Expansion of binomial theorem Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 0$
$(x - 1)^4$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણને ઓળખતા:
$(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$
તેથી,સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$(x - 1)^4 = 0$
આ સૂચવે છે કે:
$(x - 1)(x - 1)(x - 1)(x - 1) = 0$
આમ,બીજ $x = 1, 1, 1, 1$ છે.

(A) $15$ ફળો વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા એ દરેક ફળના પ્રકાર માટે જનરેટિંગ ફંક્શનના ગુણાકારના વિસ્તરણમાં $x^{15}$ નો સહગુણક છે.
સફરજન માટે: $(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) = \frac{1-x^6}{1-x}$
કેરી માટે: $(1 + x + x^2 + \dots + x^{10}) = \frac{1-x^{11}}{1-x}$
નારંગી માટે: $(1 + x + x^2 + \dots + x^{15}) = \frac{1-x^{16}}{1-x}$
જનરેટિંગ ફંક્શન $f(x) = \frac{(1-x^6)(1-x^{11})(1-x^{16})}{(1-x)^3} = (1 - x^6 - x^{11} - x^{16} + x^{17} + x^{21} + x^{22} - x^{33})(1-x)^{-3}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-3} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2} x^n$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $x^{15}$ નો સહગુણક મળે છે:
$= \binom{15+2}{2} - \binom{9+2}{2} - \binom{4+2}{2} = \binom{17}{2} - \binom{11}{2} - \binom{6}{2}$
$= \frac{17 \times 16}{2} - \frac{11 \times 10}{2} - \frac{6 \times 5}{2} = 136 - 55 - 15 = 66$.
આમ,વહેંચણીની કુલ રીતો $66$ છે.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x + a)^n - (x - a)^n = 2[\binom{n}{1}x^{n-1}a + \binom{n}{3}x^{n-3}a^3 + \binom{n}{5}x^{n-5}a^5 + \dots]$
અહીં $n=6, x=\sqrt{2}, a=1$ લેતા:
$(\sqrt{2} + 1)^6 - (\sqrt{2} - 1)^6 = 2[\binom{6}{1}(\sqrt{2})^5(1)^1 + \binom{6}{3}(\sqrt{2})^3(1)^3 + \binom{6}{5}(\sqrt{2})^1(1)^5]$
$= 2[6 \times 4\sqrt{2} + 20 \times 2\sqrt{2} + 6 \times \sqrt{2}]$
$= 2[24\sqrt{2} + 40\sqrt{2} + 6\sqrt{2}]$
$= 2[70\sqrt{2}] = 140\sqrt{2}$.

(C) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x + y)^n$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + 2a)^5$ માટે,$n=5$ અને $y=2a$ છે.
વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{1}x^4(2a) + \binom{5}{2}x^3(2a)^2 + \binom{5}{3}x^2(2a)^3 + \binom{5}{4}x(2a)^4 + \binom{5}{5}(2a)^5$
$= x^5 + 5x^4(2a) + 10x^3(4a^2) + 10x^2(8a^3) + 5x(16a^4) + 32a^5$
$= x^5 + 10x^4a + 40x^3a^2 + 80x^2a^3 + 80xa^4 + 32a^5$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $(x+a)^n - (x-a)^n = 2 \left[ {^nC_1} x^{n-1} a + {^nC_3} x^{n-3} a^3 + {^nC_5} x^{n-5} a^5 + \dots \right]$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$x = \sqrt{5}$,$a = 1$,અને $n = 5$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(\sqrt{5} + 1)^5 - (\sqrt{5} - 1)^5 = 2 \left[ {^5C_1} (\sqrt{5})^4 (1)^1 + {^5C_3} (\sqrt{5})^2 (1)^3 + {^5C_5} (\sqrt{5})^0 (1)^5 \right]$
$= 2 \left[ 5 \times 25 \times 1 + 10 \times 5 \times 1 + 1 \times 1 \times 1 \right]$
$= 2 \left[ 125 + 50 + 1 \right]$
$= 2 \times 176$
$= 352$.

(A) આપેલ પદાવલિ $n+1$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (1 + x)$ છે.
$G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a(r^{n+1} - 1)}{r - 1}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$E = \frac{1((1 + x)^{n + 1} - 1)}{(1 + x) - 1} = \frac{(1 + x)^{n + 1} - 1}{x}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $E = x^{-1} \{(1 + x)^{n + 1} - 1\}$ થાય.
$E$ માં $x^k$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $(1 + x)^{n + 1} - 1$ ના વિસ્તરણમાં $x^{k+1}$ નો સહગુણક શોધવો પડે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + x)^{n + 1}$ માં સામાન્ય પદ $^{n+1}C_r x^r$ છે.
આમ,$x^{k+1}$ નો સહગુણક $^{n+1}C_{k+1}$ છે.
તેથી,પદાવલિમાં $x^k$ નો સહગુણક $^{n+1}C_{k+1}$ છે.

(C) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $101^{50}$ અને $99^{50}$ નું $100$ ની આસપાસ વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
$101^{50} = (100 + 1)^{50} = 100^{50} + 50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49}{2} \times 100^{48} + \dots$ $(i)$
$99^{50} = (100 - 1)^{50} = 100^{50} - 50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49}{2} \times 100^{48} - \dots$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$101^{50} - 99^{50} = 2 \times (50 \times 100^{49} + \frac{50 \times 49 \times 48}{6} \times 100^{47} + \dots)$
જમણી બાજુ સ્પષ્ટપણે $100^{50}$ કરતા મોટી હોવાથી,આપણને મળે છે:
$101^{50} - 99^{50} > 100^{50}$
તેથી,$101^{50} > 100^{50} + 99^{50}$.

(C) $(a + b)^n + (a - b)^n$ નું વિસ્તરણ $2[\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \binom{n}{4}a^{n-4}b^4 + \dots]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = 3\sqrt{2}x$,અને $n = 9$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,પદાવલિ $2[\binom{9}{0}(1)^9 + \binom{9}{2}(1)^7(3\sqrt{2}x)^2 + \binom{9}{4}(1)^5(3\sqrt{2}x)^4 + \binom{9}{6}(1)^3(3\sqrt{2}x)^6 + \binom{9}{8}(1)^1(3\sqrt{2}x)^8]$ બને છે.
આનાથી $2[1 + 36(18x^2) + 126(324x^4) + 84(5832x^6) + 9(104976x^8)]$ મળે છે.
બધા સહગુણકો શૂન્યતર હોવાથી,વિસ્તરણમાં $5$ પદો છે.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે $(1.0002)^{3000} = (1 + 0.0002)^{3000}$.
અહીં $n = 3000$ અને $x = 0.0002$ છે.
વિસ્તરણના પ્રથમ બે પદોનો ઉપયોગ કરતા:
$(1 + 0.0002)^{3000} \approx 1 + (3000)(0.0002) + \frac{3000 \times 2999}{2} \times (0.0002)^2$.
કારણ કે $(0.0002)^2 = 0.00000004$ છે,તેથી ઉચ્ચ ઘાતના પદો અવગણી શકાય છે.
તેથી,$(1.0002)^{3000} \approx 1 + 0.6 = 1.6$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ અને $2 < e < 3$.
$n = 10000$ માટે,પદાવલિ $(1 + \frac{1}{10000})^{10000} = (1 + 0.0001)^{10000}$ થાય.
શ્રેણી $(1 + \frac{1}{n})^n$ એ વધતી જતી શ્રેણી છે અને $e$ ની નજીક પહોંચે છે,તેથી $(1 + 0.0001)^{10000} < e < 3$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 0.0001)^{10000} = 1 + 10000(0.0001) + \frac{10000 \times 9999}{2!} (0.0001)^2 + \dots = 1 + 1 + \frac{0.9999}{2} + \dots > 2$.
આમ,$2 < (1 + 0.0001)^{10000} < 3$.
$(1 + 0.0001)^{10000}$ થી તરત જ મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણી પાસે $7^2 = 49 = 50 - 1$ છે.
હવે,$7^{300} = (7^2)^{150} = (50 - 1)^{150}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(50 - 1)^{150} = \sum_{k=0}^{150} \binom{150}{k} (50)^{150-k} (-1)^k$.
છેલ્લા પદ સિવાયના તમામ પદોમાં $50$ નો અવયવ છે,જેનો અર્થ છે કે તે $00$ અથવા $10$ ની ઉચ્ચ ઘાત સાથે સમાપ્ત થાય છે.
છેલ્લું પદ $\binom{150}{150} (50)^0 (-1)^{150} = 1 \times 1 \times 1 = 1$ છે.
આમ,$7^{300}$ નો છેલ્લો અંક $1$ છે.

(D) $(x - \frac{1}{2x})^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r (x)^{n-r} (-\frac{1}{2x})^r = ^nC_r (x)^{n-2r} (-\frac{1}{2})^r$ છે.
ત્રીજું પદ $(T_3)$ માટે $r=2$ લેતા: $T_3 = ^nC_2 (\frac{1}{4}) x^{n-4}$.
ત્રીજા પદનો સહગુણક $C_3 = \frac{n(n-1)}{8}$ છે.
ચોથું પદ $(T_4)$ માટે $r=3$ લેતા: $T_4 = ^nC_3 (-\frac{1}{8}) x^{n-6}$.
ચોથા પદનો સહગુણક $C_4 = -\frac{n(n-1)(n-2)}{48}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $1:2$ હોવાથી,$\frac{C_3}{C_4} = \frac{1}{2}$:
$\frac{n(n-1)/8}{-n(n-1)(n-2)/48} = \frac{1}{2}$
$\frac{-6}{n-2} = \frac{1}{2}$
$n-2 = -12$
$n = -10$.

(C) $(1 + ax)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + n(ax) + \frac{n(n-1)}{2}(ax)^2 + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ત્રણ પદો $1, 6x, 16x^2$ છે,તેથી:
$n(ax) = 6x \implies na = 6$ $(i)$
$\frac{n(n-1)}{2} a^2 x^2 = 16x^2 \implies n(n-1)a^2 = 32$ $(ii)$
$(i)$ પરથી,$a = \frac{6}{n}$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$n(n-1) \left(\frac{6}{n}\right)^2 = 32$
$n(n-1) \frac{36}{n^2} = 32$
$\frac{n-1}{n} \times 36 = 32$
$\frac{n-1}{n} = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}$
$9n - 9 = 8n \implies n = 9$
$n = 9$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$9a = 6 \implies a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
આમ,$a = 2/3$ અને $n = 9$.

(C) વિસ્તરણ $(1 + x)^m(1 - x)^n = (1 + mx + \frac{m(m - 1)}{2}x^2 + \dots)(1 - nx + \frac{n(n - 1)}{2}x^2 - \dots)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદોનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $1 + (m - n)x + [\frac{n(n - 1)}{2} - mn + \frac{m(m - 1)}{2}]x^2 + \dots$ મળે છે.
$x$ નો સહગુણક $3$ આપેલ છે,તેથી $m - n = 3$,એટલે કે $n = m - 3$.
$x^2$ નો સહગુણક $-6$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n^2 - n}{2} - mn + \frac{m^2 - m}{2} = -6$.
સમીકરણમાં $n = m - 3$ મૂકતા:
$\frac{(m - 3)(m - 4)}{2} - m(m - 3) + \frac{m^2 - m}{2} = -6$.
$2$ વડે ગુણતા: $(m^2 - 7m + 12) - 2(m^2 - 3m) + (m^2 - m) = -12$.
$m^2 - 7m + 12 - 2m^2 + 6m + m^2 - m = -12$.
$-2m + 12 = -12$.
$-2m = -24$,તેથી $m = 12$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1 + x + x^3 + x^4)^{10} = (1 + x)^{10}(1 + x^3)^{10}$.
બંને ભાગનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1 + x)^{10} = 1 + ^{10}C_1 x + ^{10}C_2 x^2 + ^{10}C_3 x^3 + ^{10}C_4 x^4 + \dots$
$(1 + x^3)^{10} = 1 + ^{10}C_1 x^3 + ^{10}C_2 x^6 + \dots$
$x^4$ નો સહગુણક મેળવવા માટે:
સહગુણક $= (^{10}C_1 \times ^{10}C_1) + ^{10}C_4 = 100 + 210 = 310$.

(D) આપણી પાસે $(1 + x + x^2 + x^3)^n = ((1 + x)(1 + x^2))^n = (1 + x)^n (1 + x^2)^n$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને ભાગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1 + x)^n = 1 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + ^nC_3 x^3 + ^nC_4 x^4 + \dots$
$(1 + x^2)^n = 1 + ^nC_1 x^2 + ^nC_2 x^4 + \dots$
$x^4$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે બંને વિસ્તરણમાંથી એવા પદોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ જેનો ઘાતાંકનો સરવાળો $4$ થાય:
$1 \cdot (^nC_2 x^4) + (^nC_2 x^2) \cdot (^nC_1 x^2) + (^nC_4 x^4) \cdot 1$
$= ^nC_2 x^4 + ^nC_1 \cdot ^nC_2 x^4 + ^nC_4 x^4$
$= (^nC_4 + ^nC_2 + ^nC_1 \cdot ^nC_2) x^4$.
આમ,સહગુણક $^nC_4 + ^nC_2 + ^nC_1 \cdot ^nC_2$ છે.

(C) કોઈપણ બહુપદી વિસ્તરણ $P(x)$ માં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $P(x) = (x^2 + x - 3)^{319}$ છે.
$x = 1$ મૂકતા:
$P(1) = (1^2 + 1 - 3)^{319}$
$P(1) = (1 + 1 - 3)^{319}$
$P(1) = (-1)^{319}$
અહીં $319$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{319} = -1$ થાય.
તેથી,તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $-1$ છે.

(B) આપેલ વિસ્તરણ: $(1 + x - 2x^2)^6 = 1 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{12}x^{12}$.
ધારો કે $f(x) = (1 + x - 2x^2)^6 = 1 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + .... + a_{12}x^{12}$.
$x = 1$ માટે: $f(1) = (1 + 1 - 2)^6 = 0^6 = 0 = 1 + a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{12}$.
$x = -1$ માટે: $f(-1) = (1 - 1 - 2(-1)^2)^6 = (-2)^6 = 64 = 1 - a_1 + a_2 - a_3 + .... + a_{12}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$f(1) + f(-1) = 0 + 64 = 2(1 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12})$.
$64 = 2(1 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12})$.
$32 = 1 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12}$.
તેથી,$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} = 32 - 1 = 31$.

(C) બહુપદી $P(x)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $P(1)$ ની કિંમત મૂકીને મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $P(x) = (\alpha ^2 x^2 - 2\alpha x + 1)^{51}$ છે.
$x = 1$ મૂકતા,સહગુણકોનો સરવાળો $(\alpha ^2(1)^2 - 2\alpha(1) + 1)^{51} = (\alpha ^2 - 2\alpha + 1)^{51}$ થાય છે.
સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,$(\alpha ^2 - 2\alpha + 1)^{51} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\alpha - 1)^2 = 0$,જે $\alpha = 1$ આપે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ: $(1 + x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} {C_r} x^r = {C_0} + {C_1}x + {C_2}x^2 + \dots + {C_{10}}x^{10}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે $0$ થી $2$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{2} (1 + x)^{10} dx = \int_{0}^{2} ({C_0} + {C_1}x + {C_2}x^2 + \dots + {C_{10}}x^{10}) dx$.
ડાબી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{(1 + x)^{11}}{11} \right]_{0}^{2} = \frac{(1 + 2)^{11}}{11} - \frac{(1 + 0)^{11}}{11} = \frac{3^{11} - 1}{11}$.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ {C_0}x + {C_1}\frac{x^2}{2} + {C_2}\frac{x^3}{3} + \dots + {C_{10}}\frac{x^{11}}{11} \right]_{0}^{2} = 2{C_0} + \frac{2^2}{2}{C_1} + \frac{2^3}{3}{C_2} + \dots + \frac{2^{11}}{11}{C_{10}}$.
આમ,સરવાળો $\frac{3^{11} - 1}{11}$ થાય છે.

(C) બહુપદીના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે બધા ચલને $1$ તરીકે લઈએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(x + 2y + 3z)^8$ માટે,આપણે $x = 1$,$y = 1$,અને $z = 1$ મૂકીએ છીએ.
સહગુણકોનો સરવાળો $= (1 + 2(1) + 3(1))^8$
$= (1 + 2 + 3)^8$
$= 6^8$.

(B) બહુપદી $P(x)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $P(x) = (1 + x - 3x^2)^{2134}$ છે.
$x = 1$ મૂકતા:
$P(1) = (1 + 1 - 3(1)^2)^{2134}$
$P(1) = (1 + 1 - 3)^{2134}$
$P(1) = (-1)^{2134}$
અહીં $2134$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{2134} = 1$ થાય.
તેથી,સહગુણકોનો સરવાળો $1$ છે.

(B) કોઈપણ બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(1 + x + x^2)^n$ માં $x = 1$ મૂકતા,
સહગુણકોનો સરવાળો $= (1 + 1 + 1^2)^n = (1 + 1 + 1)^n = 3^n$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) કોઈપણ બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(1 + x - 3x^2)^{3148}$ માં $x = 1$ મૂકતા:
સહગુણકોનો સરવાળો = $(1 + 1 - 3(1)^2)^{3148}$
$= (2 - 3)^{3148}$
$= (-1)^{3148}$
અહીં $3148$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{3148} = 1$ થાય.
તેથી,સહગુણકોનો સરવાળો $1$ છે.

(C) કોઈપણ બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ વિસ્તરણ $(1 + x)^5$ માટે,સહગુણકોનો સરવાળો $x = 1$ મૂકવાથી મળે છે.
સહગુણકોનો સરવાળો = $(1 + 1)^5 = 2^5 = 32$.

(C) બહુપદી $P(x)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ બહુપદી $P(x) = (x^2 - x - 1)^{99}$ છે.
$x = 1$ મૂકતા:
$P(1) = (1^2 - 1 - 1)^{99}$
$P(1) = (1 - 1 - 1)^{99}$
$P(1) = (-1)^{99}$
$99$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{99} = -1$ થાય.
તેથી,સહગુણકોનો સરવાળો $-1$ છે.

(B) આપણી પાસે છે,$(1 + x + x^2 + ...)^{-n} = [(1 - x)^{-1}]^{-n} = (1 - x)^n$
$(1 - x)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k = \binom{n}{0} - \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + ... + (-1)^n \binom{n}{n} x^n$
$x^n$ નો સહગુણક $(-1)^n \binom{n}{n} = (-1)^n \times 1 = (-1)^n$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $[\sqrt{1 + x^2} - x]^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \times \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2} + x} = \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{(1 + x^2) - x^2} = \sqrt{1 + x^2} + x$.
$|x| < 1$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
પદાવલિ $= 1 + \frac{1}{2}x^2 + \dots + x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \dots$.
આ વિસ્તરણમાં $x$ નો સહગુણક $1$ છે.

(C) ધારો કે $y = (x^3 - 1)^{1/2}$. પદાવલિ $(x + y)^5 + (x - y)^5$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(x + y)^5 + (x - y)^5 = 2[x^5 + ^5C_2 x^3 y^2 + ^5C_4 x y^4]$.
$y^2 = x^3 - 1$ અને $y^4 = (x^3 - 1)^2 = x^6 - 2x^3 + 1$ મૂકતા:
$= 2[x^5 + 10x^3(x^3 - 1) + 5x(x^6 - 2x^3 + 1)]$
$= 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x^7 - 10x^4 + 5x]$
$= 10x^7 + 20x^6 + 2x^5 - 20x^4 - 20x^3 + 10x$.
પરિણામી બહુપદીમાં $x$ ની મહત્તમ ઘાત $7$ છે,તેથી બહુપદીની ઘાત $7$ છે.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+x)^{3/2} \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2$
$(1 + \frac{1}{2}x)^3 \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x^2$
અંશની કિંમત: $(1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2) - (1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x^2) = -\frac{3}{8}x^2$
છેદ $(1-x)^{1/2} \approx 1$ લેતા,અંતિમ જવાબ $-\frac{3}{8}x^2$ મળે છે.

(C) $(x_1 + x_2 + \dots + x_k)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n + k - 1}{k - 1}$ છે.
અહીં,$k = 3$ (પદો $a, b, c$) અને ઘાત $n$ છે.
તેથી,પદોની સંખ્યા $\binom{n + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{n + 2}{2}$ થશે.
સંયોજનના સૂત્ર મુજબ: $\binom{n + 2}{2} = \frac{(n + 2)(n + 1)}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે $R = (5\sqrt{5} + 11)^{2n + 1}$.
ધારો કે $f' = (5\sqrt{5} - 11)^{2n + 1}$.
$0 < 5\sqrt{5} - 11 < 1$ હોવાથી,$0 < f' < 1$.
$R + f' = (5\sqrt{5} + 11)^{2n + 1} + (5\sqrt{5} - 11)^{2n + 1} = 2k$ (જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે).
$R = [R] + f$ હોવાથી,$[R] + f + f' = 2k$.
$0 < f + f' < 2$ હોવાથી,$f + f' = 1$.
તેથી $f = 1 - f'$.
$R \cdot f = R(1 - f') = R - R \cdot f' = R - (125 - 121)^{2n + 1} = R - 4^{2n + 1}$.
પરિણામ $4^{2n + 1}$ મળે છે.

(B) $(x + y + z)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ છે.
અહીં પદોની સંખ્યા $45$ આપેલી છે,તેથી:
$\frac{(n+1)(n+2)}{2} = 45$
$(n+1)(n+2) = 90$
$n^2 + 3n + 2 = 90$
$n^2 + 3n - 88 = 0$
$(n+11)(n-8) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$n = 8$ મળે.

(A) અંશ $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 18$ અને $b = 7$ છે.
$a + b = 18 + 7 = 25$ હોવાથી,અંશ $25^3$ થાય.
છેદ $(x + y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} y^k$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$x = 3$ અને $y = 2$ છે,તેથી છેદ $(3 + 2)^6 = 5^6$ થાય.
$5^6 = (5^2)^3 = 25^3$ હોવાથી,છેદ $25^3$ થાય.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $\frac{25^3}{25^3} = 1$ છે.

(B) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(2 + \sqrt{2})^4$ નું વિસ્તરણ કરીએ: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
$(2 + \sqrt{2})^4 = \binom{4}{0} 2^4 + \binom{4}{1} 2^3 (\sqrt{2}) + \binom{4}{2} 2^2 (\sqrt{2})^2 + \binom{4}{3} 2^1 (\sqrt{2})^3 + \binom{4}{4} (\sqrt{2})^4$.
$= 1(16) + 4(8)(\sqrt{2}) + 6(4)(2) + 4(2)(2\sqrt{2}) + 1(4)$.
$= 16 + 32\sqrt{2} + 48 + 16\sqrt{2} + 4$.
$= 68 + 48\sqrt{2}$.
અહીં $\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$48 \times 1.414 = 67.872$.
તેથી,$68 + 67.872 = 135.872$.
આ કિંમત $135$ અને $136$ ની વચ્ચે આવે છે.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(x + a)^n + (x - a)^n = 2[\binom{n}{0}x^n + \binom{n}{2}x^{n-2}a^2 + \binom{n}{4}x^{n-4}a^4 + \binom{n}{6}x^{n-6}a^6]$.
અહીં,$n = 6, x = \sqrt{2}, a = 1$.
દ્વિપદી સહગુણકો $\binom{6}{0} = 1, \binom{6}{2} = 15, \binom{6}{4} = 15, \binom{6}{6} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6 = 2[1 \cdot (\sqrt{2})^6 + 15 \cdot (\sqrt{2})^4 \cdot 1^2 + 15 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 1^4 + 1 \cdot 1^6]$.
$= 2[8 + 15(4) + 15(2) + 1]$.
$= 2[8 + 60 + 30 + 1]$.
$= 2[99] = 198$.

(A) આપેલ દ્વિપદી વિસ્તરણ: $(1 + ax)^n = 1 + n(ax) + \frac{n(n - 1)}{2}(ax)^2 + .... = 1 + 8x + 24x^2 + ....$
$x$ અને $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$na = 8$ --- $(1)$
$\frac{n(n - 1)}{2}a^2 = 24$ --- $(2)$
$(1)$ પરથી,$n = \frac{8}{a}$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{(\frac{8}{a})(\frac{8}{a} - 1)}{2}a^2 = 24$
$\frac{8}{2a} \times (8 - a) \times a = 24$
$4(8 - a) = 24$
$8 - a = 6$
$a = 2$
$a = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$n(2) = 8 \Rightarrow n = 4$.
આમ,$a = 2$ અને $n = 4$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = \sum_{j=0}^{200} (1+x)^j = 1 + (1+x) + (1+x)^2 + \dots + (1+x)^{200}$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (1+x)$,અને પદોની સંખ્યા $n = 201$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{1((1+x)^{201} - 1)}{(1+x) - 1} = \frac{(1+x)^{201} - 1}{x}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $S = \frac{(1+x)^{201} - 1}{x}$ માં $x^{100}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
આ $(1+x)^{201} - 1$ ના વિસ્તરણમાં $x^{101}$ નો સહગુણક શોધવા સમાન છે.
$(1+x)^{201}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\binom{201}{k} x^k$ છે.
$k = 101$ માટે,સહગુણક $\binom{201}{101}$ છે.
નોંધ: $\binom{201}{101} = \binom{201}{201-101} = \binom{201}{100}$.
આમ,$x^{100}$ નો સહગુણક $\binom{201}{100}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ: $(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k = \binom{n}{0} + x\binom{n}{1} + x^2\binom{n}{2} + \dots + x^n\binom{n}{n}$.
આ વિસ્તરણમાં $x = 2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(1 + 2)^n = \binom{n}{0} + 2\binom{n}{1} + 2^2\binom{n}{2} + \dots + 2^n\binom{n}{n}$.
તેથી,આપેલ પદાવલિ $3^n$ ને સમાન છે.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ આ મુજબ છે: $(x + a)^n = {^nC_0}x^n + {^nC_1}x^{n-1}a + {^nC_2}x^{n-2}a^2 + {^nC_3}x^{n-3}a^3 + \dots$
ધારો કે $A$ એ એકી પદોનો સરવાળો છે: $A = {^nC_0}x^n + {^nC_2}x^{n-2}a^2 + {^nC_4}x^{n-4}a^4 + \dots$
ધારો કે $B$ એ બેકી પદોનો સરવાળો છે: $B = {^nC_1}x^{n-1}a + {^nC_3}x^{n-3}a^3 + {^nC_5}x^{n-5}a^5 + \dots$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + a)^n = A + B$ અને $(x - a)^n = A - B$.
આ બંને પદોનો ઉપયોગ કરતા: $(A + B)^2 - (A - B)^2 = 4AB$.
તેથી,$(x + a)^{2n} - (x - a)^{2n} = 4AB$.

(C) બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(1 + x - 3x^2)^{2163}$ માં $x = 1$ મૂકતા,
સહગુણકોનો સરવાળો $= (1 + 1 - 3(1)^2)^{2163}$
$= (1 + 1 - 3)^{2163}$
$= (-1)^{2163}$
અહીં $2163$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{2163} = -1$ થાય.

(B) બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
$(1 - 3x + 10x^2)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,સહગુણકોનો સરવાળો $a$ નીચે મુજબ છે:
$a = (1 - 3(1) + 10(1)^2)^n = (1 - 3 + 10)^n = 8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$.
$(1 + x^2)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,સહગુણકોનો સરવાળો $b$ નીચે મુજબ છે:
$b = (1 + (1)^2)^n = (1 + 1)^n = 2^n$.
$a$ અને $b$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $a = (2^n)^3 = b^3$.
આમ,$a = b^3$.

(B) બહુપદી $P(x)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો મેળવવા માટે તમામ ચલને $1$ લેવામાં આવે છે.
પ્રથમ વિસ્તરણ $(\alpha x^2 - 2x + 1)^{35}$ માટે,સહગુણકોનો સરવાળો $(\alpha(1)^2 - 2(1) + 1)^{35} = (\alpha - 2 + 1)^{35} = (\alpha - 1)^{35}$ છે.
બીજા વિસ્તરણ $(x - \alpha y)^{35}$ માટે,સહગુણકોનો સરવાળો $(1 - \alpha(1))^{35} = (1 - \alpha)^{35}$ છે.
આપેલ છે કે આ સરવાળા સમાન છે: $(\alpha - 1)^{35} = (1 - \alpha)^{35}$.
$35$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(1 - \alpha)^{35} = -(\alpha - 1)^{35}$.
આમ,$(\alpha - 1)^{35} = -(\alpha - 1)^{35}$,જેનો અર્થ છે કે $2(\alpha - 1)^{35} = 0$.
તેથી,$(\alpha - 1)^{35} = 0$,જે આપે છે $\alpha - 1 = 0$,એટલે કે $\alpha = 1$.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}x^3 + \dots$
બંને બાજુથી $nx + 1$ બાદ કરતા:
$(1 + x)^n - nx - 1 = \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}x^3 + \dots$
$x^2$ સામાન્ય લેતા:
$(1 + x)^n - nx - 1 = x^2 \left[ \frac{n(n - 1)}{2!} + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}x + \dots \right]$
આમ,આ પદાવલિ $x^2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ છે.
આપણે $2\binom{n}{r-1}$ ને $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-1}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,પદાવલિ $\left[ \binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} \right] + \left[ \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2} \right]$ બને છે.
પાસ્કલના નિત્યસમ $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r-1}$.
ફરીથી આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \binom{n+2}{r}$.

(D) આપેલ છે $(1 - y)^m(1 + y)^n = 1 + a_1y + a_2y^2 + \ldots$
દ્વિપદીનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1 - my + \frac{m(m-1)}{2}y^2 - \ldots)(1 + ny + \frac{n(n-1)}{2}y^2 + \ldots) = 1 + a_1y + a_2y^2 + \ldots$
$y$ નો સહગુણક સરખાવતા:
$a_1 = n - m = 10 \implies n = m + 10$
$y^2$ નો સહગુણક સરખાવતા:
$a_2 = \frac{n(n-1)}{2} - nm + \frac{m(m-1)}{2} = 10$
$n^2 - n - 2nm + m^2 - m = 20$
$(n - m)^2 - (n + m) = 20$
$n - m = 10$ હોવાથી,$(10)^2 - (m + 10 + m) = 20$
$100 - 2m - 10 = 20$
$90 - 2m = 20$
$2m = 70 \implies m = 35$
$n = 35 + 10 = 45$
આમ,$(m, n) = (35, 45)$.

(A) ધારો કે $x = (\sqrt{3} + 1)^{2n}$ અને $y = (\sqrt{3} - 1)^{2n}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\sqrt{3} + 1)^{2n} - (\sqrt{3} - 1)^{2n}$ નું સાદું રૂપ આપતા તે અસંમેય સંખ્યા મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = (x + \sqrt{x^3 - 1})^5 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^5$.
દ્વિપદી વિસ્તરણના સૂત્ર $(a+b)^n + (a-b)^n = 2[\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \binom{n}{4}a^{n-4}b^4 + \dots]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2[\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{2}x^3(\sqrt{x^3-1})^2 + \binom{5}{4}x(\sqrt{x^3-1})^4]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^3(x^3-1) + 5x(x^3-1)^2]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x(x^6 - 2x^3 + 1)]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x^7 - 10x^4 + 5x]$
$f(x) = 10x^7 + 20x^6 + 2x^5 - 20x^4 - 20x^3 + 10x$.
એકી ઘાતવાળા પદો $10x^7$,$2x^5$,$-20x^3$,અને $10x$ છે.
આ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો $10 + 2 - 20 + 10 = 2$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x=1$ આગળ $f(x)$ નું $k$-મું વિકલન $f^k(1) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$ થાય છે.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$f(1) - \frac{f'(1)}{1!} + \frac{f''(1)}{2!} - \frac{f'''(1)}{3!} + ...... + \frac{(-1)^n f^n(1)}{n!} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{f^k(1)}{k!}$.
કારણ કે $\frac{f^k(1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - ...... + (-1)^n \binom{n}{n}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$.
$x=1$ લેતા,આપણને $(1-1)^n = 0^n = 0$ મળે છે (જ્યાં $n \ge 1$).
આમ,જવાબ $0$ છે.

(D) આપણે $N \pmod{1000}$ શોધવાની જરૂર છે,જ્યાં $N = 7^{100} - 3^{100}$.
$N = (5+2)^{100} - (5-2)^{100}$ તરીકે લખતા.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$.
અહીં $n=100, x=5, y=2$.
દરેક પદમાં $5^k$ નો અવયવ છે જ્યાં $k \ge 1$. ખાસ કરીને,$k \ge 3$ માટે,$5^k$ એ $125$ નો ગુણક છે. $2^3=8$ સાથે મળીને,આ પદો $1000$ ના ગુણક બને છે.
પ્રથમ પદ $2 \cdot 100 \cdot 5^{99} \cdot 2 = 400 \cdot 5^{99} = 50000 \cdot 5^{96}$ છે,જે $1000$ નો ગુણક છે.
આમ,$N \equiv 0 \pmod{1000}$,એટલે કે છેલ્લા ત્રણ અંકો $000$ છે.