AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना दो वृत्त $C_1$ और $C_2$ हैं।
$C_1: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ जिसका केंद्र $O(-g, -f)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c}$ है।
$C_2: x^2+y^2+2gx+2fy+c \sin^2 \alpha + (g^2+f^2) \cos^2 \alpha = 0$ है।
$C_2$ को $(x+g)^2 + (y+f)^2 = g^2+f^2 - c \sin^2 \alpha - (g^2+f^2) \cos^2 \alpha$ के रूप में लिखने पर।
$r_2^2 = g^2(1-\cos^2 \alpha) + f^2(1-\cos^2 \alpha) - c \sin^2 \alpha = (g^2+f^2-c) \sin^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_2 = r_1 \sin \alpha$ है।
माना $P$,$C_1$ पर एक बिंदु है,इसलिए $OP = r_1$ है। माना $PA$ और $PB$ बिंदु $P$ से $C_2$ पर स्पर्श रेखाएं हैं।
$\triangle OAP$ में,$\angle OAP = 90^\circ$ है।
$\sin(\angle OPA) = \frac{OA}{OP} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{r_1 \sin \alpha}{r_1} = \sin \alpha$ है।
इसलिए,$\angle OPA = \alpha$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\angle APB = 2 \angle OPA = 2 \alpha$ है।

(C) वृत्त $x^2+y^2-4x+2y-5=0$ की $(3,-4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x-3y-15=0$ है।
यदि जीवा $AB$ का मध्य बिंदु $(h,k)$ है,तो इसका समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $x(h+8)+y(k+1) = h^2+k^2+8h+k$ होगा।
इस रेखा की तुलना $x-3y-15=0$ से करने पर,मध्य बिंदु $(-6,-7)$ प्राप्त होता है जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। बिंदु $(h, k)$ से वृत्त $S=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(h, k)}$ होती है।
चूंकि स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,इसलिए तीनों वृत्तों के सापेक्ष बिंदु $P$ की शक्ति समान है।
$S_1(h, k) = S_2(h, k) = S_3(h, k)$.
$S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-2x+3y=0$
$S_3 \equiv x^2+y^2+7y-18=0$
$S_1 = S_2$ को बराबर करने पर:
$x^2+y^2-4 = x^2+y^2-2x+3y$
$2x-3y-4=0$ $(i)$
$S_1 = S_3$ को बराबर करने पर:
$x^2+y^2-4 = x^2+y^2+7y-18$
$-7y+14=0$
$y=2$
$y=2$ को $(i)$ में रखने पर:
$2x-3(2)-4=0$
$2x-6-4=0$
$2x=10$
$x=5$
अतः,$P$ के निर्देशांक $(5, 2)$ हैं।

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है। पहले,दूसरे वृत्त को सामान्यीकृत करें: $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x^2+y^2+2gx+2fy+c) - (x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c) = 0$.
यह सरल होकर $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ हो जाता है।
वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए इसका केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $1$ है।
मूल अक्ष इस वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $1$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
मान लीजिए $A = (2g-\frac{3}{2})$ और $B = (2f-4)$. तब $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,जिसका अर्थ है $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,अर्थात $2AB=0$.
अतः,$A=0$ या $B=0$.
$2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$ या $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

(D) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। इस वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(3,4)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$3^2+4^2+2g(3)+2f(4)+c=0$
$9+16+6g+8f+c=0$
$6g+8f+c+25=0$ ... $(i)$
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
यहाँ,दिया गया वृत्त $x^2+y^2-36=0$ है,इसलिए $g_2=0, f_2=0, c_2=-36$ है।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन की शर्त लागू करने पर:
$2g(0)+2f(0)=c-36$
$0=c-36$,अर्थात $c=-36$ है।
समीकरण $(i)$ में $c=-36$ रखने पर:
$6g+8f-36+25=0$
$6g+8f-11=0$
माना वृत्त $S$ का केंद्र $(x, y)$ है,जहाँ $x=-g$ और $y=-f$ है। अतः $g=-x$ और $f=-y$ है।
इन मानों को $6g+8f-11=0$ में रखने पर:
$6(-x)+8(-y)-11=0$
$-6x-8y-11=0$
$6x+8y+11=0$

(B) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ $(i)$ है।
चूँकि वृत्त $(3,2)$ से गुजरता है,$6g+4f+c+13=0$ $(ii)$।
चूँकि वृत्त $x^2+y^2=15$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,उभयनिष्ठ जीवा केंद्र $(0,0)$ से गुजरती है,अतः $c+15=0$,जिससे $c=-15$ $(iii)$।
चूँकि वृत्त $x^2+y^2+4x+6y+3=0$ को लंबकोणीय काटता है,$4g+6f=c+3$ $(iv)$।
$c=-15$ रखने पर,$4g+6f=-12$ अर्थात $2g+3f=-6$।
समीकरण $(ii)$ में $c=-15$ रखने पर,$6g+4f=2$ अर्थात $3g+2f=1$।
इन्हें हल करने पर $g=3, f=-4$ प्राप्त होता है। अतः समीकरण $x^2+y^2+6x-8y-15=0$ है।

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2+2x+4y-20=0$ और $x^2+y^2+6x-8y+10=0$ हैं।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ के अनुसार,$2(1)(3)+2(2)(-4) = -10$ और $c_1+c_2 = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और उनकी दो उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $2x-6y+15=0$ है।
केंद्र $C_1(-1, -2)$ से जीवा की दूरी $d = \frac{25}{\sqrt{40}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2-d^2} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होती है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। $(i)$
चूँकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,इसलिए $r^2 = f^2$। अतः,$g^2+f^2-c = f^2$,जिसका अर्थ है $c = g^2$। $(ii)$
वृत्त बिंदु $(2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $4+0+4g+0+c=0$,जिससे $c = -4g-4$ प्राप्त होता है। $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर,$g^2 = -4g-4$,इसलिए $g^2+4g+4=0$,जिसका अर्थ है $(g+2)^2=0$,इसलिए $g=-2$। $g=-2$ को $(ii)$ में रखने पर,$c=(-2)^2=4$ प्राप्त होता है।
वृत्त $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ के लिए $g_1=-1, f_1=-1, c_1=-2$ है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ है।
मान रखने पर: $2(-1)(-2) + 2(-1)(f) = -2 + 4$,जो $4 - 2f = 2$ में सरल होता है,इसलिए $2f = 2$,जिससे $f=1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-(-2), -1) = (2, -1)$ है।

(B) दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ केंद्रों के बीच की दूरी है और $r_1, r_2$ त्रिज्याएँ हैं।
वृत्त $C_1$ के लिए: केंद्र $(6, 3)$ और $r_1 = 2$ है।
वृत्त $C_2$ के लिए: केंद्र $(-\frac{k}{2}, -3)$ और $r_2 = \sqrt{\frac{k^2}{4}+68}$ है।
दूरी $d^2 = (6+\frac{k}{2})^2 + 36$ है।
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर,गणना करने पर $k^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \pm 4$ है। इसलिए,$k$ का मान $-4$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x-3)^2+(y-2)^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,दिए गए वृत्त का केंद्र $C(3, 2)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
माना वृत्त $S$ का केंद्र $B$ है और इसकी त्रिज्या $r_2 = 5$ है।
दोनों वृत्त $P(-1, -1)$ पर स्पर्श करते हैं। केंद्रों $B$ और $C$ के बीच की दूरी $BC = r_1 + r_2 = 5 + 5 = 10$ है।
माना $A$ वृत्त $C$ पर स्पर्श बिंदु है। चूँकि $BA$ वृत्त $C$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए $\triangle BAC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle BAC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle BAC$ में,$BC$ कर्ण है,$AC$ दिए गए वृत्त की त्रिज्या $(5)$ है,और $AB$ स्पर्श रेखा की लंबाई है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + AC^2 = BC^2$।
$AB^2 + 5^2 = 10^2$।
$AB^2 + 25 = 100$।
$AB^2 = 75$।
$AB = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$।

(B) दिए गए वृत्त:
$x^2+y^2-4x-2y+k=0$
केंद्र $C_1 = (2, 1)$,त्रिज्या $r_1 = 2$
$x^2+y^2-6x-4y+l=0$
केंद्र $C_2 = (3, 2)$,त्रिज्या $r_2 = 3$
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(3-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
त्रिज्याओं का योग $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$.
त्रिज्याओं का अंतर $|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$.
चूंकि $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ (अर्थात $1 < 1.414 < 5$),वृत्त दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

(D) वृत्त $x^2+y^2-2x+4y+4=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 4} = 1$ है।
वृत्त $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{18}$ है।
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{d^2 - (r_1+r_2)^2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$L = \sqrt{18 - (1+2)^2} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3$.

(B) रेखा $x-2=0$ और वृत्त $x^2+y^2-8x-2y+8=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार है:
$(x^2+y^2-8x-2y+8) + \lambda(x-2) = 0$
$x^2+y^2+(\lambda-8)x-2y+(8-2\lambda) = 0$ ... $(i)$
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda-8}{2}, 1)$ है।
न्यूनतम त्रिज्या के लिए,जीवा $AB$ को वृत्त का व्यास होना चाहिए। इसका अर्थ है कि वृत्त का केंद्र रेखा $x-2=0$ पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र के x-निर्देशांक को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$-\frac{\lambda-8}{2} = 2$
$-\lambda+8 = 4$
$\lambda = 4$
$\lambda=4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x^2+y^2+(4-8)x-2y+(8-2(4)) = 0$
$x^2+y^2-4x-2y=0$

(C) वृत्तों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+4x+6y-12) + \lambda(x^2+y^2-6x-4y-12) = 0$
लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करने पर,हमें $\lambda$ का मान प्राप्त होता है।
अंतिम समीकरण $x^2+y^2+6x+8y-12=0$ है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $(2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r$ के लिए $r^2 = (h-2)^2 + (k-3)^2$ होगा।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = (h-2)^2 + (k-3)^2$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + 4h + 6k - 13 = 0$ बनता है।
यह वृत्त $x^2 + y^2 - 12 = 0$ को लंबकोणीय रूप से काटता है।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = 4h + 6k - 13$ और $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -12$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2(-h)(0) + 2(-k)(0) = (4h + 6k - 13) - 12$.
$0 = 4h + 6k - 25$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $4x + 6y - 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2x+2y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
$-2x-y-1=0$,जो $2x+y+1=0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त $S_1$ का केंद्र $(-1, -1)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2-1} = 1$ है।
केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा $2x+y+1=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2(-1)+(-1)+1|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2-d^2} = 2\sqrt{1-\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा अभीष्ट वृत्त का व्यास है,इसलिए व्यास $D = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $R = \frac{D}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।

(B) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। वृत्त $S=0$ पर बिंदु $(x, y)$ से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S}$ होती है।
दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-4x-6y-12=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+6x+18y+26=0$ हैं।
स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}} = \frac{2}{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}$,जिसका अर्थ है $9S_1 = 4S_2$।
वृत्तों के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$9(x^2+y^2-4x-6y-12) = 4(x^2+y^2+6x+18y+26)$।
$9x^2+9y^2-36x-54y-108 = 4x^2+4y^2+24x+72y+104$।
$5x^2+5y^2-60x-126y-212 = 0$।
$5$ से विभाजित करने पर,$P$ का बिंदुपथ $x^2+y^2-12x-\frac{126}{5}y-\frac{212}{5}=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया परवलय: $y^2+6y-2x+5=0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2+6y+9 = 2x-5+9$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर:
शीर्ष $(h, k) = (-2, -3)$। यह $(F)$ से मेल खाता है।
$4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$।
नाभि $(h+a, k) = (-2+\frac{1}{2}, -3) = (-\frac{3}{2}, -3)$। यह $(A)$ से मेल खाता है।
नियता का समीकरण: $x = h-a$ $\Rightarrow x = -2-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = -\frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x+5=0$। यह $(C)$ से मेल खाता है।
अक्ष का समीकरण: $y = k \Rightarrow y+3=0$। यह $(E)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(I-F, II-A, III-C, IV-E)$ है।

(C) क्षैतिज अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ है।
दिए गए बिंदुओं $(-2, 1)$,$(1, 2)$ और $(-1, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$(-2, 1)$ के लिए: $(1 - k)^2 = 4a(-2 - h) \implies 1 - 2k + k^2 = -8a - 4ah$ $(i)$
$(1, 2)$ के लिए: $(2 - k)^2 = 4a(1 - h) \implies 4 - 4k + k^2 = 4a - 4ah$ (ii)
$(-1, 3)$ के लिए: $(3 - k)^2 = 4a(-1 - h) \implies 9 - 6k + k^2 = -4a - 4ah$ (iii)
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $-3 + 2k = -12a \implies 2k = 3 - 12a$ (iv)
(ii) में से (iii) घटाने पर: $-5 + 2k = 8a$ $(v)$
(iv) को $(v)$ में रखने पर: $(3 - 12a) - 5 = 8a \implies -2 = 20a \implies a = -\frac{1}{10}$.
नाभिलंब की लंबाई $|4a| = |4 \times -\frac{1}{10}| = \frac{2}{5}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $y^2+6y-2x+5=0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y^2+6y+9) - 9 - 2x + 5 = 0$
$(y+3)^2 = 2x + 4$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $V(h, k) = (-2, -3)$ प्राप्त होता है। यह $F$ से मेल खाता है।
यहाँ,$4a = 2$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$।
नाभि $(h+a, k) = (-2 + \frac{1}{2}, -3) = (-\frac{3}{2}, -3)$ है। यह $A$ से मेल खाता है।
नियता का समीकरण $x = h - a = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$ है,जिसका अर्थ $2x + 5 = 0$ है। यह $C$ से मेल खाता है।
अक्ष का समीकरण $y = k$ है,इसलिए $y = -3$,जिसका अर्थ $y + 3 = 0$ है। यह $E$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $I-F, II-A, III-C, IV-E$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 24x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 24$,इसलिए $a = 6$ है।
परवलय की नियता (directrix) $x = -a$ है,जो $x = -6$ है।
परवलय की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता होती है।
हमें रेखा $y = 6x + 1$ पर एक ऐसा बिंदु $P$ ज्ञात करना है जहाँ से परवलय पर खींची गई स्पर्श रेखा दी गई रेखा के लंबवत हो।
चूँकि बिंदु $P$ को नियता पर स्थित होना चाहिए,इसलिए हम रेखा $y = 6x + 1$ के समीकरण में $x = -6$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$y = 6(-6) + 1 = -36 + 1 = -35$.
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(-6, -35)$ हैं।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $a = 1$,नाभीय जीवा $X$-अक्ष के साथ $\theta = 45^{\circ}$ का कोण बनाती है। नाभीय जीवा की प्रवणता $m_c = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
माना नाभीय जीवा के सिरे $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं। नाभीय जीवा होने के कारण,$t_1 t_2 = -1$ है।
जीवा की प्रवणता $m_c = \frac{2}{t_1 + t_2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $t_1 + t_2 = 2$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर किसी बिंदु $t$ पर अभिलंब की प्रवणता $m = -t$ होती है।
अतः,सिरों पर अभिलंबों की प्रवणता $m_1 = -t_1$ और $m_2 = -t_2$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसे $m_1$ और $m_2$ संतुष्ट करते हैं। मूलों का योग $m_1 + m_2 = -(t_1 + t_2) = -2$ है।
मूलों का गुणनफल $m_1 m_2 = (-t_1)(-t_2) = t_1 t_2 = -1$ है।
$m_1$ और $m_2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $m^2 - (m_1 + m_2)m + m_1 m_2 = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $m^2 - (-2)m + (-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $m^2 + 2m - 1 = 0$ हो जाता है।

(A) मान लीजिए कि डबल ऑर्डिनेट के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $A(x_1, y_1)$ और $B(x_1, -y_1)$ हैं।
दिया गया है कि डबल ऑर्डिनेट की लंबाई $AB = 2y_1 = 16$,इसलिए $y_1 = 8$ है।
अतः,निर्देशांक $A(x_1, 8)$ और $B(x_1, -8)$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ परवलय $y^2 = 8x$ पर स्थित हैं,इसलिए $8^2 = 8x_1$,जिससे $64 = 8x_1$ प्राप्त होता है,अतः $x_1 = 8$ है।
$A$ और $B$ के निर्देशांक $(8, 8)$ और $(8, -8)$ हैं।
मान लीजिए $\alpha$ वह कोण है जो $OA$ द्वारा $X$-अक्ष के साथ बनाया गया है,जहाँ $O$ शीर्ष $(0, 0)$ है।
तब $\tan \alpha = \frac{8}{8} = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{4}$।
शीर्ष पर डबल ऑर्डिनेट $AB$ द्वारा अंतरित कोण $2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 6x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
स्पर्श रेखा का दिया गया समीकरण $5x - 2y + k = 0$ है,जिसे $y = \frac{5}{2}x + \frac{k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{5}{2}$ है।
स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल को अवकलज के बराबर रखने पर:
$\frac{3}{y} = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{6}{5}$.
$y$ का मान परवलय के समीकरण $y^2 = 6x$ में रखने पर:
$\left(\frac{6}{5}\right)^2 = 6x$ $\Rightarrow \frac{36}{25} = 6x$ $\Rightarrow x = \frac{6}{25}$.
अतः,स्पर्श बिंदु $\left(\frac{6}{25}, \frac{6}{5}\right)$ है।

(C) दिए गए परवलय $y^2=32x$ $(i)$ और $2x^2=27y$ (ii) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{32}$ को (ii) में प्रतिस्थापित करें:
$2(\frac{y^2}{32})^2 = 27y \implies 2 \cdot \frac{y^4}{1024} = 27y \implies \frac{y^4}{512} = 27y \implies y(y^3 - 512 \cdot 27) = 0$.
अतः,$y=0$ या $y^3 = (8^3)(3^3) = 24^3$,अर्थात $y=24$.
$y=24$ के लिए,$x = \frac{24^2}{32} = \frac{576}{32} = 18$. अतः $P = (18, 24)$.
$y^2=32x$ के लिए,अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 32 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{16}{y}$. $P(18, 24)$ पर,$m_1 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
$2x^2=27y$ के लिए,अवकलन करने पर $4x = 27 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{4x}{27}$. $P(18, 24)$ पर,$m_2 = \frac{4(18)}{27} = \frac{72}{27} = \frac{8}{3}$.
कोण $\theta$ का स्पर्शज्या $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{8/3 - 2/3}{1 + (8/3)(2/3)}| = |\frac{6/3}{1 + 16/9}| = |\frac{2}{25/9}| = \frac{18}{25}$ है।
इसलिए,$5\sqrt{\tan \theta} = 5\sqrt{\frac{18}{25}} = 5 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{5} = 3\sqrt{2}$।

(A) माना परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा $yt = x + at^2$ है ... $(i)$।
चूंकि रेखा $NM$ स्पर्श रेखा पर लंब है और मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = -tx$ है ... (ii)।
$N$ ज्ञात करने के लिए,$(i)$ में $y = -tx$ रखने पर: $t(-tx) = x + at^2 \implies -t^2x - x = at^2 \implies x = -\frac{at^2}{1+t^2}$।
तब $y = -t(-\frac{at^2}{1+t^2}) = \frac{at^3}{1+t^2}$। अतः,$N \equiv (-\frac{at^2}{1+t^2}, \frac{at^3}{1+t^2})$।
$M$ ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 4ax$ में $y = -tx$ रखने पर: $(-tx)^2 = 4ax \implies t^2x^2 = 4ax$। चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $x = \frac{4a}{t^2}$।
तब $y = -t(\frac{4a}{t^2}) = -\frac{4a}{t}$। अतः,$M \equiv (\frac{4a}{t^2}, -\frac{4a}{t})$।
अब,$ON = \sqrt{(-\frac{at^2}{1+t^2})^2 + (\frac{at^3}{1+t^2})^2} = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}}$।
और $OM = \sqrt{(\frac{4a}{t^2})^2 + (-\frac{4a}{t})^2} = \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2}$।
अतः,$ON \cdot OM = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2} = 4a^2$।

(D) मान लीजिए बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(x_1, \alpha_1)$ और $(x_2, \alpha_2)$ हैं। चूंकि वे $y^2=4ax$ पर स्थित हैं,इसलिए $\alpha_1^2=4ax_1$ और $\alpha_2^2=4ax_2$ है।
बिंदु $(x_i, \alpha_i)$ पर स्पर्श रेखा $y\alpha_i = 2a(x+x_i)$ द्वारा दी जाती है।
$A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_3, \alpha_3)$,$\alpha_3 = \frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
इससे,हमें $2\alpha_3 = \alpha_1+\alpha_2$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\alpha_3-\alpha_2 = \alpha_1-\alpha_3$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय $y^2=x$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{4m}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6y+4=0$ का केंद्र $(0, 3)$ और त्रिज्या $\sqrt{5}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $mx - y + \frac{1}{4m} = 0$ है।
केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए: $\frac{|-3 + \frac{1}{4m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$m = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ अर्थात $x - 2y + 1 = 0$ है।

(A) परवलय का अक्ष नाभि $S(1,-1)$ और शीर्ष $A(1,1)$ से गुजरने वाली रेखा है। चूंकि $x$-निर्देशांक समान हैं,अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा $x=1$ है।
शीर्ष $A(1,1)$ और नाभि $S(1,-1)$ के बीच की दूरी $a = \sqrt{(1-1)^2 + (1 - (-1))^2} = 2$ है।
चूंकि शीर्ष नाभि के ऊपर है,परवलय नीचे की ओर खुलता है। नियता (directrix) शीर्ष $A(1,1)$ से $a=2$ की दूरी पर ऊपर स्थित एक क्षैतिज रेखा है।
नियता का समीकरण $y = 1 + 2 = 3$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,उस पर स्थित किसी भी बिंदु $P(x,y)$ के लिए,नाभि से दूरी नियता से दूरी के बराबर होती है: $PS^2 = PM^2$.
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = (y-3)^2$.
$(x-1)^2 + y^2 + 2y + 1 = y^2 - 6y + 9$.
$(x-1)^2 = -8y + 8 = 8(1-y)$.
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ के लिए,$(3-1)^2 = 2^2 = 4$ और $8(1 - \frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2}) = 4$.
चूंकि $4=4$,बिंदु $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ परवलय पर स्थित है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,इसलिए $a = 1$ है।
बिंदु $(-2, -1)$ परवलय के बाहर स्थित है क्योंकि $(-1)^2 - 4(-2) = 9 > 0$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
$a = 1$ और बिंदु $(-2, -1)$ रखने पर,$-1 = -2m + \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
$m$ से गुणा करने पर,$-m = -2m^2 + 1$,अर्थात $2m^2 - m - 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(2m + 1)(m - 1) = 0$,जिससे ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -1/2$ प्राप्त होते हैं।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$।
$\tan \theta = |\frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)}| = 3$।
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(3)}{1 - 3^2} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$।

(D) दी गई व्यंजक $(2a - 3b)^{19}$ है।
$a = \frac{1}{4}$ और $b = \frac{2}{3}$ रखने पर:
$2a = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$
$3b = 3(\frac{2}{3}) = 2$
अतः,व्यंजक $(\frac{1}{2} - 2)^{19} = (\frac{1}{2})^{19}(1 - 4)^{19}$ बन जाता है।
माना $(x+y)^n$ के विस्तार में $T_r$ एक पद है। संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद $T_{r+1}$ शर्त $r \le \frac{(n+1)|y|}{|x|+|y|}$ को संतुष्ट करता है।
यहाँ $n=19$,$x=1$,$y=-4$ है।
$r \le \frac{(19+1)|-4|}{|1|+|-4|} = \frac{20 \times 4}{5} = 16$ है।
चूंकि $r=16$ एक पूर्णांक है,इसलिए $T_{16}$ और $T_{17}$ दोनों संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद हैं।
$T_{17} = ^{19}C_{16} (\frac{1}{2})^{19-16} (-2)^{16} = ^{19}C_3 (\frac{1}{2})^3 (2^{16}) = ^{19}C_3 \cdot 2^{-3} \cdot 2^{16} = ^{19}C_3 \cdot 2^{13}$.

(A) $\left(a x^3+\frac{c}{x}\right)^6$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = { }^6 C_r (a x^3)^{6-r} \left(\frac{c}{x}\right)^r$
$= { }^6 C_r a^{6-r} c^r x^{18-3r-r} = { }^6 C_r a^{6-r} c^r x^{18-4r}$
$x^2$ के गुणांक के लिए,हम $x$ के घातांक को $2$ के बराबर रखते हैं:
$18-4r = 2$ $\Rightarrow 4r = 16$ $\Rightarrow r = 4$
गुणांक के व्यंजक में $r=4$ रखने पर:
${ }^6 C_4 a^{6-4} c^4 = 60$
$15 a^2 c^4 = 60$
$a^2 c^4 = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$a c^2 = \pm 2$
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a c^2 = 2$.

(B) $\left(x^4-\frac{1}{x^3}\right)^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{15}{r} (x^4)^{15-r} (-x^{-3})^r = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-7r}$ है।
$x^{32}$ के गुणांक के लिए,$60-7r = 32$ रखने पर,$7r = 28$,अतः $r = 4$ है।
गुणांक $\binom{15}{4} (-1)^4 = 1365$ है।
$x^{-31}$ के गुणांक के लिए,$60-7r = -31$ रखने पर,$7r = 91$,अतः $r = 13$ है।
गुणांक $\binom{15}{13} (-1)^{13} = -105$ है।
गुणांकों का योग $1365 - 105 = 1260$ है।

(C) माना $P(x) = \prod_{k=0}^{15} (1-2^k x)$.
हमें इस गुणनफल में $x^{15}$ का गुणांक ज्ञात करना है.
यह $q$-द्विपद प्रमेय से संबंधित एक ज्ञात पहचान है,जहाँ $\prod_{k=0}^{n-1} (1-q^k x)$ में $x^n$ का गुणांक $(-1)^n q^{n(n-1)/2}$ होता है.
यहाँ,$n=15$ और $q=2$ है.
गुणनफल $\prod_{k=0}^{15} (1-2^k x) = (1-x)(1-2x)(1-4x)\ldots(1-2^{15}x)$ है.
$x^{15}$ का गुणांक $(-1)^{15} \sum_{j=0}^{15} \frac{\prod_{k=0}^{15} 2^k}{2^j} = -2^{120} \sum_{j=0}^{15} 2^{-j} = -2^{120} (2 - 2^{-15}) = 2^{105} - 2^{121}$ होता है.

(D) $(3^{1/4} + 7^{1/6})^{144}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{144}C_r (3)^{(144-r)/4} (7)^{r/6}$
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $7$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(144-r)/4$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए।
साथ ही,$r/6$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$6$ का गुणज होना चाहिए।
इसलिए,$r$,$\text{lcm}(4, 6) = 12$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 144$,इसलिए $r$ के संभावित मान $0, 12, 24, \dots, 144$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी बनाता है जहाँ $a = 0$,$d = 12$,और अंतिम पद $l = 144$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$144 = 0 + (n-1)12$
$12 = n - 1$
$n = 13$
अतः,कुल $13$ परिमेय पद हैं।

(D) माना $P(n) = (15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$.
$n = 1$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$P(1) = (15 \times 5^2) + (2 \times 2^3) = (15 \times 25) + (2 \times 8) = 375 + 16 = 391$.
अब,$391$ की विभाज्यता की जाँच करने पर:
$391 / 17 = 23$.
चूँकि $391$,$17$ से विभाज्य है,इसलिए $(15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$ सभी $n \in N$ के लिए $17$ से विभाज्य है।

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$
$T_{r+1} = {}^{100}C_r 5^{\frac{100-r}{4}} 4^{\frac{r}{5}}$
पद के परिमेय होने के लिए,$5$ और $4$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$\frac{100-r}{4}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए (अर्थात $r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$)।
साथ ही,$\frac{r}{5}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए (अर्थात $r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$)।
इसलिए,$r$,$\text{lcm}(4, 5) = 20$ का गुणज होना चाहिए।
$r$ के संभावित मान $0, 20, 40, 60, 80, 100$ हैं।
इन मानों को गिनने पर,हमें $6$ पद प्राप्त होते हैं।
अतः,परिमेय पदों की संख्या $6$ है।

(C) सर्वसमिका ${ }^{n}C_{r} + { }^{n}C_{r-1} = { }^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
${ }^{34}C_{10} + { }^{34}C_{9} + 2 \cdot { }^{34}C_{9} + 2 \cdot { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7} = $
$({ }^{34}C_{10} + { }^{34}C_{9}) + 2({ }^{34}C_{9} + { }^{34}C_{8}) + ({ }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7}) = $
${ }^{35}C_{10} + 2 \cdot { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{8} = $
${ }^{35}C_{10} + { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{8} = $
${ }^{36}C_{10} + { }^{36}C_{9} = { }^{37}C_{10}$

(A) माना $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$
विस्तार $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ पर विचार करें।
इकाई के चतुर्थ मूल $\omega = i$ लें। मूल $1, i, -1, -i$ हैं।
इकाई के मूलों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^3 (1 + \omega^k x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r \sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$।
आंतरिक योग $\sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$ का मान $4$ होता है यदि $r$,$4$ का गुणज है,अन्यथा $0$ होता है।
अतः,$4S = (1+1)^n + (1+i)^n + (1-1)^n + (1-i)^n = 2^n + (1+i)^n + 0^n + (1-i)^n$।
चूंकि $(1+i) = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$ और $(1-i) = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$,हमारे पास है:
$(1+i)^n + (1-i)^n = 2^{n/2} (e^{i n \pi/4} + e^{-i n \pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$।
इसलिए,$4S = 2^n + 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$।
$S = \frac{2^n}{4} + \frac{2^{n/2+1}}{4} \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n-2} + 2^{n/2-1} \cos \frac{n \pi}{4}$।
इसे $\frac{2^{n/2} [\cos \frac{n \pi}{4} + 2^{n/2-1}]}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) माना $S = \sum_{k=1}^{101} k x^{k-1} (1+x)^{101-k}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।
$S$ को $\frac{x}{1+x}$ से गुणा करके घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S(\frac{1}{1+x}) = (1+x)^{101} - x^{101} - 101 \frac{x^{101}}{1+x}$.
अतः,$S = (1+x)^{102} - x^{102} - 102 x^{101}$.
$(1+x)^{102}$ के विस्तार में $x^{50}$ का गुणांक $^{102}C_{50}$ है।

(C) हमारे पास व्यंजक $(1+x-x^2-x^3)^{11}$ है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(1+x-x^2-x^3) = 1(1+x) - x^2(1+x) = (1-x^2)(1+x) = (1-x)(1+x)(1+x) = (1-x)(1+x)^2$.
अतः,व्यंजक $((1-x)(1+x)^2)^{11} = (1-x)^{11}(1+x)^{22}$ हो जाता है।
हमें $(1-x)^{11}(1+x)^{22}$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1-x)^{11} = \sum_{r=0}^{11} (-1)^r {}^{11}C_r x^r$ और $(1+x)^{22} = \sum_{k=0}^{22} {}^{22}C_k x^k$.
$x^4$ का गुणांक $\sum_{r=0}^4 (-1)^r {}^{11}C_r \cdot {}^{22}C_{4-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$= {}^{11}C_0 \cdot {}^{22}C_4 - {}^{11}C_1 \cdot {}^{22}C_3 + {}^{11}C_2 \cdot {}^{22}C_2 - {}^{11}C_3 \cdot {}^{22}C_1 + {}^{11}C_4 \cdot {}^{22}C_0$.
$= 1 \cdot 7315 - 11 \cdot 1540 + 55 \cdot 231 - 165 \cdot 22 + 330 \cdot 1$.
$= 7315 - 16940 + 12705 - 3630 + 330 = -220$.

(B) द्विपद विस्तार $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करते हुए:
$\sqrt{4+x} = 2(1+\frac{x}{4})^{\frac{1}{2}} \approx 2(1+\frac{x}{8}) = 2+\frac{x}{4}$
$\sqrt[3]{8-x} = 2(1-\frac{x}{8})^{\frac{1}{3}} \approx 2(1-\frac{x}{24}) = 2-\frac{x}{12}$
$(1-\frac{2x}{3})^{-\frac{3}{2}} \approx 1+(-\frac{3}{2})(-\frac{2x}{3}) = 1+x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(2+\frac{x}{4})+(2-\frac{x}{12})}{1} \times (1+x) = (4+\frac{3x-x}{12})(1+x) = (4+\frac{x}{6})(1+x)$
$x^2$ वाले पदों को नगण्य मानने पर:
$4+4x+\frac{x}{6} = 4+\frac{25x}{6}$
$x=\frac{6}{25}$ रखने पर:
$4+\frac{25}{6} \times \frac{6}{25} = 4+1 = 5$

(A) दी गई श्रेणी $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}{4 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 4n}$ है।
इसे $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{2n+1}{2}}{n!} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विपद प्रसार $(1-y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 + \ldots$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \sqrt{2} - 5/4$ प्राप्त होता है।
अब,$2x^2 + 5x$ की गणना करने पर:
$2x^2 = 4 + 25/8 - 5\sqrt{2}$.
$5x = 5\sqrt{2} - 25/4$.
योग करने पर: $2x^2 + 5x = 4 - 25/8 = 7/8$.

(C) माना $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$
$3$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots \right)$
हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ होता है।
कोष्ठक के अंदर की श्रेणी की तुलना विस्तार से करने पर,हम $n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ रखते हैं।
श्रेणी $1 - \frac{3}{2}(\frac{1}{2}) + \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}{2!}(\frac{1}{2})^2 - \ldots$ का मान $(1 + \frac{1}{2})^{-3/2}$ के बराबर है।
चूँकि हमारी श्रेणी दूसरे पद से शुरू होती है:
$\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \ldots = 1 - (1 + \frac{1}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{3}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{2}{3})^{3/2} = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.
इस मान को $S$ के समीकरण में रखने पर:
$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \right) = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}$.

(B) दी गई श्रेणी $\alpha = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{5 \times 7 \times \ldots \times (2k+1)}{k! \times 3^{k-1}}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$(\alpha+2)^2 = 27$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + 4\alpha + 4 = 27$.
इस प्रकार,$\alpha^2 + 4\alpha = 23$।

(C) दी गई व्यंजक $f(x) = \frac{x^2-1}{(x^2+1)(x^2+2)}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए:
$f(x) = \frac{1}{2} (x^2-1) (1+x^2)^{-1} (1+\frac{x^2}{2})^{-1}$
श्रेणी का विस्तार करने पर:
$(1+x^2)^{-1} = 1-x^2+x^4 - \dots$
$(1+\frac{x^2}{2})^{-1} = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4} - \dots$
दोनों श्रेणियों का गुणनफल:
$(1-x^2+x^4)(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}) = 1 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{4}x^4$
अब $\frac{1}{2}(x^2-1)$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{2}(x^2-1)(1 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{4}x^4) = \frac{1}{2} [-1 + \frac{5}{2}x^2 - \frac{13}{4}x^4]$
अतः,$x^4$ का गुणांक $\frac{1}{2} \times (-\frac{13}{4}) = -\frac{13}{8}$ है।

(B) दिए गए $\frac{x^4}{(x-1)^2(x+1)}$ के लिए बहुपद विभाजन करने पर: $x+1 + \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)}$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर $A=1, B=1, P=\frac{3}{2}, Q=0, R=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $2AP-BQ+R = 2(1)(\frac{3}{2}) - (1)(0) + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

(D) माना बिंदु $(x, y) = (2 \cos \theta-3, 3 \sin \theta-4)$ है।
इससे,हमें $\cos \theta = \frac{x+3}{2}$ और $\sin \theta = \frac{y+4}{3}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए:
$(\frac{x+3}{2})^2 + (\frac{y+4}{3})^2 = 1$
$\frac{x^2+6x+9}{4} + \frac{y^2+8y+16}{9} = 1$
हर को हटाने के लिए $36$ से गुणा करने पर:
$9(x^2+6x+9) + 4(y^2+8y+16) = 36$
$9x^2 + 54x + 81 + 4y^2 + 32y + 64 = 36$
$9x^2 + 4y^2 + 54x + 32y + 145 - 36 = 0$
$9x^2 + 4y^2 + 54x + 32y + 109 = 0$.

(B) दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2+4y^2-18x-8y-23=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$9(x-1)^2 + 4(y-1)^2 = 36$
$36$ से भाग देने पर:
$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$.
यहाँ $a^2=4$ और $b^2=9$ है। अतः दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियाँ $(h, k \pm be)$ द्वारा प्राप्त होती हैं,जहाँ $(h, k) = (1, 1)$ है।
नाभियाँ $= (1, 1 \pm \sqrt{5})$ हैं।
अतः नाभिलंब के समीकरण $y = 1 \pm \sqrt{5}$ हैं।

(B) दिया गया है,शीर्ष $V = (6, 1)$ और नाभि $S = (4, 1)$ है। चूँकि $y$-निर्देशांक समान हैं,दीर्घ अक्ष क्षैतिज है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a - ae = |6 - 4| = 2$ है।
$e = \frac{3}{5}$ दिया गया है,इसलिए $a(1 - e) = 2$ $\Rightarrow a(1 - \frac{3}{5}) = 2$ $\Rightarrow a(\frac{2}{5}) = 2$ $\Rightarrow a = 5$।
केंद्र $(h, k)$ रेखा $y = 1$ पर स्थित है। केंद्र से शीर्ष की दूरी $a = 5$ है। चूँकि शीर्ष $(6, 1)$ पर है और नाभि $(4, 1)$ पर है,केंद्र $(6 - 5, 1) = (1, 1)$ होगा।
अब,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 25(1 - \frac{9}{25}) = 25(\frac{16}{25}) = 16$।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} = 1$ है।

(B) माना कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $A = 2a + 3b - c$,$B = a - 2b + 3c$,$C = 3a + 4b - 2c$,और $D = ka - 6b + 6c$ हैं।
बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय हैं यदि सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ समतलीय हैं,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{AB} = B - A = -a - 5b + 4c$
$\vec{AC} = C - A = a + b - c$
$\vec{AD} = D - A = (k-2)a - 9b + 7c$
समतलीयता की शर्त सारणिक द्वारा:
$\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ k-2 & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(7 - 9) + 5(7 - (-k+2)) + 4(-9 - (k-2)) = 0$
$2 + 5(5+k) + 4(-7-k) = 0$
$2 + 25 + 5k - 28 - 4k = 0$
$k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1$.

(C) सदिश $m$,$(2 \hat{i}+\hat{j})$ और $(\hat{j}-\hat{k})$ के साथ एक ही समतल में है।
अतः,$m = x(2 \hat{i}+\hat{j}) + y(\hat{j}-\hat{k}) = 2x \hat{i} + (x+y) \hat{j} - y \hat{k}$ है।
चूंकि $m$,$\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए:
$2x - (x+y) - y = 0 \Rightarrow x - 2y = 0 \Rightarrow x = 2y$ है।
$x = 2y$ को $m$ के व्यंजक में रखने पर:
$m = 2(2y) \hat{i} + (2y+y) \hat{j} - y \hat{k} = 4y \hat{i} + 3y \hat{j} - y \hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m$ एक इकाई सदिश है,$|m| = 1$:
$\sqrt{(4y)^2 + (3y)^2 + (-y)^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{16y^2 + 9y^2 + y^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{26y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$ है।
अतः,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})$ है।
मूल बिंदु से समतल $r \cdot m = a \cdot m$ पर लंब की लंबाई $|a \cdot m|$ है।
$|a \cdot m| = |(\hat{i}-\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{26}}(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})| = \frac{1}{\sqrt{26}} |(1)(4) + (0)(3) + (-1)(-1)| = \frac{1}{\sqrt{26}} |4+1| = \frac{5}{\sqrt{26}}$ इकाई।

(B) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $A = 2a+3b-c$,$B = 3a+4b-2c$,$C = a-2b+3c$,और $D = a-6b+6c$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $r = A + t(B-A)$ है,जहाँ $t \in R$ है।
$r = (2a+3b-c) + t((3a+4b-2c) - (2a+3b-c))$
$r = (2a+3b-c) + t(a+b-c) = (2+t)a + (3+t)b + (-1-t)c$ ... $(i)$
$C$ और $D$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $r = C + s(D-C)$ है,जहाँ $s \in R$ है।
$r = (a-2b+3c) + s((a-6b+6c) - (a-2b+3c))$
$r = (a-2b+3c) + s(0a-4b+3c) = (1)a + (-2-4s)b + (3+3s)c$ ... (ii)
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,हम $a, b, c$ के गुणांकों की तुलना करते हैं क्योंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं:
$a$ के लिए: $2+t = 1 \Rightarrow t = -1$.
$b$ के लिए: $3+t = -2-4s \Rightarrow 3-1 = -2-4s \Rightarrow 2 = -2-4s \Rightarrow 4s = -4 \Rightarrow s = -1$.
$c$ के लिए जाँच: $-1-t = 3+3s \Rightarrow -1-(-1) = 3+3(-1) \Rightarrow 0 = 0$. यह सुसंगत है।
समीकरण $(i)$ में $t = -1$ रखने पर:
$r = (2-1)a + (3-1)b + (-1-(-1))c = a + 2b + 0c = a+2b$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $a+2b$ है।

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
चूंकि $a+b$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+b| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a+b|^2 = 1^2 = 1$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ का उपयोग करने पर,हमें $1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2(a \cdot b) = -1$,इसलिए $a \cdot b = -1/2$ है।
अब,हमें $|a-b|^2$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ का उपयोग करते हुए,हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$|a-b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(-1/2) = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश हैं।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ है।
चूँकि $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है,$E$ का स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}$ है।
अब,$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{2}$.
और $\vec{EB} = \vec{b} - \vec{e} = \vec{b} - \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{b}-\vec{c}-\vec{a}}{2}$.
इनका योग करने पर,$\vec{AD} + \vec{EB} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a} + 2\vec{b}-\vec{c}-\vec{a}}{2} = \frac{3\vec{b}-3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{b}-\vec{a}) = \frac{3}{2} \vec{AB}$.
अतः,$2(\vec{AD}+\vec{EB}) = 2 \times \frac{3}{2} \vec{AB} = 3 \vec{AB}$.

(C) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \bar{i}+\bar{j}+\bar{k}$,$\vec{b} = \bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k}$,और $\vec{c} = 2\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}$ हैं।
$A$ से गुजरने वाला शीर्षलंब भुजा $BC$ पर लंब है।
$BC$ की दिशा का सदिश $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \bar{i} - 3\bar{j} - 2\bar{k}$ है।
माना शीर्षलंब की दिशा का सदिश $\vec{n}$ है। चूंकि शीर्षलंब $BC$ पर लंब है,इसलिए $\vec{n}$ को $\vec{BC}$ पर लंब होना चाहिए।
साथ ही,शीर्षलंब $\triangle ABC$ के समतल में स्थित है,इसलिए यह समतल के अभिलंब $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ पर भी लंब है।
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 0\bar{i} + \bar{j} + 2\bar{k}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \bar{i} - 2\bar{j} + 0\bar{k}$.
$\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 4\bar{i} + 2\bar{j} - \bar{k}$.
शीर्षलंब की दिशा $\vec{v} = \vec{N} \times \vec{BC} = -7\bar{i} + 7\bar{j} - 14\bar{k}$ प्राप्त होती है।
इस दिशा को $-7$ से विभाजित करने पर,हमें $\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\bar{r} = \vec{a} + t\vec{v} = (\bar{i}+\bar{j}+\bar{k}) + t(\bar{i}-\bar{j}+2\bar{k})$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है,$|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$।
चूंकि $\vec{a} \perp (\vec{b}+\vec{c})$,इसलिए $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \dots (i)$।
इसी प्रकार,$\vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \dots (ii)$।
और $\vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \dots (iii)$।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, \vec{b} \cdot \vec{c} = 0, \text{ और } \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$।
मान रखने पर,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + 5^2 + 7^2 + 2(0 + 0 + 0) = 9 + 25 + 49 = 83$।
अंत में,$\sqrt{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 - 2} = \sqrt{83 - 2} = \sqrt{81} = 9$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
व्यंजक $E = |\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$ पर विचार करें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $E = (\vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{c}^2 + \vec{a}^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$,यह $E = 6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$।
मान रखने पर,$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$,इसलिए $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq -3$।
अतः,$E$ का अधिकतम मान $6 - (-3) = 9$ है।
इसलिए,$k = 9$।
अंत में,$k(2|\vec{a}|^2 + 3|\vec{b}|^2 - 4|\vec{c}|^2) = 9(2(1) + 3(1) - 4(1)) = 9(2 + 3 - 4) = 9(1) = 9$।

(A) माना बिंदु $P(p, 2^{p+2})$ और $Q(q, 2^{q+2})$ हैं।
दिया है $OP = p\hat{i} + 2^{p+2}\hat{j}$ और $OQ = q\hat{i} + 2^{q+2}\hat{j}$।
प्रश्न के अनुसार,$OP \cdot \hat{i} = -1$,जिसका अर्थ है $p = -1$।
अतः,$OP = -\hat{i} + 2^{-1+2}\hat{j} = -\hat{i} + 2\hat{j}$।
इसी प्रकार,$OQ \cdot \hat{i} = 2$,जिसका अर्थ है $q = 2$।
अतः,$OQ = 2\hat{i} + 2^{2+2}\hat{j} = 2\hat{i} + 16\hat{j}$।
अब,$OQ - 4OP = (2\hat{i} + 16\hat{j}) - 4(-\hat{i} + 2\hat{j}) = (2+4)\hat{i} + (16-8)\hat{j} = 6\hat{i} + 8\hat{j}$।
इसका परिमाण $|OQ - 4OP| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।

(B) दिया गया है कि $|a|=3, |b|=5, |c|=7$ है।
चूंकि $a, (b+c)$ पर लंब है,इसलिए $a \cdot (b+c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ ... $(i)$
चूंकि $b, (c+a)$ पर लंब है,इसलिए $b \cdot (c+a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ ... $(ii)$
चूंकि $c, (a+b)$ पर लंब है,इसलिए $c \cdot (a+b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ ... $(iii)$
समीकरणों $(i), (ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
अब,हम $|a+b+c|^2$ की गणना करते हैं:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
$|a+b+c|^2 = (3)^2 + (5)^2 + (7)^2 + 2(0) = 9 + 25 + 49 = 83$.
अंत में,हम अभीष्ट व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं:
$\sqrt{(a+b+c)^2 - 2} = \sqrt{83 - 2} = \sqrt{81} = 9$.

(B) दिया गया है: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}, \vec{c} = \hat{i} - \hat{j}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
अब,$6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda_2(3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + \lambda_3(-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ की तुलना करने पर:
$4\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 6$ $(i)$
$-\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 2$ (ii)
$-3\lambda_1 - \lambda_2 + 2\lambda_3 = 3$ (iii)
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $5\lambda_1 = 4 \Rightarrow \lambda_1 = \frac{4}{5}$.
$\lambda_1$ का मान (ii) और (iii) में रखने पर:
$3\lambda_2 - \lambda_3 = \frac{14}{5}$ (iv)
$-\lambda_2 + 2\lambda_3 = \frac{27}{5}$ $(v)$
(iv) को $2$ से गुणा करके $(v)$ में जोड़ने पर: $5\lambda_2 = 11 \Rightarrow \lambda_2 = \frac{11}{5}$.
(iv) से: $\lambda_3 = \frac{19}{5}$.
अतः,$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (\frac{4}{5}, \frac{11}{5}, \frac{19}{5})$.

(A) दिया गया है कि,$a=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$,$b=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$c=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ और $d=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-6) - \hat{j}(2+3) + \hat{k}(-4-1) = -5\hat{i}-5\hat{j}-5\hat{k}$.
इसके बाद,सदिश गुणनफल $c \times d$ की गणना करें:
$c \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+4) - \hat{j}(-1+4) + \hat{k}(-1-1) = 5\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}$.
अब,प्राप्त दो सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$(a \times b) \times (c \times d) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -5 & -5 \\ 5 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-15) - \hat{j}(10+25) + \hat{k}(15+25) = -5\hat{i}-35\hat{j}+40\hat{k} = 5(-\hat{i}-7\hat{j}+8\hat{k})$.
अंत में,इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|(a \times b) \times (c \times d)| = 5 \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 8^2} = 5 \sqrt{1 + 49 + 64} = 5 \sqrt{114}$.

(B) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
दिया गया है कि $|\vec{b}-\vec{a}|^2 + |\vec{d}-\vec{c}|^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 + |\vec{a}-\vec{d}|^2$.
डॉट प्रोडक्ट के गुण $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2\vec{x} \cdot \vec{y}$ का उपयोग करके वर्गों का विस्तार करने पर:
$|\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{d}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{a}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$.
दोनों पक्षों से समान पदों $|\vec{a}|^2, |\vec{b}|^2, |\vec{c}|^2, |\vec{d}|^2$ को हटाने पर:
$-2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = -2\vec{b} \cdot \vec{c} - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{a} = 0$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(\vec{a}-\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{d}) = 0$.
इसका अर्थ है कि $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.

(A) $3D$ अंतरिक्ष में किसी भी सदिश $a$ को तीन परस्पर लंबवत सदिशों $b$,$c$,और $b \times c$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (यह मानते हुए कि $b$ और $c$ समानांतर नहीं हैं)।
आधार ${b, c, b \times c}$ के संदर्भ में सदिश $a$ का सामान्य विस्तार इस प्रकार है:
$a = \left\{\frac{a \cdot b}{|b|^2}\right\} b + \left\{\frac{a \cdot c}{|c|^2}\right\} c + \left\{\frac{a \cdot (b \times c)}{|b \times c|^2}\right\} (b \times c)$
दी गई अभिव्यक्ति के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि यह अभिव्यक्ति सदिश $a$ के बराबर है।
इसलिए,अभिव्यक्ति का परिमाण सदिश $a$ के परिमाण के बराबर है।
$|a| = |\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

(D) माना $ABC$ एक त्रिभुज है जिसके शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। माना $AM, A$ से $BC$ पर डाला गया लंब है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |BC| \cdot |AM|$
स्थिति सदिशों के रूप में $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2} |BC| \cdot |AM| = \frac{1}{2} |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
चूँकि भुजा $BC$ की लंबाई $|\gamma - \beta|$ है,इसलिए:
$|\gamma - \beta| \cdot |AM| = |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
अतः,लंब $AM$ की लंबाई:
$|AM| = \frac{|\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|}{|\gamma - \beta|}$

(A) दिए गए सदिश $\bar{a}=5\bar{m}-3\bar{n}$,$\bar{c}=-4\bar{m}-\bar{n}$,और $\bar{d}=-\bar{m}+\bar{n}$ हैं।
सबसे पहले,$\bar{x}$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\bar{a}+\bar{c}+\bar{d}}{3} = \frac{(5\bar{m}-3\bar{n}) + (-4\bar{m}-\bar{n}) + (-\bar{m}+\bar{n})}{3} = \frac{0\bar{m}-3\bar{n}}{3} = -\bar{n}$.
इसके बाद,$\bar{y}$ की गणना करें:
$\bar{y} = \frac{\bar{c}+\bar{d}}{5} = \frac{(-4\bar{m}-\bar{n}) + (-\bar{m}+\bar{n})}{5} = \frac{-5\bar{m}}{5} = -\bar{m}$.
चूंकि $\bar{m}$ और $\bar{n}$ एक आयत की आसन्न भुजाएँ हैं,वे परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\bar{m} \cdot \bar{n} = 0$। अतः,$\bar{x} = -\bar{n}$ और $\bar{y} = -\bar{m}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
दिया गया समीकरण $6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda_2(3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + \lambda_3(-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ है।
घटकों की तुलना करने पर,हमें निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:
$4\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 6$ $(1)$
$-\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 2$ $(2)$
$-3\lambda_1 - \lambda_2 + 2\lambda_3 = 3$ $(3)$
समीकरण $(1)$ से $(2)$ घटाने पर: $5\lambda_1 = 4 \implies \lambda_1 = \frac{4}{5}$.
$\lambda_1$ का मान $(1)$ और $(3)$ में रखने पर: $3\lambda_2 - \lambda_3 = \frac{14}{5}$ और $-\lambda_2 + 2\lambda_3 = \frac{27}{5}$.
इसे हल करने पर: $5\lambda_2 = 11 \implies \lambda_2 = \frac{11}{5}$.
अतः $\lambda_3 = \frac{19}{5}$.
इस प्रकार,$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (\frac{4}{5}, \frac{11}{5}, \frac{19}{5})$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$,और $\vec{d}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश गुणन $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 6) - \hat{j}(2 + 3) + \hat{k}(-4 - 1) = -5 \hat{i} - 5 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
इसके बाद,सदिश गुणन $\vec{c} \times \vec{d}$ की गणना करें:
$\vec{c} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(-1 + 4) + \hat{k}(-1 - 1) = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
अब,प्राप्त दो सदिशों का सदिश गुणन करें:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -5 & -5 \\ 5 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 15) - \hat{j}(10 + 25) + \hat{k}(15 + 25) = -5 \hat{i} - 35 \hat{j} + 40 \hat{k}$.
अंत में,परिमाण की गणना करें:
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})| = \sqrt{(-5)^2 + (-35)^2 + (40)^2} = \sqrt{25 + 1225 + 1600} = \sqrt{2850} = 5 \sqrt{114}$.

(D) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूँकि समतल अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ पर काटता है,इसलिए $\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ होगा।
दिया गया है कि केंद्रक $(6, 6, 3)$ है,अतः:
$\frac{a}{3} = 6 \Rightarrow a = 18$
$\frac{b}{3} = 6 \Rightarrow b = 18$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{18} + \frac{z}{9} = 1$
दोनों पक्षों को $18$ से गुणा करने पर:
$x + y + 2z = 18$
$x + y + 2z - 18 = 0$.

(C) $\triangle ABC$ के शीर्ष $A=(2,3,5)$,$B=(-1,3,2)$ और $C=(3,5,-2)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (-1-2)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -3\hat{i} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = (3-2)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 7\hat{k}$
अब,हम सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & -7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(21 - (-3)) + \hat{k}(-6 - 0)$
$= 6\hat{i} - 24\hat{j} - 6\hat{k}$
सदिश गुणनफल का परिमाण है:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + (-24)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 576 + 36} = \sqrt{648} = 18\sqrt{2}$
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 18\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \text{ वर्ग इकाई।}$

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,और $\vec{d} = 4\hat{j}+5\hat{k}$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
चूंकि $\vec{AB} = -\vec{CD}$ और $\vec{BC} = -\vec{DA}$,सम्मुख भुजाएं समानांतर और परिमाण में समान हैं।
आसन्न भुजाओं का अदिश गुणनफल $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -13 \neq 0$ है।
अतः,यह एक समांतर चतुर्भुज है।

(B) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है। दिए गए बिंदु $F_1(a, 0, 0)$ और $F_2(-a, 0, 0)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$PF_1 + PF_2 = 2k$.
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $\sqrt{(x-a)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+a)^2 + y^2 + z^2} = 2k$.
माना $d^2 = y^2 + z^2$. तब $\sqrt{(x-a)^2 + d^2} = 2k - \sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-a)^2 + d^2 = 4k^2 + (x+a)^2 + d^2 - 4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$x^2 - 2ax + a^2 = 4k^2 + x^2 + 2ax + a^2 - 4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$-4ax - 4k^2 = -4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$ax + k^2 = k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
पुनः वर्ग करने पर: $a^2x^2 + 2axk^2 + k^4 = k^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2)$.
$a^2x^2 + 2axk^2 + k^4 = k^2x^2 + 2axk^2 + k^2a^2 + k^2(y^2 + z^2)$.
$x^2(a^2 - k^2) + k^2(y^2 + z^2) = k^2a^2 - k^4 = -k^2(k^2 - a^2)$.
$-k^2(k^2 - a^2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2(a^2 - k^2)}{-k^2(k^2 - a^2)} + \frac{k^2(y^2 + z^2)}{-k^2(k^2 - a^2)} = 1$.
$\frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2 + z^2}{k^2 - a^2} = 1$.

(C) दिए गए शीर्ष $A=(2,3,5), B=(-1,3,2), C=(3,5,-2)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1-2)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -3\hat{i} - 3\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = C - A = (3-2)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 7\hat{k}$
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & -7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(21 - (-3)) + \hat{k}(-6 - 0)$
$= 6\hat{i} - 24\hat{j} - 6\hat{k}$
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^2 + (-24)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 576 + 36} = \sqrt{648}$
$\sqrt{648} = \sqrt{324 \times 2} = 18\sqrt{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 18\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज में,परिकेंद्र $(S)$,केंद्रक $(G)$ और लंबकेंद्र $(O)$ संरेख होते हैं,और केंद्रक,परिकेंद्र और लंबकेंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना परिकेंद्र $S(x, y, z)$ है। दिया गया है $O(-3, 5, 2)$ और $G(3, 3, 4)$।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,केंद्रक $G$ इस प्रकार है:
$G = \left(\frac{1 \cdot O + 2 \cdot S}{1+2}\right) = \left(\frac{-3+2x}{3}, \frac{5+2y}{3}, \frac{2+2z}{3}\right)$
इसे दिए गए केंद्रक $(3, 3, 4)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{-3+2x}{3} = 3 \Rightarrow -3+2x = 9 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$
$\frac{5+2y}{3} = 3 \Rightarrow 5+2y = 9 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$
$\frac{2+2z}{3} = 4 \Rightarrow 2+2z = 12 \Rightarrow 2z = 10 \Rightarrow z = 5$
अतः,परिकेंद्र $(6, 2, 5)$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ ... $(i)$
$2lm+2ln-mn=0$ ... (ii)
$(i)$ से,$m+n = -l$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$2l(m+n) - mn = 0$
$2l(-l) - mn = 0 \Rightarrow mn = -2l^2$ ... (iii)
हम जानते हैं कि $l^2+m^2+n^2 = 1$. साथ ही,$(m+n)^2 = m^2+n^2+2mn = (-l)^2 = l^2$.
अतः,$m^2+n^2 = l^2 - 2mn = l^2 - 2(-2l^2) = 5l^2$.
$l^2+m^2+n^2 = 1$ में मान रखने पर:
$l^2 + 5l^2 = 1 \Rightarrow 6l^2 = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{6}$.
माना दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
$mn = -2l^2$ और $m+n = -l$ से,$m$ और $n$ द्विघात समीकरण $t^2 + lt - 2l^2 = 0$ के मूल हैं।
$(t+2l)(t-l) = 0 \Rightarrow t = -2l, l$.
इस प्रकार,दिक्-अनुपात $(l, -2l, l)$ और $(l, l, -2l)$ के समानुपाती हैं।
इन्हें सामान्यीकृत करने पर,दिक्-कोसाइन $(1, -2, 1)$ और $(1, 1, -2)$ के समानुपाती हैं।
माना $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{|1-2-2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) मान लीजिए कि $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूंकि रेखा दोनों के लंबवत है,इसलिए इसके दिक अनुपात $L_1$ और $L_2$ के दिक अनुपातों के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होते हैं:
$(a, b, c) = (2, -1, 1) \times (3, -3, 4) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 3) - \hat{j}(8 - 3) + \hat{k}(-6 + 3) = -1\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
अतः,दिक अनुपात $(-1, -5, -3)$ या $(1, 5, 3)$ हैं।
इसका परिमाण $\sqrt{1^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$ है।
इसलिए,दिक कोज्याएँ $\pm \frac{1}{\sqrt{35}}, \pm \frac{5}{\sqrt{35}}, \pm \frac{3}{\sqrt{35}}$ होंगी।

(B) हमारे पास है,$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a||b|}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{|b||c|}$ और $\cos \gamma = \frac{c \cdot a}{|c||a|}$.
दिया गया है कि $|a|=|b|=|c|=\lambda$ (जहाँ $\lambda > 0$),इसलिए:
$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{\lambda^2}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{\lambda^2}, \cos \gamma = \frac{c \cdot a}{\lambda^2}$.
अतः,$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \quad \dots (i)$
हम जानते हैं कि $|a+b+c|^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
चूंकि $|a+b+c|^2 \geq 0$,इसलिए:
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$\lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$3\lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq -3\lambda^2$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a \geq -\frac{3}{2}\lambda^2 \quad \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \geq \frac{-\frac{3}{2}\lambda^2}{\lambda^2} = -\frac{3}{2}$.
इस प्रकार,न्यूनतम मान $-\frac{3}{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि रेखा $X, Y, Z$-अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है। दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\beta = \frac{\pi}{4}$ और $\gamma = \frac{\pi}{3}$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{3} = 1$।
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$।
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$।
$\cos^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$।
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{2}$।
चूंकि $\alpha$ एक अधिक कोण है,इसलिए $\cos \alpha$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$।
इसलिए,$\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$।

(B) समतल $\pi$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है और इसमें $\vec{n_1} = (1, -2, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, 3, -1)$ दिशा अनुपात वाली दो रेखाएँ शामिल हैं।
समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
समतल का समीकरण $-4x + 5y + 7z = 0$ है।
समतल $x - y - z + 1 = 0$ (अभिलंब $\vec{n_3} = (1, -1, -1)$) और $\pi$ (अभिलंब $\vec{n} = (-4, 5, 7)$) की प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n_3} \times \vec{n}$ है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ -4 & 5 & 7 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$.
अतः,दिशा अनुपात $(-2, -3, 1)$ के समानुपाती हैं,जो $(2, 3, -1)$ के बराबर है।

(D) हम जानते हैं कि यदि कोई रेखा $X$-अक्ष,$Y$-अक्ष और $Z$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,तो $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
यहाँ $\alpha = \tan^{-1} \sqrt{7}$ और $\beta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}$ दिया गया है।
$\alpha = \tan^{-1} \sqrt{7}$ के लिए,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{7})^2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
$\beta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}$ के लिए,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{5/3})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 5/3}} = \frac{1}{\sqrt{8/3}} = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$।
इन मानों को सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ में रखने पर:
$\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{4}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{4}$ या $\gamma = \frac{3\pi}{4}$।

(A) एक चतुष्फलक जिसके शीर्ष $A, B, C, D$ हैं,उसका केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $A(3,2,-1), B(4,1,1), C(6,2,5), D(3,3,3)$ के लिए,केंद्रक $G$ है:
$G = \left(\frac{3+4+6+3}{4}, \frac{2+1+2+3}{4}, \frac{-1+1+5+3}{4}\right) = \left(\frac{16}{4}, \frac{8}{4}, \frac{8}{4}\right) = (4, 2, 2)$.
चतुष्फलक के एक शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्रक से जोड़ने वाली रेखाएं चतुष्फलक के केंद्रक पर संगामी होती हैं।
अतः,रेखाएं $AG_1, BG_2, CG_3$ और $DG_4$ बिंदु $(4, 2, 2)$ पर संगामी हैं।

(D) माना बिंदु $P(3, -2, 1)$ है। रेखा बिंदुओं $A(1, -3, 5)$ और $B(2, 1, -4)$ से होकर गुजरती है।
सदिश $\vec{a} = \vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k}$ और रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{AB} = \vec{i} + 4\vec{j} - 9\vec{k}$ है।
माना $\vec{p} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$ है। सदिश $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} - 4\vec{k}$ है।
लंबवत दूरी $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{AP} \times \vec{v} = 7\vec{i} + 14\vec{j} + 7\vec{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}$ है।
दिशा सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ है।
दूरी $d = \frac{7\sqrt{6}}{7\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ है।

(A) दो विषम रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_1} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{a_2} = \hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -2\hat{i} - 11\hat{j} + 0\hat{k}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{35}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -35$.
अतः,$d = \frac{|-35|}{\sqrt{35}} = \sqrt{35}$.

(D) रेखा $PQ$,$P(2,-3,4)$ और $Q(-1,-4,0)$ से होकर गुजरती है। $PQ$ का दिशा सदिश $\vec{v} = Q - P = (-1-2, -4-(-3), 0-4) = (-3, -1, -4)$ है।
रेखा $PQ$ का प्राचलिक समीकरण $x = 2 - 3t$,$y = -3 - t$,$z = 4 - 4t$ है।
चूंकि $S$,$PQ$ पर स्थित है,इसके निर्देशांक किसी अदिश $t$ के लिए $(2-3t, -3-t, 4-4t)$ होंगे।
सदिश $\vec{RS} = S - R = (2-3t-2, -3-t-1, 4-4t-0) = (-3t, -t-4, 4-4t)$ है।
चूंकि $RS \perp PQ$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{RS} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$(-3t)(-3) + (-t-4)(-1) + (4-4t)(-4) = 0$.
$9t + t + 4 - 16 + 16t = 0$.
$26t - 12 = 0 \implies 26t = 12 \implies t = \frac{12}{26} = \frac{6}{13}$.
$S$ का $X$-निर्देशांक $x = 2 - 3t = 2 - 3(\frac{6}{13}) = 2 - \frac{18}{13} = \frac{26-18}{13} = \frac{8}{13}$ है।

(B) माना बिंदु $A = 2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$,$B = 3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}$,$C = \vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}$,और $D = \vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = A + t(B-A)$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{r} = (2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}) + t((3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}) - (2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}))$
$\vec{r} = (2+t) \vec{a} + (3+t) \vec{b} + (-1-t) \vec{c} \quad (i)$
$C$ और $D$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = C + s(D-C)$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{r} = (\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}) + s((\vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}) - (\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}))$
$\vec{r} = \vec{a} + (-2-4s) \vec{b} + (3+3s) \vec{c} \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ में $\vec{a}, \vec{b}, \text{ और } \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$2+t = 1 \implies t = -1$
$3+t = -2-4s$
$-1-t = 3+3s$
दूसरे समीकरण में $t = -1$ रखने पर:
$3-1 = -2-4s \implies 2 = -2-4s \implies 4s = -4 \implies s = -1$
तीसरे समीकरण के साथ संगतता की जाँच करने पर:
$-1 - (-1) = 3 + 3(-1) \implies 0 = 0$. प्रणाली सुसंगत है।
समीकरण $(i)$ में $t = -1$ रखने पर:
$\vec{r} = (2-1) \vec{a} + (3-1) \vec{b} + (-1-(-1)) \vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b}$.

(B) माना मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है और लंब का पाद $P(1, 2, 3)$ है।
चूंकि $OP$ समतल पर लंब है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक अनुपात रेखाखंड $OP$ के दिक अनुपात के समान होंगे।
$OP$ के दिक अनुपात $\langle 1-0, 2-0, 3-0 \rangle = \langle 1, 2, 3 \rangle$ हैं।
अतः,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $\langle a, b, c \rangle$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $P(1, 2, 3)$ और अभिलंब $\langle 1, 2, 3 \rangle$ का मान रखने पर:
$1(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$.
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा विकल्प इस समीकरण को संतुष्ट करता है:
विकल्प $(B) (7, 2, 1)$ के लिए:
$7 + 2(2) + 3(1) - 14 = 7 + 4 + 3 - 14 = 14 - 14 = 0$.
चूंकि बिंदु $(7, 2, 1)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए यह समतल पर स्थित है।

(A) रेखा बिंदु $A(3, 1, -1)$ से गुजरती है और सदिश $\vec{v} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ के समानांतर है। रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{3}$ है।
चूंकि $AP = AQ = 3$ है,बिंदु $P$ और $Q$ को $\vec{A} \pm 3\hat{u}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$P, Q = (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \pm (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$.
अतः,$P = 5 \hat{i} + \hat{k}$ और $Q = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ प्राप्त होते हैं।
समतल $OPQ$ मूल बिंदु $O(0,0,0)$ से गुजरता है और सदिशों $\vec{OP} = 5 \hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{OQ} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ को समाहित करता है।
समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} = s \vec{OP} + t \vec{OQ} = s(5 \hat{i} + \hat{k}) + t(\hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = (5s+t) \hat{i} + 2t \hat{j} + (s-3t) \hat{k}$ है। विकल्प $A$ इसी समतल को निरूपित करता है।

(B) मान लीजिए बिंदुओं $A, B,$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ और $(0, 0, c)$ हैं।
$A, B,$ और $C$ से होकर गुजरने वाले समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में इस प्रकार है: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ... $(i)$.
चूंकि यह समतल निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} + \frac{\gamma}{c} = 1$.
समतल $P_1$,$A(a, 0, 0)$ से होकर गुजरता है और $YZ$-समतल के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $x = a$ है।
समतल $P_2$,$B(0, b, 0)$ से होकर गुजरता है और $ZX$-समतल के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y = b$ है।
समतल $P_3$,$C(0, 0, c)$ से होकर गुजरता है और $XY$-समतल के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $z = c$ है।
इन तीनों समतलों $P_1, P_2,$ और $P_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, b, c)$ है।
मान लीजिए इस प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं। अतः,$x = a, y = b,$ और $z = c$.
इन मानों को समीकरण $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} + \frac{\gamma}{c} = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें बिंदुपथ प्राप्त होता है: $\frac{\alpha}{x} + \frac{\beta}{y} + \frac{\gamma}{z} = 1$.

(D) समतलों $r \cdot n=1$ और $r \cdot m=-4$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $r \cdot (n + \lambda m) = 1 - 4\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4\lambda$.
यह समतल,समतल $r \cdot l = -8$ के लंबवत है,जहाँ $l = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
अतः,अभिलंब सदिश $(n + \lambda m)$ को $l$ के लंबवत होना चाहिए,अर्थात $(n + \lambda m) \cdot l = 0$.
$(n \cdot l) + \lambda(m \cdot l) = 0$.
डॉट गुणन की गणना करने पर:
$n \cdot l = (2)(2) + (-3)(-1) + (4)(1) = 4 + 3 + 4 = 11$.
$m \cdot l = (1)(2) + (-1)(-1) + (0)(1) = 2 + 1 + 0 = 3$.
इन मानों को रखने पर: $11 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{3}$.
अब,$\lambda$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर:
$r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - \frac{11}{3}(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4(-\frac{11}{3})$.
$r \cdot ((\frac{6-11}{3}) \hat{i} + (\frac{-9+11}{3}) \hat{j} + 4 \hat{k}) = 1 + \frac{44}{3}$.
$r \cdot (-\frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}) = \frac{47}{3}$.
$3$ से गुणा करने पर: $r \cdot (-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = 47$.
$r = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ का उपयोग करने पर,हमें $-5x + 2y + 12z = 47$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $5x - 2y - 12z + 47 = 0$ मिलता है।

(D) चूंकि बिंदु $P(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $2x + y + z = 1$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$2\alpha + \beta + \gamma = 1 \quad \dots(i)$
दिया गया आव्यूह समीकरण:
$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\alpha + 8\beta + 7\gamma = 0 \quad \dots(ii)$
$9\alpha + 2\beta + 3\gamma = 0 \quad \dots(iii)$
$\alpha + \beta + \gamma = 0 \quad \dots(iv)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(iv)$ को घटाने पर:
$(2\alpha + \beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 1 - 0 \implies \alpha = 1$
$\alpha = 1$ को $(iv)$ में रखने पर:
$1 + \beta + \gamma = 0 \implies \beta + \gamma = -1 \quad \dots(v)$
$\alpha = 1$ को $(ii)$ में रखने पर:
$1 + 8\beta + 7\gamma = 0 \implies 8\beta + 7\gamma = -1 \quad \dots(vi)$
$(v)$ से,$\gamma = -1 - \beta$. इसे $(vi)$ में रखने पर:
$8\beta + 7(-1 - \beta) = -1 \implies 8\beta - 7 - 7\beta = -1 \implies \beta = 6$
अतः $\gamma = -1 - 6 = -7$.
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (1)^2 + (6)^2 + (-7)^2 = 1 + 36 + 49 = 86$.

(D) दिया गया समतल समीकरण: $x+3y+2z=9$ है।
$9$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4.5} = 1$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a=9$,$b=3$,और $c=\frac{9}{2}$ हैं।
ये अंतःखंड आवश्यक समतल के अभिलंब के दिक अनुपात हैं,इसलिए $\vec{n} = 9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$ है।
समतल बिंदु $(3, 5, 7)$ से गुजरता है,इसलिए स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}) = (3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k})$।
$9x + 3y + \frac{9}{2}z = 27 + 15 + \frac{63}{2}$।
$9x + 3y + \frac{9}{2}z = 42 + 31.5 = 73.5$।
सरल करने के लिए $\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर: $6x + 2y + 3z = 49$।

(B) रेखा $A(1, 1, 0)$ और $B(3, 1, -1)$ से गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ है। रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{0} = \frac{z}{-1} = r$ है। अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2r+1, 1, -r)$ है।
समतल $(2, 4, 0)$ से गुजरता है और $\vec{u} = 3\hat{j} + 5\hat{k}$ तथा $\vec{w} = 3\hat{i} - \hat{k}$ के समांतर है। समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 5 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} + 15\hat{j} - 9\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-3(x-2) + 15(y-4) - 9(z-0) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x - 5y + 3z + 18 = 0$ प्राप्त होता है।
$P(2r+1, 1, -r)$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $(2r+1) - 5(1) + 3(-r) + 18 = 0 \Rightarrow -r + 14 = 0 \Rightarrow r = 14$.
अतः,$P$ का स्थिति सदिश $(2(14)+1)\hat{i} + 1\hat{j} - 14\hat{k} = 29\hat{i} + \hat{j} - 14\hat{k}$ है।

(A) $P(3,2,4)$ और $Q(-1,0,-2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु $R$ इस प्रकार है:
$R = \left( \frac{3-1}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{4-2}{2} \right) = (1, 1, 1)$.
रेखाखंड $PQ$ के दिक-अनुपात $(3 - (-1), 2 - 0, 4 - (-2)) = (4, 2, 6)$ हैं।
चूंकि समतल $PQ$ के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 4, 2, 6 \rangle$ है।
अतः,समतल का समीकरण $4x + 2y + 6z + d = 0$ होगा।
चूंकि समतल मध्य-बिंदु $R(1, 1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$4(1) + 2(1) + 6(1) + d = 0 \implies 4 + 2 + 6 + d = 0 \implies d = -12$.
$4x + 2y + 6z - 12 = 0$ की तुलना $ax + by + cz + d = 0$ से करने पर,$a=4, b=2, c=6, d=-12$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$ac + bd = (4)(6) + (2)(-12) = 24 - 24 = 0$.

(C) मान लीजिए बिंदु $A(2, 0, 6)$ और $B(-6, 2, 4)$ हैं।
समतल रेखाखंड $AB$ को समद्विभाजित करता है और उस पर लंब है,जिसका अर्थ है कि यह $AB$ के मध्य बिंदु से होकर गुजरता है और सदिश $\vec{AB}$ समतल का अभिलंब है।
$AB$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{2-6}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{6+4}{2}\right) = (-2, 1, 5)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} = (-6-2, 2-0, 4-6) = (-8, 2, -2)$ है।
अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करने पर,हमें $\vec{n}' = (4, -1, 1)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है।
मान रखने पर: $4(x - (-2)) - 1(y - 1) + 1(z - 5) = 0$.
$4(x+2) - y + 1 + z - 5 = 0$.
$4x + 8 - y + z - 4 = 0$.
$4x - y + z + 4 = 0$.

(B) माना $E_1$ वह घटना है कि $6$ आता है,$P(E_1) = \frac{1}{6}$।
माना $E_2$ वह घटना है कि $6$ नहीं आता है,$P(E_2) = \frac{5}{6}$।
माना $A$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि यह $6$ है।
दिया है $P(A|E_1) = \frac{2}{3}$ (सत्य) और $P(A|E_2) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (झूठ)।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि वह $6$ बताता है तो इसके वास्तव में $6$ होने की प्रायिकता:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{6} \times \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{3}} = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$।
यदि वह $6$ बताता है तो इसके $6$ न होने की प्रायिकता $P(E_2|A) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ है।
चूंकि पासा निष्पक्ष है,यदि यह $6$ नहीं है,तो यह अन्य $5$ संख्याओं $(1, 2, 3, 4, 5)$ में से कोई भी हो सकता है।
अतः,यदि वह $6$ बताता है तो इसके वास्तव में $5$ होने की प्रायिकता $\frac{1}{5} \times P(E_2|A) = \frac{1}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{1}{7}$ है।

(B) हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के लिए प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\sum_{k=0}^{5} P(X=k) = 1$
$a \left( \frac{0+1}{2^0} + \frac{1+1}{2^1} + \frac{2+1}{2^2} + \frac{3+1}{2^3} + \frac{4+1}{2^4} + \frac{5+1}{2^5} \right) = 1$
$a \left( 1 + 1 + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + \frac{6}{32} \right) = 1$
$a \left( \frac{15}{4} \right) = 1 \Rightarrow a = \frac{4}{15}$.
$X$ के लिए अभाज्य मान $\{2, 3, 5\}$ हैं।
$P(X \in \{2, 3, 5\}) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$
$= a \left( \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{6}{32} \right) = a \left( \frac{23}{16} \right)$
$= \frac{4}{15} \times \frac{23}{16} = \frac{23}{60}$.

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\sum P(X=x_i) = 1$
$0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $P(X=x) \ge 0$,$k$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $k = \frac{1}{10}$.
अब,हमें $P(0 < X < 6) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
$P(0 < X < 6) = k + 2k + 2k + 3k + k^2 = 8k + k^2$.
$k = \frac{1}{10}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(0 < X < 6) = 8\left(\frac{1}{10}\right) + \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{8}{10} + \frac{1}{100} = \frac{80+1}{100} = \frac{81}{100} = \left(\frac{9}{10}\right)^2$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
घटना $A$ योग $\ge 8$ प्राप्त करने की घटना है। इसके परिणाम हैं:
$A = \{(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$.
अतः,$n(A) = 15$ है।
घटना $B$ कम से कम एक पासे पर $3$ या उससे कम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
घटना $A \cap B$ योग $\ge 8$ और कम से कम एक पासे पर $3$ या उससे कम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
$A$ के तत्वों को देखने पर,वे परिणाम जिनमें कम से कम एक पासा $3$ या उससे कम है,वे हैं:
$A \cap B = \{(2,6), (3,5), (3,6), (5,3), (6,2), (6,3)\}$.
अतः,$n(A \cap B) = 6$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B / A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ है।

(B) कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई चित न मिले})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,$n$ बार उछालने पर कोई भी चित न मिलने की प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
अतः,कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > 0.8$ है।
इसे सरल करने पर $1 - 0.8 > \left(\frac{1}{2}\right)^n$,अर्थात $0.2 > \left(\frac{1}{2}\right)^n$ प्राप्त होता है।
$0.2$ को $\frac{1}{5}$ के रूप में लिखने पर,हमें $\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $2^n > 5$।
$n=1$ के लिए,$2^1 = 2 < 5$।
$n=2$ के लिए,$2^2 = 4 < 5$।
$n=3$ के लिए,$2^3 = 8 > 5$।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(D) कुल गेंदों की संख्या = $7 + 6 + 8 = 21$.
सफेद गेंदों की संख्या = $7$.
सफेद न होने वाली गेंदों की संख्या = $6 + 8 = 14$.
हमें कम से कम एक गेंद सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
पूरक घटना की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है: $P(\text{कम से कम एक सफेद}) = 1 - P(\text{कोई भी सफेद नहीं})$.
यदि कोई भी सफेद गेंद नहीं निकाली जाती है,तो दोनों गेंदें सफेद नहीं होनी चाहिए।
पहली गेंद सफेद न होने की प्रायिकता = $\frac{14}{21}$.
एक सफेद न होने वाली गेंद निकालने के बाद,कुल $20$ गेंदों में से $13$ सफेद न होने वाली गेंदें बचती हैं।
दूसरी गेंद सफेद न होने की प्रायिकता = $\frac{13}{20}$.
$P(\text{कोई भी सफेद नहीं}) = \frac{14}{21} \times \frac{13}{20} = \frac{2}{3} \times \frac{13}{20} = \frac{26}{60} = \frac{13}{30}$.
अतः,$P(\text{कम से कम एक सफेद}) = 1 - \frac{13}{30} = \frac{17}{30}$.