AIEEE 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $(y^{1/5} + x^{1/10})^{55}$ ના વિસ્તરણમાં,સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{55}C_r (y^{1/5})^{55-r} (x^{1/10})^r = {}^{55}C_r \cdot y^{11 - r/5} \cdot x^{r/10}$.
પદ રેડિકલ ચિહ્નોથી મુક્ત હોય તે માટે,$x$ અને $y$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આ માટે $r/5$ અને $r/10$ પૂર્ણાંક હોવા જરૂરી છે.
$0 \le r \le 55$ હોવાથી,$r$ એ $10$ નો ગુણક હોવો જોઈએ ($5$ અને $10$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી).
$r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 10, 20, 30, 40, 50$ છે.
આવી $6$ કિંમતો છે,જે $T_1, T_{11}, T_{21}, T_{31}, T_{41}, T_{51}$ પદોને અનુરૂપ છે.
આમ,રેડિકલ ચિહ્નોથી મુક્ત પદોની સંખ્યા $6$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$3 \sin P + 4 \cos Q = 6$ $(1)$
$4 \sin Q + 3 \cos P = 1$ $(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3 \sin P + 4 \cos Q)^2 + (4 \sin Q + 3 \cos P)^2 = 6^2 + 1^2$
$9 \sin^2 P + 16 \cos^2 Q + 24 \sin P \cos Q + 16 \sin^2 Q + 9 \cos^2 P + 24 \sin Q \cos P = 37$
$9(\sin^2 P + \cos^2 P) + 16(\sin^2 Q + \cos^2 Q) + 24 \sin(P + Q) = 37$
$25 + 24 \sin(P + Q) = 37$
$\sin(P + Q) = \frac{1}{2}$
$P + Q + R = \pi$ હોવાથી,$\sin(P + Q) = \sin R = \frac{1}{2}$.
તેથી $R = \frac{\pi}{6}$ અથવા $R = \frac{5\pi}{6}$.
જો $R = \frac{5\pi}{6}$ હોય,તો $P + Q = \frac{\pi}{6}$,જે સમીકરણ $(1)$ નું સમાધાન કરતું નથી.
તેથી,$R = \frac{\pi}{6}$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{z^2}{z-1}$ વાસ્તવિક છે,તેથી તે તેના અનુબદ્ધ (conjugate) જેટલું જ હોય: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{z}-1}$.
ગુણાકાર કરતા: $z^2(\overline{z}-1) = \overline{z}^2(z-1)$.
પદોને વિસ્તૃત કરતા: $z^2\overline{z} - z^2 = \overline{z}^2z - \overline{z}^2$.
પદોને ગોઠવતા: $z^2\overline{z} - \overline{z}^2z - z^2 + \overline{z}^2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $z\overline{z}(z-\overline{z}) - (z-\overline{z})(z+\overline{z}) = 0$.
$(z-\overline{z})(z\overline{z} - (z+\overline{z})) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $z-\overline{z} = 0$ અથવા $z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$.
$z-\overline{z} = 0$ સૂચવે છે કે $z$ વાસ્તવિક છે (વાસ્તવિક અક્ષ પર છે).
$z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$ ને $(z-1)(\overline{z}-1) = 1$ તરીકે લખી શકાય,એટલે કે $|z-1|^2 = 1$,જે $1$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. આ વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે કારણ કે $|0-1| = 1$.
આમ,$z$ વાસ્તવિક અક્ષ પર અથવા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પર આવેલું છે.

(D) $n_1$ સમાન વસ્તુઓ,$n_2$ સમાન વસ્તુઓ અને $n_3$ સમાન વસ્તુઓમાંથી પસંદગી કરવાની રીતોની સંખ્યા $(n_1 + 1)(n_2 + 1)(n_3 + 1)$ છે.
અહીં,$n_1 = 10$ (સફેદ),$n_2 = 9$ (લીલા),અને $n_3 = 7$ (કાળા).
કોઈપણ દડો પસંદ ન કરવામાં આવે તે કિસ્સા સહિત કુલ રીતો $= (10 + 1) \times (9 + 1) \times (7 + 1) = 11 \times 10 \times 8 = 880$.
આપણે એક કે તેથી વધુ દડા પસંદ કરવાના હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરીશું જેમાં કોઈ દડો પસંદ થતો નથી (એટલે કે $1$ બાદ કરો).
રીતોની સંખ્યા $= 880 - 1 = 879$.

(A) ધારો કે $x = (\sqrt{3} + 1)^{2n}$ અને $y = (\sqrt{3} - 1)^{2n}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\sqrt{3} + 1)^{2n} - (\sqrt{3} - 1)^{2n}$ નું સાદું રૂપ આપતા તે અસંમેય સંખ્યા મળે છે.

(D) વિધાન-$2$: સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = (1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$. આ સાચું છે.
વિધાન-$1$: શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = (k-1)^2 + (k-1)k + k^2 = 3k^2 - 3k + 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k^3 - (k-1)^3 = 3k^2 - 3k + 1$. તેથી,$T_k = k^3 - (k-1)^3$.
શ્રેણી $\sum_{k=1}^{20} T_k = \sum_{k=1}^{20} (k^3 - (k-1)^3) = 20^3 = 8000$ છે.
છેલ્લું પદ $361+380+400 = 19^2 + 19 \times 20 + 20^2$ હોવાથી,તે $k=20$ ને અનુરૂપ છે.
બંને વિધાનો સાચા છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(1,h)$ છે.
વર્તુળ $x-$અક્ષને $(1,0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી વર્તુળની ત્રિજ્યા $|h|$ છે.
વર્તુળ $(2,3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અંતર $CB$ એ ત્રિજ્યા $|h|$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$CB^2 = h^2$
$(2-1)^2 + (3-h)^2 = h^2$
$1^2 + (9 - 6h + h^2) = h^2$
$1 + 9 - 6h = 0$
$10 = 6h$
$h = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
વર્તુળનો વ્યાસ $2|h| = 2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$ છે.

(D) વર્તુળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ ની ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે,તેથી તેનો વ્યાસ $2$ છે. આપેલ છે કે આ અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે,તેથી $b = 2$.
વર્તુળ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = 2$ છે,તેથી તેનો વ્યાસ $4$ છે. આપેલ છે કે આ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે,તેથી $a = 4$.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a = 4$ અને $b = 2$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ મળે છે.
$\Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
$16$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 4y^2 = 16$ મળે છે.

(D) આપેલ અવલોકનો ${x_1}, {x_2}, \ldots, {x_n}$ છે,જેનો મધ્યક $\bar x$ અને વિચરણ ${\sigma ^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2$ છે.
વિધાન-$2$ માટે: $2{x_1}, 2{x_2}, \ldots, 2{x_n}$ નો મધ્યક $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i) = 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right) = 2\bar x$ થાય.
આથી વિધાન-$2$ ખોટું છે.
વિધાન-$1$ માટે: $2{x_1}, 2{x_2}, \ldots, 2{x_n}$ નું વિચરણ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i - 2\bar x)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 4(x_i - \bar x)^2 = 4 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2 \right) = 4{\sigma ^2}$ થાય.
આથી વિધાન-$1$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$ છે.
ધારો કે $e^{\sin x} = t$. $e^{\sin x} > 0$ હોવાથી,$t > 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $t - \frac{1}{t} - 4 = 0$ બને છે.
$t$ વડે ગુણતા,$t^2 - 4t - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ મળે છે.
$t > 0$ હોવાથી,$t = 2 - \sqrt{5}$ ને નકારીએ છીએ (કારણ કે $2 - \sqrt{5} < 0$).
આમ,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$.
$\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ હોવાથી અને $\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક $x$ શક્ય નથી.
તેથી,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(A) ધારો કે $p$ એ "હું શિક્ષક બનીશ" વિધાન છે અને $q$ એ "હું શાળા ખોલીશ" વિધાન છે.
આપેલ વિધાન ગર્ભિત સ્વરૂપમાં છે: $p \implies q$.
$p \implies q$ નું નકારાત્મક વિધાન $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p$ એ "હું શિક્ષક બનીશ" છે અને $\sim q$ એ "હું શાળા નહીં ખોલું" છે.
તેથી,નકારાત્મક વિધાન "હું શિક્ષક બનીશ અને હું શાળા નહીં ખોલું" છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ અને $C(h, k)$ છે. લંબકેન્દ્ર $H$ એ $(0, 0)$ છે.
$CH \perp AB$ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$ છે.
વેધ $CH$ નો ઢાળ $m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{7}{4}$ થાય.
$CH$ એ $(0, 0)$ અને $(h, k)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{k}{h} = \frac{7}{4}$,જેનો અર્થ છે $7h - 4k = 0$ ---$(1)$.
તે જ રીતે,$AH \perp BC$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ છે.
વેધ $AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$m_{BC} \times m_{AH} = -1$,તેથી $\left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$.
$\frac{k - 3}{h + 2} = 5$ $\Rightarrow k - 3 = 5h + 10$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ---$(2)$.
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $(1)$ પરથી,$k = \frac{7h}{4}$. $(2)$ માં મૂકતા: $5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$.
$\frac{20h - 7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$.
તેથી $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે.

(C) ધારો કે $G.P.$ ના પદો $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5$ છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$ar^3 - a = 52 \Rightarrow a(r^3 - 1) = 52 \quad ......(1)$
$a + ar + ar^2 = 26 \Rightarrow a(1 + r + r^2) = 26 \quad ......(2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a(r - 1)(r^2 + r + 1)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{52}{26}$
$r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$a(1 + 3 + 9) = 26$ $\Rightarrow 13a = 26$ $\Rightarrow a = 2$.
પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો $S_6 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5) = a(1 + r + r^2)(1 + r^3)$ છે.
$S_6 = 26 \times (1 + 3^3) = 26 \times (1 + 27) = 26 \times 28 = 728$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $(k-2)x^2 + 8x + k+4 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ:
$D = 8^2 - 4(k-2)(k+4) > 0$
$64 - 4(k^2 + 2k - 8) > 0$
$16 - (k^2 + 2k - 8) > 0$
$-k^2 - 2k + 24 > 0 \Rightarrow k^2 + 2k - 24 < 0$
$(k+6)(k-4) < 0 \Rightarrow -6 < k < 4$
બીજ ઋણ હોવા માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{8}{k-2} < 0$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{k+4}{k-2} > 0$ હોવો જોઈએ.
$\alpha + \beta < 0$ પરથી: $\frac{8}{k-2} > 0 \Rightarrow k > 2$.
$\alpha \beta > 0$ પરથી: $\frac{k+4}{k-2} > 0 \Rightarrow k < -4$ અથવા $k > 2$.
બધી શરતોને જોડતા: $(-6 < k < 4)$ અને $(k > 2)$ અને $(k < -4 \text{ અથવા } k > 2)$.
છેદગણ $2 < k < 4$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $k = 3$ એ $2 < k < 4$ નું પાલન કરે છે.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(K, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{K^2}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$ $(1).$
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ આપેલ છે.
અહીં $a^2 = 9$ હોવાથી,$\sqrt{1 + \frac{b^2}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \frac{b^2}{9} = \frac{13}{9}.$
$\frac{b^2}{9} = \frac{13}{9} - 1 = \frac{4}{9},$ તેથી $b^2 = 4.$
સમીકરણ $(1)$ માં $b^2 = 4$ મૂકતા,$\frac{K^2}{9} - \frac{4}{4} = 1.$
$\frac{K^2}{9} - 1 = 1 \Rightarrow \frac{K^2}{9} = 2.$
તેથી,$K^2 = 18.$

(C) ગણ $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ માં $20$ ભિન્ન ઘટકો છે.
$5$-ઘટકોવાળા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $^{20}C_5$ છે.
$a_4$ ને સમાવતા $5$-ઘટકોવાળા ઉપગણોની સંખ્યા એ બાકીના $19$ ઘટકોમાંથી $4$ ઘટકો પસંદ કરવા જેટલી થાય,જે $^{19}C_4$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$^{20}C_5 = k \times ^{19}C_4$.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n}{r} \times ^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{20}C_5 = \frac{20}{5} \times ^{19}C_4$.
તેથી,$k = \frac{20}{5} = 4$.

(C) રેખાઓના સમીકરણો:
$L_1: x + 3y = 4$
$L_2: 3x + y = 4$
$L_3: x + y = 0$
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણો ઉકેલતા:
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $B = (1, 1)$
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $A = (-2, 2)$
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $C = (2, -2)$
બાજુઓની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{32}$
અહીં $AB = BC$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

(D) વર્તુળ $S = x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 = 0$ અને રેખા $L = 3x + 4y + 5 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21) + \lambda(3x + 4y + 5) = 0$
આ વર્તુળ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$(1^2 + 2^2 - 4(1) - 6(2) - 21) + \lambda(3(1) + 4(2) + 5) = 0$
$-32 + 16\lambda = 0$
$\lambda = 2$
$\lambda = 2$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21) + 2(3x + 4y + 5) = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 11 = 0$.

(D) બહુલક વર્ગ એ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ છે. અહીં બહુલક $140$ છે,જે $100-150$ વર્ગમાં આવે છે,તેથી બહુલક વર્ગ $100-150$ છે.
બહુલકનું સૂત્ર:
$Mode = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
જ્યાં:
$L = 100$,$f_1 = 37$,$f_0 = 33$,$f_2 = b$,$h = 50$
કિંમતો મૂકતા:
$140 = 100 + \left( \frac{37 - 33}{2(37) - 33 - b} \right) \times 50$
$40 = \frac{200}{41 - b}$
$41 - b = 5$
$b = 36$

(A) આપેલ શ્રેણી $S = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2m)^2)$ છે.
એકી સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 = \frac{m(2m-1)(2m+1)}{3}$ થાય.
બેકી સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $2 \times \sum_{k=1}^{m} (2k)^2 = 8 \sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{4m(m+1)(2m+1)}{3}$ થાય.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$S = \frac{m(2m+1)}{3} [ (2m-1) + 4(m+1) ] = m(2m+1)^2$ મળે છે.

(A) ધારો કે બે થાંભલા $OA$ અને $BC$ સમક્ષિતિજ સમતલ $OB$ પર છે. $OA = 20\,m$ અને $BC = 80\,m$. તેમની વચ્ચેનું અંતર $OB = a$ છે.
યામ પદ્ધતિ મુજબ $O(0, 0)$,$A(0, 20)$,$B(a, 0)$,અને $C(a, 80)$ લઈએ.
પ્રથમ થાંભલાની ટોચ $A(0, 20)$ ને બીજા થાંભલાના પાયા $B(a, 0)$ સાથે જોડતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{20 - 0}{0 - a}(x - a) \Rightarrow y = -\frac{20}{a}(x - a) \quad \dots(1)$
બીજા થાંભલાની ટોચ $C(a, 80)$ ને પ્રથમ થાંભલાના પાયા $O(0, 0)$ સાથે જોડતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{80 - 0}{a - 0}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{80}{a}x \quad \dots(2)$
છેદબિંદુ $M$ શોધવા માટે,$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{80}{a}x = -\frac{20}{a}(x - a)$
$80x = -20x + 20a$
$100x = 20a \Rightarrow x = \frac{a}{5}$
$x = \frac{a}{5}$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{80}{a} \times \frac{a}{5} = 16\,m$.
આમ,છેદબિંદુની ઊંચાઈ $16\,m$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = -4ax$ માટે,$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$4a = 4$,તેથી $a = 1$. પરવલય $y^2 = -4x$ છે,તેથી તે ડાબી બાજુ ખુલે છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - \frac{1}{m}$ થાય છે. આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
સ્પર્શક $y = mx - \frac{1}{m}$ માટે,અક્ષ $(y=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $0 = mx - \frac{1}{m}$ છે,જે $x = \frac{1}{m^2}$ આપે છે.
તમામ $m \neq 0$ માટે $m^2 > 0$ હોવાથી,$x = \frac{1}{m^2} > 0$ થાય. આમ,$x$-યામ હંમેશા ધન (અઋણ) હોય છે. વિધાન $2$ સાચું છે.
વિધાન $2$ એ સ્પર્શકના ગુણધર્મનું વર્ણન કરે છે,પરંતુ તે વિધાન $1$ માં આપેલા સ્પર્શકના સમીકરણ માટેનું તાર્કિક કારણ નથી. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) વિધાન $1$ એ બાદબાકી માટે ત્રિકોણીય અસમતા છે,જે દર્શાવે છે કે $|Z_1 - Z_2| \ge ||Z_1| - |Z_2||$,અને કારણ કે $||Z_1| - |Z_2|| \ge |Z_1| - |Z_2|$,તેથી વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ એ સરવાળા માટે પ્રમાણભૂત ત્રિકોણીય અસમતા છે,જે સંકર સંખ્યાઓના માનાંકનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે અને તે સાચું છે.
જોકે,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સમજૂતી આપતું નથી કારણ કે તે બંને સંકર સંખ્યાઓના માનાંકના સ્વતંત્ર ગુણધર્મો છે.

(D) The given expression is a finite geometric series with first term $a = 1$, common ratio $r = -(y - 1)$, and $n = 18$ terms.
The sum is given by $f(y) = \frac{1 - (-(y - 1))^{18}}{1 - (-(y - 1))} = \frac{1 - (y - 1)^{18}}{y}$.
Thus, $f(y) = \frac{1}{y} - \frac{(y - 1)^{18}}{y}$.
Expanding $(y - 1)^{18}$ using the binomial theorem: $(y - 1)^{18} = \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^k (-1)^{18-k}$.
Therefore, $\frac{(y - 1)^{18}}{y} = \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^{k-1} (-1)^{18-k}$.
To find the coefficient of $y^2$, we set $k - 1 = 2$, which gives $k = 3$.
The term for $k = 3$ is ${^{18}C_3} y^2 (-1)^{18-3} = -{^{18}C_3} y^2$.
Since $f(y) = \frac{1}{y} - \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^{k-1} (-1)^{18-k}$, the coefficient of $y^2$ is $-(-{^{18}C_3}) = {^{18}C_3}$.

(B) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x - \sin x}}{x}} \right)\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$.
આપણે પદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 - \frac{\sin x}{x}} \right) \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 - \frac{\sin x}{x}} \right) = 1 - 1 = 0$.
પદ $\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$ એ $x \to 0$ થાય ત્યારે $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તે એક સીમિત વિધેય છે.
સ્ક્વિઝ પ્રમેય મુજબ,પ્રથમ ભાગની સીમા $0$ છે અને બીજો ભાગ સીમિત છે,તેથી ગુણાકાર $0 \times (\text{સીમિત કિંમત}) = 0$ થાય છે.
તેથી,સીમા $0$ છે.

(A) વિકલ્પ $(A)$ માટે: $p \Rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \Rightarrow \sim p$ છે. અહીં $p$ એ $3x + 2 = 8$ છે અને $q$ એ $x = 2$ છે. તેથી,$\sim q \Rightarrow \sim p$ એ $x \neq 2 \Rightarrow 3x + 2 \neq 8$ થાય. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $p \Rightarrow q$ નું પ્રતીપ વિધાન $q \Rightarrow p$ છે. $\tan x = 0 \Rightarrow x = 0$ નું પ્રતીપ વિધાન $x = 0 \Rightarrow \tan x = 0$ થાય. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $p \Rightarrow q$ એ $\sim p \vee q$ ને સમાન છે,$p \vee \sim q$ ને નહીં. તેથી,$(C)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $p \vee q$ (અથવા) અને $p \wedge q$ (અને) ના સત્યતા કોષ્ટક અલગ હોય છે. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.

(D) આપેલ અસમતા $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ છે.
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bpc + c^2) + (c^2p^2 - 2pcd + d^2) \le 0$.
જેનું સાદું રૂપ:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$ થાય.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી આ સરવાળો $\le 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,અને $cp - d = 0$.
આથી $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$ મળે.
તેથી,$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 8y$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $C = (0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $A = (-2a, a) = (-4, 2)$ અને $B = (2a, a) = (4, 2)$ છે.
આપણે શિરોબિંદુઓ $A(-4, 2)$,$B(4, 2)$,અને $C(0, 0)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
યામોને સૂત્રમાં મૂકતા: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(2 - 0) + 4(0 - 2) + 0(2 - 2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(2) + 4(-2) + 0| = \frac{1}{2} |-8 - 8| = \frac{1}{2} |-16| = 8$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $8$ ચોરસ એકમ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણ $ABC$ માં $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=K$ છે.
$\Rightarrow b+c=11K, c+a=12K, a+b=13K$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(a+b+c) = 36K \Rightarrow a+b+c = 18K$.
દરેક સમીકરણને સરવાળામાંથી બાદ કરતા:
$a = 18K - 11K = 7K$.
$b = 18K - 12K = 6K$.
$c = 18K - 13K = 5K$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos A = \frac{(6K)^2 + (5K)^2 - (7K)^2}{2(6K)(5K)} = \frac{36K^2 + 25K^2 - 49K^2}{60K^2} = \frac{12K^2}{60K^2} = \frac{1}{5}$.

(B) વિધાન-$1$: ગણ $A$ જેમાં $n(A) = p$ ઘટકો છે અને ગણ $B$ જેમાં $n(B) = q$ ઘટકો છે,તે માટે $A$ થી $B$ પરના વિધેયોની કુલ સંખ્યા $q^p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ગણ સિદ્ધાંતનું પ્રમાણિત પરિણામ છે. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$: $q$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^qC_p = \frac{q!}{p!(q-p)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ એક સાચું વિધાન છે.
જોકે,વિધાન-$2$ એ સંચયની સંખ્યા દર્શાવે છે,જે ગણતરીનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે $A$ થી $B$ પરના વિધેયોની સંખ્યા $q^p$ કેમ છે. વિધેયોની સંખ્યા એ હકીકત પરથી તારવવામાં આવે છે કે $A$ ના દરેક $p$ ઘટકો માટે $B$ માં $q$ વિકલ્પો છે. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) $(y^{1/5} + x^{1/10})^{55}$ ના વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = ^{55}C_{r} (y^{1/5})^{55-r} (x^{1/10})^{r}$
$T_{r+1} = ^{55}C_{r} y^{\frac{55-r}{5}} x^{\frac{r}{10}}$
$x$ અને $y$ ના ઘાતાંક રેડિકલ ચિહ્નોથી મુક્ત રહે તે માટે,$\frac{55-r}{5}$ અને $\frac{r}{10}$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$\frac{55-r}{5} = 11 - \frac{r}{5}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$\frac{r}{10}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $10$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આ બંને શરતોને જોડતા,$r$ એ $10$ નો ગુણક હોવો જોઈએ જ્યાં $0 \le r \le 55$.
$r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 10, 20, 30, 40, 50$ છે.
આમ,$r$ ની $6$ કિંમતો શક્ય છે,તેથી વિસ્તરણમાં $6$ પદો એવા છે જે રેડિકલ ચિહ્નોથી મુક્ત છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: x + y - 1 = 0$ અને $L_2: 2x + 2y - 3 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, a)$ આ બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,$L_1(1, a)$ અને $L_2(1, a)$ ના મૂલ્યો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
ધારો કે $f(x, y) = x + y - 1$ અને $g(x, y) = 2x + 2y - 3$.
બિંદુ $(1, a)$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$f(1, a) = 1 + a - 1 = a$
$g(1, a) = 2(1) + 2a - 3 = 2a - 1$
બિંદુ રેખાઓની વચ્ચે હોવાથી,$f(1, a) \cdot g(1, a) < 0$.
તેથી,$a(2a - 1) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $a$ એ $a(2a - 1) = 0$ ના બીજ $a = 0$ અને $a = 1/2$ ની વચ્ચે હોય.
આમ,$a \in \left( 0, \frac{1}{2} \right)$.

(B) ધારો કે $\Delta ABC$ નું ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(a, b)$ છે.
ધારો કે $A(5, -1)$ અને $B(-2, 3)$ અન્ય બે શિરોબિંદુઓ છે.
લંબકેન્દ્ર $H(0, 0)$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left( \frac{-1 - 0}{5 - 0} \right) \times \left( \frac{b - 3}{a + 2} \right) = -1$
$\Rightarrow b - 3 = 5(a + 2)$ $\Rightarrow 5a - b + 13 = 0 \dots (1)$
તે જ રીતે,$BH \perp AC$ હોવાથી:
$\left( \frac{3 - 0}{-2 - 0} \right) \times \left( \frac{b + 1}{a - 5} \right) = -1$
$\Rightarrow 3b + 3 = 2a - 10$ $\Rightarrow 2a - 3b - 13 = 0 \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,આપણને $a = -4$ અને $b = -7$ મળે છે.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$T_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
$n=1$ થી $15$ માટે,સરવાળો $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.
$S_{15} = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{16} - \sqrt{15})$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે.
$S_{15} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$.

(D) આપેલ અવલોકનો $4, 7, 2, 8, 6, a$ છે અને મધ્યક $7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક $= \frac{4 + 7 + 2 + 8 + 6 + a}{6}$.
$7 = \frac{27 + a}{6}$ $\Rightarrow 42 = 27 + a$ $\Rightarrow a = 15$.
હવે,ચડતા ક્રમમાં અવલોકનો $2, 4, 6, 7, 8, 15$ છે.
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 6$ (બેકી) હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $3^{rd}$ અને $4^{th}$ અવલોકનોની સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{6 + 7}{2} = 6.5$.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $= \frac{\sum |x_i - 6.5|}{6}$.
$= \frac{|2 - 6.5| + |4 - 6.5| + |6 - 6.5| + |7 - 6.5| + |8 - 6.5| + |15 - 6.5|}{6}$.
$= \frac{4.5 + 2.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 + 8.5}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો શિરોબિંદુઓ $z = (x, y)$,$iz = (-y, x)$ અને $z + iz = (x - y, x + y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
$= \frac{1}{2} |-xy - xy - (x - y)^2| = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)$.
$|z|^2 = x^2 + y^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |z|^2$ થાય.

(D) બિંદુઓ $(0, 1)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતી જીવાનો ઢાળ $m = \frac{0 - 1}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકો આ જીવાને સમાંતર હોવાથી,તેમનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ થશે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
અહીં $a^2 = 4, b^2 = 1$ અને $m = -\frac{1}{2}$ લેતા,$y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{2}$ મળે.
આ કિંમતો ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $P_1 = (\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $P_2 = (-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ બિંદુઓ મળે છે.
તેથી,અંતર $P_1P_2 = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,દ્વિ-શરતી વિધાન $p \Leftrightarrow q$ એ બે શરતી વિધાનો $p \Rightarrow q$ અને $q \Rightarrow p$ ના સંયોજન (conjunction) ને તાર્કિક રીતે સમકક્ષ છે.
તેથી,$p \Leftrightarrow q \equiv (p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^2 - (\sin \alpha - 2)x - (1 + \sin \alpha) = 0$ ના બીજો $x_1$ અને $x_2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ:
$x_1 + x_2 = \sin \alpha - 2$
$x_1 x_2 = -(1 + \sin \alpha)$
આપણે $S = x_1^2 + x_2^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવવું છે.
$S = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
$S = (\sin \alpha - 2)^2 - 2(-(1 + \sin \alpha))$
$S = \sin^2 \alpha - 4 \sin \alpha + 4 + 2 + 2 \sin \alpha$
$S = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha + 6$
$S$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,ધારો કે $u = \sin \alpha$,જ્યાં $u \in [-1, 1]$.
$S(u) = u^2 - 2u + 6 = (u - 1)^2 + 5$.
ન્યૂનતમ કિંમત $u = 1$ પર મળે છે.
તેથી $\sin \alpha = 1$,એટલે કે $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 8y$ છે.
જ્યારે $x = 4$ હોય,ત્યારે સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $4^2 = 8y \Rightarrow 16 = 8y \Rightarrow y = 2$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(4, 2)$ છે.
$x^2 = 8y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x = 8 \frac{dy}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{8} = \frac{x}{4}$.
$x = 4$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \left. \frac{x}{4} \right|_{x=4} = 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
$(4, 2)$ બિંદુ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 2 = -1(x - 4)$.
$y - 2 = -x + 4$.
$x + y = 6$.

(B) $6$ વિદ્યાર્થીઓને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $6! = 720$ છે.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચે બરાબર એક વિદ્યાર્થી હોય તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે $(A, X, B)$ અથવા $(B, X, A)$ બ્લોકને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ,જ્યાં $X$ બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક છે.
પગલું $1$: બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક વિદ્યાર્થી $X$ ને $4$ રીતે પસંદ કરો.
પગલું $2$: $(A, X, B)$ અથવા $(B, X, A)$ બ્લોકને બાકીના $3$ વિદ્યાર્થીઓ સાથે ગોઠવો. આ રીતે આપણને ગોઠવવા માટે $4$ એકમો મળે છે,જે $4!$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $3$: બ્લોક $(A, X, B)$ અથવા $(B, X, A)$ હોઈ શકે છે,તેથી બ્લોકની અંદર $A$ અને $B$ ને ગોઠવવાની $2$ રીતો છે.
કુલ સાનુકૂળ ગોઠવણી $= 4 \times 4! \times 2 = 4 \times 24 \times 2 = 192.$
સંભાવના $= \frac{192}{720} = \frac{4}{15}.$

(C) આપેલ શ્રેણી $S_n = 1 + \frac{4}{3} + \frac{10}{9} + \frac{28}{27} + \dots + n \text{ પદો}$ છે.
આપણે પદોને આ રીતે લખી શકીએ:
$S_n = (1) + (1 + \frac{1}{3}) + (1 + \frac{1}{9}) + (1 + \frac{1}{27}) + \dots + n \text{ પદો}$.
પદોને જૂથમાં લેતા:
$S_n = (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ વખત}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots + n \text{ પદો})$.
$S_n = n + \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$.
$S_n = n + \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}}$.
$S_n = n + \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$.
$S_n = n + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$ છે,જ્યાં $p, q, r \in \mathbb{R}$ અને $r > p > 0.$
સંકર બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોવાથી,વિવેચક $D = q^2 - 4pr < 0.$
આથી $q^2 < 4pr.$
વાસ્તવિક સહગુણકો હોવાથી,સંકર બીજ એકબીજાના અનુબદ્ધ હોય,એટલે કે $\beta = \bar{\alpha}.$
તેથી,$|\alpha| = |\beta| = \sqrt{\alpha \bar{\alpha}} = \sqrt{\alpha \beta}.$
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{r}{p}.$
તેથી,$|\alpha| = |\beta| = \sqrt{\frac{r}{p}}.$
$r > p > 0$ આપેલ હોવાથી,$\frac{r}{p} > 1,$ જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{\frac{r}{p}} > 1.$
આમ,$|\alpha| + |\beta| = 2|\alpha| = 2\sqrt{\frac{r}{p}}.$
કારણ કે $\sqrt{\frac{r}{p}} > 1,$ તેથી $2\sqrt{\frac{r}{p}} > 2.$
આમ,$|\alpha| + |\beta| > 2.$

(A) ધારો કે $P = (1, 0)$ અને $Q = (-1, 0)$. ધારો કે બિંદુ $X = (x, y)$ શરત $\frac{XP}{XQ} = \frac{1}{2}$ નું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $2XP = XQ$,અથવા $4XP^2 = XQ^2$.
કોઓર્ડિનેટ્સ મૂકતા: $4((x - 1)^2 + y^2) = (x + 1)^2 + y^2$.
વિસ્તરણ કરતા: $4(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$3x^2 + 3y^2 - 10x + 3 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે. બિંદુઓ $A, B, C$ આ શરતનું પાલન કરતા હોવાથી,તેઓ આ વર્તુળ પર આવેલા છે.
$\Delta ABC$ નું પરિકેન્દ્ર એ આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g = -\frac{10}{3} \Rightarrow g = -\frac{5}{3}$ અને $f = 0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 3x = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $B = \left( -\frac{3}{2}, 0 \right)$ છે અને ત્રિજ્યા $\frac{3}{2}$ છે.
રેખા $y = mx + 1$ એ $y$-અક્ષને $A(0, 1)$ માં છેદે છે.
બે છેદબિંદુઓ $x$-અક્ષથી સમાન અંતરે અને વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,રેખાએ વર્તુળના કેન્દ્ર $B$ માંથી પસાર થવું જોઈએ.
$B\left( -\frac{3}{2}, 0 \right)$ ને $y = mx + 1$ માં મૂકતા:
$0 = m\left( -\frac{3}{2} \right) + 1$
$\frac{3}{2}m = 1$
$3m = 2$
$3m - 2 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $x \ne 2$ માટે $\frac{x}{[x]} \le f(x) \le \sqrt{6 - x}$.
$x \to 2^-$ માટે,$[x] = 1$. તેથી,$\lim_{x \to 2^-} \frac{x}{[x]} = \frac{2}{1} = 2$ અને $\lim_{x \to 2^-} \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - 2} = 2$.
સેન્ડવિચ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2$. તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
$x \to 2^+$ માટે,$[x] = 2$. તેથી,$\lim_{x \to 2^+} \frac{x}{[x]} = \frac{2}{2} = 1$ અને $\lim_{x \to 2^+} \sqrt{6 - x} = 2$.
સેન્ડવિચ પ્રમેય મુજબ,$1 \le \lim_{x \to 2^+} f(x) \le 2$. ડાબી બાજુની લક્ષ $2$ છે અને જમણી બાજુની લક્ષ $2$ હોવી જરૂરી નથી,તેથી $\lim_{x \to 2} f(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી.
કારણ કે $\lim_{x \to 2} f(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી,તેથી $f$ એ $x = 2$ આગળ સતત નથી. તેથી,વિધાન $2$ ખોટું છે.

(B) શરતી વિધાન $p \to q$ એ સત્યતા કોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જ્યાં તે ફક્ત ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $p$ સત્ય હોય અને $q$ અસત્ય હોય.
આ તાર્કિક રીતે $p$ ના નકાર અને $q$ ના વિયોજન (disjunction) ને સમાન છે.
તેથી,$p \to q \equiv \sim p \vee q$.

(B) આપેલ છે $f(x) = 3x^{10} - 7x^8 + 5x^6 - 21x^3 + 3x^2 - 7$.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 30x^9 - 56x^7 + 30x^5 - 63x^2 + 6x$.
$f'(1)$ ની કિંમત શોધો:
$f'(1) = 30(1)^9 - 56(1)^7 + 30(1)^5 - 63(1)^2 + 6(1) = 30 - 56 + 30 - 63 + 6 = -53$.
હવે,લક્ષ $L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{f(1 - \alpha) - f(1)}{\alpha^3 + 3\alpha}$ ધ્યાનમાં લો.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,$L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{f'(1 - \alpha) \cdot (-1)}{3\alpha^2 + 3}$.
$\alpha = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{f'(1) \cdot (-1)}{3(0)^2 + 3} = \frac{-f'(1)}{3} = \frac{-(-53)}{3} = \frac{53}{3}$.

(B) ધારો કે $|Z| = |W| = r$.
તેથી $Z = r e^{i\theta}$ અને $W = r e^{i\phi}$,જ્યાં $\theta = \text{arg } Z$ અને $\phi = \text{arg } W$.
આપેલ છે કે $\theta + \phi = \pi$,તેથી $\theta = \pi - \phi$.
આમ,$Z = r e^{i(\pi - \phi)} = r e^{i\pi} e^{-i\phi} = -r e^{-i\phi}$.
કારણ કે $\overline{W} = r e^{-i\phi}$,આપણને $Z = -\overline{W}$ મળે છે. તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ માટે,$\text{arg } \overline{W} = -\text{arg } W = -\phi$.
તેથી $\text{arg } Z - \text{arg } \overline{W} = \theta - (-\phi) = \theta + \phi = \pi$.
આમ,વિધાન $2$ પણ સાચું છે અને તે વિધાન $1$ ની સમજૂતી આપે છે.

(A) ધારો કે સમતલ $x - 2y + 2z - 5 = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + 2z + k = 0 \dots (i)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $(i)$ નું લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|k|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
અહીં અંતર $1$ આપેલું છે,તેથી:
$\frac{|k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$
$\frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$
$\frac{|k|}{\sqrt{9}} = 1$
$\frac{|k|}{3} = 1$
$|k| = 3$
તેથી,$k = 3$ અથવા $k = -3$.
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને સમતલના શક્ય સમીકરણો $x - 2y + 2z + 3 = 0$ અથવા $x - 2y + 2z - 3 = 0$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સમીકરણ $x - 2y + 2z - 3 = 0$ છે.

(C) ધારો કે બે રેખાઓ અનુક્રમે $\lambda$ અને $\mu$ પ્રાચલ દ્વારા દર્શાવેલ છે:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda \implies x=2\lambda+1, y=3\lambda-1, z=4\lambda+1$
$\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu \implies x=\mu+3, y=2\mu+k, z=\mu$
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો બંને માટે એક સામાન્ય બિંદુ હોવું જોઈએ,તેથી:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2 \quad (i)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1 \quad (ii)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1 \quad (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2
\implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$4(-\frac{3}{2}) + 1 = \mu \implies -6 + 1 = \mu \implies \mu = -5$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ અને $\mu = -5$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k+1
\implies -\frac{9}{2} + 10 = k+1
\implies k = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$

(C) આપેલ પરવલયો $x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ અને $x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ છે.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 2$ સુધી $x = 3\sqrt{y}$ (જમણી વક્ર) અને $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (ડાબી વક્ર) દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
$A = 2 \int_{0}^{2} \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} \right) dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 5 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{0}^{2}$
$A = \frac{10}{3} \left( 2^{3/2} - 0 \right) = \frac{10}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{20\sqrt{2}}{3}$

(D) આપેલ છે કે $g(x) = \int_{0}^{x} \cos 4t \, dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને મળે છે $g(x) = \left[ \frac{\sin 4t}{4} \right]_{0}^{x} = \frac{\sin 4x}{4}$.
હવે,$g(x + \pi) = \frac{\sin 4(x + \pi)}{4} = \frac{\sin(4x + 4\pi)}{4}$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $\sin(4x + 4\pi) = \sin 4x$,તેથી $g(x + \pi) = \frac{\sin 4x}{4} = g(x)$.
વળી,$g(\pi) = \frac{\sin(4\pi)}{4} = 0$.
કારણ કે $g(\pi) = 0$,તેથી $g(x) + g(\pi) = g(x) + 0 = g(x)$ અને $g(x) - g(\pi) = g(x) - 0 = g(x)$ થાય છે.
આમ,$g(x) + g(\pi)$ અને $g(x) - g(\pi)$ બંને $g(x)$ ની બરાબર છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{array}} \right]$,$A{u_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right]$,અને $A{u_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right]$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$A{u_1} + A{u_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right]$
$A(u_1 + u_2) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right]$
તેથી,$u_1 + u_2 = A^{-1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right]$.
પ્રથમ,$|A| = 1(1-0) - 0 + 0 = 1$ શોધો.
ત્યારબાદ,$adj(A)$ શોધો. સહ-અવયવો નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = 1$
$C_{21} = 0, C_{22} = 1, C_{23} = -2$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = 1$
તેથી,$adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{array}} \right]$.
કારણ કે $|A| = 1$,તેથી $A^{-1} = adj(A)$.
$u_1 + u_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1(1)+0(1)+0(0)\\-2(1)+1(1)+0(0)\\1(1)-2(1)+1(0)\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\-1\\-1\end{array}} \right]$.

(C) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જ્યાં $P \neq Q$.
આપણને સમીકરણો આપેલા છે:
$1) P^3 = Q^3$
$2) P^2Q = Q^2P$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$P^3 - P^2Q = Q^3 - Q^2P$
પદોને સામાન્ય લેતા:
$P^2(P - Q) = Q^2(Q - P)$
$P^2(P - Q) = -Q^2(P - Q)$
$(P^2 + Q^2)(P - Q) = 0$
કારણ કે $P \neq Q$,શ્રેણિક $(P - Q)$ શૂન્ય શ્રેણિક નથી,તેથી ગુણાકાર $(P^2 + Q^2)(P - Q) = 0$ સૂચવે છે કે શ્રેણિક $(P^2 + Q^2)$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\det((P^2 + Q^2)(P - Q)) = \det(0) = 0$
$\det(P^2 + Q^2) \cdot \det(P - Q) = 0$
આમ,$\det(P^2 + Q^2) = 0$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right) = [x] \cos \left( x\pi - \frac{\pi}{2} \right) = [x] \sin(x\pi)$ છે.
આપણે કોઈપણ પૂર્ણાંક $x = n$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$x = n$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય $f(n) = [n] \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ છે.
$x \to n^-$ માટે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ $\lim_{x \to n^-} [x] \sin(x\pi) = (n - 1) \sin(n\pi) = (n - 1) \cdot 0 = 0$ છે.
$x \to n^+$ માટે જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ $\lim_{x \to n^+} [x] \sin(x\pi) = n \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ છે.
બધા $n \in \mathbb{Z}$ માટે $LHL = RHL = f(n) = 0$ હોવાથી,વિધેય તમામ પૂર્ણાંકો પર સતત છે.
$[x]$ એ પૂર્ણાંકો સિવાય દરેક જગ્યાએ સતત છે અને $\sin(x\pi)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર દરેક જગ્યાએ સતત છે.
આમ,$f(x)$ દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે સતત છે.

(D) વિધેય $f(x) = |x - 2| + |x - 5|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે તેને ટુકડાઓમાં આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -(x-2) - (x-5) = -2x + 7 & \text{જો } x < 2 \\ (x-2) - (x-5) = 3 & \text{જો } 2 \le x < 5 \\ (x-2) + (x-5) = 2x - 7 & \text{જો } x \ge 5 \end{cases}$
વિધાન-$1$ માટે:
અંતરાલ $(2, 5)$ માં,$f(x) = 3$ છે. તેથી,તમામ $x \in (2, 5)$ માટે $f'(x) = 0$ થાય.
કારણ કે $4 \in (2, 5)$,તેથી $f'(4) = 0$. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે:
$f(x)$ એ સતત વિધેયોનો સરવાળો છે,તેથી તે દરેક જગ્યાએ સતત છે. $[2, 5]$ માં,$f(x) = 3$ છે,જે અચળ વિધેય છે,તેથી તે $(2, 5)$ માં વિકલનીય છે.
વળી,$f(2) = |2-2| + |2-5| = 3$ અને $f(5) = |5-2| + |5-5| = 3$. આમ,$f(2) = f(5)$.
વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ એ રોલના પ્રમેયની શરતોનું વર્ણન કરે છે,જે સૂચવે છે કે $(2, 5)$ માં એવો બિંદુ $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય. કારણ કે $f(x)$ એ $[2, 5]$ પર અચળ છે,તેથી તમામ $x \in (2, 5)$ માટે $f'(x) = 0$ થાય છે,જે વિધાન-$1$ ની પુષ્ટિ કરે છે. આમ,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ફુગ્ગાનું પ્રારંભિક કદ $V_i = 4500\pi \text{ m}^3$ છે.
કદમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = -72\pi \text{ m}^3/\text{min}$ છે.
$t = 49$ મિનિટ પછી,કદ $V$ થશે:
$V = 4500\pi - (72\pi \times 49) = 4500\pi - 3528\pi = 972\pi \text{ m}^3$.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
$t = 49$ મિનિટ પર,$972\pi = \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r^3 = \frac{972 \times 3}{4} = 729$.
તેથી,$r = \sqrt[3]{729} = 9 \text{ m}$.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા: $-72\pi = 4\pi (9)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-72\pi = 4\pi (81) \frac{dr}{dt} = 324\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{72\pi}{324\pi} = -\frac{2}{9}$.
આમ,ત્રિજ્યા ઘટવાનો દર $\frac{2}{9} \text{ m/min}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dp(t)}{dt} = 0.5p(t) - 450 = \frac{p(t) - 900}{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 900} = \int \frac{1}{2} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + C$.
પ્રારંભિક શરત $p(0) = 850$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln |850 - 900| = \frac{1}{2}(0) + C \implies C = \ln 50$.
આમ,સમીકરણ છે: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
જ્યારે $p(t) = 0$ હોય ત્યારે $t$ શોધવા માટે: $\ln |0 - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
$\ln 900 - \ln 50 = \frac{1}{2} t$.
$\ln \left( \frac{900}{50} \right) = \frac{1}{2} t$.
$\ln 18 = \frac{1}{2} t$.
$t = 2 \ln 18$.

(A) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. આપણે $S$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓનો મહત્તમ અંક $6$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓનો ન્યૂનતમ અંક $3$ છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ શોધવી છે.
ઘટના $A$ માટે (મહત્તમ $6$ છે): સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે જેમાં $6$ નો સમાવેશ થાય. બાકીની $2$ સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
$A$ માટેની રીતોની સંખ્યા = $\binom{5}{2} = 10$.
ઘટના $A \cap B$ માટે (મહત્તમ $6$ અને ન્યૂનતમ $3$ છે): સંખ્યાઓ $\{3, 4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે જેમાં $3$ અને $6$ નો સમાવેશ થાય. બાકીની $1$ સંખ્યા $\{4, 5\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
$A \cap B$ માટેની રીતોની સંખ્યા = $\binom{2}{1} = 2$.
આમ,$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
સદિશો $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$ અને $\vec{d} = 5\vec{a} - 4\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$.
$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $5(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1$ અને $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1$ હોવાથી,
$5(1) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1) = 0$.
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3 = 0$.
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે $E$ એ શિરોબિંદુ $B$ થી બાજુ $AD$ પરના લંબનો પગ છે. સદિશ $\vec{AE}$ એ $\vec{AB}$ નો $\vec{AD}$ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
આમ,$\vec{AE} = \text{proj}_{\vec{p}} \vec{q} = \left( \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \right) \vec{p}$.
$\triangle ABE$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે $\vec{AB} + \vec{BE} = \vec{AE}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = \vec{q}$ અને $\vec{BE} = \vec{r}$,તેથી $\vec{q} + \vec{r} = \vec{AE}$.
તેથી,$\vec{r} = \vec{AE} - \vec{q}$.
$\vec{AE}$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને $\vec{r} = \left( \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \right) \vec{p} - \vec{q}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \alpha - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \alpha + 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $B$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B^T = \begin{bmatrix} \alpha + 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ થાય.
હવે,ગુણાકાર $AB^T$ શોધીએ:
$AB^T = \begin{bmatrix} \alpha - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha + 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\alpha - 1)(\alpha + 1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$AB^T$ શૂન્યતર શ્રેણિક હોય તે માટે ઓછામાં ઓછો એક ઘટક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
તેથી,$\alpha^2 - 1 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2 \neq 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\alpha| \neq 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળાકાર શીટની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે $A = \pi r^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
અહીં $\frac{dA}{dt} = 6\pi \, cm^2/hr$ અને $r = 30 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$6\pi = 2\pi (30) \frac{dr}{dt}$.
$6\pi = 60\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{6\pi}{60\pi} = \frac{1}{10} = 0.1 \, cm/hr$.
આમ,વર્તુળાકાર શીટની ત્રિજ્યા વધવાનો દર $0.1 \, cm/hr$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{(2 + \sin x)}{(1 + y)} \frac{dy}{dx} = \cos x$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{1 + y} = \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{1 + y} = \int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx.$
આનાથી $\ln(1 + y) = \ln(2 + \sin x) + \ln C$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$1 + y = C(2 + \sin x).$
આપેલ છે કે $y(0) = 2,$ તેથી $x = 0$ અને $y = 2$ મૂકતા,$1 + 2 = C(2 + \sin 0) \Rightarrow 3 = 2C \Rightarrow C = \frac{3}{2}.$
હવે,$y\left( \frac{\pi}{2} \right)$ શોધવા માટે $x = \frac{\pi}{2}$ અને $C = \frac{3}{2}$ ને સમીકરણ $1 + y = \frac{3}{2}(2 + \sin x)$ માં મૂકતા:
$1 + y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{2}(2 + \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{3}{2}(2 + 1) = \frac{3}{2}(3) = \frac{9}{2}.$
તેથી,$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}.$

(D) આપેલ સમીકરણ $\int\limits_e^x {t\,f(t)\,dt = \sin x - x\cos x - \frac{{{x^2}}}{2}}$ છે.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{{dx}}\left[ {\int\limits_e^x {t\,f(t)\,dt} } \right] = \frac{d}{{dx}}\left[ {\sin x - x\cos x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]$
જમણી બાજુ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$x\,f(x) = \cos x - (\cos x - x\sin x) - x$
$x\,f(x) = \cos x - \cos x + x\sin x - x$
$x\,f(x) = x\sin x - x$
$x$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x \neq 0$):
$f(x) = \sin x - 1$
હવે,$x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) - 1$
$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = 0$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix} \neq 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2) \neq 0$
$D = 2\lambda - 6 - \lambda + 3 + 0 \neq 0$
$D = \lambda - 3 \neq 0$
તેથી,$\lambda \neq 3$.

(D) વિધાન-$2$: $\cos^3 x$ એ એક આવર્તી વિધેય છે. આ વિધાન સત્ય છે કારણ કે $\cos x$ એ $2\pi$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે,અને કોઈપણ આવર્તી વિધેયનો ઘાત પણ આવર્તી હોય છે.
આપેલ છે કે $f(x) = \int \cos^3 x \, dx$.
નિત્યસમ $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$.
$f(x) = \int \left(\frac{\cos 3x}{4} + \frac{3\cos x}{4}\right) dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin 3x}{3} + \frac{3}{4} \sin x + C = \frac{1}{12} \sin 3x + \frac{3}{4} \sin x + C$.
$\sin 3x$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{3}$ છે અને $\sin x$ નું આવર્તમાન $2\pi$ છે.
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ હોય છે.
$f(x)$ નું આવર્તમાન = $\text{LCM}\left(\frac{2\pi}{3}, 2\pi\right) = 2\pi$.
આમ,આવર્તમાન $2\pi$ છે,$\pi$ નથી,તેથી વિધાન-$1$ અસત્ય છે.

(B) પરવલય $y^2 = x$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ ના છેદબિંદુઓ $y^2 = x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા મળે છે: $x^2 + x - 2 = 0$,જે $(x+2)(x-1) = 0$ આપે છે. $x \ge 0$ હોવાથી,$x = 1$ મળે છે. આમ,છેદબિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(1, -1)$ છે.
વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_{total} = \pi r^2 = 2\pi$ છે.
પરવલય અને વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલ $y$-અક્ષની જમણી બાજુના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
$A_1 = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx$
પ્રથમ સંકલન:
$2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}$.
બીજું સંકલન:
$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2 - x^2} + \frac{2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{2}}$
$= 2 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)) \right]$
$= 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right] = \frac{\pi}{2} - 1$.
તેથી,$A_1 = \frac{4}{3} + \frac{\pi}{2} - 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3\pi + 2}{6}$.
બીજું ક્ષેત્રફળ $A_2 = A_{total} - A_1 = 2\pi - \frac{3\pi + 2}{6} = \frac{12\pi - 3\pi - 2}{6} = \frac{9\pi - 2}{6}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_2 : A_1 = \frac{9\pi - 2}{6} : \frac{3\pi + 2}{6} = 9\pi - 2 : 3\pi + 2$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,વિકર્ણ $DB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ વિકર્ણ $AC$ નું પણ મધ્યબિંદુ થાય.
$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} = \frac{(3\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + (\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k})}{2} = \frac{4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}}{2} = 2\hat{i} - \hat{j}$ મળે.
સદિશ $\vec{OM}$ નો $\vec{OC}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|}$ છે.
અહીં $\vec{OM} = 2\hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{OC} = \hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
તેથી,અદિશ ગુણાકાર $\vec{OM} \cdot \vec{OC} = (2)(1) + (-1)(-5) + (0)(-5) = 2 + 5 + 0 = 7$ થાય.
$\vec{OC}$ નું મૂલ્ય $|\vec{OC}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25 + 25} = \sqrt{51}$ થાય.
આમ,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|} = \frac{7}{\sqrt{51}}$ મળે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ જ્યાં $x \in R$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \ge 0$ હોય,તો $|x| = x$ થાય.
$f(x) = \frac{x}{1 + x} = \frac{x + 1 - 1}{1 + x} = 1 - \frac{1}{1 + x}$.
જેમ $x$ ની કિંમત $0$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,તેમ $1 + x$ ની કિંમત $1$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,તેથી $\frac{1}{1 + x}$ ની કિંમત $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે.
આમ,$f(x)$ ની કિંમત $0$ થી $1$ સુધી વધે છે. તેથી,$x \ge 0$ માટે વિસ્તાર $[0, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$ થાય.
$f(x) = \frac{x}{1 - x} = \frac{-(1 - x) + 1}{1 - x} = -1 + \frac{1}{1 - x}$.
જેમ $x$ ની કિંમત $0$ થી $-\infty$ સુધી ઘટે છે,તેમ $1 - x$ ની કિંમત $1$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,તેથી $\frac{1}{1 - x}$ ની કિંમત $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે.
આમ,$f(x)$ ની કિંમત $0$ થી $-1$ સુધી ઘટે છે. તેથી,$x < 0$ માટે વિસ્તાર $(-1, 0)$ છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,વિધેયનો વિસ્તાર $(-1, 0) \cup [0, 1) = (-1, 1)$ મળે છે.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર સદિશોના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda - 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1[3(2\lambda - 1) - (-1)(1)] - (-2)[2(2\lambda - 1) - (-1)(\lambda)] + 3[2(1) - 3(\lambda)] = 0$
$1[6\lambda - 3 + 1] + 2[4\lambda - 2 + \lambda] + 3[2 - 3\lambda] = 0$
$(6\lambda - 2) + 2(5\lambda - 2) + (6 - 9\lambda) = 0$
$6\lambda - 2 + 10\lambda - 4 + 6 - 9\lambda = 0$
$(6\lambda + 10\lambda - 9\lambda) + (-2 - 4 + 6) = 0$
$7\lambda + 0 = 0$
$\lambda = 0$

(D) આપેલ છે કે $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$.
આપેલ શરત મૂકતા,$P(X \cap Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$,જે સૂચવે છે કે $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$. આમ,વિધાન $2$ સાચું છે.
હવે,$P(X \cap Y') = P(X) - P(X \cap Y)$ અને $P(X' \cap Y) = P(Y) - P(X \cap Y)$.
$P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$ હોવાથી,$P(X \cup Y) - P(X \cap Y) = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $P(X \Delta Y) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $P(X \cap Y') = 0$ અને $P(X' \cap Y) = 0$. આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
$P(X \cap Y') = 0$ અને $P(X' \cap Y) = 0$ હોવાથી,$P(X) = P(X \cap Y)$ અને $P(Y) = P(X \cap Y)$ મળે,જે $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$ તરફ દોરી જાય છે. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ધારો કે સમતલ $f(x, y, z) = 3x + 4y - 12z + 13 = 0$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ સમતલની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય જો $f(x_1, y_1, z_1) \cdot f(x_2, y_2, z_2) < 0$ હોય.
બિંદુ $P_1 = (1, a, 1)$ માટે,$f(1, a, 1) = 3(1) + 4(a) - 12(1) + 13 = 4a + 4$.
બિંદુ $P_2 = (-3, 0, a)$ માટે,$f(-3, 0, a) = 3(-3) + 4(0) - 12(a) + 13 = 4 - 12a$.
આપણે $(4a + 4)(4 - 12a) < 0$ ની જરૂર છે.
$16$ વડે ભાગતા,આપણને $(a + 1)(1 - 3a) < 0$ મળે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા ઉલટાય છે: $(a + 1)(3a - 1) > 0$.
બીજ $a = -1$ અને $a = \frac{1}{3}$ છે.
આ અસમતા $a < -1$ અથવા $a > \frac{1}{3}$ માટે સાચી છે.

(C) રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા કોસાઇન સમાન છે. ધારો કે દિશા કોસાઇન $(l, l, l)$ છે. $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ હોવાથી,$3l^2 = 1,$ એટલે કે $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (કારણ કે દિશા કોસાઇન ધન છે).
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(r+2, r-1, r+2)$ સ્વરૂપમાં છે.
$Q$ એ સમતલ $2x + y + z = 9$ પર હોવાથી,$Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \Rightarrow r = 1.$
આમ,બિંદુ $Q$ એ $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$

(C) ધારો કે વિધેય $h(x) = g(x) - f(x) = x - \sin x$,જ્યાં $x \in (0, \infty)$.
વિકલન કરતા,$h'(x) = 1 - \cos x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \le \cos x \le 1$,તેથી $h'(x) = 1 - \cos x \ge 0$ તમામ $x$ માટે.
$h'(x) \ge 0$ અને $h(0) = 0 - \sin(0) = 0$ હોવાથી,વિધેય $h(x)$ એ વધતું વિધેય છે અને $x \in (0, \infty)$ માટે $h(x) \ge 0$ થાય.
આમ,$x \ge \sin x$,જેનો અર્થ છે કે $g(x) \ge f(x)$ સાચું છે. તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in (0, \infty)$ માટે $\sin x \le 1$ અને $\lim_{x \to \infty} x = \infty$. વિધાન $2$ ના બંને ભાગ સાચા છે.
જોકે,$\sin x \le 1$ અને $x \to \infty$ એ હકીકત $x - \sin x$ ના વર્તનને ધ્યાનમાં લીધા વગર $x \ge \sin x$ ને સીધી રીતે સાબિત કરતી નથી. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $x + |y| = 2y$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $y \ge 0$ હોય,તો $|y| = y$ થાય.
$x + y = 2y \Rightarrow y = x$.
કિસ્સો $2$: જો $y < 0$ હોય,તો $|y| = -y$ થાય.
$x - y = 2y \Rightarrow x = 3y \Rightarrow y = x/3$.
આમ,વિધેય $f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ x/3, & x < 0 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x/3 = 0$.
અહીં $f(0) = 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ સતત છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(0-h)/3 - 0}{-h} = 1/3$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1$.
અહીં $LHD \neq RHD$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \alpha \gamma \\ \beta \delta & 0 \end{bmatrix}$.
$BA$ ની ગણતરી કરતા:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \beta \\ \delta \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$AB - BA = \begin{bmatrix} 0 & \alpha \gamma - \beta \gamma \\ \beta \delta - \alpha \delta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \gamma(\alpha - \beta) \\ \delta(\beta - \alpha) & 0 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|AB - BA| = 0 - (\gamma(\alpha - \beta) \cdot \delta(\beta - \alpha)) = \gamma \delta (\alpha - \beta)^2$.
$AB - BA$ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોવા માટે,નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ. આ $\alpha \neq \beta$ અને $\gamma \delta \neq 0$ પર આધાર રાખે છે. જો આ શરતો પૂરી ન થાય,તો તે હંમેશા વ્યસ્ત શ્રેણિક ન હોઈ શકે. જો કે,આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત સંદર્ભમાં જ્યાં $\alpha \neq \beta$ અને $\gamma, \delta \neq 0$ હોય,વિધાન $1$ સાચું ગણાય છે.
વિધાન $2$ માટે: $AB - BA = \begin{bmatrix} 0 & \gamma(\alpha - \beta) \\ -\delta(\alpha - \beta) & 0 \end{bmatrix}$. આ શ્રેણિક એકમ શ્રેણિક $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ બને તે માટે તેના વિકર્ણ ઘટકો $1$ હોવા જોઈએ. અહીં વિકર્ણ ઘટકો $0$ હોવાથી,તે ક્યારેય એકમ શ્રેણિક બની શકે નહીં. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ એ માંગેલ એકમ સદિશ છે.
$\vec{v}$ એ $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{v} \cdot \vec{a} = 0$.
$2x - y + 2z = 0$ ...... $(i)$
$\vec{v}$ એ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,$\vec{v} = p\vec{b} + q\vec{c}$.
$\vec{v} = (p + 2q)\hat{i} + (p + 2q)\hat{j} - (p + q)\hat{k}$.
તેથી $x = p + 2q, y = p + 2q, z = -(p + q)$.
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મુકતા: $2(p + 2q) - (p + 2q) + 2(-p - q) = 0$.
$2p + 4q - p - 2q - 2p - 2q = 0 \Rightarrow -p = 0 \Rightarrow p = 0$.
તેથી $x = 2q, y = 2q, z = -q$.
$\vec{v}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
$(2q)^2 + (2q)^2 + (-q)^2 = 1 \Rightarrow 9q^2 = 1 \Rightarrow q = \pm \frac{1}{3}$.
$q = \frac{1}{3}$ લેતા,$\vec{v} = \frac{2}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} - \frac{1}{3}\hat{k} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3}$.
આ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(D) વિધાન $1$ સાચું છે. આ બિંદુ $x_0$ આગળ સાતત્યની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે.
વિધાન $2$ ખોટું છે. વિધેય $f$ એ $x_0$ આગળ અસતત હોય જો તે $x_0$ આગળ સતત ન હોય. આ ત્યારે થાય છે જો $\lim_{x \to x_0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ ન હોય,અથવા જો $\lim_{x \to x_0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોય પરંતુ $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$ હોય. વિધાન $2$ માત્ર અસતતતાના એક વિશિષ્ટ કિસ્સાનું વર્ણન કરે છે (removable discontinuity) અને અન્ય કિસ્સાઓ જેવા કે jump discontinuity અથવા infinite discontinuity ને અવગણે છે જ્યાં લક્ષનું અસ્તિત્વ જ ન હોઈ શકે.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 10}{8} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $L = (2k + 1, -3k - 1, 8k - 10)$ સ્વરૂપમાં છે.
ધારો કે $P = (1, 0, 0)$. રેખા $PL$ ના દિકગુણોત્તર $(2k + 1 - 1, -3k - 1 - 0, 8k - 10 - 0) = (2k, -3k - 1, 8k - 10)$ છે.
$PL$ એ આપેલી રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(2, -3, 8)$ છે) ને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2k) - 3(-3k - 1) + 8(8k - 10) = 0$.
$4k + 9k + 3 + 64k - 80 = 0$.
$77k - 77 = 0$,તેથી $k = 1$.
$k = 1$ ને $L$ ના યામમાં મૂકતા:
$L = (2(1) + 1, -3(1) - 1, 8(1) - 10) = (3, -4, -2)$.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{u} = \hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i} + 3\hat{k}$,અને $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{u} \times \vec{v}$ શોધો:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 3 - 4 \times 0) - \hat{j}(0 \times 3 - 4 \times 1) + \hat{k}(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$= 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ શોધો:
$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = (3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$
$= 3 \cos \theta + 4 \sin \theta$.
આ પદ $a \cos \theta + b \sin \theta$ સ્વરૂપમાં છે,જેની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ થાય.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(D) ધારો કે $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$b$ એ પહોળાઈ છે અને $\ell$ એ લંબચોરસની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $\frac{dA}{dt} = -5$,$\frac{d\ell}{dt} = 2$,અને $\frac{db}{dt} = -3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = \ell \times b$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \ell \cdot \frac{db}{dt} + b \cdot \frac{d\ell}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$-5 = \ell(-3) + b(2)$.
$-5 = -3\ell + 2b$.
જ્યારે પહોળાઈ $b = 2 \, m$ હોય,ત્યારે આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-5 = -3\ell + 2(2)$.
$-5 = -3\ell + 4$.
$3\ell = 4 + 5$.
$3\ell = 9$.
$\ell = 3 \, m$.
આમ,લંબચોરસની લંબાઈ $3 \, m$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f'(x) = \sin(\log x)$ અને $y = f\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = f'\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)$.
પ્રથમ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંદરના વિધેયનું વિકલન શોધીએ:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right) = \frac{(3 - 2x)(2) - (2x + 3)(-2)}{(3 - 2x)^2} = \frac{6 - 4x + 4x + 6}{(3 - 2x)^2} = \frac{12}{(3 - 2x)^2}$.
હવે,આ કિંમતને $\frac{dy}{dx}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \sin\left[\log\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)\right] \cdot \frac{12}{(3 - 2x)^2}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{12}{(3 - 2x)^2} \sin\left[\log\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)\right]$.

(D) વિધાન $1$ માટે:
પ્રથમ વિકલ સમીકરણ ધ્યાનમાં લો: $\frac{dy}{dx} + y^2 = x$. અહીં ઉચ્ચતમ ક્રમનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ (ક્રમ $1$) છે,અને તેની ઘાત $1$ છે. તેથી,તેની ઘાત $1$ છે.
બીજું વિકલ સમીકરણ ધ્યાનમાં લો: $\frac{d^2y}{dx^2} + y = \sin x$. અહીં ઉચ્ચતમ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ (ક્રમ $2$) છે,અને તેની ઘાત $1$ છે. તેથી,તેની ઘાત $1$ છે.
બંને સમીકરણોની ઘાત $1$ હોવાથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ માટે:
આ વિકલ સમીકરણની ઘાતની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે. તે વિકલિતોમાં બહુપદી છે,અને ઘાત એ ઉચ્ચતમ ક્રમના વિકલિતની ઉચ્ચતમ ઘાત છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ:
વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ માં ઘાત નક્કી કરવા માટે વપરાતી વ્યાખ્યા પૂરી પાડે છે,જે તેને સાચી સમજૂતી બનાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 2), B(2, 1, 2), C(2, 2, z)$ અને $D(1, 1, 1)$ છે.
જો સદિશો $\vec{AB}, \vec{AC}$ અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક $0$ હોય તો બિંદુઓ સમતલીય છે.
$\vec{AB} = (2-1, 1-2, 2-2) = (1, -1, 0)$
$\vec{AC} = (2-1, 2-2, z-2) = (1, 0, z-2)$
$\vec{AD} = (1-1, 1-2, 1-2) = (0, -1, -1)$
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & z-2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(0 - (-(z-2))) - (-1)(-1 - 0) + 0 = 0$
$1(z-2) - 1 = 0 \Rightarrow z-3 = 0 \Rightarrow z = 3$.
અહીં $z=3 \neq 2$ હોવાથી,વિધાન $1$ ખોટું છે.
વિધાન $2$ એ એક પ્રમાણિત ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે: જો ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોય,તો તેઓ શૂન્યતર ઘનફળ ધરાવતો ચતુષ્ફલક બનાવતા નથી,તેથી ઘનફળ $0$ થાય છે. આમ,વિધાન $2$ સાચું છે.

(D) આપેલ વક્રો $y = x^2$ અને $y = x^3$ છે.
$y = x^2$ અને $y = x^3$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે $x^2 = x^3$ લેતા,$x^2(x - 1) = 0$ મળે,તેથી $x = 0$ અથવા $x = 1$ છે.
$0 < x < 1$ માટે,$x^2 > x^3$ છે,અને $x > 1$ માટે,$x^3 > x^2$ છે.
$p > 1$ આપેલ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ એ $[0, 1]$ અને $[1, p]$ અંતરાલોમાં ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx + \int_{1}^{p} (x^3 - x^2) \, dx = \frac{1}{6}$.
પ્રથમ સંકલન ગણતા:
$\int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
બીજું સંકલન ગણતા:
$\int_{1}^{p} (x^3 - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{p} = \left( \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) = \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{12}$.
ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{12} + \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$.
$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} = 0$.
$12$ વડે ગુણતા:
$3p^4 - 4p^3 = 0$.
$p^3(3p - 4) = 0$.
$p > 1$ હોવાથી,$p = 4/3$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x e^{x(1-x)}$.
ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિકલિત મેળવીએ:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1-x)} + x \cdot e^{x(1-x)} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x(1-x)} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = -e^{x(1-x)} [2x^2 - x - 1]$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x + 1)(x - 1)$
$f'(x) = -2 e^{x(1-x)} (x + 1/2)(x - 1)$
દરેક $x \in R$ માટે $e^{x(1-x)} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $-(x + 1/2)(x - 1)$ પર આધાર રાખે છે.
$x \in [-1/2, 1]$ માટે,ગુણાકાર $(x + 1/2)(x - 1) \leq 0$ થાય છે.
તેથી,$-(x + 1/2)(x - 1) \geq 0$ થાય.
આમ,$x \in [-1/2, 1]$ માટે $f'(x) \geq 0$ છે.
તેથી,$f(x)$ એ $[-1/2, 1]$ પર વધતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^2 - x}{x^3 - x^2 + x - 1} dx$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x^2 + 1)(x - 1)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \frac{x(x - 1)}{(x^2 + 1)(x - 1)} dx$.
સામાન્ય પદ $(x - 1)$ ને દૂર કરતા: $I = \int \frac{x}{x^2 + 1} dx$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $I = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$.
ધારો કે $u = x^2 + 1$,તેથી $du = 2x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log |u| + c$.
કારણ કે $x^2 + 1 > 0$ દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે છે,તેથી: $I = \frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + c$.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -2a & a+b & a+c \\ b+a & -2b & b+c \\ c+a & b+c & -2c \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_3$ અને $C_2 \to C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -a+c & 2a+b+c & a+c \\ 2b+a+c & -b+c & b+c \\ a-c & b-c & -2c \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_3$ અને $R_2 \to R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2(a+b) & a-c \\ 2(a+b) & 0 & b-c \\ a-c & b-c & -2c \end{array} \right|$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 0 - 2(a+b) \left[ -4c(a+b) - (a-c)(b-c) \right] + (a-c) \left[ 2(a+b)(b-c) - 0 \right]$.
$\Delta = 8c(a+b)^2 + 2(a+b)(a-c)(b-c) + 2(a+b)(a-c)(b-c)$.
$\Delta = 8c(a+b)^2 + 4(a+b)(a-c)(b-c)$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ 2c(a+b) + (a-c)(b-c) \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ 2ac + 2bc + ab - ac - bc + c^2 \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ ac + bc + ab + c^2 \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ c(a+c) + b(a+c) \right]$.
$\Delta = 4(a+b)(b+c)(c+a)$.
$\alpha(a+b)(b+c)(c+a)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 4$ મળે છે.

(B) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો તમામ $a, b \in A$ માટે $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ થાય.
પ્રથમ,આપણે ગણ $A$ ના ઘટકો ઓળખીએ: $A = \{3, 4, 6, 8, 9\}$. ઘટકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
$A \times A$ માં ક્રમયુક્ત જોડીઓની કુલ સંખ્યા $n^2 = 5^2 = 25$ છે.
આ $25$ જોડીઓને નીચે મુજબ વર્ગીકૃત કરી શકાય:
$1$. $(a, a)$ સ્વરૂપની જોડીઓ: આવી $n = 5$ જોડીઓ છે: $(3, 3), (4, 4), (6, 6), (8, 8), (9, 9)$.
$2$. $(a, b)$ સ્વરૂપની જોડીઓ જ્યાં $a \neq b$: આવી $n^2 - n = 25 - 5 = 20$ જોડીઓ છે.
સંમિત સંબંધ માટે,જો $(a, b)$ નો સમાવેશ થાય,તો $(b, a)$ નો પણ સમાવેશ થવો જોઈએ. આ $20$ જોડીઓ $\{(a, b), (b, a)\}$ સ્વરૂપની $10$ જોડીઓ બનાવે છે.
દરેક $5$ વિકર્ણ જોડીઓ $(a, a)$ માટે,આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે (સમાવેશ કરવો અથવા ન કરવો).
દરેક $10$ જોડીઓ $\{(a, b), (b, a)\}$ માટે,આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે (બંનેનો સમાવેશ કરવો અથવા બંનેને બાકાત રાખવા).
આમ,સંમિત સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^5 \times 2^{10} = 2^{5+10} = 2^{15}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{d}{dx} G(x) = \frac{e^{\tan x}}{x}$,જ્યાં $x \in (0, \pi/2)$.
ધારો કે $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{2}{x} e^{\tan(\pi x^2)} dx$.
સંકલનની અંદર $\pi$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{2\pi x}{\pi x^2} e^{\tan(\pi x^2)} dx$.
ધારો કે $t = \pi x^2$. તેથી $dt = 2\pi x dx$.
જ્યારે $x = 1/4$,ત્યારે $t = \pi/16$. જ્યારે $x = 1/2$,ત્યારે $t = \pi/4$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \int_{\pi/16}^{\pi/4} \frac{e^{\tan t}}{t} dt$.
કારણ કે $\frac{d}{dt} G(t) = \frac{e^{\tan t}}{t}$,તેથી સંકલનનું મૂલ્ય $[G(t)]_{\pi/16}^{\pi/4} = G(\pi/4) - G(\pi/16)$ થશે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$ છે.
પદાવલિ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$2n+1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $2n+1 \equiv 0 \pmod{3}$,જેનો અર્થ થાય છે $2n \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$,તેથી $n \equiv 1 \pmod{3}$.
આપણે ગણ $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ માં $n$ ના એવા મૂલ્યો શોધવાના છે કે જેથી $n = 3k+1$ થાય,જ્યાં $k \ge 0$ પૂર્ણાંક છે.
$k=0$ માટે,$n=1$. $k=333$ માટે,$n=3(333)+1 = 1000$.
આમ,$k$ એ $0$ થી $333$ સુધીની કિંમતો લઈ શકે છે,જે કુલ $333 - 0 + 1 = 334$ મૂલ્યો આપે છે.
$n$ માટે શક્ય કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા $1000$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{334}{1000} = 0.334$ છે.

(D) આપેલ પ્રદેશ એ $x^2 + y^2 = 4$ વર્તુળ છે જેની ત્રિજ્યા $r = 2$ અને કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે. રેખા $y = x + 2$ એ $(-2, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે $I$ એ નાનો ભાગ છે અને $II$ એ વર્તુળનો મોટો ભાગ છે.
નાના ભાગ $I$ નું ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$I$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{0} [\sqrt{4 - x^2} - (x + 2)] dx$
$= [\frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{-2}^{0} - [\frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{0}$
$= [0 + 2 \sin^{-1}(0)] - [(-1) \sqrt{0} + 2 \sin^{-1}(-1)] - [0 - (\frac{4}{2} - 4)]$
$= [0 - 2(-\frac{\pi}{2})] - [0 - (-2)]$
$= \pi - 2$
હવે,મોટા ભાગ $II$ નું ક્ષેત્રફળ:
$II$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ} - I$ નું ક્ષેત્રફળ
$= 4\pi - (\pi - 2) = 3\pi + 2$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર:
$\frac{I \text{ નું ક્ષેત્રફળ}}{II \text{ નું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{\pi - 2}{3\pi + 2}$

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{0.9} [x - 2[x]] \, dx$.
અહીં $0 \le x < 0.9$ હોવાથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x] = 0$ થાય.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{0}^{0.9} [x - 2(0)] \, dx = \int_{0}^{0.9} [x] \, dx$.
અંતરાલ $[0, 0.9)$ માં $0 \le x < 0.9$ હોવાથી,$[x] = 0$ થાય.
તેથી,$I = \int_{0}^{0.9} 0 \, dx = 0$.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & ab & ac \\ ab & c^2 + a^2 & bc \\ ac & bc & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_1$ ને $a$ વડે,$C_2$ ને $b$ વડે અને $C_3$ ને $c$ વડે ગુણતા અને નિશ્ચાયકને $abc$ વડે ભાગતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a(b^2 + c^2) & ab^2 & ac^2 \\ a^2b & b(c^2 + a^2) & bc^2 \\ a^2c & b^2c & c(a^2 + b^2) \end{array} \right|$.
$R_1, R_2, R_3$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & b^2 & c^2 \\ a^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ a^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & b^2 & c^2 \\ a^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ a^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 - C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ -2c^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ -2b^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right| = -2 \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ c^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ b^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = -2 \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ c^2 & a^2 & 0 \\ b^2 & 0 & a^2 \end{array} \right| = -2 [ -b^2(c^2 a^2) + c^2(-a^2 b^2) ] = -2 [-a^2 b^2 c^2 - a^2 b^2 c^2] = 4a^2 b^2 c^2$.
તેથી $\Delta = k a^2 b^2 c^2$ હોવાથી $k = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int \left( \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \right) \sec^2 x \, dx$.
સંકલિતને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$f(x) = \int \frac{x^2 \sec^2 x + \sin^2 x \sec^2 x}{1 + x^2} \, dx$
કારણ કે $\sin^2 x \sec^2 x = \tan^2 x$,તેથી:
$f(x) = \int \frac{x^2 \sec^2 x + \tan^2 x}{1 + x^2} \, dx$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \int \frac{x^2(1 + \tan^2 x) + \tan^2 x}{1 + x^2} \, dx$
$f(x) = \int \frac{x^2 + x^2 \tan^2 x + \tan^2 x}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{x^2 + \tan^2 x(1 + x^2)}{1 + x^2} \, dx$
$f(x) = \int \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx + \int \tan^2 x \, dx$
$f(x) = \int \frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^2} \, dx + \int (\sec^2 x - 1) \, dx$
$f(x) = \int (1 - \frac{1}{1 + x^2}) \, dx + \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx$
$f(x) = x - \tan^{-1} x + \tan x - x + C = \tan x - \tan^{-1} x + C$
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \tan 0 - \tan^{-1} 0 + C$,તેથી $C = 0$.
આમ,$f(x) = \tan x - \tan^{-1} x$.
તેથી,$f(1) = \tan 1 - \tan^{-1}(1) = \tan 1 - \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x^2$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીશું:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$.
વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot x^2 = \int (x^2 \cdot x^2) dx + c$ મળે છે.
$y \cdot x^2 = \int x^4 dx + c$.
$y \cdot x^2 = \frac{x^5}{5} + c$.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,$y = \frac{x^3}{5} + cx^{-2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}$.
તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$.
$\cos \theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\tan^{-1} (\sin \theta) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ બને છે.
કારણ કે $\tan \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.