AIEEE 2005 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$.
આ શરત સૂચવે છે કે સંકર સંખ્યાઓ ${z_1}$ અને ${z_2}$ સંકર સમતલમાં ઉગમબિંદુમાંથી નીકળતા એક જ કિરણ પર આવેલા છે.
ધારો કે ${z_1} = {r_1}(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})$ અને ${z_2} = {r_2}(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})$.
તેથી $|{z_1} + {z_2}|^2 = (|{z_1}| + |{z_2}|)^2 = |{z_1}|^2 + |{z_2}|^2 + 2|{z_1}||{z_2}|$.
વળી,$|{z_1} + {z_2}|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,$2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2|z_1||z_2|$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$.
આમ,$\theta_1 - \theta_2 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $\text{arg}({z_1}) - \text{arg}({z_2}) = 0$.

(A) આપેલ છે કે $|w| = 1$,તેથી $\left| \frac{z}{z - \frac{i}{3}} \right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z| = |z - \frac{i}{3}|$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $|x + iy| = |x + i(y - \frac{1}{3})|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + y^2 = x^2 + (y - \frac{1}{3})^2$.
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}$.
$0 = -\frac{2}{3}y + \frac{1}{9}$ $\Rightarrow \frac{2}{3}y = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow y = \frac{1}{6}$.
આ સંકર સમતલમાં એક આડી સીધી રેખા $y = \frac{1}{6}$ દર્શાવે છે.
તેથી,$z$ એક સીધી રેખા પર આવેલું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x - 1)^3 + 8 = 0$ છે.
આને $(x - 1)^3 = -8$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$x - 1 = (-8)^{1/3}$ મળે.
એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ હોવાથી,$-8$ ના ઘનમૂળ $-2, -2\omega, -2\omega^2$ થાય.
તેથી,$x - 1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા,$x = 1 - 2, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ મળે.
આમ,બીજ $-1, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x = 1 + a + a^2 + \dots = \frac{1}{1-a}$,$y = 1 + b + b^2 + \dots = \frac{1}{1-b}$,અને $z = 1 + c + c^2 + \dots = \frac{1}{1-c}$ જ્યાં $|a|, |b|, |c| < 1$.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
દરેક પદને $1$ માંથી બાદ કરતા,$1-a, 1-b, 1-c$ પણ $A.P.$ માં થશે કારણ કે $(1-a) + (1-c) = 2 - (a+c) = 2 - 2b = 2(1-b)$.
જેથી $1-a, 1-b, 1-c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{1-a}, \frac{1}{1-b}, \frac{1}{1-c}$ એ $H.P.$ માં હશે.
તેથી,$x, y, z$ એ $H.P.$ માં છે.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha + 1$ છે.
તેથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + (\alpha + 1) = 2\alpha + 1 = b$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha(\alpha + 1) = c$ થાય.
હવે,આપણે વિવેચક $b^2 - 4c$ ની ગણતરી કરીએ:
$b^2 - 4c = (2\alpha + 1)^2 - 4\alpha(\alpha + 1)$
$= 4\alpha^2 + 4\alpha + 1 - 4\alpha^2 - 4\alpha$
$= 1$.
તેથી,$b^2 - 4c = 1$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ છે.
બંને બીજ $5$ કરતા નાના હોવા માટેની શરતો:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$:
$D = 20 - 4k \ge 0 \Rightarrow k \le 5$.
$2$. $f(5) > 0$:
$f(5) = k^2 - 9k + 20 > 0 \Rightarrow k \in (-\infty, 4) \cup (5, \infty)$.
$3$. શિરોબિંદુનું સ્થાન: $-\frac{b}{2a} < 5$:
$k < 5$.
ત્રણેય શરતોનો છેદ લેતા,$k \in (-\infty, 4)$ મળે છે.

(C) $SACHIN$ શબ્દના અક્ષરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં $A, C, H, I, N, S$ છે.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$C$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$N$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$S$ થી શરૂ થતા શબ્દો પહેલાના કુલ શબ્દો $5 \times 120 = 600$ છે.
શબ્દકોશમાં ત્યારપછીનો પ્રથમ શબ્દ $S$ થી શરૂ થાય છે,જે $SACHIN$ છે.
તેથી,$SACHIN$ નો ક્રમ $600 + 1 = 601$ છે.

(B) આપેલ પદ $S = {}^{50}C_4 + \sum_{r=1}^{6} {}^{56-r}C_3$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા,$S = {}^{50}C_4 + ({}^{55}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{52}C_3 + {}^{51}C_3 + {}^{50}C_3)$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$S = ({}^{50}C_4 + {}^{50}C_3) + {}^{51}C_3 + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3$.
પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{50}C_4 + {}^{50}C_3 = {}^{51}C_4$ થાય.
આમ,$S = ({}^{51}C_4 + {}^{51}C_3) + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3 = {}^{52}C_4 + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$S = {}^{56}C_4$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $p^{th}$,$(p + 1)^{th}$ અને $(p + 2)^{th}$ પદોના સહગુણકો $^nC_{p-1}$,$^nC_p$ અને $^nC_{p+1}$ છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$2(^nC_p) = ^nC_{p-1} + ^nC_{p+1}$ થાય.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $n^2 - n(4p + 1) + 4p^2 - 2 = 0$ મળે છે.
ચકાસણી: જો $p = 1$ લઈએ,તો $^nC_0, ^nC_1, ^nC_2$ એ $A.P.$ માં છે.
$2(^nC_1) = ^nC_0 + ^nC_2$ $\Rightarrow 2n = 1 + \frac{n(n-1)}{2}$ $\Rightarrow n^2 - 5n + 2 = 0$.
વિકલ્પ $(b)$ માં $p=1$ મૂકતા $n^2 - 5n + 2 = 0$ મળે છે,જે સાચું છે.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+x)^{3/2} \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2$
$(1 + \frac{1}{2}x)^3 \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x^2$
અંશની કિંમત: $(1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2) - (1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x^2) = -\frac{3}{8}x^2$
છેદ $(1-x)^{1/2} \approx 1$ લેતા,અંતિમ જવાબ $-\frac{3}{8}x^2$ મળે છે.

(A) ${\left( {a{x^2} + \frac{1}{{bx}}} \right)^{11}}$ ના વિસ્તરણમાં,સામાન્ય પદ ${T_{r + 1}} = {}^{11}{C_r}{(a{x^2})^{11 - r}}{\left( {\frac{1}{{bx}}} \right)^r} = {}^{11}{C_r}{a^{11 - r}}{b^{ - r}}{x^{22 - 3r}}$ છે.
$x^7$ માટે,$22 - 3r = 7$ લેતા,$r = 5$ મળે છે. સહગુણક ${}^{11}{C_5}{a^6}{b^{ - 5}}$ છે.
${\left( {ax - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ ના વિસ્તરણમાં,સામાન્ય પદ ${T_{r + 1}} = {}^{11}{C_r}{(ax)^{11 - r}}{\left( { - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^r} = {}^{11}{C_r}{( - 1)^r}{a^{11 - r}}{b^{ - r}}{x^{11 - 3r}}$ છે.
$x^{ - 7}$ માટે,$11 - 3r = -7$ લેતા,$r = 6$ મળે છે. સહગુણક ${}^{11}{C_6}{( - 1)^6}{a^5}{b^{ - 6}} = {}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 6}}$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા: ${}^{11}{C_5}{a^6}{b^{ - 5}} = {}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 6}}$.
${}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 5}}$ વડે ભાગતા,$a = 1/b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $ab = 1$.

(B) $\cosh(x)$ નું વિસ્તરણ $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots \infty$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણીને $1 + \frac{(1/2)^2}{2!} + \frac{(1/2)^4}{4!} + \frac{(1/2)^6}{6!} + \dots \infty$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $\cosh(x)$ ના વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા,આપણે $x = \frac{1}{2}$ લઈએ છીએ.
તેથી,સરવાળો $\frac{e^{1/2} + e^{-1/2}}{2} = \frac{\sqrt{e} + \frac{1}{\sqrt{e}}}{2} = \frac{e + 1}{2\sqrt{e}}$ થાય છે.

(A) $\triangle PQR$ માં,$\angle R = \frac{\pi}{2}$,તેથી $P + Q = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ છે કે $\tan(\frac{P}{2})$ અને $\tan(\frac{Q}{2})$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી:
બીજનો સરવાળો: $\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2}) = -\frac{b}{a}$
બીજનો ગુણાકાર: $\tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2}) = \frac{c}{a}$
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2})}{1 - \tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2})} = 1$
બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર મૂકતા:
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b/a}{(a-c)/a} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ માંથી વેધ $h_a, h_b, h_c$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $h_a = \frac{2\Delta}{a}$,$h_b = \frac{2\Delta}{b}$,અને $h_c = \frac{2\Delta}{c}$,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે $h_a, h_b, h_c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,$a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
તેથી,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
જેમ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2R \sin A, 2R \sin B, 2R \sin C$ એ $A.P.$ માં છે.
આમ,$\sin A, \sin B, \sin C$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle C = \frac{\pi}{2}$ છે,કર્ણ $c = AB$ છે.
પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણના અડધા જેટલી હોય છે,તેથી $R = \frac{c}{2}.$
અંતઃત્રિજ્યા $r$ એ $r = \frac{\Delta}{s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta = \frac{1}{2}ab$ અને $s = \frac{a + b + c}{2}$ છે.
તેથી,$r = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{1}{2}(a + b + c)} = \frac{ab}{a + b + c}.$
હવે,$r + R = \frac{ab}{a + b + c} + \frac{c}{2} = \frac{2ab + c(a + b + c)}{2(a + b + c)}.$
કારણ કે $c^2 = a^2 + b^2,$ તેથી $2ab + c(a + b + c) = 2ab + ca + cb + c^2 = 2ab + ca + cb + a^2 + b^2 = (a + b)^2 + c(a + b) = (a + b)(a + b + c).$
તેથી,$r + R = \frac{(a + b)(a + b + c)}{2(a + b + c)} = \frac{a + b}{2}.$
આમ,$2(r + R) = a + b.$

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $A = (1, 1)$ છે. બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $M_1 = (-1, 2)$ અને $M_2 = (3, 2)$ છે.
$M_1$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{A+B}{2} = M_1 \implies B = 2M_1 - A = 2(-1, 2) - (1, 1) = (-3, 3)$.
$M_2$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = M_2 \implies C = 2M_2 - A = 2(3, 2) - (1, 1) = (5, 3)$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ થાય.
$G = \left( \frac{1 - 3 + 5}{3}, \frac{1 + 3 + 3}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{7}{3} \right) = \left( 1, \frac{7}{3} \right)$.

(C) ધારો કે $P = (1, 0)$ અને $Q = (h, k)$ એ પરવલય $y^2 = 8x$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $k^2 = 8h$.
ધારો કે $(x, y)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $x = \frac{h + 1}{2}$ અને $y = \frac{k + 0}{2}$.
આથી $h = 2x - 1$ અને $k = 2y$ મળે.
આ કિંમતોને $k^2 = 8h$ માં મૂકતા:
$(2y)^2 = 8(2x - 1)$
$4y^2 = 16x - 8$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $y^2 = 4x - 2$ મળે,જે $y^2 - 4x + 2 = 0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણી $(H.P.)$ માં છે,તેથી $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$,જેનો અર્થ છે $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} - \frac{2}{b} = 0$ $... (i)$
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{1}{c} = 0$ છે $... (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $\frac{1}{a}(x) + \frac{1}{c}(1) + \frac{1}{b}(y) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$. આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) = 0$
પદોને $\frac{1}{a}$ અને $\frac{1}{b}$ દ્વારા ગોઠવતા:
$\frac{1}{a}(x - 1) + \frac{1}{b}(y + 2) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a, b, c$ માટે સાચું રહે તે માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -2)$ છે.

(C) છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$ax + 2by = -3b$ $(1)$
$bx - 2ay = 3a$ $(2)$
$(1)$ ને $a$ વડે અને $(2)$ ને $b$ વડે ગુણતા:
$a^2x + 2aby = -3ab$
$b^2x - 2aby = 3ab$
સરવાળો કરતા: $(a^2 + b^2)x = 0$. $(a, b) \ne (0, 0)$ હોવાથી,$a^2 + b^2 \ne 0$,તેથી $x = 0$.
$x = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2by = -3b$. જો $b \ne 0$ હોય,તો $y = -3/2$.
આમ,છેદબિંદુ $(0, -3/2)$ છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સ્વરૂપ $y = k$ છે. તે $(0, -3/2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,રેખા $y = -3/2$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષની નીચે $3/2$ એકમ અંતરે છે.

(B) રેખાઓ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$h = a + b$,તેથી $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{a^2 + ab + b^2}}{a + b} \right|$.
રેખાઓ વર્તુળને $\theta$ અને $\pi - \theta$ ખૂણાવાળા ચાર વૃત્તાંશમાં વિભાજિત કરે છે.
આપેલ છે કે એક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ બીજા કરતા ત્રણ ગણું છે,તેથી $\pi - \theta = 3\theta$,જેનો અર્થ છે કે $4\theta = \pi$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\tan^2 \theta = \tan^2(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$\frac{4(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)^2} = 1$.
$4a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$3a^2 + 2ab + 3b^2 = 0$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે વર્તુળ $x^2 + y^2 = p^2$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે,તેથી શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ $2g(0) + 2f(0) = c - p^2$,જેનો અર્થ છે કે $c = p^2$.
વર્તુળ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + p^2 = 0$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(x, y)$ છે,તેથી $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a^2 + b^2 + 2(-x)a + 2(-y)b + p^2 = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2ax + 2by - (a^2 + b^2 + p^2) = 0$ થાય છે.

(D) સામાન્ય જીવા $PQ$ નું સમીકરણ બંને વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મળે છે: $(x^2 + y^2 + 2ax + cy + a) - (x^2 + y^2 - 3ax + dy - 1) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $5ax + (c - d)y + (a + 1) = 0$ થાય છે.....$(i)$
$P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી રેખાનું આપેલ સમીકરણ $5x + by - a = 0$ છે.....$(ii)$
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{5a}{5} = \frac{c - d}{b} = \frac{a + 1}{-a}$
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગ પરથી: $a = \frac{a + 1}{-a}$
$-a^2 = a + 1$
$a^2 + a + 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $a^2 + a + 1 = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = -3$ છે.
$D < 0$ હોવાથી,$a$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |k|$ થાય.
આ વર્તુળ $(0, 3)$ કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળને પણ સ્પર્શે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\sqrt{(h - 0)^2 + (k - 3)^2} = r + 2$.
$r = |k|$ મૂકતા,આપણને મળે: $\sqrt{h^2 + (k - 3)^2} = |k| + 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $h^2 + (k - 3)^2 = (|k| + 2)^2$.
$h^2 + k^2 - 6k + 9 = k^2 + 4|k| + 4$.
$h^2 = 4|k| + 6k + 5$.
જો $k > 0$ હોય,તો $h^2 = 10k + 5 = 10(k + 0.5)$,જે પરવલય દર્શાવે છે.
આમ,કેન્દ્ર $(x, y)$ નો બિંદુપથ $x^2 = 10y + 5$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\angle F'BF = 90^\circ$,જેનો અર્થ છે કે $F'B \perp FB$.
બિંદુઓના યામ $B(0, b)$,$F(ae, 0)$,અને $F'(-ae, 0)$ છે.
$FB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ છે.
$F'B$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ છે.
$F'B \perp FB$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \implies b^2 = a^2e^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
આ સમીકરણમાં $b^2 = a^2e^2$ મૂકતા:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં આપેલી રેખા $y = \alpha x + \beta$ માટે,$m = \alpha$ અને $c = \beta$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા,આપણને $\beta^2 = a^2\alpha^2 - b^2$ મળે છે.
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = a^2x^2 - b^2$ મળે છે,જેને $a^2x^2 - y^2 = b^2$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમીકરણ એક અતિવલય દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 - (a - 2)x - a + 1 = 0$ ના બીજો છે.
બીજોના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = a - 2$ અને $\alpha \beta = -a + 1$ મળે છે.
ધારો કે $S$ એ બીજોના વર્ગોનો સરવાળો છે,તેથી $S = \alpha^2 + \beta^2$.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (a - 2)^2 - 2(-a + 1)$
$S = a^2 - 4a + 4 + 2a - 2$
$S = a^2 - 2a + 2$.
$S$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $a$ ની કિંમત શોધવા,આપણે $S$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dS}{da} = 2a - 2$.
$\frac{dS}{da} = 0$ લેતા,$2a - 2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
અહીં $\frac{d^2S}{da^2} = 2 > 0$ હોવાથી,વિધેય $S$ ને $a = 1$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
આમ,$a$ ની કિંમત $1$ છે.

(C) ધારો કે ઉપવલય પરનું એક બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસ ઉપવલયમાં અંતર્ગત હોવાથી,તેના શિરોબિંદુઓ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$,$(-a \cos \theta, b \sin \theta)$,$(-a \cos \theta, -b \sin \theta)$ અને $(a \cos \theta, -b \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $2a \cos \theta$ અને પહોળાઈ $2b \sin \theta$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2a \cos \theta) \times (2b \sin \theta) = 4ab \sin \theta \cos \theta = 2ab \sin 2\theta$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2\theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\sin 2\theta = 1$.
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $2ab(1) = 2ab$ છે.

(A) આપેલ છે કે $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6}$ અને $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.
$P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)]$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = 1 - [\frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}] = 1 - [\frac{1}{2} + P(B)] = \frac{1}{2} - P(B)$.
તેથી,$P(B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
હવે,સ્વતંત્રતા માટે ચકાસણી: $P(A) \times P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{4}$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.
$P(A) = \frac{3}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$P(A) \neq P(B)$,તેથી તેઓ સમાન સંભાવના ધરાવતી નથી.
આમ,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે પરંતુ સમાન સંભાવના ધરાવતી નથી.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અવલોકનોના સમૂહ માટે,રૂટ મીન સ્ક્વેર એ સમાંતર મધ્યક કરતા મોટું અથવા તેના જેટલું હોય છે,એટલે કે $RMS \ge AM$.
$\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}} \ge \frac{\sum x_i}{n}$
આપેલ કિંમતો $\sum x_i^2 = 400$ અને $\sum x_i = 80$ મૂકતા:
$\sqrt{\frac{400}{n}} \ge \frac{80}{n}$
$\frac{20}{\sqrt{n}} \ge \frac{80}{n}$
$\frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{4}{n}$
$\sqrt{n} \ge 4$
$n \ge 16$
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$16$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી એકમાત્ર કિંમત $18$ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે:
બહુલક = $3 \times \text{મધ્યસ્થ} - 2 \times \text{મધ્યક}$
અહીં,મધ્યક = $21$ અને મધ્યસ્થ = $22$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
બહુલક = $3(22) - 2(21)$
બહુલક = $66 - 42$
બહુલક = $24$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6} \implies P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ અને $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,તેથી $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) \implies P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
હવે,સ્વતંત્રતા માટે ચકાસણી: $P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$.
કારણ કે $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
કારણ કે $P(A) = \frac{3}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,તેથી તેઓ સમાન સંભાવના ધરાવતી નથી.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ છે.
આપણે $L = \lim_{x \to \alpha} \frac{1 - \cos(ax^2 + bx + c)}{(x - \alpha)^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \to \alpha} \frac{2 \sin^2(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{(x - \alpha)^2}$.
$(\frac{a(x - \beta)}{2})^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = 2 \lim_{x \to \alpha} \left[ \frac{\sin(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2}} \right]^2 \cdot \frac{a^2(x - \beta)^2}{4}$.
જેમ $x \to \alpha$ થાય,તેમ કૌંસમાં રહેલું પદ $1$ ને અનુલક્ષે છે.
$L = 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{a^2(\alpha - \beta)^2}{4} = \frac{a^2}{2}(\alpha - \beta)^2$.

(A) દરેક $3$ વ્યક્તિઓ સ્વતંત્ર રીતે $3$ મકાનોમાંથી કોઈપણ એક પસંદ કરી શકે છે.
$3$ વ્યક્તિઓ દ્વારા મકાન પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= 3 \times 3 \times 3 = 27$.
ત્રણેય વ્યક્તિઓ એક જ મકાન માટે અરજી કરે તે માટે,તેઓએ કાં તો મકાન $1$,અથવા મકાન $2$,અથવા મકાન $3$ પસંદ કરવું પડે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 3$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$.

(C) $1$. સ્વવાચકતા માટે ચકાસણી: ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય. અહીં,$(3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12) \in R$ છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા માટે ચકાસણી: સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય. અહીં,$(3, 6) \in R$ છે,પરંતુ $(6, 3) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા માટે ચકાસણી: સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય. જોડીઓ તપાસતા: $(3, 6) \in R$ અને $(6, 12) \in R \implies (3, 12) \in R$ (હાજર છે). આવી તમામ જોડીઓ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: આ સંબંધ માત્ર સ્વવાચક અને પરંપરિત છે.

(D) ધારો કે $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x$.
અહીં $f(0) = 0$ અને $f(\alpha) = 0$ છે,જ્યાં $\alpha > 0$,તેથી વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $[0, \alpha]$ પર રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,વિકલિત $f'(x) = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ વિવૃત અંતરાલ $(0, \alpha)$ માં મળે.
વિકલિત $f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$ છે.
તેથી,સમીકરણ $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ નું એક ધન બીજ $\alpha$ કરતા નાનું હશે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા ${C_1} \to {C_1} + {C_2} + {C_3}$ લાગુ પાડતા,પ્રથમ સ્તંભ નીચે મુજબ બને છે:
${C_1} = \begin{bmatrix} 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \\ 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \\ 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \end{bmatrix}$.
કેમ કે ${a^2} + {b^2} + {c^2} = -2$,તેથી ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 = 0$ થાય.
આમ,પ્રથમ સ્તંભ $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ બને છે.
$f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\1&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\1&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$.
હવે હાર પ્રક્રિયા ${R_2} \to {R_2} - {R_1}$ અને ${R_3} \to {R_3} - {R_1}$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\0&{1 - x}&0\\0&0&{1 - x}\end{array}} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા,આપણને $f(x) = (1 - x)(1 - x) = {(1 - x)^2}$ મળે છે.
તેથી $f(x) = {(1 - x)^2} = {x^2} - 2x + 1$,જે $2$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય અથવા અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(\alpha^2 - 1) - 1(\alpha - 1) + 1(1 - \alpha) = 0$
$(\alpha - 1)^2(\alpha + 2) = 0$
તેથી,$\alpha = 1$ અથવા $\alpha = -2$.
જો $\alpha = 1$ હોય,તો સમીકરણો $x + y + z = 0$ બને છે,જેના અનંત ઉકેલો મળે છે.
જો $\alpha = -2$ હોય,તો સમીકરણો:
$-2x + y + z = -3$
$x - 2y + z = -3$
$x + y - 2z = -3$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $0 = -9$ મળે છે,જે અશક્ય છે. તેથી,$\alpha = -2$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${A^2} - A + I = 0$
$I$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$I = A - {A^2}$
જમણી બાજુથી $A$ સામાન્ય લેતા:
$I = A(I - A)$
બંને બાજુ ડાબી બાજુથી ${A^{-1}}$ વડે ગુણતા:
${A^{-1}}I = {A^{-1}}A(I - A)$
કારણ કે ${A^{-1}}A = I$ અને ${A^{-1}}I = {A^{-1}}$ હોવાથી:
${A^{-1}} = I(I - A)$
તેથી:
${A^{-1}} = I - A$

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ ગણો.
$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ ગણો.
અવલોકન દ્વારા,તમામ $n \ge 1$ માટે $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.
હવે,$nA - (n - 1)I$ ની કિંમત શોધો:
$nA = n \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 \\ n & n \end{bmatrix}$.
$(n - 1)I = (n - 1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n - 1 & 0 \\ 0 & n - 1 \end{bmatrix}$.
$nA - (n - 1)I = \begin{bmatrix} n - (n - 1) & 0 - 0 \\ n - 0 & n - (n - 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^n = nA - (n - 1)I$ સાચું છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$.
ધારો કે $\cos^{-1} x = A$ અને $\cos^{-1} \frac{y}{2} = B$.
તેથી $x = \cos A$ અને $\frac{y}{2} = \cos B$,એટલે કે $y = 2 \cos B$.
આપેલ સમીકરણ $A - B = \alpha$ બને છે.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા: $\cos(A - B) = \cos \alpha$.
સૂત્ર $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - (\frac{y}{2})^2} = \cos \alpha$.
$\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha - \frac{xy}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1 - x^2)(1 - \frac{y^2}{4}) = (\cos \alpha - \frac{xy}{2})^2$.
$1 - \frac{y^2}{4} - x^2 + \frac{x^2 y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha + \frac{x^2 y^2}{4}$.
$1 - x^2 - \frac{y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$4 - 4x^2 - y^2 = 4 \cos^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$.
પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos^2 \alpha$.
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4(1 - \cos^2 \alpha)$.
કારણ કે $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$,તેથી:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin^2 \alpha$.

(B) કારણ કે $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{BC}$.
$\triangle PAC$ અને $\triangle PBC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CA}$
$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CB}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CB})$
$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PC} + (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$
$C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{CB}$ થાય,તેથી $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 0$.
તેથી,$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PC}$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$.
તેથી,$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$.
હવે,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{i} = a_1(\hat{i} \times \hat{i}) + a_2(\hat{j} \times \hat{i}) + a_3(\hat{k} \times \hat{i}) = 0 - a_2\hat{k} + a_3\hat{j}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = |a_3\hat{j} - a_2\hat{k}|^2 = a_3^2 + a_2^2$.
તે જ રીતે,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = |a_1\hat{k} - a_3\hat{i}|^2 = a_1^2 + a_3^2$.
અને,$|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = |a_2\hat{i} - a_1\hat{j}|^2 = a_2^2 + a_1^2$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_3^2 + a_2^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_2^2 + a_1^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 2|\vec{a}|^2$.

(B) સદિશો એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 1 & -1 & 1 \\ c & 0 & b \end{vmatrix} = 0$
બીજા સ્તંભને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-(-1) \begin{vmatrix} a & c \\ c & b \end{vmatrix} = 0$
$ab - c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
આમ,$c = \sqrt{ab}$,જે $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a\,b\,c]$ એ સદિશો $a$, $b$, અને $c$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1 - x \\ y & x & 1 + x - y \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \to C_3 + C_1$ લાગુ પાડતા:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1 + x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$[a\,b\,c] = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1 + x \end{vmatrix} - 0 + 0 = (1 + x) - x = 1$.
પરિણામ અચળ $1$ હોવાથી, $[a\,b\,c]$ નું મૂલ્ય $x$ કે $y$ પર આધાર રાખતું નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $[\lambda(a + b), \lambda^2 b, \lambda c] = [a, b + c, b]$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda(a + b) \cdot (\lambda^2 b \times \lambda c) = a \cdot ((b + c) \times b)$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lambda(a + b) \cdot (\lambda^3 (b \times c)) = \lambda^4 (a \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times c))$
કારણ કે $b \times b = 0$,આ $\lambda^4 [a, b, c]$ બને છે.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$a \cdot (b \times b + c \times b) = a \cdot (0 + c \times b) = a \cdot (c \times b) = [a, c, b]$
ગુણધર્મ $[a, c, b] = -[a, b, c]$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\lambda^4 [a, b, c] = -[a, b, c]$
પુનઃગોઠવણ કરતા:
$[a, b, c](\lambda^4 + 1) = 0$
કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય છે,$[a, b, c] \neq 0$. તેથી,$\lambda^4 + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda^4 = -1$.
$\lambda$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$\lambda^4$ હંમેશા અ-ઋણ હોવું જોઈએ. તેથી,$\lambda$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.

(D) રેખા $r = a + \lambda b$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2i - 2j + 3k$ અને $b = i - j + 4k$ છે.
સમતલ $r \cdot n = d$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n = i + 5j + k$ અને $d = 5$ છે.
પ્રથમ,$b \cdot n$ શોધીને ચકાસો કે રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં:
$b \cdot n = (i - j + 4k) \cdot (i + 5j + k) = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$.
$b \cdot n = 0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર:
$Distance = \left| \frac{d - a \cdot n}{|n|} \right|$
$a \cdot n = (2i - 2j + 3k) \cdot (i + 5j + k) = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$.
$|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
$Distance = \left| \frac{5 - (-5)}{3\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{10}{3\sqrt{3}} \right| = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $2x = 3y = -z$ અને $6x = -y = -4z$ છે.
પ્રથમ,આપણે રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ માં લખીએ.
પ્રથમ રેખા માટે: $2x = 3y = -z \Rightarrow \frac{x}{1/2} = \frac{y}{1/3} = \frac{z}{-1}$. $6$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$ મળે છે. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (3, 2, -6)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $6x = -y = -4z \Rightarrow \frac{x}{1/6} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1/4}$. $12$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$ મળે છે. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (2, -12, -3)$ છે.
જો બે રેખાઓના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય તો તે પરસ્પર લંબ હોય છે: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(A) પ્રથમ ગોળાનું સમીકરણ ${S_1} \equiv {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 8y - 2z - 13 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર ${C_1} = (-3, 4, 1)$ છે.
બીજા ગોળાનું સમીકરણ ${S_2} \equiv {x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 4y - 2z - 8 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર ${C_2} = (5, -2, 1)$ છે.
${C_1}$ અને ${C_2}$ ને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ $P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{4 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1, 1, 1)$.
સમતલ $2ax - 3ay + 4az + 6 = 0$ એ બિંદુ $P(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$2a(1) - 3a(1) + 4a(1) + 6 = 0$
$2a - 3a + 4a + 6 = 0$
$3a + 6 = 0$
$3a = -6$
$a = -2$.

(D) આપેલ ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 - x + z - 2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $u = -1/2$,$v = 0$,$w = 1/2$,અને $d = -2$ મળે છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (1/2, 0, -1/2)$ છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d} = \sqrt{(-1/2)^2 + 0^2 + (1/2)^2 - (-2)} = \sqrt{1/4 + 0 + 1/4 + 2} = \sqrt{1/2 + 2} = \sqrt{5/2}$ છે.
કેન્દ્ર $(1/2, 0, -1/2)$ થી સમતલ $x + 2y - z - 4 = 0$ નું લંબ અંતર $P$:
$P = \frac{|(1/2) + 2(0) - (-1/2) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|1/2 + 1/2 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
છેદથી બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{R^2 - P^2}$ છે.
$r = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

(B) $-1 < x < 1$ માટે,આપણે $x = \tan \theta$ આદેશ લઈએ,જ્યાં $\theta \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ છે.
તેથી,$\frac{2x}{1-x^2} = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \tan(2\theta)$ થાય.
આમ,$f(x) = \tan^{-1}(\tan(2\theta)) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$ મળે.
કારણ કે $x \in (-1, 1)$,તેથી $\tan^{-1}x \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ થાય.
તેથી,$f(x) \in (2 \times -\frac{\pi}{4}, 2 \times \frac{\pi}{4}) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ મળે.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,સહ-પ્રદેશ $B$ એ વિધેયના વિસ્તાર જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$B = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ થાય.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ: $f(x - y) = f(x)f(y) - f(a - x)f(a + y)$.
પગલું $1$: $f(a)$ શોધો.
સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$f(0 - 0) = f(0)f(0) - f(a - 0)f(a + 0)$
$f(0) = (f(0))^2 - (f(a))^2$
$f(0) = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$1 = 1^2 - (f(a))^2$
$(f(a))^2 = 0 \Rightarrow f(a) = 0$.
પગલું $2$: $f(2a - x)$ શોધો.
મૂળ સમીકરણમાં $x = a$ અને $y = x - a$ મૂકતા:
$f(a - (x - a)) = f(a)f(x - a) - f(a - a)f(a + x - a)$
$f(2a - x) = 0 \cdot f(x - a) - f(0)f(x)$
$f(0) = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$f(2a - x) = -f(x)$.

(B) આપેલ લક્ષ: $L = \lim_{x \to 2} \frac{\int_{6}^{f(x)} 4t^3 dt}{x - 2}.$
$f(2) = 6$ હોવાથી,સંકલન $\int_{6}^{6} 4t^3 dt = 0$ થાય છે અને છેદ $x - 2 \to 0$ થાય છે. આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમ અને લેબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_{6}^{f(x)} 4t^3 dt}{\frac{d}{dx} (x - 2)}$
$L = \lim_{x \to 2} \frac{4(f(x))^3 \cdot f'(x)}{1}$
$f(2) = 6$ અને $f'(2) = \frac{1}{48}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$L = 4(f(2))^3 \cdot f'(2) = 4(6)^3 \cdot \frac{1}{48}$
$L = 4 \cdot 216 \cdot \frac{1}{48} = 864 \cdot \frac{1}{48} = 18.$

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય છે,તેથી વિકલિતની વ્યાખ્યા મુજબ $f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h)}{h} = 5$.
આ લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,જ્યારે $h \to 0$ હોય ત્યારે અંશ $f(1 + h)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.
હવે $f(1) = 0$ ને વિકલિતની વ્યાખ્યામાં મૂકતા:
$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - 0}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h)}{h} = 5$.

(D) આપેલ શરત $|f(x) - f(y)| \le (x - y)^2$ છે,જ્યાં $x, y \in R$.
બંને બાજુ $|x - y|$ વડે ભાગતા (જ્યાં $x \neq y$):
$\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le |x - y|$
બંને બાજુ $x \to y$ લેતા:
$\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le \lim_{x \to y} |x - y|$
આ દર્શાવે છે કે $|f'(y)| \le 0$.
માનાંક ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $|f'(y)| = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે તમામ $y \in R$ માટે $f'(y) = 0$.
જો વિધેયનું વિકલન દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય,તો તે વિધેય અચળ વિધેય હોય.
તેથી,$f(x) = C$ જ્યાં $C$ અચળ છે.
આપેલ છે કે $f(0) = 0$,તેથી $C = 0$.
આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = 0$.
તેથી,$f(1) = 0$.

(C) આપેલ છે કે $f$ એ તમામ $x$ માટે વિકલનીય છે,તેથી આપણે અંતરાલ $[1, 6]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) લાગુ કરી શકીએ છીએ.
પ્રમેય મુજબ,કોઈક $c \in (1, 6)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\frac{f(6) - f(1)}{6 - 1} = f'(c)$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે તમામ $x \in [1, 6]$ માટે $f'(x) \ge 2$,તેથી $f'(c) \ge 2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{f(6) - (-2)}{5} \ge 2$.
$\frac{f(6) + 2}{5} \ge 2$.
$f(6) + 2 \ge 10$.
$f(6) \ge 8$.

(D) ધારો કે બરફના પડની જાડાઈ $x$ છે. બરફ સહિત ગોળાની ત્રિજ્યા $r = (10 + x) \, cm$ છે.
બરફના પડનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi (10 + x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે બરફ $50 \, cm^3/min$ ના દરે ઓગળે છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$ (કારણ કે ઘનફળ ઘટે છે).
$x = 5$ અને $\frac{dV}{dt} = -50$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dx}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
આમ,બરફની જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ છે.

(C) આપેલ વક્ર: $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta )$ અને $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta )$.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)) = a\theta \sin \theta$.
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + (\sin \theta + \theta \cos \theta)) = a\theta \cos \theta$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે:
$m_n = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
$\theta$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a(\sin \theta - \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a(\cos \theta + \theta \sin \theta))$.
$\sin \theta$ વડે ગુણતા:
$y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$.
સમીકરણનું સાદુરૂપ આપતા:
$x \cos \theta + y \sin \theta = a(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x \cos \theta + y \sin \theta - a = 0$ નું લંબ અંતર:
$d = \frac{|-a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = |a| = a$.
જેથી,અભિલંબ ઉગમબિંદુથી અચળ અંતરે છે.

(A) કોઈ વિધેય $f(x)$ આપેલ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તે અંતરાલના તમામ $x$ માટે $f'(x) \ge 0$ છે કે નહીં તે તપાસીએ છીએ.
$(a)$ $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ માટે,$f'(x) = 6x - 2$. $f'(x) \ge 0$ લેતા $6x \ge 2$,એટલે કે $x \ge \frac{1}{3}$ મળે છે. વિધેય $[\frac{1}{3}, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે,$(-\infty, \frac{1}{3}]$ પર નહીં. તેથી,વિકલ્પ $(a)$ ખોટી રીતે જોડાયેલ છે.
$(b)$ $f(x) = x^3 + 6x^2 + 6$ માટે,$f'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x + 4)$. જ્યારે $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$ હોય ત્યારે $f'(x) \ge 0$ થાય છે. તેથી,તે $(-\infty, -4]$ પર વધતું વિધેય છે.
$(c)$ $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 3$ માટે,$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$. તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $3(x - 1)^2 \ge 0$ હોવાથી,વિધેય $(-\infty, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.
$(d)$ $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6$ માટે,$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)$. જ્યારે $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ હોય ત્યારે $f'(x) \ge 0$ થાય છે. તેથી,તે $[2, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(B) ધારો કે $I = \int \left\{ \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right\}^2 dx$.
$\log x = t$ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
આ સંકલન $I = \int e^t \left[ \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right] dt$ સ્વરૂપમાં છે.
$\left[ \because \int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C \right]$
અહીં $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ અને $f'(t) = \frac{-2t}{(1 + t^2)^2}$ છે.
તેથી,$I = \frac{e^t}{1 + t^2} + C = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^n {\frac{r}{{{n^2}}}{{\sec }^2}\frac{{{r^2}}}{{{n^2}}}} $ છે.
આને $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^n {\frac{r}{n}{{\sec }^2}\left( {\frac{r}{n}} \right)^2} $ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
સરવાળાની સીમા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^n {f\left( {\frac{r}{n}} \right)} = \int_0^1 {f(x)dx} $.
અહીં,$f(x) = x \sec^2(x^2)$.
તેથી,સીમા $\int_0^1 {x{{\sec }^2}{x^2}dx} $ ની બરાબર છે.
ધારો કે $t = x^2$,તો $dt = 2x dx$,અથવા $x dx = \frac{1}{2} dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$. જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 1$.
સંકલન $\frac{1}{2} \int_0^1 {\sec^2 t dt} = \frac{1}{2} [\tan t]_0^1 = \frac{1}{2} \tan 1$ બને છે.

(C) વક્ર $y = \log_e(x + e)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લો:
$0 = \log_e(x + e) \implies x + e = e^0 = 1 \implies x = 1 - e$.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લો:
$y = \log_e(0 + e) = \log_e(e) = 1$.
વક્ર અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $x = 1 - e$ થી $x = 0$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરવાથી મળે છે:
$\text{Area} = \int_{1 - e}^0 \log_e(x + e) \, dx$.
ધારો કે $t = x + e$,તો $dt = dx$. જ્યારે $x = 1 - e$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = e$.
$\text{Area} = \int_1^e \log_e(t) \, dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int \log_e(t) \, dt = t \log_e(t) - t$:
$\text{Area} = [t \log_e(t) - t]_1^e = (e \log_e(e) - e) - (1 \log_e(1) - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $1 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.

(B) $x=0, x=4, y=0, y=4$ દ્વારા ઘેરાયેલા ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times 4 = 16$ ચોરસ એકમ છે.
ક્ષેત્રફળ $S_2$ એ બે પરવલયો $y^2 = 4x$ અને $x^2 = 4y$ વચ્ચે ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4)$ છે.
$S_2 = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx = \int_0^4 (2x^{1/2} - \frac{x^2}{4}) dx = [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4 = \frac{4}{3}(8) - \frac{64}{12} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$.
ક્ષેત્રફળ $S_1$ એ $x=0, y=4$ અને પરવલય $y^2=4x$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
$S_1 = \int_0^4 (4 - 2\sqrt{x}) dx = [4x - \frac{4}{3}x^{3/2}]_0^4 = 16 - \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$.
સમાન રીતે,સમપ્રમાણતા દ્વારા $S_3 = \frac{16}{3}$.
આમ,$S_1:S_2:S_3 = \frac{16}{3} : \frac{16}{3} : \frac{16}{3} = 1:1:1$.

(B) આપેલ છે કે વક્ર $y = f(x)$ દ્વારા $x = \frac{\pi}{4}$ થી $x = \beta$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx = \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બંને બાજુ $\beta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{d\beta} \left( \int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx \right) = \frac{d}{d\beta} \left( \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta \right)$.
$\beta \sin \beta$ માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f(\beta) = (1 \cdot \sin \beta + \beta \cos \beta) - \frac{\pi}{4} \sin \beta + \sqrt{2}$.
હવે,$f(\beta)$ ના સમીકરણમાં $\beta = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \frac{\pi}{2} \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - \frac{\pi}{4} \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \sqrt{2}$.
કારણ કે $\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ અને $\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ છે:
$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 + 0 - \frac{\pi}{4}(1) + \sqrt{2} = 1 - \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ને $-\pi + \pi - x = -x$ વડે બદલીએ છીએ:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(-x)}{1 + a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + \frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{a^x + 1} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{1 + a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1 + a^x) \cos^2 x}{1 + a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x dx$.
કારણ કે $\cos^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\pi} (1 + \cos 2x) dx$.
$2I = [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi + 0) - (0 + 0) = \pi$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{2}$.

(D) $0 < x < 1$ માટે,આપણી પાસે $x^2 > x^3$ છે. આધાર $2 > 1$ હોવાથી,વિધેય $f(x) = 2^x$ એ વધતું વિધેય છે,તેથી $0 < x < 1$ માટે $2^{x^2} > 2^{x^3}$ થાય.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $\int_0^1 2^{x^2} dx > \int_0^1 2^{x^3} dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે ${I_1} > {I_2}$.
$1 < x < 2$ માટે,આપણી પાસે $x^3 > x^2$ છે. તેવી જ રીતે,$1 < x < 2$ માટે $2^{x^3} > 2^{x^2}$ થાય.
બંને બાજુ $1$ થી $2$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $\int_1^2 2^{x^3} dx > \int_1^2 2^{x^2} dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે ${I_4} > {I_3}$.
આમ,સાચું વિધાન ${I_1} > {I_2}$ છે.

(D) આપેલ વક્ર ${y^2} = 2c(x + \sqrt{c})$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2c$,જેનો અર્થ છે કે $c = y \frac{dy}{dx}.$
$c$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
${y^2} = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right).$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{y}{2(dy/dx)} - x = \sqrt{y \frac{dy}{dx}}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left( \frac{y}{2(dy/dx)} - x \right)^2 = y \frac{dy}{dx}.$
$4(dy/dx)^2$ વડે ગુણતા:
$(y - 2x(dy/dx))^2 = 4y(dy/dx)^3.$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
${y^2} - 4xy \frac{dy}{dx} + 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3.$
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 4xy \frac{dy}{dx} - {y^2} = 0.$
અહીં મહત્તમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે. મહત્તમ વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી પરિમાણ $3$ છે.
આમ,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ અને પરિમાણ $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
આ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$.
ધારો કે $u = \log v$,તો $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન કરતા $\int \frac{du}{u} = \log x + C$.
$\log(\log v) = \log x + \log c = \log(cx)$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log v = cx$.
કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\log(\frac{y}{x}) = cx$.
આમ,$\frac{y}{x} = e^{cx}$,જેનો અર્થ છે કે $y = x e^{cx}$.

(D) આપેલ છે કે ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G.P.$ માં છે.
તેથી,${a_{n+1}} = {a_n} \cdot r$,જેનો અર્થ છે કે $\log {a_{n+1}} = \log {a_n} + \log r$.
તે જ રીતે,$\log {a_{n+k}} = \log {a_n} + k \log r$.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} & \log {a_{n+2}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} & \log {a_{n+5}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} & \log {a_{n+8}} \end{array} \right|$ છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ ${C_2} \to {C_2} - {C_1}$ અને ${C_3} \to {C_3} - {C_2}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} - \log {a_n} & \log {a_{n+2}} - \log {a_{n+1}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} - \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+5}} - \log {a_{n+4}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} - \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} - \log {a_{n+7}} \end{array} \right|$.
કોઈપણ $k$ માટે $\log {a_{n+k}} - \log {a_{n+k-1}} = \log r$ હોવાથી,નિશ્ચાયક નીચે મુજબ બને છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+3}} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+6}} & \log r & \log r \end{array} \right|$.
અહીં સ્તંભ $2$ અને સ્તંભ $3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) રેખા જેનો દિશા સદિશ $\vec{b} = (1, 2, 2)$ છે અને સમતલ જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, \sqrt{\lambda})$ છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2}}$.
પદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1}{3} = \frac{|2 - 2 + 2\sqrt{\lambda}|}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda}}$.
$\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{4\lambda}{9(5 + \lambda)}$.
$5 + \lambda = 4\lambda$.
$3\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$.

(A) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = 2$ છે.
આપણે $P(X > 1.5)$ શોધવાનું છે. કારણ કે $X$ ફક્ત અ-ઋણ પૂર્ણાંક કિંમતો જ લે છે,તેથી $P(X > 1.5) = P(X \ge 2)$ થાય.
આને $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ તરીકે ગણી શકાય.
$k = 0$ માટે: $P(X = 0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = \frac{e^{-2} \cdot 1}{1} = \frac{1}{e^2}$.
$k = 1$ માટે: $P(X = 1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = \frac{e^{-2} \cdot 2}{1} = \frac{2}{e^2}$.
તેથી,$P(X > 1.5) = 1 - (\frac{1}{e^2} + \frac{2}{e^2}) = 1 - \frac{3}{e^2}$.