AIEEE 2005 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i = 5\hat{i}\,m/s$.
अंतिम वेग $\vec{v}_f = 5\hat{j}\,m/s$.
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = 5\hat{j} - 5\hat{i}$.
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,m/s$.
$\Delta \vec{v}$ की दिशा उत्तर-पश्चिम है (क्योंकि यह $-\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में है)।
औसत त्वरण $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$.
अतः,औसत त्वरण उत्तर-पश्चिम दिशा में $\frac{1}{\sqrt{2}}\,m/s^2$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि किस युग्म की विमाएँ समान नहीं हैं,हम प्रत्येक के विमीय सूत्रों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. जड़त्व आघूर्ण $(I = MR^2)$ की विमा $[ML^2T^0]$ है। बल आघूर्ण (टॉर्क,$\tau = r \times F$) की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है। ये समान नहीं हैं।
$2$. कार्य $(W = F \cdot d)$ की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है। टॉर्क $(\tau = r \times F)$ की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है। ये समान हैं।
$3$. कोणीय संवेग $(L = mvr)$ की विमा $[ML^2T^{-1}]$ है। प्लांक नियतांक $(h = E/f)$ की विमा $[ML^2T^{-1}]$ है। ये समान हैं।
$4$. आवेग $(J = F \Delta t)$ की विमा $[MLT^{-1}]$ है। संवेग $(p = mv)$ की विमा $[MLT^{-1}]$ है। ये समान हैं।
अतः,वह युग्म जिसकी विमाएँ समान नहीं हैं,वह जड़त्व आघूर्ण और बल आघूर्ण है।

(B) मान लीजिए गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है।
$3\,cm$ अंदर जाने के बाद,इसका वेग $u/2$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए:
$(u/2)^2 = u^2 - 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 - 6a$
$6a = 3u^2/4$
$a = u^2/8$
मान लीजिए कि गोली स्थिर होने से पहले अतिरिक्त $x$ दूरी तय करती है।
इस गति के लिए,प्रारंभिक वेग $u/2$,अंतिम वेग $0$ और त्वरण $-a = -u^2/8$ है।
$v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 = (u/2)^2 - 2(u^2/8)x$
$0 = u^2/4 - (u^2/4)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1\,cm$.

(A) दिया गया संबंध: $t = \alpha x^2 + \beta x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = 2\alpha x + \beta$
चूँकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$v = \frac{1}{2\alpha x + \beta} \implies 2\alpha x + \beta = \frac{1}{v}$
त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$v = (2\alpha x + \beta)^{-1}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = -1(2\alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2\alpha) = -\frac{2\alpha}{(2\alpha x + \beta)^2}$
$(2\alpha x + \beta) = \frac{1}{v}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{dv}{dx} = -2\alpha \cdot v^2$
अब,त्वरण की गणना करें:
$a = v \cdot (-2\alpha v^2) = -2\alpha v^3$
मंदन (retardation) त्वरण का ऋणात्मक मान होता है:
$\text{Retardation} = -a = 2\alpha v^3$

(C) मान लीजिए कि कार बिंदु $A$ से विरामावस्था से शुरू होती है और $S$ दूरी तक $f$ त्वरण के साथ बिंदु $B$ तक चलती है।
बिंदु $B$ पर कार का वेग $v = \sqrt{2fS}$ है ($v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए)।
कार इस स्थिर वेग $v$ के साथ $t$ समय में $BC = x$ दूरी तय करती है,इसलिए $x = vt = \sqrt{2fS} \cdot t$ ... $(i)$।
बिंदु $C$ पर,कार बिंदु $D$ पर रुकने तक $\frac{f}{2}$ की दर से मंदित होती है। मान लीजिए दूरी $CD = y$ है।
$v^2 = u^2 - 2a'y$ का उपयोग करते हुए,जहाँ अंतिम वेग $0$ है: $0 = v^2 - 2(\frac{f}{2})y \implies y = \frac{v^2}{f} = \frac{2fS}{f} = 2S$ ... (ii)।
कुल दूरी $AD = AB + BC + CD = S + x + 2S = 15S$ है।
$3S + x = 15S \implies x = 12S$।
समीकरण $(i)$ में $x = 12S$ रखने पर: $12S = \sqrt{2fS} \cdot t$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $144S^2 = 2fS \cdot t^2$।
$2S$ से विभाजित करने पर: $72S = f \cdot t^2 \implies S = \frac{1}{72}ft^2$।

(A) $1$. मुक्त पतन चरण (बिंदु $A$ से $B$ तक): पैराशूटिस्ट गुरुत्वाकर्षण के तहत $s_1 = 50\, m$ की दूरी तक मुक्त रूप से गिरता है। प्रारंभिक वेग $u_1 = 0$,त्वरण $a_1 = 9.8\, m/s^2$ है।
बिंदु $B$ पर वेग $v$ इस प्रकार है: $v^2 = u_1^2 + 2a_1s_1 = 0 + 2 \times 9.8 \times 50 = 980$.
अतः,$v = \sqrt{980}\, m/s$.
$2$. मंदन चरण (बिंदु $B$ से $C$ तक): पैराशूट खुलता है और पैराशूटिस्ट $a_2 = -2\, m/s^2$ की दर से मंदन करता है। जमीन पर अंतिम वेग $v_f = 3\, m/s$ है। मान लीजिए तय की गई दूरी $h$ है।
समीकरण $v_f^2 = v^2 + 2a_2h$ का उपयोग करने पर:
$(3)^2 = 980 + 2(-2)h$
$9 = 980 - 4h$
$4h = 980 - 9 = 971$
$h = 971 / 4 = 242.75\, m$.
$3$. कुल ऊँचाई: वह कुल ऊँचाई जहाँ से उसने छलांग लगाई थी,$H = s_1 + h = 50 + 242.75 = 292.75\, m \approx 293\, m$ है।

(B) दिए गए वेग $u$ के लिए,परास $R$ दो प्रक्षेपण कोणों $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ के लिए समान होता है।
कोण $\theta$ के लिए उड़ान का समय $t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
कोण $(90^\circ - \theta)$ के लिए उड़ान का समय $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ है।
दोनों उड़ान समयों का गुणा करने पर:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2(u^2 \sin 2\theta)}{g^2}$.
चूंकि परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है,हम इस मान को समीकरण में रख सकते हैं:
$t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$.
चूंकि $g$ स्थिर है,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $t_1 t_2 \propto R$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.3 \, kg$,बल नियतांक $k = 15 \, N/m$,और विस्थापन $x = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है।
हुक के नियम के अनुसार,बल का परिमाण $F = kx$ होता है।
मान रखने पर: $F = 15 \times 0.2 = 3 \, N$ प्राप्त होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = \frac{F}{m}$ होगा।
मान रखने पर: $a = \frac{3}{0.3} = 10 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रारंभिक त्वरण $10 \, m/s^2$ है।

(B) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। ब्लॉक को ढलान के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,हम ढलान के फ्रेम में बलों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इसका भार $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है,अभिलंब बल $(N)$ जो सतह के लंबवत है,और छद्म बल (pseudo force) $(ma)$ जो ढलान के त्वरण की विपरीत दिशा में क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
$2$. ढलान की सतह के अनुदिश बलों के घटक लेने पर:
- गुरुत्वाकर्षण बल का ढलान के नीचे की ओर घटक $mg \sin \alpha$ है।
- छद्म बल का ढलान के ऊपर की ओर घटक $ma \cos \alpha$ है।
$3$. ब्लॉक को ढलान के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,इन दोनों बलों को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए:
$ma \cos \alpha = mg \sin \alpha$
$4$. दोनों पक्षों को $m \cos \alpha$ से विभाजित करने पर:
$a = g \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$a = g \tan \alpha$

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 100\, m/s$,अंतिम वेग $v = 0\, m/s$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.5$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot s = 0 - \frac{1}{2} m u^2$
$-(\mu_k m g) s = -\frac{1}{2} m u^2$
$s = \frac{u^2}{2 \mu_k g}$
मान रखने पर:
$s = \frac{(100)^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{10000}{10} = 1000\, m$.

(A) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है $t_r = n t_s$,इसलिए $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(D) मान लीजिए कि नत समतल की कुल लंबाई $l$ है। ऊपरी आधे भाग की लंबाई $l/2$ है और यह चिकना है,जबकि निचले आधे भाग की लंबाई $l/2$ है और यह $\mu$ घर्षण गुणांक वाला खुरदरा है।
ऊपरी आधे भाग के लिए (चिकना):
त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। विरामावस्था $(u=0)$ से शुरू करने पर,मध्य बिंदु पर वेग $v$ होगा:
$v^2 = u^2 + 2 a_1 (l/2) = 0 + 2(g \sin \theta)(l/2) = gl \sin \theta$.
निचले आधे भाग के लिए (खुरदरा):
त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। पिंड $v$ वेग से शुरू होता है और $l/2$ दूरी तय करने के बाद नीचे विरामावस्था $(v_f = 0)$ में आ जाता है:
$v_f^2 = v^2 + 2 a_2 (l/2) = 0$.
$v^2 = gl \sin \theta$ और $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ रखने पर:
$gl \sin \theta + 2[g(\sin \theta - \mu \cos \theta)](l/2) = 0$.
$gl \sin \theta + gl(\sin \theta - \mu \cos \theta) = 0$.
$2 \sin \theta - \mu \cos \theta = 0$.
$\mu \cos \theta = 2 \sin \theta$.
$\mu = 2 \tan \theta$.

(C) चूँकि सतह चिकनी है,इसलिए गति के दौरान यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
मान लीजिए प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 100 \, m$ और अंतिम ऊँचाई $h_2 = 20 \, m$ है।
प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$PE_{initial} + KE_{initial} = PE_{final} + KE_{final}$
$mgh_1 + 0 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(h_1 - h_2) = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}$
मान रखने पर $(g = 10 \, m/s^2)$:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times (100 - 20)}$
$v = \sqrt{20 \times 80}$
$v = \sqrt{1600}$
$v = 40 \, m/s$.

(C) जब $M$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $v$ वेग से गति करते हुए स्प्रिंग से टकराता है,तो अधिकतम संपीड़न $L$ पर उसकी गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} K L^2$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{K}{M} L^2 \implies v = L \sqrt{\frac{K}{M}}$
ब्लॉक का संवेग $P$,$P = Mv$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर:
$P = M \left( L \sqrt{\frac{K}{M}} \right) = \sqrt{M^2 \cdot \frac{K}{M}} L = \sqrt{MK} L$
अतः,ब्लॉक का अधिकतम संवेग $\sqrt{MK} L$ है।

(A) माना द्रव्यमान $A$,$v$ वेग से गति करता है और विराम अवस्था में स्थित द्रव्यमान $B$ से अप्रत्यास्थ रूप से टकराता है।
प्रश्न के अनुसार,टक्कर के बाद द्रव्यमान $A$ लंबवत दिशा में $\frac{v}{\sqrt{3}}$ वेग से गति करता है। माना द्रव्यमान $B$,क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर $V$ वेग से गति करता है।
निकाय का प्रारंभिक क्षैतिज संवेग (टक्कर से पहले) $= mv$.
निकाय का अंतिम क्षैतिज संवेग (टक्कर के बाद) $= m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) \cos(90^{\circ}) + mV \cos \theta = mV \cos \theta$.
क्षैतिज रेखीय संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = mV \cos \theta \implies v = V \cos \theta$ $...(i)$.
निकाय का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर संवेग (टक्कर से पहले) $= 0$.
निकाय का अंतिम ऊर्ध्वाधर संवेग (टक्कर के बाद) $= m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) - mV \sin \theta$.
ऊर्ध्वाधर रेखीय संवेग संरक्षण के नियम से: $m \left( \frac{v}{\sqrt{3}} \right) - mV \sin \theta = 0 \implies \frac{v}{\sqrt{3}} = V \sin \theta$ $...(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$v^2 + \frac{v^2}{3} = V^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$.
$\frac{4v^2}{3} = V^2$.
$V = \frac{2}{\sqrt{3}}v$.

(B) किसी पदार्थ के प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
हम जानते हैं कि यंग मापांक $(Y)$,प्रतिबल $(S)$ और विकृति $(\epsilon)$ का अनुपात होता है:
$Y = \frac{S}{\epsilon} \implies \epsilon = \frac{S}{Y}$
विकृति के इस व्यंजक को ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) केशनलिका में पानी के स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
मुक्त रूप से गिरती हुई लिफ्ट में,गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff}$ शून्य $(0)$ हो जाता है क्योंकि लिफ्ट भारहीनता की स्थिति में होती है।
जैसे-जैसे $g_{eff} \to 0$ होता है,पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है $(h \propto 1/g_{eff})$।
हालाँकि,पानी का स्तंभ केशनलिका की भौतिक लंबाई से अधिक नहीं हो सकता है।
इसलिए,पानी केशनलिका की पूरी लंबाई भर जाने तक ऊपर चढ़ेगा,जो कि $20 \,cm$ है।

(D) हीलियम के मोलों की संख्या $(n_1)$ = $\frac{16}{4} = 4 \, \text{mol}$.
ऑक्सीजन के मोलों की संख्या $(n_2)$ = $\frac{16}{32} = 0.5 \, \text{mol}$.
हीलियम (एकपरमाणुक) के लिए,$\gamma_1 = \frac{5}{3}$ और स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$.
ऑक्सीजन (द्विपरमाणुक) के लिए,$\gamma_2 = \frac{7}{5}$ और स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$.
मिश्रण के लिए समतुल्य $\gamma$ का सूत्र: $\frac{n_1 + n_2}{\gamma - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$.
मान रखने पर: $\frac{4 + 0.5}{\gamma - 1} = \frac{4}{\frac{5}{3} - 1} + \frac{0.5}{\frac{7}{5} - 1}$.
$\frac{4.5}{\gamma - 1} = \frac{4}{2/3} + \frac{0.5}{2/5} = 6 + 1.25 = 7.25$.
$\gamma - 1 = \frac{4.5}{7.25} \approx 0.62$.
$\gamma \approx 1.62$.

(B) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है और यह आंतरिक ऊर्जा $(U)$ की अवधारणा को प्रस्तुत करता है। यह बताता है कि $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। यह चक्रीय प्रक्रियाओं सहित सभी प्रक्रियाओं पर लागू होता है। हालाँकि,एंट्रॉपी की अवधारणा ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम द्वारा प्रस्तुत की जाती है,न कि पहले नियम द्वारा। इसलिए,कथन $(b)$ गलत है।

(C) आंतरिक ऊर्जा $(U)$ एक अवस्था फलन (state function) है,जिसका अर्थ है कि इसका मान केवल निकाय की अवस्था (जो दबाव,आयतन और तापमान जैसे चरों द्वारा परिभाषित होती है) पर निर्भर करता है,न कि उस अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
चूंकि दोनों प्रक्रियाएं $I$ और $II$ एक ही प्रारंभिक अवस्था $A$ से शुरू होती हैं और एक ही अंतिम अवस्था $B$ पर समाप्त होती हैं,इसलिए दोनों प्रक्रियाओं के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन समान होना चाहिए।
अतः,$\Delta U_I = \Delta U_{II}$।

(A) $T-S$ आरेख के नीचे का क्षेत्रफल प्रक्रिया में ऊष्मा के आदान-प्रदान को दर्शाता है।
दिए गए चक्र के लिए, अवशोषित ऊष्मा $(Q_{in})$ $S_0$ से $2S_0$ तक की ऊपरी तिरछी रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है।
यह क्षेत्रफल एक आयत और एक त्रिभुज का योग है: $Q_{in} = (T_0 \times S_0) + \frac{1}{2} \times (2T_0 - T_0) \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0 + \frac{1}{2} T_0 S_0 = 1.5 T_0 S_0$.
निकाली गई ऊष्मा $(Q_{out})$ $T_0$ तापमान पर $2S_0$ से $S_0$ तक की निचली क्षैतिज रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है: $Q_{out} = T_0 \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0$.
दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}$ है।
मान रखने पर: $\eta = 1 - \frac{T_0 S_0}{1.5 T_0 S_0} = 1 - \frac{1}{1.5} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.33$.

(A) आकृति में दिखाए अनुसार $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक संकेंद्रित गोलाकार कवच पर विचार करें।
स्थिर अवस्था में,इस कवच से होकर ऊष्मा के प्रवाह की त्रिज्यीय दर $H$ फूरियर के ऊष्मा चालन नियम द्वारा दी जाती है:
$H = \frac{{dQ}}{{dt}} = - KA\frac{{dT}}{{dr}}$
चूंकि गोलाकार कवच का क्षेत्रफल $A = 4\pi {r^2}$ है,इसलिए हमारे पास है:
$H = - K(4\pi {r^2})\frac{{dT}}{{dr}}$
समाकलन करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H}dT$
$r_1$ से $r_2$ और $T_1$ से $T_2$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{{r_1}}^{{r_2}} \frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H} \int_{{T_1}}^{{T_2}} dT$
$\left[ - \frac{1}{r} \right]_{{r_1}}^{{r_2}} = - \frac{{4\pi K}}{H} (T_2 - T_1)$
$\left( \frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_2}}} \right) = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$
$\frac{{{r_2} - {r_1}}}{{{r_1}{r_2}}} = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$
$H$ के लिए हल करने पर:
$H = \frac{{4\pi K{r_1}{r_2}({T_1} - {T_2})}}{{{r_2} - {r_1}}}$
अतः,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{{{r_1}{r_2}}}{{{r_2} - {r_1}}}$ के समानुपाती है।

(C) पहले कण का वेग उसके विस्थापन के अवकलन द्वारा प्राप्त होता है: ${v_1} = \frac{d{y_1}}{dt} = 0.1 \times 100\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3}) = 10\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3})$.
दूसरे कण का वेग उसके विस्थापन के अवकलन द्वारा प्राप्त होता है: ${v_2} = \frac{d{y_2}}{dt} = -0.1\pi \sin(\pi t) = 0.1\pi \cos(\pi t + \frac{\pi}{2})$.
पहले कण के वेग की कला ${\phi_1} = 100\pi t + \frac{\pi}{3}$ है और दूसरे कण के वेग की कला ${\phi_2} = \pi t + \frac{\pi}{2}$ है।
$t = 0$ पर कलांतर:
$\Delta \phi = \phi_1(0) - \phi_2(0) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi - 3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

(C) दी गई गति का समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} + Ky = 0$ है।
इस समीकरण की तुलना सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$ से करने पर,हमें $\omega^2 = K$ प्राप्त होता है।
अतः,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{K}$ है।
हम जानते हैं कि आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच का संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{\sqrt{K}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $y = \sin^2(\omega t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$.
$\cos(kt)$ फलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = 2\omega$ है,इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ होगा।
सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ को अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} = -\Omega^2 y$ को संतुष्ट करना चाहिए। दिया गया फलन एक अचर पद और कोसाइन पद का योग है,जो $S.H.M.$ की शर्त को संतुष्ट नहीं करता है क्योंकि संतुलन स्थिति स्थानांतरित हो गई है और यह मूल बिंदु के चारों ओर शुद्ध ज्यावक्रीय दोलन नहीं है। इसलिए,यह एक आवर्ती गति है लेकिन $S.H.M.$ नहीं है।

(D) दिया गया निकाय एक सरल लोलक की तरह कार्य करता है, जहाँ प्रभावी लंबाई $(l)$ निलंबन बिंदु और दोलन करने वाली वस्तु के गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में, जब गोला भरा होता है, तो $C.G.$ गोले के केंद्र पर होता है। जैसे-जैसे पानी बाहर निकलता है, शेष पानी का द्रव्यमान केंद्र नीचे की ओर खिसकता है, जिससे निकाय का परिणामी $C.G.$ नीचे की ओर चला जाता है। इससे प्रभावी लंबाई $(l)$ बढ़ जाती है, और चूंकि आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ होता है, इसलिए आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे और पानी बाहर निकलता है, शेष पानी का वजन खाली गोले के वजन से कम हो जाता है। परिणामी $C.G.$ वापस गोले के केंद्र की ओर ऊपर की ओर खिसकने लगता है। परिणामस्वरूप, प्रभावी लंबाई $(l)$ घट जाती है, जिससे आवर्तकाल $T$ घट जाता है।
अंत में, जब गोला पूरी तरह से खाली हो जाता है, तो $C.G.$ गोले के केंद्र पर वापस आ जाता है, जिससे प्रभावी लंबाई अपने प्रारंभिक मान के बराबर हो जाती है। इस प्रकार, आवर्तकाल अपने मूल मान पर वापस आ जाता है। इसलिए, दोलन का आवर्तकाल पहले बढ़ता है और फिर घटकर अपने मूल मान पर आ जाता है।

(B) जब एक प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n' = \left( \frac{v + v_O}{v} \right) n$
दिया गया है कि प्रेक्षक का वेग $v_O = \frac{v}{5}$,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है।
सूत्र में $v_O$ का मान रखने पर:
$n' = \left( \frac{v + v/5}{v} \right) n = \left( \frac{6v/5}{v} \right) n = 1.2n$
आवृत्ति में वृद्धि $\Delta n = n' - n = 1.2n - n = 0.2n$ है।
आवृत्ति में प्रतिशत वृद्धि:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \left( \frac{\Delta n}{n} \right) \times 100 = \left( \frac{0.2n}{n} \right) \times 100 = 20\%$.

(C) $M'$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M' r^2$ होता है।
एक अर्धवृत्ताकार डिस्क,पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का ठीक आधा भाग होती है।
यदि अर्धवृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M$ है,तो संबंधित पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $2M$ होगा।
पूर्ण डिस्क के सूत्र में $M' = 2M$ रखने पर:
$I = \frac{1}{2} (2M) r^2 = M r^2$.
अतः,अर्धवृत्ताकार डिस्क का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $M r^2$ है।

(D) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति केवल उस पर कार्य करने वाले बाह्य बलों पर निर्भर करती है।
इस स्थिति में,पिंड $A$ (और बाद में भागों $B$ और $C$ के निकाय) पर कार्य करने वाला एकमात्र बाह्य बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो नीचे की ओर $g$ के बराबर त्वरण उत्पन्न करता है।
चूंकि टूटने की प्रक्रिया के दौरान बाह्य बल अपरिवर्तित रहता है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $g$ ही रहता है।
अतः,भागों $B$ और $C$ से बने निकाय के द्रव्यमान केंद्र का प्रक्षेप पथ मूल पिंड $A$ के पथ का ही अनुसरण करता है।
इस प्रकार,द्रव्यमान केंद्र मूल पिंड $A$ के पथ के सापेक्ष विस्थापित नहीं होता है।

(A) किसी वस्तु के शुद्ध स्थानांतरण गति करने के लिए,लगाया गया बल उसके द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ से होकर गुजरना चाहिए।
मान लीजिए कि क्षैतिज छड़ $AB$ का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि ऊर्ध्वाधर छड़ $CD$ की लंबाई $2l$ है और क्षैतिज छड़ $AB$ की लंबाई $l$ है,समान घनत्व मानते हुए,छड़ $CD$ का द्रव्यमान $2m$ होगा।
छड़ $AB$ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु $D$ पर है,जो $C$ से $2l$ की दूरी पर है। मान लीजिए $y_1 = 2l$ है।
छड़ $CD$ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर है,जो $C$ से $l$ की दूरी पर है। मान लीजिए $y_2 = l$ है।
$C$ को मूल बिंदु मानते हुए,ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$
$y_{cm} = \frac{m(2l) + (2m)(l)}{m + 2m} = \frac{2ml + 2ml}{3m} = \frac{4ml}{3m} = \frac{4l}{3}$
अतः,शुद्ध स्थानांतरण गति सुनिश्चित करने के लिए बल को $C$ से $\frac{4l}{3}$ की दूरी पर लगाया जाना चाहिए।

(B) $r$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ एकसमान कोणीय चाल से घूम रहे $m$ द्रव्यमान के कण के लिए,अभिकेंद्री बल $F = m \omega^{2} r$ द्वारा दिया जाता है।
रिंग के आंतरिक भाग पर $R_{1}$ त्रिज्या पर स्थित कण के लिए,अभिकेंद्री बल $F_{1} = m \omega^{2} R_{1}$ है।
रिंग के बाहरी भाग पर $R_{2}$ त्रिज्या पर स्थित कण के लिए,अभिकेंद्री बल $F_{2} = m \omega^{2} R_{2}$ है।
इन दो बलों का अनुपात लेने पर:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{m \omega^{2} R_{1}}{m \omega^{2} R_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$.
अतः,बलों का अनुपात $\frac{R_{1}}{R_{2}}$ है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
द्रव्यमान $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g = \frac{G \times \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R$.
इस समीकरण से,औसत घनत्व $\rho = \frac{3g}{4\pi GR}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $G$,$\pi$,और $R$ (पृथ्वी की त्रिज्या) स्थिरांक हैं,इसलिए $\rho \propto g$ होता है।
अतः,पृथ्वी का औसत घनत्व $g$ के समानुपाती होता है।

(A) वस्तु विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
चूंकि इसे $T$ समय में $v$ गति तक समान रूप से त्वरित किया जाता है,इसलिए त्वरण $a = \frac{v - u}{T} = \frac{v}{T}$ है।
किसी भी समय $t$ पर वेग $v(t) = at = \frac{v}{T}t$ होगा।
वस्तु पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m\left(\frac{v}{T}\right)$ है।
तात्क्षणिक शक्ति $P = F \cdot v(t)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = \left(m \frac{v}{T}\right) \left(\frac{v}{T}t\right) = \frac{mv^2}{T^2}t$ प्राप्त होता है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले गोले की सतह पर $m$ द्रव्यमान के कण की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
कण को अनंत तक (जहाँ स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है) ले जाने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_{final} - U_{initial} = 0 - (- \frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}$.
दिए गए मान:
$M = 100\, kg$
$m = 10\, g = 0.01\, kg$
$R = 10\, cm = 0.1\, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11}\, Nm^2/kg^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 100 \times 0.01}{0.1}$
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1}{0.1} = 6.67 \times 10^{-10}\, J$.

(D) मान लीजिए फोर्क $1$ की आवृत्ति $n_1 = 200 \, Hz$ है और फोर्क $2$ की आवृत्ति $n_2$ है।
प्रारंभ में,बीट आवृत्ति $|n_1 - n_2| = 4 \, Hz$ है। इसका अर्थ है $n_2 = 200 \pm 4$,अतः $n_2 = 204 \, Hz$ या $n_2 = 196 \, Hz$ हो सकता है।
जब फोर्क $2$ के प्रोंग पर टेप लगाई जाती है,तो उसकी आवृत्ति $n_2$ कम हो जाती है।
यदि $n_2 = 204 \, Hz$ होता,तो उसे कम करने पर बीट आवृत्ति $|200 - n_2'|$ का मान $4 \, Hz$ से कम हो जाता।
यदि $n_2 = 196 \, Hz$ होता,तो उसे और कम करने पर (जैसे $194 \, Hz$ तक) बीट आवृत्ति $|200 - 194| = 6 \, Hz$ हो जाती है।
चूंकि बीट आवृत्ति बढ़कर $6 \, Hz$ हो गई है,इसलिए फोर्क $2$ की मूल आवृत्ति $196 \, Hz$ होनी चाहिए।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर $g$ का मान $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$g$ में परिवर्तन $\Delta g_h = g - g_h = g(\frac{2h}{R})$ है।
पृथ्वी की सतह से $x$ गहराई पर $g$ का मान $g_x = g(1 - \frac{x}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$g$ में परिवर्तन $\Delta g_x = g - g_x = g(\frac{x}{R})$ है।
यह दिया गया है कि ऊँचाई $h$ और गहराई $x$ पर $g$ में परिवर्तन समान है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$g(\frac{2h}{R}) = g(\frac{x}{R})$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 2h$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $T$ रेशम के धागे में तनाव है,$q$ गोले पर आवेश है,$m$ गोले का द्रव्यमान है,और $E$ बड़ी आवेशित शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र है।
संतुलन की स्थिति में,गोले पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. धागे की दिशा में तनाव $T$।
$2$. नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$।
$3$. शीट से दूर क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाला विद्युत बल $qE$।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = qE$ (क्षैतिज घटक)
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर घटक)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{qE}{mg}$
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
बड़ी आवेशित चालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{q}{mg} \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)$
चूंकि $q, m, g,$ और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$\tan \theta \propto \sigma$ या $\sigma \propto \tan \theta$.
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(D) मान लीजिए कि दो रिंगों के केंद्र $O_1$ और $O_2$ हैं। $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली रिंग की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{R^2 + x^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली रिंग (आवेश $+q$) के लिए केंद्र $O_1$ पर:
स्वयं के कारण विभव $V_{1, self} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ है।
दूसरी रिंग (आवेश $-q$) के कारण $d$ दूरी पर विभव $V_{1, other} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$ है।
अतः,$V_{O_1} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.
दूसरी रिंग (आवेश $-q$) के लिए केंद्र $O_2$ पर:
स्वयं के कारण विभव $V_{2, self} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$ है।
पहली रिंग (आवेश $+q$) के कारण $d$ दूरी पर विभव $V_{2, other} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$ है।
अतः,$V_{O_2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{R} + \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = -V_{O_1}$.
विभवांतर $\Delta V = V_{O_1} - V_{O_2} = V_{O_1} - (-V_{O_1}) = 2V_{O_1}$ है।
$\Delta V = 2 \cdot \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.

(C) बारी-बारी से जुड़ी $n$ प्लेटों के ढेर में, प्लेटें समांतर क्रम में $(n - 1)$ संधारित्र बनाती हैं।
प्रत्येक आसन्न प्लेटों का जोड़ा $C$ धारिता वाले एक संधारित्र के रूप में कार्य करता है।
चूंकि ये $(n - 1)$ संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं, इसलिए तुल्य धारिता $C_R$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग है।
अतः, $C_R = C + C + ... + (n - 1) \text{ बार} = (n - 1)C$.

(B) एक पूर्णतः आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र कुंडली के माध्यम से निरावेशित होता है,तो यह विद्युत ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ब्लॉक द्वारा अवशोषित ऊष्मीय ऊर्जा $Q = ms\Delta T$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,संधारित्र में संचित विद्युत ऊर्जा ब्लॉक द्वारा प्राप्त ऊष्मीय ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2}CV^2 = ms\Delta T$
$V$ के लिए हल करने पर:
$V^2 = \frac{2ms\Delta T}{C}$
$V = \sqrt{\frac{2ms\Delta T}{C}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) गैल्वेनोमीटर $G$ में कोई धारा प्रवाहित न होने के लिए,$G$ और $E$ वाली शाखा में धारा शून्य होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि प्रतिरोध $X$ के सिरों पर विभवांतर बैटरी $E$ के $e.m.f.$ के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि $E_1$,$500 \, \Omega$ और $X$ वाले लूप में प्रवाहित धारा $I$ है।
ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{E_1}{500 + X}$ है।
$X$ के सिरों पर विभवांतर $V_X = I \cdot X = \left( \frac{E_1}{500 + X} \right) X$ है।
चूंकि $V_X = E$,इसलिए $\left( \frac{12}{500 + X} \right) X = 2$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$\left( \frac{6}{500 + X} \right) X = 1$ प्राप्त होता है।
$6X = 500 + X$.
$5X = 500$.
$X = 100 \, \Omega$.

(D) श्रेणी संयोजन का कुल $emf$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + R_1 + R_2$ है। परिपथ में धारा $i = \frac{2E}{R + R_1 + R_2}$ द्वारा दी जाती है।
$emf$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले स्रोत के सिरों पर विभवांतर $V = E - ir$ द्वारा दिया जाता है। $R_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाले स्रोत के लिए,विभवांतर शून्य है:
$0 = E - i R_2$
$E = i R_2$
$i$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$
$1 = \frac{2 R_2}{R + R_1 + R_2}$
$R + R_1 + R_2 = 2 R_2$
$R = 2 R_2 - R_2 - R_1$
$R = R_2 - R_1$

(D) विद्युत वाहक बल $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले ऊर्जा स्रोत द्वारा लोड प्रतिरोध $R$ में प्रवाहित धारा $I$ का सूत्र है: $I = \frac{E}{R + r}$.
लोड प्रतिरोध $R$ में परिवर्तन के बावजूद धारा $I$ को स्थिर रखने के लिए,आंतरिक प्रतिरोध $r$ शून्य होना चाहिए।
यदि $r = 0$ है,तो $I = \frac{E}{R}$। इस प्रश्न के दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $D$ है।

(B) संतुलन लंबाई $l_1$,सेल के विद्युत वाहक बल $(E)$ के समानुपाती होती है: $E \propto l_1 = 240 \ cm$।
जब सेल को $R = 2 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V$,$l_2 = 120 \ cm$ की लंबाई पर संतुलित होता है,इसलिए $V \propto l_2$।
सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{E}{V} - 1 \right)$ होता है।
चूंकि $E/V = l_1/l_2$,मान रखने पर:
$r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$
$r = 2 \left( \frac{240}{120} - 1 \right)$
$r = 2 \left( 2 - 1 \right)$
$r = 2 \ \Omega$।
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(B) वोल्टेज सुग्राहिता $(V_s)$ और धारा सुग्राहिता $(I_s)$ के बीच संबंध $V_s = \frac{I_s}{G}$ है,जहाँ $G$ गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध है।
दिया गया है $I_s = 10 \, \text{div/mA}$ और $V_s = 2 \, \text{div/mV}$,इसलिए $G = \frac{I_s}{V_s} = \frac{10}{2} = 5 \, \Omega$.
पूर्ण-स्केल विक्षेप के लिए धारा $(I_g)$ कुल भागों को धारा सुग्राहिता से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: $I_g = \frac{150 \, \text{div}}{10 \, \text{div/mA}} = 15 \, \text{mA} = 15 \times 10^{-3} \, \text{A}$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक भाग $1 \, V$ पढ़े,पूर्ण-स्केल विक्षेप के लिए मापा जाने वाला कुल वोल्टेज $(V)$ $150 \, \text{divisions} \times 1 \, \text{V/division} = 150 \, \text{V}$ होगा।
गैल्वेनोमीटर को $V$ रेंज के वोल्टमीटर में बदलने के लिए,श्रेणीक्रम में आवश्यक प्रतिरोध $R = \frac{V}{I_g} - G$ है।
मान रखने पर: $R = \frac{150}{15 \times 10^{-3}} - 5 = 10000 - 5 = 9995 \, \Omega$.

(C) हीटर द्वारा उत्पन्न ऊष्मा का सूत्र $H = \frac{V^2 t}{R}$ है,जहाँ $V$ वोल्टेज है,$t$ समय है और $R$ कॉइल का प्रतिरोध है।
जब कॉइल को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
चूंकि वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है,इसलिए नई उत्पन्न ऊष्मा $H'$ का मान $H' = \frac{V^2 t}{R'} = \frac{V^2 t}{R/2} = 2 \times \frac{V^2 t}{R}$ होगा।
अतः,$H' = 2H$।
इस प्रकार,उत्पन्न ऊष्मा दुगुनी हो जाती है।

(C) जब लैंप गर्म होता है (रेटेड पावर पर),तो उसका प्रतिरोध $R_{Hot} = \frac{V^2}{P}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $R_{Hot} = \frac{200 \times 200}{100} = 400\,\Omega$.
यह दिया गया है कि गर्म प्रतिरोध,ठंडे प्रतिरोध का $10$ गुना है: $R_{Hot} = 10 \times R_{Cold}$.
इसलिए,ठंडा प्रतिरोध (जब लैंप उपयोग में न हो) $R_{Cold} = \frac{R_{Hot}}{10}$ होगा।
$R_{Cold} = \frac{400}{10} = 40\,\Omega$.

(D) फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा हुआ द्रव्यमान $m = zq$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $z$ विद्युत-रासायनिक तुल्यांक है और $q$ आवेश है।
चूंकि जमा हुआ द्रव्यमान समान है,इसलिए $m_1 = m_2$,जिसका अर्थ है $z_1 q_1 = z_2 q_2$।
इससे,आवेशों का अनुपात $\frac{q_1}{q_2} = \frac{z_2}{z_1}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि कुल आवेश $q = q_1 + q_2$ है।
हमें चांदी के वोल्टामीटर से बहने वाला आवेश $q_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात से,$q_1 = q_2 \frac{z_2}{z_1}$।
इस मान को कुल आवेश के समीकरण में रखने पर: $q = q_2 \frac{z_2}{z_1} + q_2 = q_2 (1 + \frac{z_2}{z_1})$।
$q_2$ के लिए हल करने पर,हमें $q_2 = \frac{q}{1 + \frac{z_2}{z_1}}$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनके चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ भी एक-दूसरे के लंबवत होंगे।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r}$ का मान रखने पर,$B_{net} = \frac{\mu_0}{2r} \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 2\pi \, cm = 2\pi \times 10^{-2} \, m$,$i_1 = 3 \, A$,$i_2 = 4 \, A$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Wb/A \cdot m$ दिया गया है।
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} \sqrt{3^2 + 4^2}$.
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{4\pi \times 10^{-2}} \sqrt{9 + 16} = 10^{-5} \times \sqrt{25} = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.

(D) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर गति कर रहा है,इसलिए $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^\circ$ है,अतः $\vec{F}_m = 0$ होता है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक $(q = -e)$ होता है,इसलिए विद्युत बल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को विद्युत क्षेत्र की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए विद्युत बल उसके वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है। यह बल एक मंदक बल के रूप में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन का वेग कम हो जाता है। अतः,इलेक्ट्रॉन के वेग का परिमाण घट जाएगा।

(B) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
चुंबकीय बल को अभिकेंद्री बल के बराबर करने पर:
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
इससे,हम वेग $v$ या त्रिज्या $r$ ज्ञात कर सकते हैं:
$v = \frac{qBr}{m}$
एक पूर्ण चक्कर के लिए समय अवधि $T$,परिधि को गति से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$T = \frac{2\pi r}{v}$
$v$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2\pi r}{(qBr/m)} = \frac{2\pi m}{qB}$
अतः,एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय $\frac{2\pi m}{qB}$ है।

(C) दूरी पर स्थित $i_1$ और $i_2$ धारा वाले दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi d}$।
चूंकि दोनों तारों में समान दिशा में $i$ धारा प्रवाहित हो रही है,इसलिए $i_1 = i_2 = i$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 i^2}{2\pi d}$।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,समान दिशा में प्रवाहित होने वाली समानांतर धाराएं एक-दूसरे पर आकर्षण बल लगाती हैं।
अतः,तार एक-दूसरे को $\frac{\mu_0 i^2}{2\pi d}$ बल से आकर्षित करेंगे।

(A) एक चुंबकीय सुई एक चुंबकीय द्विध्रुव (डाइपोल) के रूप में कार्य करती है।
असमान चुंबकीय क्षेत्र में,सुई के दोनों ध्रुवों पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल परिमाण और दिशा दोनों में भिन्न होगा।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र असमान है,इसलिए द्विध्रुव पर कुल बल शून्य नहीं होता है,जिसके परिणामस्वरूप एक स्थानांतरीय बल उत्पन्न होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि दोनों ध्रुवों पर लगने वाले बल संरेखीय नहीं हैं और उनके परिमाण अलग-अलग हैं,इसलिए वे एक कुल बलाघूर्ण (टॉर्क) उत्पन्न करते हैं,जिससे सुई घूमती है।
अतः,चुंबकीय सुई बल और बलाघूर्ण दोनों का अनुभव करती है।

(B) जब $l$ लंबाई का एक चालक $B$ चुंबकीय क्षेत्र में अपनी लंबाई और वेग सदिश के लंबवत $v$ वेग से गति करता है,तो प्रेरित गतिकीय emf $E = Blv$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रणाली में,दो गतिशील चालक खंड ($U$ ट्यूब के मुड़े हुए सिरे) हैं,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $l$ है,और वे एक-दूसरे की ओर $v$ गति से बढ़ रहे हैं।
प्रत्येक गतिशील खंड $E = Blv$ परिमाण के गतिकीय emf के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
चूंकि दोनों ट्यूब एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं,इसलिए बंद लूप में दोनों खंडों में प्रेरित emf श्रेणीक्रम में हैं और जुड़ जाते हैं।
इसलिए,परिपथ में कुल प्रेरित emf $E_{\text{net}} = Blv + Blv = 2Blv$ होगा।

(D) $LR$ परिपथ में धारा का समीकरण $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ है,जहाँ $i_0 = V/R$ स्थिर अवस्था धारा है।
हमें दिया गया है कि धारा अपने स्थिर अवस्था मान के आधे तक पहुँच जाती है,इसलिए $i = i_0/2$.
समीकरण में मान रखने पर: $i_0/2 = i_0(1 - e^{-Rt/L})$.
यह सरल होकर $1/2 = 1 - e^{-Rt/L}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $e^{-Rt/L} = 1/2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-Rt/L = \ln(1/2) = -\ln(2)$.
अतः,$t = (L/R) \ln(2)$.
यहाँ $L = 300\, mH = 0.3\, H$ और $R = 2\, \Omega$ दिया गया है,इसलिए $t = (0.3 / 2) \times 0.693$.
$t = 0.15 \times 0.693 = 0.10395\, s \approx 0.1\, s$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूँकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$ होगा।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ है।
यदि गतिज ऊर्जा $E$ बढ़कर $E' = 2E$ हो जाती है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का मान $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2E)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ होगा।
अतः,$\lambda' = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda$।
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य $1/\sqrt{2}$ के कारक से बदल जाती है।

(D) बिंदु स्रोत से $d$ दूरी पर प्रकाश की तीव्रता $I$,$I \propto \frac{1}{d^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $N \propto I$ होता है।
अतः,$N \propto \frac{1}{d^2}$।
जब दूरी को $d$ से बदलकर $\frac{d}{2}$ कर दिया जाता है,तो फोटोइलेक्ट्रॉनों की नई संख्या $N'$ का मान $N' \propto \frac{1}{(\frac{d}{2})^2} = \frac{4}{d^2}$ होगा।
$N'$ की $N$ से तुलना करने पर,हमें $N' = 4N$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $4$ के कारक से बढ़ जाएगी।

(D) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{initial} - E_{final}$ द्वारा दी जाती है।
उत्सर्जन तब होता है जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निचले ऊर्जा स्तर में संक्रमण करता है।
संक्रमण $II$ और $IV$ उत्सर्जन का प्रतिनिधित्व करते हैं।
संक्रमण $II$,$n=4$ से $n=3$ तक है,और संक्रमण $IV$,$n=4$ से $n=2$ तक है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ ऊर्जा स्तरों के बीच के अंतराल के समानुपाती होता है।
चूंकि $n=4$ और $n=2$ के बीच का अंतराल $n=4$ और $n=3$ के बीच के अंतराल से बड़ा है,इसलिए संक्रमण $IV$,संक्रमण $II$ की तुलना में अधिक ऊर्जा मुक्त करता है।
अतः,संक्रमण $IV$ सबसे अधिक ऊर्जा वाले फोटॉन के उत्सर्जन का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) दी गई नाभिकीय अभिक्रिया $X(n, \alpha) {_3Li^7}$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $_ZX^A + _0n^1 \to _3Li^7 + _2He^4$.
द्रव्यमान संख्या और परमाणु क्रमांक के संरक्षण के नियम के अनुसार:
परमाणु क्रमांक $(Z)$ के लिए: $Z + 0 = 3 + 2 \implies Z = 5$.
द्रव्यमान संख्या $(A)$ के लिए: $A + 1 = 7 + 4 \implies A + 1 = 11 \implies A = 10$.
अतः,नाभिक $X$ का मान $_5X^{10}$ है,जो बोरॉन-$10$ $(_{5}B^{10})$ को दर्शाता है।

(C) एक पूर्ण तरंग दिष्टकारी में,आउटपुट इनपुट $AC$ आपूर्ति के प्रत्येक एक चक्र के लिए दो पल्स उत्पन्न करता है।
चूंकि इनपुट आवृत्ति $f_{in} = 50\, Hz$ है,इसलिए आउटपुट रिपल आवृत्ति $f_{out}$ को सूत्र $f_{out} = 2 \times f_{in}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $f_{out} = 2 \times 50\, Hz = 100\, Hz$।
अतः,रिपल में मूल आवृत्ति $100\, Hz$ है।

(A) कॉमन बेस $(CB)$ एम्पलीफायर कॉन्फ़िगरेशन में,इनपुट सिग्नल को एमिटर और बेस के बीच लगाया जाता है और आउटपुट को कलेक्टर और बेस के बीच लिया जाता है।
चूंकि बेस इनपुट और आउटपुट दोनों सर्किट के लिए कॉमन होता है,इसलिए इनपुट वोल्टेज और आउटपुट वोल्टेज सिग्नल समान कला (phase) में होते हैं।
अतः,इनपुट सिग्नल वोल्टेज और आउटपुट वोल्टेज के बीच का कलांतर $0$ होता है।

(D) बाहरी दुनिया से आने वाला प्रकाश पानी में प्रवेश करता है और अपवर्तित होता है। मछली बाहरी दुनिया को प्रकाश के एक वृत्ताकार शंकु में देखती है,जो क्रांतिक कोण $\theta_c$ द्वारा परिभाषित होता है।
वृत्ताकार क्षितिज की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = h \tan(\theta_c)$ है,जहाँ $h$ मछली की गहराई है।
पानी का अपवर्तनांक $\mu = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए क्रांतिक कोण $\theta_c$ के लिए $\sin(\theta_c) = \frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}$ होगा।
सर्वसमिका $\tan(\theta_c) = \frac{\sin(\theta_c)}{\cos(\theta_c)} = \frac{\sin(\theta_c)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta_c)}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan(\theta_c) = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$r = 12 \times \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{36}{\sqrt{7}} \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है। लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में,$P_a = (\mu_g - 1) K = -5 D$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
यहाँ $\mu_g = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $(1.5 - 1) K = -5$,जिसका अर्थ है $0.5 K = -5$,जिससे $K = -10$ प्राप्त होता है।
$1.6$ अपवर्तनांक वाले तरल माध्यम में,नई शक्ति $P_l = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$ होगी।
मान रखने पर: $P_l = (\frac{1.5}{1.6} - 1) \times (-10)$.
$P_l = (\frac{1.5 - 1.6}{1.6}) \times (-10) = (\frac{-0.1}{1.6}) \times (-10) = \frac{1}{1.6} = 0.625 D$.
चूंकि $0.625 D$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) एक ऑप्टिकल सिस्टम द्वारा दो बिंदु वस्तुओं के विभेदन (resolution) के लिए शर्त रेले मानदंड (Rayleigh criterion) द्वारा दी जाती है: $\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$,जहाँ $\theta$ कोणीय पृथक्करण है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $a$ एपर्चर (पुतली) का व्यास है।
समस्या की ज्यामिति से,कोणीय पृथक्करण $\theta = \frac{x}{d}$ द्वारा भी दिया जाता है,जहाँ $x$ बिंदुओं के बीच की दूरी है और $d$ बिंदुओं से प्रेक्षक की दूरी है।
$\theta$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{1.22 \lambda}{a} = \frac{x}{d}$.
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{x \cdot a}{1.22 \lambda}$.
दिए गए मान: $x = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,$a = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$,$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{(1 \times 10^{-3} \ m) \times (3 \times 10^{-3} \ m)}{1.22 \times 500 \times 10^{-9} \ m}$
$d = \frac{3 \times 10^{-6}}{610 \times 10^{-9}} = \frac{3000}{610} \approx 4.918 \ m$.
निकटतम पूर्णांक में,अधिकतम दूरी लगभग $5 \ m$ है।

(B) $x$ मोटाई के पदार्थ से गुजरने वाले विकिरण की तीव्रता का सूत्र $I' = I e^{-\mu x}$ है,जहाँ $I$ प्रारंभिक तीव्रता है,$I'$ अंतिम तीव्रता है और $\mu$ अवशोषण गुणांक है।
दिए गए आंकड़ों के अनुसार,जब $x_1 = 36 \, mm$ है,तो तीव्रता $I' = \frac{I}{8}$ हो जाती है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I}{8} = I e^{-\mu (36)} \implies e^{36\mu} = 8 = 2^3$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $36\mu = 3 \ln(2) \implies \mu = \frac{3 \ln(2)}{36} = \frac{\ln(2)}{12}$.
अब,हमें वह मोटाई $x_2$ ज्ञात करनी है जिससे तीव्रता $I' = \frac{I}{2}$ हो जाए।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{I}{2} = I e^{-\mu x_2} \implies e^{\mu x_2} = 2$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\mu x_2 = \ln(2)$.
$\mu$ का मान रखने पर: $(\frac{\ln(2)}{12}) x_2 = \ln(2)$.
$x_2$ के लिए हल करने पर,हमें $x_2 = 12 \, mm$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,दो झिरियों $S_1$ और $S_2$ से आने वाली तरंगों के बीच पर्दे पर किसी बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x = S_2P - S_1P = d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर पथ अंतर के लिए,पर्दे पर बिंदुओं $P$ का बिंदुपथ एक वक्र बनाता है।
गणितीय रूप से,शर्त $S_2P - S_1P = \text{constant}$ उस अतिपरवलय (hyperbola) की परिभाषा को दर्शाती है जिसकी नाभियाँ दोनों झिरियाँ हैं।
इसलिए,पर्दे पर बनने वाली व्यतिकरण फ्रिंजें अतिपरवलयाकार होती हैं।

(C) संयोजी बैंड से चालन बैंड में इलेक्ट्रॉन को उत्तेजित करने के लिए आपतित फोटॉन की ऊर्जा कम से कम बैंड गैप ऊर्जा $(E_g)$ के बराबर होनी चाहिए।
$E_g = \frac{hc}{\lambda}$
दिया गया है:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \; m/s$
$\lambda = 2480 \times 10^{-9} \; m$
$1 \; eV = 1.6 \times 10^{-19} \; J$
मान रखने पर:
$E_g = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2480 \times 10^{-9}} \; J$
$eV$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19}$ से विभाजित करने पर:
$E_g = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2480 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \; eV$
$E_g \approx 0.5 \; eV$

(B) $AC$ परिपथ में अधिकतम शक्ति के लिए, परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है, अर्थात $X_L = X_C$.
अनुनादी आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$ प्राप्त होता है।
धारिता $C$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $L = 10\;H$ और $f = 50\;Hz$.
मान रखने पर: $C = \frac{1}{4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 10}$.
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर, $C = \frac{1}{4 \times 10 \times 2500 \times 10} = \frac{1}{1000000} = 10^{-6}\;F$.
अतः, $C = 1\;\mu F$.

(A) एक $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक प्रतिरोध $(R)$ और प्रतिबाधा $(Z)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$
दिया गया है: $R = 12 \; \Omega$ और $Z = 15 \; \Omega$.
मान रखने पर: $\cos \phi = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$.
अतः,परिपथ का शक्ति गुणांक $0.8$ है।

(D) नाभिकीय त्रिज्या $R$ को सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R_0$ एक स्थिरांक है।
दिए गए नाभिकों के लिए:
${}_{13}^{27}Al$ के लिए,$A_1 = 27$ और $R_1 = 3.6 \, fm$ है।
${}_{52}^{125}Te$ के लिए,$A_2 = 125$ है और हमें $R_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात लेने पर:
$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^{1/3}$
मान रखने पर:
$\frac{R_2}{3.6} = \left( \frac{125}{27} \right)^{1/3}$
$\frac{R_2}{3.6} = \frac{5}{3}$
$R_2 = \frac{5}{3} \times 3.6 = 5 \times 1.2 = 6 \, fm$।
अतः,${}_{52}^{125}Te$ की त्रिज्या $6 \, fm$ है।

(D) $AC$ परिपथ में,प्रत्यावर्ती धारा और विद्युत वाहक बल $(emf)$ के बीच कलांतर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
शुद्ध प्रेरक (केवल $L$) के लिए,$\phi = \frac{\pi}{2}$ होता है।
शुद्ध संधारित्र (केवल $C$) के लिए,$\phi = -\frac{\pi}{2}$ होता है (जिसका परिमाण $\frac{\pi}{2}$ है)।
$L-C$ परिपथ के लिए,यदि $X_L \neq X_C$ है,तो कलांतर $\frac{\pi}{2}$ होता है।
$R-L$ परिपथ के लिए,कलांतर $\phi$ का मान $0 < \phi < \frac{\pi}{2}$ के बीच होता है।
इसलिए,$R-L$ परिपथ में कलांतर $\frac{\pi}{2}$ नहीं हो सकता है।

(D) दिया गया है कि ${}^{66}Cu$ के नमूने का $\frac{7}{8}$ भाग $15 \ minutes$ में क्षयित हो जाता है।
नमूने का अविघटित (undecayed) भाग $N = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ है।
हम जानते हैं कि $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $N = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$,इसलिए अर्ध-आयु की संख्या $n = 3$ है।
समय $t$,अर्ध-आयु की संख्या $n$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच का संबंध $n = \frac{t}{T}$ है।
मान रखने पर,$3 = \frac{15}{T}$ प्राप्त होता है।
अतः,अर्ध-आयु $T = \frac{15}{3} = 5 \ minutes$ है।

(D) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ नेट विद्युत क्षेत्र शून्य है,मूल बिंदु $(x=0)$ से $x$ दूरी पर है।
चूंकि आवेश विपरीत चिह्नों के हैं,इसलिए शून्य बिंदु आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,विशेष रूप से छोटे परिमाण वाले आवेश $(-2 q)$ की ओर स्थित होगा।
मान लीजिए कि बिंदु $x > L$ पर है। $+8 q$ से इसकी दूरी $x$ है और $-2 q$ से इसकी दूरी $(x - L)$ है।
नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$E_1 = E_2$
$\frac{K(8 q)}{x^2} = \frac{K(2 q)}{(x - L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x - L}$
$2(x - L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2 L$
अतः,वह बिंदु मूल बिंदु से $2 L$ की दूरी पर है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में,मुख्य उच्चिष्ठ की तीव्रता स्लिट की चौड़ाई के वर्ग $(a^2)$ के समानुपाती होती है। जब स्लिट की चौड़ाई $a$ को दोगुना करके $2a$ कर दिया जाता है,तो तरंगों का आयाम $2$ के गुणक में बढ़ जाता है। चूंकि तीव्रता आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए नई तीव्रता $I \propto (2a)^2 = 4I_0$ होगी। इस प्रकार,मुख्य उच्चिष्ठ की तीव्रता $4$ गुना बढ़ जाएगी।

(A) जब $I_{0}$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवण शीट पर आपतित होता है, तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_{t} = \frac{I_{0}}{2}$ होती है।
चूंकि कुल आपतित तीव्रता $I_{0}$ है और संचरित तीव्रता $\frac{I_{0}}{2}$ है, इसलिए जो प्रकाश संचरित नहीं होता है उसकी तीव्रता आपतित और संचरित तीव्रता के बीच का अंतर है।
असंचरित प्रकाश की तीव्रता = $I_{0} - I_{t} = I_{0} - \frac{I_{0}}{2} = \frac{I_{0}}{2}$.