ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં અંતર્ગત કરી શકાય તેવા સૌથી મોટા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

જો બિંદુ $(2 + 13 \cos \theta, 3 + 13 \sin \theta)$ માંથી ઉપવલય $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (જ્યાં $a > b$) ના સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ઉપવલયના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો નિયામિકાઓ (directrices) વચ્ચેનું અંતર નાભિઓ (foci) વચ્ચેના અંતર કરતાં ત્રણ ગણું હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$c$ ના કેટલા મૂલ્યો માટે રેખા $y=4x+c$ એ વક્ર $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ને સ્પર્શે છે?

રેખા $x = 8$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા છે અને તેનું અનુરૂપ નાભિ $(2, 0)$ છે. જો પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક બિંદુ $(0, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષને $Q$ માં છેદે છે,તો $(3PQ)^2$ ની કિંમત $........$ છે.