General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Gujarati

(C) કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1+x^{-1/2}$
હવે,પદાવલિ $(x^{1/3}-x^{-1/2})^{10}$ બને છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = ^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 4$
$r=4$ મૂકતા:
$T_{5} = ^{10}C_4 = 210$

(B) આપેલ વિસ્તરણ $(1 + ax + bx^2)(1 - 2x)^{18}$ છે.
$x^n$ નો સહગુણક $\binom{18}{n}(-2)^n + a \cdot \binom{18}{n-1}(-2)^{n-1} + b \cdot \binom{18}{n-2}(-2)^{n-2}$ દ્વારા મળે છે.
$x^3$ માટે $(n=3)$: $\binom{18}{3}(-2)^3 + a \cdot \binom{18}{2}(-2)^2 + b \cdot \binom{18}{1}(-2)^1 = 0 \implies 51a - 3b = 544 \dots (i)$.
$x^4$ માટે $(n=4)$: $\binom{18}{4}(-2)^4 + a \cdot \binom{18}{3}(-2)^3 + b \cdot \binom{18}{2}(-2)^2 = 0 \implies 544a - 51b = 4080 \dots (ii)$.
સમીકરણો ઉકેલતા,$a = 16$ અને $b = \frac{272}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = (1 - 2\sqrt{x})^{50} = \sum_{r=0}^{50} {^{50}C_r} (-2\sqrt{x})^r$.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^{50}C_r} (-2)^r x^{r/2}$ છે.
$x$ નો ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. ધારો કે $r = 2k$,જ્યાં $k \in \{0, 1, 2, \dots, 25\}$.
$x$ ના પૂર્ણાંક ઘાતાંકવાળા પદોનો સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{25} {^{50}C_{2k}} 2^{2k}$ છે.
$(1+2)^{50}$ અને $(1-2)^{50}$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લેતા:
$(1+2)^{50} + (1-2)^{50} = 2 \sum_{k=0}^{25} {^{50}C_{2k}} 2^{2k}$.
$3^{50} + 1 = 2S$.
તેથી,$S = \frac{3^{50} + 1}{2}$.

(C) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ છે.
$(a + b)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,$\frac{T_2}{T_3} = \frac{^nC_1 a^{n-1} b}{^nC_2 a^{n-2} b^2} = \frac{2}{n-1} \cdot \frac{a}{b}$ મળે છે.
$(a + b)^{n+3}$ ના વિસ્તરણ માટે,$\frac{T_3}{T_4} = \frac{^{n+3}C_2 a^{n+1} b^2}{^{n+3}C_3 a^n b^3} = \frac{3}{n+1} \cdot \frac{a}{b}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{T_2}{T_3} = \frac{T_3}{T_4}$,તેથી $\frac{2}{n-1} = \frac{3}{n+1}$.
આને ઉકેલતા $2(n + 1) = 3(n - 1)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2n + 2 = 3n - 3$.
તેથી,$n = 5$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{C_k}{C_{k - 1}} = \frac{n - k + 1}{k}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sum\limits_{k = 1}^n {k^3\left( {\frac{n - k + 1}{k}} \right)^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {k(n - k + 1)^2}$
$= \sum\limits_{k = 1}^n {k((n + 1) - k)^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {k((n + 1)^2 - 2k(n + 1) + k^2)}$
$= (n + 1)^2 \sum\limits_{k = 1}^n k - 2(n + 1) \sum\limits_{k = 1}^n k^2 + \sum\limits_{k = 1}^n k^3$
$= (n + 1)^2 \frac{n(n + 1)}{2} - 2(n + 1) \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n^2(n + 1)^2}{4}$
$= \frac{n(n + 1)^2}{2} \left[ (n + 1) - \frac{2(2n + 1)}{3} + \frac{n}{2} \right]$
$= \frac{n(n + 1)^2}{2} \left[ \frac{6n + 6 - 8n - 4 + 3n}{6} \right]$
$= \frac{n(n + 1)^2}{12} (n + 2)$.

(B) $(x + y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,$(1 + 1)^n = 2^n = 1024$.
કારણ કે $2^{10} = 1024$,તેથી $n = 10$ મળે છે.
$(x + y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક એ મધ્યમ પદનો સહગુણક છે,જે ${}^{n}C_{n/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 10$ માટે,સૌથી મોટો સહગુણક ${}^{10}C_{10/2} = {}^{10}C_5$ છે.
ગણતરી કરતા: ${}^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$.

(B) $(1 - x)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદ(ઓ) પર મળે છે. $n = 21$ માટે,સહગુણકો $^{21}C_{10}$ અને $^{21}C_{11}$ છે.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ $T_{r+1}$ એ શરત $|T_{r+1}| \geq |T_r|$ અને $|T_{r+1}| \geq |T_{r+2}|$ નું પાલન કરે છે.
આથી,$x$ માટેનું અંતરાલ $x \in \left( \frac{5}{6}, \frac{6}{5} \right)$ મળે છે.

(C) $(1 + \alpha x)^4$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $3^{rd}$ પદ છે,જે $T_3 = ^4C_2 (\alpha x)^2 = 6 \alpha^2 x^2$ દ્વારા મળે છે. સહગુણક $6 \alpha^2$ છે.
$(1 - \alpha x)^6$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $4^{th}$ પદ છે,જે $T_4 = ^6C_3 (-\alpha x)^3 = -20 \alpha^3 x^3$ દ્વારા મળે છે. સહગુણક $-20 \alpha^3$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સહગુણકો સમાન છે:
$6 \alpha^2 = -20 \alpha^3$
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$2 \alpha^2$ વડે ભાગતા:
$3 = -10 \alpha$
$\alpha = -3/10$.

(C) $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં,$x^k$ નો સહગુણક $^{2n}C_k$ છે,જ્યાં $0 \le k \le 2n$ છે.
આપેલ છે કે $x^{3r}$ અને $x^{r+2}$ ના સહગુણકો સમાન છે,તેથી $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_a = ^{n}C_b$ નો ઉપયોગ કરતા,જેનો અર્થ $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય છે,આપણને બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$. જોકે,આપેલ છે કે $r > 1$,તેથી આ કિસ્સો અસ્વીકાર્ય છે.
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow 2n = 4r + 2$ $\Rightarrow n = 2r + 1$.
આમ,સાચો સંબંધ $n = 2r + 1$ છે.

(B) $(a - b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r + 1} = {}^nC_r a^{n - r} (-b)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$ મું પદ $T_5 = T_{4 + 1} = {}^nC_4 a^{n - 4} (-b)^4 = {}^nC_4 a^{n - 4} b^4$ છે.
$6$ મું પદ $T_6 = T_{5 + 1} = {}^nC_5 a^{n - 5} (-b)^5 = -{}^nC_5 a^{n - 5} b^5$ છે.
આપેલ છે કે $T_5 + T_6 = 0$,તેથી:
${}^nC_4 a^{n - 4} b^4 - {}^nC_5 a^{n - 5} b^5 = 0$
પદોને ગોઠવતા:
${}^nC_4 a^{n - 4} b^4 = {}^nC_5 a^{n - 5} b^5$
બંને બાજુને $a^{n - 5} b^4$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{b} = \frac{{}^nC_5}{{}^nC_4}$
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{b} = \frac{n!}{5!(n - 5)!} \times \frac{4!(n - 4)!}{n!}$
$\frac{a}{b} = \frac{(n - 4)!}{(n - 5)!} \times \frac{4!}{5!}$
$\frac{a}{b} = \frac{n - 4}{5}$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a + bx)^n$ માં,જો $|T_{r+1}| \geq |T_r|$ અને $|T_{r+1}| \geq |T_{r+2}|$ હોય,તો $T_{r+1}$ એ મહત્તમ સંખ્યાત્મક પદ છે.
અહીં $a = 2$,$bx = \frac{3x}{8}$,અને $n = 10$ છે.
$|T_4| \geq |T_3|$ માટે,$\frac{10-3+1}{3} \cdot |\frac{3x/8}{2}| \geq 1 \implies |x| \geq 2$.
$|T_4| \geq |T_5|$ માટે,$\frac{10-4+1}{4} \cdot |\frac{3x/8}{2}| \leq 1 \implies |x| \leq \frac{64}{21}$.
આમ,$2 \leq |x| \leq \frac{64}{21}$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [-\frac{64}{21}, -2] \cup [2, \frac{64}{21}]$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિસ્તાર $ - \frac{64}{21} < x < -2$ છે.

(C) $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r + 1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r + 1} = ^{15}C_r (x^{1/3})^{15 - r} (-x^{-1/2})^r$
$T_{r + 1} = ^{15}C_r (-1)^r x^{(15 - r)/3 - r/2}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{15 - r}{3} - \frac{r}{2} = 0$
$30 - 5r = 0 \Rightarrow r = 6$
$r = 6$ મુકતા:
$T_7 = ^{15}C_6 = 5005$
$5m = 5005 \Rightarrow m = 1001$.

(B) દ્વિપદી $(a + b)^n$ નું વ્યાપક પદ $T_{r + 1} = ^nC_r a^{n - r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 2^{1/3}$ અને $b = 3^{-1/3}$ છે.
શરૂઆતથી $7$ મું પદ $T_7 = ^nC_6 a^{n - 6} b^6$ છે.
અંતથી $7$ મું પદ એ $(b + a)^n$ ના વિસ્તરણના શરૂઆતથી $7$ મું પદ છે,જે $T_7' = ^nC_6 b^{n - 6} a^6$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{T_7}{T_7'} = \frac{^nC_6 a^{n - 6} b^6}{^nC_6 b^{n - 6} a^6} = \frac{a^{n - 12}}{b^{n - 12}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n - 12} = \frac{1}{6}$ આપેલ છે.
$a = 2^{1/3}$ અને $b = 3^{-1/3}$ મુકતા,આપણને $\left(\frac{2^{1/3}}{3^{-1/3}}\right)^{n - 12} = (2^{1/3} \cdot 3^{1/3})^{n - 12} = (6^{1/3})^{n - 12} = 6^{\frac{n - 12}{3}}$ મળે છે.
$6^{\frac{n - 12}{3}} = 6^{-1}$ આપેલ હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{n - 12}{3} = -1$.
$n - 12 = -3$,જે $n = 9$ આપે છે.

(C) $[2 + \frac{x}{3}]^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r (2)^{n-r} (\frac{x}{3})^r = ^nC_r (2)^{n-r} (\frac{1}{3})^r x^r$ છે.
$x^7$ નો સહગુણક $^nC_7 (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^7$ છે.
$x^8$ નો સહગુણક $^nC_8 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^8$ છે.
આ સહગુણકો સમાન હોવાથી:
$^nC_7 (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^7 = ^nC_8 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^8$.
બંને બાજુ $^nC_7 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^7$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{^nC_8}{^nC_7} \times \frac{1}{3}$.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{^nC_8}{^nC_7} = \frac{n-8+1}{8} = \frac{n-7}{8}$ મળે.
તેથી,$2 = \frac{n-7}{8} \times \frac{1}{3} \Rightarrow 2 = \frac{n-7}{24}$.
$n - 7 = 48 \Rightarrow n = 55$.

(A) $(a + b)^n$ ના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^n$ છે.
આપેલ છે કે $2^n = 256 = 2^8$,તેથી $n = 8$.
$[2x + x^{-1}]^8$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{8}{r} (2x)^{8-r} (x^{-1})^r$ છે.
$T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} x^{8-2r}$.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાત $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $8 - 2r = 0 \Rightarrow r = 4$.
અચળ પદ $= \binom{8}{4} 2^{8-4} = \binom{8}{4} 2^4$.
$\binom{8}{4} = 70$.
અચળ પદ $= 70 \times 16 = 1120$.

(A) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left[ \frac{x}{2} - \frac{3}{x^2} \right]^{10}$ માટે,$a = \frac{x}{2}$,$b = -\frac{3}{x^2}$,અને $n = 10$ છે.
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} \left( \frac{x}{2} \right)^{10-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} \cdot (-1)^r \cdot \frac{3^r}{2^{10-r}} \cdot x^{10-3r}$
$x^4$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $4$ લઈએ:
$10 - 3r = 4$
$3r = 6$
$r = 2$
$r=2$ મુકતા,સહગુણક:
સહગુણક $= {}^{10}C_{2} \cdot (-1)^2 \cdot \frac{3^2}{2^{8}}$
$= 45 \cdot \frac{9}{256} = \frac{405}{256}$

(A) આપેલ વિસ્તરણ $\left[ a^{1/13} + a^{3/2} \right]^n$ છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r (a^{1/13})^{n-r} (a^{3/2})^r$ છે.
બીજું પદ $(r=1)$ $T_2 = ^nC_1 (a^{1/13})^{n-1} (a^{3/2})^1 = n \cdot a^{\frac{n-1}{13} + \frac{3}{2}}$ છે.
$T_2 = 14a^{5/2}$ આપેલ હોવાથી,$n = 14$ મળે છે.
હવે,$\frac{^{14}C_3}{^{14}C_2} = \frac{12}{3} = 4$.

(C) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2r + 1)^{th}$ પદ માટે,$k = 2r$,તેથી સહગુણક ${^{43}C_{2r}}$ છે.
$(r + 2)^{th}$ પદ માટે,$k = r + 1$,તેથી સહગુણક ${^{43}C_{r+1}}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે,તેથી ${^{43}C_{2r}} = {^{43}C_{r+1}}$.
ગુણધર્મ ${^nC_a} = {^nC_b}$ નો ઉપયોગ કરતા,કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = n$.
કિસ્સો $1$: $2r = r + 1 \Rightarrow r = 1$.
કિસ્સો $2$: $2r + (r + 1) = 43$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$.
આમ,$r = 14$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) $(x^2 + \frac{a}{x^3})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}_{10}C_r (x^2)^{10-r} (\frac{a}{x^3})^r = {}_{10}C_r \cdot a^r \cdot x^{20-5r}$
$x^5$ ના સહગુણક માટે,$20-5r = 5 \Rightarrow r = 3$. સહગુણક ${}_{10}C_3 a^3 = 120a^3$ છે.
$x^{15}$ ના સહગુણક માટે,$20-5r = 15 \Rightarrow r = 1$. સહગુણક ${}_{10}C_1 a^1 = 10a$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા: $120a^3 = 10a$.
$a > 0$ હોવાથી,$12a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{12}$.
તેથી,$a = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \left( \frac{x + 1}{x^{2/3} - x^{1/3} + 1} - \frac{x - 1}{x - x^{1/2}} \right)^{10}$ છે.
પ્રથમ પદનું સાદું રૂપ: $\frac{x + 1}{x^{2/3} - x^{1/3} + 1} = x^{1/3} + 1$.
બીજા પદનું સાદું રૂપ: $\frac{x - 1}{x - x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$.
તેથી,$E = (x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = ^{10}C_r (-1)^r x^{(20-5r)/6}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$\frac{20-5r}{6} = 0 \Rightarrow r = 4$.
તેથી,તે પદ $^{10}C_4$ છે.

(C) દ્વિપદી $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6^{th}$ પદ માટે,$r = 5$ અને $n = 8$.
$T_6 = ^8C_5 \left( \frac{1}{x^{8/3}} \right)^{8-5} (x^2 \log_{10} x)^5 = 5600$.
$T_6 = ^8C_5 (x^{-8/3})^3 (x^{10} (\log_{10} x)^5) = 5600$.
$T_6 = 56 \cdot x^{-8} \cdot x^{10} \cdot (\log_{10} x)^5 = 5600$.
$56 \cdot x^2 \cdot (\log_{10} x)^5 = 5600$.
$x^2 (\log_{10} x)^5 = 100$.
જો $x = 10$ લઈએ,તો $10^2 (\log_{10} 10)^5 = 100 \cdot 1^5 = 100$.
આમ,$x = 10$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $m$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = (\alpha + p)^{m - 1}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{\alpha + q}{\alpha + p}$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S_m = a \frac{1 - r^m}{1 - r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{(\alpha + p)^m - (\alpha + q)^m}{p - q}$.
હવે,$\frac{(\alpha + p)^m - (\alpha + q)^m}{p - q}$ ના વિસ્તરણમાં $\alpha^t$ નો સહગુણક શોધતા:
$(\alpha + p)^m$ માં $\alpha^t$ નો સહગુણક $^mC_t p^{m - t}$ છે અને $(\alpha + q)^m$ માં $^mC_t q^{m - t}$ છે.
તેથી,પદાવલિમાં $\alpha^t$ નો સહગુણક $\frac{^mC_t (p^{m - t} - q^{m - t})}{p - q}$ થાય.

(B) $( \sqrt{2} + \sqrt[4]{3} )^{100}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{100}C_r (\sqrt{2})^{100-r} (\sqrt[4]{3})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_{r+1} = ^{100}C_r (2)^{50 - r/2} (3)^{r/4}$.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$r/2$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $r/4$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 100$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 4, 8, \dots, 100$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 4$,અને છેલ્લું પદ $l = 100$ છે.
$l = a + (n-1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$100 = 0 + (n-1)4$.
$25 = n - 1$,તેથી $n = 26$.
તેથી,કુલ $26$ સંમેય પદો છે.

(D) ${\left( {x\sin \theta + \frac{{\cos \theta }}{x}} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r + 1} = ^{10}C_r (x\sin \theta )^{10 - r} \cdot {\left( {\frac{{\cos \theta }}{x}} \right)^r}$ છે.
પદને સરળ બનાવતા,$T_{r + 1} = ^{10}C_r (\sin \theta )^{10 - r} (\cos \theta )^r \cdot x^{10 - 2r}$ મળે છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $10 - 2r = 0$,જે $r = 5$ આપે છે.
સ્વતંત્ર પદ $T_6 = ^{10}C_5 (\sin \theta )^5 (\cos \theta )^5 = ^{10}C_5 (\sin \theta \cos \theta )^5$ છે.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta \cos \theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$ મળે છે.
આમ,$T_6 = ^{10}C_5 \left( \frac{\sin 2\theta}{2} \right)^5 = \frac{^{10}C_5}{2^5} (\sin 2\theta )^5$.
આ પદની મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\sin 2\theta = 1$ હોય,જે $\frac{^{10}C_5}{2^5}$ કિંમત આપે છે.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણ ${\left( \frac{4x^2}{3} - \frac{3}{2x} \right)^9}$ માં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {^9C_r} {\left( \frac{4x^2}{3} \right)^{9-r}} {\left( -\frac{3}{2x} \right)^r}$
$T_{r+1} = {^9C_r} {\left( \frac{4}{3} \right)^{9-r}} {\left( -\frac{3}{2} \right)^r} {x^{18-3r}}$
$x^6$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,ઘાતને $6$ સાથે સરખાવો:
$18 - 3r = 6$ $\Rightarrow 3r = 12$ $\Rightarrow r = 4$
હવે,$r = 4$ મૂકતા:
સહગુણક $= {^9C_4} {\left( \frac{4}{3} \right)^5} {\left( -\frac{3}{2} \right)^4}$
$= 126 \times \frac{4^5}{3^5} \times \frac{3^4}{2^4} = 2688$

(D) $\left( 9x - \frac{1}{3\sqrt{x}} \right)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{18}C_r (9x)^{18-r} \left( -\frac{1}{3\sqrt{x}} \right)^r$
$T_{r+1} = {}^{18}C_r (9)^{18-r} (x)^{18-r} (-1)^r (3)^{-r} (x)^{-r/2}$
$T_{r+1} = {}^{18}C_r (9)^{18-r} (-1)^r (3)^{-r} (x)^{18 - r - r/2}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$18 - \frac{3r}{2} = 0$
$36 - 3r = 0 \Rightarrow r = 12$
$r = 12$ મૂકતા:
$T_{13} = {}^{18}C_{12} (9)^{18-12} (-1)^{12} (3)^{-12}$
$T_{13} = {}^{18}C_{12} (9)^6 (1) (3)^{-12}$
$9 = 3^2$ હોવાથી,$9^6 = (3^2)^6 = 3^{12}$.
$T_{13} = {}^{18}C_{12} \cdot 3^{12} \cdot 3^{-12} = {}^{18}C_{12} \cdot 1$
$\alpha \cdot {}^{18}C_{12}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 1$ મળે છે.

(C) $(1 + \alpha x)^n$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $(\frac{n}{2} + 1)$ મું પદ છે.
$(1 + \alpha x)^4$ માટે,મધ્યમ પદ $(\frac{4}{2} + 1) = 3$ જું પદ છે.
$3$ જા પદનો સહગુણક $^4C_2 \alpha^2 = 6 \alpha^2$ છે.
$(1 - \alpha x)^6$ માટે,મધ્યમ પદ $(\frac{6}{2} + 1) = 4$ થું પદ છે.
$4$ થા પદનો સહગુણક $^6C_3 (-\alpha)^3 = -20 \alpha^3$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
$6 \alpha^2 = -20 \alpha^3$
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$2 \alpha^2$ વડે ભાગતા:
$3 = -10 \alpha$
$\alpha = -\frac{3}{10}$

(B) આપેલ પદાવલિ $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = (x + 2)^{n-1}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $q = \frac{x+1}{x+2}$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (x + 2)^{n-1} \left[ \frac{1 - (\frac{x+1}{x+2})^n}{1 - \frac{x+1}{x+2}} \right]$
$E = (x + 2)^{n-1} \left[ \frac{\frac{(x+2)^n - (x+1)^n}{(x+2)^n}}{\frac{x+2 - x - 1}{x+2}} \right]$
$E = (x + 2)^{n-1} \left[ \frac{(x+2)^n - (x+1)^n}{(x+2)^n} \cdot (x+2) \right]$
$E = (x + 2)^n - (x + 1)^n$
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$(2 + x)^n - (1 + x)^n = \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} 2^{n-r} x^r - \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} 1^{n-r} x^r$
$= \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} (2^{n-r} - 1) x^r$
આમ,$x^r$ નો સહગુણક $^nC_r (2^{n-r} - 1)$ છે.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n$ માં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^nC_r} a^{n-r} b^r$ છે.
$7^{th}$ પદ માટે,$r = 6$ અને $n = 9$.
$T_7 = {^9C_6} \left( \frac{3}{(84)^{1/3}} \right)^{3} (\sqrt{3} \ln x)^6 = 729$.
$T_7 = 84 \times \frac{27}{84} \times 27 \times (\ln x)^6 = 729$.
$729 \times (\ln x)^6 = 729$.
$(\ln x)^6 = 1$.
$\ln x = \pm 1$.
તેથી,$x = e$ અથવા $x = \frac{1}{e}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$x = e$ સાચો જવાબ છે.

(C) પદાવલિ $(1 + x + x^2 + \dots + x^{100})^3 = (\frac{1-x^{101}}{1-x})^3 = (1-x^{101})^3(1-x)^{-3}$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(1 - 3x^{101} + 3x^{202} - x^{303}) \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2} x^n$ મળે છે.
આપણે $x^{100}$ નો સહગુણક શોધી રહ્યા છીએ.
વિસ્તરણમાંથી,માત્ર $1 \times \binom{100+2}{2} x^{100}$ પદ $x^{100}$ માં ફાળો આપે છે.
આમ,સહગુણક $\binom{102}{2} = ^{102}C_2$ છે.

(D) $(y^{-1/6} - y^{1/3})^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{9}C_{r} (y^{-1/6})^{9-r} (-y^{1/3})^r$ છે.
$y$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$y$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$-\frac{1}{6}(9-r) + \frac{1}{3}r = 0$.
$6$ વડે ગુણતા,$-(9-r) + 2r = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-9 + r + 2r = 0$ એટલે કે $3r = 9$,તેથી $r = 3$ મળે છે.
$y$ થી સ્વતંત્ર પદ $T_{3+1} = ^{9}C_{3} (y^{-1/6})^{6} (-y^{1/3})^3$ છે.
કિંમત ગણતા: $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
આમ,$T_{4} = 84 \times (y^{-1}) \times (-y) = -84$.

(A) વિસ્તરણ $(x^2 + \frac{1}{x})^m$ છે. પ્રથમ ત્રણ પદો $^mC_0(x^2)^m$,$^mC_1(x^2)^{m-1}(\frac{1}{x})$,અને $^mC_2(x^2)^{m-2}(\frac{1}{x})^2$ છે.
સહગુણકો $^mC_0$,$^mC_1$,અને $^mC_2$ હોવાથી,$^mC_0 + ^mC_1 + ^mC_2 = 46$.
$1 + m + \frac{m(m-1)}{2} = 46$.
$2 + 2m + m^2 - m = 92$.
$m^2 + m - 90 = 0$.
$(m+10)(m-9) = 0$. $m > 0$ હોવાથી,$m = 9$.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = ^9C_r(x^2)^{9-r}(x^{-1})^r = ^9C_r x^{18-3r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$18 - 3r = 0 \Rightarrow r = 6$.
સહગુણક $^9C_6 = ^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.

(C) $(ax^{1/3} + bx^{-1/6})^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^9C_r} (ax^{1/3})^{9-r} (bx^{-1/6})^r$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{9-r}{3} - \frac{r}{6} = 0$ $\Rightarrow 18-3r=0$ $\Rightarrow r=6$.
સ્વતંત્ર પદ $T_{6+1} = {^9C_6} a^3 b^6 = 84 a^3 b^6$ છે.
$a^3 + b^6 = 2$ આપેલ છે,તેથી $AM \geq GM$ અસમતા મુજબ:
$\frac{a^3 + b^6}{2} \geq \sqrt{a^3 b^6}$ $\Rightarrow 1 \geq \sqrt{a^3 b^6}$ $\Rightarrow a^3 b^6 \leq 1$.
આમ,સ્વતંત્ર પદનું મહત્તમ મૂલ્ય $84 \times 1 = 84$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ ${\left( {\sqrt[4]{9} + \sqrt[6]{8}} \right)^{500}}$ છે.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt[4]{9} = (3^2)^{1/4} = 3^{1/2}$ અને $\sqrt[6]{8} = (2^3)^{1/6} = 2^{1/2}$.
તેથી,પદાવલિ $(3^{1/2} + 2^{1/2})^{500}$ બને છે.
વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{500}{r} (3^{1/2})^{500-r} (2^{1/2})^r = \binom{500}{r} 3^{(500-r)/2} 2^{r/2}$ છે.
પદ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $3$ અને $2$ ના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આ માટે $(500-r)/2$ અને $r/2$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $0 \le r \le 500$ ની વચ્ચેની બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 2, 4, \dots, 500$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 0$,છેલ્લું પદ $l = 500$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = \frac{l-a}{d} + 1 = \frac{500-0}{2} + 1 = 250 + 1 = 251$ થાય.

(A) $(1 + t^2)^{25}(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47} + \dots)$ ના વિસ્તરણમાં આપણે $t^{50}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
$(1 + t^2)^{25} = \sum_{k=0}^{25} {^{25}C_k} (t^2)^k = \sum_{k=0}^{25} {^{25}C_k} t^{2k}$ નું વિસ્તરણ કરતા.
$t^{50}$ મેળવવા માટે,આપણે $(1 + t^2)^{25}$ અને બીજા અવયવ $(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47} + \dots)$ ના પદોનો ગુણાકાર ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$1$. બીજા અવયવમાંથી $1$ નો ગુણાકાર $(1 + t^2)^{25}$ ના $t^{50}$ પદ સાથે (જ્યાં $k=25$): સહગુણક = $^{25}C_{25} = 1$.
$2$. બીજા અવયવમાંથી $t^{40}$ નો ગુણાકાર $(1 + t^2)^{25}$ ના $t^{10}$ પદ સાથે (જ્યાં $k=5$): સહગુણક = $^{25}C_5$.
$t^{25} \times t^{25}$ જેવી અન્ય સંયોજનો શક્ય નથી કારણ કે $(1 + t^2)^{25}$ માં ફક્ત $t$ ની બેકી ઘાત જ હોય છે.
આમ,$t^{50}$ નો કુલ સહગુણક $1 + ^{25}C_5$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $P(x) = (2x + 1)(2x + 5)(2x + 9) \cdots (2x + 49)$ છે.
અહીં $13$ પદો છે,દરેકમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા:
$P(x) = 2^{13} \left(x + \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{5}{2}\right) \cdots \left(x + \frac{49}{2}\right)$.
$x^{12}$ નો સહગુણક એ અચળ પદોનો સરવાળો છે:
$S = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} + \dots + \frac{49}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{13}{2} (1 + 49) = \frac{13 \times 50}{4} = 325$.
તેથી,$x^{12}$ નો સહગુણક $2^{13} \times \frac{325}{2} = 325 \cdot 2^{12}$ થાય.

(D) આપેલ પદાવલિ ${\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)^n} = \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{2n}}}}{{{x^n}}}$ છે.
${\left( {1 + x} \right)^{2n}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ છે.
તેથી,$\frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{2n}}}}{{{x^n}}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\frac{{{}^{2n}C_r x^r}}{{{x^n}}} = {}^{2n}C_r x^{r-n}$ થાય.
$\frac{1}{x}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,ઘાતાંક $r - n = -1$ લેતા,$r = n - 1$ મળે છે.
આમ,સહગુણક ${}^{2n}C_{n-1} = \frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!}$ થાય.

(B) $(7^{1/3} + 11^{1/9})^{6561}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{6561}C_r (7^{1/3})^{6561-r} (11^{1/9})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_{r+1} = {}^{6561}C_r \cdot 7^{(6561-r)/3} \cdot 11^{r/9}$.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$7$ અને $11$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$(6561-r)/3$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
વળી,$r/9$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $9$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$9$ એ $3$ નો ગુણક હોવાથી,$r$ એ $9$ નો ગુણક હોવો જોઈએ જ્યાં $0 \le r \le 6561$.
$r$ માટેના શક્ય મૂલ્યો $0, 9, 18, \dots, 6561$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 9$,અને છેલ્લું પદ $l = 6561$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$6561 = 0 + (n-1)9$.
$6561/9 = n-1$ $\Rightarrow 729 = n-1$ $\Rightarrow n = 730$.
તેથી,પૂર્ણાંક પદોની સંખ્યા $730$ છે.

(D) ધારો કે $P_r(x) = (x+r)(x+r+1)...(x+r+9)$. આ $10$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
$P_r(x)$ માં $x^9$ નો સહગુણક એ દરેક અવયવના અચળ પદોનો સરવાળો છે,જે $r + (r+1) + (r+2) + ... + (r+9)$ છે.
આ સરવાળો $10$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે: $S_r = \frac{10}{2} [2r + (10-1)1] = 5(2r + 9) = 10r + 45$.
કુલ સરવાળો $\sum_{r=1}^{11} P_r(x)$ માં $x^9$ નો સહગુણક $\sum_{r=1}^{11} (10r + 45)$ છે.
$= 10 \sum_{r=1}^{11} r + \sum_{r=1}^{11} 45 = 10 \times \frac{11 \times 12}{2} + 45 \times 11$.
$= 10 \times 66 + 495 = 660 + 495 = 1155$.

(D) ${\left( x^3 + x^{-4} \right)^n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{p+1} = {^nC_p} (x^3)^{n-p} (x^{-4})^p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_{p+1} = {^nC_p} x^{3n - 3p - 4p} = {^nC_p} x^{3n - 7p}$.
વિસ્તરણમાં $x^r$ પદ મેળવવા માટે,ઘાતાંક $r$ જેટલો હોવો જોઈએ:
$3n - 7p = r$.
$p$ માટે ગોઠવતા,આપણને $7p = 3n - r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{3n - r}{7}$.
કારણ કે $p$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $3n - r$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.

(C) આપેલ પદાવલિ $(1 + t^2)^6(1 + t^6)(1 + t^{12})$ છે.
છેલ્લા બે પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(1 + t^6)(1 + t^{12}) = 1 + t^6 + t^{12} + t^{18}$.
તેથી,પદાવલિ $(1 + t^2)^6(1 + t^6 + t^{12} + t^{18})$ બને છે.
આપણે $(1 + t^2)^6(1 + t^6 + t^{12} + t^{18})$ ના ગુણાકારમાં $t^{12}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
આ નીચે મુજબ થશે:
($(1 + t^2)^6$ માં $t^{12}$ નો સહગુણક $\times 1$) + ($(1 + t^2)^6$ માં $t^6$ નો સહગુણક $\times t^6$) + ($(1 + t^2)^6$ માં $t^0$ નો સહગુણક $\times t^{12}$).
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + t^2)^6 = \sum_{k=0}^{6} {^6C_k} (t^2)^k = \sum_{k=0}^{6} {^6C_k} t^{2k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $(1 + t^2)^6$ માં $t^{12}$ નો સહગુણક ${^6C_6} = 1$ છે.
$2$. $(1 + t^2)^6$ માં $t^6$ નો સહગુણક ${^6C_3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
$3$. $(1 + t^2)^6$ માં $t^0$ નો સહગુણક ${^6C_0} = 1$ છે.
સરવાળો કરતા: $1 + 20 + 1 = 22$.

(B) આપેલ પદ: $(x^5 + 4 \cdot 3^{-\log_{\sqrt{3}}\sqrt{x^3}})^{10}$
પદનું સાદું રૂપ: $3^{-\log_{\sqrt{3}}\sqrt{x^3}} = x^{-3}$.
તેથી,પદ $(x^5 + 4x^{-3})^{10}$ બને છે.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r \cdot 4^r \cdot x^{50-8r}$.
$x^2$ ના સહગુણક માટે: $50-8r = 2 \Rightarrow r = 6$.
$x^2$ નો સહગુણક = ${}^{10}C_6 \cdot 4^6$.
$x^{10}$ ના સહગુણક માટે: $50-8r = 10 \Rightarrow r = 5$.
$x^{10}$ નો સહગુણક = ${}^{10}C_5 \cdot 4^5$.
ગુણોત્તર = $\frac{{}^{10}C_6 \cdot 4^6}{{}^{10}C_5 \cdot 4^5} = \frac{10}{3}$.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ છે.
આપણે આ પદાવલિમાં $x^{91}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(1-x)^{100-r}$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{100-r} {^{100-r}C_k (-x)^k}$ તરીકે કરી શકાય.
$(1-x)^{100-r}$ માં $x^{91}$ નો સહગુણક $^{100-r}C_{91} (-1)^{91} = -^{100-r}C_{91}$ છે.
આમ,શ્રેણીમાં $x^{91}$ નો સહગુણક $\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (-^{100-r}C_{91})}$ છે.
નિત્યસમ $^{n}C_r \cdot ^{n-r}C_k = ^{n}C_k \cdot ^{n-k}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{100}C_r \cdot ^{100-r}C_{91} = ^{100}C_{91} \cdot ^{100-91}C_r = ^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,સહગુણક $-\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = -^{100}C_9 \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$ થાય.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(2+1)^9 = \sum_{r=0}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot 1^r} = ^{9}C_0 \cdot 2^9 + \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$.
તેથી,$\sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = 3^9 - 2^9$.
તેથી,સહગુણક $-^{100}C_9 (3^9 - 2^9) = ^{100}C_9 (2^9 - 3^9)$ છે.

(A) દરેક પદ $\left[ \frac{x}{k} - \frac{^nC_{k-1} + ^nC_k}{^nC_{k-1}} \right]$ સ્વરૂપમાં છે.
નિત્યસમ $\frac{^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{^nC_{k-1} + ^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n+1}{k}$ મળે.
તેથી,પદાવલિ $n! \left( x - (n+1) \right) \left( \frac{x}{2} - \frac{n+1}{2} \right) \dots \left( \frac{x}{n} - \frac{n+1}{n} \right)$ બને છે.
દરેક કૌંસમાંથી $\frac{1}{k}$ સામાન્ય લેતા,તે $(x - (n+1))^n$ માં પરિણમે છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$(x - (n+1))^n$ માં $x^{n-6}$ નો સહગુણક $^nC_6 (n+1)^6$ છે.

(A) બહુપદી $P(x, y, z)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો મેળવવા માટે તમામ ચલને $1$ લેવામાં આવે છે.
$(x - 2y + 3z)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,સહગુણકોનો સરવાળો $(1 - 2 + 3)^n = 2^n$ થાય છે.
આપેલ છે કે $2^n = 128$,તેથી $2^n = 2^7$,જેનો અર્થ છે કે $n = 7$.
$(1 + x)^7$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{7} {^7C_k} x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સહગુણકો ${^7C_0}, {^7C_1}, {^7C_2}, {^7C_3}, {^7C_4}, {^7C_5}, {^7C_6}, {^7C_7}$ છે.
સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદ છે,જે ${^7C_3}$ અથવા ${^7C_4}$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: ${^7C_3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

(B) ધારો કે $P(x) = (x^2 - x + 1)^{10} (x^2 + 1)^{15}$.
આપણે વિસ્તરણમાં $x^3$ નો સહગુણક શોધવાની જરૂર છે.
$(x^2 - x + 1)^{10} = 1 - 10x + 55x^2 - 90x^3 + \dots$
$(x^2 + 1)^{15} = 1 + 15x^2 + \dots$
બંને વિસ્તરણનો ગુણાકાર કરતા:
$(1 - 10x + 55x^2 - 90x^3 + \dots)(1 + 15x^2 + \dots)$
$x^3$ વાળું પદ: $(-10x \cdot 15x^2) + (-90x^3 \cdot 1) = -150x^3 - 90x^3 = -240x^3$.
આમ,$x^3$ નો સહગુણક $-240$ છે.

(A) $(1 + x)^{18}$ નું વ્યાપક પદ $T_{k+1} = ^{18}C_k x^k$ છે.
$(2r + 4)$ મું પદ $T_{2r+4}$ છે,જ્યાં $k = 2r + 3$. તેનો સહગુણક $^{18}C_{2r+3}$ છે.
$(r - 2)$ મું પદ $T_{r-2}$ છે,જ્યાં $k = r - 3$. તેનો સહગુણક $^{18}C_{r-3}$ છે.
શરત મુજબ: $^{18}C_{2r+3} > ^{18}C_{r-3}$.
વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$3 \le r \le 7.5$ મળે છે.
$r$ ની શક્ય કિંમતો $3, 4, 5, 6, 7$ છે.
અસમતા ચકાસતા,$r = 3, 4, 5$ માટે શરત સંતોષાય છે.
તેથી,$r$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) વિસ્તરણ $(1 + x + ax^2)^{10} = \sum_{i+j+k=10} \frac{10!}{i!j!k!} (1)^i (x)^j (ax^2)^k = \sum \frac{10!}{i!j!k!} a^k x^{j+2k}$ છે.
આપણે $x^4$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $j+2k = 4$ અને $i+j+k = 10$ થાય.
શક્ય ઉકેલો $(i, j, k)$:
$1$. જો $k=0$,તો $j=4$,$i=6$. સહગુણક $= \frac{10!}{6!4!0!} a^0 = 210$.
$2$. જો $k=1$,તો $j=2$,$i=7$. સહગુણક $= \frac{10!}{7!2!1!} a^1 = 360a$.
$3$. જો $k=2$,તો $j=0$,$i=8$. સહગુણક $= \frac{10!}{8!0!2!} a^2 = 45a^2$.
આમ,$K(a) = 45a^2 + 360a + 210$.
$K(a)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે પરવલય $f(a) = 45a^2 + 360a + 210$ નું શિરોબિંદુ શોધીએ.
ન્યૂનતમ કિંમત $a = -\frac{b}{2A} = -\frac{360}{2(45)} = -4$ પર મળે છે.