AIEEE 2005 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = 5\hat{i}\,m/s$.
અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = 5\hat{j}\,m/s$.
વેગમાં ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = 5\hat{j} - 5\hat{i}$.
વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,m/s$.
$\Delta \vec{v}$ ની દિશા ઉત્તર-પશ્ચિમ છે (કારણ કે તે $-\hat{i} + \hat{j}$ ની દિશામાં છે).
સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$.
આમ,સરેરાશ પ્રવેગ ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં $\frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$ છે.

(A) કઈ જોડીના પરિમાણો સમાન નથી તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેકના પારિમાણિક સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. જડત્વની ચાકમાત્રા $(I = MR^2)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^0]$ છે. બળની ચાકમાત્રા (ટોર્ક,$\tau = r \times F$) ના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}]$ છે. આ સમાન નથી.
$2$. કાર્ય $(W = F \cdot d)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}]$ છે. ટોર્ક $(\tau = r \times F)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}]$ છે. આ સમાન છે.
$3$. કોણીય વેગમાન $(L = mvr)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h = E/f)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે. આ સમાન છે.
$4$. આઘાત $(J = F \Delta t)$ ના પરિમાણો $[MLT^{-1}]$ છે. વેગમાન $(p = mv)$ ના પરિમાણો $[MLT^{-1}]$ છે. આ સમાન છે.
તેથી,જે જોડીના પરિમાણો સમાન નથી તે જડત્વની ચાકમાત્રા અને બળની ચાકમાત્રા છે.

(B) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
$3\,cm$ અંદર ગયા પછી,તેનો વેગ $u/2$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(u/2)^2 = u^2 - 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 - 6a$
$6a = 3u^2/4$
$a = u^2/8$
ધારો કે ગોળી સ્થિર થતા પહેલા વધારાનું $x$ અંતર કાપે છે.
આ ગતિ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u/2$,અંતિમ વેગ $0$ અને પ્રવેગ $-a = -u^2/8$ છે.
$v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (u/2)^2 - 2(u^2/8)x$
$0 = u^2/4 - (u^2/4)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1\,cm$.

(A) આપેલ સંબંધ: $t = \alpha x^2 + \beta x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = 2\alpha x + \beta$
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$v = \frac{1}{2\alpha x + \beta} \implies 2\alpha x + \beta = \frac{1}{v}$
પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$v = (2\alpha x + \beta)^{-1}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = -1(2\alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2\alpha) = -\frac{2\alpha}{(2\alpha x + \beta)^2}$
$(2\alpha x + \beta) = \frac{1}{v}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dv}{dx} = -2\alpha \cdot v^2$
હવે,પ્રવેગની ગણતરી કરતા:
$a = v \cdot (-2\alpha v^2) = -2\alpha v^3$
પ્રતિપ્રવેગ એ પ્રવેગનું ઋણ મૂલ્ય છે:
$\text{Retardation} = -a = 2\alpha v^3$

(C) ધારો કે કાર બિંદુ $A$ થી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $S$ અંતર સુધી $f$ પ્રવેગ સાથે બિંદુ $B$ સુધી ગતિ કરે છે.
બિંદુ $B$ પર કારનો વેગ $v = \sqrt{2fS}$ છે ($v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા).
કાર આ અચળ વેગ $v$ સાથે $t$ સમયમાં $BC = x$ અંતર કાપે છે,તેથી $x = vt = \sqrt{2fS} \cdot t$ ... $(i)$.
બિંદુ $C$ પર,કાર બિંદુ $D$ પર સ્થિર ન થાય ત્યાં સુધી $\frac{f}{2}$ ના દરે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે. ધારો કે અંતર $CD = y$ છે.
$v^2 = u^2 - 2a'y$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતિમ વેગ $0$ છે: $0 = v^2 - 2(\frac{f}{2})y \implies y = \frac{v^2}{f} = \frac{2fS}{f} = 2S$ ... (ii).
કુલ અંતર $AD = AB + BC + CD = S + x + 2S = 15S$.
$3S + x = 15S \implies x = 12S$.
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 12S$ મૂકતા: $12S = \sqrt{2fS} \cdot t$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $144S^2 = 2fS \cdot t^2$.
$2S$ વડે ભાગતા: $72S = f \cdot t^2 \implies S = \frac{1}{72}ft^2$.

(A) $1$. મુક્ત પતનનો તબક્કો (બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી): પેરાશૂટિસ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $s_1 = 50\, m$ અંતર સુધી મુક્ત પતન કરે છે. પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 0$,પ્રવેગ $a_1 = 9.8\, m/s^2$.
બિંદુ $B$ પર વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે: $v^2 = u_1^2 + 2a_1s_1 = 0 + 2 \times 9.8 \times 50 = 980$.
તેથી,$v = \sqrt{980}\, m/s$.
$2$. મંદનનો તબક્કો (બિંદુ $B$ થી $C$ સુધી): પેરાશૂટ ખુલે છે અને પેરાશૂટિસ્ટ $a_2 = -2\, m/s^2$ ના દરે મંદન અનુભવે છે. જમીન પર અંતિમ વેગ $v_f = 3\, m/s$ છે. ધારો કે કાપેલું અંતર $h$ છે.
સમીકરણ $v_f^2 = v^2 + 2a_2h$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3)^2 = 980 + 2(-2)h$
$9 = 980 - 4h$
$4h = 980 - 9 = 971$
$h = 971 / 4 = 242.75\, m$.
$3$. કુલ ઊંચાઈ: તેણે જે ઊંચાઈએથી કૂદકો માર્યો તે કુલ ઊંચાઈ $H = s_1 + h = 50 + 242.75 = 292.75\, m \approx 293\, m$ છે.

(B) આપેલ વેગ $u$ માટે,અવધિ $R$ એ બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ માટે સમાન હોય છે.
કોણ $\theta$ માટે ઉડ્ડયન સમય $t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
કોણ $(90^\circ - \theta)$ માટે ઉડ્ડયન સમય $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ છે.
બંને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર કરતા:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2(u^2 \sin 2\theta)}{g^2}$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$.
અહીં $g$ અચળ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $t_1 t_2 \propto R$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.3 \, kg$,બળ અચળાંક $k = 15 \, N/m$,અને સ્થાનાંતર $x = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
હૂકના નિયમ મુજબ,બળનું મૂલ્ય $F = kx$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 15 \times 0.2 = 3 \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{F}{m}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{3}{0.3} = 10 \, m/s^2$.
આમ,પ્રારંભિક પ્રવેગ $10 \, m/s^2$ છે.

(B) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે. બ્લોકને ઢળતી સપાટીની સાપેક્ષ સ્થિર રાખવા માટે,આપણે ઢાળના ફ્રેમમાં બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ.
$1$. બ્લોક પર લાગતા બળો તેના વજન $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે,લંબબળ $(N)$ જે સપાટીને લંબ છે,અને સ્યુડો ફોર્સ $(ma)$ જે ઢાળના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ રીતે લાગે છે.
$2$. ઢળતી સપાટીની દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
- ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઢાળની નીચેની તરફનો ઘટક $mg \sin \alpha$ છે.
- સ્યુડો ફોર્સનો ઢાળની ઉપરની તરફનો ઘટક $ma \cos \alpha$ છે.
$3$. બ્લોક ઢાળની સાપેક્ષ સ્થિર રહે તે માટે,આ બંને બળો એકબીજાને સંતુલિત કરવા જોઈએ:
$ma \cos \alpha = mg \sin \alpha$
$4$. બંને બાજુને $m \cos \alpha$ વડે ભાગતા:
$a = g \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$a = g \tan \alpha$

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 100\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$,ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.5$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot s = 0 - \frac{1}{2} m u^2$
$-(\mu_k m g) s = -\frac{1}{2} m u^2$
$s = \frac{u^2}{2 \mu_k g}$
કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{(100)^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{10000}{10} = 1000\, m$.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = n t_s$,તેથી $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(D) ધારો કે ઢળતા સમતલની કુલ લંબાઈ $l$ છે. ઉપરના અડધા ભાગની લંબાઈ $l/2$ છે અને તે લીસો છે,જ્યારે નીચેના અડધા ભાગની લંબાઈ $l/2$ છે અને તે $\mu$ ઘર્ષણાંક ધરાવે છે.
ઉપરના અડધા ભાગ માટે (લીસો):
પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી શરૂ કરતા,મધ્યબિંદુ પર વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે:
$v^2 = u^2 + 2 a_1 (l/2) = 0 + 2(g \sin \theta)(l/2) = gl \sin \theta$.
નીચેના અડધા ભાગ માટે (ખરબચડો):
પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. પદાર્થ $v$ વેગથી શરૂ કરે છે અને $l/2$ અંતર કાપ્યા પછી તળિયે સ્થિર $(v_f = 0)$ થાય છે:
$v_f^2 = v^2 + 2 a_2 (l/2) = 0$.
$v^2 = gl \sin \theta$ અને $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ મૂકતા:
$gl \sin \theta + 2[g(\sin \theta - \mu \cos \theta)](l/2) = 0$.
$gl \sin \theta + gl(\sin \theta - \mu \cos \theta) = 0$.
$2 \sin \theta - \mu \cos \theta = 0$.
$\mu \cos \theta = 2 \sin \theta$.
$\mu = 2 \tan \theta$.

(C) સપાટી લીસી હોવાથી,ગતિ દરમિયાન યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 100 \, m$ અને અંતિમ ઊંચાઈ $h_2 = 20 \, m$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$PE_{initial} + KE_{initial} = PE_{final} + KE_{final}$
$mgh_1 + 0 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(h_1 - h_2) = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}$
કિંમતો મૂકતા $(g = 10 \, m/s^2)$:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times (100 - 20)}$
$v = \sqrt{20 \times 80}$
$v = \sqrt{1600}$
$v = 40 \, m/s$.

(C) જ્યારે $M$ દળનો બ્લોક $v$ વેગ સાથે ગતિ કરતો હોય અને સ્પ્રિંગ સાથે અથડાય,ત્યારે મહત્તમ સંકોચન $L$ ના બિંદુએ તેની ગતિઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} K L^2$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{K}{M} L^2 \implies v = L \sqrt{\frac{K}{M}}$
બ્લોકનું વેગમાન $P$ એ $P = Mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = M \left( L \sqrt{\frac{K}{M}} \right) = \sqrt{M^2 \cdot \frac{K}{M}} L = \sqrt{MK} L$
આમ,બ્લોકનું મહત્તમ વેગમાન $\sqrt{MK} L$ છે.

(A) ધારો કે દળ $A$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે અને સ્થિર રહેલા દળ $B$ સાથે અસ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અથડામણ પછી દળ $A$ એ લંબ દિશામાં $\frac{v}{\sqrt{3}}$ વેગથી ગતિ કરે છે. ધારો કે દળ $B$ એ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે $V$ વેગથી ગતિ કરે છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગમાન (અથડામણ પહેલાં) $= mv$.
તંત્રનું અંતિમ સમક્ષિતિજ વેગમાન (અથડામણ પછી) $= m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) \cos(90^{\circ}) + mV \cos \theta = mV \cos \theta$.
સમક્ષિતિજ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = mV \cos \theta \implies v = V \cos \theta$ $...(i)$.
તંત્રનું પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગમાન (અથડામણ પહેલાં) $= 0$.
તંત્રનું અંતિમ શિરોલંબ વેગમાન (અથડામણ પછી) $= m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) - mV \sin \theta$.
શિરોલંબ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) - mV \sin \theta = 0 \implies \frac{v}{\sqrt{3}} = V \sin \theta$ $...(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$v^2 + \frac{v^2}{3} = V^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$.
$\frac{4v^2}{3} = V^2$.
$V = \frac{2}{\sqrt{3}}v$.

(B) પદાર્થના એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પ્રતિબળ $(S)$ અને વિકૃતિ $(\epsilon)$ નો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{S}{\epsilon} \implies \epsilon = \frac{S}{Y}$
વિકૃતિ માટેના આ સૂત્રને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
મુક્ત પતન કરતી લિફ્ટમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ શૂન્ય $(0)$ થઈ જાય છે કારણ કે લિફ્ટ ભારહીનતાની સ્થિતિમાં હોય છે.
જેમ $g_{eff} \to 0$ થાય,તેમ પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ અનંત તરફ જાય છે $(h \propto 1/g_{eff})$.
જો કે,પાણીનો સ્તંભ કેશનળીની ભૌતિક લંબાઈ કરતા વધી શકતો નથી.
તેથી,પાણી કેશનળીની સંપૂર્ણ લંબાઈ ભરાઈ જાય ત્યાં સુધી ઉપર ચઢશે,જે $20 \,cm$ છે.

(D) હિલિયમના મોલની સંખ્યા $(n_1)$ = $\frac{16}{4} = 4 \, \text{mol}$.
ઓક્સિજનના મોલની સંખ્યા $(n_2)$ = $\frac{16}{32} = 0.5 \, \text{mol}$.
હિલિયમ (એકપરમાણ્વિક) માટે,$\gamma_1 = \frac{5}{3}$ અને મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$.
ઓક્સિજન (દ્વિપરમાણ્વિક) માટે,$\gamma_2 = \frac{7}{5}$ અને મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$.
મિશ્રણ માટે સમતુલ્ય $\gamma$ નું સૂત્ર: $\frac{n_1 + n_2}{\gamma - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4 + 0.5}{\gamma - 1} = \frac{4}{\frac{5}{3} - 1} + \frac{0.5}{\frac{7}{5} - 1}$.
$\frac{4.5}{\gamma - 1} = \frac{4}{2/3} + \frac{0.5}{2/5} = 6 + 1.25 = 7.25$.
$\gamma - 1 = \frac{4.5}{7.25} \approx 0.62$.
$\gamma \approx 1.62$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે અને તે આંતરિક ઉર્જા $(U)$ નો ખ્યાલ રજૂ કરે છે. તે જણાવે છે કે $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. તે ચક્રીય પ્રક્રિયાઓ સહિત તમામ પ્રક્રિયાઓ માટે લાગુ પડે છે. જો કે,એન્ટ્રોપીનો ખ્યાલ થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે,પ્રથમ નિયમ દ્વારા નહીં. તેથી,વિધાન $(b)$ ખોટું છે.

(C) આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય (state function) છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય ફક્ત તંત્રની અવસ્થા (જે દબાણ,કદ અને તાપમાન જેવા ચલો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે) પર આધાર રાખે છે અને તે અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે અનુસરવામાં આવેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
કારણ કે બંને પ્રક્રિયાઓ $I$ અને $II$ એક જ પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ થી શરૂ થાય છે અને એક જ અંતિમ અવસ્થા $B$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી બંને પ્રક્રિયાઓ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta U_I = \Delta U_{II}$.

(A) $T-S$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ પ્રક્રિયામાં થતી ઉષ્માની આપ-લે દર્શાવે છે.
આપેલ ચક્ર માટે, શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_{in})$ એ ઉપરની ત્રાંસી રેખાની નીચે $S_0$ થી $2S_0$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ ક્ષેત્રફળ એક લંબચોરસ અને એક ત્રિકોણનો સરવાળો છે: $Q_{in} = (T_0 \times S_0) + \frac{1}{2} \times (2T_0 - T_0) \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0 + \frac{1}{2} T_0 S_0 = 1.5 T_0 S_0$.
મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_{out})$ એ નીચેની આડી રેખાની નીચે $2S_0$ થી $S_0$ સુધીનું $T_0$ તાપમાને ક્ષેત્રફળ છે: $Q_{out} = T_0 \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0$.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{T_0 S_0}{1.5 T_0 S_0} = 1 - \frac{1}{1.5} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.33$.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા સમકેન્દ્રી ગોળાકાર કવચનો વિચાર કરો.
સ્થાયી અવસ્થામાં,આ કવચમાંથી પસાર થતો ઉષ્માના વહનનો ત્રિજ્યાવર્તી દર $H$ એ ફુરિયરના ઉષ્મા વહન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = \frac{{dQ}}{{dt}} = - KA\frac{{dT}}{{dr}}$
ગોળાકાર કવચનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi {r^2}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$H = - K(4\pi {r^2})\frac{{dT}}{{dr}}$
સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H}dT$
$r_1$ થી $r_2$ અને $T_1$ થી $T_2$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{{r_1}}^{{r_2}} \frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H} \int_{{T_1}}^{{T_2}} dT$
$\left[ - \frac{1}{r} \right]_{{r_1}}^{{r_2}} = - \frac{{4\pi K}}{H} (T_2 - T_1)$
$\left( \frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_2}}} \right) = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$
$\frac{{{r_2} - {r_1}}}{{{r_1}{r_2}}} = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$
$H$ માટે ઉકેલતા:
$H = \frac{{4\pi K{r_1}{r_2}({T_1} - {T_2})}}{{{r_2} - {r_1}}}$
આમ,ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{{{r_1}{r_2}}}{{{r_2} - {r_1}}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) પ્રથમ કણનો વેગ તેના સ્થાનાંતરના વિકલન દ્વારા મળે છે: ${v_1} = \frac{d{y_1}}{dt} = 0.1 \times 100\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3}) = 10\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3})$.
બીજા કણનો વેગ તેના સ્થાનાંતરના વિકલન દ્વારા મળે છે: ${v_2} = \frac{d{y_2}}{dt} = -0.1\pi \sin(\pi t) = 0.1\pi \cos(\pi t + \frac{\pi}{2})$.
પ્રથમ કણના વેગની કળા ${\phi_1} = 100\pi t + \frac{\pi}{3}$ છે અને બીજા કણના વેગની કળા ${\phi_2} = \pi t + \frac{\pi}{2}$ છે.
$t = 0$ સમયે કળા તફાવત:
$\Delta \phi = \phi_1(0) - \phi_2(0) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi - 3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} + Ky = 0$ છે.
આ સમીકરણને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = K$ મળે છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{K}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{\sqrt{K}}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $y = \sin^2(\omega t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$.
$\cos(kt)$ વિધેયનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k = 2\omega$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ થશે.
સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} = -\Omega^2 y$ નું પાલન કરવું જોઈએ. આપેલ વિધેય એક અચળ પદ અને કોસાઇન પદનો સરવાળો છે,જે $S.H.M.$ ની શરતનું પાલન કરતું નથી કારણ કે સંતુલન સ્થાન સ્થળાંતરિત થયેલ છે અને તે ઉગમબિંદુની આસપાસ શુદ્ધ સાઇનસૉઇડલ દોલન નથી. તેથી,આ એક આવર્ત ગતિ છે પરંતુ $S.H.M.$ નથી.

(D) આપેલ તંત્ર એક સાદા લોલક તરીકે વર્તે છે, જ્યાં અસરકારક લંબાઈ $(l)$ એ નિલંબન બિંદુ અને દોલન કરતા પદાર્થના ગુરુત્વકેન્દ્ર $(C.G.)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં, જ્યારે ગોળો ભરેલો હોય છે, ત્યારે $C.G.$ ગોળાના કેન્દ્ર પર હોય છે. જેમ પાણી બહાર નીકળે છે, તેમ બાકી રહેલા પાણીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે તરફ ખસે છે, જેના કારણે તંત્રનું પરિણામી $C.G.$ નીચે તરફ જાય છે. આનાથી અસરકારક લંબાઈ $(l)$ વધે છે, અને આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ હોવાથી, આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જેમ વધુ પાણી બહાર નીકળે છે, તેમ બાકી રહેલા પાણીનું વજન ખાલી ગોળાના વજન કરતા ઓછું થઈ જાય છે. પરિણામી $C.G.$ પાછું ગોળાના કેન્દ્ર તરફ ઉપરની તરફ ખસવાનું શરૂ કરે છે. પરિણામે, અસરકારક લંબાઈ $(l)$ ઘટે છે, જેના કારણે આવર્તકાળ $T$ ઘટે છે.
અંતે, જ્યારે ગોળો સંપૂર્ણપણે ખાલી થઈ જાય છે, ત્યારે $C.G.$ ગોળાના કેન્દ્ર પર પાછું આવે છે, જેથી અસરકારક લંબાઈ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલી થઈ જાય છે. આમ, આવર્તકાળ તેના મૂળ મૂલ્ય પર પાછો આવે છે. તેથી, દોલનનો આવર્તકાળ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટીને તેના મૂળ મૂલ્ય પર આવે છે.

(B) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n' = \left( \frac{v + v_O}{v} \right) n$
અહીં આપેલ છે કે અવલોકનકારનો વેગ $v_O = \frac{v}{5}$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
સૂત્રમાં $v_O$ ની કિંમત મૂકતા:
$n' = \left( \frac{v + v/5}{v} \right) n = \left( \frac{6v/5}{v} \right) n = 1.2n$
આવૃત્તિમાં થતો વધારો $\Delta n = n' - n = 1.2n - n = 0.2n$ છે.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \left( \frac{\Delta n}{n} \right) \times 100 = \left( \frac{0.2n}{n} \right) \times 100 = 20\%$.

(C) $M'$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M' r^2$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર તકતી એ સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનો બરાબર અડધો ભાગ છે.
જો અર્ધવર્તુળાકાર તકતીનું દળ $M$ હોય,તો અનુરૂપ સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $2M$ થશે.
સંપૂર્ણ તકતીના સૂત્રમાં $M' = 2M$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} (2M) r^2 = M r^2$.
તેથી,અર્ધવર્તુળાકાર તકતીની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $M r^2$ થાય છે.

(D) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ ફક્ત તેના પર લાગતા બાહ્ય બળો પર આધાર રાખે છે.
આ કિસ્સામાં,પદાર્થ $A$ (અને ત્યારબાદ ભાગ $B$ અને $C$ ના તંત્ર) પર લાગતું એકમાત્ર બાહ્ય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે નીચેની તરફ $g$ જેટલો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
તૂટવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન બાહ્ય બળ બદલાતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $g$ જ રહે છે.
તેથી,ભાગ $B$ અને $C$ થી બનેલા તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો ગતિપથ મૂળ પદાર્થ $A$ ના ગતિપથ જેવો જ રહે છે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ પદાર્થ $A$ ના ગતિપથની સાપેક્ષમાં ખસતું નથી.

(A) વસ્તુ શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ કરે તે માટે,લગાડવામાં આવેલું બળ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ માંથી પસાર થવું જોઈએ.
ધારો કે આડી સળિયા $AB$ નું દળ $m$ છે. કારણ કે ઉભી સળિયા $CD$ ની લંબાઈ $2l$ છે અને આડી સળિયા $AB$ ની લંબાઈ $l$ છે,સમાન ઘનતા ધારતા,સળિયા $CD$ નું દળ $2m$ થશે.
સળિયા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ $D$ પર છે,જે $C$ થી $2l$ અંતરે છે. ધારો કે $y_1 = 2l$.
સળિયા $CD$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર છે,જે $C$ થી $l$ અંતરે છે. ધારો કે $y_2 = l$.
$C$ ને ઉગમબિંદુ તરીકે લેતા,ઉભી ધરી પર તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$
$y_{cm} = \frac{m(2l) + (2m)(l)}{m + 2m} = \frac{2ml + 2ml}{3m} = \frac{4ml}{3m} = \frac{4l}{3}$
આમ,શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ સુનિશ્ચિત કરવા માટે બળ $C$ થી $\frac{4l}{3}$ અંતરે લગાડવું જોઈએ.

(B) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ જેટલી સમાન કોણીય ઝડપથી ફરતા $m$ દળના કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F = m \omega^{2} r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગના આંતરિક ભાગ પર $R_{1}$ ત્રિજ્યાએ રહેલા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F_{1} = m \omega^{2} R_{1}$ છે.
રીંગના બાહ્ય ભાગ પર $R_{2}$ ત્રિજ્યાએ રહેલા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F_{2} = m \omega^{2} R_{2}$ છે.
આ બે બળોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{m \omega^{2} R_{1}}{m \omega^{2} R_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$.
આમ,બળોનો ગુણોત્તર $\frac{R_{1}}{R_{2}}$ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$g = \frac{G \times \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R$.
આ સમીકરણ પરથી,સરેરાશ ઘનતા $\rho = \frac{3g}{4\pi GR}$ મળે છે.
અહીં $G$,$\pi$,અને $R$ (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) અચળ હોવાથી,$\rho \propto g$ થાય છે.
તેથી,પૃથ્વીની સરેરાશ ઘનતા $g$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તે $T$ સમયમાં $v$ ઝડપ સુધી સમાન પ્રવેગિત થાય છે,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{T} = \frac{v}{T}$ મળે.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $v(t) = at = \frac{v}{T}t$ થાય.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m\left(\frac{v}{T}\right)$ છે.
તાત્ક્ષણિક પાવર $P = F \cdot v(t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \left(m \frac{v}{T}\right) \left(\frac{v}{T}t\right) = \frac{mv^2}{T^2}t$ મળે છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પર $m$ દળના કણની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણને અનંત અંતરે (જ્યાં સ્થિતિઊર્જા $0$ છે) લઈ જવા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધમાં કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_{final} - U_{initial} = 0 - (- \frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}$.
આપેલ કિંમતો:
$M = 100\, kg$
$m = 10\, g = 0.01\, kg$
$R = 10\, cm = 0.1\, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11}\, Nm^2/kg^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 100 \times 0.01}{0.1}$
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1}{0.1} = 6.67 \times 10^{-10}\, J$.

(D) ધારો કે ફોર્ક $1$ ની આવૃત્તિ $n_1 = 200 \, Hz$ છે અને ફોર્ક $2$ ની આવૃત્તિ $n_2$ છે.
શરૂઆતમાં,બીટ આવૃત્તિ $|n_1 - n_2| = 4 \, Hz$ છે. આનો અર્થ એ થાય કે $n_2 = 200 \pm 4$,તેથી $n_2 = 204 \, Hz$ અથવા $n_2 = 196 \, Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ફોર્ક $2$ ના પ્રોંગ પર ટેપ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_2$ ઘટે છે.
જો $n_2 = 204 \, Hz$ હોત,તો તેને ઘટાડવાથી બીટ આવૃત્તિ $|200 - n_2'|$ એ $4 \, Hz$ કરતા ઓછી થઈ જાત.
જો $n_2 = 196 \, Hz$ હોત,તો તેને વધુ ઘટાડવાથી (દા.ત. $194 \, Hz$ સુધી) બીટ આવૃત્તિ $|200 - 194| = 6 \, Hz$ થઈ જાય.
તેથી,બીટ આવૃત્તિ વધીને $6 \, Hz$ થતી હોવાથી,ફોર્ક $2$ ની મૂળ આવૃત્તિ $196 \, Hz$ હોવી જોઈએ.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ $g$ નું મૂલ્ય $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$g$ માં થતો ફેરફાર $\Delta g_h = g - g_h = g(\frac{2h}{R})$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ $g$ નું મૂલ્ય $g_x = g(1 - \frac{x}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$g$ માં થતો ફેરફાર $\Delta g_x = g - g_x = g(\frac{x}{R})$ છે.
આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h$ અને ઊંડાઈ $x$ પર $g$ માં થતો ફેરફાર સમાન છે,તેથી આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$g(\frac{2h}{R}) = g(\frac{x}{R})$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 2h$ મળે છે.

(B) ધારો કે $T$ એ રેશમના દોરામાં તણાવ છે,$q$ એ ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર છે,$m$ એ ગોળાનું દળ છે,અને $E$ એ મોટી વિદ્યુતભારીત પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરાની દિશામાં તણાવ $T$.
$2$. નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$.
$3$. પ્લેટથી દૂર આડી દિશામાં લાગતું વિદ્યુત બળ $qE$.
તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
$T \sin \theta = qE$ (ક્ષૈતિજ ઘટક)
$T \cos \theta = mg$ (શિરોલંબ ઘટક)
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{qE}{mg}$
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
મોટી વિદ્યુતભારીત વાહક પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{q}{mg} \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)$
અહીં $q, m, g,$ અને $\varepsilon_0$ અચળ હોવાથી:
$\tan \theta \propto \sigma$ અથવા $\sigma \propto \tan \theta$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(D) ધારો કે બે રીંગોના કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ છે. $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{R^2 + x^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ રીંગ (વિદ્યુતભાર $+q$) માટે કેન્દ્ર $O_1$ પર:
પોતાના કારણે સ્થિતિમાન $V_{1, self} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$.
બીજી રીંગ (વિદ્યુતભાર $-q$) ના કારણે $d$ અંતરે સ્થિતિમાન $V_{1, other} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$.
તેથી,$V_{O_1} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.
બીજી રીંગ (વિદ્યુતભાર $-q$) માટે કેન્દ્ર $O_2$ પર:
પોતાના કારણે સ્થિતિમાન $V_{2, self} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$.
પ્રથમ રીંગ (વિદ્યુતભાર $+q$) ના કારણે $d$ અંતરે સ્થિતિમાન $V_{2, other} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$.
તેથી,$V_{O_2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{R} + \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = -V_{O_1}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_{O_1} - V_{O_2} = V_{O_1} - (-V_{O_1}) = 2V_{O_1}$.
$\Delta V = 2 \cdot \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.

(C) વારાફરતી જોડાયેલી $n$ પ્લેટોના સ્ટેકમાં, પ્લેટો સમાંતર જોડાણમાં $(n - 1)$ કેપેસિટર બનાવે છે.
દરેક પાસપાસેની પ્લેટોની જોડી $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા એક કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ $(n - 1)$ કેપેસિટરો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_R$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો છે.
તેથી, $C_R = C + C + ... + (n - 1) \text{ વખત} = (n - 1)C$.

(B) સંપૂર્ણ ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર કોઈલ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,ત્યારે આ વિદ્યુત ઉર્જા ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = ms\Delta T$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુત ઉર્જા એ બ્લોક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}CV^2 = ms\Delta T$
$V$ માટે ઉકેલતા:
$V^2 = \frac{2ms\Delta T}{C}$
$V = \sqrt{\frac{2ms\Delta T}{C}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ગેલ્વેનોમીટર $G$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,$G$ અને $E$ વાળી શાખામાં પ્રવાહ શૂન્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે અવરોધ $X$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરી $E$ ના $e.m.f.$ જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $E_1$,$500 \, \Omega$ અને $X$ ધરાવતા લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{E_1}{500 + X}$ મળે.
$X$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_X = I \cdot X = \left( \frac{E_1}{500 + X} \right) X$ થાય.
અહીં $V_X = E$ હોવાથી,$\left( \frac{12}{500 + X} \right) X = 2$ મળે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\left( \frac{6}{500 + X} \right) X = 1$ મળે.
$6X = 500 + X$.
$5X = 500$.
$X = 100 \, \Omega$.

(D) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $emf$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + R_1 + R_2$ છે. પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{2E}{R + R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$emf$ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા સ્ત્રોત પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E - ir$ દ્વારા મળે છે. $R_2$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા સ્ત્રોત માટે,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે:
$0 = E - i R_2$
$E = i R_2$
$i$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$
$1 = \frac{2 R_2}{R + R_1 + R_2}$
$R + R_1 + R_2 = 2 R_2$
$R = 2 R_2 - R_2 - R_1$
$R = R_2 - R_1$

(D) ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા ઉર્જા સ્ત્રોત દ્વારા લોડ અવરોધ $R$ માં પૂરો પાડવામાં આવતો પ્રવાહ $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = \frac{E}{R + r}$.
લોડ અવરોધ $R$ માં ફેરફાર છતાં પ્રવાહ $I$ અચળ રહે તે માટે,આંતરિક અવરોધ $r$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
જો $r = 0$ હોય,તો $I = \frac{E}{R}$. આ પ્રશ્નના આપેલા વિકલ્પોના આધારે,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) સંતુલન લંબાઈ $l_1$ એ કોષના વિદ્યુતચાલક બળ $(E)$ ના સમપ્રમાણમાં છે: $E \propto l_1 = 240 \ cm$.
જ્યારે કોષને $R = 2 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ $l_2 = 120 \ cm$ લંબાઈ પર સંતુલિત થાય છે,તેથી $V \propto l_2$.
કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{E}{V} - 1 \right)$ છે.
અહીં $E/V = l_1/l_2$ હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$
$r = 2 \left( \frac{240}{120} - 1 \right)$
$r = 2 \left( 2 - 1 \right)$
$r = 2 \ \Omega$.
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \ \Omega$ છે.

(B) વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $(V_s)$ અને પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $(I_s)$ વચ્ચેનો સંબંધ $V_s = \frac{I_s}{G}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $I_s = 10 \, \text{div/mA}$ અને $V_s = 2 \, \text{div/mV}$,તેથી $G = \frac{I_s}{V_s} = \frac{10}{2} = 5 \, \Omega$.
ફુલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન માટેનો પ્રવાહ $(I_g)$ એ કુલ વિભાગો ભાગ્યા પ્રવાહ સંવેદનશીલતા છે: $I_g = \frac{150 \, \text{div}}{10 \, \text{div/mA}} = 15 \, \text{mA} = 15 \times 10^{-3} \, \text{A}$.
દરેક વિભાગ $1 \, V$ વાંચે તે માટે,કુલ વોલ્ટેજ $(V)$ જે માપવાનું છે તે $150 \, \text{divisions} \times 1 \, \text{V/division} = 150 \, \text{V}$ થશે.
ગેલ્વેનોમીટરને $V$ રેન્જના વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,શ્રેણીમાં જોડવા પડતો અવરોધ $R = \frac{V}{I_g} - G$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{150}{15 \times 10^{-3}} - 5 = 10000 - 5 = 9995 \, \Omega$.

(C) હીટર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનું સૂત્ર $H = \frac{V^2 t}{R}$ છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે,$t$ એ સમય છે અને $R$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,નવી ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H'$ એ $H' = \frac{V^2 t}{R'} = \frac{V^2 t}{R/2} = 2 \times \frac{V^2 t}{R}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$H' = 2H$.
આમ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા બમણી થાય છે.

(C) જ્યારે લેમ્પ ગરમ હોય (રેટેડ પાવર પર) ત્યારે તેનો અવરોધ $R_{Hot} = \frac{V^2}{P}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R_{Hot} = \frac{200 \times 200}{100} = 400\,\Omega$.
અહીં આપેલ છે કે ગરમ અવરોધ એ ઠંડા અવરોધ કરતા $10$ ગણો છે: $R_{Hot} = 10 \times R_{Cold}$.
તેથી,ઠંડો અવરોધ (જ્યારે લેમ્પ ઉપયોગમાં ન હોય ત્યારે) $R_{Cold} = \frac{R_{Hot}}{10}$ થશે.
$R_{Cold} = \frac{400}{10} = 40\,\Omega$.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,જમા થયેલ દળ $m = zq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $z$ એ વિદ્યુત-રાસાયણિક તુલ્યાંક છે અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
જમા થયેલ દળ સમાન હોવાથી,$m_1 = m_2$,જેનો અર્થ છે કે $z_1 q_1 = z_2 q_2$.
આના પરથી,વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{z_2}{z_1}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ વિદ્યુતભાર $q = q_1 + q_2$.
આપણે ચાંદીના વોલ્ટામીટરમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $q_2$ શોધવો છે.
ગુણોત્તર પરથી,$q_1 = q_2 \frac{z_2}{z_1}$.
આ કિંમતને કુલ વિદ્યુતભારના સમીકરણમાં મૂકતા: $q = q_2 \frac{z_2}{z_1} + q_2 = q_2 (1 + \frac{z_2}{z_1})$.
$q_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $q_2 = \frac{q}{1 + \frac{z_2}{z_1}}$ મળે છે.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કોઈલ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ હશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r}$ કિંમતો મૂકતા,$B_{net} = \frac{\mu_0}{2r} \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ મળે.
અહીં $r = 2\pi \, cm = 2\pi \times 10^{-2} \, m$,$i_1 = 3 \, A$,$i_2 = 4 \, A$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Wb/A \cdot m$ આપેલ છે.
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} \sqrt{3^2 + 4^2}$.
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{4\pi \times 10^{-2}} \sqrt{9 + 16} = 10^{-5} \times \sqrt{25} = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ગતિ કરતું હોવાથી,$\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે,તેથી $\vec{F}_m = 0$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર ઋણ $(q = -e)$ હોવાથી,વિદ્યુત બળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
જેમ કે ઇલેક્ટ્રોનને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે,તેથી વિદ્યુત બળ તેના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. આ બળ અવરોધક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ઘટે છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોનના વેગનું મૂલ્ય ઘટશે.

(B) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ચુંબકીય બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા:
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી,આપણે વેગ $v$ અથવા ત્રિજ્યા $r$ શોધી શકીએ છીએ:
$v = \frac{qBr}{m}$
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T$ એ પરિઘ ભાગ્યા ઝડપ છે:
$T = \frac{2\pi r}{v}$
$v$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$T = \frac{2\pi r}{(qBr/m)} = \frac{2\pi m}{qB}$
આમ,એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $\frac{2\pi m}{qB}$ છે.

(C) અંતરે રહેલા અને $i_1$ તથા $i_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ નીચે મુજબ છે: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi d}$.
અહીં બંને તારમાં સમાન દિશામાં $i$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,તેથી $i_1 = i_2 = i$.
આ કિંમતો મૂકતા આપણને મળે છે: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 i^2}{2\pi d}$.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,સમાન દિશામાં વહેતા સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહો એકબીજા પર આકર્ષી બળ લગાડે છે.
તેથી,તાર એકબીજાને $\frac{\mu_0 i^2}{2\pi d}$ બળથી આકર્ષશે.

(A) ચુંબકીય સોય એક ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે.
અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,સોયના બંને ધ્રુવો પર લાગતું ચુંબકીય બળ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અલગ-અલગ હશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસમાન હોવાને કારણે,ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોતું નથી,જેના પરિણામે તે સ્થાનાંતરિત બળ અનુભવે છે.
વધુમાં,બંને ધ્રુવો પર લાગતા બળો એક રેખીય નથી અને તેમના મૂલ્યો અલગ હોવાથી,તેઓ એક પરિણામી ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે સોય પરિભ્રમણ કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય સોય બળ અને ટોર્ક બંને અનુભવે છે.

(B) જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેની લંબાઈ અને વેગ સદિશને લંબ દિશામાં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રેરિત ગતિકીય emf $E = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સિસ્ટમમાં,બે ગતિશીલ વાહક ભાગો ($U$ ટ્યુબના વળાંકવાળા છેડા) છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $l$ છે અને તે એકબીજા તરફ $v$ ઝડપે ગતિ કરે છે.
દરેક ગતિશીલ ભાગ $E = Blv$ મૂલ્યના ગતિકીય emf ના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
કારણ કે બંને ટ્યુબ એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહી છે,તેથી બંધ લૂપમાં બંને ભાગોમાં પ્રેરિત emf શ્રેણીમાં છે અને તેમનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,પરિપથમાં કુલ પ્રેરિત emf $E_{\text{net}} = Blv + Blv = 2Blv$ થશે.

(D) $LR$ સર્કિટમાં પ્રવાહનું સૂત્ર $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ છે,જ્યાં $i_0 = V/R$ એ સ્થાયી પ્રવાહ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રવાહ તેના સ્થાયી મૂલ્યના અડધા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે,તેથી $i = i_0/2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $i_0/2 = i_0(1 - e^{-Rt/L})$.
આથી $1/2 = 1 - e^{-Rt/L}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-Rt/L} = 1/2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-Rt/L = \ln(1/2) = -\ln(2)$.
તેથી,$t = (L/R) \ln(2)$.
અહીં $L = 300\, mH = 0.3\, H$ અને $R = 2\, \Omega$ આપેલ છે,તેથી $t = (0.3 / 2) \times 0.693$.
$t = 0.15 \times 0.693 = 0.10395\, s \approx 0.1\, s$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
જો ગતિઊર્જા $E$ વધીને $E' = 2E$ થાય,તો નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2E)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ થશે.
તેથી,$\lambda' = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda$.
આમ,તરંગલંબાઈમાં $1/\sqrt{2}$ ના અવયવ જેટલો ફેરફાર થાય છે.

(D) બિંદુવત સ્ત્રોતથી $d$ અંતરે પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ $I \propto \frac{1}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને $N \propto I$ મળે છે.
તેથી,$N \propto \frac{1}{d^2}$.
જ્યારે અંતર $d$ થી બદલીને $\frac{d}{2}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફોટોઇલેક્ટ્રોનની નવી સંખ્યા $N'$ એ $N' \propto \frac{1}{(\frac{d}{2})^2} = \frac{4}{d^2}$ દ્વારા મળે છે.
$N'$ ની $N$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $N' = 4N$ મળે છે.
આમ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $4$ ના અવયવથી વધશે.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{initial} - E_{final}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જન થાય છે.
સંક્રમણ $II$ અને $IV$ ઉત્સર્જન દર્શાવે છે.
સંક્રમણ $II$ એ $n=4$ થી $n=3$ સુધીનું છે,અને સંક્રમણ $IV$ એ $n=4$ થી $n=2$ સુધીનું છે.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ એ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના તફાવત (ગેપ) ના પ્રમાણમાં હોય છે.
$n=4$ અને $n=2$ વચ્ચેનો ગેપ $n=4$ અને $n=3$ વચ્ચેના ગેપ કરતા મોટો હોવાથી,સંક્રમણ $IV$ એ સંક્રમણ $II$ કરતા વધુ ઉર્જા મુક્ત કરે છે.
તેથી,સંક્રમણ $IV$ સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન દર્શાવે છે.

(A) આપેલ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા $X(n, \alpha) {_3Li^7}$ છે.
તેને આ રીતે લખી શકાય: $_ZX^A + _0n^1 \to _3Li^7 + _2He^4$.
દળ સંખ્યા અને પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ માટે: $Z + 0 = 3 + 2 \implies Z = 5$.
દળ સંખ્યા $(A)$ માટે: $A + 1 = 7 + 4 \implies A + 1 = 11 \implies A = 10$.
આમ,ન્યુક્લિયસ $X$ એ $_5X^{10}$ છે,જે બોરોન-$10$ $(_{5}B^{10})$ દર્શાવે છે.

(C) ફુલ વેવ રેક્ટિફાયરમાં,આઉટપુટ ઇનપુટ $AC$ સપ્લાયના દરેક એક ચક્ર માટે બે પલ્સ ધરાવે છે.
કારણ કે ઇનપુટ આવૃત્તિ $f_{in} = 50\, Hz$ છે,તેથી આઉટપુટ રિપલ આવૃત્તિ $f_{out}$ એ સૂત્ર $f_{out} = 2 \times f_{in}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $f_{out} = 2 \times 50\, Hz = 100\, Hz$.
તેથી,રિપલમાં મૂળભૂત આવૃત્તિ $100\, Hz$ છે.

(A) કોમન બેઝ $(CB)$ એમ્પ્લીફાયર ગોઠવણીમાં,ઇનપુટ સિગ્નલ એમિટર અને બેઝ વચ્ચે આપવામાં આવે છે અને આઉટપુટ કલેક્ટર અને બેઝ વચ્ચે લેવામાં આવે છે.
બેઝ ઇનપુટ અને આઉટપુટ બંને સર્કિટ માટે સામાન્ય હોવાથી,ઇનપુટ વોલ્ટેજ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ સિગ્નલ સમાન ફેઝમાં હોય છે.
તેથી,ઇનપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $0$ છે.

(D) બહારની દુનિયામાંથી આવતો પ્રકાશ પાણીમાં પ્રવેશે છે અને વક્રીભવન પામે છે. માછલી બહારની દુનિયાને પ્રકાશના એક વર્તુળાકાર શંકુમાં જુએ છે,જે ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વર્તુળાકાર ક્ષિતિજની ત્રિજ્યા $r$ એ સૂત્ર $r = h \tan(\theta_c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ માછલીની ઊંડાઈ છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ છે,તેથી ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ માટે $\sin(\theta_c) = \frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}$ થાય.
નિત્યસમ $\tan(\theta_c) = \frac{\sin(\theta_c)}{\cos(\theta_c)} = \frac{\sin(\theta_c)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta_c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan(\theta_c) = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = 12 \times \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{36}{\sqrt{7}} \ cm$ મળે.

(D) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં,$P_a = (\mu_g - 1) K = -5 D$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
અહીં $\mu_g = 1.5$ આપેલ છે,તેથી $(1.5 - 1) K = -5$,એટલે કે $0.5 K = -5$,જેનો અર્થ છે $K = -10$.
$1.6$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહી માધ્યમમાં,નવો પાવર $P_l = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $P_l = (\frac{1.5}{1.6} - 1) \times (-10)$.
$P_l = (\frac{1.5 - 1.6}{1.6}) \times (-10) = (\frac{-0.1}{1.6}) \times (-10) = \frac{1}{1.6} = 0.625 D$.
આમ,$0.625 D$ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમ દ્વારા બે બિંદુવત પદાર્થોના વિભેદન (resolution) માટેની શરત રેલેના માપદંડ (Rayleigh criterion) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$,જ્યાં $\theta$ એ કોણીય અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ છિદ્ર (કીકી) નો વ્યાસ છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,કોણીય અંતર $\theta = \frac{x}{d}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ ટપકાં વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ ટપકાંથી અવલોકનકારનું અંતર છે.
$\theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1.22 \lambda}{a} = \frac{x}{d}$.
$d$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $d = \frac{x \cdot a}{1.22 \lambda}$.
આપેલ કિંમતો: $x = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,$a = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$,$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{(1 \times 10^{-3} \ m) \times (3 \times 10^{-3} \ m)}{1.22 \times 500 \times 10^{-9} \ m}$
$d = \frac{3 \times 10^{-6}}{610 \times 10^{-9}} = \frac{3000}{610} \approx 4.918 \ m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,મહત્તમ અંતર આશરે $5 \ m$ છે.

(B) $x$ જાડાઈના પદાર્થમાંથી પસાર થતા રેડિયેશનની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I' = I e^{-\mu x}$ છે,જ્યાં $I$ એ પ્રારંભિક તીવ્રતા છે,$I'$ એ અંતિમ તીવ્રતા છે અને $\mu$ એ શોષણ ગુણાંક છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,જ્યારે $x_1 = 36 \, mm$ હોય,ત્યારે તીવ્રતા $I' = \frac{I}{8}$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I}{8} = I e^{-\mu (36)} \implies e^{36\mu} = 8 = 2^3$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $36\mu = 3 \ln(2) \implies \mu = \frac{3 \ln(2)}{36} = \frac{\ln(2)}{12}$.
હવે,આપણે એવી જાડાઈ $x_2$ શોધવાની છે કે જેથી તીવ્રતા $I' = \frac{I}{2}$ થાય.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{I}{2} = I e^{-\mu x_2} \implies e^{\mu x_2} = 2$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\mu x_2 = \ln(2)$.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $(\frac{\ln(2)}{12}) x_2 = \ln(2)$.
$x_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x_2 = 12 \, mm$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,બે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત પડદા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે $\Delta x = S_2P - S_1P = d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ પથ તફાવત માટે,પડદા પરના બિંદુઓ $P$ નો બિંદુપથ એક વક્ર બનાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,શરત $S_2P - S_1P = \text{constant}$ એ બે સ્લિટને નાભિ તરીકે ધરાવતા અતિવલય (hyperbola) ની વ્યાખ્યા દર્શાવે છે.
તેથી,પડદા પર રચાતી વ્યતિકરણની ભાત અતિવલયાકાર હોય છે.

(C) વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનને ઉત્તેજિત કરવા માટે આપાત ફોટોનની ઉર્જા ઓછામાં ઓછી બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $(E_g)$ જેટલી હોવી જોઈએ.
$E_g = \frac{hc}{\lambda}$
આપેલ છે:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \; m/s$
$\lambda = 2480 \times 10^{-9} \; m$
$1 \; eV = 1.6 \times 10^{-19} \; J$
કિંમતો મૂકતા:
$E_g = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2480 \times 10^{-9}} \; J$
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$1.6 \times 10^{-19}$ વડે ભાગતા:
$E_g = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2480 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \; eV$
$E_g \approx 0.5 \; eV$

(B) $AC$ સર્કિટમાં મહત્તમ પાવર માટે, સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ.
રેઝોનન્સ પર, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$ મળે છે.
કેપેસિટન્સ $C$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $L = 10\;H$ અને $f = 50\;Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{1}{4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 10}$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા, $C = \frac{1}{4 \times 10 \times 2500 \times 10} = \frac{1}{1000000} = 10^{-6}\;F$.
આમ, $C = 1\;\mu F$.

(A) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર એ અવરોધ $(R)$ અને ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્ર: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$
આપેલ છે: $R = 12 \; \Omega$ અને $Z = 15 \; \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \phi = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$.
તેથી,સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $0.8$ છે.

(D) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ એ સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R_0$ એ અચળાંક છે.
આપેલ ન્યુક્લિયસ માટે:
${}_{13}^{27}Al$ માટે,$A_1 = 27$ અને $R_1 = 3.6 \, fm$.
${}_{52}^{125}Te$ માટે,$A_2 = 125$ અને આપણે $R_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^{1/3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_2}{3.6} = \left( \frac{125}{27} \right)^{1/3}$
$\frac{R_2}{3.6} = \frac{5}{3}$
$R_2 = \frac{5}{3} \times 3.6 = 5 \times 1.2 = 6 \, fm$.
આમ,${}_{52}^{125}Te$ ની ત્રિજ્યા $6 \, fm$ છે.

(D) $AC$ સર્કિટમાં,અલ્ટરનેટિંગ કરંટ અને ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર (માત્ર $L$) માટે,$\phi = \frac{\pi}{2}$ છે.
શુદ્ધ કેપેસિટર (માત્ર $C$) માટે,$\phi = -\frac{\pi}{2}$ છે (જેનું મૂલ્ય $\frac{\pi}{2}$ છે).
$L-C$ સર્કિટ માટે,જો $X_L \neq X_C$ હોય,તો ફેઝ તફાવત $\frac{\pi}{2}$ હોય છે.
$R-L$ સર્કિટ માટે,ફેઝ તફાવત $\phi$ એ $0 < \phi < \frac{\pi}{2}$ ની રેન્જમાં હોય છે.
તેથી,$R-L$ સર્કિટમાં ફેઝ તફાવત $\frac{\pi}{2}$ હોઈ શકે નહીં.

(D) આપેલ છે કે ${}^{66}Cu$ ના નમૂનાનો $\frac{7}{8}$ ભાગ $15 \ minutes$ માં ક્ષય પામે છે.
બાકી રહેલા નમૂનાનો ભાગ $N = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$,તેથી અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 3$ છે.
સમય $t$,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $n = \frac{t}{T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 = \frac{15}{T}$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય $T = \frac{15}{3} = 5 \ minutes$ થાય.

(D) ધારો કે જે બિંદુએ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે ઉગમબિંદુ $(x=0)$ થી $x$ અંતરે છે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ સંજ્ઞાના હોવાથી,શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતું બિંદુ બંને વિદ્યુતભારોની વચ્ચે નહીં,પરંતુ નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(-2 q)$ ની બાજુએ બહારની તરફ હશે.
ધારો કે આ બિંદુ $x > L$ પર છે. $+8 q$ થી તેનું અંતર $x$ છે અને $-2 q$ થી તેનું અંતર $(x - L)$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$E_1 = E_2$
$\frac{K(8 q)}{x^2} = \frac{K(2 q)}{(x - L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x - L}$
$2(x - L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2 L$
આમ,તે બિંદુ ઉગમબિંદુથી $2 L$ અંતરે આવેલું છે.

(C) સિંગલ-સ્લિટ ડિફ્રેક્શન પેટર્નમાં,મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા સ્લિટની પહોળાઈના વર્ગ $(a^2)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ને બમણી કરીને $2a$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગોનો કંપવિસ્તાર $2$ ના ગુણાંકમાં વધે છે. તીવ્રતા એ કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી,નવી તીવ્રતા $I \propto (2a)^2 = 4I_0$ થશે. આમ,મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા $4$ ગણી વધશે.

(A) જ્યારે $I_{0}$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરાઇઝિંગ શીટ પર આપાત થાય છે, ત્યારે પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{t} = \frac{I_{0}}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ આપાત તીવ્રતા $I_{0}$ છે અને પારગમિત તીવ્રતા $\frac{I_{0}}{2}$ હોવાથી, જે પ્રકાશનું પ્રસરણ થતું નથી તેની તીવ્રતા એ આપાત અને પારગમિત તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત છે.
અપારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા = $I_{0} - I_{t} = I_{0} - \frac{I_{0}}{2} = \frac{I_{0}}{2}$.