AIEEE 2006 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\cos x + \sin x)^2 = \frac{1}{4}$ મળે.
$1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow 2 \sin x \cos x = -\frac{3}{4}$.
$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = -\frac{3}{4}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$3 \tan^2 x + 8 \tan x + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર મુજબ,$\tan x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$.
$x$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\tan x < 0$ થાય,તેથી $\tan x = \frac{-4 - \sqrt{7}}{3}$.

(D) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{10} \left( \sin \frac{2k\pi}{11} + i\cos \frac{2k\pi}{11} \right)$.
આપણે પદમાંથી $i$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$S = i \sum_{k=1}^{10} \left( \cos \frac{2k\pi}{11} - i \sin \frac{2k\pi}{11} \right)$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta - i \sin \theta = e^{-i\theta}$ મળે.
તેથી,$S = i \sum_{k=1}^{10} e^{-i \frac{2k\pi}{11}}$.
ધારો કે $\omega = e^{-i \frac{2\pi}{11}}$. તો $S = i \sum_{k=1}^{10} \omega^k$.
આ $10$ પદોની એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $\sum_{k=1}^{10} \omega^k = \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{10}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમના $11$મા મૂળનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} \omega^k = 0$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{k=1}^{10} \omega^k = -\omega^0 = -1$.
આ કિંમત $S$ માં મૂકતા:
$S = i(-1) = -i$.

(D) આપેલ $z^2 + z + 1 = 0$ માટે,બીજ $z = \omega$ અથવા $z = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
$\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$ થાય.
દરેક પદની ગણતરી:
$1$. $\left( z + \frac{1}{z} \right)^2 = (-1)^2 = 1$
$2$. $\left( z^2 + \frac{1}{z^2} \right)^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$
$3$. $\left( z^3 + \frac{1}{z^3} \right)^2 = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$
$4$. $\left( z^4 + \frac{1}{z^4} \right)^2 = (\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$
$5$. $\left( z^5 + \frac{1}{z^5} \right)^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$
$6$. $\left( z^6 + \frac{1}{z^6} \right)^2 = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$
સરવાળો $= 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$.

(C) કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $= 10$.
પસંદ કરવાના ઉમેદવારોની સંખ્યા $= 4$.
મતદાર વધુમાં વધુ $4$ અને ઓછામાં ઓછા $1$ ઉમેદવારને મત આપી શકે છે.
$r$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{r}$.
$1$ ઉમેદવારને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{1} = 10$.
$2$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{2} = 45$.
$3$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{3} = 120$.
$4$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{4} = 210$.
કુલ રીતો $= 10 + 45 + 120 + 210 = 385$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)} = \frac{A}{1 - ax} + \frac{B}{1 - bx}$.
$A$ અને $B$ ની કિંમત શોધતા,$A = \frac{a}{a - b}$ અને $B = \frac{b}{b - a}$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{a}{a - b}(1 - ax)^{-1} + \frac{b}{b - a}(1 - bx)^{-1}$.
દ્વિપદી શ્રેણી $(1 - z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{a}{a - b} \sum_{n=0}^{\infty} (ax)^n + \frac{b}{b - a} \sum_{n=0}^{\infty} (bx)^n$.
$x^n$ નો સહગુણક $a_n = \frac{a}{a - b} a^n + \frac{b}{b - a} b^n$ છે.
$a_n = \frac{a^{n+1}}{a - b} + \frac{b^{n+1}}{b - a} = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{b - a}$.

(D) આપેલ છે $(1 - y)^m(1 + y)^n = 1 + a_1y + a_2y^2 + \ldots$
દ્વિપદીનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1 - my + \frac{m(m-1)}{2}y^2 - \ldots)(1 + ny + \frac{n(n-1)}{2}y^2 + \ldots) = 1 + a_1y + a_2y^2 + \ldots$
$y$ નો સહગુણક સરખાવતા:
$a_1 = n - m = 10 \implies n = m + 10$
$y^2$ નો સહગુણક સરખાવતા:
$a_2 = \frac{n(n-1)}{2} - nm + \frac{m(m-1)}{2} = 10$
$n^2 - n - 2nm + m^2 - m = 20$
$(n - m)^2 - (n + m) = 20$
$n - m = 10$ હોવાથી,$(10)^2 - (m + 10 + m) = 20$
$100 - 2m - 10 = 20$
$90 - 2m = 20$
$2m = 70 \implies m = 35$
$n = 35 + 10 = 45$
આમ,$(m, n) = (35, 45)$.

(D) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2}$,તેથી $\frac{\frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2} [2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^2}{q^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p}{q}$ મળે.
$\frac{a_6}{a_{21}}$ શોધવા માટે,$a_n = a_1 + (n-1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d}$.
$\frac{p-1}{2} = 5 \Rightarrow p = 11$ અને $\frac{q-1}{2} = 20 \Rightarrow q = 41$ લેતા.
તેથી,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{11}{41}$.

(B) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $Q(a, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $P(0, b)$ પર છેદે છે.
બિંદુ $A(3, 4)$ એ અંતઃખંડ $PQ$ ને દુભાગતું હોવાથી,તે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a + 0}{2} = 3 \implies a = 6$
$\frac{0 + b}{2} = 4 \implies b = 8$
રેખાના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે $24$ વડે ગુણતા:
$4x + 3y = 24$

(B) રેખાઓ $L_1: x - 2y = 0$ અને $L_2: 3x - y = 0$ છે.
બિંદુ $(a, a^2)$ ખૂણાની અંદર રહે તે માટે,તેણે રેખાઓ દ્વારા બનતી અસમતાઓનું પાલન કરવું જોઈએ.
$x > 0$ આપેલ હોવાથી,$a > 0$ થાય.
બિંદુ $y = 3x$ ની નીચે રહે તે માટે,$a^2 < 3a$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $a(a - 3) < 0$,તેથી $0 < a < 3$.
બિંદુ $y = \frac{x}{2}$ ની ઉપર રહે તે માટે,$a^2 > \frac{a}{2}$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $a(a - \frac{1}{2}) > 0$. $a > 0$ હોવાથી,$a > \frac{1}{2}$ મળે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\frac{1}{2} < a < 3$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બે વ્યાસ $3x - 4y - 7 = 0$ અને $2x - 3y - 5 = 0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $3x - 4y = 7$ અને $2x - 3y = 5$.
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે અને બીજાને $4$ વડે ગુણતા: $9x - 12y = 21$ અને $8x - 12y = 20$.
બાદબાકી કરતા $x = 1$ મળે છે. $x = 1$ ને $2x - 3y = 5$ માં મૂકતા $2 - 3y = 5$ મળે,તેથી $y = -1$.
કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 49\pi$ છે,તેથી $r^2 = 49$ અને $r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
આમ,$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y = \frac{a^3 x^2}{3} + \frac{a^2 x}{2} - 2a$ છે.
શિરોબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{35a}{16}$.
તેથી,શિરોબિંદુ $(h, k) = \left( -\frac{3}{4a}, -\frac{35a}{16} \right)$ છે.
$h = -\frac{3}{4a} \Rightarrow a = -\frac{3}{4h}$ અને $k = -\frac{35a}{16}$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$k = -\frac{35}{16} \left( -\frac{3}{4h} \right) = \frac{105}{64h}$.
આમ,$hk = \frac{105}{64}$,તેથી બિંદુપથ $xy = \frac{105}{64}$ છે.

(C) ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $ae = 3$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 4$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $b^2 = a^2 - a^2e^2$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,$16 = a^2 - (ae)^2$.
$16 = a^2 - (3)^2$.
$16 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$.
કારણ કે $ae = 3$,તેથી $5e = 3$,એટલે કે $e = 3/5$.

(A) વસ્તી $A$ માં $100$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે: $101, 102, . . ., 200$.
વસ્તી $B$ માં $100$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે: $151, 152, . . ., 250$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે. એટલે કે,જો $y_i = x_i + c$ હોય,તો $Var(y) = Var(x)$.
અહીં,વસ્તી $B$ નું દરેક અવલોકન $y_i = x_i + 50$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $x_i$ એ વસ્તી $A$ ના અવલોકનો છે.
વિચરણ ઉગમબિંદુના ફેરફાર હેઠળ અપરિવર્તિત રહેતું હોવાથી,$V_A = V_B$.
તેથી,$\frac{V_A}{V_B} = 1$.

(C) ધારો કે $y = \frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,$y(3x^2 + 9x + 7) = 3x^2 + 9x + 17$ મળે.
$3x^2(y - 1) + 9x(y - 1) + 7y - 17 = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ થાય.
$D = [9(y - 1)]^2 - 4(3(y - 1))(7y - 17) \geq 0$.
$81(y - 1)^2 - 12(y - 1)(7y - 17) \geq 0$.
$3(y - 1)$ વડે ભાગતા,$27(y - 1) - 4(7y - 17) \geq 0$.
$27y - 27 - 28y + 68 \geq 0$.
$-y + 41 \geq 0 \Rightarrow y \leq 41$.
આમ,$y$ ની મહત્તમ કિંમત $41$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ છે.
આને $(x - m)^2 - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$(x - m)^2 = 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x - m = \pm 1$ મળે.
આમ,બીજ $x_1 = m - 1$ અને $x_2 = m + 1$ છે.
આપણને આપેલ છે કે બંને બીજ $-2$ કરતા મોટા અને $4$ કરતા નાના છે,તેથી $-2 < m - 1$ અને $m + 1 < 4$.
$-2 < m - 1$ પરથી,$m > -1$ મળે.
$m + 1 < 4$ પરથી,$m < 3$ મળે.
આ બંનેને જોડતા,$-1 < m < 3$ મળે.
તેથી,અંતરાલ $(-1, 3)$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha = \tan 30^\circ$ અને $\beta = \tan 15^\circ$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = q$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(30^\circ + 15^\circ) = \tan 45^\circ = 1$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = \frac{-p}{1 - q}$.
આથી $1 - q = -p$,એટલે કે $q - p = 1$.
આપણે $2 + q - p$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$q - p = 1$ મૂકતા,આપણને $2 + 1 = 3$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે,જે જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
હવે,$OP = \sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{h^2+k^2}$.
$\triangle AOP$ માં,ખૂણો $\angle AOP = \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle AOP$ માં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{OP}{OA}$.
અહીં $OA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OA = 3$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{3}$.
$\Rightarrow \sqrt{h^2+k^2} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2+k^2 = \frac{9}{4}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,માંગેલ બિંદુપથ $x^2+y^2 = \frac{9}{4}$ છે.

(D) ધારો કે સમતલ $x - 2y = 0$ માં બિંદુ $P(-1, 3, 4)$ નું પ્રતિબિંબ $P'(\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
$P$ અને $P'$ માંથી પસાર થતી રેખા સમતલ $x - 2y = 0$ ને લંબ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -2, 0)$ છે.
બિંદુ $P(-1, 3, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, -2, 0)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = k$ છે.
આમ,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k - 1, -2k + 3, 4)$ છે.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{\alpha - 1}{2}, \frac{\beta + 3}{2}, \frac{\gamma + 4}{2})$ છે.
$M$ એ સમતલ $x - 2y = 0$ પર હોવાથી,$\frac{\alpha - 1}{2} - 2(\frac{\beta + 3}{2}) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\alpha - 1 - 2\beta - 6 = 0$ અથવા $\alpha - 2\beta = 7$ થાય છે.
વળી,રેખા $PP'$ સમતલને લંબ હોવાથી,$PP'$ ના દિકગુણોત્તર સમતલના અભિલંબના પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{\alpha - (-1)}{1} = \frac{\beta - 3}{-2} = \frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$.
$\frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$ પરથી,આપણને $\gamma = 4$ મળે છે.
$\alpha + 1 = \lambda$ અને $\beta - 3 = -2\lambda$ પરથી,$\alpha = \lambda - 1$ અને $\beta = -2\lambda + 3$ મળે છે.
$\alpha - 2\beta = 7$ માં કિંમત મૂકતા: $(\lambda - 1) - 2(-2\lambda + 3) = 7 \Rightarrow \lambda - 1 + 4\lambda - 6 = 7 \Rightarrow 5\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = \frac{14}{5}$.
તેથી $\alpha = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}$ અને $\beta = -2(\frac{14}{5}) + 3 = -\frac{28}{5} + \frac{15}{5} = -\frac{13}{5}$.
પ્રતિબિંબ $(\frac{9}{5}, -\frac{13}{5}, 4)$ છે. જે વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx$ $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) dx$
કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$,તેથી:
$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) dx$
$I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx - \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx$
$I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx - I$
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય:
અહીં $f(\sin(\pi - x)) = f(\sin x)$,તેથી $\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$
$I = \frac{\pi}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$
$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$
તેથી,$I = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \left[ (x+\pi)^3 + \cos^2(x+3\pi) \right] dx$.
$t = x + \pi$ આદેશ લેતા,$dt = dx$ મળે.
જ્યારે $x = -\frac{3\pi}{2}$,ત્યારે $t = -\frac{\pi}{2}$.
જ્યારે $x = -\frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t = \frac{\pi}{2}$.
$\cos(x+3\pi) = \cos(x+\pi) = -\cos x$ હોવાથી,$\cos^2(x+3\pi) = \cos^2 x$ થાય.
તેથી,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (t^3 + \cos^2 t) dt$.
$t^3$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને $\cos^2 t$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} t^3 dt = 0$ થાય.
તેથી,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt$.
$\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) dt$.
સંકલન કરતા: $[t + \frac{\sin 2t}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0) = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે $n = [a]$,જ્યાં $n$ એ એક પૂર્ણાંક છે જેથી $n \leq a < n+1$ થાય.
સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકાય:
$\int_{1}^{a} [x] f'(x) dx = \int_{1}^{2} 1 f'(x) dx + \int_{2}^{3} 2 f'(x) dx + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) f'(x) dx + \int_{n}^{a} n f'(x) dx$
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$= 1[f(2) - f(1)] + 2[f(3) - f(2)] + \dots + (n-1)[f(n) - f(n-1)] + n[f(a) - f(n)]$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$= -f(1) - f(2) - f(3) - \dots - f(n) + n f(a)$
કારણ કે $n = [a]$,આપણને મળે છે:
$= [a] f(a) - \{f(1) + f(2) + \dots + f([a])\}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
શ્રેણિક ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A - B)(A + B) = A(A + B) - B(A + B)$
$= A^2 + AB - BA - B^2$.
હવે,આને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$A^2 - B^2 = A^2 + AB - BA - B^2$.
બંને બાજુથી $A^2$ બાદ કરતા અને $B^2$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$0 = AB - BA$.
તેથી,$AB = BA$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2b \\ 3a & 4b \end{bmatrix}$.
$BA$ ની ગણતરી કરતા:
$BA = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a \\ 3b & 4b \end{bmatrix}$.
$AB = BA$ માટે,આપણે નીચે મુજબ મેળવીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} a & 2b \\ 3a & 4b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a \\ 3b & 4b \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $2b = 2a$ અને $3a = 3b$ મળે છે,જે બંને સૂચવે છે કે $a = b$.
કારણ કે $a, b \in \mathbb{N}$,તેથી $a = b$ હોય તેવી અસંખ્ય જોડીઓ $(a, b)$ શક્ય છે (દા.ત.,$(1, 1), (2, 2), (3, 3), \dots$).
તેથી,અસંખ્ય શ્રેણિકો $B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેના માટે $AB = BA$ થાય.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે તેને ટુકડાઓમાં વ્યાખ્યાયિત વિધેય તરીકે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1 - x}, & x < 0 \\ \frac{x}{1 + x}, & x \geq 0 \end{cases}$
હવે,આપણે બંને કિસ્સાઓ માટે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$x < 0$ માટે,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x > 0$ માટે,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1+x-x}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$.
$x = 0$ આગળ,આપણે ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ ચકાસીએ:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$.
અહીં $LHD = RHD = 1$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ પણ વિકલનીય છે.
તેથી,વિધેય તમામ $x \in ( - \infty, \infty )$ માટે વિકલનીય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^py^q=(x+y)^{p+q}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$p \ln x + q \ln y = (p+q) \ln(x+y)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{q}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{p+q}{x+y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} - \frac{p}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{q(x+y) - y(p+q)}{y(x+y)} \right) = \frac{x(p+q) - p(x+y)}{x(x+y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx + qy - py - qy}{y(x+y)} \right) = \frac{px + qx - px - py}{x(x+y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx - py}{y(x+y)} \right) = \frac{qx - py}{x(x+y)}$
બંને બાજુ $\frac{qx - py}{x+y}$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ છે.
સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{2}{x^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, -2$.
હવે,સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} - 2x^{-2}) = 0 - 2(-2)x^{-3} = \frac{4}{x^3}$.
$x = 2$ આગળ કિંમત મુકતા:
$f''(2) = \frac{4}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0$.
કારણ કે $f''(2) > 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = 2$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણાકાર બગીચો $\Delta ABC$ છે,જ્યાં $AB = AC = x$. ધારો કે $AT$ એ $A$ થી નદીના કિનારા $BC$ પરનો વેધ છે. ધારો કે $\angle ABT = \theta$.
તો $AT = x \sin \theta$ અને $BT = x \cos \theta$ થાય.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી $AB=AC$,વેધ $AT$ એ $BC$ ને દુભાગે છે,તેથી $BC = 2BT = 2x \cos \theta$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta) = x^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} x^2 \sin(2\theta)$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\sin(2\theta)$ ને મહત્તમ કરવું પડશે. $\sin(2\theta)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $2\theta = 90^\circ$ અથવા $\theta = 45^\circ$ પર મળે છે.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} x^2 (1) = \frac{1}{2} x^2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $Ax^2 + By^2 = 1 \quad \dots(1)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2Ax + 2By \frac{dy}{dx} = 0 \implies Ax + By \frac{dy}{dx} = 0 \quad \dots(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$A + B \left( y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right) = 0 \quad \dots(3)$
$(2)$ પરથી,$A = -\frac{By}{x} \frac{dy}{dx}$. આ કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$-\frac{By}{x} \frac{dy}{dx} + By \frac{d^2y}{dx^2} + B \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$B$ વડે ભાગતા:
$-\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} + y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$x$ વડે ગુણતા:
$xy \frac{d^2y}{dx^2} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \frac{dy}{dx} = 0$
અહીં મહત્તમ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે. મહત્તમ વિકલિતની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $1$ છે.

(A) પોઈસન વિતરણનું સૂત્ર $P(X=r) = \frac{e^{-m} m^r}{r!}$ છે,જ્યાં $m$ એ સરેરાશ સંખ્યા છે.
અહીં $m = 5$ આપેલ છે,આપણે વધુમાં વધુ એક ફોન કોલ આવે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$.
$r=0$ માટે: $P(X=0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = e^{-5}$.
$r=1$ માટે: $P(X=1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = 5e^{-5}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \leq 1) = e^{-5} + 5e^{-5} = 6e^{-5}$.

(D) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
તે જ રીતે,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
બંને બાજુથી $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}$ બાદ કરતા:
$-(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = -(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
આ સૂચવે છે કે $(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 0$,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{c}} \right) \vec{c}$.
આ દર્શાવે છે કે $\vec{a}$ એ $\vec{c}$ નો અદિશ ગુણાંક છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર છે.

(A) આપેલ છે કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$,અને $\vec{C} = a\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ છે.
$m\angle C = 90^\circ$ હોવાથી,સદિશો $\overrightarrow{CA}$ અને $\overrightarrow{CB}$ પરસ્પર લંબ હોવા જોઈએ,એટલે કે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
પ્રથમ,$\overrightarrow{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (2-a)\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\overrightarrow{CB} = \vec{B} - \vec{C} = (1-a)\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$ મેળવો.
હવે,ડોટ ગુણાકાર $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$ લેતા:
$((2-a)\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot ((1-a)\hat{i} - 6\hat{k}) = 0$.
$(2-a)(1-a) + (2)(0) + (0)(-6) = 0$.
$(2-a)(1-a) = 0$.
આથી $a = 2$ અથવા $a = 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x$ ...$(i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=3$ અને $b=6$ છે,તેથી $a+b-x = 9-x$ થાય.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-(9-x)}+\sqrt{9-x}} d x$
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}} d x$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}} d x$
$2I = \int_3^6 1 d x$
$2I = [x]_3^6 = 6 - 3 = 3$
$I = \frac{3}{2}$