AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई रेखाएं $a_1x \pm b_1y + c_1 = 0$ और $a_1x \pm b_1y + c_2 = 0$ के रूप में हैं।
रेखाओं के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|6 - (-6)|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ और $d_2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta = 12/13$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल = $\frac{d_1 d_2}{\sin \theta} = \frac{(12/\sqrt{13}) \times (12/\sqrt{13})}{12/13} = 12$ वर्ग इकाई।

(D) जब अक्षों को धनात्मक दिशा में $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ होते हैं।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,हमें $x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूपांतरित समीकरण $17x^2 - 16xy + 17y^2 = 225$ में $x$ और $y$ के मान रखने पर:
$17\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 16\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right) + 17\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 225$
गणना करने पर,हमें $9X^2 + 25Y^2 = 225$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल समीकरण $9x^2 + 25y^2 = 225$ है।

(B) शीर्ष $A$ रेखाओं $x+y=1$ और $2x+3y=6$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन्हें हल करने पर,हमें $x = -3$ और $y = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$A(-3, 4)$ और $O\left(\frac{3}{7}, \frac{22}{7}\right)$।
$A(-3, 4)$ और $O\left(\frac{3}{7}, \frac{22}{7}\right)$ से गुजरने वाली रेखा $OA$ का समीकरण:
$y - 4 = \frac{\frac{22}{7} - 4}{\frac{3}{7} - (-3)}(x + 3)$
$y - 4 = -\frac{1}{4}(x + 3)$
$x + 4y = 13$।
रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ का अभिलंब रूप प्राप्त करने के लिए $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{17}}x + \frac{4}{\sqrt{17}}y = \frac{13}{\sqrt{17}}$।
यहाँ,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}}$,इसलिए $\tan \alpha = 4$,जिसका अर्थ है $\alpha = \tan^{-1}(4)$।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $A(2,3)$,$B(2,4)$,और $C(4,3)$ हैं।
$AB$ लंबवत है और $AC$ क्षैतिज है,इसलिए त्रिभुज $A$ पर समकोण है।
समकोण त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $O$ समकोण वाला शीर्ष होता है। अतः,$O = A = (2,3)$.
इसलिए,$AO^2 = (2-2)^2 + (3-3)^2 = 0$.
केंद्रक $G = \left(\frac{2+2+4}{3}, \frac{3+4+3}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{10}{3}\right)$.
$9BG^2 = 9 \times [(\frac{8}{3}-2)^2 + (\frac{10}{3}-4)^2] = 9 \times [\frac{4}{9} + \frac{4}{9}] = 8$.
$G$,$O$ और $S$ को जोड़ने वाली रेखा को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। $S = \frac{3G - O}{2} = (3, \frac{7}{2})$.
$4CS^2 = 4 \times [(4-3)^2 + (3-\frac{7}{2})^2] = 4 \times [1 + \frac{1}{4}] = 5$.
$AO^2 + 9BG^2 + 4CS^2 = 0 + 8 + 5 = 13$.

(D) त्रिभुज की दो भुजाओं का दिया गया समीकरण $3x^2-5xy+2y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x-2y)(x-y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो भुजाओं के समीकरण $L_1: 3x-2y=0$ और $L_2: x-y=0$ हैं।
लंबकेंद्र $H(2,1)$ है।
शीर्ष $B$ से $AC$ पर डाला गया लंब $H(2,1)$ से गुजरता है और $AC: x-y=0$ के लंबवत है। लंब रेखा का समीकरण $x+y-3=0$ प्राप्त होता है।
$x+y-3=0$ और $3x-2y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(6/5, 9/5)$ है।
शीर्ष $C$ से $AB$ पर डाला गया लंब $H(2,1)$ से गुजरता है और $AB: 3x-2y=0$ के लंबवत है। लंब रेखा का समीकरण $2x+3y-7=0$ प्राप्त होता है।
$2x+3y-7=0$ और $x-y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(7/5, 7/5)$ है।
तीसरी भुजा $BC$,$(6/5, 9/5)$ और $(7/5, 7/5)$ से गुजरती है।
ढाल $m = -2$ प्राप्त होती है।
समीकरण $10x+5y=21$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + 2xy + y^2 - 1 = 0$ है,जिसे $(x + y)^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु को $(1, 1)$ पर स्थानांतरित करने और अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाने के बाद नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = 1 + X \cos 45^{\circ} - Y \sin 45^{\circ} = 1 + \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$
$y = 1 + X \sin 45^{\circ} + Y \cos 45^{\circ} = 1 + \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$
इन मानों को $(x + y)^2 = 1$ में रखने पर:
$(1 + \frac{X - Y}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{X + Y}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$(2 + \frac{2X}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$(2 + X\sqrt{2})^2 = 1$
$4 + 4\sqrt{2}X + 2X^2 = 1$
$2X^2 + 4\sqrt{2}X + 3 = 0$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $2x^2 + 4\sqrt{2}x + 3 = 0$ है।

(C) समीकरण $4x^2 - 17xy + 4y^2 = 0$ को $(4x - y)(x - 4y) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
अतः,रेखाएं $L_1: 4x - y = 0$ और $L_2: x - 4y = 0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x + y = 5$ है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों के युग्मों को हल करते हैं:
$1$) $L_1$ और $L_2$: $4x - y = 0$ और $x - 4y = 0$ से शीर्ष $V_1 = (0, 0)$ प्राप्त होता है।
$2$) $L_1$ और $L_3$: $4x - y = 0$ और $x + y = 5$ से $5x = 5$ मिलता है,इसलिए $x = 1, y = 4$। अतः $V_2 = (1, 4)$।
$3$) $L_2$ और $L_3$: $x - 4y = 0$ और $x + y = 5$ से $5y = 5$ मिलता है,इसलिए $y = 1, x = 4$। अतः $V_3 = (4, 1)$।
केंद्रक $(a, b) = (\frac{0+1+4}{3}, \frac{0+4+1}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ है।
अतः,$a = \frac{5}{3}$ और $b = \frac{5}{3}$।
शीर्षों $(0, 0), (1, 4), (4, 1)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $c = \frac{1}{2} |0(4-1) + 1(1-0) + 4(0-4)| = \frac{1}{2} |1 - 16| = \frac{15}{2}$ है।
अतः,$a + b + c = \frac{5}{3} + \frac{5}{3} + \frac{15}{2} = \frac{10}{3} + \frac{15}{2} = \frac{20 + 45}{6} = \frac{65}{6}$.

(C) माना $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ घूर्णन का कोण है। तब $\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = \frac{3}{5}$ है।
जब अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ होते हैं।
$\sin \theta$ और $\cos \theta$ के मान रखने पर,हमें $x = \frac{4X - 3Y}{5}$ और $y = \frac{3X + 4Y}{5}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ में रखने पर:
$\left(\frac{4X - 3Y}{5}\right)^2 + \left(\frac{3X + 4Y}{5}\right)^2 = 9$
$\frac{16X^2 + 9Y^2 - 24XY + 9X^2 + 16Y^2 + 24XY}{25} = 9$
$\frac{25X^2 + 25Y^2}{25} = 9$
$X^2 + Y^2 = 9$.
अतः,समीकरण अपरिवर्तित रहता है।

(B) त्रिभुज का परिकेंद्र उसके शीर्षों से समान दूरी पर होता है। मान लीजिए $O(x, y)$ शीर्षों $A(-2, 3), B(1, -2)$ और $C(2, 1)$ वाले त्रिभुज का परिकेंद्र है।
चूंकि $OA = OB = OC$,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2$ होगा।
$OA^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13$
$OB^2 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5$
$OC^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर:
$6x - 10y + 8 = 0 \Rightarrow 3x - 5y + 4 = 0 \dots (i)$
$OB^2 = OC^2$ को बराबर करने पर:
$2x + 6y = 0 \Rightarrow x = -3y \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$3(-3y) - 5y + 4 = 0$ $\Rightarrow -14y = -4$ $\Rightarrow y = \frac{2}{7}$
अतः,$x = -3\left(\frac{2}{7}\right) = -\frac{6}{7}$.
इसलिए,परिकेंद्र $\left(-\frac{6}{7}, \frac{2}{7}\right)$ है।

(D) बिंदु $(1,1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = m(x - 1)$ है।
चूंकि रेखा धनात्मक अक्षों को $A$ और $B$ पर काटती है,$A$ के लिए $y=0$ और $B$ के लिए $x=0$ रखने पर:
$A$ के लिए,$0 - 1 = m(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{1}{m} \implies x = 1 - \frac{1}{m}$. अतः,$A = (1 - \frac{1}{m}, 0)$.
$B$ के लिए,$y - 1 = m(0 - 1) \implies y - 1 = -m \implies y = 1 - m$. अतः,$B = (0, 1 - m)$.
चूंकि $A$ और $B$ धनात्मक अक्षों पर हैं,$1 - \frac{1}{m} > 0$ और $1 - m > 0$ है। $m < 0$ है,इसलिए मान लें $m = -k$ जहाँ $k > 0$ है।
तब $OA = 1 + \frac{1}{k}$ और $OB = 1 + k$ होगा।
$OA + OB = 2 + k + \frac{1}{k}$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$k + \frac{1}{k} \ge 2\sqrt{k \cdot \frac{1}{k}} = 2$.
अतः न्यूनतम मान $2 + 2 = 4$ है।

(C) माना रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(4,3)$ से गुजरती है,$\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1$ है।
अंतःखंडों का योग $a + b = 14$ है,इसलिए $b = 14 - a$।
मान रखने पर: $\frac{4}{a} + \frac{3}{14 - a} = 1$।
हल करने पर $a^2 - 15a + 56 = 0$ प्राप्त होता है।
$(a - 7)(a - 8) = 0$।
यदि $a = 7$ तो $b = 7$,समीकरण $x + y = 7$ है।
यदि $a = 8$ तो $b = 6$,समीकरण $3x + 4y = 24$ है।

(C) . माना $Y$-अंतःखंड $a$ है,तो $X$-अंतःखंड $2a$ है। समीकरण: $\frac{x}{2a} + \frac{y}{a} = 1 \Rightarrow x+2y=2a$. यह $(4,3)$ से गुजरती है,इसलिए $4+2(3)=2a \Rightarrow 2a=10$. समीकरण: $x+2y-10=0$ (विकल्प $IV$).
$B$. केंद्रक $G = (\frac{10}{3}, -\frac{2}{3})$. परिकेंद्र $O = (\frac{21}{4}, -\frac{5}{4})$. $G$ और $O$ से गुजरने वाली रेखा $7x+23y-8=0$ है (विकल्प $II$).
$C$. $x-y+2=0$ के लंबवत रेखा की ढाल $-1$ है। समीकरण: $y-0 = -1(x - (-3/5)) \Rightarrow 5x+5y+3=0$ (विकल्प $V$).
$D$. अभिलंब रूप: $x \cos 45^{\circ} + y \sin 45^{\circ} = 2 \Rightarrow x+y-2\sqrt{2}=0$ (विकल्प $I$).

(D) $a_1x+b_1y+c_1=0$,$a_1x+b_1y+c_2=0$,$a_2x+b_2y+d_1=0$ और $a_2x+b_2y+d_2=0$ रेखाओं द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \left| \frac{(c_1-c_2)(d_1-d_2)}{a_1b_2-a_2b_1} \right|$ है।
यहाँ,रेखाएँ $ax+by+2=0$,$ax+by+5=0$,$cx+dy+3=0$ और $cx+dy+7=0$ हैं।
सूत्र से तुलना करने पर,$c_1=2, c_2=5, d_1=3, d_2=7, a_1=a, b_1=b, a_2=c, b_2=d$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \left| \frac{(2-5)(3-7)}{ad-bc} \right|$
$\text{Area} = \left| \frac{(-3)(-4)}{ad-bc} \right|$
$\text{Area} = \frac{12}{|ad-bc|}$ वर्ग इकाई।

(A) माना रेखा $L$ के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई रेखाओं की ढाल $n$ है।
रेखा $L$ की ढाल $m=1$ दी गई है।
दो रेखाओं जिनकी ढाल $m$ और $n$ है,उनके बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{n-m}{1+nm} \right|$ सूत्र का उपयोग करने पर।
मान रखने पर,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{n-1}{1+n} \right| = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(n-1)^2}{(n+1)^2} = 3$.
$(n-1)^2 = 3(n+1)^2
$ $\Rightarrow n^2 - 2n + 1 = 3n^2 + 6n + 3
$ $\Rightarrow 2n^2 + 8n + 2 = 0
$ $\Rightarrow n^2 + 4n + 1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण के मूल दो रेखाओं की ढाल को दर्शाते हैं।
ढालों का गुणनफल अचर पद और $n^2$ के गुणांक का अनुपात होता है,जो $\frac{1}{1} = 1$ है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $x^2-xy+y^2+3x+3y-2=0$ $(i)$ और रेखा समीकरण: $x+2y=k$,जिसका अर्थ है $\frac{x+2y}{k}=1$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ के लिए शर्त ज्ञात करने हेतु,हम रेखा समीकरण का उपयोग करके वक्र समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं:
$x^2-xy+y^2+(3x+3y)\left(\frac{x+2y}{k}\right)-2\left(\frac{x+2y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2x^2-k^2xy+k^2y^2+3k(x^2+3xy+2y^2)-2(x^2+4xy+4y^2)=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2(k^2+3k-2) + xy(-k^2+9k-8) + y^2(k^2+6k-8) = 0$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(k^2+3k-2) + (k^2+6k-8) = 0$.
$2k^2+9k-10=0$.

(B) $23x^2 - 48xy + 3y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं का युग्म $y = m_1x$ और $y = m_2x$ है।
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 23, 2h = -48, b = 3$ प्राप्त होता है।
ढाल का योग $m_1 + m_2 = 16$ और गुणनफल $m_1m_2 = 23/3$ है।
ढाल का अंतर $|m_1 - m_2| = 26/\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = \sqrt{3}$ अर्थात $\theta = 60^{\circ}$ है।
तीसरी रेखा $2x + 3y + 4 = 0$ की ढाल $m_3 = -2/3$ है।
गणना करने पर,यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज बनता है।

(C) समांतर चतुर्भुज की दो भुजाओं को दर्शाने वाली रेखाओं का युग्म $2x^2+3xy-2y^2=0$ है।
इसे $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=2, b=-2, h=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया विकर्ण $3x+y=-1$ है,जिसे $lx+my=1$ के रूप में लिखने पर $l=3, m=1$ प्राप्त होता है।
समांतर चतुर्भुज के दूसरे विकर्ण का सूत्र $y(bl-hm) = x(am-hl)$ है।
मान रखने पर:
$y((-2)(3) - (\frac{3}{2})(1)) = x((2)(1) - (\frac{3}{2})(3))$
$y(-6 - \frac{3}{2}) = x(2 - \frac{9}{2})$
$y(-\frac{15}{2}) = x(-\frac{5}{2})$
$15y = 5x$
$3y = x \Rightarrow x-3y=0$.

(C) माना रेखा $x+y+3=0$ पर बिंदु $(x, y)$ है। अतः,$y = -x-3$। बिंदु $(x, -x-3)$ है।
इस बिंदु की रेखा $x+2y+2=0$ से दूरी $\frac{|x+2(-x-3)+2|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{5}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{|x-2x-6+2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies |-x-4| = 5$.
$|x+4| = 5 \implies x+4 = 5$ या $x+4 = -5$.
अतः,$x_1 = 1$ और $x_2 = -9$।
$|x_1-x_2| = |1 - (-9)| = |10| = 10$.

(C) रेखाखंड $PQ$ को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $R$ के निर्देशांक:
$R = \left(\frac{4(1)+1(2)}{4+1}, \frac{4(1)+1(-1)}{4+1}\right) = \left(\frac{6}{5}, \frac{3}{5}\right)$
चूंकि बिंदु $R$,रेखा $L \equiv 3x+4y-k=0$ पर स्थित है:
$3\left(\frac{6}{5}\right) + 4\left(\frac{3}{5}\right) - k = 0 \Rightarrow k=6$
अतः,$L \equiv 3x+4y-6=0$.
रेखा $PQ$ का समीकरण:
$2x+y-3=0$
संगामी रेखाओं का परिवार:
$(3x+4y-6) + \lambda(2x+y-3) = 0$
रेखा $y=x$ के समानांतर होने के कारण इसका ढाल $1$ है:
$-\frac{3+2\lambda}{4+\lambda} = 1 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{3}$
मान रखने पर:
$5x-5y-3=0$

(D) सबसे पहले,$L_1: 2x + 3y + 6 = 0$ और $L_2: 3x - y - 13 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
$L_2$ को $3$ से गुणा करने पर: $9x - 3y - 39 = 0$.
$L_1$ में जोड़ने पर: $(2x + 3y + 6) + (9x - 3y - 39) = 0$ $\Rightarrow 11x - 33 = 0$ $\Rightarrow x = 3$.
$x = 3$ को $L_2$ में रखने पर: $3(3) - y - 13 = 0$ $\Rightarrow 9 - y - 13 = 0$ $\Rightarrow y = -4$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -4)$ है।
$3x - 4y + 5 = 0$ के समांतर रेखा का रूप $3x - 4y + k = 0$ होता है।
चूंकि यह रेखा $(3, -4)$ से गुजरती है,निर्देशांक रखने पर:
$3(3) - 4(-4) + k = 0$ $\Rightarrow 9 + 16 + k = 0$ $\Rightarrow 25 + k = 0$ $\Rightarrow k = -25$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x - 4y - 25 = 0$ है।

(B) तीन रेखाएँ $a_1x+b_1y+c_1=0$,$a_2x+b_2y+c_2=0$,और $a_3x+b_3y+c_3=0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो: $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$.
दी गई रेखाएँ $x+ay+a=0$,$bx+y+b=0$,और $cx+cy+1=0$ हैं।
संगामी होने की शर्त $\begin{vmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 0$.
$1 - bc - ab + abc + abc - ac = 0$,जो सरल होकर $ab+bc+ca - 2abc = 1$ हो जाता है।
मान लीजिए $S = \frac{a}{a-1} + \frac{b}{b-1} + \frac{c}{c-1}$.
$S = \frac{a(b-1)(c-1) + b(a-1)(c-1) + c(a-1)(b-1)}{(a-1)(b-1)(c-1)}$.
अंश का विस्तार करने पर: $a(bc-b-c+1) + b(ac-a-c+1) + c(ab-a-b+1) = 3abc - 2(ab+bc+ca) + (a+b+c)$.
हर का विस्तार करने पर: $(ab-a-b+1)(c-1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 = abc - (ab+bc+ca) + (a+b+c) - 1$.
$ab+bc+ca = 1+2abc$ का उपयोग करने पर,अंश $3abc - 2(1+2abc) + (a+b+c) = -abc + (a+b+c) - 2$ हो जाता है।
हर $abc - (1+2abc) + (a+b+c) - 1 = -abc + (a+b+c) - 2$ हो जाता है।
अतः,$S = \frac{-abc + (a+b+c) - 2}{-abc + (a+b+c) - 2} = 1$.

(C) माना रेखाएं $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y - 1 = 0$ और $L_3: ax + by - 1 = 0$ हैं। मूलबिंदु $(0, 0)$ लंबकेंद्र है।
$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $L_3$ पर डाला गया शीर्षलंब मूलबिंदु से होकर गुजरता है।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ है।
$(-1, 1)$ और $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $x + y = 0$ है।
चूंकि यह रेखा $L_3$ पर लंब है,इसलिए $L_3$ की ढाल $-a/b$ है।
$x + y = 0$ की ढाल $-1$ है। अतः,$(-a/b) \times (-1) = -1$,जिसका अर्थ है $a/b = -1$,यानी $a = -b$.
इसी प्रकार,$L_2$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $L_1$ पर डाला गया शीर्षलंब मूलबिंदु से गुजरता है।
गणना करने पर $a = -8$ और $b = 8$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P(x, y)$ है। दी गई शर्त $PA + PB = 4$ है।
$\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} + \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2} = 4$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + (y+1)^2 + (x+1)^2 + (y-1)^2 + 2\sqrt{((x-1)^2 + (y+1)^2)((x+1)^2 + (y-1)^2)} = 16$
$2(x^2 + y^2 + 2) + 2\sqrt{(x^2 + y^2 + 2 - 2x + 2y)(x^2 + y^2 + 2 + 2x - 2y)} = 16$
$(x^2 + y^2 + 2) + \sqrt{(x^2 + y^2 + 2)^2 - (2x - 2y)^2} = 8$
$\sqrt{(x^2 + y^2 + 2)^2 - 4(x - y)^2} = 8 - (x^2 + y^2 + 2)$
पुनः वर्ग करने पर:
$(x^2 + y^2 + 2)^2 - 4(x - y)^2 = (6 - (x^2 + y^2))^2$
$(x^2 + y^2 + 2)^2 - (x^2 + y^2 - 6)^2 = 4(x - y)^2$
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$((x^2 + y^2 + 2) - (x^2 + y^2 - 6))((x^2 + y^2 + 2) + (x^2 + y^2 - 6)) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$(8)(2x^2 + 2y^2 - 4) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$16(x^2 + y^2 - 2) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$4x^2 + 4y^2 - 8 = x^2 + y^2 - 2xy$
$3x^2 + 2xy + 3y^2 = 8$

(B) माना बिंदु $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं। चर रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(\alpha, \beta)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} = 1$ है।
$\triangle OAB$ का केंद्रक $(h, k)$ है,जहाँ $h = \frac{a}{3}$ और $k = \frac{b}{3}$ है।
अतः,$a = 3h$ और $b = 3k$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{\alpha}{3h} + \frac{\beta}{3k} = 1$।
$3hk$ से गुणा करने पर,$\alpha k + \beta h = 3hk$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $\beta x + \alpha y - 3xy = 0$ है।

(C) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y=mx$ है,जो समांतर रेखाओं $x-y+10=0$ और $x-y+20=0$ को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है।
बिंदु $A$ के लिए: $x-mx+10=0 \Rightarrow x=\frac{10}{m-1}, y=\frac{10m}{m-1}$.
अतः,$OA = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|m-1|}$.
इसी प्रकार,बिंदु $B$ के लिए: $OB = \frac{20\sqrt{1+m^2}}{|m-1|}$.
माना $P(h, k)$,$y=mx$ पर एक बिंदु है,इसलिए $m=\frac{k}{h}$ और $OP = \sqrt{h^2+k^2}$.
चूंकि $OA, OP, OB$ हरात्मक श्रेणी में हैं,$\frac{2}{OP} = \frac{1}{OA} + \frac{1}{OB}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{1+m^2}} \cdot \frac{3}{20}$.
$m = \frac{k}{h}$ रखने पर,हमें $3(k-h) = 40$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $3x-3y+40=0$ है।

(A) चतुर्भुज $PABC$ का क्षेत्रफल $\triangle ABC$ और $\triangle PAC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 3.5$ वर्ग इकाई।
अतः,$\triangle PAC$ का क्षेत्रफल $= 10 - 3.5 = 6.5$ वर्ग इकाई।
$P(x,y)$ के लिए,$\frac{1}{2} |4x - 3y - 11| = 6.5$
$|4x - 3y - 11| = 13$।
इस समीकरण का वर्ग करने पर $(4x - 3y - 11)^2 = 169$ प्राप्त होता है,जो विकल्पों के अनुरूप है।

(A) मान लीजिए बिंदुओं के निर्देशांक $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ हैं। मान लीजिए $P(x, y)$ एक चर बिंदु है।
दी गई शर्त $PA^2 + PB^2 = 2PC^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = 2[(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2]$.
पदों का विस्तार करने पर: $(x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2) + (x^2 - 2xx_2 + x_2^2 + y^2 - 2yy_2 + y_2^2) = 2(x^2 - 2xx_3 + x_3^2 + y^2 - 2yy_3 + y_3^2)$.
समीकरण को सरल करने पर: $2x^2 + 2y^2 - 2x(x_1 + x_2) - 2y(y_1 + y_2) + x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 2x^2 + 2y^2 - 4xx_3 - 4yy_3 + 2x_3^2 + 2y_3^2$.
$x^2$ और $y^2$ के पद कट जाते हैं,जिससे $x$ और $y$ में $Ax + By + C = 0$ के रूप का एक रैखिक समीकरण प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ का बिंदुपथ एक सरल रेखा है।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4 = 0$ है।
इसके गुणनखंड करने पर:
$2x^2 + x(6 - y) - (3y^2 - y - 4) = 0$.
$x$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{y-6 \pm (5y-2)}{4}$.
इससे दो रेखाएं प्राप्त होती हैं:
$L_1: 2x - 3y + 4 = 0$.
$L_2: x + y + 1 = 0$.
बिंदु $(-1, 5)$ से $2x - 3y + 4 = 0$ पर लंब की लंबाई $P_1 = \sqrt{13}$ है।
बिंदु $(-1, 5)$ से $x + y + 1 = 0$ पर लंब की लंबाई $P_2 = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।
लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $P_1 \times P_2 = \sqrt{13} \times \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{65}{\sqrt{26}}$ है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $x^2 - 4xy + y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, h = -2, b = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखाओं पर लंबवत दूरियों का गुणनफल $d_1 d_2 = \frac{|ax_1^2 + 2hx_1y_1 + by_1^2|}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x_1 = 1, y_1 = -1, a = 1, h = -2, b = 1$.
$d_1 d_2 = \frac{|1(1)^2 + 2(-2)(1)(-1) + 1(-1)^2|}{\sqrt{(1-1)^2 + 4(-2)^2}} = \frac{|1 + 4 + 1|}{\sqrt{0 + 16}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $x^2-y^2+2y-1=0$ है।
इसे $x^2-(y-1)^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका गुणनखंड $(x-y+1)(x+y-1)=0$ है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: x+y-1=0$ हैं।
इन रेखाओं के कोणीय समद्विभाजक $\frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \pm \frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}}$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो सरल होकर $x-y+1 = \pm(x+y-1)$ हो जाते हैं।
स्थिति $1$: $x-y+1 = x+y-1$ $\Rightarrow 2y=2$ $\Rightarrow y=1$.
स्थिति $2$: $x-y+1 = -(x+y-1)$ $\Rightarrow x-y+1 = -x-y+1$ $\Rightarrow 2x=0$ $\Rightarrow x=0$.
त्रिभुज रेखा $x+y=3$ और रेखाओं $x=0$ तथा $y=1$ द्वारा निर्मित होता है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x=0$ और $y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,1)$ है।
$2$. $x=0$ और $x+y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,3)$ है।
$3$. $y=1$ और $x+y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,1)$ है।
शीर्ष $(0,1), (0,3),$ और $(2,1)$ हैं।
$y$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $|3-1|=2$ इकाई है।
शीर्ष $(2,1)$ से $y$-अक्ष तक त्रिभुज की ऊँचाई $|2-0|=2$ इकाई है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ वर्ग इकाई।

(C) माना दो रेखाएँ $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ और $L_2: ax + by + c = 0$ हैं। रेखा $L: 2x + 3y + 1 = 0$ कोण समद्विभाजक है।
सबसे पहले,$L_1$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$3x + 2y = -4$ ($3$ से गुणा करने पर $9x + 6y = -12$)
$2x + 3y = -1$ ($2$ से गुणा करने पर $4x + 6y = -2$)
समीकरणों को घटाने पर: $(9x - 4x) = -12 - (-2)$ $\Rightarrow 5x = -10$ $\Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ को $2x + 3y + 1 = 0$ में रखने पर: $2(-2) + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow -4 + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 3y = 3$ $\Rightarrow y = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ है।
कोण समद्विभाजक $L$,$L_1$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है। दूसरी रेखा $L_2$ को भी $L$ के साथ दूसरी तरफ समान कोण $\theta$ बनाना चाहिए।
$L_1$ की ढाल $m_1 = -3/2$ है। $L$ की ढाल $m = -2/3$ है। माना $L_2$ की ढाल $m_2$ है।
$L_1$ और $L$ के बीच का कोण $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)| = |(-2/3 - (-3/2)) / (1 + (-2/3)(-3/2))| = |(-4/6 + 9/6) / (1 + 1)| = |(5/6) / 2| = 5/12$ द्वारा दिया गया है।
चूँकि $L$ कोण को समद्विभाजित करता है,$\tan \theta = |(m_2 - m) / (1 + m_2 \cdot m)| = 5/12$.
$|(m_2 + 2/3) / (1 - 2m_2/3)| = 5/12 \Rightarrow |(3m_2 + 2) / (3 - 2m_2)| = 5/12$.
स्थिति $1$: $(3m_2 + 2) / (3 - 2m_2) = 5/12$ $\Rightarrow 36m_2 + 24 = 15 - 10m_2$ $\Rightarrow 46m_2 = -9$ $\Rightarrow m_2 = -9/46$.
$(-2, 1)$ बिंदु का उपयोग करके: $y - 1 = (-9/46)(x + 2)$ $\Rightarrow 46y - 46 = -9x - 18$ $\Rightarrow 9x + 46y - 28 = 0$.

(D) दिया गया समीकरण $3x^2+7xy+2y^2+2gx+2fy+2=0$ रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है,अतः शर्त $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ के अनुसार:
$6f^2 + 4g^2 - 14fg = -25$ ---$(i)$
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरण का $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$6x+7y+2g = 0$ ---(ii)
$7x+4y+2f = 0$ ---(iii)
इन समीकरणों को हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\frac{8g-14f}{25}, \frac{12f-14g}{25}\right)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु से दूरी का वर्ग $\frac{2}{5}$ होने के कारण:
$\left(\frac{8g-14f}{25}\right)^2 + \left(\frac{12f-14g}{25}\right)^2 = \frac{2}{5}$
सरल करने पर $26g^2 + 34f^2 - 56fg = 25$ प्राप्त होता है। ---(iv)
समीकरण $(i)$ और (iv) को हल करने पर:
$10g^2 + 10f^2 = 125$
अतः,$f^2 + g^2 = \frac{25}{2}$

(C) दिया गया समीकरण $4xy + 6x - 8y + c = 0$ है।
इसे $(x - 2)(y + 1.5) = \frac{12 - c}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
आयत की भुजाएँ $x = 2$ और $y = -1.5$ हैं।
आयत का क्षेत्रफल $|2 \times (-1.5)| = 3$ है।
विकल्प $C$ के अनुसार,$|c|/4 = 12/4 = 3$ है,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण $4xy + 6x - 8y + c = 0$ है।
इस समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2y + 3)(x - 2) = -\frac{12 + c}{2}$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के निर्देशांक अक्षों के साथ आयत बनाने के लिए,रेखाएँ $x = 2$ और $y = -1.5$ के रूप में होनी चाहिए।
आयत की भुजाएँ $2$ और $1.5$ हैं।
अतः,क्षेत्रफल $2 \times 1.5 = 3$ है।
यहाँ $c = -12$ है,इसलिए $|c/4| = |-12/4| = 3$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(h, h)$ और त्रिज्या $|h|$ है।
यह दिया गया है कि वृत्त रेखा $3x - 4y - 12 = 0$ को भी स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(h, h)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $|h|$ के बराबर होनी चाहिए।
$\therefore \left|\frac{3h - 4h - 12}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right| = |h|$
$\Rightarrow \left|\frac{-h - 12}{5}\right| = |h|$
$\Rightarrow |-h - 12| = 5|h|$
स्थिति $1$: $-h - 12 = 5h$ $\Rightarrow 6h = -12$ $\Rightarrow h = -2$.
स्थिति $2$: $-h - 12 = -5h$ $\Rightarrow 4h = 12$ $\Rightarrow h = 3$.
$h = 3$ के लिए,समीकरण $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$ है।
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 9$
$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 9 = 0$.

(A) दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2 r_1 r_2}$ है।
$(A)$ $(x-2)^2+y^2=2$ $(r_1=\sqrt{2}, c_1=(2,0))$ और $(x-2)^2+(y-1)^2=1$ $(r_2=1, c_2=(2,1))$।
$d^2 = (2-2)^2 + (1-0)^2 = 1$.
$\cos \theta = \frac{2+1-1}{2 \times \sqrt{2} \times 1} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta = 45^{\circ}$ या $135^{\circ}$। अतः,$(A)$ का मिलान $II$ से होता है।
$(B)$ $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ $(r_1=\sqrt{3^2+3^2-9}=3, c_1=(3,3))$ और $x^2+y^2-4x+4y-9=0$ $(r_2=\sqrt{2^2+(-2)^2-(-9)}=\sqrt{17}, c_2=(2,-2))$।
$d^2 = (3-2)^2 + (3-(-2))^2 = 1^2 + 5^2 = 26$.
$\cos \theta = \frac{9+17-26}{2 \times 3 \times \sqrt{17}} = 0$.
$\theta = 90^{\circ}$। अतः,$(B)$ का मिलान $I$ से होता है।
$(C)$ $x^2+y^2+4x-14y+28=0$ $(r_1=\sqrt{(-2)^2+7^2-28}=5, c_1=(-2,7))$ और $x^2+y^2+4x-5=0$ $(r_2=\sqrt{(-2)^2+0^2-(-5)}=3, c_2=(-2,0))$।
$d^2 = (-2-(-2))^2 + (7-0)^2 = 49$.
$\cos \theta = \frac{25+9-49}{2 \times 5 \times 3} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
$\theta = 120^{\circ}$ या $60^{\circ}$। अतः,$(C)$ का मिलान $III$ से होता है।
अतः,सही मिलान $A-II, B-I, C-III$ है।

(A) समानांतर रेखाओं $3x - 4y - 10 = 0$ और $3x - 4y + 30 = 0$ के बीच की दूरी वृत्त का व्यास है।
व्यास $d = \frac{|30 - (-10)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{40}{5} = 8$.
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 4$.
केंद्र $(h, k)$ रेखा $x + 2y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $h = -2k$.
केंद्र दोनों समानांतर रेखाओं से समान दूरी पर है। दी गई रेखाओं के बीच की रेखा $3x - 4y + 10 = 0$ है।
$x = -2k$ को $3x - 4y + 10 = 0$ में रखने पर,$3(-2k) - 4k + 10 = 0$ प्राप्त होता है,जो $-10k = -10$ हो जाता है,इसलिए $k = 1$.
अतः $h = -2(1) = -2$. केंद्र $(-2, 1)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$ है।
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 16$.
$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0$.

(B) वर्ग के शीर्ष $A(0,0)$,$B(16,0)$,$C(16,16)$,और $D(0,16)$ हैं।
चूंकि वृत्त वर्ग के परिगत है,इसलिए विकर्ण $AC$ वृत्त का व्यास है।
$A$ के निर्देशांक $(0,0)$ और $C$ के निर्देशांक $(16,16)$ हैं।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$A$ और $C$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-0)(x-16) + (y-0)(y-16) = 0$
$x(x-16) + y(y-16) = 0$
$x^2 - 16x + y^2 - 16y = 0$
$x^2 + y^2 = 16(x+y)$
दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 = 4k(x+y)$ के साथ तुलना करने पर:
$4k = 16$
$k = 4$

(B) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2+6x+4y-12=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=3, f=2, c=-12$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O = (-g, -f) = (-3, -2)$.
त्रिज्या $R = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+2^2-(-12)} = \sqrt{9+4+12} = \sqrt{25} = 5$.
माना $P = (2, -14)$ है। दूरी $OP = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-14 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
न्यूनतम दूरी $d = OP - R = 13 - 5 = 8$.
स्पर्श रेखा की लंबाई $l = \sqrt{OP^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
अतः,$\sqrt{d+l} = \sqrt{8+12} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x-10y-7=0$ है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=2$,$f=-5$,और $c=-7$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (-2, 5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{2^2+(-5)^2-(-7)} = \sqrt{4+25+7} = \sqrt{36} = 6$ है।
माना $P$ बिंदु $(4, -3)$ है। केंद्र $C(-2, 5)$ और बिंदु $P(4, -3)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।
बिंदु से वृत्त की न्यूनतम दूरी $|d - r| = |10 - 6| = 4$ है।
बिंदु से वृत्त की अधिकतम दूरी $d + r = 10 + 6 = 16$ है।
न्यूनतम और अधिकतम दूरियों का योग $4 + 16 = 20$ है।

(D) माना वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ के सापेक्ष स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$xx_1 + yy_1 - 2(x + x_1) - 3(y + y_1) + 4 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(x_1 - 2)x + (y_1 - 3)y + (4 - 2x_1 - 3y_1) = 0$ $(i)$
चूँकि यह रेखा $4x + 4y - 11 = 0$ को दर्शाती है,इसलिए गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{x_1 - 2}{4} = \frac{y_1 - 3}{4} = \frac{4 - 2x_1 - 3y_1}{-11} = K$
इससे,$x_1 = 4K + 2$ और $y_1 = 4K + 3$ प्राप्त होता है।
तीसरे अनुपात में मान रखने पर:
$\frac{4 - 2(4K + 2) - 3(4K + 3)}{-11} = K$
$\frac{-20K - 9}{-11} = K$ $\Rightarrow -20K - 9 = -11K$ $\Rightarrow K = -1$
$x_1 = 4(-1) + 2 = -2$ और $y_1 = 4(-1) + 3 = -1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -1)$ है।

(D) माना दो वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x+8y+5=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2-4x+8y+5) - (x^2+y^2+2x+4y-3) = 0$
$-6x+4y+8=0 \Rightarrow 3x-2y-4=0$.
अतः,रेखा का समीकरण $3x-2y=4$ या $\frac{3x-2y}{4}=1$ है।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म को प्राप्त करने के लिए,हम रेखा समीकरण का उपयोग करके $S_2$ के समीकरण का समघातीकरण (homogenization) करते हैं:
$x^2+y^2+(2x+4y)(1) - 3(1)^2 = 0$
$x^2+y^2+(2x+4y)(\frac{3x-2y}{4}) - 3(\frac{3x-2y}{4})^2 = 0$
हर को हटाने के लिए $16$ से गुणा करने पर:
$16(x^2+y^2) + 4(2x+4y)(3x-2y) - 3(9x^2+4y^2-12xy) = 0$
$16x^2+16y^2 + 4(6x^2+8xy-8y^2) - 27x^2-12y^2+36xy = 0$
$13x^2+68xy-28y^2=0$.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ $(c>0)$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ है।
चूंकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र की अक्षों से दूरी त्रिज्या के बराबर है,अतः $|-g| = |-f| = r = \sqrt{c}$।
चूंकि वृत्त तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए केंद्र $(-\sqrt{c}, -\sqrt{c})$ होगा।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x+\sqrt{c})^2 + (y+\sqrt{c})^2 = c$ है।
वृत्त $x$-अक्ष को $(-\sqrt{c}, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, -\sqrt{c})$ पर स्पर्श करता है।
मान लीजिए ये बिंदु $A(-\sqrt{c}, 0)$ और $B(0, -\sqrt{c})$ हैं।
हम जाँचते हैं कि क्या ये बिंदु रेखा $x+y+\sqrt{c}=0$ पर स्थित हैं:
बिंदु $A$ के लिए: $-\sqrt{c} + 0 + \sqrt{c} = 0$ (सत्य)।
बिंदु $B$ के लिए: $0 - \sqrt{c} + \sqrt{c} = 0$ (सत्य)।
अतः,रेखा द्वारा वृत्त पर अंतःखंडित जीवा रेखाखंड $AB$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $\sqrt{(0 - (-\sqrt{c}))^2 + (-\sqrt{c} - 0)^2} = \sqrt{(\sqrt{c})^2 + (-\sqrt{c})^2} = \sqrt{c+c} = \sqrt{2c}$ है।

(A) दो रेखाओं $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी होने की शर्त $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (g a_1 + f b_1 - c_1)(g a_2 + f b_2 - c_2)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ के लिए,$g = -2$,$f = 3/2$,और $c = -1$ है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = g^2 + f^2 - c = (-2)^2 + (3/2)^2 - (-1) = 4 + 9/4 + 1 = 29/4$ है।
रेखा $L_1: 2x + y + 12 = 0$ के लिए,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 12$ है।
रेखा $L_2: kx - 3y - 10 = 0$ के लिए,$a_2 = k, b_2 = -3, c_2 = -10$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{29}{4}(2k - 3) = (-2(2) + \frac{3}{2}(1) - 12)(-2(k) + \frac{3}{2}(-3) - (-10))$
$\frac{29}{4}(2k - 3) = (-14.5)(-2k + 5.5)$
$\frac{1}{2}(2k - 3) = -(-2k + 5.5)$
$k - 1.5 = 2k - 5.5$
$k = 4$.

(D) हम जानते हैं कि $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ होती है।
माना $P = (h, k)$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $2:1$ है:
$\frac{\sqrt{h^2+k^2-2h+4k-20}}{\sqrt{h^2+k^2-2h-8k+1}} = \frac{2}{1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{h^2+k^2-2h+4k-20}{h^2+k^2-2h-8k+1} = 4$
$h^2+k^2-2h+4k-20 = 4(h^2+k^2-2h-8k+1)$
$h^2+k^2-2h+4k-20 = 4h^2+4k^2-8h-32k+4$
$3h^2+3k^2-6h-36k+24 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$h^2+k^2-2h-12k+8 = 0$
अतः,$P$ का बिंदुपथ $x^2+y^2-2x-12y+8=0$ है।

(B) माना $(h, k)$ रेखा $9x + y - 28 = 0$ का वृत्त $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$ के सापेक्ष ध्रुव है।
ध्रुवीय रेखा का समीकरण $hx + ky - \frac{3}{4}(x + h) + \frac{5}{4}(y + k) - \frac{7}{2} = 0$ है।
इसे सरल करने पर $x(4h - 3) + y(4k + 5) - 3h + 5k - 14 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह रेखा और $9x + y - 28 = 0$ समान हैं,इसलिए गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{-3h + 5k - 14}{-28} = \lambda$.
हल करने पर $\lambda = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $h = 3$ और $k = -1$ मिलता है।
अतः,ध्रुव $(3, -1)$ है।

(D) दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर उनकी त्रिज्याओं के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करती हैं।
दिए गए वृत्तों $(x+11)^2+(y-2)^2=15^2$ और $(x-11)^2+(y+2)^2=5^2$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-11, 2)$ और $C_2 = (11, -2)$ हैं और त्रिज्याएं $r_1 = 15$ और $r_2 = 5$ हैं।
त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 15 : 5 = 3 : 1$ है।
बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{15(11) - 5(-11)}{15 - 5} = \frac{165 + 55}{10} = 22$
$y = \frac{15(-2) - 5(2)}{15 - 5} = \frac{-30 - 10}{10} = -4$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(22, -4)$ है।

(C) बिंदु $P(0, b)$ से वृत्त $x^2+y^2=16$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ के अनुसार $(x^2+y^2-16)(b^2-16) = (by-16)^2$ है।
$X$-अक्ष पर बिंदुओं $A$ और $B$ के लिए,समीकरण में $y=0$ रखने पर:
$(x^2-16)(b^2-16) = (-16)^2 = 256$
$x^2-16 = \frac{256}{b^2-16}$
$x^2 = \frac{16b^2}{b^2-16} \Rightarrow x = \pm \frac{4b}{\sqrt{b^2-16}}$
अतः,$A$ और $B$ के निर्देशांक $(\pm \frac{4b}{\sqrt{b^2-16}}, 0)$ हैं।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{8b}{\sqrt{b^2-16}} \right) \times |b| = \frac{4b^2}{\sqrt{b^2-16}}$.
क्षेत्रफल को न्यूनतम करने के लिए,$b$ के सापेक्ष अवकलन करके $0$ के बराबर रखने पर:
$\frac{d\Delta}{db} = 0 \Rightarrow b^2 = 32$.
$b^2=32$ के लिए,$x$-निर्देशांक $\pm 4\sqrt{2}$ प्राप्त होते हैं।
शीर्ष $P(0, 4\sqrt{2})$,$A(4\sqrt{2}, 0)$ और $B(-4\sqrt{2}, 0)$ हैं।
अतः,परिवृत्त का समीकरण $x^2+y^2=32$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-12x-16y=0$ है। इसका केंद्र $C(6, 8)$ और त्रिज्या $r = 10$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए केंद्र से जीवा पर लंब की दूरी $d = r \sin(30^{\circ}) = 10 \times \frac{1}{2} = 5$ होगी।
रेखा $5x-5y+k=0$ की केंद्र $(6, 8)$ से दूरी $d = \frac{|5(6)-5(8)+k|}{\sqrt{5^2+(-5)^2}} = \frac{|k-10|}{5\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\frac{|k-10|}{5\sqrt{2}} = 5 \Rightarrow |k-10| = 25\sqrt{2}$।
इस प्रकार,$k = 10 \pm 25\sqrt{2} = 5(2 \pm 5\sqrt{2})$।

(A) माना वृत्तों के समीकरण $S_1 \equiv x^2+y^2-4x-6y-12=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+6x+18y+26=0$ हैं।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S}$ होती है।
स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $2:3$ दिया गया है,अतः:
$\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12}}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26}} = \frac{2}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12}{x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26} = \frac{4}{9}$
वज्र-गुणन करने पर:
$9(x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12) = 4(x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26)$
$9x_1^2+9y_1^2-36x_1-54y_1-108 = 4x_1^2+4y_1^2+24x_1+72y_1+104$
$5x_1^2+5y_1^2-60x_1-126y_1-212 = 0$
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $5x^2+5y^2-60x-126y-212=0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $g\left(\frac{t+1}{2 t+1}\right)=t+1$.
माना $x = \frac{t+1}{2 t+1}$.
तब $x(2t+1) = t+1 \Rightarrow 2tx + x = t+1 \Rightarrow t(2x-1) = 1-x$.
अतः,$t = \frac{1-x}{2x-1}$.
$g(x) = t+1$ में $t$ का मान रखने पर:
$g(x) = \frac{1-x}{2x-1} + 1 = \frac{1-x+2x-1}{2x-1} = \frac{x}{2x-1}$.
अब,$\int g(x) dx = \int \frac{x}{2x-1} dx$.
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x}{2x-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1+1}{2x-1} dx$.
$= \frac{1}{2} \int \left(1 + \frac{1}{2x-1}\right) dx$.
$= \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{2} \log _e|2x-1|\right) + C$.
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \log _e|2x-1| + C$.

(D) हमें समाकलन $I = \int \frac{x^4+1}{1+x^6} dx$ का मान ज्ञात करना है।
अंश को $x^4+1 = (x^4 - x^2 + 1) + x^2$ के रूप में विभाजित करें।
अतः,$I = \int \frac{x^4 - x^2 + 1}{1+x^6} dx + \int \frac{x^2}{1+x^6} dx$।
माना $I_1 = \int \frac{x^4 - x^2 + 1}{1+(x^2)^3} dx$ और $I_2 = \int \frac{x^2}{1+(x^3)^2} dx$।
$I_1$ के लिए,सर्वसमिका $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ का उपयोग करें:
$I_1 = \int \frac{x^4 - x^2 + 1}{(1+x^2)(x^4 - x^2 + 1)} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x$।
$I_2$ के लिए,$x^3 = t$ लें,तो $3x^2 dx = dt$,इसलिए $x^2 dx = \frac{dt}{3}$:
$I_2 = \int \frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \tan^{-1} t = \frac{1}{3} \tan^{-1} (x^3)$।
इन दोनों को जोड़ने पर,$I = I_1 + I_2 = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} (x^3) + C$।

(C) माना $I = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{a^3-x^3}} dx$ है।
$t = x^{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} dt$।
साथ ही,$t^2 = (x^{\frac{3}{2}})^2 = x^3$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{a^3 - t^2}} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{(\sqrt{a^3})^2 - t^2}}$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{A^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{A}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{a^3}}\right) + c$।
$t = x^{\frac{3}{2}}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}}\right) + c = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\right) + c$।
अतः,$P(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\right)$।

(D) माना $I = \int \operatorname{Tan}^{-1}\left(x^{\frac{1}{3}}\right) d x$.
$x = t^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 3t^2 dt$ प्राप्त होता है।
$I = \int \operatorname{Tan}^{-1}(t) \cdot 3t^2 dt = 3 \int t^2 \operatorname{Tan}^{-1}(t) dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \operatorname{Tan}^{-1}(t)$ और $dv = t^2 dt$ लेने पर,
$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ और $v = \frac{t^3}{3}$ प्राप्त होता है।
$I = 3 \left[ \frac{t^3}{3} \operatorname{Tan}^{-1}(t) - \int \frac{t^3}{3(1+t^2)} dt \right] = t^3 \operatorname{Tan}^{-1}(t) - \int \frac{t^3}{1+t^2} dt$.
चूंकि $\frac{t^3}{1+t^2} = \frac{t(t^2+1)-t}{1+t^2} = t - \frac{t}{1+t^2}$,
$I = t^3 \operatorname{Tan}^{-1}(t) - \int \left( t - \frac{t}{1+t^2} \right) dt = t^3 \operatorname{Tan}^{-1}(t) - \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2} \log(1+t^2) + c$.
$t = x^{\frac{1}{3}}$ रखने पर,$I = x \operatorname{Tan}^{-1}(x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{2} \log(1+x^{\frac{2}{3}}) + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\cos^3 x + \cos^5 x}{\sin^2 x + \sin^4 x} dx$.
$= \int \frac{\cos^3 x (1 + \cos^2 x)}{\sin^2 x (1 + \sin^2 x)} dx$
$= \int \frac{\cos^2 x (1 + \cos^2 x)}{\sin^2 x (1 + \sin^2 x)} \cos x dx$
$= \int \frac{(1 - \sin^2 x) (1 + 1 - \sin^2 x)}{\sin^2 x (1 + \sin^2 x)} \cos x dx$
$= \int \frac{(1 - \sin^2 x) (2 - \sin^2 x)}{\sin^2 x (1 + \sin^2 x)} \cos x dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x dx = dt$.
$I = \int \frac{(1 - t^2) (2 - t^2)}{t^2 (1 + t^2)} dt$
$= \int \frac{t^4 - 3t^2 + 2}{t^2 (1 + t^2)} dt$
$= \int \frac{t^2(t^2 + 1) - 4t^2 + 2}{t^2 (1 + t^2)} dt$
$= \int \left( 1 + \frac{2 - 4t^2}{t^2 (1 + t^2)} \right) dt$
$= \int 1 dt + \int \left( \frac{2}{t^2} - \frac{6}{1 + t^2} \right) dt$
$= t - \frac{2}{t} - 6 \tan^{-1} t + c$
$= \sin x - 2(\sin x)^{-1} - 6 \tan^{-1} (\sin x) + c$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \sec x + \csc x}$.
$= \int \frac{dx}{\left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}\right)}$
$= \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x + \sin x + \cos x} dx$
$= \int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin x + \cos x} dx$
अंश और हर को $(\sin x + \cos x - 1)$ से गुणा करने पर:
$= \int \frac{\sin x \cos x (\sin x + \cos x - 1)}{(\sin x + \cos x)^{2} - 1} dx$
$= \int \frac{\sin x \cos x (\sin x + \cos x - 1)}{\sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x - 1} dx$
$= \int \frac{\sin x \cos x (\sin x + \cos x - 1)}{2 \sin x \cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int (\sin x + \cos x - 1) dx$
$= \frac{1}{2} (-\cos x + \sin x - x) + c$.

(C) हमारे पास $f(x) = \int \csc^5 x \ dx$ है। $\int \csc^n x \ dx$ के लिए रिडक्शन सूत्र का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\int \csc^n x \ dx = -\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \ dx$ होता है।
$n=5$ के लिए,हमें $f(x) = -\frac{\csc^3 x \cot x}{4} + \frac{3}{4} \int \csc^3 x \ dx$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\int \csc^3 x \ dx = -\frac{1}{2} \csc x \cot x + \frac{1}{2} \log |\csc x - \cot x| + C$ होता है।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,$f(x) = -\frac{1}{4} \csc^3 x \cot x + \frac{3}{4} [-\frac{1}{2} \csc x \cot x + \frac{1}{2} \log |\csc x - \cot x|] + c$।
$f(x) = -\frac{1}{4} \csc^3 x \cot x - \frac{3}{8} \csc x \cot x + \frac{3}{8} \log |\csc x - \cot x| + c$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\csc(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ और $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$ होता है।
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{4} (\sqrt{2})^3 (1) - \frac{3}{8} (\sqrt{2})(1) + \frac{3}{8} \log |\sqrt{2} - 1| + c$।
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{3\sqrt{2}}{8} + \frac{3}{8} \log |\sqrt{2} - 1| + c$।
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{4\sqrt{2}}{8} - \frac{3\sqrt{2}}{8} + \frac{3}{8} \log |\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}| + c$।
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{7\sqrt{2}}{8} + \frac{3}{8} \log |\frac{1}{\sqrt{2}+1}| + c = -\frac{7\sqrt{2}}{8} - \frac{3}{8} \log(\sqrt{2}+1) + c$।
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{8} [7\sqrt{2} + 3 \log(\sqrt{2} + 1)] + c$।

(C) हम $\int \operatorname{cosec}^n x \, dx = -\frac{\operatorname{cosec}^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \operatorname{cosec}^{n-2} x \, dx$ के लिए रिडक्शन फॉर्मूला का उपयोग करते हैं।
$n=5$ के लिए,$\int \operatorname{cosec}^5 x \, dx = -\frac{\operatorname{cosec}^3 x \cot x}{4} + \frac{3}{4} \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$.
$n=3$ के लिए,$\int \operatorname{cosec}^3 x \, dx = -\frac{\operatorname{cosec} x \cot x}{2} + \frac{1}{2} \log |\operatorname{cosec} x - \cot x| = -\frac{\operatorname{cosec} x \cot x}{2} + \frac{1}{2} \log |\operatorname{cosec} x - \cot x|$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,$f(x) = -\frac{\operatorname{cosec}^3 x \cot x}{4} + \frac{3}{4} \left( -\frac{\operatorname{cosec} x \cot x}{2} + \frac{1}{2} \log |\operatorname{cosec} x - \cot x| \right) + c$.
$f(x) = -\frac{1}{4} \operatorname{cosec}^3 x \cot x - \frac{3}{8} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{3}{8} \log |\operatorname{cosec} x - \cot x| + c$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\operatorname{cosec} x = \sqrt{2}$ और $\cot x = 1$.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{4} (\sqrt{2})^3 (1) - \frac{3}{8} (\sqrt{2}) (1) + \frac{3}{8} \log |\sqrt{2} - 1| + c$.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{3\sqrt{2}}{8} + \frac{3}{8} \log (\sqrt{2} - 1) + c$.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{8} - \frac{3}{8} \log (\sqrt{2} + 1) + c = -\frac{1}{8} [7\sqrt{2} + 3 \log (\sqrt{2} + 1)] + c$.

(A) माना $I = \int (\log x)^3 x^5 dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (\log x)^3$ और $v = x^5$ है।
$I = (\log x)^3 \frac{x^6}{6} - \int 3(\log x)^2 \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \int x^5 (\log x)^2 dx$।
$\int x^5 (\log x)^2 dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \left[ (\log x)^2 \frac{x^6}{6} - \int 2(\log x) \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx \right] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \int x^5 \log x dx$।
$\int x^5 \log x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \left[ \log x \frac{x^6}{6} - \int \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx \right] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36} \log x - \frac{1}{36} \int x^5 dx$।
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36} \log x - \frac{1}{36} \frac{x^6}{6} + c = x^6 \left[ \frac{(\log x)^3}{6} - \frac{(\log x)^2}{12} + \frac{\log x}{36} - \frac{1}{216} \right] + c$।

(A) हमें $I_n = \int \cot^n x \, dx$ दिया गया है।
$n=5$ के लिए,$I_5 = \int \cot^5 x \, dx$ है।
हम $\cot^5 x = \cot^3 x \cdot \cot^2 x = \cot^3 x (\csc^2 x - 1) = \cot^3 x \csc^2 x - \cot^3 x$ लिख सकते हैं।
अतः,$I_5 = \int \cot^3 x \csc^2 x \, dx - \int \cot^3 x \, dx$।
माना $u = \cot x$,तो $du = -\csc^2 x \, dx$,इसलिए $\int \cot^3 x \csc^2 x \, dx = -\int u^3 \, du = -\frac{u^4}{4} = -\frac{\cot^4 x}{4}$।
अब,$\int \cot^3 x \, dx = \int \cot x (\csc^2 x - 1) \, dx = \int \cot x \csc^2 x \, dx - \int \cot x \, dx$।
$\int \cot x \csc^2 x \, dx = -\frac{\cot^2 x}{2}$ और $\int \cot x \, dx = \log |\sin x|$।
इस प्रकार,$\int \cot^3 x \, dx = -\frac{\cot^2 x}{2} - \log |\sin x|$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_5 = -\frac{\cot^4 x}{4} - (-\frac{\cot^2 x}{2} - \log |\sin x|) + c = -\frac{\cot^4 x}{4} + \frac{\cot^2 x}{2} + \log |\sin x| + c$।

(D) सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2)$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए: $\frac{x}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}$.
$(x-1)^2(x+2)$ से गुणा करने पर: $x = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2$.
$x=1$ रखने पर: $1 = B(3) \Rightarrow B = \frac{1}{3}$.
$x=-2$ रखने पर: $-2 = C(-3)^2 \Rightarrow -2 = 9C \Rightarrow C = -\frac{2}{9}$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + C \Rightarrow A = -C = \frac{2}{9}$.
अतः,समाकलन होगा: $\int \left( \frac{2/9}{x-1} + \frac{1/3}{(x-1)^2} - \frac{2/9}{x+2} \right) dx$.
$= \frac{2}{9} \log |x-1| - \frac{1}{3(x-1)} - \frac{2}{9} \log |x+2| + c$.
$= -\frac{1}{3(x-1)} + \frac{2}{9} \log \left| \frac{x-1}{x+2} \right| + c$.

(B) दिया गया है $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.
अंश और हर को $\sin x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{\sin x dx}{\sin^2 x(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)(1 + 2 \cos x)}$.
माना $\cos x = t$,तो $-\sin x dx = dt$,अतः $I = -\int \frac{dt}{(1-t)(1+t)(1+2t)}$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1-t)(1+t)(1+2t)} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{1+2t}$.
स्थिरांकों का मान निकालने पर: $A = \frac{1}{6}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = -\frac{4}{3}$.
अतः,$I = -\int (\frac{1/6}{1-t} + \frac{1/2}{1+t} - \frac{4/3}{1+2t}) dt = \frac{1}{6} \log |1-t| - \frac{1}{2} \log |1+t| + \frac{2}{3} \log |1+2t| + c$.
$t = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{6} \log |1-\cos x| - \frac{1}{2} \log |1+\cos x| + \frac{2}{3} \log |1+2 \cos x| + c$.

(A) माना समाकल्य $\frac{3x+1}{(x-1)^3(x+1)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2} + \frac{d}{(x-1)^3}$ है।
आंशिक भिन्न अपघटन द्वारा,$3x+1 = a(x-1)^3 + b(x+1)(x-1)^2 + c(x+1)(x-1) + d(x+1)$।
$x=1$ रखने पर,$3(1)+1 = d(1+1) \implies 4 = 2d \implies d=2$।
$x=-1$ रखने पर,$3(-1)+1 = a(-1-1)^3 \implies -2 = -8a \implies a = \frac{1}{4}$।
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = a + b \implies b = -a = -\frac{1}{4}$।
अचर पदों की तुलना करने पर: $1 = a(-1) + b(1) + c(-1) + d(1) \implies 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - c + 2 \implies 1 = \frac{3}{2} - c \implies c = \frac{1}{2}$।
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = \frac{1}{4}$,$B = -\frac{1}{2}$,$C = -1$।
$A+B+C = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1-2-4}{4} = -\frac{5}{4}$।

(C) समाकलन $\int \frac{x^8-9 x^2+18}{x^4-3 x^2+3} d x$ को हल करने के लिए,हम सबसे पहले देखते हैं कि अंश की घात $(8)$ हर की घात $(4)$ से अधिक है।
$x^8-9 x^2+18$ को $x^4-3 x^2+3$ से विभाजित करने पर:
$x^8-9 x^2+18 = (x^4-3 x^2+3)(x^4+3 x^2+6) + 0$.
अतः,समाकलन इस प्रकार हो जाता है:
$\int (x^4+3 x^2+6) d x$.
$x$ के सापेक्ष प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= \int x^4 d x + 3 \int x^2 d x + 6 \int 1 d x$.
$= \frac{x^5}{5} + 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) + 6x + c$.
$= \frac{x^5}{5} + x^3 + 6x + c$.

(D) माना $I = \int \frac{x - 1}{(x + 1) \sqrt{x(x^2 + x + 1)}} dx$ है।
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x$ से विभाजित करने और व्यंजक को समायोजित करने पर:
$I = \int \frac{x - 1}{(x + 1) \sqrt{x^2(x + 1 + \frac{1}{x})}} dx = \int \frac{x - 1}{(x + 1) x \sqrt{x + 1 + \frac{1}{x}}} dx$।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{(1 + \frac{1}{x}) \sqrt{x + 1 + \frac{1}{x}}} dx$।
माना $t = \sqrt{x + 1 + \frac{1}{x}}$ है। तब $t^2 = x + 1 + \frac{1}{x}$,जिससे $2t dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$ प्राप्त होता है।
इस प्रतिस्थापन से समाकलन सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$I = 2 \tan^{-1} \left( \sqrt{x + \frac{1}{x} + 1} \right) + c$।

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-x) \, dx}{\sqrt{1+\cos(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x)}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \, dx}{\sqrt{1+\sin x \cos x}} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} \, dx$
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{2+2\sin x \cos x}} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{3 - (1 - 2\sin x \cos x)}} \, dx$
चूंकि $1 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$ है:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{3 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$
माना $t = \sin x - \cos x$,तब $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$।
सीमाएँ: जब $x=0, t=-1$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t=1$।
$2I = \int_{-1}^1 \frac{\sqrt{2} \, dt}{\sqrt{3-t^2}} = 2 \int_0^1 \frac{\sqrt{2} \, dt}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 - t^2}}$
$I = \sqrt{2} \left[ \sin^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1 = \sqrt{2} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} dx$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \tan(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + \tan(\pi - x)} dx$.
चूंकि $\tan(\pi - x) = -\tan x$ और $\sec(\pi - x) = -\sec x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x)(-\tan x)}{-\sec x - \tan x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \tan x}{\sec x + \tan x} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\tan x}{\sec x + \tan x} dx - I$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x(1 - \sin x)}{\cos^2 x} dx = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec x \tan x - \tan^2 x) dx$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec x \tan x - (\sec^2 x - 1)) dx$.
$2I = \pi [\sec x - \tan x + x]_{0}^{\pi}$.
$2I = \pi [(\sec \pi - \tan \pi + \pi) - (\sec 0 - \tan 0 + 0)]$.
$2I = \pi [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \pi (\pi - 2)$.
$I = \frac{\pi (\pi - 2)}{2}$.

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x)+\tan(\pi-x)} d x$
चूंकि $\tan(\pi-x) = -\tan x$ और $\sec(\pi-x) = -\sec x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)(-\tan x)}{-\sec x-\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \tan x + (\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x+\tan x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\sin x} d x$
अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर:
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x(1-\sin x)}{1-\sin^2 x} d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - \tan^2 x) d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - (\sec^2 x - 1)) d x$
$I = \frac{\pi}{2} [\sec x - \tan x + x]_0^\pi$
$I = \frac{\pi}{2} [(\sec \pi - \tan \pi + \pi) - (\sec 0 - \tan 0 + 0)]$
$I = \frac{\pi}{2} [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \frac{\pi}{2} (\pi - 2)$

(D) माना $I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(x)}{f(x)+f\left(\frac{\alpha-3 x}{3}\right)} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $(\frac{\alpha}{3} - x)$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(\frac{\alpha}{3} - x)}{f(\frac{\alpha}{3} - x) + f(\frac{\alpha - 3(\frac{\alpha}{3} - x)}{3})} dx$
$I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(\frac{\alpha}{3} - x)}{f(\frac{\alpha}{3} - x) + f(x)} dx$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(x) + f(\frac{\alpha}{3} - x)}{f(x) + f(\frac{\alpha}{3} - x)} dx$
$2I = \int_0^{\alpha / 3} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\alpha / 3} = \frac{\alpha}{3}$
$I = \frac{\alpha}{6}$

(C) माना $I = \int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx$.
चूंकि $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$,मापांक के अंदर का व्यंजक $x = 1$ और $x = 2$ पर अपना चिह्न बदलता है।
$x \in [0, 1]$ के लिए,$x^2 - 3x + 2 \ge 0$.
$x \in (1, 2)$ के लिए,$x^2 - 3x + 2 < 0$.
$x \in [2, 3]$ के लिए,$x^2 - 3x + 2 \ge 0$.
अतः,$I = \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx - \int_1^2 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - 3x + 2) dx$.
समाकलन $\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C$ प्राप्त करने पर।
$I = [\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_0^1 - [\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_1^2 + [\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_2^3$.
$I = (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) - [(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)] + [(\frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 6) - (\frac{8}{3} - 6 + 4)]$.
$I = (\frac{5}{6}) - [(\frac{2}{3}) - (\frac{5}{6})] + [(\frac{3}{2}) - (\frac{2}{3})] = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$.
$2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \pi$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(2a-x) = f(x)$,हमें प्राप्त होता है कि $\int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt = 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$.
इस प्रकार,$I = \frac{1}{2} \times 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$.
यह एक मानक परिणाम है कि $\int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$.
अतः,$I = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$.

(C) अंतर $a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin x} dx$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx) = \sin(x)\sin((2n+1)x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin((2n+1)x) dx$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $a_{n+1} - a_n = \left[ -\frac{\cos((2n+1)x)}{2n+1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2n+1} (\cos((2n+1)\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -\frac{1}{2n+1} (0 - 1) = \frac{1}{2n+1}$।
$n=1$ के लिए,$a_2 - a_1 = \frac{1}{3}$।
$n=2$ के लिए,$a_3 - a_2 = \frac{1}{5}$।
$n=3$ के लिए,$a_4 - a_3 = \frac{1}{7}$।
अनुक्रम $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \dots$ है।
चूंकि इनके व्युत्क्रम $3, 5, 7, \dots$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए यह अनुक्रम हरात्मक श्रेणी में है।

(C) दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$,जहाँ $n \geq 2$ है।
$F_n = I_n + I_{n-2} = \int_0^{\pi / 4} (\tan^n x + \tan^{n-2} x) \, dx$.
$F_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-2} x (\tan^2 x + 1) \, dx = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx$.
माना $t = \tan x$,तो $dt = \sec^2 x \, dx$.
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = \pi / 4, t = 1$.
$F_n = \int_0^1 t^{n-2} \, dt = \left[ \frac{t^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$.
इसी प्रकार,$F_{n+1} = \frac{1}{(n+1)-1} = \frac{1}{n}$.
अतः,$F_n - F_{n+1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n-1)}{n(n-1)} = \frac{1}{n(n-1)}$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} n \sum_{r=1}^n \frac{1}{3 n^2+8 n r+4 r^2}$ है।
अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1}{3+8(\frac{r}{n})+4(\frac{r}{n})^2}$.
यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है:
$S = \int_0^1 \frac{dx}{4x^2+8x+3} = \int_0^1 \frac{dx}{(2x+2)^2-1} = \int_0^1 \frac{dx}{4(x+1)^2-1}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}|$ का उपयोग करते हुए:
$S = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{dx}{(x+1)^2-(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2(\frac{1}{2})} [\ln |\frac{x+1-1/2}{x+1+1/2}|]_0^1$.
$S = \frac{1}{4} [\ln |\frac{x+1/2}{x+3/2}|]_0^1 = \frac{1}{4} [\ln \frac{3/2}{5/2} - \ln \frac{1/2}{3/2}] = \frac{1}{4} [\ln \frac{3}{5} - \ln \frac{1}{3}] = \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{5} \times 3) = \frac{1}{4} \ln \frac{9}{5}$.

(D) दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \sin ^5\left(\frac{r \pi}{6 n}\right)$ है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{kn} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^k f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \sin^5\left(\frac{\pi}{6} x\right)$ और $k=3$ है।
अतः,समाकलन $\int_0^3 \sin ^5\left(\frac{\pi}{6} x\right) dx$ होगा।
मान लीजिए $t = \frac{\pi}{6} x$,तो $dt = \frac{\pi}{6} dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{6}{\pi} dt$।
जब $x=0, t=0$ और जब $x=3, t=\frac{\pi}{2}$ होता है।
समाकलन $\frac{6}{\pi} \int_0^{\pi/2} \sin^5(t) dt$ बन जाता है।
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\pi/2} \sin^5(t) dt = \frac{4 \times 2}{5 \times 3 \times 1} = \frac{8}{15}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,मान $\frac{6}{\pi} \times \frac{8}{15} = \frac{2 \times 8}{5 \pi} = \frac{16}{5 \pi}$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^2 + r^2}$ है।
हम इसे $\lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^2(1 + (r/n)^2)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह सरल होकर $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{1 + (r/n)^2}$ हो जाता है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,यह $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx$ के बराबर है।
$\frac{1}{1 + x^2}$ का समाकलन $\tan^{-1}(x)$ है।
$0$ से $1$ तक मान रखने पर,हमें $\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई सीमा $L = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^{n(b-a)} \frac{1}{na + r}$ है।
हम इसे $L = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^{n(b-a)} \frac{1}{n(a + \frac{r}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n(b-a)} f(\frac{r}{n})$ के रूप में एक रीमान योग है,जहाँ $f(x) = \frac{1}{a+x}$ है।
इसे निश्चित समाकल में बदलने पर,हमें $L = \int_{0}^{b-a} \frac{1}{a+x} dx$ प्राप्त होता है।
समाकल का मूल्यांकन करने पर,$L = [\log(a+x)]_{0}^{b-a}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,$L = \log(a + (b-a)) - \log(a + 0) = \log(b) - \log(a) = \log(\frac{b}{a})$।

(A) वक्र $y=1-x-6x^2$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$1-x-6x^2=0$
$6x^2+x-1=0$
$6x^2+3x-2x-1=0$
$3x(2x+1)-1(2x+1)=0$
$(3x-1)(2x+1)=0$
अतः,$x = \frac{1}{3}$ और $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_{-1/2}^{1/3} (1-x-6x^2) dx$
$= [x - \frac{x^2}{2} - 2x^3]_{-1/2}^{1/3}$
$= (\frac{1}{3} - \frac{(1/3)^2}{2} - 2(1/3)^3) - (-\frac{1}{2} - \frac{(-1/2)^2}{2} - 2(-1/2)^3)$
$= (\frac{1}{3} - \frac{1}{18} - \frac{2}{27}) - (-\frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4})$
$= (\frac{18-3-4}{54}) - (\frac{-4-1+2}{8})$
$= \frac{11}{54} - (-\frac{3}{8}) = \frac{11}{54} + \frac{3}{8}$
$= \frac{44+81}{216} = \frac{125}{216} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) इकाई वर्ग $OABC$ का क्षेत्रफल $1 \text{ वर्ग इकाई}$ है। वक्र $y^2=x$ और $x^2=y$ बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
माना $a_1, a_2, a_3$ तीन भागों के क्षेत्रफल हैं। समरूपता के कारण,$a_1 = a_3$ है।
कुल क्षेत्रफल $a_1 + a_2 + a_3 = 1 \quad \dots(i)$ है।
समरूपता के कारण,$a_1 = a_3 \quad \dots(ii)$ है।
क्षेत्रफल $a_2$,$x=0$ से $x=1$ तक वक्रों $y = \sqrt{x}$ और $y = x^2$ के बीच का क्षेत्रफल है:
$a_2 = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
समीकरण $(i)$ में $a_2 = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$a_1 + \frac{1}{3} + a_3 = 1 \implies a_1 + a_3 = \frac{2}{3}$.
चूंकि $a_1 = a_3$,इसलिए $2a_1 = \frac{2}{3} \implies a_1 = \frac{1}{3}$ और $a_3 = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$a_1 = a_2 = a_3 = \frac{1}{3}$ है।
हमें $a_1 + 2a_2 + 3a_3$ का मान ज्ञात करना है:
$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = \frac{1}{3} + 2\left(\frac{1}{3}\right) + 3\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1+2+3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(A) दिया गया परवलय $y^2 = 8x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 2$ है।
परवलय का नाभिलंब रेखा $x = a = 2$ है।
वक्र और नाभिलंब द्वारा घिरा क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
आवश्यक क्षेत्रफल $A = 2 \int_0^2 y \, dx = 2 \int_0^2 \sqrt{8x} \, dx$ है।
$A = 2 \times 2\sqrt{2} \int_0^2 x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2$.
$A = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{16 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया है $y = \max \{x-[x], x+|x|\} \text{। } x \in [0, 2]$ के लिए,$x \geq 0$,इसलिए $x+|x| = 2x$ और $x-[x] = \{x\} \text{।}$
चूंकि $x \in [0, 2]$ के लिए $2x \geq \{x\}$ है,इसलिए $y = 2x \text{।}$
हमें $x = 0$ और $x = 2$ के बीच $y = 2x^2$ और $y = 2x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
वक्र वहां प्रतिच्छेद करते हैं जहां $2x^2 = 2x$,अर्थात $x^2 - x = 0$,इसलिए $x = 0$ और $x = 1 \text{।}$
$x \in [0, 1]$ के लिए,$2x \geq 2x^2 \text{। } x \in [1, 2]$ के लिए,$2x^2 \geq 2x \text{।}$
क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = \int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$
$A = \left[x^2 - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{2x^3}{3} - x^2\right]_1^2$
$A = \left(1 - \frac{2}{3}\right) - 0 + \left(\left(\frac{16}{3} - 4\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right)\right)$
$A = \frac{1}{3} + \left(\frac{4}{3} - (-\frac{1}{3})\right) = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ वर्ग इकाई।}$

(D) वक्रों $y = x \log x$ और $y = 2x - 2x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं: $x \log x = 2x - 2x^2$.
$x > 0$ के लिए,$x$ से भाग देने पर: $\log x = 2 - 2x$,जिसका अर्थ है $\log x + 2x - 2 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक हल है क्योंकि $\log(1) + 2(1) - 2 = 0 + 2 - 2 = 0$.
अंतराल $x \in (0, 1]$ के लिए,वक्र $y = 2x - 2x^2$,$y = x \log x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2 - x \log x) dx$.
समाकलन करने पर: $\int_{0}^{1} 2x dx = [x^2]_{0}^{1} = 1$.
$\int_{0}^{1} 2x^2 dx = [\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करके $\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}$.
$0$ से $1$ तक सीमाएं लेने पर: $[\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}]_{0}^{1} = (0 - \frac{1}{4}) - (0) = -\frac{1}{4}$.
अतः,$A = 1 - \frac{2}{3} - (-\frac{1}{4}) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{12 - 8 + 3}{12} = \frac{7}{12}$.

(A) दिए गए समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $x^2 + y^2 = 4$ हैं।
इन्हें हल करने पर,हमें प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ प्राप्त होता है: $x^2 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = 4 \implies x^2 + \frac{x^2}{3} = 4 \implies \frac{4x^2}{3} = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$.
अतः $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$. इसलिए,$A = (\sqrt{3}, 1)$.
अभीष्ट क्षेत्रफल त्रिभुज $OAB$ (जहाँ $B$ बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ है) और $x = \sqrt{3}$ से $x = 2$ तक वृत्त के नीचे के क्षेत्र का योग है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
वृत्त के नीचे का क्षेत्रफल $= \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{\sqrt{3}}^{2}$.
$= [0 + 2 \sin^{-1}(1)] - [\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})]$.
$= [2 \times \frac{\pi}{2}] - [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \times \frac{\pi}{3}] = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
कुल क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण:
$y = px + \sqrt{a^2p^2 + b^2}$,जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का वर्ग करके वर्गमूल हटाते हैं:
$\sqrt{a^2p^2 + b^2} = y - px$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$a^2p^2 + b^2 = (y - px)^2$
$a^2p^2 + b^2 = y^2 + p^2x^2 - 2xyp$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x^2 - a^2)p^2 - 2xyp + (y^2 - b^2) = 0$
$p = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2 - a^2)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2xy\left(\frac{dy}{dx}\right) + (y^2 - b^2) = 0$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $1$ और $2$ हैं।

(B) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r = 5$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 25$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $h$ और $k$ हैं,इसलिए हम दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x - h) + 2(y - k)y' = 0$,जिससे $(x - h) = -(y - k)y'$ प्राप्त होता है।
पुनः अवकलन करने पर: $1 = -[(y')^2 + (y - k)y'']$,जिससे $(y - k) = -\frac{1 + (y')^2}{y''}$ प्राप्त होता है।
$(y - k)$ का मान प्रथम अवकलज समीकरण में रखने पर: $(x - h) = \left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)y'$।
इन मानों को मूल वृत्त समीकरण में रखने पर: $\left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)^2 (y')^2 + \left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)^2 = 25$।
सरल करने पर,हमें $(1 + (y')^2)^3 = 25(y'')^2$ प्राप्त होता है।
कोटि $m$ उच्चतम अवकलज है,जो $y''$ है,अतः $m = 2$।
घात $l$ उच्चतम अवकलज की घात है,जो $2$ है,अतः $l = 2$।
अतः,$2l + 3m = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$।

(A) दिया गया परवलय का परिवार $y^2 = 4a(x+a) \quad ...(i)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ से विभाजित करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{y}{b^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2} \implies \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^2}{a^2} \right) = 0$।
गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{y}{x} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} \right) = 0$।
$x^2$ से गुणा करने पर:
$xy \frac{d^2y}{dx^2} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \frac{dy}{dx} = 0$।

(B) वक्रों के परिवार का दिया गया समीकरण: $r^2 = a^2 \cos 2\theta$।
$\theta$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d\theta}(r^2) = \frac{d}{d\theta}(a^2 \cos 2\theta)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $2r \frac{dr}{d\theta} = a^2 (-\sin 2\theta) \cdot 2$।
सरल करने पर: $r \frac{dr}{d\theta} = -a^2 \sin 2\theta$।
मूल समीकरण से,$a^2 = \frac{r^2}{\cos 2\theta}$।
अवकलित समीकरण में $a^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$r \frac{dr}{d\theta} = -\left(\frac{r^2}{\cos 2\theta}\right) \sin 2\theta$।
$r \frac{dr}{d\theta} = -r^2 \tan 2\theta$।
$r$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{dr}{d\theta} = -r \tan 2\theta$।

(C) मूल बिंदु पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $y^2 = 4a(x+a) = 4ax + 4a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान मूल समीकरण में रखने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) x + 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $m = 1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$mn - m + n = (1 \times 2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$।

(D) दिया गया समीकरण: $\left(1+e^{x / y}\right) d x+e^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{d x}{d y}=-\frac{e^{x / y}(1-x / y)}{1+e^{x / y}}$
माना $x=v y$,तब $\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v+y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v-v e^v}{1+e^v}-v = \frac{-e^v+v e^v-v-v e^v}{1+e^v} = -\frac{v+e^v}{1+e^v}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\frac{d y}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\int \frac{d y}{y}$
माना $v+e^v=t$,तब $(1+e^v) d v=d t$.
अतः,$\int \frac{d t}{t}=-\int \frac{d y}{y} \Rightarrow \ln|t|=-\ln|y|+\ln|c|$
$\ln|t|+\ln|y|=\ln|c| \Rightarrow \ln|t y|=\ln|c| \Rightarrow t y=c$
$t=v+e^v$ और $v=x/y$ रखने पर: $(x/y+e^{x/y}) y=c$
$x+y e^{x/y}=c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = 2x + x^2 \tan x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
व्यापक हल इस प्रकार है:
$y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$
$y \sec x = \int (2x + x^2 \tan x) \sec x dx + c$
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \tan x \sec x dx + c$
दूसरे समाकलन $\int x^2 (\tan x \sec x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
माना $u = x^2$ और $dv = \sec x \tan x dx$. तब $du = 2x dx$ और $v = \sec x$.
$\int x^2 \sec x \tan x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + (x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx) + c$
$y \sec x = x^2 \sec x + c$
दोनों पक्षों को $\cos x$ से गुणा करने पर:
$y = x^2 + c \cos x$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + 2yx = 2y$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = 2y(1-x)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dx}{1-x} = \int 2y \, dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$-\ln|1-x| = y^2 + C$ प्राप्त होता है,जिसे $\ln|1-x| = -y^2 - C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$|1-x| = e^{-y^2 - C} = Ae^{-y^2}$,जहाँ $A = e^{-C}$ है।
इसका अर्थ है $1-x = \pm Ae^{-y^2}$,या $x-1 = Ke^{-y^2}$ जहाँ $K = \mp A$ है।
चूंकि वक्र बिंदु $(2,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=2$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2-1 = Ke^{-(0)^2} \Rightarrow 1 = K(1) \Rightarrow K=1$।
अतः,हल $(x-1) = e^{-y^2}$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ है।
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $t = \frac{1}{x}$,तो $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$ होगा।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = -1$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है।
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{t}{y} = -\log |y| + c$.
$t = \frac{1}{x}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{xy} = -\log |y| + c$ प्राप्त होता है,अर्थात $\frac{1}{x} = cy - y \log |y|$।

(C) दिया गया है,$\cos^{2} x \cdot \frac{dy}{dx} - (\tan 2x) y = \cos^{4} x$
$\cos^{2} x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \left(\frac{\tan 2x}{\cos^{2} x}\right) y = \cos^{2} x$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{\tan 2x}{\cos^{2} x}$ और $Q = \cos^{2} x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ है।
$\int P dx = -\int \frac{\tan 2x}{\cos^{2} x} dx = -\int \frac{2 \tan x}{(1 - \tan^{2} x) \cos^{2} x} dx$.
मान लीजिए $\tan x = t$,तो $\sec^{2} x dx = dt$.
$\int P dx = -\int \frac{2t}{1 - t^{2}} dt = \ln |1 - t^{2}| = \ln |1 - \tan^{2} x|$.
अतः,$I.F. = e^{\ln |1 - \tan^{2} x|} = 1 - \tan^{2} x$.
व्यापक हल $y \cdot I.F. = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ है।
$y(1 - \tan^{2} x) = \int (\cos^{2} x (1 - \tan^{2} x)) dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int \cos 2x dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \frac{\sin 2x}{2} + C$.
$y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + 2C}{1 - \tan^{2} x} \right]$.
$2C$ को $c$ के रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + c}{1 - \tan^{2} x} \right]$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-3}{2x+y-3}$ है।
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। $h$ और $k$ को इस प्रकार चुनें कि $h+2k-3=0$ और $2h+k-3=0$ हो,जिससे हमें $h=1$ और $k=1$ प्राप्त होता है।
$x=X+1$ और $y=Y+1$ प्रतिस्थापित करने पर,समीकरण $\frac{dY}{dX} = \frac{X+2Y}{2X+Y}$ बन जाता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $Y = vX$,तब $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$ होगा।
अतः,$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v}{2+v}$।
$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v-2v-v^2}{2+v} = \frac{1-v^2}{2+v}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{v+2}{1-v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$।
$\int (\frac{v}{1-v^2} + \frac{2}{1-v^2}) dv = \ln|X| + C$।
$-\frac{1}{2}\ln|1-v^2| + \ln|\frac{1+v}{1-v}| = \ln|X| + C$।
गणना करने पर,हमें $(x+y-2) = c(x-y)^3$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदुओं $A(a+2b-5c)$ और $B(-a-2b-3c)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $r = A + \lambda_1(B-A)$ है।
$r = (a+2b-5c) + \lambda_1(-2a-4b+2c) = (a+2b-5c) + \lambda_1'(a+2b-c)$ जहाँ $\lambda_1' = -2\lambda_1$ है।
सरलता के लिए,$r = (a+2b-5c) + \lambda_1(a+2b-c)$ $(i)$ लें।
बिंदुओं $C(-4c)$ और $D(6a-4b+4c)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $r = C + \lambda_2(D-C)$ है।
$r = -4c + \lambda_2(6a-4b+8c) = -4c + 2\lambda_2(3a-2b+4c)$ (ii)।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$(1+\lambda_1)a + (2+2\lambda_1)b + (-5-\lambda_1)c = (6\lambda_2)a + (-4\lambda_2)b + (-4+8\lambda_2)c$।
$a, b, c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1+\lambda_1 = 6\lambda_2$,$2+2\lambda_1 = -4\lambda_2$,$-5-\lambda_1 = -4+8\lambda_2$।
पहले दो समीकरणों से: $2(1+\lambda_1) = 2+2\lambda_1 = -4\lambda_2$,इसलिए $2(6\lambda_2) = -4\lambda_2 \implies 16\lambda_2 = 0 \implies \lambda_2 = 0$।
अतः $\lambda_1 = -1$। प्रतिच्छेदन बिंदु $r = -4c + 0 = -4c$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$\mu = -3$ के लिए,विकल्प $B$ देता है $r = (3a+6b-c) - 3(a+2b+c) = 3a+6b-c-3a-6b-3c = -4c$। इस प्रकार,विकल्प $B$ में दी गई रेखा प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है।

(D) माना $P, Q, R$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ हैं।
चूंकि $M$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,$M$ का स्थिति सदिश $\vec{m} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}$ है।
चूंकि $C$,$PM$ का मध्य-बिंदु है,$C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{\vec{p} + \vec{m}}{2} = \frac{\vec{p} + \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}}{2} = \frac{2\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{4}$ है।
रेखा $QC$,$Q$ और $C$ से होकर गुजरती है। रेखा $QC$ का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{q} + t(\vec{c} - \vec{q}) = \vec{q} + t(\frac{2\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{4} - \vec{q}) = \vec{q} + t(\frac{2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}}{4})$ है।
रेखा $PR$,$P$ और $R$ से होकर गुजरती है। रेखा $PR$ का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{p} + s(\vec{r} - \vec{p}) = (1-s)\vec{p} + s\vec{r}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $N$ के लिए $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $t = \frac{4}{3}$ और $s = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{n} = (1 - \frac{1}{3})\vec{p} + \frac{1}{3}\vec{r} = \frac{2\vec{p} + \vec{r}}{3}$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$N$,$QC$ को $t : (1-t) = \frac{4}{3} : (1 - \frac{4}{3}) = 4 : -1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
इसलिए,$\overrightarrow{QN} = 4\overrightarrow{QC}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{|\overrightarrow{QN}|}{|\overrightarrow{CN}|} = 4$।

(A) दिए गए सदिश $a=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,और $c=\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $(u \times v) \times w = (u \cdot w)v - (v \cdot w)u$ का उपयोग करते हुए:
$(a \times b) \times (b \times c) = [a b c]b$
$(b \times c) \times (c \times a) = [b c a]c = [a b c]c$
$(c \times a) \times (a \times b) = [c a b]a = [a b c]a$
अब,अदिश त्रिक गुणन $[a b c]$ की गणना करें:
$[a b c] = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2+3) + 2(-4+1) - 3(6-1) = 1 - 6 - 15 = -20$.
माना $k = [a b c] = -20$ है। तब व्यंजक $[kb, kc, ka]$ बन जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$[kb, kc, ka] = k^3 [b c a] = k^3 [a b c] = k^3 \cdot k = k^4$।
$k = -20$ रखने पर:
$(-20)^4 = 160000$।

(B) दिया गया है कि $n \perp a$ और $n \perp b$,इसलिए $n = a \times b$.
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(2+2) = -4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{|n \times c|}{|n||c|}$.
$n \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(-8+4) = 0\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|n \times c| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$|n| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$|c| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\sin \theta = \frac{4\sqrt{2}}{(4\sqrt{3}) \times 3} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.

(B) माना $|a|=|b|=|c|=\lambda$ है।
चूंकि $a, b, c$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ है।
अब,$|a+b+c|^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$।
मान रखने पर,$|a+b+c|^2 = \lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 + 2(0) = 3\lambda^2$।
अतः,$|a+b+c| = \sqrt{3}\lambda$।
माना $a$ और $a+b+c$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब,$\cos \theta = \frac{a \cdot (a+b+c)}{|a| |a+b+c|} = \frac{a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c}{|a| |a+b+c|} = \frac{|a|^2 + 0 + 0}{|a| |a+b+c|} = \frac{\lambda^2}{\lambda \cdot \sqrt{3}\lambda} = \frac{\lambda^2}{\sqrt{3}\lambda^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।