यदि $f:[0,2) \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} 1+\frac{2x}{k} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ kx & \text{for } 1 \leq x < 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $k>0$,और $f$ इस प्रकार है कि $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$,तो $k^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समुच्चय $G$ और $A$ में अवयवों की संख्या क्रमशः $3$ और $4$ है,तो सूची-$I$ के मदों का मिलान सूची-$II$ के मदों से कीजिए।

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $G \times G$ से $G$ तक के गैर-बायजेक्टिव फलनों की संख्या	$I$. $24$
$B$. $A$ से $A$ तक के बायजेक्टिव फलनों की संख्या	$II$. $0$
$C$. $G$ से $G \times A$ तक के फलनों की संख्या	$III$. $1728$
$D$. $A$ से $A \times A$ तक के आच्छादक (surjective) फलनों की संख्या	$IV$. $12$
	$V$. $19683$

माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $X$,$S$ से $S$ तक के उन सभी संबंधों $R$ का समुच्चय है जो निम्नलिखित दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं:
$i$. $R$ में ठीक $6$ अवयव हैं।
$ii$. प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए,$|a-b| \geq 2$ है।
माना $Y = \{R \in X : R \text{ का परिसर ठीक एक अवयव रखता है}\}$ और $Z = \{R \in X : R, S \text{ से } S \text{ तक एक फलन है}\}$।
माना $n(A)$,समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या को दर्शाता है।
$(1)$ यदि $n(X) = {}^{m}C_{6}$ है,तो $m$ का मान . . . . है।
$(2)$ यदि $n(Y) + n(Z)$ का मान $k^{2}$ है,तो $|k|$ का मान . . . . है।

मान लीजिए कि फलन $f(x) = x^2 + x + \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)$ अंतराल $[0, 1]$ पर परिभाषित है। अंतराल $[-1, 1]$ पर $f(x)$ का विषम विस्तार (odd extension) क्या है?

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है। तो प्रत्येक $m, n \in S$ और $m \cdot n \in S$ के लिए $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ को संतुष्ट करने वाले संभावित फलनों $f: S \rightarrow S$ की संख्या $......$ है।

$f(x) = \frac{x}{\ln x}$ और $g(x) = \frac{\ln x}{x}$ है। तो $CORRECT$ कथन की पहचान करें।