AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
माना $LL^{\prime}$ नाभिलंब है,तो $L$ के निर्देशांक $(ae, \frac{b^2}{a})$ हैं।
चूंकि $LL^{\prime}$ केंद्र $C(0,0)$ पर समकोण $(\pi/2)$ अंतरित करता है,इसलिए $\angle LCS = \pi/4$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle LCS$ में,$\tan(\angle LCS) = \frac{LS}{CS}$ है।
$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{b^2/a}{ae}$
$1 = \frac{b^2}{a^2e}$
$a^2e = b^2$
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए $a^2e = a^2(1 - e^2)$ है।
$e = 1 - e^2$
$e^2 + e - 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि उत्केंद्रता $e > 0$ होती है,इसलिए $e = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त की नाभियों के निर्देशांक $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं। लघु अक्ष के सिरे $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूंकि $\triangle SBS^{\prime}$,$B$ पर एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $SB^2 + S^{\prime}B^2 = (SS^{\prime})^2$ होगा।
दूरी $SB = \sqrt{(ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$ है।
इसी प्रकार,$S^{\prime}B = \sqrt{(-ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$ है।
साथ ही,$SS^{\prime} = 2ae$ है।
पाइथागोरस प्रमेय में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(a^2e^2 + b^2) + (a^2e^2 + b^2) = (2ae)^2$
$2(a^2e^2 + b^2) = 4a^2e^2$
$a^2e^2 + b^2 = 2a^2e^2$
$b^2 = a^2e^2$
$\frac{b^2}{a^2} = e^2$
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2$ है।
$\frac{b^2}{a^2}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) चूंकि मुख्य अक्ष $Y$-अक्ष के अनुदिश है,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $b > a$ है।
दी गई उत्केंद्रता $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ है,इसलिए $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{2}{5}$।
$\frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \implies b^2 = \frac{5a^2}{3}$।
दीर्घवृत्त $(-3, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{(-3)^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$।
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$।
$b^2 = \frac{5a^2}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{9}{a^2} + \frac{3}{5a^2} = 1$।
$\frac{45 + 3}{5a^2} = 1 \implies 5a^2 = 48 \implies a^2 = \frac{48}{5}$।
अतः $b^2 = \frac{5}{3} \times \frac{48}{5} = 16$।
समीकरण $\frac{x^2}{48/5} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
$\frac{5x^2}{48} + \frac{y^2}{16} = 1 \implies 5x^2 + 3y^2 = 48$।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$ के लिए,$a^2=36$ और $b^2=27$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं।
चूँकि $e^2 = 1 - \frac{27}{36} = \frac{1}{4}$,इसलिए $e = \frac{1}{2}$ है।
अतः नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त का एक प्रसिद्ध गुण यह है कि नाभियों से किसी भी स्पर्श रेखा पर डाले गए लंबवत दूरियों का गुणनफल हमेशा अर्ध-लघु अक्ष के वर्ग $(b^2)$ के बराबर होता है।
यहाँ,$b^2 = 27$ है।
अतः,नाभियों $(3,0)$ और $(-3,0)$ से स्पर्श रेखा पर लंबवत दूरियों का गुणनफल $27$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 4y^2 = 4$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 1$,इसलिए $a = 2$ और $b = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
उत्केंद्र कोण $\alpha$ और $\beta$ वाली नाभीय जीवा के सिरों के निर्देशांक $(a \cos \alpha, b \sin \alpha)$ और $(a \cos \beta, b \sin \beta)$ हैं।
जीवा के नाभीय होने की शर्त $\cos \frac{\alpha-\beta}{2} = e \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ है।
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर,हमें $\cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{3} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} = 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है,जिसे $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $3 = 2m \pm \sqrt{16m^2 + 9}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3 - 2m)^2 = 16m^2 + 9$।
$9 - 12m + 4m^2 = 16m^2 + 9$।
$12m^2 + 12m = 0$,जिससे $m = 0$ या $m = -1$ प्राप्त होता है।
$m = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = 3$ है।
$m = -1$ के लिए,स्पर्श रेखा $x + y = 5$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $a = 3, b = 2$ और उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
द्वितीय चतुर्थांश में नाभिलंब का सिरा $P(-\sqrt{5}, \frac{4}{3})$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर: $\frac{x(-\sqrt{5})}{9} + \frac{y(4/3)}{4} = 1$.
$\Rightarrow -\frac{\sqrt{5}x}{9} + \frac{y}{3} = 1$.
$-9$ से गुणा करने पर: $\sqrt{5}x - 3y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $16 x^2 + 11 y^2 = 256$ है। बिंदु $\left(4 \cos 2 \theta, \frac{16}{\sqrt{11}} \sin 2 \theta\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4 x \cos 2 \theta + y \sqrt{11} \sin 2 \theta = 16$ है। वृत्त $x^2 + y^2 - 2 x - 15 = 0$ का केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $4$ है। केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होने पर,$\frac{|4 \cos 2 \theta - 16|}{\sqrt{16 \cos^2 2 \theta + 11 \sin^2 2 \theta}} = 4$। सरल करने पर $4 \cos^2 2 \theta + 8 \cos 2 \theta - 5 = 0$ प्राप्त होता है। अतः $\cos 2 \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $2 \theta = \pm \frac{\pi}{3}$ या $\theta = \pm \frac{\pi}{6}$।

(D) दीर्घवृत्त $3x^2+4y^2=19$ के बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $3x(1) + 4y(2) = 19$ है,जो $3x + 8y = 19$ के रूप में सरल होता है।
इसे $x = \frac{19-8y}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा परवलय $y^2 = kx$ की भी स्पर्श रेखा है,इसलिए हम $x$ का मान परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y^2 = k \left( \frac{19-8y}{3} \right)$
$3y^2 = 19k - 8ky$
$3y^2 + 8ky - 19k = 0$.
चूंकि रेखा स्पर्श रेखा है,इसलिए $y$ में द्विघात समीकरण के मूल समान होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका विविक्तकर $D = 0$ है।
$D = (8k)^2 - 4(3)(-19k) = 0$
$64k^2 + 228k = 0$
$4k(16k + 57) = 0$.
चूंकि $k \neq 0$,इसलिए $16k + 57 = 0$,अतः $k = \frac{-57}{16}$।

(C) माना बिंदु $P = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ है। दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{a\sqrt{2}} + \frac{y}{b\sqrt{2}} = 1$ है। $y=0$ रखने पर $X$-अंतःखंड $M = (a\sqrt{2}, 0)$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{b}{a}$ है। अभिलंब की ढाल $m_n = \frac{a}{b}$ है। $P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ है। $y=0$ रखने पर $X$-अंतःखंड $N = \left(\frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}, 0\right)$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का आधार $MN = |a\sqrt{2} - \frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}| = \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}}$.
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $\frac{b}{\sqrt{2}}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}} \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ है।
$36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका नियामक वृत्त (director circle) कहलाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
$a^2$ और $b^2$ के मान रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 9 + 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट वक्र $x^2 + y^2 = 13$ है।

(B) माना अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1$ है और इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_2$ है।
अतः,उनके बीच का संबंध $\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ है।
दिया गया है $e_1 = \frac{5}{3}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{(\frac{5}{3})^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{9}{25} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{e_2^2} = 1 - \frac{9}{25}$
$\Rightarrow \frac{1}{e_2^2} = \frac{16}{25}$
$\Rightarrow e_2^2 = \frac{25}{16}$
चूंकि उत्केंद्रता हमेशा $1$ से बड़ी होती है,इसलिए हम धनात्मक वर्गमूल लेंगे:
$e_2 = \frac{5}{4}$.

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9 b^2 x^2 - 4 a^2 y^2 = 36 a^2 b^2$ है,जिसे $\frac{x^2}{4 a^2} - \frac{y^2}{9 b^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0) = (2 a \sec \theta, 3 b \tan \theta)$ है।
$(x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x x_0}{4 a^2} - \frac{y y_0}{9 b^2} = 1$ है।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{x (2 a \sec \theta)}{4 a^2} - \frac{y (3 b \tan \theta)}{9 b^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x \sec \theta}{2 a} - \frac{y \tan \theta}{3 b} = 1$ हो जाता है।
अक्षों पर अंतःखंड $x = 2 a \cos \theta$ और $y = -3 b \cot \theta$ हैं।
चूंकि अंतःखंड इकाई लंबाई के हैं,इसलिए $|2 a \cos \theta| = 1$ और $|-3 b \cot \theta| = 1$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2 a}$ और $\cot \theta = -\frac{1}{3 b}$ है।
सर्वसमिका $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\cos^2 \theta} - \frac{1}{\cot^2 \theta} = 1$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$(2 a)^2 - (-3 b)^2 = 1$,जिससे $4 a^2 - 9 b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बिंदु $(a, b)$ का बिंदुपथ $4 x^2 - 9 y^2 = 1$ है।

(B) माना अभिलंब जीवा के सिरे $P(a \sec \theta_1, b \tan \theta_1)$ और $Q(a \sec \theta_2, b \tan \theta_2)$ हैं।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta_1}{a} - \frac{y \tan \theta_1}{b} = 1$ है।
स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ $\frac{a^4}{x^2} - \frac{b^4}{y^2} = (a^2 + b^2)^2$ प्राप्त होता है।

(B) अनंतस्पर्शियों के युग्म का समीकरण रेखाओं के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=0$.
चूंकि अतिपरवलय का समीकरण इसके अनंतस्पर्शियों के समीकरण से केवल एक स्थिरांक $\lambda$ द्वारा भिन्न होता है,हम लिख सकते हैं: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=\lambda$.
दिया गया है कि अतिपरवलय बिंदु $(1,1)$ से गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=1$ रखने पर: $(3(1)+4(1)-2)(2(1)+1+1)=\lambda$.
$(5)(4)=\lambda$,जिससे $\lambda=20$ प्राप्त होता है।
$\lambda=20$ को समीकरण में रखने पर: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=20$.
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $6x^2+3xy+3x+8xy+4y^2+4y-4x-2y-2=20$.
सरल करने पर: $6x^2+11xy+4y^2-x+2y-2=20$.
अतः,समीकरण $6x^2+11xy+4y^2-x+2y-22=0$ है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $16x^2 - 25y^2 = 400$ है,जिसे $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$,इसलिए $a = 5$ और $b = 4$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $y = \pm \frac{b}{a}x$,यानी $4x - 5y = 0$ और $4x + 5y = 0$ हैं।
माना $P(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है,इसलिए $16x_1^2 - 25y_1^2 = 400$ है।
$P$ से अनंतस्पर्शी पर लंब की लंबाइयाँ $d_1 = \frac{|4x_1 - 5y_1|}{\sqrt{41}}$ और $d_2 = \frac{|4x_1 + 5y_1|}{\sqrt{41}}$ हैं।
गुणनफल $p = d_1 d_2 = \frac{|16x_1^2 - 25y_1^2|}{41} = \frac{400}{41}$ है।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{b}{a} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,$p \tan \frac{\theta}{2} = \frac{400}{41} \times \frac{4}{5} = \frac{320}{41}$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $14 x^2+38 x y+20 y^2+x-7 y-91=0$ है।
अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी,अतिपरवलय के समीकरण से एक स्थिरांक द्वारा भिन्न होते हैं।
मान लीजिए कि अनंतस्पर्शी $(7 x+5 y+c_1)(2 x+4 y+c_2) = 14 x^2+38 x y+20 y^2+x-7 y+k = 0$ हैं।
गुणनफल का विस्तार करने पर: $14 x^2+28 x y+7 x c_2+10 x y+20 y^2+5 y c_2+2 x c_1+4 y c_1+c_1 c_2 = 14 x^2+38 x y+20 y^2+x(7 c_2+2 c_1)+y(5 c_2+4 c_1)+c_1 c_2$.
दिए गए अतिपरवलय समीकरण के साथ गुणांकों की तुलना करने पर:
$7 c_2+2 c_1 = 1$
$5 c_2+4 c_1 = -7$
दिया गया है कि एक अनंतस्पर्शी $7 x+5 y-3=0$ है,इसलिए $c_1 = -3$ है।
पहले समीकरण में $c_1 = -3$ रखने पर: $7 c_2 + 2(-3) = 1$ $\Rightarrow 7 c_2 - 6 = 1$ $\Rightarrow 7 c_2 = 7$ $\Rightarrow c_2 = 1$.
अतः,दूसरा अनंतस्पर्शी $2 x+4 y+1=0$ है।

(C) दिया गया सीमा: $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 x}{\cot 3 x\left(3^{\sin 2 x}-1\right)}$
$1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ और $\cot 3x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x}$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{2 \cos ^2 x \sin 3x}{\cos 3 x \left(3^{\sin 2 x}-1\right)}$
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$,जैसे $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$h \rightarrow 0$. तब $\cos x = -\sin h$,$\cos 3x = \sin 3h$,$\sin 3x = -\cos 3h$,और $\sin 2x = -\sin 2h$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 h (-\cos 3h)}{\sin 3h (3^{-\sin 2h} - 1)} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 h (-\cos 3h)}{\sin 3h (1 - 3^{-\sin 2h})}$
$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln a$ और $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = \frac{1}{3 \ln 3}$.

(B) माना व्यंजक $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left[6^2(1^2+2^2+\ldots+n^2)\right]^2}{[5(1+2+\ldots+n)]\left[2^3(1^3+2^3+\ldots+n^3)\right]}$ है।
योगफल सूत्रों $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ का उपयोग करते हुए:
अंश $= 36^2 \left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right]^2 = 1296 \frac{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{36} = 36 n^2(n+1)^2(2n+1)^2$.
हर $= 5 \left[\frac{n(n+1)}{2}\right] \times 8 \left[\frac{n^2(n+1)^2}{4}\right] = 5 \times \frac{n(n+1)}{2} \times 2n^2(n+1)^2 = 5 n^3(n+1)^3$.
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{36 n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{5 n^3(n+1)^3} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{36 n^2(n+1)^2(4n^2)}{5 n^3(n+1)^3} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{144 n^6}{5 n^6} = \frac{144}{5}$.

(B) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $L = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{4^x - 1}{2^x - 1} - \frac{\sqrt{4 + 3x} - 2}{x} \right)$.
सबसे पहले,पहले पद पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4^x - 1}{2^x - 1} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1)(2^x + 1)}{2^x - 1} = \lim_{x \rightarrow 0} (2^x + 1) = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$.
इसके बाद,दूसरे पद पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4 + 3x} - 2}{x}$.
अंश का परिमेयकरण करने पर: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{4 + 3x} - 2)(\sqrt{4 + 3x} + 2)}{x(\sqrt{4 + 3x} + 2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4 + 3x - 4}{x(\sqrt{4 + 3x} + 2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{x(\sqrt{4 + 3x} + 2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3}{\sqrt{4 + 3x} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$.
दोनों परिणामों को घटाने पर: $2 - \frac{3}{4} = \frac{8 - 3}{4} = \frac{5}{4}$.

(B) हम जानते हैं कि $[r^2 x] = r^2 x - \{r^2 x\}$,जहाँ $\{r^2 x\}$ का $r^2 x$ भिन्नात्मक भाग है।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n [r^2 x] = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n (r^2 x - \{r^2 x\})$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{n^3} \sum_{r=1}^n r^2 - \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n \{r^2 x\} \right)$
सूत्र $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{x \cdot n(n+1)(2n+1)}{6n^3} - \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n \{r^2 x\} \right)$
चूंकि $0 \leq \{r^2 x\} < 1$,दूसरा पद $\frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n \{r^2 x\}$ का मान $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$ द्वारा परिबद्ध है,जो $n \rightarrow \infty$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर होता है।
अतः,सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x(2n^3 + 3n^2 + n)}{6n^3} = \frac{2x}{6} = \frac{x}{3}$ है।

(B) माना $L = \cos \left[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2 \pi |x| + \pi x}{|x| - 3x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} \cos^2 x \right)}{x^2} \right]$ है।
प्रथम सीमा के लिए,जैसे $x \rightarrow \infty$,$|x| = x$ है। अतः,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2 \pi x + \pi x}{x - 3x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3 \pi x}{-2x} = -\frac{3 \pi}{2}$ है।
द्वितीय सीमा के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} \cos^2 x \right)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} (1 - \sin^2 x) \right)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \sin^2 x \right)}{x^2}$ है।
$\cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} \sin^2 x \right)}{x^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि छोटे $\theta$ के लिए $\sin \theta \approx \theta$ होता है,यह $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\pi}{2} \sin^2 x}{x^2} = \frac{\pi}{2} \times (1)^2 = \frac{\pi}{2}$ बन जाता है।
इन मानों को वापस व्यंजक में रखने पर: $L = \cos \left( -\frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \cos(-\pi) = -1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{\tan ^2 2 x}$ है,जो $\frac{0}{0}$ रूप में है।
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x})(\sqrt{1+x \sin x}+\sqrt{\cos x})}{\tan ^2 2 x (\sqrt{1+x \sin x}+\sqrt{\cos x})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x \sin x-\cos x}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x \sin x}+\sqrt{\cos x}} $
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)+x \sin x}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{2} $
सर्वसमिका $1-\cos x = 2 \sin ^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2} + 2x \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{2}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2} [1 + \frac{x \cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}]}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2} [1 + \frac{x}{\tan \frac{x}{2}}]}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{2} $
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 (\frac{x}{2})^2 [1 + 2 \cdot \frac{x/2}{\tan (x/2)}]}{(2x)^2} \cdot \frac{1}{2} $
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{2 \cdot \frac{x^2}{4} [1+2]}{4x^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1/2 \cdot 3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{16}$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,अतः $ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)$ लिखा जा सकता है।
हमें सीमा $L = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(x-\alpha)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $1-\cos(\theta) = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{2\sin^2(\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2})}{(x-\alpha)^2}$.
$(\frac{a(x-\beta)}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha} 2 \left[ \frac{\sin(\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2})}{\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2}} \right]^2 \cdot \frac{a^2(x-\alpha)^2(x-\beta)^2}{4(x-\alpha)^2}$.
चूंकि $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$,इसलिए:
$L = 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{a^2(\alpha-\beta)^2}{4} = \frac{a^2(\alpha-\beta)^2}{2}$.

(B) माना $P = \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2^{k-1}}\right)\right\}^n$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log P = \lim _{n \rightarrow \infty} n \left[ \sum_{j=0}^{k-1} \log \left(1 + \frac{1}{2^j n}\right) \right]$।
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+ax)}{x} = a$ का उपयोग करने पर:
$\log P = \sum_{j=0}^{k-1} \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\log \left(1 + \frac{1}{2^j n}\right)}{1/n} = \sum_{j=0}^{k-1} \frac{1}{2^j}$।
यह $k$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=1/2$ है:
$\sum_{j=0}^{k-1} \left(\frac{1}{2}\right)^j = \frac{1(1-(1/2)^k)}{1-1/2} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)$।
अतः,$P = e^{2 \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)}$।

(A) दिया गया है: $n_1 = 8$,$\bar{x}_1 = 25$,$\sigma_1 = 5$.
मदों का योग: $\Sigma x_i = n_1 \times \bar{x}_1 = 8 \times 25 = 200$.
प्रसरण: $\sigma_1^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n_1} - (\bar{x}_1)^2 = 25$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{8} - 625 = 25 \Rightarrow \Sigma x_i^2 = 8 \times 650 = 5200$.
नया डेटा सेट: $n_2 = 8 + 2 = 10$.
नया योग: $\Sigma x_{new} = 200 + 15 + 25 = 240$.
नया माध्य: $\bar{x}_2 = \frac{240}{10} = 24$.
वर्गों का नया योग: $\Sigma x_{new}^2 = 5200 + 15^2 + 25^2 = 5200 + 225 + 625 = 6050$.
नया प्रसरण: $\sigma_2^2 = \frac{\Sigma x_{new}^2}{n_2} - (\bar{x}_2)^2 = \frac{6050}{10} - (24)^2 = 605 - 576 = 29$.

(C) सबसे पहले,$x_i$ को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और संचयी आवृत्ति की गणना करें:

$x_i$	$f_i$	संचयी आवृत्ति	$|x_i - M|$	$f_i |x_i - M|$
$3$	$3$	$3$	$10$	$30$
$6$	$4$	$7$	$7$	$28$
$9$	$5$	$12$	$4$	$20$
$12$	$2$	$14$	$1$	$2$
$13$	$4$	$18$	$0$	$0$
$15$	$5$	$23$	$2$	$10$
$21$	$4$	$27$	$8$	$32$
$22$	$3$	$30$	$9$	$27$

यहाँ,$N = \Sigma f_i = 30$.
माध्यिका वह मान है जो $\frac{N}{2} = 15$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति के अनुरूप है।
संचयी आवृत्ति $18$ का मान $x_i = 13$ है। अतः,माध्यिका $(M) = 13$.
योग $\Sigma f_i |x_i - 13| = 30 + 28 + 20 + 2 + 0 + 10 + 32 + 27 = 149$.
माध्यिका से माध्य विचलन $= \frac{\Sigma f_i |x_i - M|}{N} = \frac{149}{30} \approx 4.97$.

(B) माना मूल आँकड़े $x_i = \{6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ हैं जिनका प्रसरण $\sigma^2$ है।
नया आँकड़ा समूह $y_i = \{12, 14, 16, 18, 20, 22\}$ है,जिसे $y_i = 2x_i$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रसरण के गुणधर्म के अनुसार,यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $k^2 \times \text{मूल प्रसरण}$ हो जाता है।
यहाँ,$k = 2$ है,इसलिए नया प्रसरण $2^2 \times \sigma^2 = 4 \sigma^2$ होगा।

(C) दिया गया है,$n=9$ के लिए,$\bar{x} = 13$ और $\sigma = 5$ है।
$\sum_{i=1}^9 x_i = 9 \times 13 = 117$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \Rightarrow 25 = \frac{\sum x_i^2}{9} - 169$ है।
$\sum x_i^2 = 9(25 + 169) = 9(194) = 1746$ है।
अब,एक नया पद $x_{10} = 3$ जोड़ा जाता है।
नया योग $\sum_{i=1}^{10} x_i = 117 + 3 = 120$ है।
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{120}{10} = 12$ है।
वर्गों का नया योग $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 1746 + (3)^2 = 1746 + 9 = 1755$ है।
नया प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\bar{x}')^2 = \frac{1755}{10} - (12)^2 = 175.5 - 144 = 31.5$ है।

(B) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले मध्य-अंतराल मान $(x)$ और आवृत्ति $(f)$ की गणना करते हैं:

अंक	$x$	$f$	$f \cdot x$	$f \cdot x^2$
$1-3$	$2$	$40$	$80$	$160$
$3-5$	$4$	$30$	$120$	$480$
$5-7$	$6$	$20$	$120$	$720$
$7-9$	$8$	$10$	$80$	$640$
कुल		$100$	$400$	$2000$

माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f \cdot x}{\sum f} = \frac{400}{100} = 4$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f \cdot x^2}{\sum f} - (\bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{2000}{100} - (4)^2 = 20 - 16 = 4$.

(D) छात्र $A$ के लिए: अंक $30, 20, 40$ हैं।
माध्य $\bar{x}_A = \frac{30+20+40}{3} = \frac{90}{3} = 30$.
मानक विचलन $\sigma_A = \sqrt{\frac{(30-30)^2 + (20-30)^2 + (40-30)^2}{3}} = \sqrt{\frac{0 + 100 + 100}{3}} = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10 \sqrt{\frac{2}{3}}$.
विचरण गुणांक $(CV)_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A} \times 100 = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \times 30} \times 100 = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \times 100$.
छात्र $B$ के लिए: अंक $70, 0, 5$ हैं।
माध्य $\bar{x}_B = \frac{70+0+5}{3} = \frac{75}{3} = 25$.
मानक विचलन $\sigma_B = \sqrt{\frac{(70-25)^2 + (0-25)^2 + (5-25)^2}{3}} = \sqrt{\frac{45^2 + (-25)^2 + (-20)^2}{3}} = \sqrt{\frac{2025 + 625 + 400}{3}} = \sqrt{\frac{3050}{3}} = 5 \sqrt{\frac{122}{3}}$.
विचरण गुणांक $(CV)_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B} \times 100 = \frac{5 \sqrt{122}}{\sqrt{3} \times 25} \times 100 = \frac{\sqrt{122}}{5 \sqrt{3}} \times 100$.
अनुपात $\frac{(CV)_A}{(CV)_B} = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \div \frac{\sqrt{122}}{5 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \times \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{122}} = \frac{5 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{61}} = \frac{5}{3 \sqrt{61}}$.
अतः,अनुपात $5 : 3 \sqrt{61}$ है।

(C) दिए गए अंक $505, 510, 515, \ldots, 595$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 505$,$d = 5$,और $n = 19$ पद हैं।
माध्य $\bar{X} = \frac{505 + 595}{2} = 550$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $x_i = 550 + 5k$,जहाँ $k$ का मान $-9$ से $9$ तक है।
अतः $(x_i - \bar{X})^2 = (5k)^2 = 25k^2$.
$\sum (x_i - \bar{X})^2 = 25 \sum_{k=-9}^{9} k^2 = 25 \times 2 \times \sum_{k=1}^{9} k^2$.
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 285$.
अतः,$\sum (x_i - \bar{X})^2 = 50 \times 285 = 14250$.
$\sigma = \sqrt{\frac{14250}{19}} = \sqrt{750} = \sqrt{25 \times 30} = 5 \sqrt{30}$.

(C) माना कि प्रथम वितरण $X$ है जिसके मान $x_i$ और बारंबारता $f_i$ हैं। प्रसरण $\sigma_X^2 = 45.8$ दिया गया है।
दूसरे वितरण $Y$ के मान $y_i$ हैं जहाँ $y_i = 2x_i + 2$ है।
हम जानते हैं कि यदि $Y = aX + b$ है,तो प्रसरण $\sigma_Y^2 = a^2 \sigma_X^2$ होता है।
यहाँ,$y_i = 2x_i + 2$ है,इसलिए $a = 2$ है।
अतः,$\sigma_Y^2 = 2^2 \times \sigma_X^2 = 4 \times 45.8$।
$\sigma_Y^2 = 183.2$।

(C) माना पाँच प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं। दिया है $x_1=1, x_2=3, x_3=4$। अन्य दो को $a$ और $b$ मानें।
माध्य $\bar{x} = \frac{1+3+4+a+b}{5} = 4 \implies 8+a+b = 20 \implies a+b = 12$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 4$।
$\frac{1^2+3^2+4^2+a^2+b^2}{5} - 16 = 4 \implies \frac{26+a^2+b^2}{5} = 20$।
$26+a^2+b^2 = 100 \implies a^2+b^2 = 74$।
हम जानते हैं कि $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$।
$12^2 = 74+2ab \implies 144 = 74+2ab$।
$2ab = 70 \implies ab = 35$।

(C) सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\sum f_i = 8 + 48 + 56 + 32 + 16 = 160$
$\sum f_i x_i = (5 \times 8) + (15 \times 48) + (25 \times 56) + (35 \times 32) + (45 \times 16) = 40 + 720 + 1400 + 1120 + 720 = 4000$
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{4000}{160} = 25$
अब,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ($M$.$D$.$(\bar{x})$) की गणना करें:
$M$.$D$.$(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}$
$|x_i - 25|$ के मान हैं: $|5-25|=20, |15-25|=10, |25-25|=0, |35-25|=10, |45-25|=20$
$\sum f_i |x_i - \bar{x}| = (8 \times 20) + (48 \times 10) + (56 \times 0) + (32 \times 10) + (16 \times 20) = 160 + 480 + 0 + 320 + 320 = 1280$
$M$.$D$.$(\bar{x})$ = $\frac{1280}{160} = 8$

(D) हम जानते हैं कि मानक विचलन $(S.D.)$ का सूत्र है:
$S.D. = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \mu)^2}{N}}$
जहाँ $\mu$ माध्य है और $N$ पदों की संख्या है।
सबसे पहले,माध्य $(\mu)$ की गणना करें:
$\mu = \frac{22 + 26 + 28 + 20 + 24 + 30}{6} = \frac{150}{6} = 25$
अब,विचलन के वर्गों की गणना करें:

$x_i$	$(x_i - \mu)^2$
$22$	$(22 - 25)^2 = 9$
$26$	$(26 - 25)^2 = 1$
$28$	$(28 - 25)^2 = 9$
$20$	$(20 - 25)^2 = 25$
$24$	$(24 - 25)^2 = 1$
$30$	$(30 - 25)^2 = 25$

विचलन के वर्गों का योग: $\sum(x_i - \mu)^2 = 9 + 1 + 9 + 25 + 1 + 25 = 70$
मानक विचलन: $S.D. = \sqrt{\frac{70}{6}} = \sqrt{11.666...} \approx 3.4156 \approx 3.42$

(D) छात्र $A$ के लिए: अंक $30, 20, 40$ हैं।
माध्य $\bar{x}_A = \frac{30+20+40}{3} = 30$.
मानक विचलन $\sigma_A = \sqrt{\frac{200}{3}}$.
विचरण गुणांक $CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A}$.
छात्र $B$ के लिए: अंक $70, 0, 5$ हैं।
माध्य $\bar{x}_B = \frac{75}{3} = 25$.
मानक विचलन $\sigma_B = \sqrt{\frac{3050}{3}}$.
विचरण गुणांक $CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B}$.
अनुपात $\frac{CV_A}{CV_B} = \frac{\sigma_A}{\sigma_B} \times \frac{\bar{x}_B}{\bar{x}_A} = \sqrt{\frac{200}{3050}} \times \frac{25}{30} = \frac{5}{3 \sqrt{61}}$.

(B) सबसे पहले,हम वितरण का माध्य $(\bar{X})$ ज्ञात करते हैं:

$C$.$I$.	$f_i$	मध्य मान $(x_i)$	$f_i x_i$
$75$-$175$	$3$	$125$	$375$
$175$-$275$	$2$	$225$	$450$
$275$-$375$	$1$	$325$	$325$
$375$-$475$	$0$	$425$	$0$
$475$-$575$	$1$	$525$	$525$
$575$-$675$	$2$	$625$	$1250$
$675$-$775$	$3$	$725$	$2175$
कुल	$\sum f_i = 12$	-	$\sum f_i x_i = 5100$

माध्य $\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{5100}{12} = 425$ है।
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 60000$ है,इसलिए मानक विचलन $\sigma = \sqrt{60000} = 100 \sqrt{6}$ होगा।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र: $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100$.
$CV = \frac{100 \sqrt{6}}{425} \times 100 = \frac{400 \sqrt{6}}{17}$.

(C) माना $AM$,$\triangle ABC$ की शीर्ष $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका है। दिया गया है कि $AM \perp AC$,इसलिए $\angle MAC = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $AM$ माध्यिका है,$M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BM = MC$ है।
$\triangle AMC$ में,$\angle MAC = 90^{\circ}$,इसलिए $\tan C = \frac{AM}{AC}$,जिसका अर्थ है $AM = AC \tan C$।
त्रिभुज के गुणों और लंबवतता का उपयोग करते हुए,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\tan A = -2 \tan C$ है।
अतः,$\frac{\tan A}{\tan C} = -2$।

(B) हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \frac{\Delta}{s(s-a)}$ और $\tan \frac{B}{2} = \frac{\Delta}{s(s-b)}$.
इनका योग करने पर,$\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} = \frac{\Delta}{s} \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} \right) = \frac{c \Delta}{s(s-a)(s-b)}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\Delta}{(s-a)(s-b)} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \cot \frac{C}{2}$.
अतः,$\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} = \frac{c}{s} \cot \frac{C}{2} = \frac{2c \cot \frac{C}{2}}{a+b+c}$.

(D) माना $s$,$\triangle ABC$ का अर्ध-परिमाप है। शीर्षों से अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई $\alpha = s-a, \beta = s-b, \gamma = s-c$ द्वारा दी जाती है।
इनका योग करने पर,$\alpha+\beta+\gamma = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $S$,हेरॉन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{s \alpha \beta \gamma}$।
हम जानते हैं कि $S = rs$,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
अतः,$r^2 s^2 = s \alpha \beta \gamma$,जो सरल होकर $r^2 s = \alpha \beta \gamma$ हो जाता है।
$s = \alpha+\beta+\gamma$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r^2 = \frac{\alpha \beta \gamma}{\alpha+\beta+\gamma}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $a=2, b=\sqrt{6}, c=\sqrt{3}+1$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अब,$\sin^2 C - \sin^2 A = \cos^2 A - \cos^2 C = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - (\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} - \frac{4-2\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(C) दिया गया है $a=2, b=\sqrt{6}, c=\sqrt{3}+1$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{2^2 + (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3}+1)^2}{2(2)(\sqrt{6})} = \frac{4+6-(3+1+2\sqrt{3})}{4\sqrt{6}} = \frac{6-2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
अतः $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = 1 - \frac{3+1-2\sqrt{3}}{8} = 1 - \frac{4-2\sqrt{3}}{8} = 1 - \frac{2-\sqrt{3}}{4} = \frac{4-2+\sqrt{3}}{4} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$.
$A$ के लिए कोज्या नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{6 + (\sqrt{3}+1)^2 - 2^2}{2(\sqrt{6})(\sqrt{3}+1)} = \frac{6 + 4 + 2\sqrt{3} - 4}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\sin^2 C - \sin^2 A = \frac{2+\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2+\sqrt{3}-2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(D) प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$,$b = c \cos A + a \cos C$,और $c = a \cos B + b \cos A$ है।
हम $a^3 \cos(B-C) = a^2 \cdot a \cos(B-C)$ लिख सकते हैं।
चूंकि $a = 2R \sin A = 2R \sin(180^\circ - (B+C)) = 2R \sin(B+C)$,हमारे पास है:
$a^3 \cos(B-C) = a^2 \cdot 2R \sin(B+C) \cos(B-C) = a^2 R [\sin(2B) + \sin(2C)] = a^2 R [2 \sin B \cos B + 2 \sin C \cos C]$।
$b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर,यह हो जाता है:
$a^3 \cos(B-C) = a^2 (b \cos B + c \cos C) = a^2 b \cos B + a^2 c \cos C \quad \dots (i)$।
इसी प्रकार,
$b^3 \cos(C-A) = b^2 c \cos C + b^2 a \cos A \quad \dots (ii)$
$c^3 \cos(A-B) = c^2 a \cos A + c^2 b \cos B \quad \dots (iii)$
$(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
योग $= (a^2 b \cos B + b^2 a \cos A) + (b^2 c \cos C + c^2 b \cos B) + (c^2 a \cos A + a^2 c \cos C)$
$= ab(a \cos B + b \cos A) + bc(b \cos C + c \cos B) + ca(c \cos A + a \cos C)$
$= ab(c) + bc(a) + ca(b) = abc + abc + abc = 3abc$।

(D) प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$,$b = c \cos A + a \cos C$,और $c = a \cos B + b \cos A$। \\
साथ ही,ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$। \\
पद $a^3 \cos (B-C)$ पर विचार करें। $\cos (B-C) = \frac{\sin 2B + \sin 2C}{2 \sin (B+C)} = \frac{\sin 2B + \sin 2C}{2 \sin A}$ का उपयोग करते हुए। \\
$a = 2R \sin A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^3 \cos (B-C) = a^2 (b \cos B + c \cos C)$ प्राप्त होता है। \\
इसी प्रकार,$b^3 \cos (C-A) = b^2 (c \cos C + a \cos A)$ और $c^3 \cos (A-B) = c^2 (a \cos A + b \cos B)$। \\
इन सभी का योग करने पर,हमें $ab(c) + bc(a) + ca(b) = 3abc$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ और $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
अतः,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \frac{s(s-a) + s(s-b) + s(s-c)}{\Delta} = \frac{s(3s - (a+b+c))}{\Delta} = \frac{s(3s - 2s)}{\Delta} = \frac{s^2}{\Delta} = \frac{(a+b+c)^2}{4\Delta}$.
साथ ही,$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$.
इसलिए,अनुपात $\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$ है।
$a=3, b=4, c=6$ रखने पर:
अनुपात $= \frac{(3+4+6)^2}{3^2+4^2+6^2} = \frac{13^2}{9+16+36} = \frac{169}{61}$.

(A) दिया गया समीकरण: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ और $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{s(s-c)}{ab} \right) + c \left( \frac{s(s-a)}{bc} \right) = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $2s - a - c = b$:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2} \Rightarrow s = \frac{3b}{2}$
$\frac{a + b + c}{2} = \frac{3b}{2} \Rightarrow a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$

(D) माना $\frac{s-a}{4} = \frac{s-b}{5} = \frac{s-c}{6} = k$.
तब $s-a = 4k$,$s-b = 5k$,और $s-c = 6k$.
इनका योग करने पर $3s - (a+b+c) = 15k$ प्राप्त होता है। चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = 15k$,अर्थात $s = 15k$.
तब $a = s - 4k = 11k$,$b = s - 5k = 10k$,और $c = s - 6k = 9k$.
हम जानते हैं कि $\sin^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
अतः,$\sum \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc} + \frac{(s-c)(s-a)}{ca} + \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$.
मान रखने पर:
$= \frac{(5k)(6k)}{(10k)(9k)} + \frac{(6k)(4k)}{(9k)(11k)} + \frac{(4k)(5k)}{(11k)(10k)} = \frac{30}{90} + \frac{24}{99} + \frac{20}{110} = \frac{1}{3} + \frac{8}{33} + \frac{2}{11}$.
$= \frac{11 + 8 + 6}{33} = \frac{25}{33}$.

(A) दिया गया है,$\frac{s-a}{11}=\frac{s-b}{12}=\frac{s-c}{13}=k$.
$s-a=11k$,$s-b=12k$,$s-c=13k$.
इन्हें जोड़ने पर,$3s-(a+b+c) = 36k$.
चूँकि $a+b+c=2s$,इसलिए $3s-2s=36k$,अतः $s=36k$.
सूत्र $\tan^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$ और $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}$ का उपयोग करने पर,
$\tan^2\left(\frac{A}{2}\right)+\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(12k)(13k)}{(36k)(11k)} + \frac{(11k)(12k)}{(36k)(13k)}$.
$= \frac{12 \times 13}{36 \times 11} + \frac{11 \times 12}{36 \times 13} = \frac{1}{3} \left( \frac{13}{11} + \frac{11}{13} \right)$.
$= \frac{1}{3} \left( \frac{169+121}{143} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{290}{143} = \frac{290}{429}$.

(C) $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi-C}{2}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a-b)^2 \sin^2\left(\frac{\pi-C}{2}\right) + (a+b)^2 \sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$= (a-b)^2 \cos^2\left(\frac{C}{2}\right) + (a+b)^2 \sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$= (a^2+b^2-2ab) \cos^2\left(\frac{C}{2}\right) + (a^2+b^2+2ab) \sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$= (a^2+b^2) \left(\cos^2\frac{C}{2} + \sin^2\frac{C}{2}\right) - 2ab \left(\cos^2\frac{C}{2} - \sin^2\frac{C}{2}\right)$
$= (a^2+b^2)(1) - 2ab \cos C$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$:
$= a^2+b^2 - 2ab \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$
$= a^2+b^2 - (a^2+b^2-c^2) = c^2$।

(C) माना घटनाएँ इस प्रकार हैं:
$E_1$: मशीन $A$ द्वारा उत्पादन
$E_2$: मशीन $B$ द्वारा उत्पादन
$E_3$: मशीन $C$ द्वारा उत्पादन
$E$: चुनी गई वस्तु दोषपूर्ण है।
प्रत्येक मशीन द्वारा उत्पादन की प्रायिकताएँ:
$P(E_1) = \frac{20}{100} = 0.2$
$P(E_2) = \frac{30}{100} = 0.3$
$P(E_3) = \frac{50}{100} = 0.5$
दोषपूर्ण उत्पादों की सशर्त प्रायिकताएँ:
$P(E|E_1) = \frac{5}{100} = 0.05$
$P(E|E_2) = \frac{3}{100} = 0.03$
$P(E|E_3) = \frac{2}{100} = 0.02$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दोषपूर्ण वस्तु के मशीन $B$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2) + P(E_3) \cdot P(E|E_3)}$
$P(E_2|E) = \frac{0.3 \times 0.03}{(0.2 \times 0.05) + (0.3 \times 0.03) + (0.5 \times 0.02)}$
$P(E_2|E) = \frac{0.009}{0.010 + 0.009 + 0.010} = \frac{0.009}{0.029} = \frac{9}{29}$

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12}$।
साथ ही,न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{2}$ है।
दूसरे समीकरण का विस्तार करने पर: $1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = \frac{1}{2}$।
$P(A)P(B) = \frac{1}{12}$ रखने पर: $1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$।
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{12} - \frac{1}{2} = \frac{12 + 1 - 6}{12} = \frac{7}{12}$।
मान लीजिए $x = P(A)$ और $y = P(B)$। हमारे पास $x + y = \frac{7}{12}$ और $xy = \frac{1}{12}$ है।
$x$ और $y$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ है,जो $t^2 - \frac{7}{12}t + \frac{1}{12} = 0$ है।
$12$ से गुणा करने पर: $12t^2 - 7t + 1 = 0$।
$12t^2 - 4t - 3t + 1 = 0 \implies 4t(3t - 1) - 1(3t - 1) = 0$।
$(4t - 1)(3t - 1) = 0$,इसलिए $t = \frac{1}{4}$ या $t = \frac{1}{3}$।
चूँकि $P(B) > P(A)$,इसलिए $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$ है।

(B) मान लीजिए $X$ आदमी द्वारा लक्ष्य को भेदने की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=8$ और $p=\frac{1}{3}$ है।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$,असफलता की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
हमें लक्ष्य को कम से कम दो बार भेदने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2)$ है।
$P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
द्विपद सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^8 = (\frac{2}{3})^8$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^7 = 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^7$.
$P(X \ge 2) = 1 - [(\frac{2}{3})^8 + 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^7]$.
$P(X \ge 2) = 1 - [(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{8}{3})] = 1 - [(\frac{2}{3})^7 \cdot \frac{10}{3}] = 1 - 5 \cdot (\frac{2}{3})^8$.

(D) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि पासे पर $6$ आता है।
मान लीजिए $S$ वह घटना है कि पासे पर वास्तव में $6$ आता है,और $S^c$ वह घटना है कि पासे पर $6$ नहीं आता है।
$P(S) = \frac{1}{6}$ और $P(S^c) = \frac{5}{6}$ है।
मान लीजिए $T$ वह घटना है कि व्यक्ति सच बोलता है। $P(T) = \frac{3}{5}$ और $P(T^c) = \frac{2}{5}$ है।
$P(E|S)$ वह प्रायिकता है कि वह $6$ बताता है जबकि वास्तव में $6$ है,जो $P(T) = \frac{3}{5}$ है।
$P(E|S^c)$ वह प्रायिकता है कि वह $6$ बताता है जबकि वास्तव में $6$ नहीं है,जो $P(T^c) = \frac{2}{5}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(S|E) = \frac{P(S)P(E|S)}{P(S)P(E|S) + P(S^c)P(E|S^c)}$।
$P(S|E) = \frac{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{5})}{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{5}) + (\frac{5}{6} \times \frac{2}{5})} = \frac{\frac{3}{30}}{\frac{3}{30} + \frac{10}{30}} = \frac{3}{13}$।

(B) माना $E$ वह घटना है कि निकाली गई $4$ गेंदें लाल हैं। माना $A_k$ वह घटना है कि थैली में $k$ लाल गेंदें हैं,जहाँ $k \in \{4, 5, 6\}$। यह मानते हुए कि प्रत्येक स्थिति समान रूप से संभावित है,$P(A_4) = P(A_5) = P(A_6) = \frac{1}{3}$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(E|A_4) = \frac{{}^4C_4}{{}^6C_4} = \frac{1}{15}$
$P(E|A_5) = \frac{{}^5C_4}{{}^6C_4} = \frac{5}{15}$
$P(E|A_6) = \frac{{}^6C_4}{{}^6C_4} = \frac{15}{15} = 1$
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि निकाली गई $4$ गेंदें लाल हैं,तो थैली में ठीक $5$ लाल गेंदें होने की प्रायिकता:
$P(A_5|E) = \frac{P(A_5)P(E|A_5)}{P(A_4)P(E|A_4) + P(A_5)P(E|A_5) + P(A_6)P(E|A_6)}$
$P(A_5|E) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{5}{15}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{15} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{15} + \frac{1}{3} \times \frac{15}{15}}$
$P(A_5|E) = \frac{5}{1 + 5 + 15} = \frac{5}{21}$

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है और $E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि छात्र सही उत्तर देता है।
दिया गया है कि छात्र $90 \%$ उत्तर जानता है,इसलिए $P(E_2) = \frac{9}{10}$।
परिणामस्वरूप,छात्र के अनुमान लगाने की प्रायिकता $P(E_1) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ है।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(A \mid E_2) = 1$ है।
यदि छात्र अनुमान लगाता है,तो चूंकि $4$ विकल्प हैं और केवल एक सही है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(A \mid E_1) = \frac{1}{4}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि छात्र ने अनुमान लगाया था,यह देखते हुए कि उसने सही उत्तर दिया है,जो $P(E_1 \mid A)$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_1 \mid A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1) + P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)}$
$P(E_1 \mid A) = \frac{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4}}{(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{9}{10} \cdot 1)}$
$P(E_1 \mid A) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40} + \frac{9}{10}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1+36}{40}} = \frac{1}{37}$।

(A) $n$ परीक्षणों और सफलता की प्रायिकता $p$ वाले द्विपद बंटन के लिए,मान लीजिए $q = 1 - p$ है।
माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ है।
दिया गया है:
$np + npq = 15$
$np(npq) = 54$
मान लीजिए $X = np$ और $Y = npq$ है।
तब $X + Y = 15$ और $XY = 54$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - 15t + 54 = 0$ के मूल हैं।
$(t - 9)(t - 6) = 0$,इसलिए मूल $9$ और $6$ हैं।
चूंकि $np > npq$ ($q < 1$ होने के कारण),हमें $np = 9$ और $npq = 6$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{npq}{np} = \frac{6}{9} \implies q = \frac{2}{3}$।
तब $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
$p$ का मान $np = 9$ में रखने पर: $n(\frac{1}{3}) = 9 \implies n = 27$।
अतः,परीक्षणों की संख्या $27$ है।

(C) हम जानते हैं कि द्विपद वितरण $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p+q=1$ है।
दिया गया है $n=5, p=\frac{3}{4}, q=\frac{1}{4}$।
सबसे पहले,$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ की गणना करें।
$P(X=3) = { }^5 C_3 (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$।
$P(X=4) = { }^5 C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$।
$P(X=5) = { }^5 C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$।
$P(X \geq 3) = \frac{270+405+243}{1024} = \frac{918}{1024}$।
तब $\alpha = \frac{1}{9} \times \frac{918}{1024} = \frac{102}{1024}$।
आगे,$\beta = P(X \leq 2) = 1 - P(X \geq 3) = 1 - \frac{918}{1024} = \frac{106}{1024}$।
अंत में,$256(\beta - \alpha) = 256(\frac{106}{1024} - \frac{102}{1024}) = 256(\frac{4}{1024}) = 256(\frac{1}{256}) = 1$।

(B) दिया गया है कि $X$ एक द्विपद चर है जिसका माध्य $np = 6$ और प्रसरण $npq = 2$ है।
इससे,$6q = 2$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{3}$।
अतः,$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
$np = 6$ में $p$ का मान रखने पर,$n \times \frac{2}{3} = 6$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।
हमें $P(5 \leq X \leq 7) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)$ की गणना करनी है।
सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=5) = {}^9C_5 (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^4 = 126 \times \frac{32}{3^9} = \frac{4032}{19683}$।
$P(X=6) = {}^9C_6 (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^3 = 84 \times \frac{64}{3^9} = \frac{5376}{19683}$।
$P(X=7) = {}^9C_7 (\frac{2}{3})^7 (\frac{1}{3})^2 = 36 \times \frac{128}{3^9} = \frac{4608}{19683}$।
इन मानों को जोड़ने पर: $P(5 \leq X \leq 7) = \frac{4032 + 5376 + 4608}{19683} = \frac{14016}{19683}$।
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर: $\frac{4672}{6561}$।

(D) एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + 3K + K = 1$
$\frac{4}{8} + 4K = 1$
$\frac{1}{2} + 4K = 1 \Rightarrow 4K = \frac{1}{2} \Rightarrow K = \frac{1}{8}$.
अब,हम $E(X)$ और $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times \frac{1}{8}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{3}{8}) + (3^2 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
अतः,$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) माना $X$ एक बॉक्स में दोषपूर्ण तालों की संख्या है। चूंकि तालों की संख्या $n=100$ बड़ी है और दोष की प्रायिकता $p=0.02$ छोटी है,इसलिए हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे,जहाँ माध्य $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$ है।
$r$ दोषपूर्ण तालों की प्रायिकता $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!} = \frac{e^{-2} 2^r}{r!}$ द्वारा दी जाती है।
निर्माता गारंटी देता है कि $2$ से अधिक ताले दोषपूर्ण नहीं हैं,जिसका अर्थ है कि यदि $X \le 2$ है तो बॉक्स गुणवत्ता मानकों को पूरा करता है।
बॉक्स गारंटी को पूरा करने में विफल रहता है यदि $X > 2$ है।
विफलता की प्रायिकता $P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ है।
मान रखने पर:
$P(X > 2) = 1 - [\frac{e^{-2} 2^0}{0!} + \frac{e^{-2} 2^1}{1!} + \frac{e^{-2} 2^2}{2!}] = 1 - [e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2}] = 1 - 5e^{-2}$.

(D) यादृच्छिक चर $X$ के प्रसरण का सूत्र निम्नलिखित है:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
सबसे पहले,हम अपेक्षित मान $E(X) = \sum P_i x_i$ की गणना करते हैं:
$E(X) = (-2) \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = 0$
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum P_i x_i^2$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (-2)^2 \times \frac{1}{6} + (-1)^2 \times \frac{1}{6} + 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = 4 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{6} + 0 + 1 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = \frac{4+1+0+1+4}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
अंत में,प्रसरण है:
$\operatorname{Var}(X) = \frac{5}{3} - (0)^2 = \frac{5}{3}$

(A) प्रायिकता बंटन $P(X=j) = (\frac{1}{2})^j$ जहाँ $j = 1, 2, 3, \ldots$ दिया गया है।
यह एक ज्यामितीय बंटन (geometric distribution) है जिसमें $p = \frac{1}{2}$ और $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$j=1$ से शुरू होने वाले ज्यामितीय बंटन का माध्य $E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{1/2} = 2$ होता है।
ज्यामितीय बंटन का प्रसरण $Var(X) = \frac{q}{p^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$Var(X) = \frac{1/2}{(1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2$।
अतः,$X$ का प्रसरण $2$ है।

(D) चूंकि प्रायिकताओं का योग $1$ है:
$\frac{1}{6} + k + \frac{1}{4} + k + \frac{1}{6} = 1$
$2k + \frac{7}{12} = 1 \implies 2k = \frac{5}{12} \implies k = \frac{5}{24}$
प्रसरण की गणना:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_i & P(X=x_i) & x_i P(x_i) & x_i^2 P(x_i) \\ \hline -2 & 1/6 & -1/3 & 2/3 \\ \hline -1 & 5/24 & -5/24 & 5/24 \\ \hline 0 & 1/4 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 5/24 & 5/24 & 5/24 \\ \hline 2 & 1/6 & 1/3 & 2/3 \\ \hline \text{Total} & 1 & 0 & 21/12 \\ \hline \end{array}$
$\text{प्रसरण} = E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{21}{12} - (0)^2 = \frac{7}{4}$

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ पर फोकस और $X$-अक्ष को अपनी अक्ष मानने वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $(y-0)^2 = -4a(x-a)$ है,जहाँ $a$ एक प्राचल है।
$y^2 = -4ax + 4a^2$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y y' = -4a$
$a = -\frac{y y'}{2}$
$a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y^2 = -4\left(-\frac{y y'}{2}\right)x + 4\left(-\frac{y y'}{2}\right)^2$
$y^2 = 2x y y' + 4\left(\frac{y^2 y'^2}{4}\right)$
$y^2 = 2x y y' + y^2 y'^2$
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x y' + y y'^2$
$y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\left(\frac{dy}{dx}\right) - y = 0$
इस अवकल समीकरण की कोटि $m = 1$ है और घात $n = 2$ है।
अतः,$mn - m + n = (1)(2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.