AIEEE 2004 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે $|z^2 - 1| = |z|^2 + 1$.
ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $|z|^2 = x^2 + y^2$.
સમીકરણમાં $z = x + iy$ મૂકતા:
$|(x + iy)^2 - 1| = x^2 + y^2 + 1$
$|(x^2 - y^2 - 1) + i(2xy)| = x^2 + y^2 + 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2 - y^2 - 1)^2 + (2xy)^2 = (x^2 + y^2 + 1)^2$
$(x^2 - y^2 - 1)^2 + 4x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^4 + y^4 + 1 - 2x^2y^2 - 2x^2 + 2y^2) + 4x^2y^2 = x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2$
$x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 - 2x^2 + 2y^2 = x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2$
બંને બાજુથી સમાન પદો બાદ કરતા:
$-2x^2 = 2x^2$
$4x^2 = 0 \implies x = 0$.
$x = 0$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $z = 0 + iy = iy$ એ કાલ્પનિક અક્ષ પર આવેલી છે.

(C) આપેલ છે કે $\text{arg}(zw) = \pi$ $(i)$
$\overline{z} + i\overline{w} = 0$ $\Rightarrow \overline{z} = -i\overline{w}$ $\Rightarrow z = i w$ $\Rightarrow w = -iz$
$w = -iz$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\text{arg}(z(-iz)) = \pi$
$\text{arg}(-iz^2) = \pi$
$\text{arg}(-i) + \text{arg}(z^2) = \pi$
$\text{arg}(-i) + 2\text{arg}(z) = \pi$
કારણ કે $\text{arg}(-i) = -\pi / 2$,તેથી:
$-\pi / 2 + 2\text{arg}(z) = \pi$
$2\text{arg}(z) = 3\pi / 2$
$\text{arg}(z) = 3\pi / 4$

(C) આપેલ છે કે $4$ એ સમીકરણ $x^2 + px + 12 = 0$ નું એક બીજ છે.
$x = 4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $4^2 + p(4) + 12 = 0$.
$16 + 4p + 12 = 0$ $\Rightarrow 4p = -28$ $\Rightarrow p = -7$.
હવે,બીજું સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ છે,જે $x^2 - 7x + q = 0$ બને છે.
આ સમીકરણના બીજ સમાન હોવાથી,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$.
$49 - 4q = 0$ $\Rightarrow 4q = 49$ $\Rightarrow q = \frac{49}{4}$.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x_1$ અને $x_2$ છે.
સમાંતર મધ્યક $\frac{x_1 + x_2}{2} = 9$ છે,તેથી $x_1 + x_2 = 18$.
ગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{x_1 x_2} = 4$ છે,તેથી $x_1 x_2 = 16$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 18x + 16 = 0$ મળે છે.

(B) પદાવલિ $(1 + x)(1 - x)^n = (1 - x)^n + x(1 - x)^n$ છે.
આપણે આ પદાવલિમાં $x^n$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(1 - x)^n$ માં $x^n$ નો સહગુણક સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} (1)^{n-r} (-x)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^r$ દ્વારા મળે છે.
$r = n$ માટે,સહગુણક $\binom{n}{n} (-1)^n = (-1)^n$ છે.
$x(1 - x)^n$ માં $x^n$ નો સહગુણક એ $(1 - x)^n$ માં $x^{n-1}$ નો સહગુણક છે.
$r = n-1$ માટે,સહગુણક $\binom{n}{n-1} (-1)^{n-1} = n (-1)^{n-1} = -n (-1)^n$ છે.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,કુલ સહગુણક $(-1)^n - n(-1)^n = (-1)^n(1 - n)$ મળે છે.

(D) આપણી પાસે ${S_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} $ અને ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $ છે.
ગુણધર્મ ${^n{C_r}} = {^n{C_{n - r}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{{n - r}}{{^n{C_{n - r}}}}} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{{n - r}}{{^n{C_r}}}} $.
આમ,${t_n} = n \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} - \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $.
આથી ${t_n} = n \cdot {S_n} - {t_n}$ મળે છે.
બંને બાજુ ${t_n}$ ઉમેરતા,આપણને $2{t_n} = n \cdot {S_n}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{{{t_n}}}{{{S_n}}} = \frac{n}{2}$.

(A) ધારો કે ઝાડની ઊંચાઈ $h$ છે અને નદીની પહોળાઈ $b$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
પ્રથમ ત્રિકોણમાં,$\tan 60^\circ = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \tan 60^\circ = b\sqrt{3}$.
બીજા ત્રિકોણમાં,$\tan 30^\circ = \frac{h}{b + 40} \Rightarrow h = (b + 40) \tan 30^\circ = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$.
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$b\sqrt{3} = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$
$3b = b + 40$
$2b = 40$
$b = 20 \ m$.

(D) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C$ એ $(x, y)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left( \frac{2 - 2 + x}{3}, \frac{-3 + 1 + y}{3} \right) = \left( \frac{x}{3}, \frac{y - 2}{3} \right)$.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર રેખા $2x + 3y = 1$ પર ગતિ કરે છે,તેથી $G$ ના યામ આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2\left( \frac{x}{3} \right) + 3\left( \frac{y - 2}{3} \right) = 1$.
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$2x + 3(y - 2) = 3$
$2x + 3y - 6 = 3$
$2x + 3y = 9$.
આમ,શિરોબિંદુ $C$ નો બિંદુપથ $2x + 3y = 9$ છે.

(A) ધારો કે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a + b = -1$,તેથી $b = -1 - a$.
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{x}{a} + \frac{y}{-(1+a)} = 1$,એટલે કે $\frac{x}{a} - \frac{y}{1+a} = 1$.
રેખા $(4, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{a} - \frac{3}{1+a} = 1$.
$a(1+a)$ વડે ગુણતા,$4(1+a) - 3a = a(1+a)$.
$4 + 4a - 3a = a + a^2$.
$4 + a = a + a^2$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 = 4$ થાય,તેથી $a = 2$ અથવા $a = -2$.
જો $a = 2$,તો $b = -1 - 2 = -3$. સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$ અથવા $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ મળે.
જો $a = -2$,તો $b = -1 - (-2) = 1$. સમીકરણ $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ મળે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $6x^2 - xy + 4cy^2 = 0$ $(i)$ છે.
રેખા $3x + 4y = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
સમપરિમાણ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ થાય.
અહીં,$a = 6$,$2h = -1$,અને $b = 4c$. તેથી,$m_1 m_2 = \frac{6}{4c} = \frac{3}{2c}$.
$m_1 = -\frac{3}{4}$ મૂકતા,$(-\frac{3}{4}) m_2 = \frac{3}{2c}$,જેનો અર્થ છે કે $m_2 = -\frac{2}{c}$.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{-1}{4c} = \frac{1}{4c}$ થાય.
$m_1$ અને $m_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $-\frac{3}{4} - \frac{2}{c} = \frac{1}{4c}$.
$4c$ વડે ગુણતા,$-3c - 8 = 1$ મળે.
$-3c = 9$,તેથી $c = -3$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડનું સમીકરણ ${x^2} - 2cxy - 7{y^2} = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$2h = -2c$,અને $b = -7$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{-2c}{-7} = -\frac{2c}{7}$ થાય.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,ઢાળનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર કરતાં ચાર ગણો છે:
$m_1 + m_2 = 4(m_1m_2)$
$-\frac{2c}{7} = 4 \times (-\frac{1}{7})$
$-\frac{2c}{7} = -\frac{4}{7}$
$2c = 4$
$c = 2$.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના વ્યાસનું છેદબિંદુ છે. સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x + 3y = -1$ $(i)$
$3x - y = 4$ (ii)
(ii) ને $3$ વડે ગુણતા: $9x - 3y = 12$ (iii)
$(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $11x = 11 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ ને (ii) માં મૂકતા: $3(1) - y = 4 \Rightarrow y = -1$.
આમ,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$ છે.
પરિઘ $2\pi r = 10\pi$ આપેલ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 5$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ મુજબ:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$.

(D) આપેલ છે કે વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 2x = 0$ $(i)$ અને રેખા $y = x$ $(ii)$ છે.
$(i)$ માં $y = x$ મુકતા,આપણને મળે:
${x^2} + {x^2} - 2x = 0$
$2{x^2} - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 1$.
$y = x$ હોવાથી,છેદબિંદુઓ $A = (0, 0)$ અને $B = (1, 1)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
$A(0, 0)$ અને $B(1, 1)$ મુકતા:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
${x^2} - x + {y^2} - y = 0$
${x^2} + {y^2} - x - y = 0$.

(B) ધારો કે ચલ વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે $... (i)$.
વર્તુળ $(i)$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 4 = 0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે,તેથી $2g(0) + 2f(0) = c - 4$,જેનો અર્થ છે કે $c = 4$.
વર્તુળ $(i)$ બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ${a^2} + {b^2} + 2ga + 2fb + 4 = 0$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ નો બિંદુપથ મેળવવા માટે,$x = -g$ અને $y = -f$ લેતા,$g = -x$ અને $f = -y$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,${a^2} + {b^2} + 2(-x)a + 2(-y)b + 4 = 0$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $2ax + 2by - ({a^2} + {b^2} + 4) = 0$ છે.

(D) આપેલ પરવલયો $y^2 = 4ax$ $(i)$ અને $x^2 = 4ay$ $(ii)$ છે.
$(ii)$ માંથી $y = \frac{x^2}{4a}$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x^4}{16a^2} = 4ax$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^4 - 64a^3x = 0$ અથવા $x(x^3 - 64a^3) = 0$ થાય છે.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 4a$.
$x = 0$ માટે,$y = 0$. $x = 4a$ માટે,$y = 4a$.
છેદબિંદુઓ $A(0, 0)$ અને $B(4a, 4a)$ છે.
રેખા $2bx + 3cy + 4d = 0$ એ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2b(0) + 3c(0) + 4d = 0$,જેનો અર્થ છે કે $d = 0$.
આ રેખા $(4a, 4a)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $2b(4a) + 3c(4a) + 4(0) = 0$.
$4a$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a \ne 0$),આપણને $2b + 3c = 0$ મળે છે.
$d = 0$ અને $2b + 3c = 0$ હોવાથી,$d^2 + (2b + 3c)^2 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે નિયામિકા $x = 4$ છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ છે.
સંબંધ $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e}$ છે. તેથી $\frac{a}{e} = 4$.
$e = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$a = 4e = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
હવે,$b^2 = \frac{3}{4}a^2 = \frac{3}{4} \times 4 = 3$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + f(x))^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)g(x)}$ જો $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = 0$ હોય.
આપેલ છે કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)^{2x}} = {e^2}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}}) \cdot 2x} = {e^2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (2a + \frac{2b}{x})} = {e^2}$ થાય છે.
લક્ષની કિંમત મુકતા,આપણને $e^{2a + 0} = {e^2}$ મળે છે.
આમ,$e^{2a} = {e^2}$,જેનો અર્થ છે કે $2a = 2$,તેથી $a = 1$.
જેમ જેમ $x \to \infty$ થાય,તેમ પદ $\frac{b}{x^2}$ શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી $b$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.
તેથી,$a = 1$ અને $b \in \mathbb{R}$.

(D) ક્રમચય ${}^{n}P_{r}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $n \ge r \ge 0$ અને $n, r \in \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$n = 7 - x$ અને $r = x - 3$ છે.
$1$. $n \ge r \implies 7 - x \ge x - 3 \implies 10 \ge 2x \implies x \le 5$.
$2$. $r \ge 0 \implies x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
$3$. $n \ge 0 \implies 7 - x \ge 0 \implies x \le 7$.
આ શરતોને જોડતા,પ્રદેશ $x \in \{3, 4, 5\}$ મળે છે.
હવે,પ્રદેશની દરેક કિંમત માટે $f(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$x = 3$ માટે: $f(3) = {}^{7-3}P_{3-3} = {}^{4}P_{0} = 1$.
$x = 4$ માટે: $f(4) = {}^{7-4}P_{4-3} = {}^{3}P_{1} = 3$.
$x = 5$ માટે: $f(5) = {}^{7-5}P_{5-3} = {}^{2}P_{2} = 2$.
તેથી,વિસ્તાર ${f(3), f(4), f(5)} = \{1, 3, 2\}$ એટલે કે $\{1, 2, 3\}$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^2 = 18x$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \left( \frac{dy}{dt} \right) = 18 \left( \frac{dx}{dt} \right)$.
આપણને આપેલ છે કે કોટિ $(y)$ એ ભુજ $(x)$ ના દર કરતા બમણા દરે વધે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2y \left( 2 \frac{dx}{dt} \right) = 18 \left( \frac{dx}{dt} \right)$.
ધારો કે $\frac{dx}{dt} \neq 0$,તો આપણને મળે:
$4y = 18 \implies y = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.
હવે,$x$ શોધવા માટે $y = \frac{9}{2}$ ની કિંમત મૂળ પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left( \frac{9}{2} \right)^2 = 18x$
$\frac{81}{4} = 18x$
$x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{81}{72} = \frac{9}{8}$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $\left( \frac{9}{8}, \frac{9}{2} \right)$ છે.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{4}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
તેથી,$A$ ખોટું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
$B$ ખોટું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે જો ($A$ સાચું બોલે અને $B$ ખોટું બોલે) અથવા ($A$ ખોટું બોલે અને $B$ સાચું બોલે).
જરૂરી સંભાવના $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$.
$= (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4})$.
$= \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$.

(D) વિધાન $(1)$ સાચું છે: વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણનો બહુલક હિસ્ટોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને આલેખ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે.
વિધાન $(2)$ ખોટું છે: મધ્યસ્થ એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે,પરંતુ તે સ્કેલના ફેરફારથી સ્વતંત્ર નથી. જો $y = a + bx$ હોય,તો $Median(y) = a + b \times Median(x)$. તે $b$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે સ્કેલના ફેરફારથી સ્વતંત્ર નથી.
વિધાન $(3)$ ખોટું છે: વિચરણ એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે,પરંતુ તે સ્કેલના ફેરફારથી સ્વતંત્ર નથી. જો $y = a + bx$ હોય,તો $Var(y) = b^2 \times Var(x)$. તે $b^2$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે સ્કેલના ફેરફારથી સ્વતંત્ર નથી.
તેથી,માત્ર વિધાન $(1)$ સાચું છે.

(C) કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $2n$ છે.
$n$ અવલોકનો $a$ છે અને $n$ અવલોકનો $-a$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{2n}}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{n(a - 0)^2 + n(-a - 0)^2}{2n}}$.
$2 = \sqrt{\frac{na^2 + na^2}{2n}} = \sqrt{\frac{2na^2}{2n}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
તેથી,$|a| = 2$.

(A) આપેલ છે કે $z = x - iy$ અને $z^{1/3} = p + iq$.
બંને બાજુ ઘન લેતા,$z = (p + iq)^3$.
$z = p^3 + 3p^2(iq) + 3p(iq)^2 + (iq)^3$.
$z = p^3 + 3ip^2q - 3pq^2 - iq^3$.
$z = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને $z = x - iy$ સાથે સરખાવતા:
$x = p^3 - 3pq^2 = p(p^2 - 3q^2)$ અને $-y = 3p^2q - q^3$,જેનો અર્થ છે કે $y = q^2 - 3p^2q = q(q^2 - 3p^2)$.
હવે,$\frac{x}{p} = p^2 - 3q^2$ અને $\frac{y}{q} = q^2 - 3p^2$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3q^2) + (q^2 - 3p^2) = -2p^2 - 2q^2 = -2(p^2 + q^2)$.
તેથી,$\frac{\frac{x}{p} + \frac{y}{q}}{p^2 + q^2} = \frac{-2(p^2 + q^2)}{p^2 + q^2} = -2$.

(C) $(1 + \alpha x)^4$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $3^{rd}$ પદ છે,જે $T_3 = ^4C_2 (\alpha x)^2 = 6 \alpha^2 x^2$ દ્વારા મળે છે. સહગુણક $6 \alpha^2$ છે.
$(1 - \alpha x)^6$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $4^{th}$ પદ છે,જે $T_4 = ^6C_3 (-\alpha x)^3 = -20 \alpha^3 x^3$ દ્વારા મળે છે. સહગુણક $-20 \alpha^3$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સહગુણકો સમાન છે:
$6 \alpha^2 = -20 \alpha^3$
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$2 \alpha^2$ વડે ભાગતા:
$3 = -10 \alpha$
$\alpha = -3/10$.

(C) આપેલ છે $S(k) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$.
$k = 1$ માટે,$S(1) \Rightarrow 1 = 3 + 1^2 = 4$,જે ખોટું છે.
$k = 2$ માટે,$S(2) \Rightarrow 1 + 3 = 3 + 2^2 = 7$,જે ખોટું છે.
હવે,ધારો કે $S(k)$ સાચું છે,એટલે કે $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$.
બંને બાજુ $(2(k + 1) - 1) = 2k + 1$ ઉમેરતા:
$1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2k + 1) = 3 + k^2 + 2k + 1 = 3 + (k + 1)^2$.
આ દર્શાવે છે કે $S(k) \Rightarrow S(k + 1)$ સાચું છે,ભલે પાયાનું સ્ટેપ $S(1)$ ખોટું હોય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh(x)$ નું વિસ્તરણ $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots$ છે.
$x = 1$ મૂકતા:
$\frac{e + \frac{1}{e}}{2} = 1 + \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right)$
$\frac{e^2 + 1}{2e} = 1 + \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right)$
તેથી,શ્રેણીનો સરવાળો:
$\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots = \frac{e^2 + 1}{2e} - 1 = \frac{(e - 1)^2}{2e}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin \alpha + \sin \beta = -\frac{21}{65}$ અને $\cos \alpha + \cos \beta = -\frac{27}{65}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$2 + 2\cos(\alpha - \beta) = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$
$4 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{18}{65}$
$\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{9}{130}$
$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \pm \frac{3}{\sqrt{130}}$
$\pi < \alpha - \beta < 3\pi$ હોવાથી,$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{3\pi}{2}$ થાય.
આ અંતરાલમાં કોસાઇન વિધેય ઋણ હોય છે,તેથી $\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = -\frac{3}{\sqrt{130}}$.

(C) ધારો કે બાજુઓ $a = \sin \alpha$,$b = \cos \alpha$,અને $c = \sqrt{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$ છે.
$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ બંને ધન છે,અને $c$ એ સૌથી મોટી બાજુ છે કારણ કે $c^2 = 1 + \sin \alpha \cos \alpha > \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ ખૂણા $C$ માટે:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos C = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - (1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha}$
$\cos C = \frac{1 - 1 - \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha}$
$\cos C = \frac{-\sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\cos C = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $C = 120^\circ$ થાય.

(D) ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $B(\alpha, \beta)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $(x - p)(x - \alpha) + (y - q)(y - \beta) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - (p + \alpha)x - (q + \beta)y + (p\alpha + q\beta) = 0$ મળે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,જ્યારે $y = 0$ લઈએ ત્યારે મળતા સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય થાય.
$y = 0$ મુકતા,$x^2 - (p + \alpha)x + (p\alpha + q\beta) = 0$ મળે.
સ્પર્શક હોવાની શરત મુજબ,વિવેચક $D = 0$.
$D = (p + \alpha)^2 - 4(p\alpha + q\beta) = 0$.
$p^2 - 2p\alpha + \alpha^2 - 4q\beta = 0$.
$(p - \alpha)^2 = 4q\beta$.
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x - p)^2 = 4qy$ મળે.

(A) આપેલ છે $u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta } $.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
${u^2} = ({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta ) + ({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta ) + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
ધારો કે $t = {a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta $. તો ${a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta = {a^2} + {b^2} - t$.
તેથી,${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {t({a^2} + {b^2} - t)} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt { - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t} $.
ધારો કે $f(t) = - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t$. $f(t)$ ની મહત્તમ કિંમત $t = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$ પર મળે છે,જે $f\left( \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \right) = \frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}$ છે.
આમ,${({u^2})_{\max }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {\frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}} = {a^2} + {b^2} + ({a^2} + {b^2}) = 2({a^2} + {b^2})$.
$f(t)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $t$ ની સીમાઓ પર મળે છે,એટલે કે $t = {a^2}$ અથવા $t = {b^2}$.
$t = {a^2}$ પર,$f({a^2}) = - {a^4} + ({a^2} + {b^2}){a^2} = {a^2}{b^2}$.
આમ,${({u^2})_{\min }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} + 2ab = {(a + b)^2}$.
તફાવત ${({u^2})_{\max }} - {({u^2})_{\min }} = 2{a^2} + 2{b^2} - ({a^2} + {b^2} + 2ab) = {a^2} + {b^2} - 2ab = {(a - b)^2}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $R = \{(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)\}$.
$1$. સંબંધ $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(2, 3) \in R$ છે પરંતુ $(3, 2) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$2$. સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 1) \notin R$ હોવાથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$3$. સંબંધ $R$ વિધેય હોવા માટે,ગણ $A$ ના દરેક ઘટકનું અનન્ય પ્રતિબિંબ હોવું જોઈએ. અહીં,$2$ એ $4$ અને $3$ બંને સાથે જોડાયેલ છે (એટલે કે $(2, 4) \in R$ અને $(2, 3) \in R$),તેથી $R$ વિધેય નથી.
$4$. સંબંધ $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(1, 3) \in R$ અને $(3, 1) \in R$ છે,પરંતુ $(1, 1) \notin R$ છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે $R$ સંમિત નથી.

(A) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
સ્પષ્ટ છે કે $F(0) = 0$.
વળી,$F(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$.
આપેલ છે કે $2a + 3b + 6c = 0$,તેથી $F(1) = 0$.
$F(0) = F(1) = 0$ હોવાથી અને $F(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ ની વચ્ચે ઓછામાં ઓછું એક $x$ એવું મળે કે જેથી $F'(x) = 0$ થાય.
$F'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ હોવાથી,$ax^2 + bx + c = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ અંતરાલ $(0, 1)$ માં મળે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે વિકલ્પો ચકાસીએ:
$(i)$ $A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$(ii)$ $(-1)I = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \neq A$.
$(iii)$ નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 0(0 - 0) - 0(0 - 0) - 1(0 - 1) = 1$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$(iv)$ $A$ એ શૂન્ય શ્રેણિક નથી કારણ કે તેમાં શૂન્યતર ઘટકો છે.

(A) આપેલ છે કે $B = A^{-1}$,તેથી $10B = 10A^{-1}$.
તેથી,$10A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
બંને બાજુ જમણી બાજુથી $A$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $10I = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આના પરિણામે $10I = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$ મળે છે.
$\alpha$ શોધવા માટે,ગુણાકાર શ્રેણિકની $2^{nd}$ હાર અને $1^{st}$ સ્તંભના ઘટકને $10I$ ના અનુરૂપ ઘટક (જે $0$ છે) સાથે સરખાવતા:
$(-5 \times 1) + (0 \times 2) + (\alpha \times 1) = 0$.
$-5 + 0 + \alpha = 0$.
$\alpha = 5$.

(D) આપેલ છે કે $a + 2b$ એ $c$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $x$ માટે $a + 2b = xc$ થાય.
આપેલ છે કે $b + 3c$ એ $a$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $y$ માટે $b + 3c = ya$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a + 2b = xc$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$b = ya - 3c$.
$b$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $a + 2(ya - 3c) = xc$.
$a + 2ya - 6c = xc$.
$(1 + 2y)a = (x + 6)c$.
કારણ કે $a$ અને $c$ શૂન્યતર અને અસમરેખ છે,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$1 + 2y = 0 \implies y = -\frac{1}{2}$.
$x + 6 = 0 \implies x = -6$.
$x = -6$ ને $a + 2b = xc$ માં મૂકતા,આપણને $a + 2b = -6c$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a + 2b + 6c = 0$.

(C) પરિણામી બળ $\overrightarrow{F}$ એ વ્યક્તિગત બળોનો સરવાળો છે:
$\overrightarrow{F} = (4i + j - 3k) + (3i + j - k) = (4+3)i + (1+1)j + (-3-1)k = 7i + 2j - 4k$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{d}$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\overrightarrow{d} = (5i + 4j + k) - (i + 2j + 3k) = (5-1)i + (4-2)j + (1-3)k = 4i + 2j - 2k$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશનો ડોટ ગુણાકાર છે:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (7i + 2j - 4k) \cdot (4i + 2j - 2k)$.
$W = (7 \times 4) + (2 \times 2) + (-4 \times -2) = 28 + 4 + 8 = 40 \text{ units}$.

(C) કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય સદિશો છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c] \neq 0$ થાય.
સદિશો $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ અને $(2\lambda - 1)c$ અસમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય ન હોય:
$[(a + 2b + 3c), (\lambda b + 4c), (2\lambda - 1)c] \neq 0$.
અદિશ ત્રિગુણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$(a + 2b + 3c) \cdot [(\lambda b + 4c) \times (2\lambda - 1)c] \neq 0$
$(a + 2b + 3c) \cdot [\lambda(2\lambda - 1)(b \times c)] \neq 0$
$a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$,$b \cdot (b \times c) = 0$,અને $c \cdot (b \times c) = 0$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ સાદું રૂપ ધારણ કરે છે:
$\lambda(2\lambda - 1)[a, b, c] \neq 0$.
આપેલ છે કે $[a, b, c] \neq 0$,તેથી અસમતલીયતા માટેની શરત $\lambda(2\lambda - 1) \neq 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \neq 0$ અને $\lambda \neq \frac{1}{2}$.
આમ,સદિશો $\lambda = 0$ અને $\lambda = \frac{1}{2}$ સિવાયની $\lambda$ ની તમામ કિંમતો માટે અસમતલીય છે.

(A) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઈન $l, m, n$ છે.
રેખા $x$ અને $z$-અક્ષ સાથે સમાન ખૂણો $\theta$ બનાવતી હોવાથી,$l = \cos \theta$ અને $n = \cos \theta$ થાય.
$y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\beta$ હોવાથી,$m = \cos \beta$ થાય.
દિક્કોસાઈનોના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે,તેથી $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 \theta + \cos^2 \beta + \cos^2 \theta = 1$,જેનું સાદું રૂપ $2 \cos^2 \theta + \cos^2 \beta = 1$ થાય.
નિત્યસમ $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \theta + (1 - \sin^2 \beta) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2 \cos^2 \theta = \sin^2 \beta$.
આપેલ શરત $\sin^2 \beta = 3 \sin^2 \theta$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \theta = 3(1 - \cos^2 \theta)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$2 \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta$,જે $5 \cos^2 \theta = 3$ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,$\cos^2 \theta = \frac{3}{5}$.

(C) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $2x + y + 2z - 8 = 0$ અને $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $x, y, z$ ના સહગુણકો સમાન બનાવીએ.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $4x + 2y + 4z - 16 = 0$.
હવે,સમતલો $4x + 2y + 4z - 16 = 0$ અને $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ છે.
અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
અહીં,$A = 4, B = 2, C = 4, D_1 = -16, D_2 = 5$.
$d = \frac{|-16 - 5|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|-21|}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{21}{\sqrt{36}} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.

(D) આપેલ રેખાઓ:
રેખા $1$: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{-\lambda} = \frac{z - 1}{\lambda} = s$
રેખા $2$: $\frac{x - 0}{1/2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-1} = t$
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $P_1(1, -3, 1)$ અને $P_2(0, 1, 2)$ છે. દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (1, -\lambda, \lambda)$ અને $\vec{v_2} = (1/2, 1, -1)$ છે.
બે રેખાઓ એક જ સમતલમાં હોય જો બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને બે દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(\lambda - \lambda) - 4(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$
$0 + 4 + 2\lambda + 1 + \lambda/2 = 0$
$5 + 5\lambda/2 = 0$
$5\lambda/2 = -5$
$\lambda = -2$.

(B) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: x = y + a = z = \lambda$ અને $L_2: x + a = 2y = 2z = 2\mu$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (\lambda, \lambda - a, \lambda)$ છે.
$L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (2\mu - a, \mu, \mu)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $(2\mu - a - \lambda, \mu - \lambda + a, \mu - \lambda)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $2, 1, 2$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી:
$\frac{2\mu - a - \lambda}{2} = \frac{\mu - \lambda + a}{1} = \frac{\mu - \lambda}{2} = k$.
$\mu - \lambda = 2k$ લેતા,બીજા ગુણોત્તરમાં મૂકતા $2k + a = k \implies k = -a$.
તેથી $\mu - \lambda = -2a$ અને $2\mu - \lambda = -a$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $\mu = a$ અને $\lambda = 3a$ મળે છે.
તેથી,$P = (3a, 2a, 3a)$ અને $Q = (a, a, a)$ મળે છે.

(B) કોઈ વિધેય $y = f(x)$ એ રેખા $x = a$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોય જો પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f(a + x) = f(a - x)$ થાય.
અહીં આપેલ છે કે આલેખ રેખા $x = 2$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી આપણે શરતમાં $a = 2$ મૂકીશું.
તેથી,$f(2 + x) = f(2 - x)$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પદ $a \sin x + b \cos x$ એ $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$\sin x - \sqrt{3} \cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}, \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}] = [-\sqrt{1+3}, \sqrt{1+3}] = [-2, 2]$ છે.
આ અસમતામાં $1$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$-2 + 1 \le \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1 \le 2 + 1$.
$-1 \le f(x) \le 3$.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત હોવાથી,સહ-પ્રદેશ $S$ એ વિધેયના વિસ્તાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$S = [-1, 3]$.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{\sin^{-1}(x - 3)}{\sqrt{9 - x^2}}$ ને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,આપણે બે શરતોનું પાલન કરવું આવશ્યક છે:
$1$. છેદમાં રહેલા વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત શૂન્ય કરતા મોટી હોવી જોઈએ:
$9 - x^2 > 0$
$x^2 < 9$
$-3 < x < 3$ --- $(i)$
$2$. પ્રતિવિધેય $\sin^{-1}$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ હોવો જોઈએ:
$-1 \le x - 3 \le 1$
બધા પદોમાં $3$ ઉમેરતા:
$2 \le x \le 4$ --- $(ii)$
શરત $(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ લેતા:
$x \in (-3, 3) \cap [2, 4]$
$x \in [2, 3)$
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $[2, 3)$ છે.

(C) $f(x)$ એ $x = \frac{\pi }{4}$ પર સતત હોવા માટે,$f(\frac{\pi }{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi }{4}} f(x)$ હોવું જોઈએ.
લક્ષની ગણતરી કરતા: $\lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{1 - \tan x}{4x - \pi }$.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે એલ'હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$\lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \tan x)}{\frac{d}{dx}(4x - \pi )} = \lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{-\sec^2 x}{4}$.
$x = \frac{\pi }{4}$ મૂકતા:
$\frac{-\sec^2(\frac{\pi }{4})}{4} = \frac{-(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$f(\frac{\pi }{4}) = -\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = e^{y + e^{y + \dots \infty}}$ છે.
ઘાતાંક અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે તેને $x = e^{y + x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને $\ln(x) = y + x$ મળે છે.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$.

(D) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x = a(1 + \cos \theta)$ અને $y = a \sin \theta$.
પ્રથમ,આપણે $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે:
$m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$.
બિંદુ $(a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$
$y \cos \theta = \sin \theta (x - a)$.
જો આપણે સમીકરણમાં બિંદુ $(a, 0)$ મૂકીએ:
$0 \cdot \cos \theta = \sin \theta (a - a)$
$0 = 0$.
આમ,અભિલંબ હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) સંકલન $I = \int \frac{\sin x}{\sin (x - \alpha )} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશને $\sin(x - \alpha + \alpha)$ તરીકે લખીએ છીએ.
નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin(x - \alpha) \cos \alpha + \cos(x - \alpha) \sin \alpha}{\sin(x - \alpha)} dx$
$I = \int \left( \cos \alpha + \sin \alpha \cdot \cot(x - \alpha) \right) dx$
$I = \int \cos \alpha \, dx + \sin \alpha \int \cot(x - \alpha) \, dx$
કારણ કે $\int \cos \alpha \, dx = x \cos \alpha$ અને $\int \cot(x - \alpha) \, dx = \log |\sin(x - \alpha)|$,તેથી:
$I = x \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin(x - \alpha)| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\cos x - \sin x}$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x}$
$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos(x + \frac{\pi}{4})}$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec(x + \frac{\pi}{4}) dx$
સૂત્ર $\int \sec \theta d\theta = \log |\tan(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4})| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left( \frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| + c$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8} \right) \right| + c$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) \right| + c$.

(C) આપેલ છે $I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2}} dx$.
કારણ કે $x \in [0, \pi/2]$ માટે $\sin x + \cos x > 0$ છે,તેથી $\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = \sin x + \cos x$.
આમ,$I = \int_0^{\pi /2} (\sin x + \cos x) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = [-\cos x + \sin x]_0^{\pi /2}$.
$I = (-\cos(\pi/2) + \sin(\pi/2)) - (-\cos(0) + \sin(0))$.
$I = (0 + 1) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2$.

(D) આપણે સંકલન $I = \int_{-2}^{3} |1 - x^2| dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$|1 - x^2|$ પદ $x = -1$ અને $x = 1$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે.
$x \in [-2, -1]$ માટે,$1 - x^2 \le 0$,તેથી $|1 - x^2| = x^2 - 1$.
$x \in [-1, 1]$ માટે,$1 - x^2 \ge 0$,તેથી $|1 - x^2| = 1 - x^2$.
$x \in [1, 3]$ માટે,$1 - x^2 \le 0$,તેથી $|1 - x^2| = x^2 - 1$.
તેથી,$I = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) dx + \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx + \int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} + 1) - (-\frac{8}{3} + 2) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$.
$\int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$.
$\int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{3} = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = 6 - (-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}$.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો કરતા: $I = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = \frac{28}{3}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi {xf(\sin x)dx}$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$I = \int_0^\pi {(\pi - x)f(\sin(\pi - x))dx} = \int_0^\pi {(\pi - x)f(\sin x)dx}$.
$I$ માટેના આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi {xf(\sin x)dx} + \int_0^\pi {(\pi - x)f(\sin x)dx} = \int_0^\pi {\pi f(\sin x)dx} = \pi \int_0^\pi {f(\sin x)dx}$.
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$ (જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય) નો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^\pi {f(\sin x)dx} = 2\int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$.
તેથી,$2I = \pi \times 2 \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx} = 2\pi \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$.
આમ,$I = \pi \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$.
આને $A \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \pi$ મળે છે.

(B) આપેલ લક્ષ એ સરવાળાના લક્ષ તરીકે નિશ્ચિત સંકલનના સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^n {\frac{1}{n}f\left( \frac{r}{n} \right) = \int_0^1 {f(x)dx} }$.
અહીં,$f\left( \frac{r}{n} \right) = e^{\frac{r}{n}}$,તેથી $f(x) = e^x$.
તેથી,પદાવલિ $\int_0^1 {e^x dx}$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\int_0^1 {e^x dx} = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{1}^{3} |x - 2| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x < 2$ માટે $|x - 2| = -(x - 2)$ અને $x \geq 2$ માટે $|x - 2| = (x - 2)$ થાય છે,તેથી આપણે સંકલનને $x = 2$ આગળ વિભાજિત કરીશું:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{2} -(x - 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$= \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} + \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{3}$
$= \left( (4 - 2) - (2 - 0.5) \right) + \left( (4.5 - 6) - (2 - 4) \right)$
$= (2 - 1.5) + (-1.5 - (-2))$
$= 0.5 + 0.5 = 1$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $1$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$. નોંધો કે $f(-a) = \frac{e^{-a}}{1 + e^{-a}} = \frac{1}{e^a + 1}$.
તેથી,$f(a) + f(-a) = \frac{e^a}{1 + e^a} + \frac{1}{1 + e^a} = 1$.
ધારો કે $I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$. ગુણધર્મ $\int_{A}^{B} h(x) dx = \int_{A}^{B} h(A + B - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A + B = 1$:
$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} (1 - x) g\{(1 - x)(1 - (1 - x))\} dx = \int_{f(-a)}^{f(a)} (1 - x) g\{(1 - x)x\} dx$.
$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx - \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$.
$I_1 = I_2 - I_1$.
$2I_1 = I_2$.
તેથી,$\frac{I_2}{I_1} = 2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{x - y} + x^2 e^{-y}$
જમણી બાજુને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
$x$ અને $y$ ચલને અલગ કરતા: $e^y dy = (e^x + x^2) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^y dy = \int (e^x + x^2) dx$
સંકલન પૂર્ણ કરતા: $e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f''(x) = 6(x - 1)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f'(x) = \int 6(x - 1) dx = 3(x - 1)^2 + c_1$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 1)$ પર સ્પર્શક $y = 3x - 5$ હોવાથી,$x = 2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(2) = 3$ થાય.
$f'(x)$ ના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા,$3 = 3(2 - 1)^2 + c_1$,જેનો અર્થ છે કે $3 = 3 + c_1$,તેથી $c_1 = 0$.
આમ,$f'(x) = 3(x - 1)^2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$f(x) = \int 3(x - 1)^2 dx = (x - 1)^3 + c_2$ મળે છે.
આલેખ બિંદુ $(2, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$f(2) = 1$ થાય.
$f(x)$ ના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા,$1 = (2 - 1)^3 + c_2$,જેનો અર્થ છે કે $1 = 1 + c_2$,તેથી $c_2 = 0$.
તેથી,વિધેય $f(x) = (x - 1)^3$ છે.

(B) ઘટના $E$ ને $X$ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. આપેલ સમૂહમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7\}$ છે.
$P(E) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
ઘટના $F$ ને $X < 4$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. આ શરત સંતોષતી કિંમતો $\{1, 2, 3\}$ છે.
$P(F) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
છેદ ઘટના $E \cap F$ માં એવી કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે જે અવિભાજ્ય પણ હોય અને $4$ કરતા નાની પણ હોય,જે $\{2, 3\}$ છે.
$P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
સંભાવના માટે સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 4$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 2$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,આપણને $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 4$,તેથી $n = 8$ મળે છે.
$X$ સફળતાઓની સંભાવના $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = 2$ માટે,$P(X = 2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8-2} = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^8$.
ક્રમચય-સંચયની ગણતરી કરતા,$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
આમ,$P(X = 2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.

(D) આપેલ છે કે ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G.P.$ માં છે.
તેથી,${a_{n+1}} = {a_n} \cdot r$,જેનો અર્થ છે કે $\log {a_{n+1}} = \log {a_n} + \log r$.
તે જ રીતે,$\log {a_{n+k}} = \log {a_n} + k \log r$.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} & \log {a_{n+2}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} & \log {a_{n+5}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} & \log {a_{n+8}} \end{array} \right|$ છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ ${C_2} \to {C_2} - {C_1}$ અને ${C_3} \to {C_3} - {C_2}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} - \log {a_n} & \log {a_{n+2}} - \log {a_{n+1}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} - \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+5}} - \log {a_{n+4}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} - \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} - \log {a_{n+7}} \end{array} \right|$.
કોઈપણ $k$ માટે $\log {a_{n+k}} - \log {a_{n+k-1}} = \log r$ હોવાથી,નિશ્ચાયક નીચે મુજબ બને છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+3}} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+6}} & \log r & \log r \end{array} \right|$.
અહીં સ્તંભ $2$ અને સ્તંભ $3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $|u| = 1, |v| = 2, |w| = 3$. $v \perp w$ હોવાથી,$v \cdot w = 0$ થાય.
$u$ ની દિશામાં $v$ નો પ્રક્ષેપ = $u$ ની દિશામાં $w$ નો પ્રક્ષેપ,તેથી $\frac{v \cdot u}{|u|} = \frac{w \cdot u}{|u|}$.
$|u| = 1$ હોવાથી,$v \cdot u = w \cdot u$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(v - w) \cdot u = 0$.
આપણે $|u - v + w|$ શોધવું છે. ધારો કે $X = u - (v - w)$.
તેથી $|X|^2 = |u - (v - w)|^2 = |u|^2 + |v - w|^2 - 2u \cdot (v - w)$.
$u \cdot (v - w) = 0$ હોવાથી,$|X|^2 = |u|^2 + |v - w|^2$ મળે.
$|v - w|^2 = |v|^2 + |w|^2 - 2(v \cdot w) = 2^2 + 3^2 - 2(0) = 4 + 9 = 13$.
આમ,$|u - v + w|^2 = 1^2 + 13 = 14$.
તેથી,$|u - v + w| = \sqrt{14}$.

(A) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ મુજબ: $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$.
આપેલ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(a \cdot c)b - (b \cdot c)a = \frac{1}{3}|b||c|a$.
પદોને ગોઠવતા: $(a \cdot c)b = (b \cdot c + \frac{1}{3}|b||c|)a$.
અહીં $a$ અને $b$ શૂન્યતર અને સમાંતર ન હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ:
$a \cdot c = 0$ અને $b \cdot c + \frac{1}{3}|b||c| = 0$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા $b \cdot c = |b||c| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|b||c| \cos \theta + \frac{1}{3}|b||c| = 0$.
$b$ અને $c$ શૂન્યતર હોવાથી,$\cos \theta = -\frac{1}{3}$.
પ્રશ્નમાં $\theta$ ને લઘુકોણ કહ્યો છે,તેથી $\cos \theta$ નું મૂલ્ય ધન લેતા,$\cos \theta = 1/3$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (1/3)^2} = \sqrt{8/9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(A) બે ગોળાઓ ${S_1} = 0$ અને ${S_2} = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ ${S_1} - {S_2} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગોળાઓ:
${S_1}: {x^2} + {y^2} + {z^2} + 7x - 2y - z - 13 = 0$
${S_2}: {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y + 4z - 8 = 0$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$({x^2} + {y^2} + {z^2} + 7x - 2y - z - 13) - ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y + 4z - 8) = 0$
$(7x - (-3x)) + (-2y - 3y) + (-z - 4z) + (-13 - (-8)) = 0$
$10x - 5y - 5z - 5 = 0$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$2x - y - z = 1$
આમ,બે ગોળાઓનો છેદ એ સમતલ $2x - y - z = 1$ પર આવેલો છે.

(C) આપેલ વક્રોનું કુળ ${x^2} + {y^2} - 2ay = 0$ છે ..... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x + 2yy' - 2ay' = 0$
$2ay' = 2x + 2yy'$
$2a = \frac{2x + 2yy'}{y'} = \frac{2x}{y'} + 2y$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $2a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
${x^2} + {y^2} - (\frac{2x}{y'} + 2y)y = 0$
${x^2} + {y^2} - \frac{2xy}{y'} - 2{y^2} = 0$
${x^2} - {y^2} - \frac{2xy}{y'} = 0$
$y'$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$({x^2} - {y^2})y' - 2xy = 0$
$({x^2} - {y^2})y' = 2xy$.