જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો તમામ $n \ge 1$ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે (ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા)?

ધારો કે $A$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે. ધારો કે $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. $tr(A)$ ને $A$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો કહો. ધારો કે $A^2 = I$.
વિધાન-$1$: જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $\det(A) = -1$.
વિધાન-$2$: જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $tr(A) \neq 0$.

જો $ P=\left|\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & x\end{array}\right| $ અને $ Q=\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x\end{array}\right| $ હોય,તો $ \frac{d Q}{d x}= $

ધારો કે $M=\begin{bmatrix} \sin^4 \theta & -1-\sin^2 \theta \\ 1+\cos^2 \theta & \cos^4 \theta \end{bmatrix} = \alpha I + \beta M^{-1}$,જ્યાં $\alpha = \alpha(\theta)$ અને $\beta = \beta(\theta)$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,અને $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. જો $\alpha^*$ એ ગણ $\{\alpha(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય અને $\beta^*$ એ ગણ $\{\beta(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $\alpha^* + \beta^*$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે $\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે.
વિધાન $1$: $AB - BA$ હંમેશા વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
વિધાન $2$: $AB - BA$ ક્યારેય એકમ શ્રેણિક (identity matrix) હોઈ શકે નહીં.

જો $a, b, c$ એ શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ હોય જે $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ નું સમાધાન કરે છે અને $\left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & ab & ac \\ ab & c^2 + a^2 & bc \\ ac & bc & a^2 + b^2 \end{array} \right| = k a^2 b^2 c^2$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.