AIEEE 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $A \cap B = A \cap C$ અને $A \cup B = A \cup C$.
$B = B \cap (A \cup B)$ ધ્યાનમાં લો.
$A \cup B = A \cup C$ હોવાથી,$B = B \cap (A \cup C)$ મળે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$.
$A \cap B = A \cap C$ હોવાથી,$B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ મળે.
$B = (A \cup B) \cap C$.
$A \cup B = A \cup C$ હોવાથી,$B = (A \cup C) \cap C$.
$(A \cup C) \cap C = C$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $B = C$.

(B) આપેલ છે કે $\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha) = -\frac{3}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,$2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] = -3$ મળે.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા: $2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] + 3 = 0$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma)$ લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)^2 = 0$ મળે.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ અને $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$.
તેથી,વિધાન $A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(C) પગલું $1$: $6$ અલગ-અલગ નવલકથાઓમાંથી $4$ નવલકથાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_4$ છે.
$^6C_4 = 15$ રીતો.
પગલું $2$: $3$ અલગ-અલગ શબ્દકોશોમાંથી $1$ શબ્દકોશ પસંદ કરવાની રીતો $^3C_1$ છે.
$^3C_1 = 3$ રીતો.
પગલું $3$: $4$ પસંદ કરેલી નવલકથાઓ અને $1$ શબ્દકોશને એવી રીતે ગોઠવો કે શબ્દકોશ હંમેશા વચ્ચે રહે.
શબ્દકોશ વચ્ચે નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે બાકીની $4$ જગ્યાઓમાં $4$ નવલકથાઓ ગોઠવવાની છે.
$4$ નવલકથાઓ ગોઠવવાની રીતો $4! = 24$ છે.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $^6C_4 \times ^3C_1 \times 4! = 15 \times 3 \times 24 = 1080$.

(A) આપણે $8^{2n} - 62^{2n+1}$ ને $9$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
નોંધો કે $8 \equiv -1 \pmod{9}$ અને $62 \equiv 8 \equiv -1 \pmod{9}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$8^{2n} - 62^{2n+1} \equiv (-1)^{2n} - (-1)^{2n+1} \pmod{9}$.
$2n$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{2n} = 1$.
$2n+1$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{2n+1} = -1$.
તેથી,$1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
આમ,શેષ $2$ છે.

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ $(1)$
$\frac{1}{3}$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{6}{3^3} + \frac{10}{3^4} + \dots$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$S - \frac{1}{3}S = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{6}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{10}{3^3} - \frac{6}{3^3}) + (\frac{14}{3^4} - \frac{10}{3^4}) + \dots$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + [\frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots]$
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં $a = \frac{4}{9}$ અને $r = \frac{1}{3}$.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{4/9}{1 - 1/3} = \frac{4/9}{2/3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 + 1 = 2$.
$S = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

(A) જો બે રેખાઓ એક સામાન્ય રેખાને લંબ હોય,તો તેઓ એકબીજાને સમાંતર હોવી જોઈએ.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
પ્રથમ રેખા $p(p^2 + 1)x - y + q = 0$ માટે,ઢાળ $m_1 = \frac{p(p^2 + 1)}{1} = p(p^2 + 1)$.
બીજી રેખા $(p^2 + 1)^2x + (p^2 + 1)y + 2q = 0$ માટે,ઢાળ $m_2 = -\frac{(p^2 + 1)^2}{p^2 + 1} = -(p^2 + 1)$.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,$m_1 = m_2$.
$p(p^2 + 1) = -(p^2 + 1)$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $p$ માટે $p^2 + 1 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $(p^2 + 1)$ વડે ભાગી શકીએ.
$p = -1$.
આમ,$p$ ની બરાબર એક કિંમત મળે છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2 = 0$ ની સામાન્ય જીવા (રેડિકલ અક્ષ) નું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5) - (x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2) = 0$
$x + 5y + 2p - 5 + p^2 = 0 \quad \dots(i)$
$P$ અને $Q$ છેદબિંદુઓ અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ હોવા માટે,બિંદુ $(1, 1)$ એ સામાન્ય જીવા $PQ$ પર ન હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $(i)$ માં $(1, 1)$ મૂકતા:
$1 + 5(1) + 2p - 5 + p^2 \neq 0$
$p^2 + 2p + 1 \neq 0$
$(p + 1)^2 \neq 0$
$p \neq -1$
આમ,$p = -1$ સિવાયની $p$ ની તમામ કિંમતો માટે $P, Q$ અને $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(A) આપેલ ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 4$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ ઉપવલયના અર્ધ-અક્ષો $a = 2$ અને $b = 1$ છે.
આ ઉપવલયની આસપાસના લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(\pm 2, \pm 1)$ છે.
બહારનો ઉપવલય આ લંબચોરસમાં અંતર્ગત છે,એટલે કે તે $(\pm 2, \pm 1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે બહારના ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ છે.
તે $(4,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{4^2}{A^2} + \frac{0^2}{B^2} = 1$,જે $A^2 = 16$ આપે છે.
તે $(2,1)$ માંથી પણ પસાર થતું હોવાથી,$\frac{2^2}{16} + \frac{1^2}{B^2} = 1$.
$\frac{4}{16} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{1}{B^2} = \frac{3}{4} \implies B^2 = \frac{4}{3}$.
$A^2$ અને $B^2$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4/3} = 1$.
$\frac{x^2}{16} + \frac{3y^2}{4} = 1$.
$16$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 12y^2 = 16$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $1, 1+d, 1+2d, \dots, 1+100d$ એ $n = 101$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે.
આ શ્રેણીનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{r=0}^{100} (1+rd)}{101} = \frac{101 + d \frac{100 \times 101}{2}}{101} = 1 + 50d$ છે.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{101} \sum_{r=0}^{100} |(1+rd) - (1+50d)| = \frac{1}{101} \sum_{r=0}^{100} |(r-50)d|$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $d > 0$,તો આ $\frac{d}{101} [\sum_{r=0}^{50} (50-r) + \sum_{r=51}^{100} (r-50)]$ થાય.
$= \frac{d}{101} [ (50+49+\dots+0) + (1+2+\dots+50) ] = \frac{d}{101} [ 2 \times \frac{50 \times 51}{2} ] = \frac{50 \times 51 \times d}{101}$.
આપેલ છે કે સરેરાશ વિચલન $255$ છે,તેથી $\frac{50 \times 51 \times d}{101} = 255$.
$d = \frac{255 \times 101}{50 \times 51} = \frac{5 \times 101}{50} = \frac{101}{10} = 10.1$.

(C) આપેલ છે કે સમીકરણ $bx^2 + cx + a = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,તેથી વિવેચક $D < 0$.
તેથી,$c^2 - 4ab < 0$,જેનો અર્થ છે કે $c^2 < 4ab$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-c^2 > -4ab$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $E = 3b^2x^2 + 6bcx + 2c^2$ ધ્યાનમાં લો.
$E = 3(b^2x^2 + 2bcx + c^2) - c^2$.
$E = 3(bx + c)^2 - c^2$.
કારણ કે $(bx + c)^2 \geq 0$,તેથી $3(bx + c)^2 \geq 0$.
આમ,$E \geq -c^2$.
કારણ કે $-c^2 > -4ab$,તેથી $E > -4ab$.

(D) વિધાન $-1$ નું મૂલ્યાંકન કરવા માટે,આપણે $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક તપાસીએ.
યાદ રાખો કે $(p \leftrightarrow \sim q)$ ત્યારે સાચું હોય છે જ્યારે $p$ અને $\sim q$ સમાન સત્યતા મૂલ્ય ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $p$ અને $q$ વિરુદ્ધ સત્યતા મૂલ્ય ધરાવે છે.
આમ,$(p \leftrightarrow \sim q)$ એ $\sim (p \leftrightarrow q)$ ને સમાન છે.
તેથી,$\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ એ $\sim (\sim (p \leftrightarrow q))$ ને સમાન છે,જેનું સાદું રૂપ $(p \leftrightarrow q)$ થાય છે.
આથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ નું મૂલ્યાંકન કરવા માટે,આપણે તપાસીએ કે શું $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ એ નિત્યસત્ય છે.
કારણ કે $\sim (p \leftrightarrow \sim q) \equiv (p \leftrightarrow q)$,અને $(p \leftrightarrow q)$ એ $p$ અને $q$ ના તમામ મૂલ્યો માટે સાચું નથી (જ્યારે $p$ અને $q$ અલગ સત્યતા મૂલ્યો ધરાવે છે ત્યારે તે ખોટું હોય છે),તેથી આ પદાવલિ નિત્યસત્ય નથી.
આમ,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(D) વિધાન-$2$: $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim q \rightarrow \sim p)$
કારણ કે $(\sim q \rightarrow \sim p)$ એ $(p \rightarrow q)$ નો પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) છે,તેથી તેઓ સમાન સત્ય મૂલ્યો ધરાવે છે.
આમ,$(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)$ હંમેશા સત્ય છે,જેનો અર્થ છે કે તે નિત્યસત્ય છે.
તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$1$: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$= (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$
$= F \wedge F = F$
પરિણામ હંમેશા ખોટું હોવાથી,તે વિરોધાભાસ છે.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
બંને વિધાનો સાચા છે,અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સમજૂતી નથી.

(C) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. સમીકરણો $x^2-6x+a=0$ અને $x^2-cx+6=0$ છે.
ધારો કે અન્ય બીજ અનુક્રમે $\beta_1$ અને $\beta_2$ છે. આપેલ છે કે $\beta_1 : \beta_2 = 4:3$,તેથી $\beta_1 = 4k$ અને $\beta_2 = 3k$.
બીજના ગુણધર્મો પરથી:
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $\alpha + 4k = 6$ અને $\alpha \cdot 4k = a$.
બીજા સમીકરણ માટે: $\alpha + 3k = c$ અને $\alpha \cdot 3k = 6$.
$\alpha \cdot 3k = 6$ પરથી,$k = \frac{2}{\alpha}$ મળે.
$k$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha + 4(\frac{2}{\alpha}) = 6 \Rightarrow \alpha + \frac{8}{\alpha} = 6$.
$\alpha$ વડે ગુણતા: $\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\alpha - 4)(\alpha - 2) = 0$,તેથી $\alpha = 4$ અથવા $\alpha = 2$.
જો $\alpha = 4$ હોય,તો $4k = 6 - 4 = 2 \Rightarrow k = 0.5$. તેથી $\beta_1 = 2$ અને $\beta_2 = 1.5$. $\beta_2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,તેથી આ શક્ય નથી.
જો $\alpha = 2$ હોય,તો $4k = 6 - 2 = 4 \Rightarrow k = 1$. તેથી $\beta_1 = 4$ અને $\beta_2 = 3$. બંને પૂર્ણાંક છે.
આમ,સામાન્ય બીજ $2$ છે.

(A) રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z + 2}{2}$ એ સમતલ $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ માં આવેલી છે.
રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(1, 3, -\alpha)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(3, -5, 2)$ ને લંબ હોય.
તેથી,$1(3) + 3(-5) + (-\alpha)(2) = 0$.
$3 - 15 - 2\alpha = 0$.
$-12 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = -6$.
હવે,સમતલનું સમીકરણ $x + 3y + 6z + \beta = 0$ થાય.
રેખા સમતલમાં હોવાથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે. બિંદુ $(2, 1, -2)$ રેખા પર છે.
સમતલના સમીકરણમાં $(2, 1, -2)$ મૂકતા: $2 + 3(1) + 6(-2) + \beta = 0$.
$2 + 3 - 12 + \beta = 0$.
$-7 + \beta = 0 \implies \beta = 7$.
તેથી,$(\alpha, \beta) = (-6, 7)$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $(y-2)^2 = x-1$ છે.
બિંદુ $(2,3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-y_1 = m(x-x_1)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
પ્રથમ,પરવલયના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(y-2) \frac{dy}{dx} = 1$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(y-2)}$.
$(2,3)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{1}{2(3-2)} = \frac{1}{2}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-3 = \frac{1}{2}(x-2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2y-6 = x-2$ અથવા $x = 2y-4$ થાય છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $x = (y-2)^2 + 1$,સ્પર્શક $x = 2y-4$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
સ્પર્શકનું $x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ $y=0$ મુકતા $x = 2(0)-4 = -4$ મળે છે.
$y$ ની સાપેક્ષમાં $y=0$ થી $y=3$ સુધી સંકલન કરતા:
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{3} [x_{parabola} - x_{tangent}] dy = \int_{0}^{3} [((y-2)^2 + 1) - (2y-4)] dy$
$A = \int_{0}^{3} [y^2 - 4y + 4 + 1 - 2y + 4] dy = \int_{0}^{3} [y^2 - 6y + 9] dy$
$A = \int_{0}^{3} (y-3)^2 dy = \left[ \frac{(y-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left( \frac{-27}{3} \right) = 9$.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} [\cot x] dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\pi} [\cot(\pi - x)] dx = \int_{0}^{\pi} [-\cot x] dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi} ([\cot x] + [-\cot x]) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $y \notin \mathbb{Z}$ માટે,$[y] + [-y] = -1$ થાય છે,અને $y \in \mathbb{Z}$ માટે,$[y] + [-y] = 0$ થાય છે.
વિધેય $\cot x$ એ $x=0, \pi/2, \pi$ પર વ્યાખ્યાયિત નથી. $x=\pi/2$ પર,$\cot x = 0$ હોવાથી $[0] + [0] = 0$ થાય છે.
બાકીના તમામ $x \in (0, \pi)$ માટે,$\cot x$ પૂર્ણાંક નથી.
આમ,$(0, \pi)$ માં લગભગ દરેક જગ્યાએ $[\cot x] + [-\cot x] = -1$ થાય છે.
$2I = \int_{0}^{\pi} (-1) dx = -\pi$.
તેથી,$I = -\frac{\pi}{2}$.

(C) કોઈપણ $n \times n$ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ $adj(adj A) = |A|^{n-2} A$ છે.
અહીં $n = 2$ આપેલ છે,તેથી $adj(adj A) = |A|^{2-2} A = |A|^0 A = I \cdot A = A$. આમ,$\text{વિધાન}-1$ સાચું છે.
$\text{વિધાન}-2$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $|adj A| = |A|^{n-1}$.
અહીં $n = 2$ હોવાથી,$|adj A| = |A|^{2-1} = |A|^1 = |A|$. આમ,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.
કારણ કે $adj(adj A) = |A|^{n-2} A$ છે,તેથી $adj(adj A) = A$ પરિણામ એ $n=2$ માટેના સામાન્ય ગુણધર્મ પર આધારિત છે. તેથી,$\text{વિધાન}-2$ એ $\text{વિધાન}-1$ માં આપેલ ઓળખ માટે જરૂરી સંદર્ભ પૂરો પાડે છે.

(C) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $D_1 + D_2 = 0$ છે.
પ્રથમ,આપણે જોઈએ છીએ કે બીજા નિશ્ચાયક $D_2$ ને તેનું મૂલ્ય બદલ્યા વિના ટ્રાન્સપોઝ કરી શકાય છે.
$D_2 = \left| \begin{array}{ccc} a+1 & a-1 & (-1)^{n+2}a \\ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1}b \\ c-1 & c+1 & (-1)^n c \end{array} \right|$.
બંને નિશ્ચાયકોનો સરવાળો કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $a, b, c$ ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સરવાળો શૂન્ય થવા માટે સ્તંભો એકબીજાને રદ કરવા જોઈએ.
ચોક્કસપણે,જો $n$ એ એકી પૂર્ણાંક હોય,તો $(-1)^{n+2} = -1$,$(-1)^{n+1} = 1$,અને $(-1)^n = -1$ થાય.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકોના સરવાળામાં મૂકતા,પદો શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,$n$ એ કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${x^{2x}} - 2{x^x}\cot y - 1 = 0$ ........$(i)$
$x = 1$ આગળ:
$1^{2(1)} - 2(1^1)\cot y - 1 = 0$
$1 - 2\cot y - 1 = 0$
$\Rightarrow \cot y = 0 \quad \therefore \quad y = \frac{\pi}{2}$
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{2x}) - 2 \frac{d}{dx}(x^x \cot y) = 0$
$x^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x \ln x) - 2 \left[ x^x(1 + \ln x) \cot y - x^x \csc^2 y \frac{dy}{dx} \right] = 0$
$P(1, \frac{\pi}{2})$ બિંદુએ,$x = 1, y = \frac{\pi}{2}, \cot y = 0, \csc^2 y = 1, \ln 1 = 0$ મૂકતા:
$2(1)^{2}(1 + 0) - 2 \left[ 1(1 + 0)(0) - 1(1) \left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} \right] = 0$
$2 - 2 \left[ -\left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} \right] = 0$
$2 + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} = 0$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} = -1$

(D) આપણી પાસે $f(x) = x|x|$ અને $g(x) = \sin x$ છે.
તેથી,$(gof)(x) = \sin(x|x|) = \begin{cases} -\sin(x^2), & x < 0 \\ \sin(x^2), & x \ge 0 \end{cases}$.
$x=0$ આગળ $gof$ નું $LHD$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin(x^2) - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} -x \left(\frac{\sin(x^2)}{x^2}\right) = 0$.
$x=0$ આગળ $gof$ નું $RHD$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(x^2) - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} x \left(\frac{\sin(x^2)}{x^2}\right) = 0$.
$LHD = RHD = 0$ હોવાથી,$gof$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને $(gof)'(0) = 0$.
વિકલિત $(gof)'(x) = \begin{cases} -2x\cos(x^2), & x < 0 \\ 2x\cos(x^2), & x \ge 0 \end{cases}$ છે.
$\lim_{x \to 0^-} (gof)'(x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} (gof)'(x) = 0$ હોવાથી,વિકલિત $x=0$ આગળ સતત છે. આમ,વિધાન-$1$ સત્ય છે.
હવે,$x=0$ આગળ દ્વિતીય વિકલનીયતા તપાસતા:
$(gof)'$ નું $LHD$ $x=0$ આગળ: $\lim_{x \to 0^-} \frac{-2x\cos(x^2) - 0}{x - 0} = -2\cos(0) = -2$.
$(gof)'$ નું $RHD$ $x=0$ આગળ: $\lim_{x \to 0^+} \frac{2x\cos(x^2) - 0}{x - 0} = 2\cos(0) = 2$.
$LHD \neq RHD$ હોવાથી,$gof$ એ $x=0$ આગળ બે વાર વિકલનીય નથી. તેથી,વિધાન-$2$ અસત્ય છે.

(B) આપેલ છે $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$.
$P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$.
$x=0$ એ $P'(x)=0$ નું એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ હોવાથી,$P'(0) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $c=0$.
તેથી,$P'(x) = x(4x^2 + 3ax + 2b)$.
$x=0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ હોવાથી,દ્વિઘાત અવયવ $4x^2 + 3ax + 2b$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોવા જોઈએ,એટલે કે તેનો વિવેચક $D < 0$ થાય.
$D = (3a)^2 - 4(4)(2b) = 9a^2 - 32b < 0$.
અહીં અગ્ર સહગુણક $4 > 0$ હોવાથી,$4x^2 + 3ax + 2b > 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચું છે.
તેથી,$P'(x)$ ની નિશાની $x$ ની નિશાની પર આધાર રાખે છે.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$P'(x) < 0$,તેથી $P(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
$x \in (0, 1]$ માટે,$P'(x) > 0$,તેથી $P(x)$ વધતું વિધેય છે.
$P(x)$ એ $[-1, 0]$ પર ઘટે છે અને $[0, 1]$ પર વધે છે,તેથી $[-1, 1]$ પર વૈશ્વિક ન્યૂનતમ કિંમત $x=0$ આગળ મળે છે.
આમ,$P(-1)$ એ ન્યૂનતમ નથી.
$P(x)$ એ $(0, 1]$ પર વધતું વિધેય છે અને $P(-1) < P(1)$ હોવાથી,$[-1, 1]$ પર મહત્તમ કિંમત $P(1)$ થશે.
તેથી,$P(-1)$ એ ન્યૂનતમ નથી,પરંતુ $P(1)$ એ મહત્તમ છે.

(C) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y = c_1 e^{c_2 x} \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = c_1 c_2 e^{c_2 x} = c_2 y \dots (ii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = c_2 y' \dots (iii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે $c_2 = \frac{y'}{y}$.
$c_2$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$y'' = \left( \frac{y'}{y} \right) y'$
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા:
$y y'' = (y')^2$
આ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે $S = \{00, 01, 02, \ldots, 49\}$ એ નિદર્શાવકાશ છે. કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $50$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી ટિકિટના અંકોનો સરવાળો $8$ છે.
$A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે અંકોનો ગુણાકાર શૂન્ય છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય. આવી ટિકિટો $\{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$ છે.
આવી કુલ $14$ ટિકિટો છે,તેથી $n(B) = 14$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ શોધવાની છે.
$A \cap B$ એ એવી ટિકિટોનો ગણ છે જ્યાં અંકોનો સરવાળો $8$ હોય અને અંકોનો ગુણાકાર $0$ હોય.
ગણ $A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$ માં જોતા,માત્ર $08$ માં અંકોનો ગુણાકાર $0$ થાય છે $(0 \times 8 = 0)$.
તેથી,$A \cap B = \{08\}$,એટલે કે $n(A \cap B) = 1$.
તેથી,$P(A|B) = \frac{1}{14}$.

(A) ઓછામાં ઓછી એક સફળતાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માં,$P(X = 0) = q^n$,જ્યાં $q = 1 - p$.
અહીં $p = \frac{1}{4}$ આપેલ છે,તેથી $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
શરત મુજબ $1 - (\frac{3}{4})^n \geq \frac{9}{10}$.
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $1 - \frac{9}{10} \geq (\frac{3}{4})^n$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{10} \geq (\frac{3}{4})^n$ થાય છે.
બંને બાજુ આધાર $10$ સાથે લઘુગણક લેતા: $\log_{10}(\frac{1}{10}) \geq \log_{10}((\frac{3}{4})^n)$.
$-1 \geq n(\log_{10} 3 - \log_{10} 4)$.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાની બદલાશે: $1 \leq n(\log_{10} 4 - \log_{10} 3)$.
તેથી,$n \geq \frac{1}{\log_{10} 4 - \log_{10} 3}$.

(C) આપેલ છે $f(x) = x^3 + 5x + 1.$
પ્રથમ,આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 3x^2 + 5.$
દરેક $x \in R$ માટે $x^2 \ge 0$ હોવાથી,$3x^2 + 5 \ge 5 > 0$ થાય.
દરેક $x$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $R$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત વધતું વિધેય હંમેશા એક-એક હોય છે.
આગળ,આપણે ચકાસીએ કે વિધેય વ્યાપ્ત છે કે નહીં. $f(x)$ એ એકી ઘાતવાળી બહુપદી હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે.
ખાસ કરીને,$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ અને $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty.$
$f(x)$ સતત છે અને તેનો વિસ્તાર તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ $R$ છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = (x+1)^2 - 1$ છે,જ્યાં $x \geq -1$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$y = (x+1)^2 - 1$ લો. $x \geq -1$ હોવાથી,$y \geq -1$ મળે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $(x+1)^2 = y+1 \Rightarrow x+1 = \sqrt{y+1} \Rightarrow x = \sqrt{y+1} - 1$.
આમ,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$. $f$ એ $[-1, \infty)$ પર વધતું વિધેય હોવાથી,તે બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત) છે. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = x$ ઉકેલીએ છીએ કારણ કે $f$ વધતું વિધેય છે.
$(x+1)^2 - 1 = x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - 1 = x \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -1$. આમ,$S = \{0, -1\}$. વિધાન-$1$ સાચું છે.
વધતા વિધેયો માટે $f(x) = f^{-1}(x)$ એ $f(x) = x$ ને સમાન હોવાથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે સદિશ $\vec{v} = (a, b, c) = (6, -3, 2)$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
સદિશની દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ તેના ઘટકોને સદિશના માન વડે ભાગવાથી મળે છે:
$l = \frac{a}{|\vec{v}|} = \frac{6}{7}$,
$m = \frac{b}{|\vec{v}|} = \frac{-3}{7}$,
$n = \frac{c}{|\vec{v}|} = \frac{2}{7}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\left(\frac{6}{7}, -\frac{3}{7}, \frac{2}{7}\right)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] - [p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] - [2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 0$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[k\vec{a}, l\vec{b}, m\vec{c}] = klm[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] - 2q^2[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = 0$
કારણ કે $[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ અને $[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = -[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$,સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] + 2q^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
$(3p^2 - pq + 2q^2)[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ અસમતલીય હોવાથી,$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \neq 0$. તેથી:
$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$
આ $p$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. $p$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (-q)^2 - 4(3)(2q^2) = q^2 - 24q^2 = -23q^2$
$D \geq 0$ માટે,$-23q^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $q^2 \leq 0$. $q$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,આ માત્ર $q = 0$ હોય ત્યારે જ શક્ય છે.
$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$ માં $q = 0$ મૂકતા,$3p^2 = 0$ મળે,તેથી $p = 0$.
આમ,માત્ર એક જ ઉકેલ $(p, q) = (0, 0)$ મળે છે.