વિકલ સમીકરણ x frac{dy}{dx} = y(log y - log x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ છે.$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.આ એક

Vedclass · Accepted Answer

$y = x e^{cx}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ છે.$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.આ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) વિકલ સમીકરણ છે.ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$.ધારો કે $u = \log v$,તો $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન કરતા $\int \frac{du}{u} = \log x + C$.$\log(\log v) = \log x + \log c = \log(cx)$.બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log v = cx$.કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\log(\frac{y}{x}) = cx$.આમ,$\frac{y}{x} = e^{cx}$,જેનો અર્થ છે કે $y = x e^{cx}$.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ નો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

આદેશ $x=vy$ નીચેનામાંથી કયા વિકલ સમીકરણને ચલ વિભાજનની રીત દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવા સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરે છે?

સાબિત કરો કે આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણ છે અને તેને ઉકેલો:
$y \, dx + x \log \left(\frac{y}{x}\right) dy - 2x \, dy = 0$

$\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) d x+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y + x}$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module