2 126^{\circ} + \sin^2 186^{\circ} + \sin^2 66^{\circ})$.
$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ और $\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 252^{\circ} - \sin^2 126^{\circ} = \cos 18^{\circ} (-\sin 36^{\circ})$.
$\sin^2 126^{\circ} + \sin^2 186^{\circ} + \sin^2 66^{\circ} = \frac{3}{2}$.
अतः,$E = -\frac{3}{2} \sin 36^{\circ} \cos 18^{\circ} = -\frac{3\sqrt{5}}{8}$.

(D) दिया गया है $\tan \theta = \frac{\cos 25^{\circ} + \sin 25^{\circ}}{\cos 25^{\circ} - \sin 25^{\circ}}$.
अंश और हर को $\cos 25^{\circ}$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{1 + \tan 25^{\circ}}{1 - \tan 25^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 45^{\circ}$ और $B = 25^{\circ}$,हमें $\tan \theta = \tan(45^{\circ} + 25^{\circ}) = \tan 70^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,हम $\tan(180^{\circ} + \alpha) = \tan \alpha$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं।
अतः,$\tan \theta = \tan(180^{\circ} + 70^{\circ}) = \tan 250^{\circ}$।
इसलिए,$\theta = 250^{\circ}$।

(C) दिया गया है $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C + \cos 3\pi = 0$। चूँकि $\cos 3\pi = -1$,इसलिए $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$।
$A+B+C = \pi$ के लिए सर्वसमिका $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 1$
$\Rightarrow 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\cos \frac{3A}{2} = 0$ या $\cos \frac{3B}{2} = 0$ या $\cos \frac{3C}{2} = 0$।
$\triangle ABC$ के लिए,$0 < A, B, C < \pi$,इसलिए $0 < \frac{3A}{2} < \frac{3\pi}{2}$।
$\cos \frac{3A}{2} = 0$ $\Rightarrow \frac{3A}{2} = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow A = \frac{\pi}{3}$।
यदि एक कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो अन्य दो कोणों का योग $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होगा।
हालाँकि,यदि हम वह स्थिति लें जहाँ एक कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो अन्य दो का योग $\frac{\pi}{3}$ होगा।
अतः,दो कोणों के योग का न्यूनतम मान $\frac{\pi}{3}$ है।

(A) दिया गया है $\cos A = \frac{7}{25}$ और $A$ चतुर्थ चतुर्थांश में है,अर्थात $\frac{3 \pi}{2} < A < 2 \pi$।
चूंकि $\frac{3 \pi}{2} < A < 2 \pi$,इसलिए $\frac{3 \pi}{4} < \frac{A}{2} < \pi$ और $\frac{3 \pi}{8} < \frac{A}{4} < \frac{\pi}{2}$।
$\cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1 + \cos A}{2} = \frac{1 + 7/25}{2} = \frac{16}{25}$।
चूंकि $\frac{A}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \frac{A}{2} = -\frac{4}{5}$।
$\cos \frac{A}{2} = 2 \cos^2 \frac{A}{4} - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 \frac{A}{4} = 1 + \cos \frac{A}{2} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$,अतः $\cos^2 \frac{A}{4} = \frac{1}{10}$।
चूंकि $\frac{A}{4}$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\cos \frac{A}{4} = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
साथ ही,$\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1 = 2 \left(\frac{7}{25}\right)^2 - 1 = -\frac{527}{625}$।
अतः,$\cos \frac{A}{4} + \cos \frac{A}{2} - \cos 2A = \frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{4}{5} + \frac{527}{625} = \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{27}{625}$।

(A) दिया गया है $x = -\frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ और $\operatorname{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$।
$x = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$\sinh^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln\left(-\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+1}\right) = \ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$।
$\operatorname{cosech}^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln\left(-2 + \sqrt{4+1}\right) = \ln(\sqrt{5}-2)$।
दोनों को जोड़ने पर:
$\sinh^{-1} x + \operatorname{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \ln(\sqrt{5}-2) = \ln\left(\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-2)}{2}\right)$।
$= \ln\left(\frac{5 - 2\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2}{2}\right) = \ln\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)$।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^2(x+y) + \cos^2(x+y) + y^2 + 2y = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\tan^2(x+y) + \cos^2(x+y) + (y+1)^2 = 1$
चूंकि $\tan^2(x+y) \ge 0$ और $(y+1)^2 \ge 0$,इसलिए $\tan(x+y) = 0$,$\cos^2(x+y) = 1$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः $x+y = n\pi$ और $y = -1$,जिसका अर्थ है $x = n\pi + 1$।
बिंदु $P(n_1\pi + 1, -1)$ और $Q(n_2\pi + 1, -1)$ के रूप में हैं।
अतः दूरी $d = |n_1 - n_2|\pi = k\pi$ प्राप्त होती है।
इस प्रकार,$\cos d = \cos(k\pi) = (-1)^k$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1$ है।

(B) हम योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हैं: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ और $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$.
दिया गया व्यंजक: $E = (\cos \alpha + \cos \beta) - (\cos \gamma + \cos (\alpha + \beta + \gamma))$.
सूत्रों को लागू करने पर:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \cos \frac{\alpha+\beta+2\gamma}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$.
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} [\cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac{\alpha+\beta+2\gamma}{2}]$.
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} [2 \sin \frac{\alpha+\gamma}{2} \sin \frac{\beta+\gamma}{2}]$.
अतः,$E = 4 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\beta+\gamma}{2} \sin \frac{\gamma+\alpha}{2}$.

(A) दिया गया है $u = \log \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)$.
हाइपरबोलिक कोसाइन फलन की परिभाषा के अनुसार,$\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$.
दिए गए समीकरण से,$e^u = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)$.
तब $e^{-u} = \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)} = \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$.
अब,$\cosh u = \frac{1}{2} \left[ \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) + \tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) \right]$.
सर्वसमिका $\tan(A+B) + \tan(A-B) = \frac{2 \sin(2A)}{\cos(2A) + \cos(2B)}$ का उपयोग करने पर:
$\cosh u = \frac{1}{2} \left[ \frac{2 \sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2) + \cos(\theta)} \right] = \frac{1}{0 + \cos \theta} = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin 5x = \cos 2x$।
हम $\cos 2x$ को $\sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sin 5x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$।
$\sin \theta = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
इसका उपयोग करने पर,$5x = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{2} - 2x)$।
$5x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2} - (-1)^n 2x$।
$5x + (-1)^n 2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$।
$x(5 + 2(-1)^n) = \frac{\pi}{2}(2n + (-1)^n)$।
$x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2n + (-1)^n}{5 + 2(-1)^n}$।
इसे $x = a_n \cdot \frac{\pi}{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a_n = \frac{2n + (-1)^n}{5 + 2(-1)^n}$ प्राप्त होता है।

(A) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं: $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+x}{1-x})$ और $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$.
$\tanh^{-1}(\frac{1}{2})$ के लिए:
$\tanh^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+1/2}{1-1/2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{3/2}{1/2}) = \frac{1}{2} \ln(3) = \log \sqrt{3}$.
$\operatorname{coth}^{-1}(3)$ के लिए:
$\operatorname{coth}^{-1}(3) = \frac{1}{2} \ln(\frac{3+1}{3-1}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{4}{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) = \log \sqrt{2}$.
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$\log \sqrt{3} + \log \sqrt{2} = \log(\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) = \log \sqrt{6}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3-5 \sin x+\sin ^2 x} = -\cos x$.
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए और $-\cos x$ के बराबर होने के लिए,$-\cos x \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos x \le 0$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3-5 \sin x+\sin ^2 x = \cos ^2 x$.
$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर: $3-5 \sin x+\sin ^2 x = 1 - \sin ^2 x$.
$2 \sin ^2 x - 5 \sin x + 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2 \sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
इससे $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x \in [-1, 1]$,इसलिए $\sin x = \frac{1}{2}$ होगा।
$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5\pi}{6}$.
चूंकि $\cos x \le 0$,इसलिए अंतराल $[0, 2\pi]$ में $x = \frac{5\pi}{6}$ होगा।
अतः व्यापक हल $x = (2n+1)\pi - \frac{\pi}{6}$ है।

(D) दिया गया है,$\cos 2 \theta \cdot \sec ^4 \theta + \sec ^2 \theta = 0$,जहाँ $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
चूँकि $\sec \theta \neq 0$,हम $\sec ^2 \theta$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\cos 2 \theta \cdot \sec ^2 \theta + 1 = 0$
सर्वसमिका $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan ^2 \theta}{1 + \tan ^2 \theta}$ और $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{1 - \tan ^2 \theta}{1 + \tan ^2 \theta}\right) (1 + \tan ^2 \theta) + 1 = 0$
$1 - \tan ^2 \theta + 1 = 0$
$2 - \tan ^2 \theta = 0$
$\tan ^2 \theta = 2$
चूँकि $\tan ^2 \theta = \frac{\sin ^2 \theta}{1 - \sin ^2 \theta} = 2$ है,तो:
$\sin ^2 \theta = 2 - 2 \sin ^2 \theta$
$3 \sin ^2 \theta = 2$
$\sin ^2 \theta = \frac{2}{3}$

(C) समीकरण $\tan x - x = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम $y = \tan x$ और $y = x$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$x = 0$ पर,दोनों फलन शून्य हैं,लेकिन हमें सबसे छोटा धनात्मक मूल ज्ञात करना है।
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$\tan x > x$ है,इसलिए इस अंतराल में कोई मूल नहीं है।
$x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ के लिए,$\tan x$ ऋणात्मक है जबकि $x$ धनात्मक है,इसलिए कोई मूल नहीं है।
$x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ के लिए,$y = \tan x$ का ग्राफ $-\infty$ से शुरू होकर $+\infty$ तक बढ़ता है,जबकि $y = x$ एक धनात्मक ढाल वाली रेखा है। वे $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ अंतराल में एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,सबसे छोटा धनात्मक मूल $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ अंतराल में स्थित है।

(B) दिया गया व्यंजक: $18 - 16 \sin^2 \frac{A}{2} - 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{5A}{2}$
$= 18 - 8(2 \sin^2 \frac{A}{2}) - 16(2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{5A}{2})$
$2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ और $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ का उपयोग करने पर:
$= 18 - 8(1 - \cos A) - 16(\cos(2A) - \cos(3A))$
$= 18 - 8 + 8 \cos A - 16 \cos 2A + 16 \cos 3A$
$= 10 + 8 \cos A - 16(2 \cos^2 A - 1) + 16(4 \cos^3 A - 3 \cos A)$
चूंकि $A$ तीसरे चतुर्थांश में है और $\tan A = \frac{\sqrt{7}}{3}$ है,इसलिए $\cos A = -\frac{3}{4}$ होगा।
$\cos A = -\frac{3}{4}$ रखने पर:
$= 10 + 8(-\frac{3}{4}) - 16(2(\frac{9}{16}) - 1) + 16(4(-\frac{27}{64}) - 3(-\frac{3}{4}))$
$= 10 - 6 - 16(\frac{18}{16} - 1) + 16(-\frac{27}{16} + \frac{9}{4})$
$= 4 - 16(\frac{2}{16}) + 16(\frac{-27+36}{16})$
$= 4 - 2 + 9 = 11$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$.
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x + \cos 2x$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $\sin 2x (2 \cos x + 1) = \cos 2x (2 \cos x + 1)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(2 \cos x + 1)(\sin 2x - \cos 2x) = 0$.
स्थिति $1$: $2 \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$x = 2\pi/3, 4\pi/3$.
स्थिति $2$: $\sin 2x - \cos 2x = 0 \implies \tan 2x = 1$.
$0 \leq x \leq 2\pi$ के लिए,$0 \leq 2x \leq 4\pi$.
$2x = \pi/4, 5\pi/4, 9\pi/4, 13\pi/4$.
$x = \pi/8, 5\pi/8, 9\pi/8, 13\pi/8$.
$x$ के कुल मान $2 + 4 = 6$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta = \sec \theta$
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta \cos \theta = 1$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $2 \cos 2 \theta (\cos 4 \theta + \cos 2 \theta) = 1$.
$2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + 2 \cos^2 2 \theta = 1$.
$2 \cos^2 2 \theta - 1 = \cos 4 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + \cos 4 \theta = 0$.
$\cos 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$.
स्थिति $1$: $\cos 4 \theta = 0 \Rightarrow 4 \theta = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = (2n + 1) \frac{\pi}{8}$.
$0 < \theta < \pi$ के लिए,$\theta \in \{ \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \}$.
स्थिति $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2}$.
$2 \theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$0 < \theta < \pi$ के लिए,$\theta \in \{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \}$.
जांच $\cos \theta \neq 0$: इनमें से कोई भी मान $\cos \theta = 0$ नहीं बनाता है।
कुल हल = $4 + 2 = 6$.

(C) दिया गया है,$x=\log _e\left[\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right]$
$\Rightarrow e^x =\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}$
अब,$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta} + \frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{(\cos \theta-\sin \theta)^2+(\cos \theta+\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)}{\cos 2 \theta}\right] = \frac{1}{\cos 2 \theta} = \sec 2 \theta$
अतः,कथन $I$ सही है।
अब,$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta} - \frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{(\cos \theta-\sin \theta)^2-(\cos \theta+\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{-4 \sin \theta \cos \theta}{\cos 2 \theta}\right] = \frac{-\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = -\tan 2 \theta$
अतः,कथन $II$ सही है।

(A) समुच्चय $A$ के लिए: $\tan x - \tan^2 x > 0 \Rightarrow \tan x(1 - \tan x) > 0$. इसका अर्थ है $0 < \tan x < 1$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,यह तब होता है जब $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)$ हो।
समुच्चय $B$ के लिए: $|\sin x| < \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,यह तब होता है जब $x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6}, 2\pi\right]$ हो।
$A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हम इन अंतरालों का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करते हैं:
$A \cap B = \left( \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) \right) \cap \left( \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6}, 2\pi\right] \right)$.
सर्वनिष्ठ: $\left(0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\pi, \frac{7\pi}{6}\right)$.

(B) दिया गया है,$\frac{x^2+5x+7}{(x-3)^3} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)^3}$.
दोनों पक्षों को $(x-3)^3$ से गुणा करने पर:
$x^2+5x+7 = A(x-3)^2 + B(x-3) + C$ --- $(i)$
$x=3$ रखने पर:
$C = 31$.
$x=0$ रखने पर:
$3A - B = -8$ --- (ii)
$x=1$ रखने पर:
$2A - B = -9$ --- (iii)
(ii) और (iii) को हल करने पर,$A=1$ और $B=11$ प्राप्त होता है।
अतः,$A=1$ ढाल और $(11, 31)$ बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 31 = 1(x - 11) \Rightarrow x - y + 20 = 0$.

(D) दिए गए बिंदु $A(2,3), B(3,-6), C(5,-7)$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $P(x, y)$ है। शर्त $PA^2+PB^2=2PC^2$ के अनुसार:
$(x-2)^2+(y-3)^2+(x-3)^2+(y+6)^2 = 2[(x-5)^2+(y+7)^2]$
$(x^2-4x+4+y^2-6y+9) + (x^2-6x+9+y^2+12y+36) = 2[x^2-10x+25+y^2+14y+49]$
$2x^2+2y^2-10x+6y+58 = 2x^2+2y^2-20x+28y+148$
$-10x+6y+58 = -20x+28y+148$
$10x-22y = 90$
$5x-11y = 45$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(-13, -10)$ के लिए: $5(-13) - 11(-10) = -65 + 110 = 45$.
अतः,बिंदु $(-13, -10)$ $P$ के बिंदुपथ पर स्थित है।

(C) माना $(x, y)$ मूल निर्देशांक हैं और $(X, Y)$ अक्षों को $\theta = 135^{\circ}$ के कोण पर घुमाने के बाद नए निर्देशांक हैं।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
दिया गया है $(X, Y) = (2, -6)$ और $\theta = 135^{\circ}$:
$x = 2 \cos 135^{\circ} - (-6) \sin 135^{\circ}$
$y = 2 \sin 135^{\circ} + (-6) \cos 135^{\circ}$
चूंकि $\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$x = 2 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 6 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$
$y = 2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 6 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$
अतः,मूल निर्देशांक $(2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$ हैं।

(D) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
रेखा निर्देशांक अक्षों को क्रमशः $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर काटती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक:
$\left(\frac{3 \times 0 + 2 \times a}{3 + 2}, \frac{3 \times b + 2 \times 0}{3 + 2}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3b}{5}\right)$.
चूंकि यह बिंदु $(2, -1)$ है:
$\frac{2a}{5} = 2 \Rightarrow a = 5$
$\frac{3b}{5} = -1 \Rightarrow b = -\frac{5}{3}$.
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$\frac{x}{5} + \frac{y}{-5/3} = 1$
$\frac{x}{5} - \frac{3y}{5} = 1$
$x - 3y = 5$
$x - 3y - 5 = 0$.

(B) $2x + y - 4 = 0$ और $x - 3y + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $(2x + y - 4) + \lambda(x - 3y + 5) = 0$ ... $(i)$
सरल करने पर: $x(2 + \lambda) + y(1 - 3\lambda) + (5\lambda - 4) = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{5}$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\left|\frac{5\lambda - 4}{\sqrt{(2 + \lambda)^2 + (1 - 3\lambda)^2}}\right| = \sqrt{5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(5\lambda - 4)^2}{10\lambda^2 - 2\lambda + 5} = 5$
$25\lambda^2 - 40\lambda + 16 = 50\lambda^2 - 10\lambda + 25$
$25\lambda^2 + 30\lambda + 9 = 0$
$(5\lambda + 3)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{5}$.
$\lambda = -\frac{3}{5}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(2x + y - 4) - \frac{3}{5}(x - 3y + 5) = 0$
$10x + 5y - 20 - 3x + 9y - 15 = 0$
$7x + 14y - 35 = 0$
$7$ से भाग देने पर: $x + 2y - 5 = 0$.

(B) माना शीर्ष $A(-2, 3), B(2, -1)$ और $C(4, 0)$ हैं।
सबसे पहले,लंबकेंद्र $H$ ज्ञात करें। $BC$ की ढाल $= \frac{0 - (-1)}{4 - 2} = \frac{1}{2}$ है। $A$ से शीर्षलंब $BC$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $-2$ है। समीकरण $y - 3 = -2(x + 2) \Rightarrow 2x + y + 1 = 0$ है।
$AC$ की ढाल $= \frac{0 - 3}{4 - (-2)} = -\frac{1}{2}$ है। $B$ से शीर्षलंब $AC$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $2$ है। समीकरण $y - (-1) = 2(x - 2) \Rightarrow 2x - y - 5 = 0$ है।
$2x + y + 1 = 0$ और $2x - y - 5 = 0$ को हल करने पर,$4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$ प्राप्त होता है। $x=1$ रखने पर $y = -3$ प्राप्त होता है। अतः,लंबकेंद्र $H = (1, -3)$ है।
केंद्रक $G = \left(\frac{-2+2+4}{3}, \frac{3-1+0}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$ है।
$H(1, -3)$ और $G\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जहाँ $m = \frac{\frac{2}{3} - (-3)}{\frac{4}{3} - 1} = 11$ है।
अतः,$y + 3 = 11(x - 1) \Rightarrow 11x - y - 14 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: मूल बिंदु को $(2,3)$ पर स्थानांतरित करें। समीकरण $3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0$ में $x = X+2$ और $y = Y+3$ प्रतिस्थापित करें।
$3(X+2)^2+2(X+2)(Y+3)+3(Y+3)^2-18(X+2)-22(Y+3)+50=0$
सरल करने पर,हमें $3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{3}$ कोण पर वामावर्त दिशा में घुमाएं। रूपांतरण समीकरण हैं:
$X = \frac{x' - \sqrt{3}y'}{2}$,$Y = \frac{\sqrt{3}x' + y'}{2}$
इन मानों को $3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ में रखने पर:
$3(\frac{x'-\sqrt{3}y'}{2})^2 + 2(\frac{x'-\sqrt{3}y'}{2})(\frac{\sqrt{3}x'+y'}{2}) + 3(\frac{\sqrt{3}x'+y'}{2})^2 - 1 = 0$
$4$ से गुणा करने पर:
$3(x'^2+3y'^2-2\sqrt{3}x'y') + 2(\sqrt{3}x'^2-2x'y'-\sqrt{3}y'^2) + 3(3x'^2+y'^2+2\sqrt{3}x'y') - 4 = 0$
$(12+2\sqrt{3})x'^2 - 4x'y' + (12-2\sqrt{3})y'^2 - 4 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$(6+\sqrt{3})x^2 - 2xy + (6-\sqrt{3})y^2 - 2 = 0$.

(C) केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H(5,8)$ और परिकेंद्र $O(h,k)$ को जोड़ने वाली रेखा को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{2h+5}{3}, \frac{2k+8}{3}\right) = \left(3, \frac{14}{3}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2h+5}{3} = 3 \Rightarrow h = 2$
$\frac{2k+8}{3} = \frac{14}{3} \Rightarrow k = 3$
अतः,परिकेंद्र $O(2,3)$ है।
रेखा $x-y=0$ के सापेक्ष लंबकेंद्र $H(5,8)$ का प्रतिबिंब $(8,5)$ है,जो परिवृत्त पर स्थित है।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{(8-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ है।
व्यास $= 2R = 4\sqrt{10}$.

(C) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली लंबवत रेखाएं $L_1$ और $L_2$ हैं। चूंकि वे लंबवत हैं और रेखा $2x + 3y = 6$ के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए $\triangle OAB$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\angle AOB = 90^\circ$ और $OA = OB$ है।
माना $OP$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $2x + 3y - 6 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$OP = \frac{|2(0) + 3(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में,समकोण शीर्ष से कर्ण पर डाला गया लंब कर्ण को समद्विभाजित करता है और कर्ण की लंबाई का आधा होता है।
अतः,$OP = AP = BP = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
त्रिभुज का आधार $AB = AP + BP = 2 \times OP = 2 \times \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$.
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times OP$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \left(\frac{12}{\sqrt{13}}\right) \times \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right) = \frac{36}{13}$ वर्ग इकाई।

(B) माना मूल निर्देशांक $(x', y')$ हैं और नए निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिए गए घूर्णन कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए,रूपांतरण समीकरण हैं:
$x' = \frac{x - y}{\sqrt{2}}$
$y' = \frac{x + y}{\sqrt{2}}$
इन मानों को समीकरण $3(x')^2 - 6x'y' + 8(y')^2 = 8$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\left(\frac{x - y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 6\left(\frac{x - y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x + y}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x + y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 8$
सरल करने पर:
$5x^2 + 10xy + 17y^2 - 16 = 0$

(B) दिया गया है: $f(x) = \frac{|x|}{1 - |x|}$.
सबसे पहले,$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$\text{LHL} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{1 - (-x)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{1 + x} = 0$.
$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{1 - x} = 0$.
चूँकि $f(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।
अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$x < 0$ के लिए,$f(x) = \frac{-x}{1 + x}$,इसलिए $f'(x) = \frac{-(1+x) - (-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)^2}$. अतः,$\text{LHD} = f'(0^-) = -1$.
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \frac{x}{1 - x}$,इसलिए $f'(x) = \frac{(1-x) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$. अतः,$\text{RHD} = f'(0^+) = 1$.
चूँकि $\text{LHD} \neq \text{RHD}$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
हालाँकि,$f(x)$,$x \in D \setminus \{0\}$ के लिए अवकलनीय है।
अतः,$f$,$x = 0$ को छोड़कर $D$ पर अवकलनीय है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^{\tan ^{-1} x}$. दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log f(x) = \tan ^{-1} x \cdot \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{f(x)} \frac{df}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \log x + \frac{\tan ^{-1} x}{x}$.
अतः,$\frac{df}{dx} = x^{\tan ^{-1} x} \left[ \frac{\log x}{1+x^2} + \frac{\tan ^{-1} x}{x} \right]$.
अब,$g(x) = \sec ^{-1} \left( \frac{1}{2x^2-1} \right) = \cos ^{-1} (2x^2-1)$.
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$g(x) = \cos ^{-1} (2 \cos^2 \theta - 1) = \cos ^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \cos ^{-1} x$.
$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dg}{dx} = 2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.
अंत में,$f(x)$ का $g(x)$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{df}{dg} = \frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{x^{\tan ^{-1} x} \left[ \frac{\log x}{1+x^2} + \frac{\tan ^{-1} x}{x} \right]}{-2/\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} x^{\tan ^{-1} x} \left[ \frac{\log x}{1+x^2} + \frac{\tan ^{-1} x}{x} \right]$.

(D) दिया गया है $x=3 \cos t$ और $y=4 \sin t$।
वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{9} + \frac{2y}{16} \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y}$।
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{16}{9} \left[ \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2} \right]$।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{16}{9} \left[ \frac{y - x(-\frac{16x}{9y})}{y^2} \right] = -\frac{16}{9} \left[ \frac{9y^2 + 16x^2}{9y^3} \right]$।
चूंकि $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$,इसलिए $16x^2 + 9y^2 = 144$।
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{16}{9} \left[ \frac{144}{9y^3} \right] = -\frac{256}{9y^3}$।
बिंदु $(x_0, y_0) = (\frac{3\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2})$ पर,$y = 2\sqrt{2}$।
इसलिए,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{256}{9(2\sqrt{2})^3} = -\frac{256}{9(16\sqrt{2})} = -\frac{16}{9\sqrt{2}} = -\frac{8\sqrt{2}}{9}$।

(B) दिया गया है,$y = \sin(\log(x^2 + 2x + 1))$.
चूंकि $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$,इसलिए $y = \sin(2 \log(x+1))$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \cos(2 \log(x+1)) \times \frac{2}{x+1}$.
$(x+1)$ से गुणा करने पर:
$(x+1) \frac{dy}{dx} = 2 \cos(2 \log(x+1))$.
गुणन नियम का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(x+1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -2 \sin(2 \log(x+1)) \times \frac{2}{x+1}$.
पूरे समीकरण को $(x+1)$ से गुणा करने पर:
$(x+1)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + (x+1) \frac{dy}{dx} = -4 \sin(2 \log(x+1))$.
चूंकि $y = \sin(2 \log(x+1))$,हमें प्राप्त होता है:
$(x+1)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + (x+1) \frac{dy}{dx} = -4y$.

(C) दिया गया है,$y=x \log \left(\frac{x}{2-3 x}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx} \left[ \log \left( \frac{x}{2-3x} \right) \right] + \log \left( \frac{x}{2-3x} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$\frac{dy}{dx} = x \left( \frac{2-3x}{x} \right) \cdot \frac{(2-3x)(1) - x(-3)}{(2-3x)^2} + \log \left( \frac{x}{2-3x} \right)$
$\frac{dy}{dx} = x \left( \frac{2-3x}{x} \right) \cdot \frac{2}{(2-3x)^2} + \log \left( \frac{x}{2-3x} \right) = \frac{2}{2-3x} + \log \left( \frac{x}{2-3x} \right)$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( 2(2-3x)^{-1} \right) + \frac{d}{dx} \left[ \log \left( \frac{x}{2-3x} \right) \right]$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -2(2-3x)^{-2}(-3) + \frac{2}{x(2-3x)} = \frac{6}{(2-3x)^2} + \frac{2}{x(2-3x)}$.
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$2-3x = 2 - 3(\frac{1}{2}) = 2 - 1.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ और $2-3x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{6}{(1/2)^2} + \frac{2}{(1/2)(1/2)} = \frac{6}{1/4} + \frac{2}{1/4} = 24 + 8 = 32$.

(A) माना $y = x^{\sin x} + (\sin x)^x$.
माना $U = x^{\sin x}$ और $V = (\sin x)^x$.
तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dU}{dx} + \frac{dV}{dx}$.
$U = x^{\sin x}$ के लिए,दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर: $\log U = \sin x \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{U} \frac{dU}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sin x}{x} + \cos x \log x$.
अतः,$\frac{dU}{dx} = x^{\sin x} [\frac{\sin x}{x} + \cos x \log x]$.
$V = (\sin x)^x$ के लिए,दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर: $\log V = x \log(\sin x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{V} \frac{dV}{dx} = 1 \cdot \log(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \log(\sin x) + x \cot x$.
अतः,$\frac{dV}{dx} = (\sin x)^x [\log(\sin x) + x \cot x]$.
इस प्रकार,$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} [\frac{\sin x}{x} + \cos x \log x] + (\sin x)^x [\log(\sin x) + x \cot x]$.

(D) प्रत्येक फलन के लिए $\frac{dy}{dx}$ की गणना करते हैं:
$A. x^2 + y^2 + 3xy = 7$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y\frac{dy}{dx} + 3(y + x\frac{dy}{dx}) = 0 \implies \frac{dy}{dx}(2y + 3x) = -(2x + 3y) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-(2x + 3y)}{3x + 2y}$. यह $II$ से मेल खाता है।
$B. x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$. अवकलन करने पर: $\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3}\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -(\frac{y}{x})^{1/3}$. यह $III$ से मेल खाता है।
$C. x^3 + y^3 = 3axy$. अवकलन करने पर: $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 3a(y + x\frac{dy}{dx}) \implies x^2 + y^2\frac{dy}{dx} = ay + ax\frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx}(y^2 - ax) = ay - x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - ay}{ax - y^2}$. यह $IV$ से मेल खाता है।
$D. xy(x - y) = 2 \implies x^2y - xy^2 = 2$. अवकलन करने पर: $(2xy + x^2\frac{dy}{dx}) - (y^2 + 2xy\frac{dy}{dx}) = 0 \implies \frac{dy}{dx}(x^2 - 2xy) = y^2 - 2xy \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 2xy}{x^2 - 2xy}$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,$D$ का मिलान $V$ से होता है।

(B) दिया गया है $x=\sec \theta-\cos \theta$ और $y=\sec ^n \theta-\cos ^n \theta$।
सबसे पहले,$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d x}{d \theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \sec \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \sin \theta = \tan \theta(\sec \theta + \cos \theta)$।
इसके बाद,$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d \theta} = n \sec ^{n-1} \theta \cdot \sec \theta \tan \theta - n \cos ^{n-1} \theta(-\sin \theta) = n \sec ^n \theta \tan \theta + n \cos ^{n-1} \theta \sin \theta = n \tan \theta(\sec ^n \theta + \cos ^n \theta)$।
अब,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta}$ ज्ञात करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{n \tan \theta(\sec ^n \theta + \cos ^n \theta)}{\tan \theta(\sec \theta + \cos \theta)} = \frac{n(\sec ^n \theta + \cos ^n \theta)}{\sec \theta + \cos \theta}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \frac{n^2(\sec ^n \theta + \cos ^n \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2} = \frac{n^2(\sec ^{2n} \theta + \cos ^{2n} \theta + 2)}{(\sec ^2 \theta + \cos ^2 \theta + 2)}$।
चूंकि $(\sec ^n \theta - \cos ^n \theta)^2 = \sec ^{2n} \theta + \cos ^{2n} \theta - 2$,इसलिए $\sec ^{2n} \theta + \cos ^{2n} \theta = y^2 + 2$।
यह मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \frac{n^2(y^2 + 2 + 2)}{x^2 + 2 + 2} = \frac{n^2(y^2 + 4)}{x^2 + 4}$।
अतः,$\frac{d y}{d x} = n \sqrt{\frac{y^2+4}{x^2+4}}$।

(B) दिया गया है: $x = \sec \theta - \cos \theta$ और $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$।
हम जानते हैं कि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए $x = \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}$।
साथ ही,$x^2 + 4 = (\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 = \sec^2 \theta - 2 + \cos^2 \theta + 4 = \sec^2 \theta + 2 + \cos^2 \theta = (\sec \theta + \cos \theta)^2$।
अतः,$\sqrt{x^2 + 4} = \sec \theta + \cos \theta$।
इसी प्रकार,$y^2 + 4 = (\sec^n \theta - \cos^n \theta)^2 + 4 = \sec^{2n} \theta - 2 + \cos^{2n} \theta + 4 = \sec^{2n} \theta + 2 + \cos^{2n} \theta = (\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2$।
अतः,$\sqrt{y^2 + 4} = \sec^n \theta + \cos^n \theta$।
अब,$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$।
और $\frac{dy}{d\theta} = n \sec^{n-1} \theta (\sec \theta \tan \theta) - n \cos^{n-1} \theta (-\sin \theta) = n \sec^n \theta \tan \theta + n \cos^{n-1} \theta \sin \theta = n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)$।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = n \frac{\sec^n \theta + \cos^n \theta}{\sec \theta + \cos \theta} = n \frac{\sqrt{y^2 + 4}}{\sqrt{x^2 + 4}} = n \sqrt{\frac{y^2 + 4}{x^2 + 4}}$।

(B) दिया गया फलन $f(x)=\left(\frac{a+x}{1+x}\right)^{a+1+2x}$ है,जहाँ $a>0$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log f(x) = (a+1+2x) \log \left(\frac{a+x}{1+x}\right)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2 \log \left(\frac{a+x}{1+x}\right) + (a+1+2x) \left(\frac{1}{a+x} - \frac{1}{1+x}\right)$.
$x=0$ पर मान रखने पर:
$\frac{f^{\prime}(0)}{f(0)} = 2 \log \left(\frac{a}{1}\right) + (a+1) \left(\frac{1}{a} - 1\right)$.
$\frac{f^{\prime}(0)}{f(0)} = 2 \log a + (a+1) \left(\frac{1-a}{a}\right)$.
चूँकि $f(0) = a^{a+1}$,इसलिए:
$f^{\prime}(0) = a^{a+1} \left[ 2 \log a + \frac{(a+1)(1-a)}{a} \right]$.
$f^{\prime}(0) = a^{a+1} \left[ 2 \log a + \frac{1-a^2}{a} \right]$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है $x=a(t+\sin t)$ और $y=a(1-\cos t)$।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d x}{d t}=a(1+\cos t)$ और $\frac{d y}{d t}=a \sin t$।
अब,$\frac{d y}{d x}$ ज्ञात करें:
$\frac{d y}{d x}=\frac{d y / d t}{d x / d t}=\frac{a \sin t}{a(1+\cos t)}=\frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \cos^2(t/2)}=\tan(t/2)$।
अब,$\frac{d y}{d x}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d}{d x}(\tan(t/2))=\sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d t}{d x}$।
चूंकि $\frac{d x}{d t}=a(1+\cos t)=2a \cos^2(t/2)$,इसलिए $\frac{d t}{d x}=\frac{1}{2a \cos^2(t/2)}$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=\sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2a \cos^2(t/2)}=\frac{1}{4a \cos^4(t/2)}$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \cos^2 \left( \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right)$ है,जहाँ $-1 < x < 1$ है।
माना $x = \cos(2\theta)$,जहाँ $0 < 2\theta < \pi$,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है।
तब,$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}} = \sqrt{\frac{2\sin^2\theta}{2\cos^2\theta}} = \tan\theta$।
इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \cos^2(\tan^{-1}(\tan\theta)) = \cos^2\theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \frac{1+x}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $y = \cos^{-1} \left( \frac{b - a \cos x}{a - b \cos x} \right)$.
प्रतिस्थापन $\cos y = \frac{b - a \cos x}{a - b \cos x}$ का उपयोग करते हुए.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan \left( \frac{y}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos y}{1 + \cos y}}$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos y = \frac{(a - b)(1 + \cos x)}{a - b \cos x}$ और $1 + \cos y = \frac{(a + b)(1 - \cos x)}{a - b \cos x}$.
अतः,$\tan^2 \left( \frac{y}{2} \right) = \frac{a - b}{a + b} \cot^2 \left( \frac{x}{2} \right)$.
इस प्रकार,$y = 2 \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{a - b}{a + b}} \cot \frac{x}{2} \right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{a^2 - b^2}}{a - b \cos x}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y=a \sin x+(5+2 x) \cos x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$y^{\prime} = a \cos x + (5+2x)(-\sin x) + (2)\cos x$
$y^{\prime} = a \cos x - (5+2x)\sin x + 2 \cos x$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} = -a \sin x - [(5+2x)\cos x + (2)\sin x] - 2 \sin x$
$y^{\prime \prime} = -a \sin x - (5+2x)\cos x - 2 \sin x - 2 \sin x$
$y^{\prime \prime} = -(a \sin x + (5+2x)\cos x) - 4 \sin x$
चूंकि $y = a \sin x + (5+2x)\cos x$,हम समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$y^{\prime \prime} = -y - 4 \sin x$
अतः,$y^{\prime \prime} + y = -4 \sin x$।

(B) दिया गया है,$y = \log_2(\log_2 x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$y = \frac{\log_e(\log_2 x)}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 2})}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)}{\log_e 2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)]$.
चूंकि $\log_e(\log_e 2)$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलज $0$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_e x \log_e 2}$.

(A) दिया गया समीकरण $y^2 = a x^2 + 2 x + c$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2 y \frac{d y}{d x} = 2 a x + 2$
$y \frac{d y}{d x} = a x + 1$
गुणन नियम का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 = a$
प्रथम अवकलज से,$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + 1}{y}$।
इस मान को दूसरे अवकलज के समीकरण में रखने पर:
$y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{a x + 1}{y})^2 = a$
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = a - \frac{(a x + 1)^2}{y^2}$
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{a y^2 - (a x + 1)^2}{y^2}$
$y^2 = a x^2 + 2 x + c$ रखने पर:
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{a(a x^2 + 2 x + c) - (a^2 x^2 + 2 a x + 1)}{y^2}$
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{a^2 x^2 + 2 a x + a c - a^2 x^2 - 2 a x - 1}{y^2}$
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{a c - 1}{y^2}$
दोनों पक्षों को $y^2$ से गुणा करने पर:
$y^3 \frac{d^2 y}{d x^2} = a c - 1$.

(D) दिया है: $y = a \sin x + (5 + 2x) \cos x$ . . . . . . $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = a \cos x + 2 \cos x - (5 + 2x) \sin x$
$y' = (a + 2) \cos x - (5 + 2x) \sin x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = -(a + 2) \sin x - 2 \sin x - (5 + 2x) \cos x$
$y'' = -(a + 4) \sin x - (5 + 2x) \cos x$ . . . . . . $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$y'' + y = [-(a + 4) \sin x - (5 + 2x) \cos x] + [a \sin x + (5 + 2x) \cos x]$
$y'' + y = -a \sin x - 4 \sin x - (5 + 2x) \cos x + a \sin x + (5 + 2x) \cos x$
$y'' + y = -4 \sin x$.

(D) दिया गया फलन संबंध: $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$ है।
समीकरण में $y=0$ रखने पर:
$f(x(0)+1) = f(x)f(0) - f(0) - x + 2$
चूंकि $f(0)=1$,इसलिए:
$f(1) = f(x)(1) - 1 - x + 2$
$f(1) = f(x) - x + 1$
$f(x)$ को व्यवस्थित करने पर:
$f(x) = x + f(1) - 1$
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x + f(1) - 1)$
चूंकि $f(1)$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलन $0$ होगा:
$\frac{df}{dx} = 1 + 0 - 0 = 1$
अतः,$x=e$ पर $\frac{df}{dx}$ का मान $1$ है।

(B) मध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी अंतराल $[a, b]$ के लिए,एक $c \in (a, b)$ मौजूद होता है ताकि $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
अंतराल $[2, 4]$ के लिए इसे लागू करने पर,हमें $f^{\prime}(c_1) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{f(4) + 6}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{\prime}(x) \leq 4$,इसलिए $\frac{f(4) + 6}{2} \leq 4$,जिसका अर्थ है $f(4) + 6 \leq 8$,यानी $f(4) \leq 2$।
अंतराल $[4, 6]$ के लिए मध्यमान प्रमेय लागू करने पर,$f^{\prime}(c_2) = \frac{f(6) - f(4)}{6 - 4} = \frac{8 - f(4)}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{\prime}(x) \leq 4$,इसलिए $\frac{8 - f(4)}{2} \leq 4$,जिसका अर्थ है $8 - f(4) \leq 8$,यानी $f(4) \geq 0$।
अतः,$0 \leq f(4) \leq 2$,जिसका अर्थ है $f(4) \in [0, 2]$।

(B) हमारे पास है,$y=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}} \tan ^{-1}\left[\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{x}{2}\right]$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x}=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{a-b}{a+b}\right) \tan ^2 \frac{x}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \cdot \sec ^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \cdot \frac{a+b}{(a+b) + (a-b) \tan ^2 \frac{x}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \cdot \sec ^2 \frac{x}{2}$
$= \frac{\sec ^2 \frac{x}{2}}{a(1+\tan ^2 \frac{x}{2}) + b(1-\tan ^2 \frac{x}{2})} = \frac{1}{a+b \cos x}$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d x} (a+b \cos x)^{-1} = -(a+b \cos x)^{-2} \cdot (-b \sin x) = \frac{b \sin x}{(a+b \cos x)^2}$.
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{x=\frac{\pi}{2}} = \frac{b \sin(\frac{\pi}{2})}{(a+b \cos(\frac{\pi}{2}))^2} = \frac{b(1)}{(a+0)^2} = \frac{b}{a^2}$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5 \sin^2 x$ एक $R$ पर वर्धमान फलन है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \ge 0$ होगा।
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b + 10 \sin x \cos x = 3x^2 + 2ax + b + 5 \sin 2x$.
$f'(x) \ge 0$ के लिए,$f'(x)$ का न्यूनतम मान $\ge 0$ होना चाहिए।
चूंकि $\sin 2x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है,इसलिए $5 \sin 2x$ का न्यूनतम मान $-5$ है।
अतः,हमें सभी $x \in R$ के लिए $3x^2 + 2ax + b - 5 \ge 0$ की आवश्यकता है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C \ge 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु $A > 0$ और विविक्तकर $D = B^2 - 4AC \le 0$ होना चाहिए।
यहाँ $A = 3$,$B = 2a$,और $C = b-5$ है।
$D = (2a)^2 - 4(3)(b-5) \le 0$.
$4a^2 - 12(b-5) \le 0$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $a^2 - 3(b-5) \le 0$ प्राप्त होता है।
$a^2 - 3b + 15 \le 0$.
चूंकि दिए गए विकल्प सख्त असमानता में हैं,इसलिए सही शर्त $a^2 - 3b + 15 < 0$ है।

(D) माना $y = f(x) = \cos(x)$ है। हमें $\cos(31^{\circ})$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ और $\Delta x = 1^{\circ} = 0.0174 \text{ rad}$ है।
तब $f(x) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$ है।
अवकलन करने पर $f'(x) = -\sin(x)$ प्राप्त होता है।
$x = 30^{\circ}$ पर,$f'(30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -0.5$ है।
अवकलज के अनुमानित मान के सूत्र $\Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x$ का उपयोग करने पर:
$\Delta y \approx (-0.5) \times 0.0174 = -0.0087$ है।
अतः,$\cos(31^{\circ}) = f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta y$ है।
$\cos(31^{\circ}) \approx 0.8660 - 0.0087 = 0.8573$ है।

(D) माना $s = x^2 + y^2$.
दिया गया है कि $x + y = 32$,इसलिए हम $y = 32 - x$ लिख सकते हैं।
इस मान को $s$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$s = x^2 + (32 - x)^2$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $s$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{ds}{dx} = 2x + 2(32 - x)(-1) = 2x - 64 + 2x = 4x - 64$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{ds}{dx} = 0$ रखने पर:
$4x - 64 = 0 \implies x = 16$.
अतः $y = 32 - 16 = 16$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2s}{dx^2} = 4 > 0$,जो यह पुष्टि करता है कि $x = 16$ पर $s$ का मान न्यूनतम है।
न्यूनतम मान $s = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$ है।

(B) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा स्थिरांक $c \in (1, 2)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}$ हो।
सबसे पहले,हम $f(1)$ और $f(2)$ ज्ञात करते हैं:
$f(1) = \frac{2(1)+3}{4(1)-1} = \frac{5}{3}$
$f(2) = \frac{2(2)+3}{4(2)-1} = \frac{7}{7} = 1$
अब,भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(4x-1)(2) - (2x+3)(4)}{(4x-1)^2} = \frac{8x-2-8x-12}{(4x-1)^2} = \frac{-14}{(4x-1)^2}$
अब,$f'(c)$ को छेदक रेखा की ढाल के बराबर रखें:
$\frac{-14}{(4c-1)^2} = \frac{1 - \frac{5}{3}}{1} = -\frac{2}{3}$
$(4c-1)^2 = 21$
$4c-1 = \pm \sqrt{21}$
$c = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{4}$
चूंकि $c \in (1, 2)$,हम धनात्मक मान चुनते हैं:
$c = \frac{1 + \sqrt{21}}{4} \in (1, 2)$.

(C) माना $f(x) = x^3$ है। बिंदुओं $(-1, -1)$ और $(2, 8)$ को मिलाने वाली जीवा की प्रवणता $m = \frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{8 - (-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस जीवा के समांतर है,इसलिए उस बिंदु पर अवकलज $f'(x)$ का मान जीवा की प्रवणता के बराबर होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$।
$f'(x) = 3$ रखने पर,हमें $3x^2 = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,अतः $x = 1$ या $x = -1$।
$x = 1$ के लिए,$y = (1)^3 = 1$,जिससे बिंदु $(1, 1)$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ के लिए,$y = (-1)^3 = -1$,जिससे बिंदु $(-1, -1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(-1, -1)$ जीवा का एक अंत बिंदु है,इसलिए वक्र पर अभीष्ट बिंदु $(1, 1)$ है।

(D) वक्रों $x^2+4y=0$ और $xy=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
$y = \frac{2}{x}$ को $x^2+4y=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + 4(\frac{2}{x}) = 0$
$x^2 + \frac{8}{x} = 0$
$x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ के लिए,$y = \frac{2}{-2} = -1$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -1)$ है।
प्रथम वक्र $x^2+4y=0$ की ढाल:
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 4\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$.
$x = -2$ पर,$m_1 = -\frac{-2}{2} = 1$.
दूसरे वक्र $xy=2$ की ढाल:
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y + x\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(-2, -1)$ पर,$m_2 = -\frac{-1}{-2} = -\frac{1}{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.

(B) दिया गया है: $f(x) = e^x \sin x$।
स्पर्श रेखा की ढाल $m(x) = f'(x)$ द्वारा दी जाती है।
$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$।
मान लीजिए $g(x) = f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$।
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $g'(x) = 0$ रखते हैं।
$g'(x) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2 e^x \cos x$।
$g'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2 e^x \cos x = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $e^x \neq 0$,इसलिए $\cos x = 0$।
अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$x = \frac{\pi}{2}$ या $x = \frac{3 \pi}{2}$।
अब,हम द्वितीय अवकलज $g''(x) = 2 e^x \cos x - 2 e^x \sin x = 2 e^x (\cos x - \sin x)$ की जांच करते हैं।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2 e^{\frac{\pi}{2}} (0 - 1) = -2 e^{\frac{\pi}{2}} < 0$,जो स्थानीय अधिकतम मान को दर्शाता है।
$x = \frac{3 \pi}{2}$ पर,$g''(\frac{3 \pi}{2}) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} (0 - (-1)) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।
अतः,$x = \frac{\pi}{2}$ पर ढाल अधिकतम है।

(C) माना $y = f(x) = x^{1/4}$ है। हम $x = 16$ और $\Delta x = 2$ चुनते हैं क्योंकि $16$,$18$ के निकटतम पूर्ण चतुर्थ घात है।
अवकलज सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta y \approx \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-3/4} = \frac{1}{4x^{3/4}}$।
$x = 16$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(16^{3/4})} = \frac{1}{4(8)} = \frac{1}{32}$।
अब,$\Delta y$ की गणना करें: $\Delta y \approx \left(\frac{1}{32}\right) \times 2 = \frac{1}{16} = 0.0625$।
अतः,अनुमानित मान $y + \Delta y = f(16) + 0.0625 = 2 + 0.0625 = 2.0625$ है।

(B) माना $V$ आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दिया गया है, हवा के बाहर निकलने की दर $\frac{dV}{dt} = -4 \,m^3 / min$ है (चूंकि हवा बाहर निकल रही है, आयतन घट रहा है)।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 8 \,m$ पर मान रखने पर:
$-4 = 4 \pi (8)^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow -4 = 256 \pi \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = -\frac{1}{64 \pi} \,m / min$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 8 \,m$ और $\frac{dr}{dt} = -\frac{1}{64 \pi} \,m / min$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (8) \left( -\frac{1}{64 \pi} \right) = -1 \,m^2 / min$.
अतः, सतह का क्षेत्रफल $1 \,m^2 / min$ की दर से घट रहा है।

(A) माना $f(x) = \frac{x}{1+x} - \log(1+x)$,जहाँ $x > 0$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} - \frac{1}{1+x}$
$f'(x) = \frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{1+x} = \frac{1 - (1+x)}{(1+x)^2} = \frac{-x}{(1+x)^2}$.
चूंकि $x > 0$ है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है $x > 0$ के लिए।
जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to \frac{0}{1} - \log(1) = 0$।
चूंकि फलन $0$ से शुरू होता है और $x > 0$ के लिए निरंतर घटता है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) < 0$ होगा।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 2px^2 + 27x + 16$ है।
$f(x)$ के सभी $x \in R$ के लिए निरंतर वर्धमान होने हेतु,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 + 4px + 27$।
चूंकि $f'(x)$ एक द्विघात व्यंजक है और इसका मुख्य गुणांक धनात्मक $(3 > 0)$ है,इसलिए यह सभी $x$ के लिए धनात्मक तभी होगा जब इसका विविक्तकर $D < 0$ हो।
विविक्तकर $D = (4p)^2 - 4(3)(27)$ है।
$D < 0$ रखने पर:
$16p^2 - 324 < 0$
$p^2 - \frac{324}{16} < 0$
$p^2 - \frac{81}{4} < 0$
$(p - \frac{9}{2})(p + \frac{9}{2}) < 0$।
अतः,$p$ का परिसर $p \in \left(-\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right)$ है।

(B) यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं और $f'(x) > 0$ रखते हैं।
दिया गया है $f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 12$.
$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24$.
$12$ उभयनिष्ठ लेने पर: $f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 - x + 2)$.
गुणनखंड करने पर: $f'(x) = 12[x^2(x - 2) - 1(x - 2)] = 12(x^2 - 1)(x - 2) = 12(x - 1)(x + 1)(x - 2)$.
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$.
क्रांतिक बिंदुओं $x = -1, 1, 2$ के लिए वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर:
$x \in (-1, 1)$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$x \in (2, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$.
अतः,फलन $(-1, 1) \cup (2, \infty)$ पर वर्धमान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2x^2 - \log x$ है,जहाँ $x > 0$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - \log x) = 4x - \frac{1}{x}$.
फलन $f(x)$ ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो।
$4x - \frac{1}{x} < 0$
$\Rightarrow \frac{4x^2 - 1}{x} < 0$.
चूँकि $x > 0$ है,हम असमिका के चिह्न को बदले बिना $x$ से गुणा कर सकते हैं:
$4x^2 - 1 < 0$
$\Rightarrow 4x^2 < 1$
$\Rightarrow x^2 < \frac{1}{4}$
$\Rightarrow |x| < \frac{1}{2}$.
इससे हमें $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त $x > 0$ के अनुसार,अंतराल $x \in (0, \frac{1}{2})$ होगा।
अतः,फलन $(0, \frac{1}{2})$ अंतराल में ह्रासमान है।

(B) मान लीजिए $v$ जल के सापेक्ष मोटर बोट की गति है,जहाँ $v > C$ है। जल प्रवाह के विपरीत दिशा में चलते समय जमीन के सापेक्ष बोट की गति $(v - C)$ होगी।
यदि तय की जाने वाली दूरी $S$ है,तो लगा समय $t = \frac{S}{v - C}$ होगा।
प्रति घंटा पेट्रोल की खपत जल के सापेक्ष वेग के घन के समानुपाती है,अर्थात $k v^3$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
कुल पेट्रोल की खपत $f(v)$ इस प्रकार है:
$f(v) = (k v^3) \times \left( \frac{S}{v - C} \right) = k S \frac{v^3}{v - C}$.
न्यूनतम खपत ज्ञात करने के लिए,हम $f(v)$ का $v$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$f'(v) = k S \left[ \frac{(v - C)(3v^2) - v^3(1)}{(v - C)^2} \right] = 0$.
इसका अर्थ है $3v^2(v - C) - v^3 = 0$,जो सरल होकर $3v^3 - 3v^2C - v^3 = 0$ हो जाता है।
$2v^3 - 3v^2C = 0$.
चूंकि $v \neq 0$,हमें $2v - 3C = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \frac{3C}{2}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 4$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 - 12x + 6$
अवकलज का गुणनखंड करें:
$f'(x) = 6(2x^3 - x^2 - 2x + 1) = 6[x^2(2x - 1) - 1(2x - 1)] = 6(x^2 - 1)(2x - 1) = 6(x - 1)(x + 1)(2x - 1)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$6(x - 1)(x + 1)(2x - 1) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 1, x = -1, x = 1/2$ हैं।
चूंकि हम अंतराल $(0, 2)$ पर विचार कर रहे हैं,इसलिए हम केवल $x = 1$ और $x = 1/2$ पर विचार करेंगे (क्योंकि $-1$ अंतराल के बाहर है)।
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(1) = 3(1)^4 - 2(1)^3 - 6(1)^2 + 6(1) + 4 = 3 - 2 - 6 + 6 + 4 = 5$.
$f(1/2) = 3(1/16) - 2(1/8) - 6(1/4) + 6(1/2) + 4 = 3/16 - 4/16 - 24/16 + 48/16 + 64/16 = 87/16$.
मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $87/16$ है और न्यूनतम मान $5$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $87/16 + 5 = (87 + 80) / 16 = 167/16$ है।

(B) दिया गया है कि,$s = t^5 - 40t^3 + 30t^2 + 80t - 250$.
वेग $v = \frac{ds}{dt} = 5t^4 - 120t^2 + 60t + 80$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 20t^3 - 240t + 60$.
माना $f(t) = 20t^3 - 240t + 60$.
न्यूनतम त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम $f'(t) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$f'(t) = 60t^2 - 240 = 0 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = \pm 2$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(t) = 120t$ की जाँच करें।
$t = 2$ पर,$f''(2) = 120(2) = 240 > 0$,अतः $f(t)$ का मान $t = 2$ पर न्यूनतम है।
न्यूनतम त्वरण $a_{\min} = f(2) = 20(2)^3 - 240(2) + 60 = 160 - 480 + 60 = -260$.

(C) फलन $f(x) = 2x^6 - 3$ के स्थानीय चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसका अवकलज ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^6 - 3) = 12x^5$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$12x^5 = 0 \implies x = 0$.
अब,$x = 0$ बिंदु की प्रकृति की जाँच करने के लिए प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण के अनुसार:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = 12x^5 < 0$ (फलन घट रहा है)।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 12x^5 > 0$ (फलन बढ़ रहा है)।
चूंकि $x = 0$ पर अवकलज का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
स्थानीय न्यूनतम मान $f(0) = 2(0)^6 - 3 = -3$ है।
अतः,$-3$ $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos x - \sin 2x$ अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ पर सतत है और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(\pi/2) - f(-\pi/2)}{\pi/2 - (-\pi/2)}$।
सबसे पहले,$f(\pi/2) = \cos(\pi/2) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0$।
इसके बाद,$f(-\pi/2) = \cos(-\pi/2) - \sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$।
अतः,$f'(c) = \frac{0 - 0}{\pi} = 0$।
अवकलन $f'(x) = -\sin x - 2\cos 2x$ है।
$f'(c) = 0$ रखने पर,हमें $-\sin c - 2\cos 2c = 0$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos 2c = 1 - 2\sin^2 c$ का उपयोग करने पर,$-\sin c - 2(1 - 2\sin^2 c) = 0$।
$-\sin c - 2 + 4\sin^2 c = 0$,जो सरल होकर $4\sin^2 c - \sin c - 2 = 0$ हो जाता है।
$\sin c$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin c = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(4)(-2)}}{2(4)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$।
इसलिए,$c = \sin^{-1}\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)$।

(C) दिया गया है $f(x) = x^{1/2}$ और $g(x) = x^{-1/2}$।
अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} \implies f^{\prime}(c) = \frac{1}{2} c^{-1/2}$
$g^{\prime}(x) = -\frac{1}{2} x^{-3/2} \implies g^{\prime}(c) = -\frac{1}{2} c^{-3/2}$
अब,अवकलजों का अनुपात:
$\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{\frac{1}{2} c^{-1/2}}{-\frac{1}{2} c^{-3/2}} = -c^{(-1/2) - (-3/2)} = -c^1 = -c$
अंतर का अनुपात:
$f(12) - f(3) = \sqrt{12} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
$g(12) - g(3) = \frac{1}{\sqrt{12}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$
$\frac{f(12) - f(3)}{g(12) - g(3)} = \frac{\sqrt{3}}{-\frac{1}{2\sqrt{3}}} = -6$
दोनों को बराबर करने पर:
$-c = -6 \implies c = 6$.

(B) दिया गया है: $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$.
फलन का विस्तार करने पर: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
अवकलन करने पर $f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 4]$ पर सतत और $(0, 4)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 4)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ है।
$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -6$.
अतः,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$3c^2 - 12c + 11 = 3$ रखने पर,$3c^2 - 12c + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$.
$c = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
दोनों मान $(0, 4)$ अंतराल में स्थित हैं।

(C) माना $I = \int \frac{\sin 2x \, dx}{\sin^4 x + \cos^4 x}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए $I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$ है।
अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin x \cos x / \cos^4 x}{(\sin^4 x + \cos^4 x) / \cos^4 x} \, dx = \int \frac{2 \tan x \sec^2 x}{1 + \tan^4 x} \, dx$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan^2 x$,तो $dt = 2 \tan x \sec^2 x \, dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{1 + t^2} = \tan^{-1}(t) + c = \tan^{-1}(\tan^2 x) + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\tan^{-1}(f(x)) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \tan^2 x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^2 = 3$ है।

(C) माना $I = \int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx$ है।
$t = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
$I = \int e^t \frac{(t - 1)^2}{(1 + t^2)^2} dt = \int e^t \frac{t^2 - 2t + 1}{(1 + t^2)^2} dt$।
$I = \int e^t \left( \frac{t^2 + 1 - 2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt$।
सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ और $f'(t) = -\frac{2t}{(1 + t^2)^2}$ है।
अतः,$I = e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} \right) + C = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$।

(D) माना $I = \int \frac{dx}{x^3+3x^2+2x}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^3+3x^2+2x = x(x^2+3x+2) = x(x+1)(x+2)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}$.
$1 = A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)$.
$x=0$ के लिए: $1 = A(1)(2) \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.
$x=-1$ के लिए: $1 = B(-1)(1) \Rightarrow B = -1$.
$x=-2$ के लिए: $1 = C(-2)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
अतः,$I = \int \left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}\right) dx$.
$I = \frac{1}{2} \log |x| - \log |x+1| + \frac{1}{2} \log |x+2| + c$.
$I = \frac{1}{2} [\log |x| - 2 \log |x+1| + \log |x+2|] + c$.
$I = \frac{1}{2} \log \left|\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}\right| + c = \frac{1}{2} \log \left|\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\right| + c$.

(B) दिया गया है $I_n = \int \sec^n x \, dx$.
सबसे पहले,$I_2 = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + c_1$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$I_4 = \int \sec^4 x \, dx = \int \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx$ ज्ञात करें।
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I_4 = \int (1 + \tan^2 x) \sec^2 x \, dx$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$.
$I_4 = \int (1 + u^2) \, du = u + \frac{u^3}{3} + c_2 = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + c_2$.
अब,$I_4 - \frac{2}{3} I_2$ की गणना करें:
$I_4 - \frac{2}{3} I_2 = (\tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + c_2) - \frac{2}{3} (\tan x + c_1)$.
$= \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} - \frac{2}{3} \tan x + c$.
$= \frac{1}{3} \tan x + \frac{1}{3} \tan^3 x + c$.
$= \frac{1}{3} \tan x (1 + \tan^2 x) + c$.
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए:
$= \frac{1}{3} \tan x \sec^2 x + c$.

(C) हमारे पास है,$\int \frac{dx}{\tan x+\cot x+\sec x+\operatorname{cosec} x} = \int \frac{dx}{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}}$
$= \int \frac{\sin x \cos x dx}{\sin^2 x+\cos^2 x+\sin x+\cos x} = \int \frac{\sin x \cos x dx}{1+\sin x+\cos x}$
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x \cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x \cos x + 1 - 1}{1+\sin x+\cos x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin^2 x+\cos^2 x+2 \sin x \cos x)-1}{1+\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x+\cos x)^2-1}{1+\sin x+\cos x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x+\cos x+1)(\sin x+\cos x-1)}{1+\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int (\sin x+\cos x-1) dx = \frac{1}{2} [-\cos x+\sin x-x]+c = \frac{1}{2}(\sin x-\cos x-x)+c$

(D) दिया गया है $I = \int \frac{x-x^2}{\sqrt{1-x}} d x$.
चूंकि $x-x^2 = x(1-x)$,इसलिए $I = \int \frac{x(1-x)}{\sqrt{1-x}} d x = \int x \sqrt{1-x} d x$.
माना $1-x = t^2$,तब $dx = -2t dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1-t^2) t (-2t) dt = 2 \int (t^4 - t^2) dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} \right] + c = \frac{2}{15} t^3 (3t^2 - 5) + c$.
$t = \sqrt{1-x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{15} (1-x)^{3/2} [3(1-x) - 5] + c = \frac{2}{15} (1-x)^{3/2} (-3x - 2) + c = -\frac{2}{15} (1-x)^{3/2} (3x+2) + c$.

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2 \sin x + \sec x)^4}$ है।
अंश और हर को $\sec^4 x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sec^4 x}{(2 \sin x \cos x + 1)^4} dx = \int \frac{\sec^4 x}{(\sin 2x + 1)^4} dx$.
हर को पुन: लिखने पर: $2 \sin x + \sec x = \frac{2 \sin x \cos x + 1}{\cos x} = \frac{\sin 2x + 1}{\cos x}$.
अतः,$I = \int \frac{\cos^4 x}{(\sin 2x + 1)^4} dx = \int \frac{\cos^4 x}{((\sin x + \cos x)^2)^4} dx = \int \frac{\cos^4 x}{(\sin x + \cos x)^8} dx$.
अंश और हर को $\cos^8 x$ से भाग देने पर:
$I = \int \frac{\sec^4 x}{(1 + \tan x)^8} dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$. चूँकि $\sec^2 x = 1 + t^2$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1 + t^2}{(1 + t)^8} dt = \int \frac{(1 + t)^2 - 2t}{(1 + t)^8} dt = \int \frac{(1 + t)^2 - 2(1 + t - 1)}{(1 + t)^8} dt$
$I = \int \frac{dt}{(1 + t)^6} - 2 \int \frac{dt}{(1 + t)^7} + 2 \int \frac{dt}{(1 + t)^8}$
$I = -\frac{1}{5}(1 + t)^{-5} + \frac{2}{6}(1 + t)^{-6} - \frac{2}{7}(1 + t)^{-7} + k$
$I = -\frac{1}{5}(1 + \tan x)^{-5} + \frac{1}{3}(1 + \tan x)^{-6} - \frac{2}{7}(1 + \tan x)^{-7} + k$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = -\frac{1}{5}$,$B = \frac{1}{3}$,$C = -\frac{2}{7}$.
$A + B + C = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{-21 + 35 - 30}{105} = -\frac{16}{105}$.

(B) हम समाकल्य को इस प्रकार सरल करते हैं:
$\int \frac{2x^2-1+x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2(x^2+4)} dx = \int \left( \frac{2x^2}{x^2(x^2+4)} - \frac{1}{x^2(x^2+4)} + \frac{x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2(x^2+4)} \right) dx$
$= \int \left( \frac{2}{x^2+4} - \frac{1}{x^2(x^2+4)} + \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right) dx$
$\frac{1}{x^2(x^2+4)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2+4} \right)$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए:
$= \int \left( \frac{2}{x^2+4} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2+4} \right) + \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right) dx$
$= \int \left( \frac{2}{x^2+4} + \frac{1}{4(x^2+4)} - \frac{1}{4x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right) dx$
$= \int \left( \frac{9}{4(x^2+4)} - \frac{1}{4x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right) dx$
$= \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{x} \right) + \sinh^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + c$
$= \frac{9}{8} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + \frac{1}{4x} + \sinh^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{\sqrt{x^2+1}\left[\log \left(x^2+1\right)-2 \log x\right]}{x^4} d x$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \left[\log \left(x^2(1+\frac{1}{x^2})\right)-2 \log x\right]}{x^4} d x$
$I = \int \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \left[\log x^2 + \log(1+\frac{1}{x^2}) - 2 \log x\right]}{x^3} d x$
चूंकि $\log x^2 = 2 \log x$,व्यंजक सरल हो जाता है:
$I = \int \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \log(1+\frac{1}{x^2})}{x^3} d x$.
माना $1+\frac{1}{x^2} = t^2$. तब $-\frac{2}{x^3} dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $-\frac{dx}{x^3} = t dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = -\int t \cdot \log(t^2) \cdot t dt = -\int t^2 \cdot 2 \log t dt = -2 \int t^2 \log t dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = -2 \left[ \frac{t^3}{3} \log t - \int \frac{t^3}{3} \cdot \frac{1}{t} dt \right] = -2 \left[ \frac{t^3}{3} \log t - \frac{t^3}{9} \right] = \frac{2}{9} t^3 - \frac{2}{3} t^3 \log t$.
$I = \frac{1}{9} t^3 [2 - 6 \log t] = \frac{1}{9} t^3 [2 - 3 \log t^2]$.
$t^2 = 1+\frac{1}{x^2}$ और $t = (1+\frac{1}{x^2})^{1/2}$ रखने पर:
$I = \frac{1}{9} (1+\frac{1}{x^2})^{3/2} [2 - 3 \log (1+\frac{1}{x^2})] + c$.

(C) माना $I = \int (\sec^4 x + \tan^4 x) \, dx$ है।
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan^4 x = (\sec^2 x - 1)^2 = \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (\sec^4 x + \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^2 x \cdot \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2(1 + \tan^2 x) \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^2 x + 2 \tan^2 x \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \tan^2 x \sec^2 x + 1) \, dx$
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$ होगा।
$I = \int (2u^2 + 1) \, du = \frac{2}{3} u^3 + u + c$
$I = \frac{2}{3} \tan^3 x + \tan x + c$।