AIEEE 2005 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$.
यह शर्त दर्शाती है कि सम्मिश्र संख्याएँ ${z_1}$ और ${z_2}$ सम्मिश्र तल में मूल बिंदु से निकलने वाली एक ही किरण पर स्थित हैं।
माना ${z_1} = {r_1}(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})$ और ${z_2} = {r_2}(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})$।
तब $|{z_1} + {z_2}|^2 = (|{z_1}| + |{z_2}|)^2 = |{z_1}|^2 + |{z_2}|^2 + 2|{z_1}||{z_2}|$।
साथ ही,$|{z_1} + {z_2}|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$।
इनकी तुलना करने पर,$2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2|z_1||z_2|$,जिसका अर्थ है कि $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 1$।
अतः,$\theta_1 - \theta_2 = 0$,जो दर्शाता है कि $\text{arg}({z_1}) - \text{arg}({z_2}) = 0$।

(A) दिया गया है $|w| = 1$,इसलिए $\left| \frac{z}{z - \frac{i}{3}} \right| = 1$.
इसका अर्थ है $|z| = |z - \frac{i}{3}|$.
माना $z = x + iy$. तब $|x + iy| = |x + i(y - \frac{1}{3})|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + y^2 = x^2 + (y - \frac{1}{3})^2$.
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}$.
$0 = -\frac{2}{3}y + \frac{1}{9}$ $\Rightarrow \frac{2}{3}y = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow y = \frac{1}{6}$.
यह सम्मिश्र तल में एक क्षैतिज सीधी रेखा $y = \frac{1}{6}$ को दर्शाता है।
अतः,$z$ एक सीधी रेखा पर स्थित है।

(B) दिया गया समीकरण $(x - 1)^3 + 8 = 0$ है।
इसे $(x - 1)^3 = -8$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$x - 1 = (-8)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,इसलिए $-8$ के घनमूल $-2, -2\omega, -2\omega^2$ होंगे।
अतः,$x - 1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$x = 1 - 2, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,मूल $-1, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ हैं।

(C) दिया गया है कि $x = 1 + a + a^2 + \dots = \frac{1}{1-a}$,$y = 1 + b + b^2 + \dots = \frac{1}{1-b}$,और $z = 1 + c + c^2 + \dots = \frac{1}{1-c}$ जहाँ $|a|, |b|, |c| < 1$ है।
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
प्रत्येक पद को $1$ से घटाने पर,$1-a, 1-b, 1-c$ भी $A.P.$ में होंगे क्योंकि $(1-a) + (1-c) = 2 - (a+c) = 2 - 2b = 2(1-b)$ है।
चूंकि $1-a, 1-b, 1-c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{1-a}, \frac{1}{1-b}, \frac{1}{1-c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में होंगे।
अतः,$x, y, z$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(A) माना कि मूल $\alpha$ और $\alpha + 1$ हैं।
अतः,मूलों का योग $\alpha + (\alpha + 1) = 2\alpha + 1 = b$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha(\alpha + 1) = c$ है।
अब,हम विविक्तकर $b^2 - 4c$ की गणना करते हैं:
$b^2 - 4c = (2\alpha + 1)^2 - 4\alpha(\alpha + 1)$
$= 4\alpha^2 + 4\alpha + 1 - 4\alpha^2 - 4\alpha$
$= 1$.
अतः,$b^2 - 4c = 1$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ है।
दोनों मूलों के $5$ से कम होने के लिए निम्नलिखित शर्तें आवश्यक हैं:
$1$. विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = 20 - 4k \ge 0 \Rightarrow k \le 5$.
$2$. $f(5) > 0$:
$f(5) = k^2 - 9k + 20 > 0 \Rightarrow k \in (-\infty, 4) \cup (5, \infty)$.
$3$. शीर्ष की स्थिति: $-\frac{b}{2a} < 5$:
$k < 5$.
तीनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$k \in (-\infty, 4)$ प्राप्त होता है।

(C) $SACHIN$ शब्द के अक्षरों का वर्णानुक्रम $A, C, H, I, N, S$ है।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$C$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$I$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$N$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$S$ से शुरू होने वाले शब्दों से पहले कुल शब्द $5 \times 120 = 600$ हैं।
शब्दकोश में अगला शब्द $S$ से शुरू होने वाला पहला शब्द है,जो कि $SACHIN$ है।
अतः,$SACHIN$ का क्रमांक $600 + 1 = 601$ है।

(B) हमें दिया गया व्यंजक $S = {}^{50}C_4 + \sum_{r=1}^{6} {}^{56-r}C_3$ है।
योगफल का विस्तार करने पर,$S = {}^{50}C_4 + ({}^{55}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{52}C_3 + {}^{51}C_3 + {}^{50}C_3)$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$S = ({}^{50}C_4 + {}^{50}C_3) + {}^{51}C_3 + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3$।
पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,${}^{50}C_4 + {}^{50}C_3 = {}^{51}C_4$ होता है।
अब,$S = ({}^{51}C_4 + {}^{51}C_3) + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3 = {}^{52}C_4 + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3$।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,$S = {}^{56}C_4$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $(1 + x)^n$ के विस्तार में $p^{th}$,$(p + 1)^{th}$ और $(p + 2)^{th}$ पदों के गुणांक $^nC_{p-1}$,$^nC_p$ और $^nC_{p+1}$ हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $2(^nC_p) = ^nC_{p-1} + ^nC_{p+1}$ होगा।
इस समीकरण को सरल करने पर $n^2 - n(4p + 1) + 4p^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
सत्यापन: यदि $p = 1$ लें,तो $^nC_0, ^nC_1, ^nC_2$ $A.P.$ में हैं।
$2(^nC_1) = ^nC_0 + ^nC_2$ $\Rightarrow 2n = 1 + \frac{n(n-1)}{2}$ $\Rightarrow n^2 - 5n + 2 = 0$.
विकल्प $(b)$ में $p=1$ रखने पर $n^2 - 5n + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सही है।

(A) द्विपद प्रसार $(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2$ का उपयोग करने पर:
$(1+x)^{3/2} \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2$
$(1 + \frac{1}{2}x)^3 \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x^2$
अंश का मान: $(1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2) - (1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x^2) = -\frac{3}{8}x^2$
हर $(1-x)^{1/2} \approx 1$ लेने पर,अंतिम उत्तर $-\frac{3}{8}x^2$ प्राप्त होता है।

(A) ${\left( {a{x^2} + \frac{1}{{bx}}} \right)^{11}}$ के विस्तार में,सामान्य पद ${T_{r + 1}} = {}^{11}{C_r}{(a{x^2})^{11 - r}}{\left( {\frac{1}{{bx}}} \right)^r} = {}^{11}{C_r}{a^{11 - r}}{b^{ - r}}{x^{22 - 3r}}$ है।
$x^7$ के लिए,$22 - 3r = 7$ रखने पर,$r = 5$ प्राप्त होता है। गुणांक ${}^{11}{C_5}{a^6}{b^{ - 5}}$ है।
${\left( {ax - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ के विस्तार में,सामान्य पद ${T_{r + 1}} = {}^{11}{C_r}{(ax)^{11 - r}}{\left( { - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^r} = {}^{11}{C_r}{( - 1)^r}{a^{11 - r}}{b^{ - r}}{x^{11 - 3r}}$ है।
$x^{ - 7}$ के लिए,$11 - 3r = -7$ रखने पर,$r = 6$ प्राप्त होता है। गुणांक ${}^{11}{C_6}{( - 1)^6}{a^5}{b^{ - 6}} = {}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 6}}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: ${}^{11}{C_5}{a^6}{b^{ - 5}} = {}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 6}}$।
${}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 5}}$ से भाग देने पर,$a = 1/b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $ab = 1$।

(B) $\cosh(x)$ का विस्तार $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots \infty$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई श्रेणी को $1 + \frac{(1/2)^2}{2!} + \frac{(1/2)^4}{4!} + \frac{(1/2)^6}{6!} + \dots \infty$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $\cosh(x)$ के विस्तार से करने पर,हम $x = \frac{1}{2}$ रखते हैं।
अतः,योग $\frac{e^{1/2} + e^{-1/2}}{2} = \frac{\sqrt{e} + \frac{1}{\sqrt{e}}}{2} = \frac{e + 1}{2\sqrt{e}}$ है।

(A) $\triangle PQR$ में,$\angle R = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $P + Q = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\tan(\frac{P}{2})$ और $\tan(\frac{Q}{2})$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए:
मूलों का योग: $\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2}) = -\frac{b}{a}$
मूलों का गुणनफल: $\tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2}) = \frac{c}{a}$
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2})}{1 - \tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2})} = 1$
मूलों का योग और गुणनफल रखने पर:
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b/a}{(a-c)/a} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$.

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ से शीर्षलंब क्रमशः $h_a, h_b, h_c$ हैं।
हम जानते हैं कि $h_a = \frac{2\Delta}{a}$,$h_b = \frac{2\Delta}{b}$,और $h_c = \frac{2\Delta}{c}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि $h_a, h_b, h_c$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ $H.P.$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $H.P.$ में हैं।
अतः,$a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ है।
अतः,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2R \sin A, 2R \sin B, 2R \sin C$ भी $A.P.$ में होंगे।
अतः,$\sin A, \sin B, \sin C$ $A.P.$ में हैं।

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle C = \frac{\pi}{2}$ है,कर्ण $c = AB$ है।
परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की आधी होती है,इसलिए $R = \frac{c}{2}.$
अंतःत्रिज्या $r$ का मान $r = \frac{\Delta}{s}$ होता है,जहाँ $\Delta = \frac{1}{2}ab$ और $s = \frac{a + b + c}{2}$ है।
अतः,$r = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{1}{2}(a + b + c)} = \frac{ab}{a + b + c}.$
अब,$r + R = \frac{ab}{a + b + c} + \frac{c}{2} = \frac{2ab + c(a + b + c)}{2(a + b + c)}.$
चूँकि $c^2 = a^2 + b^2,$ इसलिए $2ab + c(a + b + c) = 2ab + ca + cb + c^2 = 2ab + ca + cb + a^2 + b^2 = (a + b)^2 + c(a + b) = (a + b)(a + b + c).$
इसलिए,$r + R = \frac{(a + b)(a + b + c)}{2(a + b + c)} = \frac{a + b}{2}.$
अतः,$2(r + R) = a + b.$

(A) माना शीर्ष $A = (1, 1)$ है। भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य बिंदु क्रमशः $M_1 = (-1, 2)$ और $M_2 = (3, 2)$ हैं।
चूंकि $M_1$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\frac{A+B}{2} = M_1 \implies B = 2M_1 - A = 2(-1, 2) - (1, 1) = (-3, 3)$।
चूंकि $M_2$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\frac{A+C}{2} = M_2 \implies C = 2M_2 - A = 2(3, 2) - (1, 1) = (5, 3)$।
त्रिभुज के शीर्षों $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ के लिए केंद्रक $G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ होता है।
$G = \left( \frac{1 - 3 + 5}{3}, \frac{1 + 3 + 3}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{7}{3} \right) = \left( 1, \frac{7}{3} \right)$।

(C) माना $P = (1, 0)$ और $Q = (h, k)$ परवलय $y^2 = 8x$ पर एक बिंदु है,इसलिए $k^2 = 8h$ है।
माना $(x, y)$ $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
तब $x = \frac{h + 1}{2}$ और $y = \frac{k + 0}{2}$ है।
इसका अर्थ है $h = 2x - 1$ और $k = 2y$ है।
इन मानों को $k^2 = 8h$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2y)^2 = 8(2x - 1)$
$4y^2 = 16x - 8$
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $y^2 = 4x - 2$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - 4x + 2 = 0$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} - \frac{2}{b} = 0$ $... (i)$
रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{1}{c} = 0$ है $... (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $\frac{1}{a}(x) + \frac{1}{c}(1) + \frac{1}{b}(y) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण $(i)$ से,हम जानते हैं कि $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$। इस मान को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) = 0$
पदों को $\frac{1}{a}$ और $\frac{1}{b}$ के अनुसार व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{a}(x - 1) + \frac{1}{b}(y + 2) = 0$
यह समीकरण सभी $a, b, c$ के लिए सत्य हो,इसके लिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$
अतः,निश्चित बिंदु $(1, -2)$ है।

(C) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$ax + 2by = -3b$ $(1)$
$bx - 2ay = 3a$ $(2)$
$(1)$ को $a$ से और $(2)$ को $b$ से गुणा करने पर:
$a^2x + 2aby = -3ab$
$b^2x - 2aby = 3ab$
जोड़ने पर: $(a^2 + b^2)x = 0$. चूँकि $(a, b) \ne (0, 0)$,$a^2 + b^2 \ne 0$,इसलिए $x = 0$.
$x = 0$ को $(1)$ में रखने पर: $2by = -3b$. यदि $b \ne 0$ है,तो $y = -3/2$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -3/2)$ है।
$x$-अक्ष के समांतर रेखा का रूप $y = k$ होता है। चूँकि यह $(0, -3/2)$ से गुजरती है,रेखा $y = -3/2$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष के नीचे $3/2$ इकाई की दूरी पर है।

(B) रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$h = a + b$,इसलिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{a^2 + ab + b^2}}{a + b} \right|$.
रेखाएँ वृत्त को $\theta$ और $\pi - \theta$ कोण वाले चार त्रिज्यखंडों में विभाजित करती हैं।
दिया गया है कि एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल दूसरे का तीन गुना है,इसलिए $\pi - \theta = 3\theta$,जिसका अर्थ है $4\theta = \pi$,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{4}$.
इसलिए,$\tan^2 \theta = \tan^2(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$\frac{4(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)^2} = 1$.
$4a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$3a^2 + 2ab + 3b^2 = 0$.

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह वृत्त $x^2 + y^2 = p^2$ को लंबकोणीय काटता है,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ से $2g(0) + 2f(0) = c - p^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = p^2$।
चूंकि वृत्त $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए $a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + p^2 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है। माना केंद्र $(x, y)$ है,इसलिए $g = -x$ और $f = -y$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $a^2 + b^2 + 2(-x)a + 2(-y)b + p^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $2ax + 2by - (a^2 + b^2 + p^2) = 0$ में सरल हो जाता है।

(D) उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ का समीकरण दोनों वृत्तों के समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2 + y^2 + 2ax + cy + a) - (x^2 + y^2 - 3ax + dy - 1) = 0$।
यह सरल होकर $5ax + (c - d)y + (a + 1) = 0$ हो जाता है.....$(i)$
$P$ और $Q$ से गुजरने वाली रेखा का दिया गया समीकरण $5x + by - a = 0$ है.....$(ii)$
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए उनके गुणांक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{5a}{5} = \frac{c - d}{b} = \frac{a + 1}{-a}$
पहले और तीसरे भाग से: $a = \frac{a + 1}{-a}$
$-a^2 = a + 1$
$a^2 + a + 1 = 0$
द्विघात समीकरण $a^2 + a + 1 = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = -3$ है।
चूंकि $D < 0$,इसलिए $a$ का कोई वास्तविक मान मौजूद नहीं है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है।
यह वृत्त $(0, 3)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाले वृत्त को भी स्पर्श करता है।
केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है: $\sqrt{(h - 0)^2 + (k - 3)^2} = r + 2$.
$r = |k|$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $\sqrt{h^2 + (k - 3)^2} = |k| + 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $h^2 + (k - 3)^2 = (|k| + 2)^2$.
$h^2 + k^2 - 6k + 9 = k^2 + 4|k| + 4$.
$h^2 = 4|k| + 6k + 5$.
यदि $k > 0$ है,तो $h^2 = 10k + 5 = 10(k + 0.5)$,जो एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,केंद्र $(x, y)$ का बिंदुपथ $x^2 = 10y + 5$ है।

(C) दिया गया है $\angle F'BF = 90^\circ$,जिसका अर्थ है $F'B \perp FB$.
बिंदुओं के निर्देशांक $B(0, b)$,$F(ae, 0)$,और $F'(-ae, 0)$ हैं।
$FB$ की ढाल $m_1 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ है।
$F'B$ की ढाल $m_2 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ है।
चूंकि $F'B \perp FB$,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \implies b^2 = a^2e^2$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
इस समीकरण में $b^2 = a^2e^2$ रखने पर:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ दी गई रेखा $y = \alpha x + \beta$ के लिए,$m = \alpha$ और $c = \beta$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर,हमें $\beta^2 = a^2\alpha^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = a^2x^2 - b^2$ प्राप्त होता है,जिसे $a^2x^2 - y^2 = b^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(B) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - (a - 2)x - a + 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = a - 2$ और $\alpha \beta = -a + 1$ प्राप्त होता है।
माना $S$ मूलों के वर्गों का योग है,अतः $S = \alpha^2 + \beta^2$ है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$S = (a - 2)^2 - 2(-a + 1)$
$S = a^2 - 4a + 4 + 2a - 2$
$S = a^2 - 2a + 2$ प्राप्त होता है।
$S$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dS}{da} = 2a - 2$ है।
$\frac{dS}{da} = 0$ रखने पर,$2a - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 1$ है।
चूंकि $\frac{d^2S}{da^2} = 2 > 0$ है,इसलिए फलन $S$ का मान $a = 1$ पर न्यूनतम है।
अतः,$a$ का मान $1$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
चूंकि आयत दीर्घवृत्त के अंतर्गत है,इसके शीर्ष $(a \cos \theta, b \sin \theta)$,$(-a \cos \theta, b \sin \theta)$,$(-a \cos \theta, -b \sin \theta)$ और $(a \cos \theta, -b \sin \theta)$ हैं।
आयत की लंबाई $2a \cos \theta$ और चौड़ाई $2b \sin \theta$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2a \cos \theta) \times (2b \sin \theta) = 4ab \sin \theta \cos \theta = 2ab \sin 2\theta$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम होने के लिए,$\sin 2\theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,अर्थात $\sin 2\theta = 1$।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $2ab(1) = 2ab$ है।

(A) दिया गया है $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6}$ और $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$।
चूँकि $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
हम जानते हैं कि $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)]$।
मान रखने पर: $\frac{1}{6} = 1 - [\frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}] = 1 - [\frac{1}{2} + P(B)] = \frac{1}{2} - P(B)$।
अतः,$P(B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
अब,स्वतंत्रता की जाँच: $P(A) \times P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$।
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{4}$,घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
चूँकि $P(A) = \frac{3}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,इसलिए वे समान रूप से संभावित नहीं हैं।
अतः,घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं लेकिन समान रूप से संभावित नहीं हैं।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी प्रेक्षणों के समूह के लिए,रूट मीन स्क्वायर,अंकगणितीय माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात $RMS \ge AM$।
$\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}} \ge \frac{\sum x_i}{n}$
दिए गए मान $\sum x_i^2 = 400$ और $\sum x_i = 80$ रखने पर:
$\sqrt{\frac{400}{n}} \ge \frac{80}{n}$
$\frac{20}{\sqrt{n}} \ge \frac{80}{n}$
$\frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{4}{n}$
$\sqrt{n} \ge 4$
$n \ge 16$
दिए गए विकल्पों में से,$16$ से बड़ा या उसके बराबर एकमात्र मान $18$ है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) हम जानते हैं कि माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का अनुभवजन्य संबंध इस प्रकार है:
बहुलक = $3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$
यहाँ,माध्य = $21$ और माध्यिका = $22$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
बहुलक = $3(22) - 2(21)$
बहुलक = $66 - 42$
बहुलक = $24$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6} \implies P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
दिया गया है $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ और $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) \implies P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें: $P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$.
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,घटनाएँ स्वतंत्र हैं।
चूँकि $P(A) = \frac{3}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,इसलिए वे समान रूप से संभावित नहीं हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ है।
हमें $L = \lim_{x \to \alpha} \frac{1 - \cos(ax^2 + bx + c)}{(x - \alpha)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{x \to \alpha} \frac{2 \sin^2(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{(x - \alpha)^2}$.
$(\frac{a(x - \beta)}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = 2 \lim_{x \to \alpha} \left[ \frac{\sin(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2}} \right]^2 \cdot \frac{a^2(x - \beta)^2}{4}$.
चूंकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,जैसे ही $x \to \alpha$,कोष्ठक में पद $1$ हो जाता है।
$L = 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{a^2(\alpha - \beta)^2}{4} = \frac{a^2}{2}(\alpha - \beta)^2$.

(A) प्रत्येक $3$ व्यक्ति स्वतंत्र रूप से $3$ घरों में से किसी एक को चुन सकते हैं।
$3$ व्यक्तियों द्वारा घरों को चुनने के कुल तरीके $= 3 \times 3 \times 3 = 27$ हैं।
तीनों व्यक्तियों के एक ही घर के लिए आवेदन करने के लिए,उन्हें या तो घर $1$,या घर $2$,या घर $3$ चुनना होगा।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ है।

(C) $1$. स्वतुल्यता की जाँच: समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। यहाँ,$(3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता की जाँच: संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो। यहाँ,$(3, 6) \in R$ है,लेकिन $(6, 3) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता की जाँच: संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो। युग्मों की जाँच करने पर: $(3, 6) \in R$ और $(6, 12) \in R \implies (3, 12) \in R$ (उपस्थित है)। ऐसे सभी संयोजन शर्त को पूरा करते हैं। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: यह संबंध केवल स्वतुल्य और संक्रामक है।

(D) माना $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x$.
चूंकि $f(0) = 0$ और $f(\alpha) = 0$,जहाँ $\alpha > 0$,फलन $f(x)$ अंतराल $[0, \alpha]$ पर रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,अवकलज $f'(x) = 0$ का कम से कम एक मूल विवृत अंतराल $(0, \alpha)$ में स्थित होगा।
अवकलज $f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$ है।
अतः,समीकरण $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ का एक धनात्मक मूल $\alpha$ से छोटा होगा।

(B) दिया गया है $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$.
स्तंभ संक्रिया ${C_1} \to {C_1} + {C_2} + {C_3}$ लागू करने पर,पहला स्तंभ निम्न हो जाता है:
${C_1} = \begin{bmatrix} 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \\ 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \\ 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \end{bmatrix}$.
चूंकि ${a^2} + {b^2} + {c^2} = -2$,इसलिए ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 = 0$ है।
अतः,पहला स्तंभ $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ हो जाता है।
$f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\1&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\1&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$.
अब पंक्ति संक्रिया ${R_2} \to {R_2} - {R_1}$ और ${R_3} \to {R_3} - {R_1}$ लागू करने पर:
$f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\0&{1 - x}&0\\0&0&{1 - x}\end{array}} \right|$.
पहले स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें $f(x) = (1 - x)(1 - x) = {(1 - x)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः $f(x) = {(1 - x)^2} = {x^2} - 2x + 1$,जो $2$ घात का बहुपद है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने या अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\alpha(\alpha^2 - 1) - 1(\alpha - 1) + 1(1 - \alpha) = 0$
$(\alpha - 1)^2(\alpha + 2) = 0$
अतः,$\alpha = 1$ या $\alpha = -2$ है।
यदि $\alpha = 1$ है,तो समीकरण $x + y + z = 0$ बन जाते हैं,जिसके अनंत हल होते हैं।
यदि $\alpha = -2$ है,तो समीकरण:
$-2x + y + z = -3$
$x - 2y + z = -3$
$x + y - 2z = -3$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर $0 = -9$ प्राप्त होता है,जो कि एक विरोधाभास है। अतः,$\alpha = -2$ के लिए कोई हल नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण: ${A^2} - A + I = 0$
$I$ को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = A - {A^2}$
दाहिनी ओर से $A$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = A(I - A)$
दोनों पक्षों को बाईं ओर से ${A^{-1}}$ से गुणा करने पर:
${A^{-1}}I = {A^{-1}}A(I - A)$
चूंकि ${A^{-1}}A = I$ और ${A^{-1}}I = {A^{-1}}$ होता है:
${A^{-1}} = I(I - A)$
अतः:
${A^{-1}} = I - A$

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अवलोकन से,सभी $n \ge 1$ के लिए $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अब,$nA - (n - 1)I$ का मान ज्ञात करें:
$nA = n \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 \\ n & n \end{bmatrix}$.
$(n - 1)I = (n - 1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n - 1 & 0 \\ 0 & n - 1 \end{bmatrix}$.
$nA - (n - 1)I = \begin{bmatrix} n - (n - 1) & 0 - 0 \\ n - 0 & n - (n - 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^n = nA - (n - 1)I$ सत्य है।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$ है।
मान लीजिए $\cos^{-1} x = A$ और $\cos^{-1} \frac{y}{2} = B$ है।
अतः $x = \cos A$ और $\frac{y}{2} = \cos B$,जिससे $y = 2 \cos B$ प्राप्त होता है।
समीकरण $A - B = \alpha$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर: $\cos(A - B) = \cos \alpha$।
सूत्र $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - (\frac{y}{2})^2} = \cos \alpha$।
$\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha - \frac{xy}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - x^2)(1 - \frac{y^2}{4}) = (\cos \alpha - \frac{xy}{2})^2$।
$1 - \frac{y^2}{4} - x^2 + \frac{x^2 y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha + \frac{x^2 y^2}{4}$।
$1 - x^2 - \frac{y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha$।
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$4 - 4x^2 - y^2 = 4 \cos^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos^2 \alpha$।
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4(1 - \cos^2 \alpha)$।
चूंकि $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$,इसलिए:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin^2 \alpha$।

(B) चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{BC}$.
$\triangle PAC$ और $\triangle PBC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर:
$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CA}$
$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CB}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CB})$
$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PC} + (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{CB}$ होगा,अतः $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 0$.
इसलिए,$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PC}$.

(B) माना कि $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$.
अतः,$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$.
अब,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{i} = a_1(\hat{i} \times \hat{i}) + a_2(\hat{j} \times \hat{i}) + a_3(\hat{k} \times \hat{i}) = 0 - a_2\hat{k} + a_3\hat{j}$.
इसलिए,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = |a_3\hat{j} - a_2\hat{k}|^2 = a_3^2 + a_2^2$.
इसी प्रकार,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = |a_1\hat{k} - a_3\hat{i}|^2 = a_1^2 + a_3^2$.
और,$|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = |a_2\hat{i} - a_1\hat{j}|^2 = a_2^2 + a_1^2$.
इन तीनों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_3^2 + a_2^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_2^2 + a_1^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 2|\vec{a}|^2$.

(B) चूंकि सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 1 & -1 & 1 \\ c & 0 & b \end{vmatrix} = 0$
दूसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-1) \begin{vmatrix} a & c \\ c & b \end{vmatrix} = 0$
$ab - c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
अतः,$c = \sqrt{ab}$,जो $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है।

(C) अदिश त्रिगुणन $[a\,b\,c]$ सदिशों $a$, $b$, और $c$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1 - x \\ y & x & 1 + x - y \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_3 \to C_3 + C_1$ लागू करने पर:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1 + x \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$[a\,b\,c] = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1 + x \end{vmatrix} - 0 + 0 = (1 + x) - x = 1$.
चूंकि परिणाम एक स्थिरांक $1$ है, इसलिए $[a\,b\,c]$ का मान $x$ या $y$ पर निर्भर नहीं करता है।

(D) दिया गया समीकरण: $[\lambda(a + b), \lambda^2 b, \lambda c] = [a, b + c, b]$
अदिश त्रिक गुणनफल $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ के गुण का उपयोग करते हुए:
$\lambda(a + b) \cdot (\lambda^2 b \times \lambda c) = a \cdot ((b + c) \times b)$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$\lambda(a + b) \cdot (\lambda^3 (b \times c)) = \lambda^4 (a \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times c))$
चूंकि $b \times b = 0$,यह $\lambda^4 [a, b, c]$ हो जाता है।
दाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$a \cdot (b \times b + c \times b) = a \cdot (0 + c \times b) = a \cdot (c \times b) = [a, c, b]$
गुण $[a, c, b] = -[a, b, c]$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda^4 [a, b, c] = -[a, b, c]$
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$[a, b, c](\lambda^4 + 1) = 0$
चूंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं,$[a, b, c] \neq 0$। इसलिए,$\lambda^4 + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda^4 = -1$।
चूंकि $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,$\lambda^4$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$\lambda$ का कोई भी वास्तविक मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

(D) रेखा $r = a + \lambda b$ के रूप में है,जहाँ $a = 2i - 2j + 3k$ और $b = i - j + 4k$ है।
समतल $r \cdot n = d$ के रूप में है,जहाँ $n = i + 5j + k$ और $d = 5$ है।
सबसे पहले,$b \cdot n$ की गणना करके जाँचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है:
$b \cdot n = (i - j + 4k) \cdot (i + 5j + k) = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$.
चूँकि $b \cdot n = 0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
समानांतर रेखा और समतल के बीच की दूरी का सूत्र:
$Distance = \left| \frac{d - a \cdot n}{|n|} \right|$
$a \cdot n = (2i - 2j + 3k) \cdot (i + 5j + k) = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$.
$|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
$Distance = \left| \frac{5 - (-5)}{3\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{10}{3\sqrt{3}} \right| = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(D) दी गई रेखाएँ $2x = 3y = -z$ और $6x = -y = -4z$ हैं।
सबसे पहले,हम रेखाओं को सममित रूप $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा के लिए: $2x = 3y = -z \Rightarrow \frac{x}{1/2} = \frac{y}{1/3} = \frac{z}{-1}$। $6$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$ प्राप्त होता है। दिक अनुपात $\vec{v_1} = (3, 2, -6)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $6x = -y = -4z \Rightarrow \frac{x}{1/6} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1/4}$। $12$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$ प्राप्त होता है। दिक अनुपात $\vec{v_2} = (2, -12, -3)$ हैं।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके दिक सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य हो: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाओं के बीच का कोण $90^o$ है।

(A) प्रथम गोले का समीकरण ${S_1} \equiv {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 8y - 2z - 13 = 0$ है। इसका केंद्र ${C_1} = (-3, 4, 1)$ है।
दूसरे गोले का समीकरण ${S_2} \equiv {x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 4y - 2z - 8 = 0$ है। इसका केंद्र ${C_2} = (5, -2, 1)$ है।
${C_1}$ और ${C_2}$ को जोड़ने वाली रेखा के मध्यबिंदु $P$ के निर्देशांक:
$P = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{4 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1, 1, 1)$.
चूंकि समतल $2ax - 3ay + 4az + 6 = 0$ बिंदु $P(1, 1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$2a(1) - 3a(1) + 4a(1) + 6 = 0$
$2a - 3a + 4a + 6 = 0$
$3a + 6 = 0$
$3a = -6$
$a = -2$.

(D) गोले का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 - x + z - 2 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ से तुलना करने पर,हमें $u = -1/2$,$v = 0$,$w = 1/2$,और $d = -2$ प्राप्त होता है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (1/2, 0, -1/2)$ है।
गोले की त्रिज्या $R = \sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d} = \sqrt{(-1/2)^2 + 0^2 + (1/2)^2 - (-2)} = \sqrt{1/4 + 0 + 1/4 + 2} = \sqrt{1/2 + 2} = \sqrt{5/2}$ है।
केंद्र $(1/2, 0, -1/2)$ से समतल $x + 2y - z - 4 = 0$ की लंबवत दूरी $P$:
$P = \frac{|(1/2) + 2(0) - (-1/2) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|1/2 + 1/2 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
प्रतिच्छेदन से बने वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{R^2 - P^2}$ है।
$r = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

(B) $-1 < x < 1$ के लिए,हम $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जहाँ $\theta \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ है।
तब,$\frac{2x}{1-x^2} = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \tan(2\theta)$ होता है।
अतः,$f(x) = \tan^{-1}(\tan(2\theta)) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x \in (-1, 1)$,इसलिए $\tan^{-1}x \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ है।
अतः,$f(x) \in (2 \times -\frac{\pi}{4}, 2 \times \frac{\pi}{4}) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ प्राप्त होता है।
फलन के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत $B$ को फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$B = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।

(C) दिया गया फलन समीकरण: $f(x - y) = f(x)f(y) - f(a - x)f(a + y)$.
चरण $1$: $f(a)$ ज्ञात करें।
समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(0 - 0) = f(0)f(0) - f(a - 0)f(a + 0)$
$f(0) = (f(0))^2 - (f(a))^2$
चूँकि $f(0) = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$1 = 1^2 - (f(a))^2$
$(f(a))^2 = 0 \Rightarrow f(a) = 0$.
चरण $2$: $f(2a - x)$ ज्ञात करें।
मूल समीकरण में $x = a$ और $y = x - a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(a - (x - a)) = f(a)f(x - a) - f(a - a)f(a + x - a)$
$f(2a - x) = 0 \cdot f(x - a) - f(0)f(x)$
चूँकि $f(0) = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$f(2a - x) = -f(x)$.

(B) दिया गया सीमा: $L = \lim_{x \to 2} \frac{\int_{6}^{f(x)} 4t^3 dt}{x - 2}.$
चूँकि $f(2) = 6,$ समाकलन $\int_{6}^{6} 4t^3 dt = 0$ हो जाता है और हर $x - 2 \to 0$ होता है। यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
एल-हॉस्पिटल नियम और लाइबनिज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए:
$L = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_{6}^{f(x)} 4t^3 dt}{\frac{d}{dx} (x - 2)}$
$L = \lim_{x \to 2} \frac{4(f(x))^3 \cdot f'(x)}{1}$
$f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ के मान रखने पर:
$L = 4(f(2))^3 \cdot f'(2) = 4(6)^3 \cdot \frac{1}{48}$
$L = 4 \cdot 216 \cdot \frac{1}{48} = 864 \cdot \frac{1}{48} = 18.$

(A) दिया गया है कि $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय है,इसलिए अवकलज की परिभाषा के अनुसार $f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ होता है।
हमें दिया गया है कि $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h)}{h} = 5$ है।
इस सीमा (limit) के अस्तित्व के लिए और परिमित होने के लिए,अंश $f(1 + h)$ को $h \to 0$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $f(1) = 0$ है।
अब $f(1) = 0$ को अवकलज की परिभाषा में रखने पर:
$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - 0}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(1 + h)}{h} = 5$.

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \le (x - y)^2$ है,जहाँ $x, y \in R$ है।
दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x \neq y$):
$\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le |x - y|$
दोनों पक्षों में $x \to y$ की सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le \lim_{x \to y} |x - y|$
यह दर्शाता है कि $|f'(y)| \le 0$ है।
चूँकि मापांक कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$ है।
यदि किसी फलन का अवकलज हर जगह शून्य है,तो वह फलन एक अचर फलन होता है।
अतः,$f(x) = C$ जहाँ $C$ एक अचर है।
दिया गया है कि $f(0) = 0$,इसलिए $C = 0$ है।
इस प्रकार,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 0$ है।
अतः,$f(1) = 0$।

(C) दिया गया है कि $f$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए हम अंतराल $[1, 6]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) को लागू कर सकते हैं।
प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (1, 6)$ मौजूद है ताकि $\frac{f(6) - f(1)}{6 - 1} = f'(c)$ हो।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in [1, 6]$ के लिए $f'(x) \ge 2$,इसलिए $f'(c) \ge 2$ होगा।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f(6) - (-2)}{5} \ge 2$.
$\frac{f(6) + 2}{5} \ge 2$.
$f(6) + 2 \ge 10$.
$f(6) \ge 8$.

(D) माना बर्फ की परत की मोटाई $x$ है। बर्फ सहित गोले की त्रिज्या $r = (10 + x) \, cm$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi (10 + x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि बर्फ $50 \, cm^3/min$ की दर से पिघलती है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$ (क्योंकि आयतन घट रहा है)।
$x = 5$ और $\frac{dV}{dt} = -50$ को समीकरण में रखने पर:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dx}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
अतः,बर्फ की मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ है।

(C) दिया गया वक्र: $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta )$ और $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta )$.
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)) = a\theta \sin \theta$.
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + (\sin \theta + \theta \cos \theta)) = a\theta \cos \theta$.
इसलिए,स्पर्शरेखा (tangent) की ढाल:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$.
अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है:
$m_n = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
$\theta$ बिंदु पर अभिलंब का समीकरण:
$y - a(\sin \theta - \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a(\cos \theta + \theta \sin \theta))$.
$\sin \theta$ से गुणा करने पर:
$y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$.
समीकरण को सरल करने पर:
$x \cos \theta + y \sin \theta = a(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta - a = 0$ की लंबवत दूरी:
$d = \frac{|-a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = |a| = a$.
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसलिए अभिलंब मूल बिंदु से एक स्थिर दूरी पर है।

(A) यह जांचने के लिए कि कोई फलन $f(x)$ किसी अंतराल में वर्धमान है या नहीं,हम यह देखते हैं कि क्या उस अंतराल के सभी $x$ के लिए $f'(x) \ge 0$ है।
$(a)$ $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ के लिए,$f'(x) = 6x - 2$। $f'(x) \ge 0$ रखने पर $6x \ge 2$,अर्थात $x \ge \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है। फलन $[\frac{1}{3}, \infty)$ पर वर्धमान है,न कि $(-\infty, \frac{1}{3}]$ पर। अतः,विकल्प $(a)$ गलत तरीके से सुमेलित है।
$(b)$ $f(x) = x^3 + 6x^2 + 6$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x + 4)$। जब $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$ होता है,तब $f'(x) \ge 0$ होता है। अतः,यह $(-\infty, -4]$ पर वर्धमान है।
$(c)$ $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 3$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$। सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $3(x - 1)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए फलन $(-\infty, \infty)$ पर वर्धमान है।
$(d)$ $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6$ के लिए,$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)$। जब $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ होता है,तब $f'(x) \ge 0$ होता है। अतः,यह $[2, \infty)$ पर वर्धमान है।

(B) माना $I = \int \left\{ \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right\}^2 dx$ है।
$\log x = t$ रखने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
यह समाकलन $I = \int e^t \left[ \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right] dt$ के रूप में है।
$\left[ \because \int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C \right]$
यहाँ $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ और $f'(t) = \frac{-2t}{(1 + t^2)^2}$ है।
अतः,$I = \frac{e^t}{1 + t^2} + C = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$.

(B) दिया गया व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^n {\frac{r}{{{n^2}}}{{\sec }^2}\frac{{{r^2}}}{{{n^2}}}} $ है।
इसे $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^n {\frac{r}{n}{{\sec }^2}\left( {\frac{r}{n}} \right)^2} $ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^n {f\left( {\frac{r}{n}} \right)} = \int_0^1 {f(x)dx} $।
यहाँ,$f(x) = x \sec^2(x^2)$ है।
अतः,सीमा $\int_0^1 {x{{\sec }^2}{x^2}dx} $ के बराबर है।
माना $t = x^2$,तब $dt = 2x dx$,या $x dx = \frac{1}{2} dt$।
जब $x = 0$,तब $t = 0$। जब $x = 1$,तब $t = 1$।
समाकलन $\frac{1}{2} \int_0^1 {\sec^2 t dt} = \frac{1}{2} [\tan t]_0^1 = \frac{1}{2} \tan 1$ हो जाता है।

(C) वक्र $y = \log_e(x + e)$ है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$0 = \log_e(x + e) \implies x + e = e^0 = 1 \implies x = 1 - e$.
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$y = \log_e(0 + e) = \log_e(e) = 1$.
वक्र और निर्देशांक अक्षों द्वारा घिरा क्षेत्रफल $x = 1 - e$ से $x = 0$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{1 - e}^0 \log_e(x + e) \, dx$.
माना $t = x + e$,तो $dt = dx$। जब $x = 1 - e$,तब $t = 1$। जब $x = 0$,तब $t = e$।
$\text{Area} = \int_1^e \log_e(t) \, dt$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए $\int \log_e(t) \, dt = t \log_e(t) - t$:
$\text{Area} = [t \log_e(t) - t]_1^e = (e \log_e(e) - e) - (1 \log_e(1) - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$.
अतः,क्षेत्रफल $1 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(B) $x=0, x=4, y=0, y=4$ द्वारा परिबद्ध वर्ग का कुल क्षेत्रफल $4 \times 4 = 16$ वर्ग इकाई है।
क्षेत्रफल $S_2$ दो परवलयों $y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ के बीच का क्षेत्र है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
$S_2 = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx = \int_0^4 (2x^{1/2} - \frac{x^2}{4}) dx = [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4 = \frac{4}{3}(8) - \frac{64}{12} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$.
क्षेत्रफल $S_1$ वह क्षेत्र है जो $x=0, y=4$ और परवलय $y^2=4x$ द्वारा परिबद्ध है।
$S_1 = \int_0^4 (4 - 2\sqrt{x}) dx = [4x - \frac{4}{3}x^{3/2}]_0^4 = 16 - \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$.
इसी प्रकार,समरूपता द्वारा $S_3 = \frac{16}{3}$.
अतः,$S_1:S_2:S_3 = \frac{16}{3} : \frac{16}{3} : \frac{16}{3} = 1:1:1$.

(B) दिया गया है कि वक्र $y = f(x)$ द्वारा $x = \frac{\pi}{4}$ से $x = \beta$ तक घिरा क्षेत्रफल $\int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx = \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $\beta$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{d\beta} \left( \int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx \right) = \frac{d}{d\beta} \left( \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta \right)$.
$\beta \sin \beta$ के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$f(\beta) = (1 \cdot \sin \beta + \beta \cos \beta) - \frac{\pi}{4} \sin \beta + \sqrt{2}$.
अब,$f(\beta)$ के व्यंजक में $\beta = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \frac{\pi}{2} \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - \frac{\pi}{4} \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \sqrt{2}$.
चूंकि $\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ और $\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ है:
$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 + 0 - \frac{\pi}{4}(1) + \sqrt{2} = 1 - \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}$.

(C) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $-\pi + \pi - x = -x$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(-x)}{1 + a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + \frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{a^x + 1} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{1 + a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1 + a^x) \cos^2 x}{1 + a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x dx$.
चूंकि $\cos^2 x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\pi} (1 + \cos 2x) dx$.
$2I = [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi + 0) - (0 + 0) = \pi$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2}$.

(D) $0 < x < 1$ के लिए,हमारे पास $x^2 > x^3$ है। चूंकि आधार $2 > 1$ है,फलन $f(x) = 2^x$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $0 < x < 1$ के लिए $2^{x^2} > 2^{x^3}$ होगा।
दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,हमें $\int_0^1 2^{x^2} dx > \int_0^1 2^{x^3} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${I_1} > {I_2}$।
$1 < x < 2$ के लिए,हमारे पास $x^3 > x^2$ है। इसी प्रकार,$1 < x < 2$ के लिए $2^{x^3} > 2^{x^2}$ होगा।
दोनों पक्षों का $1$ से $2$ तक समाकलन करने पर,हमें $\int_1^2 2^{x^3} dx > \int_1^2 2^{x^2} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${I_4} > {I_3}$।
अतः,सही कथन ${I_1} > {I_2}$ है।

(D) दिया गया वक्र ${y^2} = 2c(x + \sqrt{c})$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2c$,जिसका अर्थ है $c = y \frac{dy}{dx}.$
$c$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
${y^2} = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right).$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{y}{2(dy/dx)} - x = \sqrt{y \frac{dy}{dx}}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left( \frac{y}{2(dy/dx)} - x \right)^2 = y \frac{dy}{dx}.$
$4(dy/dx)^2$ से गुणा करने पर:
$(y - 2x(dy/dx))^2 = 4y(dy/dx)^3.$
वर्ग का विस्तार करने पर:
${y^2} - 4xy \frac{dy}{dx} + 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3.$
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
$4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 4xy \frac{dy}{dx} - {y^2} = 0.$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ और घात $3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
यह एक समघातीय (homogeneous) अवकल समीकरण है।
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$।
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$।
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$।
माना $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$। समाकलन करने पर $\int \frac{du}{u} = \log x + C$।
$\log(\log v) = \log x + \log c = \log(cx)$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log v = cx$।
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\log(\frac{y}{x}) = cx$।
अतः,$\frac{y}{x} = e^{cx}$,जिसका अर्थ है $y = x e^{cx}$।

(D) दिया गया है कि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots$ एक $G.P.$ में हैं जिसका सार्व अनुपात $r$ है।
अतः,${a_{n+1}} = {a_n} \cdot r$,जिसका अर्थ है $\log {a_{n+1}} = \log {a_n} + \log r$.
इसी प्रकार,$\log {a_{n+k}} = \log {a_n} + k \log r$.
मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} & \log {a_{n+2}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} & \log {a_{n+5}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} & \log {a_{n+8}} \end{array} \right|$ है।
स्तंभ संक्रियाओं ${C_2} \to {C_2} - {C_1}$ और ${C_3} \to {C_3} - {C_2}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} - \log {a_n} & \log {a_{n+2}} - \log {a_{n+1}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} - \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+5}} - \log {a_{n+4}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} - \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} - \log {a_{n+7}} \end{array} \right|$.
चूंकि किसी भी $k$ के लिए $\log {a_{n+k}} - \log {a_{n+k-1}} = \log r$ होता है,इसलिए सारणिक इस प्रकार हो जाता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+3}} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+6}} & \log r & \log r \end{array} \right|$.
चूंकि स्तंभ $2$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) एक रेखा जिसका दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 2, 2)$ है और एक समतल जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, \sqrt{\lambda})$ है,के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\sin \theta = \frac{1}{3}$,अतः $\frac{1}{3} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2}}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{|2 - 2 + 2\sqrt{\lambda}|}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda}}$.
$\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{4\lambda}{9(5 + \lambda)}$.
$5 + \lambda = 4\lambda$.
$3\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$.

(A) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda = 2$ है।
हमें $P(X > 1.5)$ ज्ञात करना है। चूँकि $X$ केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेता है,इसलिए $P(X > 1.5) = P(X \ge 2)$ होगा।
इसे $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ के रूप में गणना की जा सकती है।
$k = 0$ के लिए: $P(X = 0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = \frac{e^{-2} \cdot 1}{1} = \frac{1}{e^2}$।
$k = 1$ के लिए: $P(X = 1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = \frac{e^{-2} \cdot 2}{1} = \frac{2}{e^2}$।
अतः,$P(X > 1.5) = 1 - (\frac{1}{e^2} + \frac{2}{e^2}) = 1 - \frac{3}{e^2}$।