જો $n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય જેને $3$ વડે ભાગતા શેષ $1$ વધે,તો $(1+\sqrt{3}i)^n + (1-\sqrt{3}i)^n$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $z = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$. તો $21 + \left(z + \frac{1}{z}\right)^{3} + \left(z^{2} + \frac{1}{z^{2}}\right)^{3} + \left(z^{3} + \frac{1}{z^{3}}\right)^{3} + \dots + \left(z^{21} + \frac{1}{z^{21}}\right)^{3}$ ની કિંમત .... છે.

સંકર સંખ્યા $\left(\frac{2+i \sqrt{5}}{2-i \sqrt{5}}\right)^{10}+\left(\frac{2-i \sqrt{5}}{2+i \sqrt{5}}\right)^{10}$ નો માનાંક શોધો.

જો $\alpha$ એ $\alpha^{2}+\alpha+1=0$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું સંકર સંખ્યા હોય,તો $\alpha^{31}$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ ના બીજ છે,જેથી $\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)$ થાય. ધારો કે $a, b$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવા પૂર્ણાંકો છે અને $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે,જેથી $\frac{\alpha^{99}}{\beta}+\alpha^{98}=3^n(a+ib)$,જ્યાં $i=\sqrt{-1}$ છે. તો $n+a+b$ ની કિંમત શોધો:

$n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે અને $3$ નો ગુણક નથી. જો $\omega$ એ એકમનું અવાસ્તવિક ઘનમૂળ હોય,તો $\omega^n + \omega^{2n}$ ની કિંમત શું થાય?