AIEEE 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.
ધારો કે $t = \sin^2 x$,તો $0 \le t \le 1$. કારણ કે $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$,તેથી $\cos^4 x = (1 - t)^2$.
આ કિંમતો $A$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = t + (1 - t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1$.
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જ્યાં $t \in [0, 1]$.
પરવલય $f(t) = t^2 - t + 1$ નું શિરોબિંદુ $t = 1/2$ પર છે.
$1/2$ એ અંતરાલ $[0, 1]$ માં હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $f(1/2) = 3/4$ છે.
મહત્તમ કિંમત સીમાઓ $t=0$ અથવા $t=1$ પર મળે છે:
$f(0) = 1$ અને $f(1) = 1$.
આમ,$A$ નો વિસ્તાર $\frac{3}{4} \le A \le 1$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમના ઘનમૂળ માટે,$1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega = -\omega^2$.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$(1 + \omega)^7 = (-\omega^2)^7$
$= -\omega^{14}$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{14} = \omega^{12} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
આમ,$(1 + \omega)^7 = -\omega^2$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$-\omega^2 = 1 + \omega$ મળે.
$1 + \omega$ ની સરખામણી $A + B\omega$ સાથે કરતા,$A = 1$ અને $B = 1$ મળે છે.

(D) વિધાન-$1$ માટે: $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ ભિન્ન પેટીઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પેટી ખાલી ન રહે,તે સૂત્ર $^{n-1}C_{r-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 4$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $^{10-1}C_{4-1} = ^9C_3$ થાય.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે: $n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^nC_r$ છે.
અહીં,$n = 9$ અને $r = 3$ છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $^9C_3$ થાય.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
સમાન વસ્તુઓને ભિન્ન પેટીઓમાં વહેંચવાનું સૂત્ર (સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ પદ્ધતિ) એ જગ્યાઓ પસંદ કરવાના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે,તેથી વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(1 - x - x^2 + x^3)^6 = ((1 - x)(1 - x^2))^6 = (1 - x)^6 (1 - x)^6 (1 + x)^6 = (1 - x)^{12} (1 + x)^6$.
આપણે $(1 - x)^{12} (1 + x)^6$ માં $x^7$ નો સહગુણક શોધવો છે.
$(1 - x)^{12} = \sum_{i=0}^{12} (-1)^i \binom{12}{i} x^i$ અને $(1 + x)^6 = \sum_{j=0}^{6} \binom{6}{j} x^j$ લેતા.
$x^7$ નો સહગુણક $\sum_{i+j=7} (-1)^i \binom{12}{i} \binom{6}{j}$ થશે.
સરવાળો કરતા: $-12 + 396 - 3300 + 9900 - 11880 + 5544 - 792 = -144$.

(D) વિધાન $-2$ માટે: ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ અને પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n^p \equiv n \pmod{p}$. અહીં $p = 7$ છે,તેથી $n^7 \equiv n \pmod{7}$,જેનો અર્થ છે કે $n^7 - n$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,વિધાન $-2$ સાચું છે.
વિધાન $-1$ માટે: દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(n + 1)^7$ નું વિસ્તરણ કરતા: $(n + 1)^7 = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1$.
તેથી $(n + 1)^7 - n^7 - 1 = 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n = 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n)$.
આ પદ સ્પષ્ટપણે $7$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે.
નોંધો કે વિધાન $-1$ ને $(n+1)^7 - (n+1) - (n^7 - n) = 7k$ તરીકે લખી શકાય છે. કારણ કે $(n+1)^7 - (n+1)$ અને $n^7 - n$ બંને $7$ વડે વિભાજ્ય છે (વિધાન $-2$ મુજબ),તેથી તેમનો તફાવત પણ $7$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(C) પ્રથમ થોડા મહિનાઓ માટેની બચત:
મહિનો $1: 200$,મહિનો $2: 200$,મહિનો $3: 200$.
મહિના $4$ થી,બચત સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 240$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 40$ છે.
ધારો કે કુલ મહિનાની સંખ્યા $n$ છે. કુલ બચત નીચે મુજબ છે:
$600 + \sum_{k=1}^{n-3} [240 + (k-1)40] = 11040$
$600 + \frac{n-3}{2} [2(240) + (n-3-1)40] = 11040$
$600 + (n-3) [240 + (n-4)20] = 11040$
$(n-3) [20n + 160] = 10440$
$(n-3)(n+8) = 522$
$n^2 + 5n - 546 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $n^2 + 5n - 546 = 0$ ઉકેલતા:
$n = \frac{-5 \pm 47}{2}$
ધન કિંમત લેતા,$n = 21$.
આમ,$21$ મહિના પછી કુલ બચત $11040$ થશે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x^2 + y^2 - ax = 0$ અને $x^2 + y^2 = c^2$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (\frac{a}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = |\frac{a}{2}|$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = |c|$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |\frac{a}{2}|$ છે.
બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે છે જો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલું હોય,એટલે કે $d = |r_1 \pm r_2|$.
$|\frac{a}{2}| = ||\frac{a}{2}| \pm |c||$.
કિસ્સો $1$: $|\frac{a}{2}| = |\frac{a}{2}| + |c| \Rightarrow |c| = 0$ (વર્તુળ માટે શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $|\frac{a}{2}| = | |\frac{a}{2}| - |c| |$.
આ સૂચવે છે કે $|\frac{a}{2}| = |c| - |\frac{a}{2}|$ (ધારી લઈએ કે $|c| > |\frac{a}{2}|$).
આમ,$2|\frac{a}{2}| = |c|$,જે $|a| = c$ માં પરિણમે છે.

(D) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
તે $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{9}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$.
આપેલ છે કે $e^{2} = \frac{2}{5}$,તેથી $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = a^{2}(1 - \frac{2}{5}) = \frac{3}{5}a^{2}$.
$b^{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{9}{a^{2}} + \frac{1}{\frac{3}{5}a^{2}} = 1$.
$\frac{9}{a^{2}} + \frac{5}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{27 + 5}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow 3a^{2} = 32$ $\Rightarrow a^{2} = \frac{32}{3}$.
તેથી $b^{2} = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$.
સમીકરણ $\frac{x^{2}}{32/3} + \frac{y^{2}}{32/5} = 1$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $3x^{2} + 5y^{2} = 32$ અથવા $3x^{2} + 5y^{2} - 32 = 0$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{\sqrt{1 - \cos\{2(x - 2)\}}}{x - 2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 - \cos\{2(x - 2)\} = 2\sin^2(x - 2)$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{\sqrt{2\sin^2(x - 2)}}{x - 2} = \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$. જ્યારે $x \to 2^-$,ત્યારે $(x - 2) < 0$,તેથી $|\sin(x - 2)| = -\sin(x - 2)$.
$LHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{-\sqrt{2}\sin(x - 2)}{x - 2} = -\sqrt{2}(1) = -\sqrt{2}$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$. જ્યારે $x \to 2^+$,ત્યારે $(x - 2) > 0$,તેથી $|\sin(x - 2)| = \sin(x - 2)$.
$RHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{2}\sin(x - 2)}{x - 2} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
અહીં $LHL \neq RHL$ હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(D) આપેલ છે કે $\lim_{x \to 5} \frac{(f(x))^2 - 9}{\sqrt{|x - 5|}} = 0$.
ધારો કે $L = \lim_{x \to 5} f(x)$.
જો $L^2 - 9 \neq 0$ હોય,તો લક્ષ $\infty$ થાય.
આપેલ લક્ષ $0$ હોવાથી,અંશ $x \to 5$ માટે $0$ થવો જોઈએ.
તેથી,$L^2 - 9 = 0$,એટલે કે $L^2 = 9$.
$f$ નો સહપ્રદેશ $[0, \infty)$ હોવાથી,$L = 3$ મળે.

(B) આપેલ સંખ્યાઓ $a, 2a, 3a, \dots, 50a$ છે. કુલ પદોની સંખ્યા $n = 50$ છે.
$n$ બેકી હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $25$ માં અને $26$ માં પદની સરેરાશ છે:
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{25a + 26a}{2} = 25.5a$.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \text{મધ્યસ્થ}| = 50$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} |ia - 25.5a| = 50$.
$|a| (|25.5 - 1| + |25.5 - 2| + \dots + |25.5 - 50|) = 2500$.
$|a| (24.5 + 23.5 + \dots + 0.5 + 0.5 + \dots + 24.5) = 2500$.
$|a| \times 2 \times (0.5 + 1.5 + \dots + 24.5) = 2500$.
$|a| \times 25 \times 25 = 2500$.
$|a| = 4$.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ છે.
સચિને અચળ પદમાં ભૂલ કરી છે,તેથી બીજનો સરવાળો સાચો છે.
બીજનો સરવાળો $= 4 + 3 = 7$.
રાહુલે $x$ ના સહગુણકમાં ભૂલ કરી છે,તેથી બીજનો ગુણાકાર સાચો છે.
બીજનો ગુણાકાર $= 3 \times 2 = 6$.
સાચું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - 7x + 6 = 0$ મળે છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2} - 6x - x + 6 = 0 \implies x(x - 6) - 1(x - 6) = 0 \implies (x - 6)(x - 1) = 0$.
આમ,સાચા બીજ $6$ અને $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $p(x) = f(x) - g(x) = (a - a_1)x^2 + (b - b_1)x + (c - c_1).$
કારણ કે $p(x) = 0$ ને માત્ર એક જ ઉકેલ $x = -1$ છે,તેથી દ્વિઘાત સમીકરણ $p(x)$ એ $p(x) = k(x + 1)^2$ સ્વરૂપનો પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ,જ્યાં $k = a - a_1 \ne 0$ એક અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $p(-2) = 2,$
$k(-2 + 1)^2 = 2 \Rightarrow k(-1)^2 = 2 \Rightarrow k = 2.$
આમ,$p(x) = 2(x + 1)^2.$
હવે,આપણે $p(2)$ શોધવાનું છે:
$p(2) = 2(2 + 1)^2 = 2(3)^2 = 2 \times 9 = 18.$

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(-x) = -f(x)$.
કોઈપણ અયુગ્મ વિધેય માટે,$f(0) = -f(0)$,જેનો અર્થ છે કે $2f(0) = 0$,તેથી $f(0) = 0$.
આપેલ છે કે $f(x)$ એ $T = 1$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે,તેથી તમામ $x$ માટે $f(x + 1) = f(x)$.
આવર્તકાળના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $f(x + nT) = f(x)$.
તેથી,$f(2) = f(0 + 2 \times 1) = f(0)$.
ચૂકી $f(0) = 0$,તેથી $f(2) = 0$ થાય.

(A) ધારો કે આપેલા વિધાનો છે:
$P :$ સુમન તેજસ્વી છે
$Q :$ સુમન શ્રીમંત છે
$R :$ સુમન પ્રમાણિક છે
"સુમન તેજસ્વી અને બેઈમાન છે" વિધાનને $(P \wedge \sim R)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
"સુમન તેજસ્વી અને બેઈમાન છે જો અને માત્ર જો સુમન શ્રીમંત હોય" વિધાનને $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
દ્વિ-શરતી કારક ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી આ $Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R)$ ને સમાન છે.
કોઈ વિધાન $S$ ના નિષેધને $\sim S$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,આપેલા વિધાનનું નિષેધ $\sim (Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R))$ છે.

(D) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ છે. રેખાની દિશા સદિશ $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ છે.
સમતલ $x + 2y + 3z = 4$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 2, 3)$ છે.
ધારો કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{5}{14}} = \sqrt{\frac{9}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
હવે,$\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (3)(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 9\lambda^2 + 30\lambda = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(D) ધારો કે રેખા $L: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(k, 2k + 1, 3k + 2)$ છે.
બિંદુ $A(1, 0, 7)$ એ રેખા $L$ માં બિંદુ $B(1, 6, 3)$ નું પ્રતિબિંબ હોવા માટે,રેખા $AB$ એ $L$ ને લંબ હોવી જોઈએ અને $AB$ નું મધ્યબિંદુ $L$ પર હોવું જોઈએ.
$1$. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{7+3}{2}) = (1, 3, 5)$ છે.
ચકાસણી: $\frac{1}{1} = \frac{3-1}{2} = \frac{5-2}{3} \implies 1 = 1 = 1$. તેથી,$M$ એ $L$ પર છે.
$2$. $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(1-1, 6-0, 3-7) = (0, 6, -4)$ છે.
$L$ ના દિકગુણોત્તર $(1, 2, 3)$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $(0)(1) + (6)(2) + (-4)(3) = 0 + 12 - 12 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$AB$ એ $L$ ને લંબ છે.
બંને શરતો સંતોષાય છે,તેથી વિધાન $-1$ સાચું છે. વિધાન $-2$ પણ સાચું છે કારણ કે રેખા $L$ એ $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે,જે રેખામાં પ્રતિબિંબની વ્યાખ્યા છે. આમ,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{8 \log(1+x)}{1+x^{2}} dx$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^{2} \theta d\theta$ મળે.
જ્યારે $x=0, \theta=0$ અને જ્યારે $x=1, \theta=\frac{\pi}{4}$ થાય.
$I = 8 \int_{0}^{\pi/4} \frac{\log(1+\tan \theta)}{1+\tan^{2} \theta} \sec^{2} \theta d\theta = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1+\tan \theta) d\theta$ ... $(i)$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) d\theta$.
$\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ હોવાથી:
$I = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}) d\theta = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(\frac{2}{1+\tan \theta}) d\theta$.
$I = 8 \int_{0}^{\pi/4} (\log 2 - \log(1+\tan \theta)) d\theta$.
$I = 8 \log 2 [\theta]_{0}^{\pi/4} - 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1+\tan \theta) d\theta$.
$I = 8 \log 2 (\frac{\pi}{4}) - I$.
$2I = 2\pi \log 2 \Rightarrow I = \pi \log 2$.

(B) આપેલ વક્રો $y = x$,$y = \frac{1}{x}$,$x = e$ અને ધન $X$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
$y = x$ અને $y = \frac{1}{x}$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે $x = \frac{1}{x}$ લેતા,$x^2 = 1$ મળે છે. પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x = 1$ મળે. આમ,છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
આ પ્રદેશ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી $y = x$ દ્વારા અને $x = 1$ થી $x = e$ સુધી $y = \frac{1}{x}$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $\int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + [\ln |x|]_{1}^{e}$
$= \left( \frac{1}{2} - 0 \right) + (\ln e - \ln 1)$
$= \frac{1}{2} + (1 - 0) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_0^{1.5} x[x^2] dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $[x^2]$ ની કિંમત $x^2 = 1$ અને $x^2 = 2$ આગળ બદલાય છે,તેથી આપણે સંકલનને $x = 1$ અને $x = \sqrt{2}$ આગળ વિભાજિત કરીશું.
$I = \int_0^1 x[x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} x[x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} x[x^2] dx$.
$0 \le x < 1$ માટે,$0 \le x^2 < 1$,તેથી $[x^2] = 0$.
$1 \le x < \sqrt{2}$ માટે,$1 \le x^2 < 2$,તેથી $[x^2] = 1$.
$\sqrt{2} \le x < 1.5$ માટે,$2 \le x^2 < 2.25$,તેથી $[x^2] = 2$.
આમ,$I = \int_0^1 x(0) dx + \int_1^{\sqrt{2}} x(1) dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} x(2) dx$.
$I = 0 + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^{\sqrt{2}} + 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\sqrt{2}}^{1.5}$.
$I = \left( \frac{2-1}{2} \right) + (1.5^2 - (\sqrt{2})^2) = \frac{1}{2} + (2.25 - 2) = 0.5 + 0.25 = 0.75 = \frac{3}{4}$.

(B) છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{4}$ ને $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x$
$\frac{x^4}{16} = 4x$
$x^4 = 64x$
$x(x^3 - 64) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 4$.
જ્યારે $x = 0, y = 0$. જ્યારે $x = 4, y = 4$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4)$ છે.
આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
$= [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$
$= (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) - 0$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$.
વિધાન $-1$ માટે:
$(A(BA))^{\prime} = (BA)^{\prime} A^{\prime} = (A^{\prime} B^{\prime}) A^{\prime} = (AB)A = A(BA)$.
તેથી,$A(BA)$ સંમિત છે.
તે જ રીતે,$((AB)A)^{\prime} = A^{\prime} (AB)^{\prime} = A(B^{\prime} A^{\prime}) = A(BA) = (AB)A$.
તેથી,$(AB)A$ પણ સંમિત છે. આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ માટે:
$(AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime} = BA$.
જો $AB$ સંમિત હોય,તો $(AB)^{\prime} = AB$,જેનો અર્થ છે કે $BA = AB$.
તેથી,વિધાન $-2$ સાચું છે.
જોકે,વિધાન $-2$ એ $AB$ ના સંમિત હોવાની શરત દર્શાવે છે,જ્યારે વિધાન $-1$ એ ક્રમનો ગુણધર્મ ધ્યાનમાં લીધા વગર $A(BA)$ અને $(AB)A$ ની સંમિતતા વિશે છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) સ્વવાચક ગુણધર્મ માટે:
$(A, A) \in R$ કારણ કે $A = I^{-1}AI$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે,જે વ્યસ્ત છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
સંમિત ગુણધર્મ માટે:
જો $(A, B) \in R$,તો $A = P^{-1}BP$ કોઈ વ્યસ્ત શ્રેણિક $P$ માટે.
ડાબી બાજુ $P$ અને જમણી બાજુ $P^{-1}$ વડે ગુણતા: $PAP^{-1} = B$.
ધારો કે $Q = P^{-1}$. $P$ વ્યસ્ત હોવાથી,$Q$ પણ વ્યસ્ત છે.
તેથી $B = Q^{-1}AQ$,એટલે કે $(B, A) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિત ગુણધર્મ માટે:
જો $(A, B) \in R$ અને $(B, C) \in R$,તો $A = P^{-1}BP$ અને $B = Q^{-1}CQ$ કોઈ વ્યસ્ત શ્રેણિકો $P$ અને $Q$ માટે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા: $A = P^{-1}(Q^{-1}CQ)P = (QP)^{-1}C(QP)$.
$QP$ વ્યસ્ત હોવાથી,$(A, C) \in R$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ એ સામ્ય સંબંધ છે. વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિકોનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે: $(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$. આ સાચું છે.
જોકે,વિધાન-$2$ એ શ્રેણિક વ્યસ્તનો સામાન્ય ગુણધર્મ છે અને તે સંબંધ $R$ (સમાનતા) શા માટે સામ્ય સંબંધ છે તેનું ચોક્કસ કારણ નથી. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સાચી સમજૂતી નથી.

(A) વિધાન-$1$ માટે: વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે $A^T = -A$ થાય છે. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$\det(A^T) = \det(-A)$ મળે. $n$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે $\det(A^T) = \det(A)$ અને $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ હોવાથી,$\det(A) = (-1)^n \det(A)$ મળે. $n=3$ માટે,$\det(A) = -\det(A)$,જેનો અર્થ છે કે $2 \det(A) = 0$,તેથી $\det(A) = 0$. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે: ગુણધર્મ $\det(A^T) = \det(A)$ હંમેશા સાચો છે. $n$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ ગુણધર્મ પણ સાચો છે. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ને સાબિત કરવા માટે વપરાતા ગાણિતિક ગુણધર્મો પૂરા પાડે છે,તેથી તે વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે કે $H = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
આપણે $H$ ના ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$H^2 = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 \\ 0 & \omega^2 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$H^n = \begin{bmatrix} \omega^n & 0 \\ 0 & \omega^n \end{bmatrix}$.
$n = 70$ માટે,$H^{70} = \begin{bmatrix} \omega^{70} & 0 \\ 0 & \omega^{70} \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{70} = (\omega^3)^{23} \cdot \omega = (1)^{23} \cdot \omega = \omega$.
આમ,$H^{70} = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = H$.

(A) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = q$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ ($R$.$H$.$L$.) ગણો:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.
અનુબદ્ધ પદ $\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}$ વડે ગુણતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
આમ,$q = 1/2$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ ($L$.$H$.$L$.) ગણો:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(p+1)x + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(p+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right)$.
$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(p+1) + 1 = p+2$.
$L.H.L. = q$ હોવાથી,$p+2 = 1/2$,જેનો અર્થ છે કે $p = 1/2 - 2 = -3/2$.
તેથી,મૂલ્યો $(p, q) = (-3/2, 1/2)$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$.
હવે,$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( \frac{dx}{dy} \right) = \frac{d}{dy} \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy} \cdot \frac{d}{dx} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \cdot \frac{d}{dx}$:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right)$.
ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) \cdot \left( -1 \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y + 3$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y + 3} = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx$,જે $\ln|y + 3| = x + C$ આપે છે.
કારણ કે $y + 3 > 0$,તેથી $y + 3 = e^{x + C} = e^C \cdot e^x$ થાય.
ધારો કે $e^C = A$,તેથી $y + 3 = A e^x$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 + 3 = A e^0 \Rightarrow A = 5$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y + 3 = 5 e^x$ અથવા $y = 5 e^x - 3$ છે.
$y(\ln 2)$ શોધવા માટે,$x = \ln 2$ મૂકતા:
$y(\ln 2) = 5 e^{\ln 2} - 3$.
કારણ કે $e^{\ln 2} = 2$,તેથી $y(\ln 2) = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dV}{dt} = -k(T - t)$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$V(t) = \int -k(T - t) dt = k \int (T - t) d(T - t) = \frac{k(T - t)^2}{2} + C$.
જ્યારે $t = 0$ હોય,ત્યારે સાધનની કિંમત તેની ખરીદ કિંમત $I$ જેટલી હોય છે,તેથી $V(0) = I$:
$I = \frac{k(T - 0)^2}{2} + C \implies I = \frac{kT^2}{2} + C \implies C = I - \frac{kT^2}{2}$.
$C$ ની કિંમત $V(t)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V(t) = \frac{k(T - t)^2}{2} + I - \frac{kT^2}{2}$.
ભંગાર કિંમત $V(T)$ એ $t = T$ સમયે કિંમત છે:
$V(T) = \frac{k(T - T)^2}{2} + I - \frac{kT^2}{2} = 0 + I - \frac{kT^2}{2} = I - \frac{kT^2}{2}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે.
$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y^2}$ અને $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
$x e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$.
ધારો કે $t = -\frac{1}{y}$,તો $dt = \frac{1}{y^2} dy$ અને $\frac{1}{y} = -t$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$x e^{-\frac{1}{y}} = \int (-t) e^t dt + C = - (t e^t - e^t) + C = (1 - t) e^t + C$.
$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} + C$.
$y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 \cdot e^{-1} = (1 + 1) e^{-1} + C \Rightarrow e^{-1} = 2e^{-1} + C \Rightarrow C = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$ મળે છે.
આમ,$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} - \frac{1}{e}$.
$e^{-\frac{1}{y}}$ વડે ભાગતા,$x = 1 + \frac{1}{y} - \frac{e^{\frac{1}{y}}}{e}$ મળે છે.

(A) ઘટના $D$ બની ગઈ હોય ત્યારે ઘટના $C$ ની શરતી સંભાવના $P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો $C \subset D$ હોય,તો $C \cap D = C$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $P(C \cap D) = P(C)$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P(C|D) = \frac{P(C)}{P(D)}$ મળે છે.
$D$ એક ઘટના હોવાથી,$P(D) \le 1$ થાય. તેથી,$\frac{1}{P(D)} \ge 1$.
બંને બાજુ $P(C)$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{P(C)}{P(D)} \ge P(C)$ મળે છે.
આમ,$P(C|D) \ge P(C)$ સાચું છે.

(B) ધારો કે $X$ એ $5$ સ્વતંત્ર બર્નુલી પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા છે. સફળતાની સંભાવના $p$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક નિષ્ફળતાની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ નિષ્ફળતા નહીં}) = 1 - P(X = 5)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રયત્નો સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(X = 5) = p^5$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,ઓછામાં ઓછી એક નિષ્ફળતાની સંભાવના $\frac{31}{32}$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી છે:
$1 - p^5 \geq \frac{31}{32}$
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા:
$1 - \frac{31}{32} \geq p^5$
$\frac{1}{32} \geq p^5$
બંને બાજુ પાંચમું મૂળ લેતા:
$p \leq (\frac{1}{32})^{1/5}$
$p \leq \frac{1}{2}$
$p$ એ સંભાવના હોવાથી,$p \geq 0$ થાય. તેથી,$p \in [0, \frac{1}{2}]$.

(A) આપણે $P(A' \cap B' | C)$ શોધવાની જરૂર છે. શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(A' \cap B' | C) = \frac{P(A' \cap B' \cap C)}{P(C)}$
ગણ માટે સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - P((A \cup B) \cap C)$
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - [P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)]$
આપેલ છે કે $P(A \cap B \cap C) = 0$ અને $A, B, C$ જોડીમાં સ્વતંત્ર છે,તેથી $P(A \cap C) = P(A)P(C)$ અને $P(B \cap C) = P(B)P(C)$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + 0$
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C)(1 - P(A) - P(B))$
તેથી,$P(A' \cap B' | C) = \frac{P(C)(1 - P(A) - P(B))}{P(C)} = 1 - P(A) - P(B)$
કારણ કે $1 - P(A) = P(A')$,તેથી $P(A' \cap B' | C) = P(A') - P(B)$.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f$ નો પ્રદેશ:
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $0 \leq x-[x] < 1$ થાય છે.
વળી,જ્યારે $x \in \mathbb{Z}$ હોય ત્યારે $x-[x] = 0$ થાય છે.
છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $x-[x] > 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \notin \mathbb{Z}$.
આમ,પ્રદેશ $\mathbb{R} - \mathbb{Z}$ છે.
$f$ નો વિસ્તાર:
$x \in \mathbb{R} - \mathbb{Z}$ માટે,$0 < x-[x] < 1$ થાય છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$0 < \sqrt{x-[x]} < 1$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{\sqrt{x-[x]}} > 1$ મળે.
તેથી,$f(x) \in (1, \infty)$.
આમ,$f$ નો વિસ્તાર $(1, \infty)$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = (x - 1)^2 + 1$,જ્યાં $x \ge 1$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$y = (x - 1)^2 + 1$ લો.
તેથી $y - 1 = (x - 1)^2$. $x \ge 1$ હોવાથી,$x - 1 = \sqrt{y - 1}$,એટલે કે $x = 1 + \sqrt{y - 1}$.
આમ,$f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x - 1}$,જ્યાં $x \ge 1$. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = x$ ઉકેલીએ.
$(x - 1)^2 + 1 = x \implies x^2 - 2x + 1 + 1 = x \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.
$(x - 1)(x - 2) = 0$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = 2$.
બંને કિંમતો $x \ge 1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $S = \{1, 2\}$. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વધતા વિધેયો માટે $f(x) = f^{-1}(x)$ એ $f(x) = x$ ને સમાન હોવાથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{d})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{d}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = 0 - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d}$.
$\vec{d}$ માટે ગોઠવતા:
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$.
$(\vec{a} \cdot \vec{b})$ વડે ભાગતા (જે શૂન્ય નથી કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ લંબ નથી):
$\vec{d} = \vec{c} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b}$.