General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Hindi

(C) चार पेपरों में कुल $2m$ अंक प्राप्त करने के तरीकों की संख्या,जहाँ प्रत्येक पेपर में अधिकतम $m$ अंक हैं,$(x^0 + x^1 + \dots + x^m)^4$ के विस्तार में $x^{2m}$ का गुणांक है।
यह $\left(\frac{1 - x^{m+1}}{1 - x}\right)^4$ में $x^{2m}$ के गुणांक के बराबर है।
$= (1 - x^{m+1})^4 (1 - x)^{-4}$ में $x^{2m}$ का गुणांक।
$= (1 - 4x^{m+1} + 6x^{2m+2} - \dots) \left(\sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+3}{3} x^r\right)$ में $x^{2m}$ का गुणांक।
$= \binom{2m+3}{3} - 4 \binom{m+2}{3} = \frac{(2m+3)(2m+2)(2m+1)}{6} - 4 \frac{(m+2)(m+1)m}{6}$.
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{(m+1)(2m^2 + 4m + 3)}{3}$.

(B) $(x + a)^n$ का द्विपद विस्तार $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + a)^{100} + (x - a)^{100}$ के लिए,$a$ की विषम घात वाले पद कट जाते हैं।
योग करने पर,केवल सम घात वाले पद शेष रहते हैं: $2[\binom{100}{0}x^{100} + \binom{100}{2}x^{98}a^2 + \dots + \binom{100}{100}a^{100}]$।
शेष पदों के सूचकांक $k = 0, 2, 4, \dots, 100$ हैं।
ऐसे पदों की कुल संख्या $\frac{100 - 0}{2} + 1 = 50 + 1 = 51$ है।

(B) $(x + a)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {^n}C_r x^{n-r} a^r$ द्वारा दिया जाता है।
$6^{th}$ पद के लिए,$r+1 = 6$ रखने पर,$r = 5$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$n = 10$,$x = 2x^2$,और $a = -\frac{1}{3x^2}$ है।
$T_6 = {^{10}}C_5 (2x^2)^5 \left( -\frac{1}{3x^2} \right)^5$
$T_6 = 252 \times 32x^{10} \times \left( -\frac{1}{243x^{10}} \right)$
$T_6 = -\frac{896}{27}$

(C) $(1 + x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = ^nC_k x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$r^{th}$ पद के लिए,$k = r - 1$,अतः गुणांक $^{20}C_{r-1}$ है।
$(r + 4)^{th}$ पद के लिए,$k = r + 4 - 1 = r + 3$,अतः गुणांक $^{20}C_{r+3}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं,इसलिए $^{20}C_{r-1} = ^{20}C_{r+3}$ है।
गुणधर्म $^nC_a = ^nC_b \implies a = b$ या $a + b = n$ का उपयोग करने पर:
स्थिति $1$: $r - 1 = r + 3$ (जो असंभव है)।
स्थिति $2$: $(r - 1) + (r + 3) = 20$.
$2r + 2 = 20$.
$2r = 18$.
$r = 9$.

(B) $(a + b)^n$ के विस्तार के लिए सामान्य पद का सूत्र $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ है।
$r^{th}$ पद ज्ञात करने के लिए,हम सामान्य पद के सूत्र में $r$ को $r-1$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$T_r = T_{(r-1)+1} = ^nC_{r-1} a^{n-(r-1)} (2x)^{r-1}$
$T_r = ^nC_{r-1} a^{n-r+1} (2x)^{r-1}$
संचय की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$^nC_{r-1} = \frac{n!}{(n-r+1)!(r-1)!} = \frac{n(n-1)...(n-r+2)}{(r-1)!}$.
अतः,$T_r = \frac{n(n-1)...(n-r+2)}{(r-1)!} a^{n-r+1} (2x)^{r-1}$.

(C) $(a + b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{17}$ के विस्तार के लिए,$n = 17$,$a = \sqrt{x}$,और $b = -\sqrt{y}$ है।
$16^{th}$ पद $(T_{16})$ ज्ञात करने के लिए,हम $r+1 = 16$ लेते हैं,जिससे $r = 15$ प्राप्त होता है।
$T_{16} = {}^{17}C_{15} (\sqrt{x})^{17-15} (-\sqrt{y})^{15}$
$T_{16} = {}^{17}C_2 (\sqrt{x})^2 (-\sqrt{y})^{15}$
$T_{16} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} \times x \times (-y^{15/2})$
$T_{16} = 136 \times x \times (-y^{15/2}) = -136xy^{15/2}$.

(C) प्रारंभ से $r^{th}$ पद $T_r = ^nC_{r-1} (2^{1/3})^{n-(r-1)} (3^{-1/3})^{r-1}$ है।
प्रारंभ से $7^{th}$ पद के लिए $r=7$,अतः $T_7 = ^nC_6 (2^{1/3})^{n-6} (3^{-1/3})^6$ है।
अंत से $7^{th}$ पद,प्रारंभ से $(n-7+1)^{th} = (n-6)^{th}$ पद है।
$T_{n-6} = ^nC_{n-7} (2^{1/3})^{n-(n-7)} (3^{-1/3})^{n-7} = ^nC_7 (2^{1/3})^7 (3^{-1/3})^{n-7}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{T_7}{T_{n-6}} = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि $^nC_6 = ^nC_{n-6}$,अनुपात $\frac{(2^{1/3})^{n-6} (3^{-1/3})^6}{(2^{1/3})^6 (3^{-1/3})^{n-6}} = \frac{1}{6}$ के रूप में सरल होता है।
यह $\frac{(2^{1/3})^{n-12}}{(3^{-1/3})^{n-12}} = (2^{1/3} \cdot 3^{1/3})^{n-12} = (6^{1/3})^{n-12} = 6^{(n-12)/3} = 6^{-1}$ में बदल जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{n-12}{3} = -1$ $\Rightarrow n-12 = -3$ $\Rightarrow n = 9$।

(A) $(1 + x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = \binom{n}{k} x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(2r + 3)^{th}$ पद $T_{(2r+2)+1}$ है,इसलिए इसका गुणांक $\binom{15}{2r+2}$ है।
$(r - 1)^{th}$ पद $T_{(r-2)+1}$ है,इसलिए इसका गुणांक $\binom{15}{r-2}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं:
$\binom{15}{2r+2} = \binom{15}{r-2}$.
गुणधर्म $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ का उपयोग करते हुए,या तो $a = b$ या $a + b = n$ होता है।
स्थिति $1$: $2r + 2 = r - 2 \Rightarrow r = -4$ (संभव नहीं है)।
स्थिति $2$: $(2r + 2) + (r - 2) = 15$
$3r = 15$
$r = 5$.

(C) ${(a + b)^n}$ के विस्तार में सामान्य पद ${T_k}$ को ${T_{k+1} = {^nC_k} a^{n-k} b^k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 15$,$a = x^4$,और $b = x^{-3}$ है।
${r^{th}}$ पद ${T_r = T_{(r-1)+1} = {^{15}C_{r-1}} (x^4)^{15-(r-1)} (x^{-3})^{r-1}}$ है।
${T_r = {^{15}C_{r-1}} (x^4)^{16-r} (x^{-3})^{r-1} = {^{15}C_{r-1}} x^{64-4r} x^{-3r+3} = {^{15}C_{r-1}} x^{67-7r}}$ है।
यह दिया गया है कि पद में ${x^4}$ है,इसलिए $x$ के घातांक को $4$ के बराबर रखने पर:
$67 - 7r = 4$.
$7r = 63$.
$r = 9$.

(A) द्विपद विस्तार के सामान्य पद $T_{r+1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (a^{1/3} b^{-1/6})^{21-r} (b^{1/2} a^{-1/6})^r$.
$a$ और $b$ की घातों की तुलना करने पर:
$a$ की घात = $\frac{21-r}{3} - \frac{r}{6} = 7 - \frac{r}{2}$.
$b$ की घात = $\frac{r}{2} - \frac{21-r}{6} = \frac{2r}{3} - \frac{7}{2}$.
चूंकि दोनों घातें समान हैं:
$7 - \frac{r}{2} = \frac{2r}{3} - \frac{7}{2}$.
$42 - 3r = 4r - 21$.
$7r = 63 \Rightarrow r = 9$.

(B) ${\left( {{x^2} + \frac{a}{x}} \right)^5}$ के विस्तार में सामान्य पद ${T_{r + 1}} = {\,^5}{C_r}{({x^2})^{5 - r}}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^r}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर,हमें ${T_{r + 1}} = {\,^5}{C_r}{a^r}{x^{10 - 2r}}{x^{-r}} = {\,^5}{C_r}{a^r}{x^{10 - 3r}}$ प्राप्त होता है।
$x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के घातांक को $1$ के बराबर रखते हैं:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9$
$r = 3$.
$r = 3$ को सामान्य पद में रखने पर:
${T_{3 + 1}} = {\,^5}{C_3}{a^3}{x^{10 - 3(3)}}$
${T_4} = 10 \cdot {a^3} \cdot x$.
अतः,$x$ का गुणांक $10{a^3}$ है।

(B) $(1 + x)^n$ के विस्तार में $p^{th}$,$(p + 1)^{th}$ और $(p + 2)^{th}$ पदों के गुणांक $^nC_{p-1}$,$^nC_p$ और $^nC_{p+1}$ हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $2(^nC_p) = ^nC_{p-1} + ^nC_{p+1}$ होगा।
इस समीकरण को सरल करने पर $n^2 - n(4p + 1) + 4p^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
सत्यापन: यदि $p = 1$ लें,तो $^nC_0, ^nC_1, ^nC_2$ $A.P.$ में हैं।
$2(^nC_1) = ^nC_0 + ^nC_2$ $\Rightarrow 2n = 1 + \frac{n(n-1)}{2}$ $\Rightarrow n^2 - 5n + 2 = 0$.
विकल्प $(b)$ में $p=1$ रखने पर $n^2 - 5n + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सही है।

(C) ${\left( \frac{a}{x} + bx \right)^{12}}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {^{12}C_r} \left( \frac{a}{x} \right)^{12-r} (bx)^r$ है।
$T_{r+1} = {^{12}C_r} a^{12-r} x^{-(12-r)} b^r x^r = {^{12}C_r} a^{12-r} b^r x^{2r-12}$.
$x^{-10}$ का गुणांक प्राप्त करने के लिए,$x$ की घात को $-10$ के बराबर रखें:
$2r - 12 = -10$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$.
$r = 1$ रखने पर,$T_2 = {^{12}C_1} a^{11} b^1 = 12a^{11}b$.

(B) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक $A = ^{2n}C_n$ है।
$(1 + x)^{2n - 1}$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक $B = ^{2n-1}C_n$ है।
अनुपात $\frac{A}{B}$ लेने पर:
$\frac{A}{B} = \frac{^{2n}C_n}{^{2n-1}C_n} = \frac{(2n)!}{n!n!} \times \frac{n!(n-1)!}{(2n-1)!}$
$= \frac{(2n)(2n-1)!}{n(n-1)!n!} \times \frac{n!(n-1)!}{(2n-1)!}$
$= \frac{2n}{n} = 2$
अतः,$A = 2B$.

(C) $(y^2 + \frac{c}{y})^5$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^5C_r (y^2)^{5-r} (\frac{c}{y})^r$ द्वारा दिया जाता है।
$T_{r+1} = ^5C_r c^r y^{10-3r}$।
$y$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$y$ के घातांक को $1$ के बराबर रखते हैं:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9$
$r = 3$।
$r = 3$ को गुणांक व्यंजक $^5C_r c^r$ में रखने पर:
गुणांक $= ^5C_3 c^3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} c^3 = 10c^3$।

(A) ${\left( x - \frac{1}{x} \right)^6}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {^6C_r} \cdot x^{6-r} \cdot \left( -\frac{1}{x} \right)^r$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर,हमें $T_{r+1} = {^6C_r} \cdot (-1)^r \cdot x^{6-2r}$ प्राप्त होता है।
$x$ से स्वतंत्र पद (अचर पद) के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $6 - 2r = 0$,जिसका अर्थ है $r = 3$।
$r = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,अचर पद ${^6C_3} \cdot (-1)^3 = 20 \cdot (-1) = -20$ है।

(C) $(x^2 - 2x)^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = \binom{10}{r} (x^2)^{10-r} (-2x)^r$ द्वारा दिया जाता है।
यह सरल होकर $T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{20-2r} (-2)^r x^r = \binom{10}{r} (-2)^r x^{20-r}$ हो जाता है।
हमें $x^{16}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए घातांक $20-r = 16$ रखने पर,$r = 4$ प्राप्त होता है।
$r = 4$ रखने पर,गुणांक $\binom{10}{4} (-2)^4$ है।
मान की गणना: $\binom{10}{4} = 210$ और $(-2)^4 = 16$ है।
अतः,गुणांक $210 \times 16 = 3360$ है।

(A) $\left( \frac{x}{2} - \frac{3}{x^2} \right)^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r \left( \frac{x}{2} \right)^{10-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^r$ है।
इसे सरल करने पर,$T_{r+1} = {}^{10}C_r (-1)^r \frac{3^r}{2^{10-r}} x^{10-3r}$ प्राप्त होता है।
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $4$ के बराबर रखें:
$10 - 3r = 4$ $\Rightarrow 3r = 6$ $\Rightarrow r = 2$.
$r = 2$ रखने पर:
$T_{2+1} = {}^{10}C_2 (-1)^2 \frac{3^2}{2^{10-2}} x^4 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times 1 \times \frac{9}{256} x^4 = \frac{405}{256} x^4$.
अतः,$x^4$ का गुणांक $\frac{405}{256}$ है।

(C) $(a + b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = \frac{x^2}{2}$,$b = -\frac{2}{x}$,और $n = 8$ है।
$T_{r+1} = {}^8C_r \left( \frac{x^2}{2} \right)^{8-r} \left( -\frac{2}{x} \right)^r$
$T_{r+1} = {}^8C_r \left( \frac{1}{2} \right)^{8-r} (-2)^r x^{16-3r}$
$x^7$ के गुणांक के लिए,$16 - 3r = 7$ रखने पर,$3r = 9$,अतः $r = 3$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^8C_3 \left( \frac{1}{2} \right)^5 (-2)^3 = 56 \times \frac{1}{32} \times (-8) = -14$ है।

(A) $\left( ax - \frac{1}{bx^2} \right)^{11}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{11}C_r (ax)^{11-r} (-\frac{1}{bx^2})^r$ है।
$T_{r+1} = ^{11}C_r a^{11-r} (-1)^r b^{-r} x^{11-3r}$
$x^{-7}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ का घातांक $-7$ लेते हैं:
$11 - 3r = -7$
$3r = 18 \Rightarrow r = 6$
$r = 6$ रखने पर,गुणांक $= ^{11}C_6 a^{11-6} (-1)^6 b^{-6} = 462 \frac{a^5}{b^6}$.

(C) दिया गया व्यंजक $\sum_{m=0}^{n} {^{n}C_m a^{n-m} b^m}$ के रूप में है,जो $(a+b)^n$ का द्विपद विस्तार है।
यहाँ,$a = (x-3)$,$b = 2$,और $n = 100$ है।
अतः,व्यंजक $((x - 3) + 2)^{100} = (x - 1)^{100}$ में सरल हो जाता है।
इसे $(-(1 - x))^{100} = (1 - x)^{100}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(1 - x)^{100}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {^{100}C_r (1)^{100-r} (-x)^r} = {^{100}C_r (-1)^r x^r}$ है।
$x^{53}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$r = 53$ रखें।
अतः पद ${^{100}C_{53} (-1)^{53} x^{53}} = -{^{100}C_{53}} x^{53}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x^{53}$ का गुणांक $-{^{100}C_{53}}$ है।

(C) $(x^4 - x^{-3})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = ^{15}C_r (x^4)^{15-r} (-x^{-3})^r$
$T_{r+1} = ^{15}C_r (-1)^r x^{60-4r} x^{-3r}$
$T_{r+1} = ^{15}C_r (-1)^r x^{60-7r}$
$x^{32}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $32$ के बराबर रखें:
$60 - 7r = 32$
$7r = 28$
$r = 4$
$r = 4$ रखने पर,गुणांक $^{15}C_4 (-1)^4 = ^{15}C_4$ प्राप्त होता है।

(B) $(2 + \frac{x}{3})^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r (2)^{n-r} (\frac{x}{3})^r = {}^nC_r (2)^{n-r} (\frac{1}{3})^r x^r$ है।
$x^7$ के गुणांक के लिए,$r = 7$ रखने पर:
$x^7$ का गुणांक $= {}^nC_7 (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^7$.
$x^8$ के गुणांक के लिए,$r = 8$ रखने पर:
$x^8$ का गुणांक $= {}^nC_8 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^8$.
चूंकि ये गुणांक समान हैं:
${}^nC_7 (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^7 = {}^nC_8 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^8$.
दोनों पक्षों को ${}^nC_7 (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^7$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{{}^nC_8}{{}^nC_7} \times \frac{1}{3}$.
गुणधर्म $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{n-8+1}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{n-7}{24}$.
$n - 7 = 48 \implies n = 55$.

(B) $(x - \frac{1}{x})^7$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = ^7C_r (x)^{7-r} (-x^{-1})^r$ द्वारा दिया जाता है।
यह $T_{r+1} = ^7C_r (-1)^r x^{7-2r}$ में सरल हो जाता है।
$x^3$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम घातांक $7 - 2r = 3$ रखते हैं।
$7 - 3 = 2r$ $\Rightarrow 2r = 4$ $\Rightarrow r = 2$.
$r = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,गुणांक $^7C_2 (-1)^2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times 1 = 21$ प्राप्त होता है।

(C) ${\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{2n}}$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
${T_{r + 1}} = {}^{2n}{C_r}{x^{2n - r}}{\left( {{x^{ - 2}}} \right)^r} = {}^{2n}{C_r}{x^{2n - 3r}}$
${x^m}$ वाले पद के लिए,घातांक को $m$ के बराबर रखने पर:
$2n - 3r = m \implies 3r = 2n - m \implies r = \frac{{2n - m}}{3}$
${x^m}$ का गुणांक ${}^{2n}{C_r} = \frac{{(2n)!}}{{r!(2n - r)!}}$ है।
$r = \frac{{2n - m}}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2n - r = 2n - \frac{{2n - m}}{3} = \frac{{6n - 2n + m}}{3} = \frac{{4n + m}}{3}$
अतः,गुणांक $\frac{{(2n)!}}{{\left( {\frac{{2n - m}}{3}} \right)!\,\left( {\frac{{4n + m}}{3}} \right)!}}$ है।

(D) $(1 + x)^n$ के विस्तार में $2^{nd}$,$3^{rd}$ और $4^{th}$ पदों के गुणांक क्रमशः $^nC_1$,$^nC_2$ और $^nC_3$ हैं।
चूंकि ये $A.P.$ में हैं,इसलिए $2(^nC_2) = ^nC_1 + ^nC_3$ होगा।
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n$ से भाग देने पर:
$(n-1) = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$.
$6(n-1) = 6 + (n^2 - 3n + 2)$.
$6n - 6 = 6 + n^2 - 3n + 2$.
$n^2 - 9n + 14 = 0$.
अतः,$n^2 - 9n = -14$.

(A) $(1 + x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = \binom{n}{k} x^k$ होता है।
$(2r + 1)^{th}$ पद का गुणांक $\binom{43}{2r}$ है।
$(r + 2)^{th}$ पद का गुणांक $\binom{43}{r+1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\binom{43}{2r} = \binom{43}{r+1}$ है।
गुणधर्म $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ का उपयोग करने पर,या तो $a = b$ या $a + b = n$ होता है।
स्थिति $1$: $2r = r + 1 \implies r = 1$।
स्थिति $2$: $2r + (r + 1) = 43 \implies 3r + 1 = 43 \implies 3r = 42 \implies r = 14$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$r$ का मान $14$ है।

(C) $(a + b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$4^{th}$ पद के लिए,$r = 3$,इसलिए $T_4 = {}^nC_3 a^{n-3} b^3$ है।
$4^{th}$ पद का गुणांक ${}^nC_3 = 56$ है।
सूत्र ${}^nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \times 2 \times 1} = 56$ का उपयोग करने पर।
$n(n-1)(n-2) = 56 \times 6$.
$n(n-1)(n-2) = 336$.
हम तीन क्रमागत पूर्णांकों को खोजते हैं जिनका गुणनफल $336$ है।
$8 \times 7 \times 6 = 336$.
अतः,$n = 8$।

(A) ${\left( {{x^4} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
${T_{r + 1}} = {}^{15}{C_r} {({x^4})^{15 - r}} {\left( - \frac{1}{{{x^3}}} \right)^r}$
${T_{r + 1}} = {}^{15}{C_r} {(-1)^r} {x^{60 - 4r}} {x^{-3r}}$
${T_{r + 1}} = {(-1)^r} {}^{15}{C_r} {x^{60 - 7r}}$
${x^{39}}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $39$ के बराबर रखें:
$60 - 7r = 39$
$7r = 21$
$r = 3$
$r = 3$ को सामान्य पद में रखने पर:
गुणांक $= {(-1)^3} {}^{15}{C_3}$
$= -1 \times \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1}$
$= -1 \times 5 \times 7 \times 13 = -455$
अतः,अभीष्ट गुणांक $-455$ है।

(B) ${\left( \frac{x^2}{2} - \frac{2}{x} \right)^9}$ के विस्तार में व्यापक पद ${T_{r+1}} = {}^9C_r \left( \frac{x^2}{2} \right)^{9-r} \left( -\frac{2}{x} \right)^r$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक को सरल करने पर:
${T_{r+1}} = {}^9C_r \cdot \frac{x^{18-2r}}{2^{9-r}} \cdot \frac{(-2)^r}{x^r} = {}^9C_r \cdot \frac{(-2)^r}{2^{9-r}} \cdot x^{18-3r}$।
${x^{-9}}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $-9$ के बराबर रखने पर:
$18 - 3r = -9$
$3r = 27$
$r = 9$।
$r = 9$ को गुणांक वाले भाग में रखने पर:
गुणांक $= {}^9C_9 \cdot \frac{(-2)^9}{2^{9-9}} = 1 \cdot \frac{-512}{2^0} = -512$।

(D) $(3 + ax)^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^9C_r (3)^{9-r} (ax)^r = {}^9C_r (3)^{9-r} a^r x^r$ है।
$x^r$ का गुणांक ${}^9C_r 3^{9-r} a^r$ है।
$r=2$ के लिए,$x^2$ का गुणांक ${}^9C_2 3^7 a^2$ है।
$r=3$ के लिए,$x^3$ का गुणांक ${}^9C_3 3^6 a^3$ है।
चूंकि ये गुणांक समान हैं:
${}^9C_2 3^7 a^2 = {}^9C_3 3^6 a^3$
दोनों पक्षों को $3^6 a^2$ से विभाजित करने पर:
${}^9C_2 \cdot 3 = {}^9C_3 \cdot a$
$\frac{9 \times 8}{2 \times 1} \times 3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times a$
$36 \times 3 = 84 \times a$
$108 = 84a$
$a = \frac{108}{84} = \frac{9}{7}$.

(D) $(x + a)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} a^r$ है।
दिया गया है $T_2 = {}^nC_1 x^{n-1} a = 240$ $(i)$,
$T_3 = {}^nC_2 x^{n-2} a^2 = 720$ $(ii)$,
$T_4 = {}^nC_3 x^{n-3} a^3 = 1080$ $(iii)$.
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,$\frac{T_3}{T_2} = \frac{{}^nC_2 x^{n-2} a^2}{{}^nC_1 x^{n-1} a} = \frac{n-1}{2} \cdot \frac{a}{x} = \frac{720}{240} = 3$ $\Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{6}{n-1}$.
$(iii)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,$\frac{T_4}{T_3} = \frac{{}^nC_3 x^{n-3} a^3}{{}^nC_2 x^{n-2} a^2} = \frac{n-2}{3} \cdot \frac{a}{x} = \frac{1080}{720} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{9}{2(n-2)}$.
$\frac{a}{x}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{6}{n-1} = \frac{9}{2(n-2)}$
$12(n-2) = 9(n-1)$
$12n - 24 = 9n - 9$
$3n = 15 \Rightarrow n = 5$.

(C) ${\left( x - \frac{1}{2x} \right)^8}$ के विस्तार में सामान्य पद ${T_{r+1} = ^8C_r (x)^{8-r} \left( -\frac{1}{2x} \right)^r}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है ${T_{r+1} = ^8C_r \left( -\frac{1}{2} \right)^r x^{8-2r}}$।
${x^2}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के घातांक को $2$ के बराबर रखते हैं:
${8 - 2r = 2}$
${2r = 6}$
${r = 3}$।
गुणांक के व्यंजक में ${r = 3}$ रखने पर:
गुणांक $= ^8C_3 \left( -\frac{1}{2} \right)^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \left( -\frac{1}{8} \right) = 56 \times \left( -\frac{1}{8} \right) = -7$।

(A) $(x + a)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} a^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + 3)^6$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^6C_r x^{6-r} 3^r$ है।
$x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के घातांक को $5$ के बराबर रखते हैं:
$6 - r = 5 \Rightarrow r = 1$।
गुणांक के व्यंजक में $r = 1$ रखने पर:
गुणांक $= {}^6C_1 \times 3^1 = 6 \times 3 = 18$।

(A) $(x^4 - \frac{1}{x^3})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{15}C_r (x^4)^{15-r} (-\frac{1}{x^3})^r$ द्वारा दिया जाता है।
$T_{r+1} = ^{15}C_r (x)^{60-4r} (-1)^r (x)^{-3r}$.
$T_{r+1} = ^{15}C_r (-1)^r (x)^{60-7r}$.
$x^{32}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के घातांक को $32$ के बराबर रखते हैं:
$60 - 7r = 32$.
$7r = 60 - 32 = 28$.
$r = 4$.
गुणांक के व्यंजक में $r=4$ रखने पर:
गुणांक $= ^{15}C_4 (-1)^4 = ^{15}C_4$.

(B) $(1 + x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^nC_k x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(1 + x)^{21}$ के विस्तार के लिए,$x^r$ का गुणांक ${}^{21}C_r$ है और $x^{r+1}$ का गुणांक ${}^{21}C_{r+1}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं,इसलिए ${}^{21}C_r = {}^{21}C_{r+1}$।
गुणधर्म ${}^nC_a = {}^nC_b \Rightarrow a = b$ या $a + b = n$ का उपयोग करने पर,हमें $r + (r + 1) = 21$ प्राप्त होता है।
$2r + 1 = 21$ $\Rightarrow 2r = 20$ $\Rightarrow r = 10$।

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = (x/3)^{1/2}$,$b = 3/(2x^2)$,और $n = 10$ है।
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (x/3)^{(10-r)/2} (3/(2x^2))^r$
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (1/3)^{(10-r)/2} (3/2)^r x^{(10-r)/2 - 2r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$(10-r)/2 - 2r = 0$
$5 - r/2 - 2r = 0$
$5 = 5r/2 \Rightarrow r = 2$
$r = 2$ का मान रखने पर:
$T_{3} = ^{10}C_{2} (1/3)^{(10-2)/2} (3/2)^2$
$T_{3} = 45 \times (1/3)^4 \times (9/4)$
$T_{3} = 45 \times (1/81) \times (9/4) = 45/36 = 5/4$.

(C) $(a + b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = \frac{1}{2}x^{1/3}$,$b = x^{-1/5}$,और $n = 8$ है।
$T_{r+1} = {}^8C_r (\frac{1}{2}x^{1/3})^{8-r} (x^{-1/5})^r = {}^8C_r (\frac{1}{2})^{8-r} x^{\frac{8-r}{3} - \frac{r}{5}}$।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{8-r}{3} - \frac{r}{5} = 0$ $\Rightarrow 5(8-r) - 3r = 0$ $\Rightarrow 40 - 8r = 0$ $\Rightarrow r = 5$।
$r = 5$ रखने पर:
$T_{6} = {}^8C_5 (\frac{1}{2})^{3} = 56 \times \frac{1}{8} = 7$।

(A) ${\left( \frac{3x^2}{2} - \frac{1}{3x} \right)^9}$ के विस्तार में व्यापक पद है:
$T_{r+1} = ^9C_r \left( \frac{3x^2}{2} \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3x} \right)^r$
सरल करने पर:
$T_{r+1} = ^9C_r \left( \frac{3}{2} \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3} \right)^r x^{18-3r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए:
$18 - 3r = 0 \implies r = 6$
$r = 6$ रखने पर:
$T_7 = ^9C_6 \left( \frac{3}{2} \right)^3 \left( -\frac{1}{3} \right)^6 = ^9C_3 \cdot \frac{3^3}{2^3} \cdot \frac{1}{3^6} = ^9C_3 \cdot \frac{1}{6^3}$

(D) ${\left( {2x - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^{12}}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {^{12}C_r} {(2x)^{12-r}} {\left( -\frac{1}{2x^2} \right)^r}$
$T_{r+1} = {^{12}C_r} {2^{12-r}} {x^{12-r}} {(-1)^r} {2^{-r}} {x^{-2r}}$
$T_{r+1} = {^{12}C_r} {2^{12-2r}} {(-1)^r} {x^{12-3r}}$
पद के $x$ से स्वतंत्र होने के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$12 - 3r = 0 \Rightarrow r = 4$
$r = 4$ रखने पर:
$T_{4+1} = {^{12}C_4} {2^{12-8}} {(-1)^4} = {^{12}C_4} {2^4}$
$T_5 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 16 = 495 \times 16 = 7920$.

(B) $(x + \frac{2}{x^2})^{15}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = ^{15}C_r (x)^{15-r} (\frac{2}{x^2})^r$ द्वारा दिया जाता है।
यह $T_{r+1} = ^{15}C_r \times 2^r \times x^{15-3r}$ के रूप में सरल होता है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$15 - 3r = 0$,जिससे $r = 5$ प्राप्त होता है।
$r = 5$ रखने पर,$x$ से स्वतंत्र पद $^{15}C_5 \times 2^5$ प्राप्त होता है।

(D) ${\left( {{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^9}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {^9C_r} {(x^2)}^{9-r} {(-\frac{1}{x})}^r$
$T_{r+1} = {^9C_r} {x^{18-2r}} {(-1)^r} {x^{-r}}$
$T_{r+1} = {^9C_r} {(-1)^r} {x^{18-3r}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$18 - 3r = 0$
$3r = 18$
$r = 6$
$r = 6$ को सामान्य पद में रखने पर:
$T_{6+1} = {^9C_6} {(-1)^6} {x^0}$
$T_7 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84$
चूंकि $84$ विकल्पों $A, B, C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) $(2x + \frac{1}{3x})^6$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^6C_r (2x)^{6-r} (\frac{1}{3x})^r$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए।
$x^{6-r} \cdot x^{-r} = x^{6-2r} = x^0$ $\Rightarrow 6-2r = 0$ $\Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ रखने पर:
$T_{3+1} = ^6C_3 (2)^3 (\frac{1}{3})^3 = 20 \times 8 \times \frac{1}{27} = \frac{160}{27}$.

(B) ${\left( {{x^2} - \frac{1}{{3x}}} \right)^9}$ के विस्तार में सामान्य पद ${T_{r + 1}} = {\,^9}{C_r}{({x^2})^{9 - r}}{\left( { - \frac{1}{{3x}}} \right)^r}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है ${T_{r + 1}} = {\,^9}{C_r} \cdot {x^{18 - 2r}} \cdot \frac{{{{( - 1)}^r}}}{{{3^r}}} \cdot {x^{ - r}} = {\,^9}{C_r} \cdot \frac{{{{( - 1)}^r}}}{{{3^r}}} \cdot {x^{18 - 3r}}$.
पद के $x$ से स्वतंत्र होने के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $18 - 3r = 0$,जिससे $r = 6$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ को सामान्य पद में रखने पर,हमें प्राप्त होता है ${T_7} = {\,^9}{C_6} \cdot \frac{{{{( - 1)}^6}}}{{{3^6}}} = \frac{{9 \times 8 \times 7}}{{3 \times 2 \times 1}} \cdot \frac{1}{{729}} = 84 \cdot \frac{1}{{729}} = \frac{{28}}{{243}}$.

(D) $(2x - \frac{3}{x})^6$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^6C_r (2x)^{6-r} (-\frac{3}{x})^r$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर,हमें $T_{r+1} = {}^6C_r (2)^{6-r} (-3)^r (x)^{6-2r}$ प्राप्त होता है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $6 - 2r = 0$,जिससे $r = 3$ प्राप्त होता है।
$r = 3$ को पद में रखने पर,हमें $T_4 = {}^6C_3 (2)^{6-3} (-3)^3$ प्राप्त होता है।
$T_4 = 20 \times 8 \times (-27) = -4320$.

(B) ${\left( 2{x^2} - \frac{1}{x} \right)^{12}}$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
${T_{r + 1}} = {}^{12}{C_r} \cdot {(2{x^2})^{12 - r}} \cdot {\left( -\frac{1}{x} \right)^r}$
${T_{r + 1}} = {}^{12}{C_r} \cdot {2^{12 - r}} \cdot {x^{24 - 2r}} \cdot {( - 1)^r} \cdot {x^{-r}}$
${T_{r + 1}} = {}^{12}{C_r} \cdot {2^{12 - r}} \cdot {( - 1)^r} \cdot {x^{24 - 3r}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$24 - 3r = 0$
$3r = 24$
$r = 8$
चूंकि पद ${T_{r + 1}}$ है,इसलिए ${T_{8 + 1}} = {T_9}$ प्राप्त होता है,जो $9$ वाँ पद है।

(D) ${\left( x - \frac{3}{x^2} \right)^9}$ के विस्तार में व्यापक पद ${T_{r+1}} = {^9C_r} {(x)^{9-r}} {\left( -\frac{3}{x^2} \right)^r}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें ${T_{r+1}} = {^9C_r} {(-3)^r} {x^{9-3r}}$ प्राप्त होता है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए,अतः $9 - 3r = 0$,जिससे $r = 3$ प्राप्त होता है।
$r = 3$ को व्यापक पद में रखने पर,हमें ${T_4} = {^9C_3} {(-3)^3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times (-27) = 84 \times (-27) = -2268$ प्राप्त होता है।

(B) ${\left( {x^2 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = ^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-1})^r = ^nC_r x^{2n-3r}$ है।
चूंकि मध्य पद दिया गया है,इसलिए $n$ एक सम पूर्णांक होना चाहिए। मध्य पद $\left( \frac{n}{2} + 1 \right)$ वां पद है,इसलिए $r = \frac{n}{2}$.
व्यापक पद में $r = \frac{n}{2}$ रखने पर,$T_{\frac{n}{2}+1} = ^nC_{n/2} x^{n/2}$ प्राप्त होता है।
मध्य पद $924x^6$ दिया गया है,इसलिए $x$ के घातों की तुलना करने पर: $\frac{n}{2} = 6 \Rightarrow n = 12$.
गुणांक की जांच करने पर: $^{12}C_6 = 924$.
अतः,$n = 12$.

(B) $(x + a)^n$ के विस्तार के लिए,यदि $n$ सम है,तो मध्य पद $(\frac{n}{2} + 1)$-वाँ पद होता है।
यहाँ,$n = 10$,जो कि सम है।
इसलिए,मध्य पद $(\frac{10}{2} + 1) = 6$-वाँ पद है,जिसे $T_6$ द्वारा दर्शाया गया है।
$(x + a)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = ^nC_r x^{n-r} a^r$ द्वारा दिया जाता है।
$T_6$ के लिए,हमारे पास $r = 5$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$T_6 = ^{10}C_5 (x)^{10-5} (\frac{1}{x})^5$.
$T_6 = ^{10}C_5 x^5 \cdot \frac{1}{x^5} = ^{10}C_5$.
अतः,मध्य पद $^{10}C_5$ है।