Binomial theorem for any index Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $S = 1 + \frac{1 \times 3}{6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{6 \times 8} + \dots \infty$.
$\frac{1}{4}$ વડે ગુણતા,$\frac{S}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{4 \times 6 \times 8} + \dots \infty$ મળે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,શ્રેણીની સરખામણી કરતા,આપણને $S = 4$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $(a + b)^m$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ છે.
આપણે પદાવલિને $a^m \left( 1 + \frac{b}{a} \right)^m$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી શ્રેણી વિસ્તરણ $(1 + x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{1 \cdot 2}x^2 + \dots$ માન્ય રહે તે માટે,શરત $|x| < 1$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં,$x = \frac{b}{a}$ છે,તેથી આપણે $\left| \frac{b}{a} \right| < 1$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $|b| < |a|$.

(C) આપેલ પદાવલિને $5^{-1/2} \left(1 + \frac{4}{5}x\right)^{-1/2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + z)^n$ એ $|z| < 1$ માટે માન્ય છે.
અહીં,$z = \frac{4}{5}x$ છે,તેથી વિસ્તરણ ત્યારે જ માન્ય રહે જ્યારે $\left| \frac{4}{5}x \right| < 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $|x| < \frac{5}{4}$.

(B) $(1 + x)^m$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + mx + \frac{m(m - 1)}{2!}x^2 + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ત્રીજું પદ $\frac{m(m - 1)}{2}x^2 = -\frac{1}{8}x^2$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને $\frac{m(m - 1)}{2} = -\frac{1}{8}$ મળે છે.
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા,$4m(m - 1) = -1$ મળે.
$4m^2 - 4m + 1 = 0$.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(2m - 1)^2 = 0$.
તેથી,$2m - 1 = 0$,જે $m = \frac{1}{2}$ આપે છે.

(B) $(1 + y)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3 + \dots$ છે.
અહીં,$n = \frac{3}{2}$ અને $y = -2x$ છે.
ચોથું પદ $T_4 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T_4 = \frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3 \times 2 \times 1} (-2x)^3$
$T_4 = \frac{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2})}{6} (-8x^3)$
$T_4 = \frac{-\frac{3}{8}}{6} (-8x^3)$
$T_4 = -\frac{3}{48} (-8x^3) = \frac{24}{48}x^3 = \frac{x^3}{2}$.

(A) આપણે $(217)^{1/3}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આપણે $217 = 216 + 1 = 6^3 + 1$ લખી શકીએ.
તેથી,$(217)^{1/3} = (6^3 + 1)^{1/3} = 6(1 + \frac{1}{6^3})^{1/3}$.
દ્વિપદી પ્રમેય $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(217)^{1/3} = 6 \left[ 1 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{216} \right) + \dots \right]$
$= 6 + \frac{6}{3 \times 216} = 6 + \frac{1}{108} \approx 6 + 0.009259 \approx 6.00926$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $6.01$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{(4 - 3x)^{1/2}} = (4 - 3x)^{-1/2}$ છે.
આપણે તેને $4^{-1/2} (1 - \frac{3x}{4})^{-1/2} = \frac{1}{2} (1 - \frac{3x}{4})^{-1/2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - z)^n$ એ $|z| < 1$ માટે માન્ય છે.
અહીં,$z = \frac{3x}{4}$ છે,તેથી શરત $|\frac{3x}{4}| < 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $|x| < \frac{4}{3}$,એટલે કે $-\frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$.

(A) આપેલ છે $(a + bx)^{-2} = \frac{1}{4} - 3x + \dots$
આપણે પદાવલિને $\frac{1}{a^2} (1 + \frac{b}{a}x)^{-2} = \frac{1}{4} - 3x + \dots$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{a^2} [1 + (-2)(\frac{b}{a}x) + \dots] = \frac{1}{4} - 3x + \dots$
$\frac{1}{a^2} - \frac{2b}{a^3}x + \dots = \frac{1}{4} - 3x + \dots$
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $\frac{1}{a^2} = \frac{1}{4} \implies a^2 = 4 \implies a = 2$.
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-\frac{2b}{a^3} = -3$.
$a = 2$ મૂકતા: $-\frac{2b}{8} = -3 \implies -\frac{b}{4} = -3 \implies b = 12$.
આમ,$(a, b) = (2, 12)$.

(B) આપણી પાસે $\frac{1}{(6 - 3x)^{1/3}} = (6 - 3x)^{-1/3}$ છે.
$6$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,આપણને $6^{-1/3} (1 - \frac{3x}{6})^{-1/3} = 6^{-1/3} (1 - \frac{x}{2})^{-1/3}$ મળે છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!} y^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 1/3$ અને $y = x/2$:
$6^{-1/3} \left[ 1 + (\frac{1}{3})(\frac{x}{2}) + \frac{(\frac{1}{3})(\frac{4}{3})}{2} (\frac{x}{2})^2 + \dots \right]$
$= 6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{4/9}{2} \cdot \frac{x^2}{4} + \dots \right]$
$= 6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{36} + \dots \right]$
$= 6^{-1/3} \left[ 1 + \frac{x}{6} + \frac{2x^2}{6^2} + \dots \right]$.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ છે: ${\left( {1 + \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} + {\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે બંને પદોનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
${\left( {1 + \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( \frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( \frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 - \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
${\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( -\frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( -\frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 + \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
આ બંને વિસ્તરણોનો સરવાળો કરતા,એકી ઘાતવાળા પદો (જેમાં $x/a$ છે) ઉડી જાય છે:
$(1 + 1) + (-\frac{x}{2a} + \frac{x}{2a}) + (\frac{3x^2}{8a^2} + \frac{3x^2}{8a^2}) + \dots = 2 + \frac{6x^2}{8a^2} + \dots = 2 + \frac{3x^2}{4a^2} + \dots$

(B) $(1 - x)^{-n}$ ના વિસ્તરણ માટે સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n+r-1}{r} x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1 - x)^{-4}$ ના વિસ્તરણ માટે,આપણી પાસે $n = 4$ છે.
તેથી,$T_{r+1} = \binom{4+r-1}{r} x^r = \binom{r+3}{r} x^r$.
ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\binom{r+3}{r} = \binom{r+3}{3}$ મળે છે.
દ્વિપદી સહગુણકનું વિસ્તરણ કરતા: $\binom{r+3}{3} = \frac{(r+3)(r+2)(r+1)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{(r+1)(r+2)(r+3)}{6}$.
તેથી,$T_{r+1} = \frac{(r+1)(r+2)(r+3)}{6} x^r$.

(B) આપણી પાસે $\frac{1}{(2 + x)^4} = (2 + x)^{-4}$ છે.
પદમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $(2 + x)^{-4} = [2(1 + \frac{x}{2})]^{-4} = 2^{-4}(1 + \frac{x}{2})^{-4} = \frac{1}{16}(1 + \frac{x}{2})^{-4}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = -4$ અને $z = \frac{x}{2}$:
$(1 + \frac{x}{2})^{-4} = 1 + (-4)(\frac{x}{2}) + \frac{(-4)(-5)}{2}(\frac{x}{2})^2 + \dots$
$= 1 - 2x + \frac{20}{2 \times 4}x^2 + \dots = 1 - 2x + \frac{5}{2}x^2 + \dots$
તેથી,$\frac{1}{(2 + x)^4} = \frac{1}{16}(1 - 2x + \frac{5}{2}x^2 - \dots)$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{(x^2 + \frac{1}{x})^{4/3}} = \frac{1}{(x^3(1 + \frac{1}{x^3}))^{4/3}} = x^{-4}(1 + \frac{1}{x^3})^{-4/3}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + z)^n$ માન્ય રહે તે માટે,શરત $|z| < 1$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં,$z = \frac{1}{x^3}$,તેથી આપણે $|\frac{1}{x^3}| < 1$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $|x^3| > 1$,જેનું સાદું રૂપ $|x| > 1$ થાય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $(1 + 3x)^2 (1 - 2x)^{-1}$ છે.
$(1 + 3x)^2 = 1 + 6x + 9x^2$ નું વિસ્તરણ.
$(1 - 2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ.
બંનેના ગુણાકારમાં $x^3$ નો સહગુણક:
$1 \times 8 + 6 \times 4 + 9 \times 2 = 8 + 24 + 18 = 50$.

(C) આપેલ પદાવલિ $(1 + x + x^2 + ....)^2$ છે.
$|x| < 1$ હોવાથી,અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $(1 - x)^{-1}$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $((1 - x)^{-1})^2 = (1 - x)^{-2}$ બને છે.
ઋણ ઘાતાંક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1 - x)^{-k} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k-1} x^n$.
$k = 2$ માટે,$(1 - x)^{-2} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2-1}{2-1} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{1} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (n + 1) x^n$.
તેથી,$x^n$ નો સહગુણક $(n + 1)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $|x| > 1$.
$|x| > 1$ હોવાથી,$|\frac{1}{x}| < 1$ થાય.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$(1 + x)^{-2} = [x(1 + \frac{1}{x})]^{-2} = x^{-2}(1 + \frac{1}{x})^{-2}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $|z| < 1$:
$x^{-2}(1 + \frac{1}{x})^{-2} = \frac{1}{x^2} [1 - 2(\frac{1}{x}) + \frac{2(3)}{2!}(\frac{1}{x})^2 - \dots]$
$= \frac{1}{x^2} [1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} - \dots]$
$= \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^4} - \dots$

(C) આપેલ શ્રેણી $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ....\infty = (1 - x)^{-2}$ છે,જ્યાં $|x| < 1$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ....\infty)^{1/2} = ((1 - x)^{-2})^{1/2}$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$= (1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + .... + x^n + ....\infty$
આમ,$x^n$ નો સહગુણક $1$ છે.

(A) ઋણ ઘાતાંક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n + 1)}{2!}y^2 + \dots \infty$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણી $1 + n\left( \frac{2x}{1 + x} \right) + \frac{n(n + 1)}{2!}\left( \frac{2x}{1 + x} \right)^2 + \dots \infty$ સાથે સરખાવતા,આપણને $y = \frac{2x}{1 + x}$ મળે છે.
આમ,સરવાળો $\left( 1 - \frac{2x}{1 + x} \right)^{-n}$ છે.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $1 - \frac{2x}{1 + x} = \frac{1 + x - 2x}{1 + x} = \frac{1 - x}{1 + x}$.
તેથી,સરવાળો $\left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)^{-n} = \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^n$ થાય છે.

(A) ઋણ ઘાતાંક માટેનું સામાન્ય દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n + 1)}{2!}y^2 + \dots \infty$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણી $1 + n(1 - \frac{1}{x}) + \frac{n(n + 1)}{2!}(1 - \frac{1}{x})^2 + \dots \infty$ સાથે સરખાવતા,આપણે $y = (1 - \frac{1}{x})$ મેળવીએ છીએ.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને સરવાળો $(1 - (1 - \frac{1}{x}))^{-n}$ મળે છે.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $1 - 1 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.
આમ,સરવાળો $(\frac{1}{x})^{-n} = (x^{-1})^{-n} = x^n$ થાય છે.

(C) $(1 + z)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3 + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = \frac{3}{2}$ અને $z = -x$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
પ્રથમ પદ: $1$
બીજું પદ: $\frac{3}{2}(-x) = -\frac{3}{2}x$
ત્રીજું પદ: $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)}{2!}(-x)^2 = \frac{3}{8}x^2$
ચોથું પદ: $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3!}(-x)^3 = \frac{1}{16}x^3$
આમ,પ્રથમ ચાર પદો $1 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3$ છે.

(B) આપણી પાસે $\frac{(1 + x)^2}{(1 - x)^3} = (1 + 2x + x^2)(1 - x)^{-3}$ છે.
ઋણ ઘાતાંક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1 - x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$.
આમ,પદાવલિ $(1 + 2x + x^2) \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$ બને છે.
$x^n$ નો સહગુણક નીચે મુજબ મળે છે:
$= 1 \cdot \binom{n+2}{2} + 2 \cdot \binom{n+1}{2} + 1 \cdot \binom{n}{2}$
$= \frac{(n+2)(n+1)}{2} + 2 \frac{(n+1)n}{2} + \frac{n(n-1)}{2}$
$= \frac{1}{2} [n^2 + 3n + 2 + 2n^2 + 2n + n^2 - n]$
$= \frac{1}{2} [4n^2 + 4n + 2] = 2n^2 + 2n + 1$.

(D) કોઈપણ ઘાતાંક $n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + y)^n = 1 + ny + \frac{n(n - 1)}{2!}y^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}y^3 + \dots$ છે.
આપેલ શ્રેણી $1 + \frac{1}{3}x + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}x^2 + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9}x^3 + \dots$ ને વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા:
$ny = \frac{1}{3}x$
$\frac{n(n - 1)}{2}y^2 = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}x^2 = \frac{2}{9}x^2$
$ny = \frac{1}{3}x$ પરથી,$y = \frac{x}{3n}$ મળે. આ કિંમત બીજા પદમાં મૂકતા:
$\frac{n(n - 1)}{2} \cdot \frac{x^2}{9n^2} = \frac{2}{9}x^2$
$\frac{n - 1}{18n} = \frac{2}{9} \implies n - 1 = 4n \implies 3n = -1 \implies n = -\frac{1}{3}$
$n = -\frac{1}{3}$ ને $ny = \frac{1}{3}x$ માં મૂકતા $(-\frac{1}{3})y = \frac{1}{3}x$ મળે,તેથી $y = -x$.
આમ,શ્રેણી $(1 - x)^{-1/3}$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $1 - \frac{1}{8} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 16} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{8 \cdot 16 \cdot 24} + \dots$ છે.
તેને દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ સાથે સરખાવતા:
$nx = -\frac{1}{8}$ $(1)$
$\frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{3}{128}$ $(2)$
$(1)$ પરથી,$x = -\frac{1}{8n}$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{64n^2} = \frac{3}{128}$
$\frac{n-1}{128n} = \frac{3}{128}$ $\Rightarrow n-1 = 3n$ $\Rightarrow 2n = -1$ $\Rightarrow n = -\frac{1}{2}$
$n = -\frac{1}{2}$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$-\frac{1}{2}x = -\frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{4}$
તેથી,સરવાળો $(1 + x)^n = (1 + \frac{1}{4})^{-1/2} = (\frac{5}{4})^{-1/2} = (\frac{4}{5})^{1/2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ થાય.

(A) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!} x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = \frac{7}{2}$ છે.
જ્યારે અંશમાં રહેલા અવયવોનો ગુણાકાર ઋણ થાય ત્યારે પદ ઋણ બને છે.
અવયવો $\frac{7}{2}, \frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, ...$ છે.
પ્રથમ ઋણ અવયવ $5^{th}$ પદ પર આવે છે,જ્યાં અવયવ $(n-r+1) = \frac{7}{2} - r + 1$ છે.
પદ ઋણ હોવા માટે,આપણે $\frac{7}{2} - r + 1 < 0$ ની જરૂર છે,જેનું સાદું રૂપ $r > \frac{9}{2} = 4.5$ થાય છે.
$r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી નાની કિંમત $r = 5$ છે.

(B) આપણી પાસે છે,$(1 - 9x + 20{x^2})^{-1} = [(1 - 5x)(1 - 4x)]^{-1}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ:
$\frac{1}{(1 - 5x)(1 - 4x)} = \frac{5}{1 - 5x} - \frac{4}{1 - 4x}$.
આમ,પદાવલિ બને છે:
$5(1 - 5x)^{-1} - 4(1 - 4x)^{-1}$.
દ્વિપદી શ્રેણી $(1 - z)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$= 5 \sum_{k=0}^{\infty} (5x)^k - 4 \sum_{k=0}^{\infty} (4x)^k$.
તેથી ${x^n}$ નો સહગુણક:
$5(5^n) - 4(4^n) = 5^{n+1} - 4^{n+1}$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $y = 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$1 + y = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots$
જમણી બાજુ એ $(1 - x)^{-3}$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ છે.
તેથી,$1 + y = (1 - x)^{-3}$.
બંને બાજુ $-1/3$ ઘાત લેતા,$(1 + y)^{-1/3} = 1 - x$.
$x$ ને કર્તા બનાવતા,$x = 1 - (1 + y)^{-1/3}$ મળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $(1 - x)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3x^2}{8} + \dots$ ના વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા.
અહીં $x = 1/2$ લેતા,શ્રેણીનો સરવાળો $(1 - 1/2)^{-1/2} = (1/2)^{-1/2} = \sqrt{2}$ મળે છે.

(C) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ ઋણ હોવા માટે,ગુણાકાર $n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)$ ઋણ હોવો જોઈએ કારણ કે $x > 0$ માટે $x^r$ અને $r!$ ધન છે.
અહીં $n = \frac{27}{5} = 5.4$ છે.
જ્યારે અવયવ $(n-r+1) < 0$ થાય ત્યારે પદ ઋણ બને છે.
$5.4 - r + 1 < 0 \implies 6.4 < r$.
$r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $r = 7$ છે.
આમ,પ્રથમ ઋણ પદ $T_{7+1} = T_8$ છે,જે $8$ મું પદ છે.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\binom{n}{r} x^r = \frac{n(n-1)...(n-r+1)}{r!} x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1-2x)^{-1/2}$ માટે,$n = -1/2$ અને પદ $\binom{-1/2}{r} (-2x)^r$ છે.
${x^r}$ નો સહગુણક $\binom{-1/2}{r} (-2)^r$ છે.
$= \frac{(-1/2)(-3/2)(-5/2)...(-(2r-1)/2)}{r!} (-2)^r$.
$= \frac{(-1)^r [1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2r-1)]}{2^r r!} (-2)^r$.
$= \frac{(-1)^r [1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2r-1)]}{2^r r!} (-1)^r 2^r$.
$= \frac{1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2r-1)}{r!}$.
અંશ અને છેદને $2 \times 4 \times 6 \times ... \times (2r) = 2^r r!$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$= \frac{(1 \times 3 \times ... \times (2r-1)) \times (2 \times 4 \times ... \times 2r)}{r! \times 2^r r!} = \frac{(2r)!}{2^r (r!)^2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = \frac{(1 - 3x)^{1/2} + (1 - x)^{5/3}}{2(1 - x/4)^{1/2}}$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + z)^n \approx 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2}z^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $(1 - 3x)^{1/2} + (1 - x)^{5/3} \approx [1 + \frac{1}{2}(-3x)] + [1 + \frac{5}{3}(-x)] = 2 - \frac{19}{6}x$
છેદ: $2(1 - x/4)^{1/2} \approx 2[1 + \frac{1}{2}(-x/4)] = 2 - \frac{x}{4}$
તેથી,$f(x) \approx \frac{2 - \frac{19}{6}x}{2(1 - x/8)} \approx (1 - \frac{19}{12}x)(1 + x/8) \approx 1 - \frac{35}{24}x$
$a + bx$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$ અને $b = -\frac{35}{24}$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \times 3}{5 \times 10} + \frac{1 \times 3 \times 5}{5 \times 10 \times 15} + \dots$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેય $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,
અહીં $n = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{2}{5}$ મળે છે.
તેથી,$S = (1 - \frac{2}{5})^{-1/2} = (\frac{3}{5})^{-1/2} = \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{(1 + x)^{1/2} + (1 - x)^{2/3}}{1 + x + (1 + x)^{1/2}}$ છે.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 + x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x$
$(1 - x)^{2/3} \approx 1 - \frac{2}{3}x$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E \approx \frac{(1 + \frac{1}{2}x) + (1 - \frac{2}{3}x)}{1 + x + (1 + \frac{1}{2}x)}$
$E \approx \frac{2 - \frac{1}{6}x}{2 + \frac{3}{2}x} = \frac{2(1 - \frac{1}{12}x)}{2(1 + \frac{3}{4}x)}$
$E \approx (1 - \frac{1}{12}x)(1 + \frac{3}{4}x)^{-1}$
$(1 + z)^{-1} \approx 1 - z$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E \approx (1 - \frac{1}{12}x)(1 - \frac{3}{4}x)$
$E \approx 1 - \frac{3}{4}x - \frac{1}{12}x = 1 - \frac{5}{6}x$.

(B) $(1 + y)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $|y| < 1$ માટે માન્ય છે.
અહીં,$y = 2x$ અને $n = -1/2$ છે.
શ્રેણી અભિસારી (convergent) હોવા માટે,આપણી પાસે $|2x| < 1$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $|x| < 1/2$.
તેથી,$x$ નો વિસ્તાર $-1/2 < x < 1/2$ છે,જેને $x \in ( -1/2, 1/2 )$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) $(1+x)^{m}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $(T_{r+1})$ એ $T_{r+1} = {}^{m}C_{r} (1)^{m-r} (x)^{r} = {}^{m}C_{r} x^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^{2}$ ના સહગુણક માટે,આપણે $r=2$ લઈએ છીએ.
આમ,$x^{2}$ નો સહગુણક ${}^{m}C_{2}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણક $6$ છે,તેથી ${}^{m}C_{2} = 6$.
$\frac{m(m-1)}{2} = 6$
$m(m-1) = 12$
$m^{2} - m - 12 = 0$
$(m-4)(m+3) = 0$
$m$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $m=4$.

(C) ધારો કે શ્રેણી $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$ છે.
આ દ્વિપદી શ્રેણી $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ ના સ્વરૂપમાં છે.
શ્રેણીને $S = 1 - [1 - \frac{1}{4} + \frac{1 \cdot 5}{2! \cdot 4^2} - \frac{1 \cdot 5 \cdot 9}{3! \cdot 4^3} + \ldots]$ તરીકે લખી શકાય.
કૌંસની અંદરના પદોને દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{-n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $nx = \frac{1}{4}$ અને $n = \frac{1}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
આમ,કૌંસની અંદરની શ્રેણી $(1+1)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{4}}$ છે.
તેથી,$S = 1 - 2^{-\frac{1}{4}} = 1 - \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \frac{2^{\frac{1}{4}}-1}{2^{\frac{1}{4}}}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \times 3}{3 \times 6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{3 \times 6 \times 9} + \ldots \infty$ છે.
આપણે છેદને $3^n n!$ વડે ગુણીને સામાન્ય પદ ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$S = 1 + \frac{1}{3(1!)} + \frac{1 \times 3}{3^2(2!)} + \frac{1 \times 3 \times 5}{3^3(3!)} + \ldots$.
આને દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-p/q} = 1 + \frac{p}{q}x + \frac{p(p+q)}{2!}(\frac{x}{q})^2 + \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!}(\frac{x}{q})^3 + \ldots$ સાથે સરખાવતા.
અહીં,$p=1, q=2$,અને $\frac{x}{q} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
તેથી,$S = (1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = \sqrt{3}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \ldots$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}y^3 + \ldots$
ધારો કે $1+x = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \ldots$
આ $(1-y)^{-n}$ સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય છે જ્યાં $ny = \frac{1}{5}$ અને $\frac{n(n+1)}{2}y^2 = \frac{3}{50}$.
$n$ અને $y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{2}{5}$ મળે છે.
આમ,$1+x = (1 - \frac{2}{5})^{-1/2} = (\frac{3}{5})^{-1/2} = \sqrt{\frac{5}{3}}$.
તેથી,$x = \sqrt{\frac{5}{3}} - 1$.
હવે,$3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3((x+1)^2 - 1) = 3(x+1)^2 - 3$ ની ગણતરી કરો.
$x+1 = \sqrt{\frac{5}{3}}$ મૂકતા,આપણને $3(\frac{5}{3}) - 3 = 5 - 3 = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $x = \frac{3}{10} + \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 9}{10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$ છે.
પદોને ગોઠવવા માટે $5$ વડે ગુણીને ભાગતા:
$x = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{5 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-y)^{-n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 + x = (1 - 2/5)^{-3/2} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$ મળે છે.
તેથી,$x = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - 1$.
આમ,$5x + 8 = 5(\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - 1) + 8 = \frac{25\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} + 3$.

(D) આપેલ શ્રેણી $(1-y)^{-n} - 1$ ના સ્વરૂપમાં છે.
સરખામણી કરતા,$x = \sqrt{5} - 1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ થાય.
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} - 1 + \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{5\sqrt{5} - 3}{4}$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \dots$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,
શ્રેણીમાં $\frac{3}{4}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$S = \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \ldots$
દ્વિપદી શ્રેણી $(1-x)^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = -2/3$ અને $x = -3/4$ મળે છે.
તેથી,$S = (1 - (-3/4))^{-2/3} = (1/4)^{-2/3} = \sqrt[3]{16}$.

(A) આપણે સામાન્ય દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(1+z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \dots$
$(1+3x)^{-3}$ માટે,$n=3$ અને $z=3x$ છે:
$(1+3x)^{-3} = 1 - 3(3x) + \frac{3(4)}{2}(3x)^2 - \frac{3(4)(5)}{6}(3x)^3 + \dots$
$= 1 - 9x + 54x^2 - 270x^3 + \dots$
હવે,$(1+4x-3x^2)$ વડે ગુણાકાર કરો:
$(1+4x-3x^2)(1-9x+54x^2-270x^3 + \dots)$
$x^3$ નો સહગુણક આ રીતે મળે છે:
$1(-270) + 4(54) - 3(-9) = -270 + 216 + 27 = -27$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(3x - 2)^{2/3}$ છે. દ્વિપદી વિસ્તરણ માટે,આપણે તેને આ રીતે લખીએ છીએ:
$(3x - 2)^{2/3} = [-2(1 - \frac{3x}{2})]^{2/3} = (-2)^{2/3} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3} = \sqrt[3]{4} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3}$.
$(1+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} y^r$ છે.
અહીં $n = \frac{2}{3}$ અને $y = -\frac{3x}{2}$ છે.
$4^{th}$ પદ $(T_4)$ માટે $r = 3$ લેતા:
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1)(\frac{2}{3}-2)}{3!} (-\frac{3x}{2})^3$
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3} \times (-\frac{1}{3}) \times (-\frac{4}{3})}{6} \times (-\frac{27x^3}{8})$
$T_4 = -\frac{\sqrt[3]{4}}{6} x^3$.

(C) આપેલ પદ $\frac{1}{\sqrt[3]{(1-2 x)^2}} = (1-2 x)^{-2/3}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots + \frac{n(n+1)\dots(n+r-1)}{r!}z^r + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 2/3$ અને $z = 2x$ છે:
સામાન્ય પદ $\frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}+1)(\frac{2}{3}+2)\dots(\frac{2}{3}+r-1)}{r!}(2x)^r$ છે.
$x^r$ નો સહગુણક $\frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \dots \cdot \frac{3r-1}{3}}{r!} \cdot 2^r$ છે.
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r! \cdot 3^r} \cdot 2^r$.
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r!} \left(\frac{2}{3}\right)^r$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+ax)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^3$ નો સહગુણક મેળવતા જવાબ $-\frac{20}{3}$ મળે છે.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે બે પદોનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
$(1-3x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(-3x) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}(-3x)^2 + \dots = 1 - x - x^2 + \dots$
$(1+2x)^{-\frac{1}{2}} = 1 + (-\frac{1}{2})(2x) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)}{2!}(2x)^2 + \dots = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots$
આ વિસ્તરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(1 - x - x^2 + \dots)(1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots)$
$x^2$ નો સહગુણક આ રીતે મળે છે: $(1 \times \frac{3}{2}) + (-1 \times -1) + (-1 \times 1) = \frac{3}{2} + 1 - 1 = \frac{3}{2}$.

(B) નાના $|x|$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} \approx 1+\frac{1}{2}x$
$(1-x)^{3/2} \approx 1-\frac{3}{2}x$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(1+\frac{1}{2}x) + (1-\frac{3}{2}x)}{(1+x) + (1+\frac{1}{2}x)} = \frac{2-x}{2+\frac{3}{2}x} = \frac{2-x}{\frac{4+3x}{2}} = \frac{2(2-x)}{4+3x}$
$= \frac{4-2x}{4+3x} = (4-2x)(4+3x)^{-1} = (4-2x) \cdot \frac{1}{4}(1+\frac{3}{4}x)^{-1}$
$\approx \frac{1}{4}(4-2x)(1-\frac{3}{4}x) = \frac{1}{4}(4 - 3x - 2x + \frac{6}{4}x^2)$
$x^2$ વાળા પદોને અવગણતા:
$\approx \frac{1}{4}(4-5x) = 1-\frac{5x}{4}$

(D) આપેલ છે $(2-5x)^{-1/5} = 2^{-1/5} (1 - \frac{5}{2}x)^{-1/5}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $y = -\frac{5}{2}x$ અને $n = -\frac{1}{5}$:
$(1 - \frac{5}{2}x)^{-1/5} = 1 + (-\frac{1}{5})(-\frac{5}{2}x) + \frac{(-\frac{1}{5})(-\frac{6}{5})}{2} (\frac{25}{4}x^2) + \ldots$
$= 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^2 + \ldots$
તેથી,$(2-5x)^{-1/5} = 2^{-1/5} + \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}x + \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}x^2 + \ldots$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}$ અને $a_2 = \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}$.
તેથી,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$.