AP EAMCET 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x-a)(x-a-1)+(x-a-1)(x-a-2)+(x-a)(x-a-2)=0$. \\ ધારો કે $t = x-a$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે: \\ $t(t-1) + (t-1)(t-2) + t(t-2) = 0$ \\ $t^2 - t + t^2 - 3t + 2 + t^2 - 2t = 0$ \\ $3t^2 - 6t + 2 = 0$ \\ વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$. \\ $D > 0$ હોવાથી,$t$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે. \\ પરિણામે,$x = a + t$ ના બીજ પણ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હશે.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = x^2 + ax + b$ ના બીજ કાલ્પનિક છે.
તેથી,વિવેચક $D < 0$,જે સૂચવે છે કે $a^2 - 4b < 0$.
હવે,આપણે વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = 2x + a$
$f''(x) = 2$
આ કિંમતોને $f(x) + f'(x) + f''(x) = 0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + ax + b) + (2x + a) + 2 = 0$
$x^2 + (a + 2)x + (b + a + 2) = 0$
આ નવા દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D'$ છે:
$D' = (a + 2)^2 - 4(1)(b + a + 2)$
$D' = a^2 + 4a + 4 - 4b - 4a - 8$
$D' = a^2 - 4b - 4$
કારણ કે $a^2 - 4b < 0$,તેથી $a^2 - 4b - 4 < -4$.
આમ,$D' < 0$.
વિવેચક ઋણ હોવાથી,$f(x) + f'(x) + f''(x) = 0$ સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક છે.

(C) આપેલ છે કે,$\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2-2x+4=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha+\beta = 2$ ...$(i)$
$\alpha\beta = 4$ ...$(ii)$
હવે,આપણે $\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2)^3 + (\beta^2)^3$ લખી શકીએ.
વૈકલ્પિક રીતે,નોંધો કે $x^2-2x+4=0$ ના બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$ છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$1 \pm \sqrt{3}i = 2(\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{\pm i\pi/3}$ છે.
આમ,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ અને $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ છે.
તેથી,$\alpha^6 = (2e^{i\pi/3})^6 = 2^6 e^{i2\pi} = 64(1) = 64$.
તે જ રીતે,$\beta^6 = (2e^{-i\pi/3})^6 = 2^6 e^{-i2\pi} = 64(1) = 64$.
તેથી,$\alpha^6+\beta^6 = 64+64 = 128$.

(C) આપેલ છે કે $n = 3r + 1$,જ્યાં $r$ એક પૂર્ણાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$1+i\sqrt{3} = -2\omega^2$ અને $1-i\sqrt{3} = -2\omega$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$
$= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$
કારણ કે $n = 3r+1$,તેથી $\omega^n = \omega^{3r+1} = \omega$ અને $\omega^{2n} = \omega^{6r+2} = \omega^2$.
તેથી,પદાવલિ $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ બને છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 + \omega = -1$.
આમ,પરિણામ $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ મળે છે.

(A) ધારો કે $S$ એ તમામ $n$-અંકની બાઈનરી સિક્વન્સનો સમૂહ છે. આવી કુલ સિક્વન્સની સંખ્યા $2^n$ છે.
ધારો કે $E$ એ $0$ ની બેકી સંખ્યા ધરાવતી સિક્વન્સની સંખ્યા છે અને $O$ એ $0$ ની એકી સંખ્યા ધરાવતી સિક્વન્સની સંખ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + . . . + \binom{n}{n} = 2^n$ થાય છે.
$0$ ની બેકી સંખ્યા ધરાવતી સિક્વન્સની સંખ્યા બેકી અનુક્રમણિકા ધરાવતા દ્વિપદી સહગુણકોના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $E = \binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + . . .$.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + . . . = 2^{n-1}$.
આમ,$0$ ની બેકી સંખ્યા ધરાવતી $n$-અંકની બાઈનરી સિક્વન્સની સંખ્યા $2^{n-1}$ છે.

(D) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $3p$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3p$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{3p}C_3$ છે.
જો કે,જો $3$ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તે ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
ત્યાં $3$ રેખાઓ છે,દરેક પર $p$ બિંદુઓ છે.
દરેક રેખા માટે,$3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^pC_3$ છે.
તેથી,ત્રિકોણની સંખ્યા $^{3p}C_3 - 3 \cdot ^pC_3$ છે.
$= \frac{3p(3p-1)(3p-2)}{6} - 3 \cdot \frac{p(p-1)(p-2)}{6}$
$= \frac{p}{2} [ (3p-1)(3p-2) - (p-1)(p-2) ]$
$= \frac{p}{2} [ (9p^2 - 9p + 2) - (p^2 - 3p + 2) ]$
$= \frac{p}{2} [ 8p^2 - 6p ]$
$= p^2(4p-3)$.

(B) આપેલ છે,$a_0 = 1$ અને $a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n$.
$n = 0$ માટે: $a_1 = 3(0)^2 + 0 + a_0 = 0 + 0 + 1 = 1$.
$n = 1$ માટે: $a_2 = 3(1)^2 + 1 + a_1 = 3 + 1 + 1 = 5$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$P(n) = n^3 - n^2 + 1$:
$P(0) = 0^3 - 0^2 + 1 = 1 = a_0$.
$P(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 = a_1$.
$P(2) = 2^3 - 2^2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5 = a_2$.
શરૂઆતના પદો માટે કિંમતો સમાન હોવાથી,સાચું પદ $a_n = n^3 - n^2 + 1$ છે.

(B) આપણને આપેલ છે $\lambda = \frac{\cos x}{\cos (x-2 y)}$.
$\tan (x-y) \tan y = \frac{\sin (x-y) \sin y}{\cos (x-y) \cos y}$ લો.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{2 \sin (x-y) \sin y}{2 \cos (x-y) \cos y}$ મળે છે.
ગુણાકાર-થી-સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan (x-y) \tan y = \frac{\cos(x-2y) - \cos x}{\cos(x-2y) + \cos x}$.
અંશ અને છેદને $\cos(x-2y)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1 - \frac{\cos x}{\cos(x-2y)}}{1 + \frac{\cos x}{\cos(x-2y)}} = \frac{1-\lambda}{1+\lambda}$.

(C) આપેલ છે,$\sinh ^{-1} 2 + \sinh ^{-1} 3 = x$
બંને બાજુ $\cosh$ લેતા,$\cosh(\sinh ^{-1} 2 + \sinh ^{-1} 3) = \cosh x$
$\cosh(A + B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh(\sinh ^{-1} 2) \cosh(\sinh ^{-1} 3) + \sinh(\sinh ^{-1} 2) \sinh(\sinh ^{-1} 3) = \cosh x$
$\cosh(\sinh ^{-1} y) = \sqrt{1 + y^2}$ અને $\sinh(\sinh ^{-1} y) = y$ હોવાથી:
$\cosh x = \sqrt{1 + 2^2} \cdot \sqrt{1 + 3^2} + 2 \cdot 3$
$\cosh x = \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + 6$
$\cosh x = \sqrt{50} + 6 = \frac{2 \sqrt{50} + 12}{2} = \frac{1}{2}(12 + 2 \sqrt{50})$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 x - \cos 2x = 2 - \sin 2x$
નિત્યસમ $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 x - (2\cos^2 x - 1) = 2 - 2\sin x \cos x$
$(1 - \cos^2 x) - 2\cos^2 x + 1 = 2 - 2\sin x \cos x$
$2 - 3\cos^2 x = 2 - 2\sin x \cos x$
$-3\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0$
$\cos x (2\sin x - 3\cos x) = 0$
આપેલ છે કે $3\cos x \neq 2\sin x$,તેથી $\cos x = 0$ મળે.
$\cos x = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ છે,જેને $x = (4n \pm 1) \frac{\pi}{2}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=r^2$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $\theta = 36^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
આ કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 = r^2$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(X^2 \cos^2 \theta + Y^2 \sin^2 \theta - 2XY \sin \theta \cos \theta) + (X^2 \sin^2 \theta + Y^2 \cos^2 \theta + 2XY \sin \theta \cos \theta) = r^2$
સાદુરૂપ આપતા:
$X^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + Y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = r^2$
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$X^2 + Y^2 = r^2$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x-a)(x-a-1)+(x-a-1)(x-a-2)+(x-a)(x-a-2)=0$.
ધારો કે $t = x-a$. તો સમીકરણ $t(t-1)+(t-1)(t-2)+t(t-2)=0$ બને છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(t^2-t) + (t^2-3t+2) + (t^2-2t) = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $3t^2 - 6t + 2 = 0$.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,$t$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
તેથી,કોઈપણ $a \in R$ માટે $x = a + t$ પણ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હશે.

(C) આપેલ છે કે,$f(x)=2 x^4-13 x^2+a x+b$ એ $x^2-3 x+2 = (x-2)(x-1)$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$f(2)=0$ અને $f(1)=0$ થાય.
$f(2)=0$ માટે:
$2(2)^4-13(2)^2+a(2)+b=0$
$32-52+2a+b=0$
$2a+b=20$ ... $(i)$
$f(1)=0$ માટે:
$2(1)^4-13(1)^2+a(1)+b=0$
$2-13+a+b=0$
$a+b=11$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$a=9$
$a=9$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મુકતા:
$b=2$
આમ,$(a, b) = (9, 2)$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+4x+1=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=4$,અને $\alpha\beta\gamma=-1$ મળે.
$\alpha+\beta+\gamma=0$ હોવાથી,$\beta+\gamma=-\alpha$,$\gamma+\alpha=-\beta$,અને $\alpha+\beta=-\gamma$ થાય.
નવા સમીકરણના બીજ $y_1 = \frac{\alpha^2}{-\alpha} = -\alpha$,$y_2 = \frac{\beta^2}{-\beta} = -\beta$,અને $y_3 = \frac{\gamma^2}{-\gamma} = -\gamma$ છે.
ધારો કે $y = -x$,તેથી $x = -y$.
મૂળ સમીકરણ $x^3+4x+1=0$ માં $x = -y$ મૂકતા:
$(-y)^3 + 4(-y) + 1 = 0$
$-y^3 - 4y + 1 = 0$
$y^3 + 4y - 1 = 0$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^3+4x-1=0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $n = 3r + 1$,જ્યાં $r$ એ પૂર્ણાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$1 + i\sqrt{3} = -2\omega^2$ અને $1 - i\sqrt{3} = -2\omega$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + i\sqrt{3})^n + (1 - i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$
$= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$
$n = 3r + 1$ હોવાથી,$\omega^n = \omega$ અને $\omega^{2n} = \omega^2$.
તેથી,પદાવલિ $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ બને છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 + \omega = -1$.
આમ,પરિણામ $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ મળે છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે,$\left|\frac{z + 2i}{2z + i}\right| < 1$.
આનો અર્થ એ થાય કે $|z + 2i| < |2z + i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને $|x + i(y + 2)| < |2x + i(2y + 1)|$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + (y + 2)^2 < (2x)^2 + (2y + 1)^2$.
$x^2 + y^2 + 4y + 4 < 4x^2 + 4y^2 + 4y + 1$.
$3 < 3x^2 + 3y^2$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 > 1$ મળે છે.

(C) આપેલ ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે,જ્યાં $n=9$.
કુલ ઉપગણો $= 2^9 = 512$.
આપણે એવા ઉપગણો શોધવા માંગીએ છીએ જેમાં ઓછામાં ઓછી એક એકી સંખ્યા હોય.
પૂરક ગણની ગણતરી કરવી સરળ છે: એવા ઉપગણો જેમાં એક પણ એકી સંખ્યા ન હોય.
ઉપગણમાં એક પણ એકી સંખ્યા ન હોય જો અને માત્ર જો તેના તમામ ઘટકો બેકી હોય.
ગણમાં બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8\}$ છે.
માત્ર આ બેકી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને બનતા ઉપગણોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
આ $16$ ઉપગણોમાં ખાલી ગણ $\emptyset$ નો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક એકી સંખ્યા ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $=$ કુલ ઉપગણો $-$ માત્ર બેકી સંખ્યાઓ ધરાવતા ઉપગણો.
જરૂરી સંખ્યા $= 512 - 16 = 496$.

(B) આપેલ છે,$a_0=1$ અને $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$.
આપણે પ્રથમ થોડા પદો શોધી શકીએ છીએ:
$a_1 = 3(0)^2 + 0 + a_0 = 1$.
$a_2 = 3(1)^2 + 1 + a_1 = 5$.
$a_3 = 3(2)^2 + 2 + a_2 = 19$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$n=0$ માટે: $a_0 = 0^3 - 0^2 + 1 = 1$.
$n=1$ માટે: $a_1 = 1^3 - 1^2 + 1 = 1$.
$n=2$ માટે: $a_2 = 2^3 - 2^2 + 1 = 5$.
$n=3$ માટે: $a_3 = 3^3 - 3^2 + 1 = 19$.
આમ,$a_n = n^3 - n^2 + 1$ એ સાચું પદ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}$ છે.
તેને $\frac{1}{(-1)^2(1-x)^2(-2)(1-\frac{x}{2})} = -\frac{1}{2}(1-x)^{-2}(1-\frac{x}{2})^{-1}$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1-x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + \dots$
$(1-\frac{x}{2})^{-1} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots$
આ શ્રેણીઓનો ગુણાકાર કરતા: $-\frac{1}{2}(1 + 2x + \dots)(1 + \frac{x}{2} + \dots) = -\frac{1}{2}(1 + \frac{5}{2}x + \dots)$.
તેથી,અચળ પદ $-\frac{1}{2} \times 1 = -\frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1+x^2)^{12}(1+x^{12})(1+x^{24})$ છે.
પ્રથમ,$(1+x^{12})(1+x^{24}) = 1 + x^{12} + x^{24} + x^{36}$ નું સાદુંરૂપ આપો.
હવે,પદાવલિ $(1+x^2)^{12}(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ બને છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x^2)^{12} = \sum_{r=0}^{12} {}^{12}C_r x^{2r}$.
આપણે $(\sum_{r=0}^{12} {}^{12}C_r x^{2r})(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ ના ગુણાકારમાં $x^{24}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
આ નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. સરવાળામાં જ્યાં $2r = 24$ હોય,એટલે કે ${}^{12}C_{12} x^{24} \times 1 = {}^{12}C_{12} x^{24}$.
$2$. સરવાળામાં જ્યાં $2r = 12$ હોય,એટલે કે ${}^{12}C_6 x^{12} \times x^{12} = {}^{12}C_6 x^{24}$.
$3$. સરવાળામાં જ્યાં $2r = 0$ હોય,એટલે કે ${}^{12}C_0 x^0 \times x^{24} = 1 \times x^{24} = 1 x^{24}$.
આ સહગુણકોનો સરવાળો: ${}^{12}C_{12} + {}^{12}C_6 + 1 = 1 + {}^{12}C_6 + 1 = {}^{12}C_6 + 2$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = (1 + \frac{2x}{3})^{3/2} \cdot (32 + 5x)^{-1/5}$
નાના $u$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+u)^n \approx 1+nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E \approx (1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{3}) \cdot (32)^{-1/5} (1 + \frac{5x}{32})^{-1/5}$
$E \approx (1 + x) \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{5x}{32})$
$E \approx \frac{1}{2} (1 + x) (1 - \frac{x}{32})$
$x^2$ વાળા પદોને અવગણતા:
$E \approx \frac{1}{2} (1 + x - \frac{x}{32}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{31x}{32}) = \frac{32 + 31x}{64}$

(A) ગુણાકાર $P = \cos A \cos 2 A \cos 2^2 A \ldots \cos 2^{n-1} A$ ની ગણતરી કરવા માટે,$2 \sin A$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (2 \sin A \cos A) \cos 2 A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (\sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{2^2 \sin A} (2 \sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A = \frac{\sin 4 A}{2^2 \sin A} \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
આ પ્રક્રિયા $n$ વખત કરતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{\sin 2^n A}{2^n \sin A}$

(D) પ્રથમ,રેખાઓ $x + 3y - 1 = 0$ અને $x - 2y + 4 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(x + 3y - 1) - (x - 2y + 4) = 0$ $\Rightarrow 5y - 5 = 0$ $\Rightarrow y = 1$.
$y = 1$ ને $x + 3y - 1 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $x + 3(1) - 1 = 0 \Rightarrow x = -2$ મળે છે.
છેદબિંદુ $(-2, 1)$ છે.
$3x + 2y = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખા $(-2, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(-2) - 3(1) + \lambda = 0$ $\Rightarrow -4 - 3 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = 7$.
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y + 7 = 0$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $3x + 4y = 5$ પરનું બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(1, 2)$ અને $B(3, 4)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2$ થાય.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
$-2x - 4y + 5 = -6x - 8y + 25$
$4x + 4y = 20$
$x + y = 5$
હવે,સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલો:
$3x + 4y = 5$
$x + y = 5 \Rightarrow x = 5 - y$
પ્રથમ સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$3(5 - y) + 4y = 5$
$15 - 3y + 4y = 5$
$y = -10$
$x = 5 - (-10) = 15$
આમ,બિંદુ $(15, -10)$ છે.

(D) આપેલી રેખાઓ $4x + 3y - 15 = 0$ અને $4x + 3y - 5 = 0$ છે. $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = \frac{|-15 - (-5)|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2$.
વર્તુળ બંને રેખાઓને સ્પર્શે છે,તેથી તેનો વ્યાસ રેખાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો થાય,એટલે કે $2r = 2$,જેનો અર્થ છે કે $r = 1$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2-3xy+2y^2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2-2xy-xy+2y^2=0$ $\Rightarrow x(x-2y)-y(x-2y)=0$ $\Rightarrow (x-y)(x-2y)=0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x-y=0$ અને $L_2: x-2y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y+1=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x-y=0$ અને $x+y=-1$ $\Rightarrow 2x=-1$ $\Rightarrow x=-\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}$. બિંદુ $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x=2y$ અને $2y+y=-1$ $\Rightarrow 3y=-1$ $\Rightarrow y=-\frac{1}{3}, x=-\frac{2}{3}$. બિંદુ $(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3})) + (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3} - 0) + (-\frac{2}{3})(0 - (-\frac{1}{2}))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}| = \frac{1}{2} |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{12}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2-3xy+2y^2=0$ અને $x^2-3xy+2y^2+x-2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2y)(x-y)=0$,જે રેખાઓ $L_1: x-2y=0$ અને $L_2: x-y=0$ આપે છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2y+2)(x-y-1)=0$,જે રેખાઓ $L_3: x-2y+2=0$ અને $L_4: x-y-1=0$ આપે છે.
સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $L_1 \parallel L_3$ અને $L_2 \parallel L_4$.
સામેની બાજુઓ સમાંતર હોવાથી,આ આકૃતિ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો તપાસતા,ઢાળ $m_1 = 1/2$ અને $m_2 = 1$ છે. $m_1 \times m_2 \neq -1$ હોવાથી,ખૂણો $90^{\circ}$ નથી.
તેથી,આ આકૃતિ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 x^2-10 x y+12 y^2+5 x+\lambda y-3=0$ છે.
સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, h=-5, b=12, g=\frac{5}{2}, f=\frac{\lambda}{2}, c=-3$ મળે.
રેખાયુગ્મ માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $\begin{vmatrix} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 12 & \lambda/2 \\ 5/2 & \lambda/2 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(-36 - \frac{\lambda^2}{4}) + 5(15 - \frac{5\lambda}{4}) + \frac{5}{2}(\frac{-5\lambda}{2} - 30) = 0$.
$-72 - \frac{\lambda^2}{2} + 75 - \frac{25\lambda}{4} - \frac{25\lambda}{4} - 75 = 0$.
$-\frac{\lambda^2}{2} - \frac{50\lambda}{4} - 72 = 0$.
$-2$ વડે ગુણતા: $\lambda^2 + 25\lambda + 144 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\lambda + 9)(\lambda + 16) = 0$.
તેથી,$\lambda = -9$ અથવા $\lambda = -16$.
શરત $|\lambda| < 16$ હોવાથી,સાચો જવાબ $\lambda = -9$ છે.

(C) વ્યાસની રેખાઓનું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $2x + y = 7$ અને $x + 3y = 11$ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = 7 - 2x$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 3(7 - 2x) = 11$ $\Rightarrow x + 21 - 6x = 11$ $\Rightarrow -5x = -10$ $\Rightarrow x = 2$.
તેથી $y = 7 - 2(2) = 3$. આમ,કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 3)$ છે.
વર્તુળ $(5, 7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ $(2, 3)$ અને $(5, 7)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે કારણ કે તે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2|g|=4$ $\Rightarrow |g|=2$ $\Rightarrow g = \pm 2$ છે.
$y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2|f|=8$ $\Rightarrow |f|=4$ $\Rightarrow f = \pm 4$ છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2+y^2 \pm 2(2)x \pm 2(4)y=0$ મળે છે.
આમ,જરૂરી સમીકરણો $x^2+y^2 \pm 4x \pm 8y=0$ છે.

(C) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+8=0$ માટે,$g_1=-3, f_1=0, c_1=8$. તેથી,$2g(-3)+2f(0)=0+8$ $\Rightarrow -6g=8$ $\Rightarrow g=-\frac{4}{3}$.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ માટે,$g_2=-1, f_2=-1, c_2=-7$. તેથી,$2g(-1)+2f(-1)=0-7 \Rightarrow -2g-2f=-7$.
$g=-\frac{4}{3}$ મૂકતા,$-2(-\frac{4}{3})-2f=-7$ $\Rightarrow \frac{8}{3}+7=2f$ $\Rightarrow 2f=\frac{29}{3}$.
સમીકરણમાં $g$ અને $f$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2+y^2+2(-\frac{4}{3})x+2(\frac{29}{6})y=0 \Rightarrow x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$.
$3$ વડે ગુણતા,$3x^2+3y^2-8x+29y=0$ મળે.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 - 2x + 8y + 13 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 4x + 6y + 11 = 0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + (-4)^2 - 13} = 2$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - 11} = \sqrt{2}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - (-4))^2} = \sqrt{2}$.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{2 - 4 - 2}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 135^{\circ}$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે. વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r$ માટે $r^2 = h^2 + k^2$ થાય.
કેન્દ્ર $C(h, k)$ થી રેખા $x=3$ નું લંબ અંતર $d = |h-3|$ છે.
રેખા $x=3$ દ્વારા કપાતા જીવાની લંબાઈ $4$ એકમ છે. તેથી,જીવાની અડધી લંબાઈ $2$ એકમ થાય.
ત્રિજ્યા,લંબ અંતર અને જીવાની અડધી લંબાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$r^2 = d^2 + 2^2$
$h^2 + k^2 = (h-3)^2 + 4$
$h^2 + k^2 = h^2 - 6h + 9 + 4$
$k^2 = -6h + 13$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = -6x + 13$ અથવા $y^2 + 6x = 13$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જ્યાં $a=1$. બિંદુ $(1,0)$ એ પરવલયનું નાભિ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
જો આ અભિલંબ બિંદુ $(h, k) = (1, 0)$ માંથી પસાર થાય,તો $0 = -t(1) + 2(1)t + (1)t^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $0 = t + t^3$ અથવા $t(1 + t^2) = 0$ મળે છે.
$t$ માટેનો વાસ્તવિક ઉકેલ $t=0$ છે.
$t=0$ માટે,અભિલંબ $y = 0$ છે,જે $x$-અક્ષ છે.
આમ,બિંદુ $(1,0)$ માંથી પરવલય $y^2=4x$ પર માત્ર $1$ અભિલંબ દોરી શકાય છે.

(C) અહીં,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$ છે,તેથી $ae = 3$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 8$ છે,તેથી $b = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$.
$b = 4$ અને $ae = 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે $16 = a^2 - (3)^2$.
$16 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{ae}{a} = \frac{3}{5}$.

(D) આપેલ શંકુનું સમીકરણ: $\frac{5}{r}=2+3 \cos \theta+4 \sin \theta$.
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$.
આપણે $\frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$ ને $e \cos(\theta - \phi)$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ,જ્યાં $e = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
આમ,સમીકરણ $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{5}{2} \cos(\theta - \phi)$ બને છે.
આને પ્રમાણિત ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\frac{l}{r} = 1 + e \cos(\theta - \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{2}$ મળે છે.

(B) અતિવલય $S: 2x^2 - 3y^2 - 12 = 0$ માટે મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,જ્યાં $T = 2xh - 3yk - 12$ અને $S_1 = 2h^2 - 3k^2 - 12$.
આમ,જીવાનું સમીકરણ $2xh - 3yk = 2h^2 - 3k^2$ થાય.
આપેલ જીવા $4x - 3y = 5$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{2h}{4} = \frac{-3k}{-3} = \frac{2h^2 - 3k^2}{5}$.
$\frac{2h}{4} = k$ પરથી,$k = \frac{h}{2}$ મળે.
$k = \frac{h}{2}$ ને $\frac{2h}{4} = \frac{2h^2 - 3(h/2)^2}{5}$ માં મૂકતા:
$\frac{h}{2} = \frac{2h^2 - \frac{3h^2}{4}}{5} = \frac{5h^2}{20} = \frac{h^2}{4}$.
તેથી,$\frac{h}{2} = \frac{h^2}{4}$ $\Rightarrow 2h = h^2$ $\Rightarrow h(h - 2) = 0$.
જીવા અસ્તિત્વ ધરાવતી હોવાથી $h \neq 0$.
આમ,$h = 2$ અને $k = 1$.
મધ્યબિંદુ $(2, 1)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x^2+y^2=a^2$ અને $xy=c^2$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$x = \frac{c^2}{y}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$\left(\frac{c^2}{y}\right)^2 + y^2 = a^2$
$\frac{c^4}{y^2} + y^2 = a^2$
$c^4 + y^4 = a^2 y^2$
$y^4 - a^2 y^2 + c^4 = 0$
આ $y$ માં દ્વિ-વર્ગ સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $y_1, y_2, y_3, y_4$ છે.
સમીકરણ $Ay^4 + By^3 + Cy^2 + Dy + E = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $B=0$.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $-\frac{B}{A} = -\frac{0}{1} = 0$ થાય.
તેથી,$y_1+y_2+y_3+y_4 = 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x+b})^{x+c} = e^a$.
આપેલ પદાવલિ: $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+5}{x+2})^{x+3} = \lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{3}{x+2})^{x+3}$.
ધારો કે $t = x+2$,તો જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $t \rightarrow \infty$.
$= \lim _{t \rightarrow \infty} (1 + \frac{3}{t})^{t+1} = \lim _{t \rightarrow \infty} (1 + \frac{3}{t})^t \cdot (1 + \frac{3}{t})^1$.
$= e^3 \cdot 1 = e^3$.

(B) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ અને $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a(b \cos C - c \cos B) = ab \cos C - ac \cos B$
$= ab \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) - ac \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right)$
$= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$
$= \frac{2b^2 - 2c^2}{2}$
$= b^2 - c^2$.

(C) ધારો કે $2s = a+b+c$. તેથી $b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,અને $a+b-c = 2s-2c$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2} = 4 \frac{s(s-a)}{bc} \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{s(s-a)}{bc}$ અને $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \cos^2(\frac{A}{2}) \sin^2(\frac{A}{2}) = (2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}))^2 = \sin^2 A$.

(D) ધારો કે $s = \frac{a+b+c}{2}$ એ $\triangle ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ છે. તેથી $a+b+c = 2s$,$b+c-a = 2(s-a)$,$c+a-b = 2(s-b)$,અને $a+b-c = 2(s-c)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2s)(2(s-a))(2(s-b))(2(s-c))}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}$.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,તેથી પદાવલિ $\frac{16\Delta^2}{4b^2c^2} = \frac{4\Delta^2}{b^2c^2}$ બને છે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ હોવાથી,$\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ મળે.
આમ,$\frac{4\Delta^2}{b^2c^2} = (\frac{2\Delta}{bc})^2 = \sin^2 A$.

(D) ધારો કે $f(x) = \sin ^4 x + \cos ^4 x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^4 x + \cos ^4 x = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
કારણ કે $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,તેથી $f(x) = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $2 \sin ^2 x \cos ^2 x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2} \sin ^2 2x$.
આમ,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \sin ^2 2x$.
નિત્યસમ $\sin ^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{\cos 4x}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$.
$\cos(kx)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|k|}$ છે.
તેથી,$f(x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(C) ધારો કે બે થાંભલા $AD$ અને $BC$ છે જેમની ઊંચાઈ અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે,જે સમક્ષિતિજ રેખા $AB$ પર આવેલા છે.
$P$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જેથી $\angle DPA = 45^{\circ}$ અને $\angle CPB = 45^{\circ}$ થાય.
$\triangle APD$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{AP} = \frac{a}{AP} \Rightarrow AP = a$.
$\triangle BPC$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{BC}{BP} = \frac{b}{BP} \Rightarrow BP = b$.
થાંભલાઓ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $AB = AP + PB = a + b$ છે.
$AB$ ને સમાંતર રેખા $DE$ દોરો જેથી $E$ એ $BC$ પર આવે. તો $DE = AB = a + b$ અને $CE = BC - BE = BC - AD = b - a$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle DEC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$DC^2 = DE^2 + CE^2$
$DC^2 = (a + b)^2 + (b - a)^2$
$DC^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 - 2ab + a^2)$
$DC^2 = 2(a^2 + b^2)$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A = (1, 0, 0)$,$B = (0, 1, 0)$,અને $C = (0, 0, 1)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ:
$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો છે:
$\text{પરિમિતિ} = AB + BC + CA = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે,$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B}) = \frac{7}{10}$.
$P(A \cap B) + P(\overline{A \cap B}) = 1$ હોવાથી:
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.
વળી,બે ઘટનાઓના યોગગણ માટેનું સૂત્ર:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{5} = P(A) + \frac{2}{5} - \frac{3}{10}$.
$P(A) = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} + \frac{3}{10}$.
$P(A) = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4+3}{10} = \frac{7}{10}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 4x + c = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
$a = 1, b = 4$ કિંમતો મૂકતા:
$4^2 - 4(1)(c) \geq 0$
$16 - 4c \geq 0$
$16 \geq 4c$
$c \leq 4$.
$c$ એ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી $c$ ની શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે.
કુલ $9$ શક્ય પરિણામોમાંથી $4$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{9}$ છે.

(D) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જ્યારે તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે કે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ હારની સાપેક્ષે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$-x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ એક ઉકેલ છે કારણ કે $1^3 + 1 - 2 = 0$.
$x^3 + x - 2$ ને $(x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0$ મળે છે.
$x^2 + x + 2 = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$x$ ની એકમાત્ર વાસ્તવિક કિંમત $x = 1$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$x=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ અને $y=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$.
ધારો કે $t = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan^{-1} t$.
$x$ માટે,$x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta = \tan^{-1} t$.
$y$ માટે,$y = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta = \tan^{-1} t$.
અહીં $x = \tan^{-1} t$ અને $y = \tan^{-1} t$ હોવાથી,$y = x$ મળે છે.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$z=\tan (y+a x)+\sqrt{y-a x}$
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = a \sec^2(y+ax) - \frac{a}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}$
ત્યારબાદ,$y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \sec^2(y+ax) + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}$
હવે,$z_{xx} - a^2 z_{yy}$ ની ગણતરી કરો:
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = [2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}] - a^2 [2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}]$
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} - 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) + \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} = 0$

(C) આપેલ છે,$y=e^{a \sin ^{-1} x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = e^{a \sin ^{-1} x} \cdot \frac{a}{\sqrt{1-x^2}}$
$\Rightarrow y_1 \sqrt{1-x^2} = ay$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1-x^2) y_1^2 = a^2 y^2$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1-x^2) 2 y_1 y_2 - 2x y_1^2 = a^2 2y y_1$
$2y_1$ વડે ભાગતા:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 - a^2 y = 0$
$n$-માં વિકલન માટે લેબનીઝ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$[(1-x^2) y_{n+2} + n(-2x) y_{n+1} + \frac{n(n-1)}{2}(-2) y_n] - [x y_{n+1} + n(1) y_n] - a^2 y_n = 0$
$(1-x^2) y_{n+2} - 2nx y_{n+1} - n(n-1) y_n - x y_{n+1} - n y_n - a^2 y_n = 0$
$(1-x^2) y_{n+2} - (2n+1) x y_{n+1} - (n^2 - n + n + a^2) y_n = 0$
$(1-x^2) y_{n+2} - (2n+1) x y_{n+1} = (n^2 + a^2) y_n$

(B) આપેલ છે,$f(x)=x^3+3x-2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x)=3x^2+3$ મળે છે.
કારણ કે $x \in [2,3]$ માટે $x^2 \ge 0$ છે,તેથી $f'(x) = 3x^2+3 \ge 3 > 0$ થાય.
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $[2,3]$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
વધતા વિધેય માટે,વિસ્તાર $[f(2), f(3)]$ થાય છે.
$x=2$ માટે,$f(2) = 2^3 + 3(2) - 2 = 8 + 6 - 2 = 12$.
$x=3$ માટે,$f(3) = 3^3 + 3(3) - 2 = 27 + 9 - 2 = 34$.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[12, 34]$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$ છે.
અંતિમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f^{\prime}(x)=3 x^2+2 a x+b$.
અંતિમ કિંમતો માટે,આપણે $f^{\prime}(x)=0$ લઈએ:
$3 x^2+2 a x+b=0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{-2 a \pm \sqrt{(2 a)^2 - 4(3)(b)}}{2(3)} = \frac{-2 a \pm \sqrt{4 a^2 - 12 b}}{6} = \frac{-2 a \pm 2 \sqrt{a^2 - 3 b}}{6} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 3 b}}{3}$.
શરત $a^2 \leq 3 b$ આપેલ હોવાથી,પદ $a^2 - 3 b \leq 0$ થાય.
જો $a^2 - 3 b < 0$ હોય,તો બીજ કાલ્પનિક મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $f^{\prime}(x)$ શૂન્ય થતું નથી.
જો $a^2 = 3 b$ હોય,તો $f^{\prime}(x) = 3(x + \frac{a}{3})^2$,જે હંમેશા $\geq 0$ છે,તેથી વિધેય સતત વધતું વિધેય છે અને તેને કોઈ સ્થાનિક અંતિમ કિંમત નથી.
આમ,વિધેય કોઈ અંતિમ કિંમત ધરાવતું નથી.

(D) ધારો કે $y = \frac{\log x}{x}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,દ્વિતીય વિકલન મેળવો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$,તેથી $x = e$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમત $y(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \left( \frac{2 - 2 \sin x \cos x}{2 \sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x) e^x \, dx$
$I = \int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int e^x \cot x \, dx$.
પ્રથમ સંકલન $\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = \cot x$,તો $du = -\operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx = e^x(-\cot x) - \int e^x(-\cot x) \, dx = -e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = (-e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx) - \int e^x \cot x \, dx + c$
$I = -e^x \cot x + c$.

(D) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y = (a + bx + cx^2) e^x$
આને $y e^{-x} = a + bx + cx^2$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત વિકલન કરતા:
પ્રથમ વિકલન: $y' e^{-x} - y e^{-x} = b + 2cx \implies (y' - y) e^{-x} = b + 2cx$
દ્વિતીય વિકલન: $(y'' - y') e^{-x} - (y' - y) e^{-x} = 2c \implies (y'' - 2y' + y) e^{-x} = 2c$
તૃતીય વિકલન: $(y''' - 2y'' + y') e^{-x} - (y'' - 2y' + y) e^{-x} = 0$
કારણ કે $e^{-x} \neq 0$,તેથી $y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,$\frac{dy}{dx} = \sin(x+y) \tan(x+y) - 1$.
ધારો કે $x+y = z$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} - 1$.
આ કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dz}{dx} - 1 = \sin z \tan z - 1$
$\frac{dz}{dx} = \sin z \tan z = \sin z \cdot \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{\sin^2 z}{\cos z}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\int \frac{\cos z}{\sin^2 z} dz = \int dx$.
ધારો કે $\sin z = t$,તેથી $\cos z dz = dt$.
$\int \frac{1}{t^2} dt = x + c$
$- \frac{1}{t} = x + c$
$- \operatorname{cosec} z = x + c$
$z = x+y$ પાછું મૂકતા:
$- \operatorname{cosec}(x+y) = x + c$
$x + \operatorname{cosec}(x+y) = c$ (જ્યાં $c$ એ સ્વૈર અચળાંક છે).

(A) સદિશ $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માનની ગણતરી:
$M_1 = |\vec{a}_1| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.45$
$M_2 = |\vec{a}_2| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40$
$M_3 = |\vec{a}_3| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \approx 1.73$
$M_4 = |\vec{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} \approx 3.32$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$,જેનો અર્થ છે કે $M_3 < M_1 < M_4 < M_2$.

(D) આપેલ સમીકરણો $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ અને $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$m = -2l - 2n$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{l}{n}$. તો $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ અને $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ છે.
તો $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
તે જ રીતે,$l = -\frac{m+2n}{2}$ ને $(2)$ માં મૂકતા $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ મળે છે.
$n^2$ વડે ભાગતા,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
ધારો કે $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ અને $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. તો $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
બે રેખાઓ માટે જેમની દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અવકાશમાં એક રેખા જે યામ અક્ષો સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે છે,તેના દિશા કોસાઇન માટે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $E = \cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta) + (\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma) + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
$\sin^2$ વાળા પદો ઉડી જશે:
$E = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma$.
કારણ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,તેથી પદાવલિની કિંમત $1$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,$P(E_1) = \frac{1}{4}$,$P(E_2 / E_1) = \frac{1}{2}$,અને $P(E_1 / E_2) = \frac{1}{4}$.
$(A)$ કારણ કે $P(E_2 / E_1) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)}$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{1/4}$,એટલે કે $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$.
વળી,$P(E_1 / E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1}{4}$.
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1/8}{P(E_2)} = \frac{1}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $P(E_2) = \frac{1}{2}$. આમ,$(A)$ એ $(iv)$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8}$. આમ,$(B)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ $P(\bar{E}_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{1 - P(E_1 \cup E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1 - 5/8}{1 - 1/2} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$. આમ,$(C)$ એ $(vi)$ સાથે જોડાય છે.
$(D)$ $P(E_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1/4 - 1/8}{1 - 1/2} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}$. આમ,$(D)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.

(A) અહીં $X$ એ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ વિસ્તાર ધરાવતો દ્વિપદી ચલ છે,તેથી પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 6$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
પ્રશ્ન મુજબ,$P(X=2) = 4 P(X=4)$.
કિંમતો મૂકતા:
${^6C_2} p^2 q^4 = 4 \cdot {^6C_4} p^4 q^2$.
કારણ કે ${^6C_2} = 15$ અને ${^6C_4} = 15$,તેથી:
$15 p^2 q^4 = 4 \cdot 15 p^4 q^2$.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$q^2 = 4 p^2$.
$q = 1-p$ મૂકતા:
$(1-p)^2 = 4 p^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$1-p = 2p$ અથવા $1-p = -2p$.
કિસ્સો $1$: $1 = 3p \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $1 = -p \Rightarrow p = -1$ (જે શક્ય નથી કારણ કે $0 \leq p \leq 1$).
તેથી,પ્રાચલ $p = \frac{1}{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=x^2+a x+b$ ના બીજ કાલ્પનિક છે.
બીજ કાલ્પનિક હોવાથી,વિવેચક $D < 0$,તેથી $a^2-4b < 0$.
હવે,આપણે વિકલન મેળવીએ:
$f^{\prime}(x) = 2x+a$
$f^{\prime \prime}(x) = 2$
આ કિંમતોને $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2+ax+b) + (2x+a) + 2 = 0$
$x^2+(a+2)x+(a+b+2) = 0$
ધારો કે $D'$ એ આ નવા દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક છે:
$D' = (a+2)^2 - 4(a+b+2)$
$D' = a^2+4a+4 - 4a-4b-8$
$D' = a^2-4b-4$
કારણ કે $a^2-4b < 0$,તેથી $a^2-4b-4 < -4$.
તેથી,$D' < 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ સમીકરણના બીજ પણ કાલ્પનિક છે.

(D) આપેલ છે,$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow e^{-2x} + e^{2x} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$e^u$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{-2x} + e^{2x} = (1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} - \frac{(-2x)^3}{3!} + \ldots) + (1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \ldots)$
$= 2(1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \ldots) = 2 + 4x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \ldots$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,તમામ એકી ક્રમના સહગુણકો $a_1, a_3, a_5, \ldots$ એ $0$ છે.
તેથી,$2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots = 0$.

(C) આપેલ સંભાવના વિતરણ:
મધ્યક $m = \sum p_i x_i = (0 \times \frac{1}{3}) + (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times 0) + (3 \times \frac{1}{6})$
$m = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$
વિચરણ $\sigma^2 = \sum p_i (x_i - m)^2$
$\sigma^2 = \frac{1}{3}(0 - 1)^2 + \frac{1}{2}(1 - 1)^2 + 0(2 - 1)^2 + \frac{1}{6}(3 - 1)^2$
$\sigma^2 = \frac{1}{3}(1) + \frac{1}{2}(0) + 0 + \frac{1}{6}(4)$
$\sigma^2 = \frac{1}{3} + 0 + 0 + \frac{4}{6} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$
આમ,$m = 1$ અને $\sigma^2 = 1$,તેથી $m = \sigma^2 = 1$.

(D) આ પ્રદેશ $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે $y=\sin x$,$y=\cos x$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A_1$ એ $x=0$ થી $x=\frac{\pi}{4}$ સુધી $y=\sin x$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$A_1 = \int_0^{\pi/4} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi/4} = -(\cos \frac{\pi}{4} - \cos 0) = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
ક્ષેત્રફળ $A_2$ એ $x=\frac{\pi}{4}$ થી $x=\frac{\pi}{2}$ સુધી $y=\cos x$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$A_2 = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} : \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = 1 : 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ થાય.
શ્રેણિક $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક લેતા:
$(AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
ગુણધર્મ $(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(AB - BA)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ મૂકતા:
$(AB - BA)^{\prime} = BA - AB$
$(AB - BA)^{\prime} = -(AB - BA)$
કારણ કે શ્રેણિક $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક તેના ઋણ મૂલ્ય જેટલો છે,તેથી $(AB - BA)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(D) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત ન હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$|A| = -x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
નિરીક્ષણ દ્વારા,જો $x = 1$ લઈએ,તો $1^3 + 1 - 2 = 0$ થાય છે,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $x = 1$ હોય,તો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ બને છે.
અહીં પ્રથમ અને ત્રીજી હાર (અથવા સ્તંભ) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયક $0$ થાય છે.
તેથી,$x$ ની વાસ્તવિક કિંમત $1$ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{lll}3 & 5 & x \\ 7 & x & 7 \\ x & 5 & 3\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$3(3x - 35) - 5(21 - 7x) + x(35 - x^2) = 0$
$9x - 105 - 105 + 35x + 35x - x^3 = 0$
$-x^3 + 79x - 210 = 0$
$x^3 - 79x + 210 = 0$
અહીં $x = -10$ એ એક બીજ છે,તેથી $(x + 10)$ એ એક અવયવ છે.
બહુપદીના ભાગાકાર કરતા:
$(x + 10)(x^2 - 10x + 21) = 0$
$(x + 10)(x - 3)(x - 7) = 0$
તેથી બીજ $x = -10, 3, 7$ મળે છે.
આમ,અન્ય બીજ $3$ અને $7$ છે.

(D) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $R$ એ ગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
તેથી,$n$-મું પદ $T_n = a R^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $x = T_p = a R^{p-1}$,$y = T_q = a R^{q-1}$,અને $z = T_r = a R^{r-1}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log x = \log a + (p-1) \log R$
$\log y = \log a + (q-1) \log R$
$\log z = \log a + (r-1) \log R$
હવે,આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a + (p-1) \log R & p & 1 \\ \log a + (q-1) \log R & q & 1 \\ \log a + (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને બે નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a & p & 1 \\ \log a & q & 1 \\ \log a & r & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} (p-1) \log R & p & 1 \\ (q-1) \log R & q & 1 \\ (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ સ્તંભ એ ત્રીજા સ્તંભના $\log a$ ગણા છે,તેથી તેની કિંમત $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = 0 + \log R \left|\begin{array}{lll} p-1 & p-1 & 1 \\ q-1 & q-1 & 1 \\ r-1 & r-1 & 1 \end{array}\right|$
અહીં પ્રથમ અને બીજો સ્તંભ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકની કિંમત $0$ થાય છે.
આમ,$\Delta = 0 + 0 = 0$.

(D) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$,$\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}(x)$,અને $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}(x)$.
આપેલ પદાવલિ: $E = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) - 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 3\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 4\tan^{-1}(-1)$
પગલું $1$: ગુણધર્મો લાગુ કરો:
$E = \left(\pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) - 2\left(\frac{\pi}{6}\right) + 3\left(\pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) - 4\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
પગલું $2$: પ્રમાણિત કિંમતો મૂકો:
$E = \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} + 3\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + \pi$
પગલું $3$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો:
$E = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 3\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \pi$
$E = \frac{\pi}{3} + \frac{9\pi}{4} + \pi$
$E = \frac{4\pi + 27\pi + 12\pi}{12} = \frac{43\pi}{12}$

(C) પદાવલિ $\frac{2x-1}{x^3+4x^2+3x}$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,સિવાય કે જ્યાં છેદ શૂન્ય હોય.
છેદને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$x^3+4x^2+3x = 0$
$x(x^2+4x+3) = 0$
$x(x+1)(x+3) = 0$
આમ,પદાવલિ $x = 0$,$x = -1$,અને $x = -3$ માટે અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,ગણ $R - \{0, -1, -3\}$ છે.

(B) સંખ્યાત્મક સંકલન માટે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\text{અંતર} = \int_{0}^{10} v \ dt \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) + y_5]$
અહીં,અંતરાલની પહોળાઈ $h = 2 \ s$ છે.
કિંમતો $y_0=0, y_1=12, y_2=16, y_3=20, y_4=35, y_5=60$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{અંતર} = \frac{2}{2} [0 + 2(12 + 16 + 20 + 35) + 60]$
$= 1 \times [0 + 2(83) + 60]$
$= 166 + 60$
$= 226 \ \text{m}$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોય તે માટે શરત $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ નું પાલન થવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $x \neq 0$ માટે $f(x) = \frac{2 \sin x - \sin 2x}{2x \cos x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x - 2 \sin x \cos x}{2x \cos x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x (1 - \cos x)}{2x \cos x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right)$
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x} = \frac{1 - 1}{1} = 0$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 1 \cdot 0 = 0$.
કારણ કે $f(0) = a$,સાતત્ય માટે $a = 0$ હોવું જોઈએ.

(B) આપેલ છે,$x = \frac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}$.
યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{(1+\sqrt{y})+(1-\sqrt{y})}{(1+\sqrt{y})-(1-\sqrt{y})}$
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{2}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sqrt{y} = \frac{1-x}{1+x}$,તેથી $y = \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
ભાગાકારના નિયમ મુજબ:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(\frac{-2}{(1+x)^2}\right) = \frac{-4(1-x)}{(1+x)^3} = \frac{4(x-1)}{(1+x)^3}$.

(D) આપેલ છે,વ્યાસમાં ભૂલ $\Delta D = \pm 0.04 \text{ cm}$.
કારણ કે $D = 2r$,તેથી ત્રિજ્યામાં ભૂલ $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \pm 0.02 \text{ cm}$ થાય.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dV = 4 \pi r^2 dr$ મળે.
ઘનફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dV}{V} = \frac{4 \pi r^2 dr}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{dr}{r}$ થાય.
ઘનફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $= \frac{dV}{V} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$.
કિંમતો $r = 10 \text{ cm}$ અને $\Delta r = \pm 0.02 \text{ cm}$ મૂકતા:
પ્રતિશત ભૂલ $= 3 \times \frac{\pm 0.02}{10} \times 100 = 3 \times (\pm 0.002) \times 100 = \pm 0.6\%$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ છે.
અંતિમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
અંતિમ કિંમતો માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ:
$3x^2 + 2ax + b = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b = 4(a^2 - 3b)$ છે.
શરત $a^2 \leq 3b$ આપેલ હોવાથી,$a^2 - 3b \leq 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $D \leq 0$.
જો $D < 0$ હોય,તો દ્વિઘાત સમીકરણ $f'(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી,જેનો અર્થ છે કે $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી અને વિધેય ચુસ્તપણે એકવિધ છે.
જો $D = 0$ હોય,તો $f'(x) = 3(x + a/3)^2$,જે હંમેશા $\geq 0$ છે,તેથી વિધેય સતત વધતું વિધેય છે અને તેમાં નતિપરિવર્તન બિંદુ છે,અંતિમ કિંમત નથી.
તેથી,વિધેય કોઈ અંતિમ કિંમત ધરાવતું નથી.

(B) આપેલ છે,$\frac{d}{d x}\left[a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right]=\frac{1}{x^4-1}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \int \frac{1}{x^4-1} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{x^4-1} = \frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+1} \right]$.
તેથી,$\int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રો $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right|$ અને $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \tan^{-1} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -\frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = -\frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$a - 2b = -\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{(x+1) \sqrt{4 x+3}}$.
$4x + 3 = t^2$ આદેશ લેતા,$4dx = 2tdt$ અથવા $dx = \frac{1}{2}tdt$ મળે.
વળી,$x = \frac{t^2 - 3}{4}$,તેથી $x + 1 = \frac{t^2 - 3}{4} + 1 = \frac{t^2 + 1}{4}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\frac{1}{2} t dt}{(\frac{t^2 + 1}{4}) t} = \int \frac{\frac{1}{2} dt}{\frac{t^2 + 1}{4}} = 2 \int \frac{dt}{t^2 + 1}$.
સંકલન કરતા,$I = 2 \tan^{-1}(t) + c$ મળે.
$t = \sqrt{4x + 3}$ પાછા મૂકતા,$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{4x + 3}) + c$ મળે.

(C) આપણને $I_n = \int \sin^n x \, dx$ આપેલ છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \sin^{n-1} x$ અને $dv = \sin x \, dx$ લો.
તેથી $du = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx$ અને $v = -\cos x$ મળે.
સૂત્ર $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x - \int (-\cos x) (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx$
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx$
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx$
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$
પદોને ગોઠવતા:
$I_n + (n-1) I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}$
$n I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}$
$n I_n - (n-1) I_{n-2} = -\sin^{n-1} x \cos x$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} dx$.
નિત્યસમ $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{1}{1+\frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} dx = \int_0^\pi \frac{1+\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)+2 \tan(x/2)} dx$.
કારણ કે $1+\tan^2(x/2) = \sec^2(x/2)$,તેથી:
$I = \int_0^\pi \frac{\sec^2(x/2)}{(1+\tan(x/2))^2} dx$.
ધારો કે $t = \tan(x/2)$,તો $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $t \to 0$. જ્યારે $x \to \pi$,ત્યારે $t \to \infty$.
આમ,$I = \int_0^\infty \frac{2 dt}{(1+t)^2} = 2 \left[ -\frac{1}{1+t} \right]_0^\infty = 2(0 - (-1)) = 2$.

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}_1=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{a}_2=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\overrightarrow{a}_3=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{a}_4=-\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
માન $m_1, m_2, m_3, m_4$ ની ગણતરી કરતા:
$m_1 = |\overrightarrow{a}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
$m_2 = |\overrightarrow{a}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41}$
$m_3 = |\overrightarrow{a}_3| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$
$m_4 = |\overrightarrow{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$.
તેથી,$m_3 < m_1 < m_4 < m_2$.

(A) બે સદિશો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે ખૂણો $\theta > 90^{\circ}$ છે,તેથી $\cos \theta < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\lambda)(\lambda) + (-7)(1) + (3)(2\lambda) = \lambda^2 - 7 + 6\lambda$.
અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય કરતા નાનો લેતા: $\lambda^2 + 6\lambda - 7 < 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(\lambda + 7)(\lambda - 1) < 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને મળે છે કે $\lambda$ એ $-7$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
તેથી,$-7 < \lambda < 1$.

(A) ગોલકનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+z^2-12x-4y-3z=0$ છે.
આને ગોલકના વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2u=-12$,$2v=-4$,અને $2w=-3$ મળે છે.
આમ,$u=-6$,$v=-2$,અને $w=-\frac{3}{2}$ છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (6, 2, \frac{3}{2})$ છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ એ સૂત્ર $r = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $r = \sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-\frac{3}{2})^2-0}$ મળે છે.
$r = \sqrt{36+4+\frac{9}{4}} = \sqrt{40+\frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{160+9}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}}$.
તેથી,$r = \frac{13}{2}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}$.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
તેથી,પદાવલિ $\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{DC}$ બને છે.
કારણ કે $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{AC}+2(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD})-2\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AC}+4\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{DC}$.
$Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{QC}$.
$P$ એ $DC$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$ અને $\overrightarrow{PC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$,એટલે કે $\overrightarrow{DC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{PC}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $3(2\overrightarrow{QC}) - 4(\frac{3}{2}\overrightarrow{PC}) = 6\overrightarrow{QC} - 6\overrightarrow{PC} = 6(\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CP}) = 6\overrightarrow{QP}$.
કારણ કે $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$,આપણને $6\overrightarrow{QP} = -6\overrightarrow{PQ}$ મળે છે.
$k\overrightarrow{PQ}$ સાથે સરખાવતા,$k = -6$ મળે છે.

(B) દિશા ગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2=m^2+n^2$ છે.
$l+m+n=0$ પરથી,આપણને $l=-(m+n)$ મળે છે.
આ કિંમતને $l^2=m^2+n^2$ માં મૂકતા,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ મળે છે.
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,જેનો અર્થ છે કે $2mn=0$,તેથી $mn=0$.
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $m=0$. તો $l=-n$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, 0, -k)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $II$: $n=0$. તો $l=-m$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, -k, 0)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$. ધારો કે $m=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(0, 1, -1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$. ધારો કે $l=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે છે.
ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ એટલે કે $(1, 1, -2)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરીએ.
$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} = 2(-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - (-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}) = (-2\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}) + (2\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}) = \hat{j}+\hat{k}$.
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) + (2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{k}$.
ધારો કે $\theta$ એ આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે. ખૂણાનો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k})}{|\hat{j}+\hat{k}| |\hat{i}+\hat{k}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 1$.
માન (magnitudes) ની ગણતરી કરતા: $|\hat{j}+\hat{k}| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}$ અને $|\hat{i}+\hat{k}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2+m^2-n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m=0$. તો $l = -n$. દિક્ગુણોત્તર $(-1, 0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -n$. તો $l = 0$. દિક્ગુણોત્તર $(0, -1, 1)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓ સદિશ $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(x, y, z)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + cz_1 + d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
અહીં,બિંદુ $(3, 2, 1)$ છે અને સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z - 7 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(2(3) - 1(2) + 3(1) - 7)}{2^2 + (-1)^2 + 3^2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(6 - 2 + 3 - 7)}{4 + 1 + 9}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(0)}{14} = 0$
દરેક ભાગને $0$ સાથે સરખાવતા:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$
આમ,બિંદુનું પ્રતિબિંબ $(3, 2, 1)$ છે,જેનો અર્થ છે કે બિંદુ સમતલ પર જ આવેલું છે.