AIEEE 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે $O$ એ ગોળાકાર બગીચાનું કેન્દ્ર છે અને $P$ એ ટાવરની ટોચ છે. આમ,$OP$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે.
$O$ કેન્દ્ર હોવાથી,$OA = OB = R$ (બગીચાની ત્રિજ્યા).
આપેલ છે કે $\angle AOB = 60^{\circ}$ અને $OA = OB$,તેથી $\Delta AOB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$OA = OB = AB = a$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta AOP$ માં,જ્યાં $\angle OAP = 30^{\circ}$ એ ઉત્સેધકોણ છે:
$\tan 30^{\circ} = \frac{OP}{OA}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OP}{a}$
$OP = \frac{a}{\sqrt{3}}$
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $\frac{a}{\sqrt{3}}$ છે.

(A) અસમતા $|z - (-4)| \le 3$ એ એવા તમામ બિંદુઓ $z$ નો સમૂહ દર્શાવે છે જે કેન્દ્ર $C(-4, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ ધરાવતા વર્તુળ પર અથવા તેની અંદર આવેલા છે.
આપણે $|z - (-1)|$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી છે,જે $z$ અને બિંદુ $A(-1, 0)$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
કેન્દ્ર $C(-4, 0)$ અને બિંદુ $A(-1, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ છે.
વર્તુળની અંદર અથવા તેના પરના કોઈપણ બિંદુ $z$ થી બિંદુ $A$ સુધીનું મહત્તમ અંતર $d + r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $3 + 3 = 6$ છે.

(C) ગણ $S$ માં $12$ ઘટકો છે.
આપણે $S$ ને ત્રણ સમાન કદના અલગ-અલગ ગણ $A, B, C$ માં વિભાજિત કરવાના છે.
$|S| = 12$ હોવાથી,દરેક ગણમાં $12 / 3 = 4$ ઘટકો હોવા જોઈએ.
$12$ ભિન્ન ઘટકોને $4$ ના કદના $3$ અનામી જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{1}{3!} \binom{12}{4, 4, 4}$ દ્વારા મળે છે.
આની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{3!} \times \binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{1}{3!} \times \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{3!(4!)^3}$.

(B) $(a - b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} (-b)^r$ છે.
$5^{th}$ પદ $(r=4)$ માટે: $T_5 = ^nC_4 a^{n-4} b^4$.
$6^{th}$ પદ $(r=5)$ માટે: $T_6 = -^nC_5 a^{n-5} b^5$.
$T_5 + T_6 = 0$ આપેલ છે:
$^nC_4 a^{n-4} b^4 = ^nC_5 a^{n-5} b^5$.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{^nC_5}{^nC_4} = \frac{n-4}{5}$.

(D) ધારો કે $S = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \dots + \binom{20}{10}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.
તેથી,$\binom{20}{0} = \binom{20}{20}$,$\binom{20}{1} = \binom{20}{19}$,...,$\binom{20}{9} = \binom{20}{11}$.
$(1-1)^{20} = \sum_{r=0}^{20} (-1)^r \binom{20}{r} = 0$ ધ્યાનમાં લો.
આનાથી મળે છે: $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9} + \binom{20}{10} - \binom{20}{11} + \dots + \binom{20}{20} = 0$.
સંમિતિનો ઉપયોગ કરતા: $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9} + \binom{20}{10} - \binom{20}{9} + \dots + \binom{20}{0} = 0$.
$2[\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9}] + \binom{20}{10} = 0$.
ધારો કે $X = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9}$. તો $2X + \binom{20}{10} = 0$,તેથી $X = -\frac{1}{2} \binom{20}{10}$.
માગેલ સરવાળો $S = X + \binom{20}{10} = -\frac{1}{2} \binom{20}{10} + \binom{20}{10} = \frac{1}{2} \binom{20}{10}$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ નું વિસ્તરણ:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$x = -1$ મૂકતા:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
સાદુરૂપ આપતા:
$e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
આમ,શ્રેણીનો સરવાળો $e^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો $a, ar, ar^2, \ldots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$ છે.
આપેલ છે કે દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું છે:
$a = ar + ar^2$
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$1 = r + r^2$
$r^2 + r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
શ્રેણીના પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(C) રેખા $QP$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી તેનો ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\pi$ છે. રેખા $QR$ એ $(0, 0)$ અને $(3, 3\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ છે. રેખા $QR$ ધન $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{\pi}{3}$ ખૂણો બનાવે છે.
ખૂણો $\angle PQR$ એ રેખા $QP$ (ખૂણો $\pi$) અને રેખા $QR$ (ખૂણો $\frac{\pi}{3}$) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\angle PQR$ નું માપ $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$\angle PQR$ નો દ્વિભાજક ધન $x$-અક્ષ સાથે $\alpha = \frac{\pi + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$ ખૂણો બનાવશે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ છે.
દ્વિભાજક ઉગમબિંદુ $Q(0, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ એટલે કે $\sqrt{3}x + y = 0$ થાય.

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(h, k)$,$B(1, 1)$ અને $C(2, 1)$ છે.
$AC$ કર્ણ હોવાથી,કાટખૂણો $B$ આગળ છે. તેથી,$AB \perp BC$.
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k-1}{h-1}$ અને $BC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{1-1}{2-1} = 0$ છે.
$AB \perp BC$ હોવાથી,રેખા $AB$ શિરોલંબ હોવી જોઈએ,તેથી $h = 1$.
હવે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 1$ છે.
અહીં,પાયો $BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2} = 1$.
વેધ $AB = \sqrt{(1-1)^2 + (k-1)^2} = |k-1|$.
તેથી,$\frac{1}{2} \times 1 \times |k-1| = 1$.
$|k-1| = 2$.
$k-1 = 2$ અથવા $k-1 = -2$.
$k = 3$ અથવા $k = -1$.
તેથી,$k$ ની કિંમતોનો ગણ $\{-1, 3\}$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $my^2 + (1 - m^2)xy - mx^2 = 0$ છે.
$xy = 0$ રેખાઓ એટલે કે યામ અક્ષો $x = 0$ અને $y = 0$ છે.
$x = 0$ અને $y = 0$ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો $x^2 - y^2 = 0$ છે,એટલે કે $x = y$ અને $x = -y$.
જો $my^2 + (1 - m^2)xy - mx^2 = 0$ માંથી એક રેખા દ્વિભાજક હોય,તો $m = 1$ અથવા $m = -1$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$m = 1$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) $x$-અક્ષને સ્પર્શતા અને $(h, k)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = k^{2}$ છે.
વર્તુળ $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(-1-h)^{2} + (1-k)^{2} = k^{2}$
$1 + 2h + h^{2} + 1 - 2k + k^{2} = k^{2}$
$h^{2} + 2h + 2 - 2k = 0$
$h$ વાસ્તવિક યામ હોય તે માટે,$h$ માંના આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટો હોવો જોઈએ:
$D = (2)^{2} - 4(1)(2 - 2k) \ge 0$
$4 - 8 + 8k \ge 0$
$8k - 4 \ge 0$
$8k \ge 4$
$k \ge \frac{1}{2}$

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 8$,તેથી $a = 2$ મળે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ની નિયામિકા (directrix) $x = -a$ છે,જે $x = -2$ થાય.
પરવલયનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે કે બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ હંમેશા નિયામિકા પર હોય છે.
આ બિંદુ આપેલ સ્પર્શક રેખા $y = x + 2$ અને નિયામિકા $x = -2$ બંને પર આવેલું હોવાથી,રેખાના સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$y = (-2) + 2 = 0$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(-2, 0)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 \sec^2 \theta - y^2 \csc^2 \theta = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = \cos^2 \theta$ અને $b^2 = \sin^2 \theta$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sec \theta$ થાય.
નાભિના યામ $(\pm ae, 0)$ છે.
$ae = \sqrt{a^2} \cdot e = \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot \sec \theta = \cos \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 1$.
આમ,નાભિનું કેન્દ્રથી અંતર $ae = 1$ છે,જે $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી નાભિ અચળ રહે છે.

(A) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $x$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $y$ છે.
છોકરાઓના કુલ ગુણ $52x$ છે અને છોકરીઓના કુલ ગુણ $42y$ છે.
સંયુક્ત સરેરાશ ગુણ $\frac{52x + 42y}{x + y} = 50$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $(x + y)$ વડે ગુણતા,આપણને $52x + 42y = 50(x + y)$ મળે છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $52x + 42y = 50x + 50y$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $52x - 50x = 50y - 42y$.
$2x = 8y$,જેનું સાદું રૂપ $x = 4y$ થાય છે.
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $x + y = 4y + y = 5y$ છે.
છોકરાઓની ટકાવારી $\frac{x}{x + y} \times 100 = \frac{4y}{5y} \times 100 = 80\%$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 + ax + 1 = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -a$ અને $\alpha \beta = 1$.
બીજ વચ્ચેનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $|\alpha - \beta| = \sqrt{a^2 - 4}$ મળે છે.
આપેલ શરત મુજબ,$|\alpha - \beta| < \sqrt{5}$.
તેથી,$\sqrt{a^2 - 4} < \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 - 4 < 5$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 < 9$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી છે જ્યારે $|a| < 3$,એટલે કે $a \in (-3, 3)$.

(D) આપેલ છે કે $p^{2} + q^{2} = 1$ જ્યાં $p, q > 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p+q)^{2} = p^{2} + q^{2} + 2pq$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $(p+q)^{2} = 1 + 2pq$.
$AM \geq GM$ અસમતા મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $p^{2}$ અને $q^{2}$ માટે,$\frac{p^{2} + q^{2}}{2} \geq \sqrt{p^{2}q^{2}} = pq$ થાય.
કારણ કે $p^{2} + q^{2} = 1$,તેથી $\frac{1}{2} \geq pq$,જેનો અર્થ છે કે $2pq \leq 1$.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા: $(p+q)^{2} = 1 + 2pq \leq 1 + 1 = 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $p+q \leq \sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,$(p+q)$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $x$,$y$ અને $z$-અક્ષની ધન દિશાઓ સાથે અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{4}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$.
રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$1 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \gamma = 0$.
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે રેખા $L$ ના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ છે.
રેખા $L$ બંને સમતલોમાં આવેલી હોવાથી,તે બંને સમતલોના અભિલંબને લંબ છે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, 3, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, 3, 2)$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $(1, -1, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
દિકકોસાઇન $(\ell, m, n)$ એ સદિશ $(1, -1, 1)$ ને પ્રમાણિત કરીને મળે છે:
માન $= \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
આમ,$\ell = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\cos \alpha = \ell = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.

(D) આપેલ ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 12y - 2z + 20 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2u = -6, 2v = -12, 2w = -2$ મળે છે.
આમ,$u = -3, v = -6, w = -1$.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (3, 6, 1)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું એક અંત્યબિંદુ $A = (2, 3, 5)$ છે અને બીજું અંત્યબિંદુ $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{\alpha + 2}{2} = 3 \Rightarrow \alpha + 2 = 6 \Rightarrow \alpha = 4$
$\frac{\beta + 3}{2} = 6 \Rightarrow \beta + 3 = 12 \Rightarrow \beta = 9$
$\frac{\gamma + 5}{2} = 1 \Rightarrow \gamma + 5 = 2 \Rightarrow \gamma = -3$
તેથી,બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(4, 9, -3)$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$.
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $t = \frac{1}{u}$,તો $dt = -\frac{1}{u^2} du$.
જ્યારે $t=1, u=1$. જ્યારે $t=1/x, u=x$.
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e}(1/u)}{1+(1/u)} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\log_{e} u}{\frac{u+1}{u}} \left(\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\log_{e} u}{u(u+1)} du$.
હવે,$F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt + \int_{1}^{x} \frac{-\log_{e} t}{t(1+t)} dt$.
$F(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} \left( 1 - \frac{1}{t} \right) dt = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{t} dt$.
$F(x) = \left[ \frac{(\log_{e} t)^2}{2} \right]_{1}^{x} = \frac{(\log_{e} x)^2}{2}$.
$x=e$ માટે,$F(e) = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(D) આપણને સમીકરણ $\int_{\sqrt{2}}^{x} \frac{dt}{t\sqrt{t^2-1}} = \frac{\pi}{2}$ આપેલ છે.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dt}{t\sqrt{t^2-1}} = \sec^{-1} t$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ:
$\left[\sec^{-1} t\right]_{\sqrt{2}}^{x} = \frac{\pi}{2}$.
સીમાઓ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sec^{-1} x - \sec^{-1} \sqrt{2} = \frac{\pi}{2}$.
કારણ કે $\sec^{-1} \sqrt{2} = \frac{\pi}{4}$,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$\sec^{-1} x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
$\sec^{-1} x$ માટે ઉકેલતા:
$\sec^{-1} x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
તેથી,$x = \sec\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$.
આમ,$-\sqrt{2}$ આપેલ વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) વક્રો $y^2 = x$ અને $y = |x|$ છે.
$y = |x|$ હોવાથી,વક્રો $y^2 = x$ અને $y = x$ ($x \ge 0$ માટે) અને $y = -x$ ($x < 0$ માટે) છે.
જોકે,$y^2 = x$ સૂચવે છે કે $x \ge 0$,તેથી આપણે ફક્ત $x \ge 0$ અને $y = x$ વાળો પ્રદેશ ધ્યાનમાં લઈશું.
છેદબિંદુઓ $x^2 = x$ દ્વારા મળે છે,જે $x(x-1) = 0$ આપે છે,તેથી $x = 0$ અને $x = 1$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$\sqrt{x} \ge x$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$.
$= \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.

(D) આપેલ છે,$D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+x & 1 \\ 1 & 1 & 1+y \end{array} \right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & y \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1 \cdot (x \cdot y - 0 \cdot 0) - 0 + 0 = xy$.
આમ,$D = xy$ હોવાથી,તે $x$ અને $y$ બંને વડે વિભાજ્ય છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 5 & 5\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & 5\alpha \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ તેના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોનો ગુણાકાર છે.
$|A| = 5 \times \alpha \times 5 = 25\alpha$.
આપણને આપેલ છે કે $|A|^2 = 25$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા,$(25\alpha)^2 = 25$ મળે.
$625\alpha^2 = 25$.
$\alpha^2 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ મળે.

(D) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,આપણે $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરવું પડે.
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{x} - \frac{2}{e^{2x} - 1} \right]$
$= \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x(e^{2x} - 1)}$
ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \dots) - 1 - 2x}{x(1 + 2x + \dots - 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4x^2}{2} + \dots}{x(2x + \dots)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \dots}{2x^2 + \dots} = \frac{2}{2} = 1$.
આમ,$f(0) = 1$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
વિધેય ક્યાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$.
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)} = \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x}$.
વિધેય વધતું હોવા માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $2 + \sin 2x > 0$ તમામ $x$ માટે,તેથી $\cos x - \sin x > 0$ હોવું જોઈએ.
$\cos x > \sin x$.
$\cos x$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\cos x > 0$),આપણને $1 > \tan x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x < \frac{\pi}{4}$.
વિધેયના પ્રદેશને ધ્યાનમાં લેતા,જે અંતરાલમાં $f'(x) > 0$ છે તે $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})$ છે.

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,અંતરાલ $(1, 3)$ માં એક એવી કિંમત $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં $f(x) = \log_e x$ આપેલ છે,તેથી $f'(x) = \frac{1}{x}$.
અહીં $a = 1$ અને $b = 3$ છે.
તેથી,$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{\log_e 3 - \log_e 1}{2}$.
કારણ કે $\log_e 1 = 0$,તેથી $f'(c) = \frac{\log_e 3}{2}$ મળે.
$f'(c) = \frac{1}{c}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{c} = \frac{\log_e 3}{2}$ મળે.
તેથી,$c = \frac{2}{\log_e 3} = 2 \log_3 e$ થાય.

(C) વિધેય $f(x) = \text{Min}\{x + 1, |x| + 1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે $x$ માટે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈને તેનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: $x \ge 0$. તો $|x| = x$,તેથી $f(x) = \text{Min}\{x + 1, x + 1\} = x + 1$.
કિસ્સો $2$: $x < 0$. તો $|x| = -x$,તેથી $f(x) = \text{Min}\{x + 1, -x + 1\}$.
$x < 0$ માટે,$x + 1 < -x + 1$ એ $2x < 0$ ને સમકક્ષ છે,જે તમામ $x < 0$ માટે સાચું છે.
આમ,તમામ $x < 0$ માટે $f(x) = x + 1$.
આ બંનેને જોડતા,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = x + 1$.
કારણ કે $f(x) = x + 1$ એ સુરેખ બહુપદી છે,તે $R$ માં દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષ પર $(a, 0)$ કેન્દ્ર ધરાવતા તમામ વર્તુળોની ત્રિજ્યા $a$ થશે.
આવા વર્તુળોનું સામાન્ય સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x - a)^2 + y^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ax = 0$ --- $(i)$
આ સમીકરણમાં માત્ર એક સ્વૈર અચળાંક $a$ છે. તેથી,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં એકવાર વિકલન કરીશું:
$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a = 0$
$x + y\frac{dy}{dx} = a$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - 2x(x + y\frac{dy}{dx}) = 0$
$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$
$y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$
$y^2 = x^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\cos x + \sqrt{3} \sin x}$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \int \frac{dx}{2 \left( \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right)}$.
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ અને $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin \frac{\pi}{6} \cos x + \cos \frac{\pi}{6} \sin x}$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x + \frac{\pi}{6})} = \frac{1}{2} \int \csc(x + \frac{\pi}{6}) dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \csc \theta d\theta = \log |\tan \frac{\theta}{2}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \log |\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12})| + C$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\csc ^{-1}(z) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$. તેથી,$\csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{\pi}{2}$
પદોને ગોઠવતા: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
નિત્યસમ $\sin ^{-1}(y) + \cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે કે $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
$x$ શોધવા માટે,$\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ ને $\sin ^{-1}$ માં ફેરવો. કારણ કે $\cos \theta = \frac{4}{5}$,સામેની બાજુ $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ થાય,તેથી $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
આમ,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.
સરખામણી કરતા,$\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(B) પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$9$ નો સ્કોર મેળવવા માટે,શક્ય પરિણામો $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
એક પ્રયત્નમાં $9$ નો સ્કોર મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ છે.
$9$ નો સ્કોર ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = nC_k \times p^k \times q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 3$ અને $k = 2$:
$P(X = 2) = 3C_2 \times (\frac{1}{9})^2 \times (\frac{8}{9})^{3-2}$
$= 3 \times \frac{1}{81} \times \frac{8}{9}$
$= \frac{24}{729} = \frac{8}{243}$.

(B) વિધેય $f(x) = 4^{-x^2} + \cos^{-1}\left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \log(\cos x)$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જો તેના તમામ ઘટકો વ્યાખ્યાયિત હોય.
$1$. $\cos^{-1}\left( \frac{x}{2} - 1 \right)$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$-1 \leq \frac{x}{2} - 1 \leq 1$ હોવું જોઈએ.
બધા ભાગોમાં $1$ ઉમેરતા: $0 \leq \frac{x}{2} \leq 2$.
$2$ વડે ગુણતા: $0 \leq x \leq 4$.
$2$. $\log(\cos x)$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$\cos x > 0$ હોવું જોઈએ.
અંતરાલ $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ માં,$\cos x > 0$ હંમેશા સાચું છે.
$3$. આ શરતોને આપેલા અંતરાલ $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ સાથે જોડતા:
આપણને $x \in [0, 4]$ અને $x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ જોઈએ.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,તેથી છેદગણ $[0, \frac{\pi}{2})$ થાય.
આમ,સૌથી મોટો અંતરાલ $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right)$ છે.

(D) ધારો કે રેખા $x$,$y$ અને $z$-અક્ષની ધન દિશાઓ સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^\circ$ અને $\beta = 45^\circ$.
રેખાની દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે.
તેથી $l = \cos \alpha = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$m = \cos \beta = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$n = \cos \gamma$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$1 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 0$.
$\cos \gamma = 0$.
તેથી,$\gamma = 90^\circ$.

(A) આપેલ છે કે $2\vec{u} \times 3\vec{v}$ એ એકમ સદિશ છે,તેથી તેનું માન $1$ હોવું જોઈએ.
આમ,$|2\vec{u} \times 3\vec{v}| = 1$.
ચૂંક $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{u}| = 1$ અને $|\vec{v}| = 1$.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|2\vec{u} \times 3\vec{v}| = 6|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta = 6(1)(1)\sin\theta = 6\sin\theta$.
પ્રશ્ન મુજબ,$6\sin\theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sin\theta = \frac{1}{6}$.
ચૂંક $\theta$ એ લઘુકોણ છે,તેથી $\theta = \arcsin(\frac{1}{6})$ માટે $\theta$ નું માત્ર એક જ મૂલ્ય શક્ય છે.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{c} = x\hat{i} + (x-2)\hat{j} - \hat{k}$ છે.
જો $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોય,તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ શૂન્ય થાય.
આથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થશે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - 2(x-2)) - 1((1)(-1) - 2(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$5 - 2x + 1 + 2x + 2x - 2 = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(D) સદિશ $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$
$\begin{vmatrix} \alpha & 2 & \beta \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\alpha(1-0) - 2(1-0) + \beta(1-0) = 0 \Rightarrow \alpha - 2 + \beta = 0 \Rightarrow \alpha + \beta = 2 \dots (i)$
સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ની દિશાના એકમ સદિશોના સરવાળાના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ:
$\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(1, 1, 0)}{\sqrt{2}}, \hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{(0, 1, 1)}{\sqrt{2}}$
$\vec{a} = k(\hat{b} + \hat{c}) = \frac{k}{\sqrt{2}}(1, 2, 1)$
$\vec{a} = (\alpha, 2, \beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{k}{\sqrt{2}} = 1$ મળે છે,તેથી $k = \sqrt{2}$.
આમ,$\alpha = 1$ અને $\beta = 1$ મળે છે.