General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Gujarati

(C) ચાર પેપરમાં કુલ $2m$ ગુણ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા,જ્યાં દરેક પેપરમાં મહત્તમ $m$ ગુણ હોય,તે $(x^0 + x^1 + \dots + x^m)^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^{2m}$ નો સહગુણક છે.
આ $\left(\frac{1 - x^{m+1}}{1 - x}\right)^4$ માં $x^{2m}$ ના સહગુણક જેટલું છે.
$= (1 - x^{m+1})^4 (1 - x)^{-4}$ માં $x^{2m}$ નો સહગુણક.
$= (1 - 4x^{m+1} + 6x^{2m+2} - \dots) \left(\sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+3}{3} x^r\right)$ માં $x^{2m}$ નો સહગુણક.
$= \binom{2m+3}{3} - 4 \binom{m+2}{3} = \frac{(2m+3)(2m+2)(2m+1)}{6} - 4 \frac{(m+2)(m+1)m}{6}$.
સરળ બનાવતા,આપણને મળે છે: $\frac{(m+1)(2m^2 + 4m + 3)}{3}$.

(B) $(x + a)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + a)^{100} + (x - a)^{100}$ માટે,$a$ ની એકી ઘાતવાળા પદો ઉડી જાય છે.
સરવાળો કરતા,માત્ર બેકી ઘાતવાળા પદો બાકી રહે છે: $2[\binom{100}{0}x^{100} + \binom{100}{2}x^{98}a^2 + \dots + \binom{100}{100}a^{100}]$.
બાકી રહેલા પદોના અનુક્રમણિકા $k = 0, 2, 4, \dots, 100$ છે.
આવા પદોની કુલ સંખ્યા $\frac{100 - 0}{2} + 1 = 50 + 1 = 51$ થાય.

(B) $(x + a)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^n}C_r x^{n-r} a^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6^{th}$ પદ માટે,$r+1 = 6$ લેતા,$r = 5$ મળે છે.
અહીં,$n = 10$,$x = 2x^2$,અને $a = -\frac{1}{3x^2}$ છે.
$T_6 = {^{10}}C_5 (2x^2)^5 \left( -\frac{1}{3x^2} \right)^5$
$T_6 = 252 \times 32x^{10} \times \left( -\frac{1}{243x^{10}} \right)$
$T_6 = -\frac{896}{27}$

(C) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = ^nC_k x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r^{th}$ પદ માટે,$k = r - 1$,તેથી સહગુણક $^{20}C_{r-1}$ છે.
$(r + 4)^{th}$ પદ માટે,$k = r + 4 - 1 = r + 3$,તેથી સહગુણક $^{20}C_{r+3}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે,તેથી $^{20}C_{r-1} = ^{20}C_{r+3}$.
ગુણધર્મ $^nC_a = ^nC_b \implies a = b$ અથવા $a + b = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $1$: $r - 1 = r + 3$ (જે અશક્ય છે).
કિસ્સો $2$: $(r - 1) + (r + 3) = 20$.
$2r + 2 = 20$.
$2r = 18$.
$r = 9$.

(B) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણ માટે સામાન્ય પદનું સૂત્ર $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ છે.
$r^{th}$ પદ શોધવા માટે,આપણે સામાન્ય પદના સૂત્રમાં $r$ ને બદલે $r-1$ મૂકીએ છીએ:
$T_r = T_{(r-1)+1} = ^nC_{r-1} a^{n-(r-1)} (2x)^{r-1}$
$T_r = ^nC_{r-1} a^{n-r+1} (2x)^{r-1}$
સંયોજનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$^nC_{r-1} = \frac{n!}{(n-r+1)!(r-1)!} = \frac{n(n-1)...(n-r+2)}{(r-1)!}$.
આમ,$T_r = \frac{n(n-1)...(n-r+2)}{(r-1)!} a^{n-r+1} (2x)^{r-1}$.

(C) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{17}$ ના વિસ્તરણ માટે,$n = 17$,$a = \sqrt{x}$,અને $b = -\sqrt{y}$ છે.
$16^{th}$ પદ $(T_{16})$ શોધવા માટે,આપણે $r+1 = 16$ લઈએ છીએ,જે $r = 15$ આપે છે.
$T_{16} = {}^{17}C_{15} (\sqrt{x})^{17-15} (-\sqrt{y})^{15}$
$T_{16} = {}^{17}C_2 (\sqrt{x})^2 (-\sqrt{y})^{15}$
$T_{16} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} \times x \times (-y^{15/2})$
$T_{16} = 136 \times x \times (-y^{15/2}) = -136xy^{15/2}$.

(C) શરૂઆતથી $r^{th}$ પદ $T_r = ^nC_{r-1} (2^{1/3})^{n-(r-1)} (3^{-1/3})^{r-1}$ છે.
શરૂઆતથી $7^{th}$ પદ માટે $r=7$,તેથી $T_7 = ^nC_6 (2^{1/3})^{n-6} (3^{-1/3})^6$.
અંતથી $7^{th}$ પદ એ શરૂઆતથી $(n-7+1)^{th} = (n-6)^{th}$ પદ છે.
$T_{n-6} = ^nC_{n-7} (2^{1/3})^{n-(n-7)} (3^{-1/3})^{n-7} = ^nC_7 (2^{1/3})^7 (3^{-1/3})^{n-7}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_7}{T_{n-6}} = \frac{1}{6}$ છે.
કારણ કે $^nC_6 = ^nC_{n-6}$,ગુણોત્તર $\frac{(2^{1/3})^{n-6} (3^{-1/3})^6}{(2^{1/3})^6 (3^{-1/3})^{n-6}} = \frac{1}{6}$ તરીકે સરળ બને છે.
આ $\frac{(2^{1/3})^{n-12}}{(3^{-1/3})^{n-12}} = (2^{1/3} \cdot 3^{1/3})^{n-12} = (6^{1/3})^{n-12} = 6^{(n-12)/3} = 6^{-1}$ માં પરિણમે છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{n-12}{3} = -1$ $\Rightarrow n-12 = -3$ $\Rightarrow n = 9$.

(A) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = \binom{n}{k} x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2r + 3)^{th}$ પદ $T_{(2r+2)+1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $\binom{15}{2r+2}$ છે.
$(r - 1)^{th}$ પદ $T_{(r-2)+1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $\binom{15}{r-2}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
$\binom{15}{2r+2} = \binom{15}{r-2}$.
ગુણધર્મ $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય.
કિસ્સો $1$: $2r + 2 = r - 2 \Rightarrow r = -4$ (શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $(2r + 2) + (r - 2) = 15$
$3r = 15$
$r = 5$.

(C) ${(a + b)^n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ ${T_k}$ એ ${T_{k+1} = {^nC_k} a^{n-k} b^k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 15$,$a = x^4$,અને $b = x^{-3}$ છે.
${r^{th}}$ પદ ${T_r = T_{(r-1)+1} = {^{15}C_{r-1}} (x^4)^{15-(r-1)} (x^{-3})^{r-1}}$ છે.
${T_r = {^{15}C_{r-1}} (x^4)^{16-r} (x^{-3})^{r-1} = {^{15}C_{r-1}} x^{64-4r} x^{-3r+3} = {^{15}C_{r-1}} x^{67-7r}}$.
આપેલ છે કે પદમાં ${x^4}$ છે,તેથી $x$ નો ઘાતાંક $4$ સાથે સરખાવતા:
$67 - 7r = 4$.
$7r = 63$.
$r = 9$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણના સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ મુજબ:
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (a^{1/3} b^{-1/6})^{21-r} (b^{1/2} a^{-1/6})^r$.
$a$ અને $b$ ની ઘાતને સરખાવતા:
$a$ ની ઘાત = $\frac{21-r}{3} - \frac{r}{6} = 7 - \frac{r}{2}$.
$b$ ની ઘાત = $\frac{r}{2} - \frac{21-r}{6} = \frac{2r}{3} - \frac{7}{2}$.
બંને ઘાત સમાન હોવાથી:
$7 - \frac{r}{2} = \frac{2r}{3} - \frac{7}{2}$.
$42 - 3r = 4r - 21$.
$7r = 63 \Rightarrow r = 9$.

(B) ${\left( {{x^2} + \frac{a}{x}} \right)^5}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ ${T_{r + 1}} = {\,^5}{C_r}{({x^2})^{5 - r}}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને ${T_{r + 1}} = {\,^5}{C_r}{a^r}{x^{10 - 2r}}{x^{-r}} = {\,^5}{C_r}{a^r}{x^{10 - 3r}}$ મળે છે.
$x$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $1$ ની બરાબર લઈએ છીએ:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9$
$r = 3$.
$r = 3$ ને સામાન્ય પદમાં મૂકતા:
${T_{3 + 1}} = {\,^5}{C_3}{a^3}{x^{10 - 3(3)}}$
${T_4} = 10 \cdot {a^3} \cdot x$.
આમ,$x$ નો સહગુણક $10{a^3}$ છે.

(B) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $p^{th}$,$(p + 1)^{th}$ અને $(p + 2)^{th}$ પદોના સહગુણકો $^nC_{p-1}$,$^nC_p$ અને $^nC_{p+1}$ છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$2(^nC_p) = ^nC_{p-1} + ^nC_{p+1}$ થાય.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $n^2 - n(4p + 1) + 4p^2 - 2 = 0$ મળે છે.
ચકાસણી: જો $p = 1$ લઈએ,તો $^nC_0, ^nC_1, ^nC_2$ એ $A.P.$ માં છે.
$2(^nC_1) = ^nC_0 + ^nC_2$ $\Rightarrow 2n = 1 + \frac{n(n-1)}{2}$ $\Rightarrow n^2 - 5n + 2 = 0$.
વિકલ્પ $(b)$ માં $p=1$ મૂકતા $n^2 - 5n + 2 = 0$ મળે છે,જે સાચું છે.

(C) ${\left( \frac{a}{x} + bx \right)^{12}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^{12}C_r} \left( \frac{a}{x} \right)^{12-r} (bx)^r$ છે.
$T_{r+1} = {^{12}C_r} a^{12-r} x^{-(12-r)} b^r x^r = {^{12}C_r} a^{12-r} b^r x^{2r-12}$.
$x^{-10}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $-10$ લો:
$2r - 12 = -10$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$.
$r = 1$ મુકતા,$T_2 = {^{12}C_1} a^{11} b^1 = 12a^{11}b$.

(B) $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^n$ નો સહગુણક $A = ^{2n}C_n$ છે.
$(1 + x)^{2n - 1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^n$ નો સહગુણક $B = ^{2n-1}C_n$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{A}{B}$ લેતા:
$\frac{A}{B} = \frac{^{2n}C_n}{^{2n-1}C_n} = \frac{(2n)!}{n!n!} \times \frac{n!(n-1)!}{(2n-1)!}$
$= \frac{(2n)(2n-1)!}{n(n-1)!n!} \times \frac{n!(n-1)!}{(2n-1)!}$
$= \frac{2n}{n} = 2$
તેથી,$A = 2B$.

(C) $(y^2 + \frac{c}{y})^5$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^5C_r (y^2)^{5-r} (\frac{c}{y})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_{r+1} = ^5C_r c^r y^{10-3r}$.
$y$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$y$ ના ઘાતાંકને $1$ સાથે સરખાવતા:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9$
$r = 3$.
$r = 3$ ને સહગુણક પદ $^5C_r c^r$ માં મૂકતા:
સહગુણક $= ^5C_3 c^3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} c^3 = 10c^3$.

(A) ${\left( x - \frac{1}{x} \right)^6}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^6C_r} \cdot x^{6-r} \cdot \left( -\frac{1}{x} \right)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $T_{r+1} = {^6C_r} \cdot (-1)^r \cdot x^{6-2r}$ મળે છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ (અચળ પદ) માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $6 - 2r = 0$,જેનો અર્થ છે કે $r = 3$.
$r = 3$ મૂકતા,અચળ પદ ${^6C_3} \cdot (-1)^3 = 20 \cdot (-1) = -20$ થાય છે.

(C) $(x^2 - 2x)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{10}{r} (x^2)^{10-r} (-2x)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{20-2r} (-2)^r x^r = \binom{10}{r} (-2)^r x^{20-r}$ થાય છે.
આપણે $x^{16}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી ઘાતાંક $20-r = 16$ લેતા,$r = 4$ મળે છે.
$r = 4$ મૂકતા,સહગુણક $\binom{10}{4} (-2)^4$ મળે છે.
કિંમત ગણતા: $\binom{10}{4} = 210$ અને $(-2)^4 = 16$.
આમ,સહગુણક $210 \times 16 = 3360$ થાય છે.

(A) $\left( \frac{x}{2} - \frac{3}{x^2} \right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r \left( \frac{x}{2} \right)^{10-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^r$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$T_{r+1} = {}^{10}C_r (-1)^r \frac{3^r}{2^{10-r}} x^{10-3r}$ મળે.
$x^4$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $4$ લઈએ:
$10 - 3r = 4$ $\Rightarrow 3r = 6$ $\Rightarrow r = 2$.
$r = 2$ મૂકતા:
$T_{2+1} = {}^{10}C_2 (-1)^2 \frac{3^2}{2^{10-2}} x^4 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times 1 \times \frac{9}{256} x^4 = \frac{405}{256} x^4$.
આમ,$x^4$ નો સહગુણક $\frac{405}{256}$ છે.

(C) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = \frac{x^2}{2}$,$b = -\frac{2}{x}$,અને $n = 8$.
$T_{r+1} = {}^8C_r \left( \frac{x^2}{2} \right)^{8-r} \left( -\frac{2}{x} \right)^r$
$T_{r+1} = {}^8C_r \left( \frac{1}{2} \right)^{8-r} (-2)^r x^{16-3r}$
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$16 - 3r = 7$ લેતા,$3r = 9$,તેથી $r = 3$.
સહગુણક ${}^8C_3 \left( \frac{1}{2} \right)^5 (-2)^3 = 56 \times \frac{1}{32} \times (-8) = -14$ થાય.

(A) $\left( ax - \frac{1}{bx^2} \right)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{11}C_r (ax)^{11-r} (-\frac{1}{bx^2})^r$ છે.
$T_{r+1} = ^{11}C_r a^{11-r} (-1)^r b^{-r} x^{11-3r}$
$x^{-7}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $-7$ લઈએ:
$11 - 3r = -7$
$3r = 18 \Rightarrow r = 6$
$r = 6$ મૂકતા,સહગુણક $= ^{11}C_6 a^{11-6} (-1)^6 b^{-6} = 462 \frac{a^5}{b^6}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\sum_{m=0}^{n} {^{n}C_m a^{n-m} b^m}$ સ્વરૂપમાં છે,જે $(a+b)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ છે.
અહીં,$a = (x-3)$,$b = 2$,અને $n = 100$ છે.
તેથી,પદાવલિ $((x - 3) + 2)^{100} = (x - 1)^{100}$ માં પરિણમે છે.
આને $(-(1 - x))^{100} = (1 - x)^{100}$ તરીકે લખી શકાય.
$(1 - x)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^{100}C_r (1)^{100-r} (-x)^r} = {^{100}C_r (-1)^r x^r}$ છે.
$x^{53}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$r = 53$ લો.
તેથી પદ ${^{100}C_{53} (-1)^{53} x^{53}} = -{^{100}C_{53}} x^{53}$ મળે.
આમ,$x^{53}$ નો સહગુણક $-{^{100}C_{53}}$ છે.

(C) $(x^4 - x^{-3})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = ^{15}C_r (x^4)^{15-r} (-x^{-3})^r$
$T_{r+1} = ^{15}C_r (-1)^r x^{60-4r} x^{-3r}$
$T_{r+1} = ^{15}C_r (-1)^r x^{60-7r}$
$x^{32}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$x$ ના ઘાતાંકને $32$ સાથે સરખાવતા:
$60 - 7r = 32$
$7r = 28$
$r = 4$
$r = 4$ મૂકતા,સહગુણક $^{15}C_4 (-1)^4 = ^{15}C_4$ મળે છે.

(B) $(2 + \frac{x}{3})^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r (2)^{n-r} (\frac{x}{3})^r = {}^nC_r (2)^{n-r} (\frac{1}{3})^r x^r$ છે.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$r = 7$ લેતા:
$x^7$ નો સહગુણક $= {}^nC_7 (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^7$.
$x^8$ ના સહગુણક માટે,$r = 8$ લેતા:
$x^8$ નો સહગુણક $= {}^nC_8 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^8$.
આ સહગુણકો સમાન હોવાથી:
${}^nC_7 (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^7 = {}^nC_8 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^8$.
બંને બાજુ ${}^nC_7 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^7$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{{}^nC_8}{{}^nC_7} \times \frac{1}{3}$.
ગુણધર્મ $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{n-8+1}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{n-7}{24}$.
$n - 7 = 48 \implies n = 55$.

(B) $(x - \frac{1}{x})^7$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^7C_r (x)^{7-r} (-x^{-1})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $T_{r+1} = ^7C_r (-1)^r x^{7-2r}$ થાય છે.
$x^3$ નો સહગુણક શોધવા માટે,ઘાતાંક $7 - 2r = 3$ લઈએ.
$7 - 3 = 2r$ $\Rightarrow 2r = 4$ $\Rightarrow r = 2$.
$r = 2$ મૂકતા,સહગુણક $^7C_2 (-1)^2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times 1 = 21$ મળે છે.

(C) ${\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{2n}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
${T_{r + 1}} = {}^{2n}{C_r}{x^{2n - r}}{\left( {{x^{ - 2}}} \right)^r} = {}^{2n}{C_r}{x^{2n - 3r}}$
${x^m}$ ધરાવતા પદ માટે,ઘાતાંકને $m$ સાથે સરખાવતા:
$2n - 3r = m \implies 3r = 2n - m \implies r = \frac{{2n - m}}{3}$
${x^m}$ નો સહગુણક ${}^{2n}{C_r} = \frac{{(2n)!}}{{r!(2n - r)!}}$ છે.
$r = \frac{{2n - m}}{3}$ મૂકતા:
$2n - r = 2n - \frac{{2n - m}}{3} = \frac{{6n - 2n + m}}{3} = \frac{{4n + m}}{3}$
આમ,સહગુણક $\frac{{(2n)!}}{{\left( {\frac{{2n - m}}{3}} \right)!\,\left( {\frac{{4n + m}}{3}} \right)!}}$ છે.

(D) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $2^{nd}$,$3^{rd}$ અને $4^{th}$ પદોના સહગુણકો અનુક્રમે $^nC_1$,$^nC_2$ અને $^nC_3$ છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$2(^nC_2) = ^nC_1 + ^nC_3$.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n$ વડે ભાગતા:
$(n-1) = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$.
$6(n-1) = 6 + (n^2 - 3n + 2)$.
$6n - 6 = 6 + n^2 - 3n + 2$.
$n^2 - 9n + 14 = 0$.
તેથી,$n^2 - 9n = -14$.

(A) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = \binom{n}{k} x^k$ છે.
$(2r + 1)^{th}$ પદનો સહગુણક $\binom{43}{2r}$ છે.
$(r + 2)^{th}$ પદનો સહગુણક $\binom{43}{r+1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\binom{43}{2r} = \binom{43}{r+1}$.
ગુણધર્મ $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = n$.
કિસ્સો $1$: $2r = r + 1 \implies r = 1$.
કિસ્સો $2$: $2r + (r + 1) = 43 \implies 3r + 1 = 43 \implies 3r = 42 \implies r = 14$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$r$ ની કિંમત $14$ છે.

(C) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4^{th}$ પદ માટે,$r = 3$,તેથી $T_4 = {}^nC_3 a^{n-3} b^3$.
$4^{th}$ પદનો સહગુણક ${}^nC_3 = 56$ છે.
સૂત્ર ${}^nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \times 2 \times 1} = 56$ નો ઉપયોગ કરતા.
$n(n-1)(n-2) = 56 \times 6$.
$n(n-1)(n-2) = 336$.
આપણે ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકો શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $336$ થાય.
$8 \times 7 \times 6 = 336$.
તેથી,$n = 8$.

(A) ${\left( {{x^4} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
${T_{r + 1}} = {}^{15}{C_r} {({x^4})^{15 - r}} {\left( - \frac{1}{{{x^3}}} \right)^r}$
${T_{r + 1}} = {}^{15}{C_r} {(-1)^r} {x^{60 - 4r}} {x^{-3r}}$
${T_{r + 1}} = {(-1)^r} {}^{15}{C_r} {x^{60 - 7r}}$
${x^{39}}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$x$ ના ઘાતાંકને $39$ સાથે સરખાવો:
$60 - 7r = 39$
$7r = 21$
$r = 3$
$r = 3$ ને સામાન્ય પદમાં મૂકતા:
સહગુણક $= {(-1)^3} {}^{15}{C_3}$
$= -1 \times \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1}$
$= -1 \times 5 \times 7 \times 13 = -455$
આમ,જરૂરી સહગુણક $-455$ છે.

(B) ${\left( \frac{x^2}{2} - \frac{2}{x} \right)^9}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ ${T_{r+1}} = {}^9C_r \left( \frac{x^2}{2} \right)^{9-r} \left( -\frac{2}{x} \right)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
${T_{r+1}} = {}^9C_r \cdot \frac{x^{18-2r}}{2^{9-r}} \cdot \frac{(-2)^r}{x^r} = {}^9C_r \cdot \frac{(-2)^r}{2^{9-r}} \cdot x^{18-3r}$.
${x^{-9}}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$x$ ના ઘાતાંકને $-9$ સાથે સરખાવતા:
$18 - 3r = -9$
$3r = 27$
$r = 9$.
$r = 9$ ને સહગુણકના ભાગમાં મૂકતા:
સહગુણક $= {}^9C_9 \cdot \frac{(-2)^9}{2^{9-9}} = 1 \cdot \frac{-512}{2^0} = -512$.

(D) $(3 + ax)^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^9C_r (3)^{9-r} (ax)^r = {}^9C_r (3)^{9-r} a^r x^r$ છે.
$x^r$ નો સહગુણક ${}^9C_r 3^{9-r} a^r$ છે.
$r=2$ માટે,$x^2$ નો સહગુણક ${}^9C_2 3^7 a^2$ છે.
$r=3$ માટે,$x^3$ નો સહગુણક ${}^9C_3 3^6 a^3$ છે.
આ સહગુણકો સમાન હોવાથી:
${}^9C_2 3^7 a^2 = {}^9C_3 3^6 a^3$
બંને બાજુ $3^6 a^2$ વડે ભાગતા:
${}^9C_2 \cdot 3 = {}^9C_3 \cdot a$
$\frac{9 \times 8}{2 \times 1} \times 3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times a$
$36 \times 3 = 84 \times a$
$108 = 84a$
$a = \frac{108}{84} = \frac{9}{7}$.

(D) $(x + a)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} a^r$ છે.
આપેલ છે કે $T_2 = {}^nC_1 x^{n-1} a = 240$ $(i)$,
$T_3 = {}^nC_2 x^{n-2} a^2 = 720$ $(ii)$,
$T_4 = {}^nC_3 x^{n-3} a^3 = 1080$ $(iii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,$\frac{T_3}{T_2} = \frac{{}^nC_2 x^{n-2} a^2}{{}^nC_1 x^{n-1} a} = \frac{n-1}{2} \cdot \frac{a}{x} = \frac{720}{240} = 3$ $\Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{6}{n-1}$.
$(iii)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,$\frac{T_4}{T_3} = \frac{{}^nC_3 x^{n-3} a^3}{{}^nC_2 x^{n-2} a^2} = \frac{n-2}{3} \cdot \frac{a}{x} = \frac{1080}{720} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{9}{2(n-2)}$.
$\frac{a}{x}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{6}{n-1} = \frac{9}{2(n-2)}$
$12(n-2) = 9(n-1)$
$12n - 24 = 9n - 9$
$3n = 15 \Rightarrow n = 5$.

(C) ${\left( x - \frac{1}{2x} \right)^8}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ ${T_{r+1} = ^8C_r (x)^{8-r} \left( -\frac{1}{2x} \right)^r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને મળે છે ${T_{r+1} = ^8C_r \left( -\frac{1}{2} \right)^r x^{8-2r}}$.
${x^2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $2$ ની બરાબર લઈએ છીએ:
${8 - 2r = 2}$
${2r = 6}$
${r = 3}$.
સહગુણકના પદમાં ${r = 3}$ મૂકતા:
સહગુણક $= ^8C_3 \left( -\frac{1}{2} \right)^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \left( -\frac{1}{8} \right) = 56 \times \left( -\frac{1}{8} \right) = -7$.

(A) $(x + a)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} a^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + 3)^6$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^6C_r x^{6-r} 3^r$ છે.
$x^5$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $5$ સાથે સરખાવીએ:
$6 - r = 5 \Rightarrow r = 1$.
સહગુણકના પદમાં $r = 1$ મૂકતા:
સહગુણક $= {}^6C_1 \times 3^1 = 6 \times 3 = 18$.

(A) $(x^4 - \frac{1}{x^3})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{15}C_r (x^4)^{15-r} (-\frac{1}{x^3})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_{r+1} = ^{15}C_r (x)^{60-4r} (-1)^r (x)^{-3r}$.
$T_{r+1} = ^{15}C_r (-1)^r (x)^{60-7r}$.
$x^{32}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $32$ ની બરાબર લઈએ છીએ:
$60 - 7r = 32$.
$7r = 60 - 32 = 28$.
$r = 4$.
સહગુણકના પદમાં $r=4$ મૂકતા:
સહગુણક $= ^{15}C_4 (-1)^4 = ^{15}C_4$.

(B) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^nC_k x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1 + x)^{21}$ ના વિસ્તરણ માટે,$x^r$ નો સહગુણક ${}^{21}C_r$ છે અને $x^{r+1}$ નો સહગુણક ${}^{21}C_{r+1}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે,તેથી ${}^{21}C_r = {}^{21}C_{r+1}$.
ગુણધર્મ ${}^nC_a = {}^nC_b \Rightarrow a = b$ અથવા $a + b = n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r + (r + 1) = 21$ મળે છે.
$2r + 1 = 21$ $\Rightarrow 2r = 20$ $\Rightarrow r = 10$.

(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = (x/3)^{1/2}$,$b = 3/(2x^2)$,અને $n = 10$.
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (x/3)^{(10-r)/2} (3/(2x^2))^r$
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (1/3)^{(10-r)/2} (3/2)^r x^{(10-r)/2 - 2r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$(10-r)/2 - 2r = 0$
$5 - r/2 - 2r = 0$
$5 = 5r/2 \Rightarrow r = 2$
$r = 2$ કિંમત મૂકતા:
$T_{3} = ^{10}C_{2} (1/3)^{(10-2)/2} (3/2)^2$
$T_{3} = 45 \times (1/3)^4 \times (9/4)$
$T_{3} = 45 \times (1/81) \times (9/4) = 45/36 = 5/4$.

(C) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = \frac{1}{2}x^{1/3}$,$b = x^{-1/5}$,અને $n = 8$.
$T_{r+1} = {}^8C_r (\frac{1}{2}x^{1/3})^{8-r} (x^{-1/5})^r = {}^8C_r (\frac{1}{2})^{8-r} x^{\frac{8-r}{3} - \frac{r}{5}}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{8-r}{3} - \frac{r}{5} = 0$ $\Rightarrow 5(8-r) - 3r = 0$ $\Rightarrow 40 - 8r = 0$ $\Rightarrow r = 5$.
$r = 5$ મૂકતા:
$T_{6} = {}^8C_5 (\frac{1}{2})^{3} = 56 \times \frac{1}{8} = 7$.

(A) ${\left( \frac{3x^2}{2} - \frac{1}{3x} \right)^9}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = ^9C_r \left( \frac{3x^2}{2} \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3x} \right)^r$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$T_{r+1} = ^9C_r \left( \frac{3}{2} \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3} \right)^r x^{18-3r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$18 - 3r = 0 \implies r = 6$
$r = 6$ મૂકતા:
$T_7 = ^9C_6 \left( \frac{3}{2} \right)^3 \left( -\frac{1}{3} \right)^6 = ^9C_3 \cdot \frac{3^3}{2^3} \cdot \frac{1}{3^6} = ^9C_3 \cdot \frac{1}{6^3}$

(D) ${\left( {2x - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^{12}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {^{12}C_r} {(2x)^{12-r}} {\left( -\frac{1}{2x^2} \right)^r}$
$T_{r+1} = {^{12}C_r} {2^{12-r}} {x^{12-r}} {(-1)^r} {2^{-r}} {x^{-2r}}$
$T_{r+1} = {^{12}C_r} {2^{12-2r}} {(-1)^r} {x^{12-3r}}$
પદ $x$ થી સ્વતંત્ર હોય તે માટે $x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$12 - 3r = 0 \Rightarrow r = 4$
$r = 4$ મુકતા:
$T_{4+1} = {^{12}C_4} {2^{12-8}} {(-1)^4} = {^{12}C_4} {2^4}$
$T_5 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 16 = 495 \times 16 = 7920$.

(B) $(x + \frac{2}{x^2})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{15}C_r (x)^{15-r} (\frac{2}{x^2})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $T_{r+1} = ^{15}C_r \times 2^r \times x^{15-3r}$ થાય છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$15 - 3r = 0$,જે $r = 5$ આપે છે.
$r = 5$ મૂકતા,$x$ થી સ્વતંત્ર પદ $^{15}C_5 \times 2^5$ મળે છે.

(D) ${\left( {{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^9}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {^9C_r} {(x^2)}^{9-r} {(-\frac{1}{x})}^r$
$T_{r+1} = {^9C_r} {x^{18-2r}} {(-1)^r} {x^{-r}}$
$T_{r+1} = {^9C_r} {(-1)^r} {x^{18-3r}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$18 - 3r = 0$
$3r = 18$
$r = 6$
$r = 6$ ને સામાન્ય પદમાં મૂકતા:
$T_{6+1} = {^9C_6} {(-1)^6} {x^0}$
$T_7 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84$
આમ,$84$ એ વિકલ્પો $A, B, C$ માં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $(2x + \frac{1}{3x})^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^6C_r (2x)^{6-r} (\frac{1}{3x})^r$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ.
$x^{6-r} \cdot x^{-r} = x^{6-2r} = x^0$ $\Rightarrow 6-2r = 0$ $\Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ મૂકતા:
$T_{3+1} = ^6C_3 (2)^3 (\frac{1}{3})^3 = 20 \times 8 \times \frac{1}{27} = \frac{160}{27}$.

(B) ${\left( {{x^2} - \frac{1}{{3x}}} \right)^9}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ ${T_{r + 1}} = {\,^9}{C_r}{({x^2})^{9 - r}}{\left( { - \frac{1}{{3x}}} \right)^r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદને સરળ બનાવતા,આપણને મળે છે ${T_{r + 1}} = {\,^9}{C_r} \cdot {x^{18 - 2r}} \cdot \frac{{{{( - 1)}^r}}}{{{3^r}}} \cdot {x^{ - r}} = {\,^9}{C_r} \cdot \frac{{{{( - 1)}^r}}}{{{3^r}}} \cdot {x^{18 - 3r}}$.
પદ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $18 - 3r = 0$,જે $r = 6$ આપે છે.
$r = 6$ ને સામાન્ય પદમાં મૂકતા,આપણને મળે છે ${T_7} = {\,^9}{C_6} \cdot \frac{{{{( - 1)}^6}}}{{{3^6}}} = \frac{{9 \times 8 \times 7}}{{3 \times 2 \times 1}} \cdot \frac{1}{{729}} = 84 \cdot \frac{1}{{729}} = \frac{{28}}{{243}}$.

(D) $(2x - \frac{3}{x})^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^6C_r (2x)^{6-r} (-\frac{3}{x})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $T_{r+1} = {}^6C_r (2)^{6-r} (-3)^r (x)^{6-2r}$ મળે છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $6 - 2r = 0$,જે $r = 3$ આપે છે.
$r = 3$ ને પદમાં મૂકતા,આપણને $T_4 = {}^6C_3 (2)^{6-3} (-3)^3$ મળે છે.
$T_4 = 20 \times 8 \times (-27) = -4320$.

(B) ${\left( 2{x^2} - \frac{1}{x} \right)^{12}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
${T_{r + 1}} = {}^{12}{C_r} \cdot {(2{x^2})^{12 - r}} \cdot {\left( -\frac{1}{x} \right)^r}$
${T_{r + 1}} = {}^{12}{C_r} \cdot {2^{12 - r}} \cdot {x^{24 - 2r}} \cdot {( - 1)^r} \cdot {x^{-r}}$
${T_{r + 1}} = {}^{12}{C_r} \cdot {2^{12 - r}} \cdot {( - 1)^r} \cdot {x^{24 - 3r}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$24 - 3r = 0$
$3r = 24$
$r = 8$
પદ ${T_{r + 1}}$ હોવાથી,${T_{8 + 1}} = {T_9}$ મળે,જે $9$ મું પદ છે.

(D) ${\left( x - \frac{3}{x^2} \right)^9}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ ${T_{r+1}} = {^9C_r} {(x)^{9-r}} {\left( -\frac{3}{x^2} \right)^r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદને સરળ બનાવતા,આપણને ${T_{r+1}} = {^9C_r} {(-3)^r} {x^{9-3r}}$ મળે છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $9 - 3r = 0$,જે $r = 3$ આપે છે.
$r = 3$ ને સામાન્ય પદમાં મૂકતા,આપણને ${T_4} = {^9C_3} {(-3)^3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times (-27) = 84 \times (-27) = -2268$ મળે છે.

(B) ${\left( {x^2 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-1})^r = ^nC_r x^{2n-3r}$ છે.
મધ્યમ પદ આપેલ હોવાથી,$n$ એ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. મધ્યમ પદ $\left( \frac{n}{2} + 1 \right)$ મું પદ છે,તેથી $r = \frac{n}{2}$.
સામાન્ય પદમાં $r = \frac{n}{2}$ મૂકતા,$T_{\frac{n}{2}+1} = ^nC_{n/2} x^{n/2}$ મળે.
મધ્યમ પદ $924x^6$ આપેલ હોવાથી,$x$ ના ઘાતાંકને સરખાવતા: $\frac{n}{2} = 6 \Rightarrow n = 12$.
સહગુણક તપાસતા: $^{12}C_6 = 924$.
આમ,$n = 12$.

(B) $(x + a)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો મધ્યમ પદ $(\frac{n}{2} + 1)$-મું પદ છે.
અહીં,$n = 10$,જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યમ પદ $(\frac{10}{2} + 1) = 6$-ઠ્ઠું પદ છે,જેને $T_6$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$(x + a)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r x^{n-r} a^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_6$ માટે,આપણી પાસે $r = 5$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$T_6 = ^{10}C_5 (x)^{10-5} (\frac{1}{x})^5$.
$T_6 = ^{10}C_5 x^5 \cdot \frac{1}{x^5} = ^{10}C_5$.
આમ,મધ્યમ પદ $^{10}C_5$ છે.