General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Gujarati

(A) ${\left( {{x^2} - \frac{{3\sqrt{3}}}{{{x^3}}}} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
${T_{r + 1}} = {}^{10}{C_r} {({x^2})^{10 - r}} {\left( { - 3\sqrt{3} \cdot {x^{ - 3}}} \right)^r}$
${T_{r + 1}} = {}^{10}{C_r} {x^{20 - 2r}} {(-3\sqrt{3})^r} {x^{ - 3r}}$
${T_{r + 1}} = {}^{10}{C_r} {(-3\sqrt{3})^r} {x^{20 - 5r}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$20 - 5r = 0 \Rightarrow r = 4$
$r = 4$ મૂકતા:
${T_5} = {}^{10}{C_4} {(-3\sqrt{3})^4}$
${T_5} = 210 \times 81 \times 9 = 153090$

(B) $(1 + x)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $n+1$ પદો હોય છે.
અહીં,$n = 10$,જે બેકી સંખ્યા છે,તેથી કુલ પદોની સંખ્યા $10 + 1 = 11$ છે.
પદોની સંખ્યા એકી હોવાથી,માત્ર એક જ મધ્યમ પદ મળે,જે $\left( \frac{n}{2} + 1 \right)$ મું પદ છે.
મધ્યમ પદ $= \left( \frac{10}{2} + 1 \right) = 6$ મું પદ.
$(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6$ માં પદ માટે,$r+1 = 6$,તેથી $r = 5$.
$T_6 = {}^{10}C_5 x^5$.
મધ્યમ પદનો સહગુણક ${}^{10}C_5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{(5!)^2}$ છે.

(C) $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $2n + 1$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,તેમાં માત્ર એક જ મધ્યમ પદ છે,જે $\left(\frac{2n}{2} + 1\right)$-મું પદ એટલે કે $(n + 1)$-મું પદ છે.
$(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = n$ માટે,મધ્યમ પદ $T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n$ થાય.
સૂત્ર ${}^{2n}C_n = \frac{(2n)!}{n! n!}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મધ્યમ પદ $\frac{(2n)!}{(n!)^2} x^n$ મળે છે.

(B) $(1 + x)^m$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદનો સહગુણક સૌથી મોટો હોય છે.
$(1 + x)^{2n + 2}$ માટે,ઘાત $m = 2n + 2$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
મધ્યમ પદ $\left(\frac{m}{2} + 1\right)$-મું પદ છે,એટલે કે $(n + 2)$-મું પદ.
$(n + 2)$-મા પદનો સહગુણક $\binom{2n + 2}{n + 1}$ છે.
તેથી,સૌથી મોટો સહગુણક $\binom{2n + 2}{n + 1} = \frac{(2n + 2)!}{\{(n + 1)!\}^2}$ છે.

(A) ધારો કે $\sqrt{3} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{20}$ ના વિસ્તરણમાં $T_{r+1}$ એ સૌથી મોટું પદ છે.
આપણને મળે છે $T_{r+1} = \sqrt{3} \cdot {}^{20}C_r \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^r$ અને $T_r = \sqrt{3} \cdot {}^{20}C_{r-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{r-1}$.
સૌથી મોટા પદ માટે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{T_{r+1}}{T_r} \ge 1$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{20}C_r}{{}^{20}C_{r-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20-r+1}{r} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \ge 1$.
$21 - r \ge r\sqrt{3} \Rightarrow 21 \ge r(\sqrt{3} + 1)$.
$r \le \frac{21}{\sqrt{3} + 1} \approx 7.686$.
$r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી મોટું પદ $r = 7$ પર મળે છે,જે $T_8$ છે.
$T_8 = \sqrt{3} \cdot {}^{20}C_7 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^7 = \frac{25840}{9}$.

(A) જો $n$ બેકી હોય,તો મહત્તમ સહગુણક $^nC_{n/2}$ છે.
મહત્તમ પદ મહત્તમ સહગુણક ધરાવે તે માટે,પદ $T_{n/2+1} = ^nC_{n/2} x^{n/2}$ તેના પાડોશી પદો $T_{n/2}$ અને $T_{n/2+2}$ કરતા મોટું હોવું જોઈએ.
$T_{n/2+1} > T_{n/2} \implies ^nC_{n/2} x^{n/2} > ^nC_{n/2-1} x^{n/2-1} \implies x > \frac{^nC_{n/2-1}}{^nC_{n/2}} = \frac{n}{n + 2}$.
$T_{n/2+1} > T_{n/2+2} \implies ^nC_{n/2} x^{n/2} > ^nC_{n/2+1} x^{n/2+1} \implies x < \frac{^nC_{n/2}}{^nC_{n/2+1}} = \frac{n + 2}{n}$.
તેથી,શરત $\frac{n}{n + 2} < x < \frac{n + 2}{n}$ છે.

(B) $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક એ મધ્યમ પદનો સહગુણક છે,જે $^{2n}C_n$ છે.
પદ $T_{n+1} = ^{2n}C_n x^n$ સૌથી મોટું પદ બને તે માટે,તેણે $T_{n+1} \ge T_n$ અને $T_{n+1} \ge T_{n+2}$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
પ્રથમ,$T_{n+1} \ge T_n \Rightarrow ^{2n}C_n x^n \ge ^{2n}C_{n-1} x^{n-1}$.
આનું સાદું રૂપ $x \ge \frac{n}{n+1}$ થાય છે.
બીજું,$T_{n+1} \ge T_{n+2} \Rightarrow ^{2n}C_n x^n \ge ^{2n}C_{n+1} x^{n+1}$.
આનું સાદું રૂપ $x \le \frac{n+1}{n}$ થાય છે.
આમ,જરૂરી અંતરાલ $\left( \frac{n}{n + 1}, \frac{n + 1}{n} \right)$ છે.

(A) $(1 + x)^{2n + 1}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{2n+1}C_r x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સહગુણકો એ $r = 0, 1, 2, \dots, 2n+1$ માટે દ્વિપદી સહગુણકો ${}^{2n+1}C_r$ છે.
$(1+x)^N$ ના વિસ્તરણ માટે,સૌથી મોટો સહગુણક એ મધ્યમ પદનો સહગુણક છે. અહીં $N = 2n + 1$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
એકી ઘાત $N$ માટે,$r = \frac{N-1}{2}$ અને $r = \frac{N+1}{2}$ પર બે મધ્યમ પદો હોય છે.
$N = 2n + 1$ મૂકતા:
$r_1 = \frac{2n+1-1}{2} = n$
$r_2 = \frac{2n+1+1}{2} = n+1$
સૌથી મોટા સહગુણકો ${}^{2n+1}C_n$ અને ${}^{2n+1}C_{n+1}$ છે.
${}^{2n+1}C_n = \frac{(2n+1)!}{n!(2n+1-n)!} = \frac{(2n+1)!}{n!(n+1)!}$ ની ગણતરી કરતા.
આમ,સૌથી મોટો સહગુણક $\frac{(2n + 1)!}{n!(n + 1)!}$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(1 + x)^n (1 + \frac{1}{x})^n = (1 + x)^n \frac{(x + 1)^n}{x^n} = \frac{(1 + x)^{2n}}{x^n}$.
આપણે આ વિસ્તરણમાં $\frac{1}{x}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
આ $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-1}$ નો સહગુણક શોધવા સમાન છે.
$(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ છે.
$x^{n-1}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,$r = n - 1$ લેતા.
તેથી,સહગુણક ${}^{2n}C_{n-1} = \frac{(2n)!}{(n - 1)!(2n - (n - 1))!} = \frac{(2n)!}{(n - 1)!(n + 1)!}$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ $E = (1 + x)^n \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^n$ છે.
આને $E = (1 + x)^n \left( \frac{x + 1}{x} \right)^n = \frac{(1 + x)^{2n}}{x^n}$ તરીકે લખી શકાય.
$E$ ના વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ એ $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^n$ નો સહગુણક છે.
$(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ છે.
$x^n$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $r = n$ લઈએ છીએ.
આમ,સહગુણક ${}^{2n}C_n$ છે.
નિત્યસમ ${}^{2n}C_n = \sum_{k=0}^{n} ({}^nC_k)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C_0^2 + C_1^2 + .... + C_n^2$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $(x^2 - x - 2)^5 = ((x - 2)(x + 1))^5 = (x - 2)^5(x + 1)^5$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(x - 2)^5 = x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32$.
$(x + 1)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5$.
$x^5$ નો સહગુણક શોધવા માટે,બંને વિસ્તરણના પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$(1)(1) + (-10)(5) + (40)(10) + (-80)(10) + (80)(5) + (-32)(1)$
$= 1 - 50 + 400 - 800 + 400 - 32 = -81$.

(B) પદાવલિ $(1 + x)(1 - x)^n = (1 - x)^n + x(1 - x)^n$ છે.
આપણે આ પદાવલિમાં $x^n$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(1 - x)^n$ માં $x^n$ નો સહગુણક સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} (1)^{n-r} (-x)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^r$ દ્વારા મળે છે.
$r = n$ માટે,સહગુણક $\binom{n}{n} (-1)^n = (-1)^n$ છે.
$x(1 - x)^n$ માં $x^n$ નો સહગુણક એ $(1 - x)^n$ માં $x^{n-1}$ નો સહગુણક છે.
$r = n-1$ માટે,સહગુણક $\binom{n}{n-1} (-1)^{n-1} = n (-1)^{n-1} = -n (-1)^n$ છે.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,કુલ સહગુણક $(-1)^n - n(-1)^n = (-1)^n(1 - n)$ મળે છે.

(B) $(x + a)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $2n + 1$ છે,જે એકી સંખ્યા છે. તેથી,મધ્યમ પદ $(n+1)$-મું પદ છે.
સામાન્ય પદના સૂત્ર $T_{r+1} = {}^{2n}C_r (x)^{2n-r} (\frac{1}{2x})^r$ નો ઉપયોગ કરીને,મધ્યમ પદ માટે $r = n$ લેતા:
$T_{n+1} = {}^{2n}C_n (x)^{2n-n} (\frac{1}{2x})^n = {}^{2n}C_n \cdot x^n \cdot \frac{1}{2^n x^n} = \frac{(2n)!}{n! n! 2^n}$.
$(2n)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n)$ ને એકી અને બેકી પદોમાં અલગ પાડતા:
$(2n)! = [1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)] \cdot 2^n \cdot n!$.
આ કિંમત મૂકતા:
$T_{n+1} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{n!}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $(1 + 3x + 2x^2)^6 = ((1 + x)(1 + 2x))^6 = (1 + x)^6 (1 + 2x)^6$ છે.
આપણે $(1 + x)^6 (1 + 2x)^6$ ના ગુણાકારમાં $x^{11}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(1 + x)^6 = \sum_{r=0}^{6} \binom{6}{r} x^r$ અને $(1 + 2x)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} 2^k x^k$.
ગુણાકારમાં સામાન્ય પદ $\binom{6}{r} \binom{6}{k} 2^k x^{r+k}$ છે.
$x^{11}$ માટે,$r + k = 11$ હોવું જોઈએ. શક્ય જોડીઓ $(r, k) = (5, 6)$ અને $(6, 5)$ છે.
$(r, k) = (5, 6)$ માટે: સહગુણક $\binom{6}{5} \binom{6}{6} 2^6 = 6 \cdot 1 \cdot 64 = 384$.
$(r, k) = (6, 5)$ માટે: સહગુણક $\binom{6}{6} \binom{6}{5} 2^5 = 1 \cdot 6 \cdot 32 = 192$.
$x^{11}$ નો કુલ સહગુણક $= 384 + 192 = 576$.

(B) $(x + a)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો મધ્યમ પદ $(\frac{n}{2} + 1)$ મું પદ થાય.
અહીં,$n = 18$,જે બેકી છે.
તેથી,મધ્યમ પદ $(\frac{18}{2} + 1) = 10$ મું પદ છે.
$(x - \frac{1}{x})^{18}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{18}C_r (x)^{18-r} (- \frac{1}{x})^r$ છે.
$10$ માં પદ માટે,$r = 9$ લેતા,
$T_{10} = ^{18}C_9 (x)^9 (-1)^9 (\frac{1}{x})^9 = -^{18}C_9$.

(A) $(x - 2y + 3z)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1, y = 1, z = 1$ લઈએ છીએ.
સરવાળો $= (1 - 2 + 3)^n = 2^n$.
આપેલ છે કે $2^n = 128$,તેથી $2^n = 2^7$,એટલે કે $n = 7$.
$(1 + x)^7$ નું વિસ્તરણ $\sum_{r=0}^{7} {^7C_r} x^r$ છે.
સહગુણકો ${^7C_0}, {^7C_1}, {^7C_2}, {^7C_3}, {^7C_4}, {^7C_5}, {^7C_6}, {^7C_7}$ છે.
સૌથી મોટો સહગુણક ${^7C_3} = {^7C_4} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ એ પ્રથમ પદ $a = (x + 3)^{n - 1}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ અને $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{(x + 3)^{n - 1} [1 - (\frac{x + 2}{x + 3})^n]}{1 - \frac{x + 2}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^{n - 1} [\frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3)^n}]}{\frac{(x + 3) - (x + 2)}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3) - (x + 2)} = (x + 3)^n - (x + 2)^n$.
હવે,આપણે $(x + 3)^n - (x + 2)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક શોધીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} x^{n-k} a^k$.
$(x + 3)^n$ માટે,$x^r$ ધરાવતું પદ $^nC_{n-r} x^r 3^{n-r} = ^nC_r x^r 3^{n-r}$ છે.
$(x + 2)^n$ માટે,$x^r$ ધરાવતું પદ $^nC_{n-r} x^r 2^{n-r} = ^nC_r x^r 2^{n-r}$ છે.
આમ,$x^r$ નો સહગુણક $^nC_r 3^{n-r} - ^nC_r 2^{n-r} = ^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$ છે.

(C) આપણી પાસે $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $ છે.
$r^2 = r(r-1) + r$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \sum\limits_{r = 0}^n {[r(r - 1) + r]{\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}}$
$= \sum\limits_{r = 2}^n {r(r - 1){\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}} + \sum\limits_{r = 1}^n {{r^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}}$
$= \sum\limits_{r = 2}^n {n(n - 1){\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^r}{y^{n - r}}} + \sum\limits_{r = 1}^n {n{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}{x^r}{y^{n - r}}}$
$= n(n - 1){x^2}\sum\limits_{r = 2}^n {{\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^{r - 2}}{y^{(n - 2) - (r - 2)}}} + nx\sum\limits_{r = 1}^n {{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}{x^{r - 1}}{y^{(n - 1) - (r - 1)}}}$
$= n(n - 1){x^2}{(x + y)^{n - 2}} + nx{(x + y)^{n - 1}}$
$x + y = 1$ હોવાથી,આનું સાદું રૂપ:
$= n(n - 1){x^2} + nx$
$= n^2x^2 - nx^2 + nx = nx(nx - x + 1)$
$1 - x = y$ હોવાથી:
$= nx(nx + y)$

(A) આપેલ પદને ${\left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^2} = (1 + x)^2 (1 - x)^{-2}$ તરીકે લખી શકાય.
$(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2$ અને $(1 - x)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)x^k = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + (n-1)x^{n-2} + nx^{n-1} + (n+1)x^n + \dots$ નું વિસ્તરણ કરતા.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,${x^n}$ નો સહગુણક:
$1 \cdot (n+1) + 2 \cdot n + 1 \cdot (n-1) = n + 1 + 2n + n - 1 = 4n$ મળે છે.
તેથી,${x^n}$ નો સહગુણક $4n$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^{-2}$ નું શ્રેણી વિસ્તરણ $1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots$ છે,જ્યાં $|x| < 1$ છે.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$(1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots)^{-n} = [(1+x)^{-2}]^{-n} = (1+x)^{2n}$.
હવે,આપણે $(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^n$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\binom{2n}{r} x^r$ છે.
$r = n$ માટે,સહગુણક $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ થાય.

(B) ધારો કે બે ક્રમિક પદોના સહગુણકો $^nC_r$ અને $^nC_{r+1}$ છે.
આપેલ છે કે $^nC_r = ^nC_{r+1}$.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}$
$\frac{1}{r!(n-r)(n-r-1)!} = \frac{1}{(r+1)r!(n-r-1)!}$
$\frac{1}{n-r} = \frac{1}{r+1}$
$r + 1 = n - r$
$n = 2r + 1$
અહીં $r$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$2r + 1$ હંમેશા એકી પૂર્ણાંક મળે. તેથી,$n$ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.

(B) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો $a = {^nC_{r-1}}$,$b = {^nC_r}$,અને $c = {^nC_{r+1}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{b}{a} = \frac{n-r+1}{r}$ અને $\frac{c}{b} = \frac{n-r}{r+1}$.
$\frac{b}{a} = \frac{n-r+1}{r}$ પરથી,આપણને $br = an - ar + a$ મળે છે,તેથી $r(a+b) = a(n+1)$,જેનો અર્થ છે $r = \frac{a(n+1)}{a+b}$.
$\frac{c}{b} = \frac{n-r}{r+1}$ પરથી,આપણને $cr + c = bn - br$ મળે છે,તેથી $r(b+c) = bn - c$,જેનો અર્થ છે $r = \frac{bn-c}{b+c}$.
$r$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{a(n+1)}{a+b} = \frac{bn-c}{b+c}$.
$a(n+1)(b+c) = (bn-c)(a+b)$.
$n(ab + ac) + ab + ac = abn + b^2n - ac - bc$.
$n(ac - b^2) = -(ab + 2ac + bc)$.
$n = \frac{ab + 2ac + bc}{b^2 - ac}$.

(C) ધારો કે $(1+x)^n$ ના ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો $^nC_{r-1}, ^nC_r, ^nC_{r+1}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$^nC_{r-1} : ^nC_r : ^nC_{r+1} = 6 : 33 : 110$.
ક્રમિક દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણોત્તર $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{33}{6} = \frac{11}{2}$ $\Rightarrow 2(n-r+1) = 11r$ $\Rightarrow 2n - 13r + 2 = 0$ $(i)$.
તે જ રીતે,$\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{110}{33} = \frac{10}{3}$ $\Rightarrow 3(n-r) = 10(r+1)$ $\Rightarrow 3n - 13r - 10 = 0$ (ii).
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$(3n - 13r - 10) - (2n - 13r + 2) = 0$ $\Rightarrow n - 12 = 0$ $\Rightarrow n = 12$.
$(i)$ માં $n=12$ મૂકતા,$24 - 13r + 2 = 0$ $\Rightarrow 13r = 26$ $\Rightarrow r = 2$.

(C) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક સહગુણકો $^nC_{r-1} = 28, ^nC_r = 56,$ અને $^nC_{r+1} = 70$ છે.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{56}{28} = \frac{n-r+1}{r}$ $\Rightarrow 2 = \frac{n-r+1}{r}$ $\Rightarrow 2r = n-r+1$ $\Rightarrow n = 3r - 1.$
ગુણધર્મ $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{70}{56} = \frac{n-r}{r+1}$ $\Rightarrow \frac{5}{4} = \frac{n-r}{r+1}$ $\Rightarrow 5r + 5 = 4n - 4r$ $\Rightarrow 4n = 9r + 5.$
બીજા સમીકરણમાં $n = 3r - 1$ મૂકતા:
$4(3r - 1) = 9r + 5$ $\Rightarrow 12r - 4 = 9r + 5$ $\Rightarrow 3r = 9$ $\Rightarrow r = 3.$
હવે,$n$ શોધો:
$n = 3(3) - 1 = 8.$

(B) ધારો કે $(\sqrt{2} + 1)^6 = I + f$,જ્યાં $I$ એ પૂર્ણાંક ભાગ છે અને $f$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ છે $(0 \le f < 1)$.
ધારો કે $f' = (\sqrt{2} - 1)^6$. કારણ કે $0 < \sqrt{2} - 1 < 1$,તેથી $0 < f' < 1$ થાય.
સરવાળો $S = (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6$ ધ્યાનમાં લો.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$S = 2 \left[ \binom{6}{0}(\sqrt{2})^6 + \binom{6}{2}(\sqrt{2})^4 + \binom{6}{4}(\sqrt{2})^2 + \binom{6}{6} \right]$.
$S = 2 [1 \cdot 8 + 15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 + 1 \cdot 1] = 2 [8 + 60 + 30 + 1] = 2 [99] = 198$.
આમ,$I + f + f' = 198$.
કારણ કે $0 < f + f' < 2$ અને $f + f'$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $f + f' = 1$ મળે.
તેથી,$I = 198 - 1 = 197$.

(B) વિસ્તરણનું વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {}^{642}C_r (5^{1/2})^{642-r} (7^{1/6})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$5$ અને $7$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$5^{(642-r)/2} = 5^{321 - r/2}$ હોવાથી,$r$ એ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$7^{r/6}$ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આ બંને શરતોને જોડતા,$r$ એ $0 \le r \le 642$ ની મર્યાદામાં $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 6, 12, \dots, 642$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 6$,અને $l = 642$.
પદોની સંખ્યા $n$ માટે $642 = 0 + (n-1)6$,જે $n-1 = 107$ આપે છે,તેથી $n = 108$.

(B) $(\sqrt{3} + \sqrt[8]{5})^{256}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{256}C_r (\sqrt{3})^{256-r} (\sqrt[8]{5})^r$ છે.
આને $T_{r+1} = {}^{256}C_r (3)^{\frac{256-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ તરીકે લખી શકાય.
પદ પૂર્ણાંક હોય તે માટે ઘાતાંક $\frac{256-r}{2}$ અને $\frac{r}{8}$ બંને અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$0 \leq r \leq 256$ હોવાથી,$\frac{r}{8}$ પૂર્ણાંક બને તે માટે $r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r \in \{0, 8, 16, \dots, 256\}$.
આ કિંમતો માટે $\frac{256-r}{2}$ પણ પૂર્ણાંક થશે.
આવા $r$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $0, 8, 16, \dots, 256$ સમાંતર શ્રેણી દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$256 = 0 + (n-1)8$,તેથી $n-1 = 32$,એટલે કે $n = 33$.
આમ,કુલ $33$ પૂર્ણાંક પદો છે.

(B) આપેલ પદ $(1 + x^2)^5(1 + x)^4$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વિસ્તરણ:
$(^5C_0 + ^5C_1x^2 + ^5C_2x^4 + ^5C_3x^6 + ...)(^4C_0 + ^4C_1x + ^4C_2x^2 + ^4C_3x^3 + ^4C_4x^4)$.
$x^5$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,આપણે એવા પદો શોધીએ જેનો ગુણાકાર $x^5$ થાય:
$1$. પ્રથમ કૌંસમાંથી $^5C_2x^4$ અને બીજા કૌંસમાંથી $^4C_1x$ નો ગુણાકાર: $^5C_2 \times ^4C_1 = 10 \times 4 = 40$.
$2$. પ્રથમ કૌંસમાંથી $^5C_1x^2$ અને બીજા કૌંસમાંથી $^4C_3x^3$ નો ગુણાકાર: $^5C_1 \times ^4C_3 = 5 \times 4 = 20$.
કુલ સહગુણક $40 + 20 = 60$ થાય.

(A) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ છે.
$(x + x^{\log_{10} x})^5$ માટે,ત્રીજું પદ $(T_3)$ $r = 2$ માટે મળે છે.
$T_3 = ^5C_2 \cdot (x)^{5-2} \cdot (x^{\log_{10} x})^2 = 1,000,000$.
$10 \cdot x^3 \cdot (x^{\log_{10} x})^2 = 10^6$.
$x^3 \cdot x^{2 \log_{10} x} = 10^5$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10}(x^3 \cdot x^{2 \log_{10} x}) = \log_{10}(10^5)$.
$3 \log_{10} x + 2(\log_{10} x)^2 = 5$.
ધારો કે $y = \log_{10} x$,તો $2y^2 + 3y - 5 = 0$.
$(2y + 5)(y - 1) = 0$.
તેથી,$y = 1$ અથવા $y = -2.5$.
જો $y = 1$,તો $\log_{10} x = 1$,જેનો અર્થ છે $x = 10^1 = 10$.
આમ,$x = 10$.

(C) $(1 + x)^{2n + 2}$ ના વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $2n + 3$ છે,જે એકી છે. તેથી,મધ્યમ પદ $(\frac{2n + 2}{2} + 1) = (n + 2)$ મું પદ છે.
તેનો સહગુણક $p = {}^{2n + 2}C_{n + 1}$ છે.
$(1 + x)^{2n + 1}$ ના વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $2n + 2$ છે,જે બેકી છે. તેથી,મધ્યમ પદો $(n + 1)$ મું અને $(n + 2)$ મું પદ છે.
તેમના સહગુણકો $q = {}^{2n + 1}C_n$ અને $r = {}^{2n + 1}C_{n + 1}$ છે.
પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r - 1} = {}^{n + 1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$q + r = {}^{2n + 1}C_n + {}^{2n + 1}C_{n + 1} = {}^{2n + 2}C_{n + 1}$.
તેથી,$p = q + r$.

(B) આપેલ બહુપદી $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \dots (x - 100)$ છે.
આ $100$ સુરેખ અવયવોનો ગુણાકાર છે.
જ્યારે આપણે આ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ,ત્યારે $x^{99}$ પદ મેળવવા માટે આપણે $99$ અવયવોમાંથી $x$ અને બાકીના એક અવયવમાંથી અચળ પદ $-a_i$ પસંદ કરીએ છીએ.
આમ,$x^{99}$ નો સહગુણક એ તમામ અચળ પદોનો સરવાળો છે: $-(1 + 2 + 3 + \dots + 100)$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$,આપણને મળે છે:
સહગુણક $= -\frac{100 \times 101}{2} = -5050$.

(A) ${\left( {a{x^2} + \frac{1}{{bx}}} \right)^{11}}$ ના વિસ્તરણમાં,સામાન્ય પદ ${T_{r + 1}} = {}^{11}{C_r}{(a{x^2})^{11 - r}}{\left( {\frac{1}{{bx}}} \right)^r} = {}^{11}{C_r}{a^{11 - r}}{b^{ - r}}{x^{22 - 3r}}$ છે.
$x^7$ માટે,$22 - 3r = 7$ લેતા,$r = 5$ મળે છે. સહગુણક ${}^{11}{C_5}{a^6}{b^{ - 5}}$ છે.
${\left( {ax - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ ના વિસ્તરણમાં,સામાન્ય પદ ${T_{r + 1}} = {}^{11}{C_r}{(ax)^{11 - r}}{\left( { - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^r} = {}^{11}{C_r}{( - 1)^r}{a^{11 - r}}{b^{ - r}}{x^{11 - 3r}}$ છે.
$x^{ - 7}$ માટે,$11 - 3r = -7$ લેતા,$r = 6$ મળે છે. સહગુણક ${}^{11}{C_6}{( - 1)^6}{a^5}{b^{ - 6}} = {}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 6}}$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા: ${}^{11}{C_5}{a^6}{b^{ - 5}} = {}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 6}}$.
${}^{11}{C_5}{a^5}{b^{ - 5}}$ વડે ભાગતા,$a = 1/b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $ab = 1$.

(A) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં ત્રણ ક્રમિક પદો $(r+1)^{th}, (r+2)^{th},$ અને $(r+3)^{th}$ ના સહગુણકો $^nC_r = 165$,$^nC_{r+1} = 330$,અને $^nC_{r+2} = 462$ છે.
ગુણોત્તર સૂત્ર $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{330}{165} = \frac{n-r}{r+1} \implies 2 = \frac{n-r}{r+1} \implies n-r = 2r+2 \implies n = 3r+2$ (સમીકરણ $1$).
ગુણોત્તર સૂત્ર $\frac{^nC_{r+2}}{^nC_{r+1}} = \frac{n-(r+1)}{r+2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{462}{330} = \frac{n-r-1}{r+2} \implies \frac{7}{5} = \frac{n-r-1}{r+2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $7(r+2) = 5(n-r-1) \implies 7r+14 = 5n-5r-5 \implies 5n = 12r+19$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી $n = 3r+2$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$5(3r+2) = 12r+19 \implies 15r+10 = 12r+19 \implies 3r = 9 \implies r = 3$.
હવે,$r=3$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$n = 3(3)+2 = 11$.
આમ,$n$ ની કિંમત $11$ છે.

(D) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = ^nC_k x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2r + 4)^{th}$ પદ માટે,$k = (2r + 4) - 1 = 2r + 3$. સહગુણક $^{18}C_{2r+3}$ છે.
$(r - 2)^{th}$ પદ માટે,$k = (r - 2) - 1 = r - 3$. સહગુણક $^{18}C_{r-3}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે: $^{18}C_{2r+3} = ^{18}C_{r-3}$.
ગુણધર્મ $^nC_a = ^nC_b$ નો ઉપયોગ કરતા,કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = n$.
કિસ્સો $1$: $2r + 3 = r - 3 \Rightarrow r = -6$ (શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $(2r + 3) + (r - 3) = 18$ $\Rightarrow 3r = 18$ $\Rightarrow r = 6$.
આમ,$r = 6$.

(D) $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $2n + 1$ પદો છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યમ પદ $(n + 1)$-મું પદ છે,જેને $T_{n+1}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સામાન્ય પદના સૂત્ર $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n$ મળે છે.
દ્વિપદી સહગુણકનું વિસ્તરણ કરતા:
${}^{2n}C_n = \frac{(2n)!}{n! n!} = \frac{[1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n)]}{n! n!}$.
અંશમાં એકી અને બેકી પદોને અલગ કરતા:
${}^{2n}C_n = \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)] \cdot [2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n)]}{n! n!}$.
દરેક $n$ બેકી પદોમાંથી $2$ સામાન્ય કાઢતા:
${}^{2n}C_n = \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)] \cdot 2^n \cdot [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n]}{n! n!}$.
કારણ કે $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = n!$,તેથી:
${}^{2n}C_n = \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)] \cdot 2^n \cdot n!}{n! n!} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{n!} 2^n$.
આમ,મધ્યમ પદ $\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{n!} 2^n x^n$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $(1 + 3x + 3x^2 + x^3)^6$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$.
તેથી,પદાવલિ $((1 + x)^3)^6 = (1 + x)^{18}$ બને છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^n$ માટે,જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો મધ્યમ પદ $(\frac{n}{2} + 1)^{th}$ પદ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 18$,જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યમ પદ $(\frac{18}{2} + 1)^{th} = (9 + 1)^{th} = 10^{th}$ પદ છે.

(C) $(x - \frac{1}{x})^{11}$ ના વિસ્તરણ માટે,ઘાત $n = 11$ એકી સંખ્યા છે.
તેથી,બે મધ્યમ પદો $T_{\frac{n+1}{2}}$ અને $T_{\frac{n+3}{2}}$ છે,એટલે કે $T_6$ અને $T_7$.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {^{11}C_r} (x)^{11-r} (-x^{-1})^r$ છે.
$T_6$ માટે,$r = 5$:
$T_6 = {^{11}C_5} (x)^6 (-x^{-1})^5 = 462 \cdot x^6 \cdot (-x^{-5}) = -462x$.
$T_7$ માટે,$r = 6$:
$T_7 = {^{11}C_6} (x)^5 (-x^{-1})^6 = 462 \cdot x^5 \cdot (x^{-6}) = \frac{462}{x}$.

(C) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{9}{r} \left( \frac{3}{2}x^2 \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3x} \right)^r = \binom{9}{r} \left( \frac{3}{2} \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3} \right)^r x^{18-3r}$ છે.
આપણે $(1 + x + 2x^3) \left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ માં $x$ થી સ્વતંત્ર પદનો સહગુણક શોધવો છે.
આ કિંમત $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ ના વિસ્તરણમાં $x^0$,$x^{-1}$,અને $x^{-3}$ ના સહગુણકોના સરવાળા જેટલી છે.
$1$. $x^0$ માટે: $18 - 3r = 0 \Rightarrow r = 6$. સહગુણક $\binom{9}{6} \left( \frac{3}{2} \right)^3 \left( -\frac{1}{3} \right)^6 = \frac{7}{18}$ છે.
$2$. $x^{-1}$ માટે: $18 - 3r = -1 \Rightarrow 3r = 19$,જેનો કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
$3$. $x^{-3}$ માટે: $18 - 3r = -3 \Rightarrow r = 7$. સહગુણક $2 \times \binom{9}{7} \left( \frac{3}{2} \right)^2 \left( -\frac{1}{3} \right)^7 = -\frac{2}{27}$ છે.
કુલ સરવાળો $\frac{7}{18} - \frac{2}{27} = \frac{17}{54}$ થાય છે.

(B) ${\left[ {\sqrt{\frac{x}{3}} + \frac{{\sqrt{3}}}{{{x^2}}}} \right]^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {^{10}C_r} {\left( \sqrt{\frac{x}{3}} \right)^{10-r}} {\left( \frac{\sqrt{3}}{x^2} \right)^r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{2} - 2r = 0$ $\Rightarrow 5r = 10$ $\Rightarrow r = 2$
$r = 2$ મૂકતા:
$T_3 = {^{10}C_2} \cdot \frac{3^1}{3^4} = 45 \cdot \frac{1}{27} = \frac{5}{3}$.

(A) ${\left( {\sqrt x - \frac{2}{x}} \right)^{18}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{18}C_r (\sqrt{x})^{18-r} \left( -\frac{2}{x} \right)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદને સરળ બનાવતા,$T_{r+1} = ^{18}C_r (x^{1/2})^{18-r} (-2)^r (x^{-1})^r = ^{18}C_r (-2)^r x^{9 - 3r/2}$ મળે છે.
પદ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $9 - \frac{3r}{2} = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,$3r = 18$,જેનો અર્થ છે કે $r = 6$.
$r = 6$ મૂકતા,સ્વતંત્ર પદ $T_7 = ^{18}C_6 (-2)^6 = ^{18}C_6 \times 2^6$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $(3 + 2x)^{50} = 3^{50} (1 + \frac{2x}{3})^{50}$ છે.
$x = \frac{1}{5}$ મુકતા,આપણને $3^{50} (1 + \frac{2}{15})^{50}$ મળે છે.
ધારો કે $T_{r+1}$ એ $(r+1)^{th}$ પદ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n-r+1}{r} \cdot |\frac{a_2}{a_1}|$.
અહીં $n=50$,$a_1=1$,$a_2=\frac{2}{15}$ છે.
તેથી,$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{51-r}{r} \cdot \frac{2}{15}$.
સૌથી મોટા પદ માટે,$\frac{T_{r+1}}{T_r} \ge 1$ લેતા.
$\frac{2(51-r)}{15r} \ge 1$ $\Rightarrow 102 - 2r \ge 15r$ $\Rightarrow 102 \ge 17r$ $\Rightarrow r \le 6$.
$r=6$ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી $T_{6+1} = T_7$ એ સૌથી મોટું પદ છે.

(B) $(x + y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકવાથી મળે છે,જે $(1 + 1)^n = 2^n$ છે.
આપેલ છે કે $2^n = 4096 = 2^{12}$,તેથી $n = 12$.
જ્યારે $n$ બેકી સંખ્યા હોય ત્યારે $(x + y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદનો સહગુણક હોય છે,જે $^nC_{n/2}$ છે.
$n = 12$ માટે,સૌથી મોટો સહગુણક $^{12}C_6 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh(x)$ નું શ્રેણી વિસ્તરણ $1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ છે.
તેથી,આપેલ પદાવલિ ${\left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2}$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\frac{1}{4}(e^{2x} + e^{-2x} + 2)$ મળે છે.
$e^{2x} + e^{-2x} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} = 2 \left( 1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots + \frac{(2x)^n}{n!} + \dots \right)$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત મૂકતા,પદાવલિ $\frac{1}{4} \left( 2 + 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{2k} x^{2k}}{(2k)!}$ બને છે.
બેકી સંખ્યા $n > 0$ માટે,$x^n$ નો સહગુણક $\frac{1}{2} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{2^{n-1}}{n!}$ થાય છે.

(A) આપેલ ગુણાકાર $P = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 2^2 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ છે.
આને $P = (-1)^{16} (x - 1)(x - 2^{-1})(x - 2^{-2}) \dots (x - 2^{-15}) \times (2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \dots 2^{15})$ તરીકે લખી શકાય.
ઘાતાંકોનો સરવાળો $0 + 1 + 2 + \dots + 15 = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ થાય.
તેથી,$P = 2^{120} \prod_{k=0}^{15} (x - 2^{-k})$.
$\prod_{k=0}^{15} (x - a_k)$ ના વિસ્તરણમાં $x^{15}$ નો સહગુણક એ બીજોના સરવાળાની વિરોધી સંખ્યા છે,એટલે કે $-\sum_{k=0}^{15} 2^{-k}$.
આમ,$x^{15}$ નો સહગુણક $2^{120} \times (- \sum_{k=0}^{15} \frac{1}{2^k}) = -2^{120} \times \frac{1(1 - (1/2)^{16})}{1 - 1/2} = -2^{120} \times 2(1 - 2^{-16}) = -2^{121}(1 - 2^{-16}) = -2^{121} + 2^{105} = 2^{105} - 2^{121}$ થાય.

(D) ભારિત મધ્યક $W.M. = \frac{\sum_{r=0}^{n} r \cdot {^nC_r}}{\sum_{r=0}^{n} {^nC_r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેદ $\sum_{r=0}^{n} {^nC_r} = 2^n$ છે.
અંશ $\sum_{r=0}^{n} r \cdot {^nC_r} = \sum_{r=1}^{n} r \cdot \frac{n}{r} \cdot {^{n-1}C_{r-1}} = n \sum_{r=1}^{n} {^{n-1}C_{r-1}} = n \cdot 2^{n-1}$ છે.
તેથી,$W.M. = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n} = \frac{n}{2}$.

(B) $(a - b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} (-b)^r$ છે.
$5^{th}$ પદ $(r=4)$ માટે: $T_5 = ^nC_4 a^{n-4} b^4$.
$6^{th}$ પદ $(r=5)$ માટે: $T_6 = -^nC_5 a^{n-5} b^5$.
$T_5 + T_6 = 0$ આપેલ છે:
$^nC_4 a^{n-4} b^4 = ^nC_5 a^{n-5} b^5$.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{^nC_5}{^nC_4} = \frac{n-4}{5}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} = 2^n$.
$s_1 = \sum_{j=2}^{10} j(j-1) \binom{10}{j} = \sum_{j=2}^{10} 10 \times 9 \binom{8}{j-2} = 90 \times 2^8$.
$s_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} = \sum_{j=1}^{10} 10 \binom{9}{j-1} = 10 \times 2^9$.
$s_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j} = \sum_{j=1}^{10} (j(j-1) + j) \binom{10}{j} = s_1 + s_2$.
$s_3 = 90 \times 2^8 + 10 \times 2^9 = 45 \times 2^9 + 10 \times 2^9 = 55 \times 2^9$.
વિધાનો સાથે સરખાવતા:
વિધાન $-1$ એ $55 \times 2^9$ છે,જે સાચું છે.
વિધાન $-2$ જણાવે છે કે $s_2 = 10 \times 2^8$,પરંતુ આપણને $s_2 = 10 \times 2^9$ મળ્યું છે,તેથી વિધાન $-2$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે અને વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(1 - x - x^2 + x^3)^6 = ((1 - x)(1 - x^2))^6 = (1 - x)^6 (1 - x)^6 (1 + x)^6 = (1 - x)^{12} (1 + x)^6$.
આપણે $(1 - x)^{12} (1 + x)^6$ માં $x^7$ નો સહગુણક શોધવો છે.
$(1 - x)^{12} = \sum_{i=0}^{12} (-1)^i \binom{12}{i} x^i$ અને $(1 + x)^6 = \sum_{j=0}^{6} \binom{6}{j} x^j$ લેતા.
$x^7$ નો સહગુણક $\sum_{i+j=7} (-1)^i \binom{12}{i} \binom{6}{j}$ થશે.
સરવાળો કરતા: $-12 + 396 - 3300 + 9900 - 11880 + 5544 - 792 = -144$.