AIEEE 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે $\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$. $0 \le \alpha, \beta \le \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 \le \alpha + \beta \le \frac{\pi}{2}$,તેથી $\tan(\alpha + \beta) = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$. તેથી $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5}{12}$.
હવે,$\tan 2\alpha = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta))$.
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \times \frac{5}{12})} = \frac{14/12}{33/48} = \frac{56}{33}$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ શરત $|z - 1| = |z + 1| = |z - i|$ છે.
$|z - 1| = |z + 1|$ પરથી,આપણને $|x - 1 + iy| = |x + 1 + iy|$ મળે છે,જેનો અર્થ થાય છે $(x - 1)^2 + y^2 = (x + 1)^2 + y^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$,જેનું સાદું રૂપ $4x = 0$ થાય છે,તેથી $x = 0$.
હવે,$|z + 1| = |z - i|$ પરથી,આપણને $|x + 1 + iy| = |x + i(y - 1)|$ મળે છે,જેનો અર્થ થાય છે $(x + 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$.
$x = 0$ મૂકતા,આપણને $(0 + 1)^2 + y^2 = 0^2 + (y - 1)^2$ મળે છે.
$1 + y^2 = y^2 - 2y + 1$.
આનું સાદું રૂપ $-2y = 0$ થાય છે,તેથી $y = 0$.
આમ,શરતનું પાલન કરતી એકમાત્ર સંકર સંખ્યા $z = 0 + 0i = 0$ છે.
તેથી,આવી માત્ર $1$ સંકર સંખ્યા છે.

(C) પાત્ર $A$ માં $3$ અલગ-અલગ લાલ દડા છે. પાત્ર $A$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ છે.
પાત્ર $B$ માં $9$ અલગ-અલગ વાદળી દડા છે. પાત્ર $B$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ છે.
પાત્ર $A$ અને પાત્ર $B$ માંથી દડાની પસંદગી સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,આ સ્થાનાંતરણ કરવાની કુલ રીતો એ દરેક પાત્રમાંથી દડા પસંદ કરવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
કુલ રીતો $= ^3C_2 \times ^9C_2 = 3 \times 36 = 108$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} = 2^n$.
$s_1 = \sum_{j=2}^{10} j(j-1) \binom{10}{j} = \sum_{j=2}^{10} 10 \times 9 \binom{8}{j-2} = 90 \times 2^8$.
$s_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} = \sum_{j=1}^{10} 10 \binom{9}{j-1} = 10 \times 2^9$.
$s_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j} = \sum_{j=1}^{10} (j(j-1) + j) \binom{10}{j} = s_1 + s_2$.
$s_3 = 90 \times 2^8 + 10 \times 2^9 = 45 \times 2^9 + 10 \times 2^9 = 55 \times 2^9$.
વિધાનો સાથે સરખાવતા:
વિધાન $-1$ એ $55 \times 2^9$ છે,જે સાચું છે.
વિધાન $-2$ જણાવે છે કે $s_2 = 10 \times 2^8$,પરંતુ આપણને $s_2 = 10 \times 2^9$ મળ્યું છે,તેથી વિધાન $-2$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે અને વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(A) પ્રથમ $10$ મિનિટમાં ગણાયેલી નોટો $= 150 \times 10 = 1500$.
બાકી રહેલી નોટો $= 4500 - 1500 = 3000$.
ધારો કે પ્રથમ $10$ મિનિટ પછીના $n$ મિનિટ છે.
$11^{th}$ મિનિટથી ગણાયેલી નોટોની શ્રેણી એ $A.P.$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 148$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$3000 = \frac{n}{2}[2(148) + (n-1)(-2)]$.
$3000 = 149n - n^2$.
$n^2 - 149n + 3000 = 0$.
$(n - 24)(n - 125) = 0$.
અહીં $n = 125$ શક્ય નથી કારણ કે નોટોની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી,$n = 24$.
કુલ સમય $= 10 + 24 = 34$ મિનિટ.

(C) રેખા $L$ એ $(13, 32)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1$ $\Rightarrow \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$ $\Rightarrow b = -20$.
આમ,રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - y = 20$ થાય છે.
રેખા $K$ એ $L$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $4x - y = k$ સ્વરૂપમાં હશે.
રેખા $K$ નું સમીકરણ $\frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$ આપેલ છે,જેને $y = -\frac{3}{c}x + 3$ તરીકે લખી શકાય. $L$ નો ઢાળ $4$ હોવાથી,$K$ નો ઢાળ $-\frac{3}{c} = 4$ થશે,જેનો અર્થ છે $c = -\frac{3}{4}$.
$c$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $-4x + y = 3$ અથવા $4x - y = -3$ મળે છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$A = 4, B = -1, C_1 = -20, C_2 = 3$.
$d = \frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 4)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = \sqrt{4 + 16 + 5} = 5$ છે.
રેખા $3x - 4y - m = 0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $d < r$ હોવું જોઈએ.
$d = \frac{|3(2) - 4(4) - m|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10 - m|}{5} = \frac{|10 + m|}{5}$.
શરત મુજબ,$\frac{|10 + m|}{5} < 5 \implies |10 + m| < 25$.
તેથી,$-25 < 10 + m < 25 \implies -35 < m < 15$.

(D) પરવલયના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા (directrix) હોય છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -a$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y^2 = 4x$ માટે,$4a = 4$ છે,તેથી $a = 1$ મળે.
તેથી,નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -1$ થાય.
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $x = -1$ છે.

(D) કારણ કે $f(x)$ એ ધન વધતું વિધેય છે,$x > 0$ માટે,$f(x) < f(2x) < f(3x)$ થાય.
$f(x) > 0$ વડે ભાગતા,$1 < \frac{f(2x)}{f(x)} < \frac{f(3x)}{f(x)}$ મળે.
$x \to \infty$ લેતા,$\lim_{x \to \infty} 1 \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(3x)}{f(x)}$ થાય.
આપેલ છે કે $\lim_{x \to \infty} \frac{f(3x)}{f(x)} = 1$,તેથી સેન્ડવિચ પ્રમેય મુજબ,$1 \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} \le 1$ મળે.
તેથી,$\lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = 1$ થાય.

(A) આપેલ છે: $\sigma_{x}^{2} = 4$ અને $\sigma_{y}^{2} = 5$,જ્યાં $n_1 = 5$ અને $n_2 = 5$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = 2$ અને $\bar{y} = 4$ છે.
સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Sigma x_i^2 = n(\sigma_x^2 + \bar{x}^2) = 5(4 + 2^2) = 5(8) = 40$.
$\Sigma y_i^2 = n(\sigma_y^2 + \bar{y}^2) = 5(5 + 4^2) = 5(21) = 105$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{z} = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{10} = \frac{30}{10} = 3$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma_z^2 = \frac{\Sigma x_i^2 + \Sigma y_i^2}{n_1 + n_2} - (\bar{z})^2$.
$\sigma_z^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2$.
$\sigma_z^2 = \frac{145}{10} - 9 = 14.5 - 9 = 5.5 = \frac{11}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - x + 1 = 0$ છે.
$(x + 1)$ વડે ગુણતા,$(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^3 + 1 = 0$,તેથી $x^3 = -1$.
$\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણના બીજ હોવાથી,તેઓ $x^3 = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $\alpha^3 = -1$ અને $\beta^3 = -1$.
આપણે $\alpha^{2009} + \beta^{2009}$ શોધવાનું છે.
$\alpha^{2009} = (\alpha^3)^{669} \cdot \alpha^2 = (-1)^{669} \cdot \alpha^2 = -\alpha^2$.
તે જ રીતે,$\beta^{2009} = -\beta^2$.
આમ,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(\alpha^2 + \beta^2)$.
સમીકરણ $x^2 - x + 1 = 0$ પરથી,$\alpha + \beta = 1$ અને $\alpha\beta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
તેથી,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(-1) = 1$.

(C) $20$ માંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$ છે.
ધારો કે $A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d$ છે. $1 \le a$ અને $a+3d \le 20$ હોવાથી,$3d \le 20-a \le 19$,તેથી $d \le 6$ મળે.
ચોક્કસ $d$ માટે,$A.P.$ ની સંખ્યા $20-3d$ છે.
$d=1$ માટે: $20-3(1) = 17$.
$d=2$ માટે: $20-3(2) = 14$.
$d=3$ માટે: $20-3(3) = 11$.
$d=4$ માટે: $20-3(4) = 8$.
$d=5$ માટે: $20-3(5) = 5$.
$d=6$ માટે: $20-3(6) = 2$.
કુલ $A.P.s = 17+14+11+8+5+2 = 57$.
સંભાવના $= \frac{57}{4845} = \frac{1}{85}$.
વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ કહે છે કે સામાન્ય તફાવત $d$ ફક્ત $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5$ હોઈ શકે છે. જોકે,$d=6$ પણ શક્ય છે (દા.ત.,$1, 7, 13, 19$). તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(D) વિધાન $-1$ ચકાસવા માટે,આપણે સમતલ $x-y+z-5=0$ માં બિંદુ $B(1,3,4)$ નું પ્રતિબિંબ શોધીએ.
સૂત્ર $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = -2 \frac{1-3+4-5}{1^2+(-1)^2+1^2} = -2 \frac{-3}{3} = 2.$
આમ,$x-1=2 \Rightarrow x=3$,$y-3=-2 \Rightarrow y=1$,$z-4=2 \Rightarrow z=6$.
પ્રતિબિંબ $(3,1,6)$ મળે છે,જે બિંદુ $A$ છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ માટે,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{3+1}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{6+4}{2}) = (2,2,5)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ પર છે કે નહીં તે તપાસતા: $2-2+5 = 5$. તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને દુભાગે છે. તેથી,વિધાન $-2$ સાચું છે.
પ્રતિબિંબની વ્યાખ્યા મુજબ રેખાખંડ $AB$ સમતલને લંબ હોવો જોઈએ અને મધ્યબિંદુ સમતલ પર હોવું જોઈએ. વિધાન $-2$ એ મધ્યબિંદુની શરત પૂરી કરે છે,જે પ્રતિબિંબ હોવા માટેની આવશ્યક શરત છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ધારો કે રેખા $AB$ ના દિશા ખૂણાઓ $x, y, z$ અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}$ અને $\beta = 120^{\circ}$.
દિશા કોસાઇન વચ્ચેનો સંબંધ $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} 120^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\cos^{2} \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
અહીં $\theta = \gamma$ એ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$\gamma = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[0, \frac{3\pi}{2}]$ પર બે વિધેયોના તફાવતના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x - \sin x| dx$
જ્યાં $\cos x = \sin x$ થાય તેવા છેદબિંદુઓ $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{5\pi}{4}$ છે.
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} (\cos x - \sin x) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$1$) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$
$2$) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$3$) $\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} = (-1 + 0) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2}$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = (\sqrt{2} - 1) + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) = 4\sqrt{2} - 2$.

(A) આપેલ છે કે $p'(x) = p'(1 - x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $p(x) = -p(1 - x) + C$ મળે છે.
$x = 0$ લેતા,$p(0) = -p(1) + C$.
આપેલ કિંમતો $p(0) = 1$ અને $p(1) = 41$ મૂકતા,$1 = -41 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 42$.
આમ,$p(x) + p(1 - x) = 42$.
ધારો કે $I = \int_{0}^{1} p(x) dx$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I = \int_{0}^{1} p(1 - x) dx$ મળે છે.
$I$ ના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2I = \int_{0}^{1} (p(x) + p(1 - x)) dx$.
$p(x) + p(1 - x) = 42$ મૂકતા,$2I = \int_{0}^{1} 42 dx = 42[x]_{0}^{1} = 42$.
તેથી,$I = 21$.

(C) $3 \times 3$ નો શ્રેણિક જેમાં ચાર $1$ અને પાંચ $0$ હોય તે અ-શૂન્ય (non-singular) ત્યારે જ કહેવાય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય.
નીચે મુજબના શ્રેણિકો ધ્યાનમાં લો:
$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ c & 1 & d \\ e & f & 1 \end{bmatrix}$
જ્યાં $\{a, b, c, d, e, f\}$ માંથી બરાબર એક ઘટક $1$ છે અને બાકીના $0$ છે. આવા શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $1 - (\text{બે ઘટકોનો ગુણાકાર})$ થાય. માત્ર એક જ ઘટક $1$ હોવાથી,ગુણાકાર $0$ થશે,તેથી નિશ્ચાયક $1 \neq 0$ મળે. આવા $6$ શ્રેણિકો છે.
વધુમાં,આ શ્રેણિક ધ્યાનમાં લો:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
તેનો નિશ્ચાયક $1(0-0) - 0(0-0) + 1(0-1) = -1 \neq 0$ છે. આ પણ એક અ-શૂન્ય શ્રેણિક છે.
આમ,આવા ઓછામાં ઓછા $6 + 1 = 7$ શ્રેણિકો મળે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^2 = I$,તેથી:
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$b(a+d) = 0$ પરથી,કારણ કે $b \neq 0$,આપણને $a+d = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d = -a$.
આમ,$tr(A) = a + d = a - a = 0$. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
હવે,$|A| = ad - bc = a(-a) - bc = -(a^2 + bc)$.
શ્રેણિક ગુણાકાર પરથી,$a^2 + bc = 1$,તેથી $|A| = -1$.
તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(A) આપેલ છે કે $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $g(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot \frac{d}{dx}[f(2f(x) + 2)]$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot \frac{d}{dx}(2f(x) + 2)$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot 2f'(x)$
$g'(x) = 4[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot f'(x)$
હવે,$x = 0$ મૂકતા:
$g'(0) = 4[f(2f(0) + 2)] \cdot f'(2f(0) + 2) \cdot f'(0)$
આપેલ છે કે $f(0) = -1$ અને $f'(0) = 1$:
$g'(0) = 4[f(2(-1) + 2)] \cdot f'(2(-1) + 2) \cdot f'(0)$
$g'(0) = 4[f(0)] \cdot f'(0) \cdot f'(0)$
$g'(0) = 4(-1) \cdot (1) \cdot (1) = -4$.

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}} = \frac{e^x}{e^{2x} + 2}$.
વિધેયનો વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધીએ.
$f'(x) = \frac{e^x(e^{2x} + 2) - e^x(2e^{2x})}{(e^{2x} + 2)^2} = \frac{e^x(2 - e^{2x})}{(e^{2x} + 2)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$e^{2x} = 2$,તેથી $e^x = \sqrt{2}$.
મહત્તમ કિંમત $f(\ln \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે.
$e^x + 2e^{-x} > 0$ હોવાથી,$f(x) > 0$. આમ,$0 < f(x) \le \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
વિધાન-$2$ કહે છે કે $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$,જે ખોટું છે કારણ કે $f(x)$ એ $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ કિંમત ધારણ કરે છે.
વિધાન-$1$ માટે,આપણે તપાસીએ કે શું $\frac{1}{3}$ એ વિસ્તાર $(0, \frac{1}{2\sqrt{2}}]$ માં છે.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,$2\sqrt{2} \approx 2.828$. તેથી $\frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.353$.
$\frac{1}{3} \approx 0.333$ હોવાથી,$0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,એવું $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(c) = \frac{1}{3}$.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x + \frac{4}{x^{2}}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{8}{x^{3}}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $0$ થાય:
$1 - \frac{8}{x^{3}} = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{8}{x^{3}} = 1 \Rightarrow x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2$.
હવે,મૂળ વક્રના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકીને અનુરૂપ $y$-યામ શોધો:
$y = 2 + \frac{4}{2^{2}} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.
સ્પર્શબિંદુ $(2, 3)$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે. સ્પર્શબિંદુનો $y$-યામ મૂકતા,આપણને $y = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$
બંને બાજુ $\cos x \, dx$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = -y^2 \sec x$
$y^2$ વડે ભાગતા:
$y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} \tan x = -\sec x \quad \dots(1)$
ધારો કે $v = y^{-1} = \frac{1}{y}$. તેથી $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,અથવા $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા:
$-\frac{dv}{dx} - v \tan x = -\sec x$
$\frac{dv}{dx} + v \tan x = \sec x$
આ $\frac{dv}{dx} + Pv = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P \, dx} = e^{\int \tan x \, dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $v \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + c$ છે.
$v \sec x = \int \sec x \cdot \sec x \, dx + c$
$v \sec x = \int \sec^2 x \, dx + c$
$v \sec x = \tan x + c$
$v = \frac{1}{y}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{1}{y} \sec x = \tan x + c$
$\sec x = y(\tan x + c)$

(D) ધારો કે $\vec{b} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
આપેલ છે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$,જ્યાં $\vec{a} = 0\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k}$.
તેથી,$(0)(x) + (1)(y) + (-1)(z) = 3 \Rightarrow y - z = 3 \quad \dots(1)$.
વળી,$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{c} = -(\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}) = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z + y)\vec{i} - (z)\vec{j} - (x)\vec{k}$.
સરખાવતા,$z + y = -1$,$-z = 1 \Rightarrow z = -1$,$-x = 1 \Rightarrow x = -1$.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા,$y - (-1) = 3 \Rightarrow y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2$.
પરંતુ,વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $\vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(-2) = 1 + 2 = 3$. (સાચું)
$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = -\vec{c}$. (સાચું)
તેથી,સાચો જવાબ $-\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$ છે.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{c} = \alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}$ છે.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ માટે: $(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}) = \alpha - 1 + 2\beta = 0 \implies \alpha + 2\beta = 1$ (સમીકરણ $1$).
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ માટે: $(2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}) = 2\alpha + 4 + \beta = 0 \implies 2\alpha + \beta = -4$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,$\beta = -4 - 2\alpha$. આ કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$\alpha + 2(-4 - 2\alpha) = 1 \implies \alpha - 8 - 4\alpha = 1 \implies -3\alpha = 9 \implies \alpha = -3$.
$\alpha = -3$ ને $\beta = -4 - 2\alpha$ માં મૂકતા: $\beta = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (-3, 2)$.