ધારો કે $f: R \to R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જ્યાં $f(2) = 6$ અને $f'(2) = \frac{1}{48}$ છે. તો $\lim_{x \to 2} \int_{6}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(B)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે અને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(C)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર વધતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$(D)$ $f(x)$ એ $(-1,1)$ પર ઘટતું વિધેય છે પરંતુ $x=1$ આગળ ન તો સ્થાનિક મહત્તમ કે ન તો સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે
$3.$ ધારો કે $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$. નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ધન અને $(0, \infty)$ પર ઋણ છે
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર ઋણ અને $(0, \infty)$ પર ધન છે
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, 0)$ અને $(0, \infty)$ બંને પર ચિહ્ન બદલે છે
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર ચિહ્ન બદલતું નથી
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

ધારો કે $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$. તો $x = -1$ આગળ $y'(x) - y''(x)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે $h(x) = \min \{ x, x^2 \}$ છે. તો:

નીચેનામાંથી કયું વિધાન $NOT \text{ } CORRECT$ (ખોટું) છે?

જો $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) + \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$ હોય,તો $x = 0$ આગળ $\frac{dy}{dx} = $