Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = 154 \, cm^2$ છે.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
કિંમત મૂકતા: $154 = \frac{22}{7} \times r^2$.
$r^2 = 154 \times \frac{7}{22}$.
$r^2 = 7 \times 7 = 49$.
$r = \sqrt{49} = 7 \, cm$.
વર્તુળની પરિમિતિ (પરિઘ) શોધવાનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે.
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 7$.
$C = 2 \times 22 = 44 \, cm$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સંપૂર્ણ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ક્ષેત્રફળ $360^{\circ}$ ના કેન્દ્રિય ખૂણાને અનુરૂપ છે.
એકિક પદ્ધતિ દ્વારા,$\theta$ અંશના કેન્દ્રિય ખૂણાવાળા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ એ ખૂણા $\theta$ અને કુલ ખૂણા $360^{\circ}$ ના ગુણોત્તરના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\text{વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\pi r^2 \theta}{360}$ મળે છે.

(C) આપેલ શરત મુજબ,
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $R_{1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ + $R_{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ
વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\pi r^{2}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\pi R^{2} = \pi R_{1}^{2} + \pi R_{2}^{2}$
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$R^{2} = R_{1}^{2} + R_{2}^{2}$

(D) આપેલ શરત મુજબ,
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો પરિઘ $=$ $R_{1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો પરિઘ $+$ $R_{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો પરિઘ
પરિઘના સૂત્ર $C = 2 \pi r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \pi R = 2 \pi R_{1} + 2 \pi R_{2}$
બંને બાજુ $2 \pi$ વડે ભાગતા:
$R = R_{1} + R_{2}$
તેથી,સાચો સંબંધ $R_{1} + R_{2} = R$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચોરસની બાજુ $a$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,વર્તુળનો પરિઘ અને ચોરસની પરિમિતિ સમાન છે:
$2 \pi r = 4a$
$\pi r = 2a$
$a = \frac{\pi r}{2}$
હવે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = a^2 = (\frac{\pi r}{2})^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4}$ છે.
$A_1$ અને $A_2$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi}$.
કારણ કે $\pi \approx 3.14$,તેથી $\frac{4}{3.14} > 1$.
આમ,$A_1 > A_2$,જેનો અર્થ છે કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે.

(B) અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત સૌથી મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે ત્રિકોણનો પાયો અર્ધવર્તુળના વ્યાસ જેટલો લઈએ છીએ.
ધારો કે વ્યાસ $AB = 2r$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય તે માટે,તેની ઊંચાઈ મહત્તમ હોવી જોઈએ,જે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ જેટલી હોય છે.
ધારો કે $C$ એ પરિઘ પરનું શિરોબિંદુ છે જેથી વેધ $CD$ એ $AB$ ને લંબ હોય. અહીં,$CD = r$ છે.
આમ,ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (2r) \times r = r^{2}$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચોરસની બાજુ $a$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,
વર્તુળની પરિમિતિ = ચોરસની પરિમિતિ
$2 \pi r = 4a \Rightarrow a = \frac{\pi r}{2}$ ...............$(i)$
હવે,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{\pi r^2}{a^2} = \frac{\pi r^2}{(\frac{\pi r}{2})^2}$ [સમીકરણ $(i)$ પરથી]
$= \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi} = \frac{4}{\frac{22}{7}} = \frac{4 \times 7}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$
આમ,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $14: 11$ છે.

(D) $16 \, m$ વ્યાસ ધરાવતા પ્રથમ વર્તુળાકાર બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2 = \pi (8)^2 = 64\pi \, m^2$ છે,જ્યાં $r_1 = 8 \, m$ છે.
$12 \, m$ વ્યાસ ધરાવતા બીજા વર્તુળાકાર બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (6)^2 = 36\pi \, m^2$ છે,જ્યાં $r_2 = 6 \, m$ છે.
ધારો કે નવા વર્તુળાકાર બગીચાની ત્રિજ્યા $R$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,નવા બગીચાનું ક્ષેત્રફળ એ બંને બગીચાઓના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું છે:
$\pi R^2 = A_1 + A_2$
$\pi R^2 = 64\pi + 36\pi$
$\pi R^2 = 100\pi$
$R^2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10 \, m$.
આમ,નવા બગીચાની ત્રિજ્યા $10 \, m$ હશે.

(A) આપેલ છે, ચોરસની બાજુ $= 6 \, cm$.
વર્તુળ ચોરસની અંદર અંતર્ગત હોવાથી, વર્તુળનો વ્યાસ એ ચોરસની બાજુ જેટલો થાય.
તેથી, વ્યાસ $(d) = 6 \, cm$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \pi (3)^2 = 9 \pi \, cm^2$.

(B) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = OC = 8 \, cm$ છે.
તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ $AC = 2 \times OC = 2 \times 8 = 16 \, cm$ થાય.
આ વ્યાસ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ જેટલો છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુનું માપ $x$ છે.
કાટકોણ $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ થાય.
$(16)^2 = x^2 + x^2$.
$256 = 2x^2$.
$x^2 = 128$.
તેથી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $x^2 = 128 \, cm^2$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ $d_1 = 36 \, cm$ અને બીજા વર્તુળનો વ્યાસ $d_2 = 20 \, cm$ છે.
પ્રથમ વર્તુળનો પરિઘ $C_1 = \pi d_1 = 36 \pi \, cm$.
બીજા વર્તુળનો પરિઘ $C_2 = \pi d_2 = 20 \pi \, cm$.
ધારો કે નવા વર્તુળનો વ્યાસ $D$ છે અને તેનો પરિઘ $C$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$C = C_1 + C_2$.
$\pi D = 36 \pi + 20 \pi$.
$\pi D = 56 \pi$.
$D = 56 \, cm$.
નવા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2} = \frac{56}{2} = 28 \, cm$ થાય.

(D) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_{1} = 24 \, cm$ અને $r_{2} = 7 \, cm$ છે.
પ્રથમ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_{1} = \pi r_{1}^{2} = \pi(24)^{2} = 576\pi \, cm^{2}$ છે.
બીજા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_{2} = \pi r_{2}^{2} = \pi(7)^{2} = 49\pi \, cm^{2}$ છે.
ધારો કે નવા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે. આપેલ શરત મુજબ,નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ એ બે વર્તુળોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું છે:
$\pi R^{2} = A_{1} + A_{2}$
$\pi R^{2} = 576\pi + 49\pi$
$\pi R^{2} = 625\pi$
$R^{2} = 625$
$R = \sqrt{625} = 25 \, cm$.
તેથી,નવા વર્તુળનો વ્યાસ $D = 2R = 2 \times 25 = 50 \, cm$ થાય.

(B) આ વિધાન સાર્વત્રિક રીતે સત્ય નથી. તે માત્ર લઘુ વૃત્તખંડ માટે જ સત્ય છે.
લઘુ વૃત્તખંડ માટે,તેનું ક્ષેત્રફળ અનુરૂપ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળમાંથી જીવા અને ત્રિજ્યાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
જોકે,ગુરુ વૃત્તખંડના કિસ્સામાં,ગુરુ વૃત્તખંડનું કુલ ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે અનુરૂપ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ઉમેરવું પડે છે.

(A) હા,આ વિધાન સત્ય છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a = 5 \, cm$ છે.
અંદરના વર્તુળનો વ્યાસ ચોરસની બાજુ જેટલો છે,તેથી $d_{inner} = a = 5 \, cm$. ત્રિજ્યા $r = \frac{5}{2} \, cm$ થશે.
અંદરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_{inner} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25\pi}{4} \, cm^2$ છે.
બહારના વર્તુળનો વ્યાસ ચોરસના વિકર્ણ જેટલો છે,તેથી $d_{outer} = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \, cm$. ત્રિજ્યા $R = \frac{5\sqrt{2}}{2} \, cm$ થશે.
બહારના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_{outer} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{25 \times 2}{4}\right) = \frac{50\pi}{4} = \frac{25\pi}{2} \, cm^2$ છે.
બંને ક્ષેત્રફળોની સરખામણી કરતા: $\frac{A_{outer}}{A_{inner}} = \frac{25\pi / 2}{25\pi / 4} = \frac{4}{2} = 2$.
આમ,બહારના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ખરેખર અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું છે.

(N/A) ખોટું.
ધારો કે $ABCD$ એ $a$ બાજુવાળો એક ચોરસ છે.
વર્તુળ ચોરસમાં અંતઃસ્થિત છે,તેથી તેનો વ્યાસ ચોરસની બાજુ જેટલો થાય.
$\therefore \text{વર્તુળનો વ્યાસ} = a \, cm$.
$\therefore \text{વર્તુળની ત્રિજ્યા} (r) = \frac{a}{2} \, cm$.
હવે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\pi r^2$ છે.
$\therefore \text{ક્ષેત્રફળ} = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) = \frac{\pi a^2}{4} \, cm^2$.
અહીં $\frac{\pi a^2}{4} \neq \pi a^2$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) સત્ય.
આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા,$r = a \, cm$.
તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ,$d = 2 \times \text{ત્રિજ્યા} = 2a \, cm$.
ચોરસ વર્તુળને પરિગત હોવાથી,ચોરસની બાજુનું માપ વર્તુળના વ્યાસ જેટલું થાય.
તેથી,ચોરસની બાજુ $= 2a \, cm$.
હવે,ચોરસની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 2a = 8a \, cm$.
આમ,તે સત્ય છે કે ચોરસની પરિમિતિ $8a \, cm$ છે.

(N/A) આ વિધાન ખોટું છે.
આપેલ છે કે વર્તુળનો વ્યાસ $d$ છે.
$1$. વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસ માટે,ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
વિકર્ણ $= d$.
ધારો કે અંદરના ચોરસની બાજુ $x$ છે.
ચોરસના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,વિકર્ણ $= \sqrt{2} \times \text{બાજુ}$.
તેથી,$\sqrt{2}x = d \Rightarrow x = \frac{d}{\sqrt{2}}$.
અંદરના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= x^2 = (\frac{d}{\sqrt{2}})^2 = \frac{d^2}{2}$.
$2$. વર્તુળને પરિગત બહારના ચોરસ માટે,ચોરસની બાજુ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલી હોય છે.
બાજુ $= d$.
બહારના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= d^2$.
$3$. ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા:
ગુણોત્તર $= \frac{\text{બહારના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{અંદરના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{d^2}{d^2/2} = 2$.
આમ,બહારના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ અંદરના ચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું છે,ચાર ગણું નથી.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
$1$. વર્તુળનો વૃતખંડ એ જીવા અને ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે. વર્તુળનો વૃતાંશ એ બે ત્રિજ્યાઓ અને ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
$2$. લઘુ વૃતખંડ માટે,તેનું ક્ષેત્રફળ તેના અનુરૂપ લઘુ વૃતાંશના ક્ષેત્રફળ કરતા ઓછું હોય છે કારણ કે લઘુ વૃતખંડ એ લઘુ વૃતાંશનો એક ભાગ છે (વૃતાંશમાં બે ત્રિજ્યાઓ અને જીવા દ્વારા બનતો ત્રિકોણ પણ સામેલ હોય છે).
$3$. જોકે,ગુરુ વૃતખંડ માટે,તેનું ક્ષેત્રફળ હંમેશા તેના અનુરૂપ ગુરુ વૃતાંશના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય છે. તેથી,આ વિધાન સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી.

(B) ખોટું.
ગોળાકાર પૈડાં દ્વારા એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર તેના પરિઘ જેટલું હોય છે.
$d$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળનો પરિઘ $\pi d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $d = 2r$ (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે),તેથી પરિઘ $\pi(2r) = 2 \pi r$ થાય.
તેથી,એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $\pi d$ છે,$2 \pi d$ નથી.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
એક પરિભ્રમણમાં પૈડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર તેના પરિઘ જેટલું હોય છે,જેનું સૂત્ર $2 \pi r$ મીટર છે.
$s$ મીટર અંતર કાપવા માટે કરવામાં આવેલા કુલ પરિભ્રમણની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ અંતરને એક પરિભ્રમણમાં કાપેલા અંતર વડે ભાગીએ છીએ:
$\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર}} = \frac{s}{2 \pi r}$.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ છે.
બંનેની સરખામણી કરવા માટે,આપણે અસમતા $\pi r^2 > 2\pi r$ જોઈએ.
બંને બાજુને $\pi r$ વડે ભાગતા ($r > 0$ ધારીને),આપણને $r > 2$ મળે છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ પરિઘ કરતાં ત્યારે જ વધારે હોય જ્યારે ત્રિજ્યા $r > 2$ હોય.
જો $0 < r < 2$ હોય,તો પરિઘ એ ક્ષેત્રફળ કરતાં મોટો હોય છે.
જો $r = 2$ હોય,તો બંનેના સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સમાન હોય છે.
આમ,આ વિધાન સાર્વત્રિક રીતે સત્ય નથી.

(A) આ વિધાન સાચું છે,ખોટું નથી.
ધારો કે બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r$ અને $2r$ છે અને તેમના કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ છે.
આપેલ છે કે $C_1$ ના ચાપની લંબાઈ $l_1$ એ $C_2$ ના ચાપની લંબાઈ $l_2$ જેટલી છે,એટલે કે $l_1 = l_2 = l$.
ધારો કે $\theta_1$ એ $C_1$ ના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે અને $\theta_2$ એ $C_2$ ના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે.
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R$ છે.
$C_1$ માટે: $l = \frac{\theta_1}{360^\circ} \times 2\pi r$ ........... $(i)$
$C_2$ માટે: $l = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 2\pi(2r) = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 4\pi r$ ........... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{\theta_1}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 4\pi r$
$\theta_1 = 2\theta_2$
આમ,પ્રથમ વર્તુળના વૃત્તાંશનો ખૂણો બીજા વર્તુળના વૃત્તાંશના ખૂણા કરતા બમણો છે. તેથી,આ વિધાન સાચું છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે અને ચાપની લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ છે. આપેલ છે કે ચાપની લંબાઈ સમાન છે,તેથી $l_1 = l_2 = l$.
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = r \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ રેડિયનમાં ખૂણો છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $l = r \theta$,આપણે $\theta = \frac{l}{r}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2} r^2 (\frac{l}{r}) = \frac{1}{2} rl$ મળે છે.
સમાન ચાપ લંબાઈ $l$ ધરાવતા બે અલગ-અલગ વર્તુળો માટે,ક્ષેત્રફળો $A_1 = \frac{1}{2} r_1 l$ અને $A_2 = \frac{1}{2} r_2 l$ થાય છે.
વર્તુળો અલગ હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ સમાન નથી $(r_1 \neq r_2)$.
તેથી,$A_1 \neq A_2$. આમ,ક્ષેત્રફળો સમાન હોવા જરૂરી નથી.

(B) ના,તે જરૂરી નથી કે તેમની અનુરૂપ ચાપની લંબાઈ સમાન હોય.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ કેન્દ્રિય ખૂણો છે.
ચાપની લંબાઈ $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર પરથી,આપણી પાસે $\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{A}{\pi r^2}$ છે.
આ કિંમતને ચાપની લંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $L = \frac{A}{\pi r^2} \times 2\pi r = \frac{2A}{r}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી,ચાપની લંબાઈ $L$ એ ત્રિજ્યા $r$ પર વ્યસ્ત પ્રમાણમાં આધાર રાખે છે. જો બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા અલગ-અલગ હોય,તો વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવા છતાં ચાપની લંબાઈ અલગ-અલગ હશે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
$a$ લંબાઈ અને $b$ પહોળાઈ $(a > b)$ ધરાવતા લંબચોરસની અંદર દોરી શકાય તેવા સૌથી મોટા વર્તુળનો વ્યાસ લંબચોરસની નાની બાજુ એટલે કે પહોળાઈ $b$ જેટલો હોય છે.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{b}{2}$ થાય.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left(\frac{b}{2}\right)^{2} = \frac{\pi b^{2}}{4} \, cm^{2}$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi b^{2}}{4} \, cm^{2}$ છે,$\pi b^{2} \, cm^{2}$ નથી.

(A) હા, તે જરૂરી છે કે તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય.
ધારો કે બે વર્તુળોના પરિઘ $C_1$ અને $C_2$ છે, અને તેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
આપેલ છે કે $C_1 = C_2$, તેથી $2\pi r_1 = 2\pi r_2$.
બંને બાજુ $2\pi$ વડે ભાગતા, આપણને $r_1 = r_2$ મળે છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $r_1 = r_2$, તેથી $\pi r_1^2 = \pi r_2^2$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $A_1 = A_2$.
તેથી, જો બે વર્તુળોના પરિઘ સમાન હોય, તો તેમના ક્ષેત્રફળ પણ સમાન હોવા જોઈએ.

(A) હા,તે જરૂરી છે કે તેમના પરિઘ સમાન હોય.
ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી $\pi r_1^2 = \pi r_2^2$ થાય.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r_1^2 = r_2^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_1 = r_2$ (કારણ કે ત્રિજ્યા હંમેશા ધન હોય છે).
વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
જેથી $r_1 = r_2$ હોવાથી,$2\pi r_1 = 2\pi r_2$ થાય.
તેથી,બંને વર્તુળોના પરિઘ સમાન હોવા જોઈએ.

(D) આ વિધાન અસત્ય છે.
જ્યારે ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,ત્યારે ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે અને વર્તુળનો વ્યાસ $p$ છે.
ચોરસના ગુણધર્મ મુજબ,વિકર્ણ $d = a\sqrt{2}$ થાય.
વિકર્ણ એ વ્યાસ જેટલો હોવાથી,$a\sqrt{2} = p$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{p}{\sqrt{2}}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^{2} = (\frac{p}{\sqrt{2}})^{2} = \frac{p^{2}}{2} \, cm^{2}$ થાય.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} p^{2} \, cm^{2}$ છે,$p^{2} \, cm^{2}$ નથી.

(A) આપેલ છે કે,પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ $d_{1} = 20 \, cm$,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_{1} = \frac{20}{2} = 10 \, cm$.
બીજા વર્તુળનો વ્યાસ $d_{2} = 48 \, cm$,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_{2} = \frac{48}{2} = 24 \, cm$.
બંને વર્તુળોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $= \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2} = \pi(10)^{2} + \pi(24)^{2} = \pi(100 + 576) = 676\pi \, cm^{2}$.
ધારો કે નવા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\pi r^{2} = 676\pi$.
$r^{2} = 676$.
$r = \sqrt{676} = 26 \, cm$.
તેથી,નવા વર્તુળનો વ્યાસ $= 2r = 2 \times 26 = 52 \, cm$.

(B) વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 21 \, cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times (21)^{2} \, cm^{2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \, cm^{2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times 22 \times 3 \times 21 \, cm^{2}$.
$\text{Area} = 22 \times 21 \, cm^{2} = 462 \, cm^{2}$.

(C) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2$
$= 3.14 \times (7.5)^2 \, cm^2$
$= 3.14 \times 56.25 \, cm^2 = 176.625 \, cm^2$
સ્પષ્ટ છે કે, ચોરસની બાજુ $=$ વર્તુળનો વ્યાસ $= 2 \times 7.5 \, cm = 15 \, cm$.
તેથી, ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = 15^2 \, cm^2 = 225 \, cm^2$.
તેથી, છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $=$ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $-$ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ
$= 225 \, cm^2 - 176.625 \, cm^2 = 48.375 \, cm^2$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 36 \, cm$ અને વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = 54 \pi \, cm^{2}$.
વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ છે,જ્યાં $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે.
સૂત્રમાં આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$54 \pi = \frac{1}{2} \times l \times 36$
$54 \pi = 18 \times l$
$l = \frac{54 \pi}{18}$
$l = 3 \pi \, cm$.
આમ,અનુરૂપ ચાપની લંબાઈ $3 \pi \, cm$ છે.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે.
ધારો કે બે આપેલા વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 15 \, cm$ અને $r_2 = 18 \, cm$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવા વર્તુળનો પરિઘ એ બે આપેલા વર્તુળોના પરિઘના સરવાળા જેટલો છે:
$2 \pi r = 2 \pi r_1 + 2 \pi r_2$
બંને બાજુને $2 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$r = r_1 + r_2$
કિંમતો મૂકતા:
$r = 15 \, cm + 18 \, cm$
$r = 33 \, cm$
આમ,જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $33 \, cm$ છે.

(N/A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે અને વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે,ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $= 8\, cm$.
ચોરસનો વિકર્ણ $= a\sqrt{2}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$a\sqrt{2} = 8$
$a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\, cm$.
જ્યારે ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,ત્યારે ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ $= 8\, cm$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{8}{2} = 4\, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi(4)^2 = 16\pi\, cm^2$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32\, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને ચોરસના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ} - \text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}$
$= (16\pi - 32)\, cm^2$.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $(16\pi - 32)\, cm^2$ છે.

(C) આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા,$r = 28 \,cm$.
કેન્દ્રિય ખૂણાનું માપ,$\theta = 45^{\circ}$.
વર્તુળના વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (28)^{2}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{8} \times 22 \times 4 \times 28$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{8} \times 22 \times 112$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 14 = 308 \,cm^{2}$.
આમ,વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $308 \,cm^{2}$ છે.

(D) આપેલ છે,પૈડાની ત્રિજ્યા $r = 35 \, cm$.
પૈડાનો પરિઘ $C = 2 \pi r$ દ્વારા મળે છે.
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 220 \, cm$.
મોટરસાયકલની ઝડપ $66 \, km/h$ છે. આપણે તેને $cm/min$ માં ફેરવવાની જરૂર છે:
$66 \, km/h = \frac{66 \times 1000 \, m}{60 \, min} = 1100 \, m/min$.
$1 \, m = 100 \, cm$ હોવાથી,ઝડપ $1100 \times 100 = 110000 \, cm/min$ થશે.
પ્રતિ મિનિટ પરિભ્રમણની સંખ્યા શોધવા માટે,એક મિનિટમાં કાપેલ કુલ અંતરને પૈડાના પરિઘ વડે ભાગતા:
$\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા} = \frac{\text{પ્રતિ મિનિટ કુલ અંતર}}{\text{પરિઘ}} = \frac{110000}{220} = 500$.
તેથી,પૈડાએ પ્રતિ મિનિટ $500$ પરિભ્રમણ કરવા જોઈએ.

(A) ધારો કે $ABCD$ એ $20 \, m \times 16 \, m$ ના માપનું લંબચોરસ ખેતર છે.
ધારો કે,એક ગાયને ખૂણા $A$ પર બાંધવામાં આવી છે. દોરડાની લંબાઈ $r = 14 \, m$ છે.
ગાય જે વિસ્તારમાં ચરી શકે છે તે $r = 14 \, m$ ત્રિજ્યા અને $\theta = 90^{\circ}$ કેન્દ્રિય ખૂણાવાળા વર્તુળનો વૃતાંશ છે (કારણ કે લંબચોરસનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે).
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (14)^2$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196$
$= \frac{1}{4} \times 22 \times 28$
$= 22 \times 7 = 154 \, m^2$.

(N/A) ફૂલનો ક્યારો એક મધ્યવર્તી લંબચોરસ ભાગ અને બે અર્ધવર્તુળાકાર છેડાઓનો બનેલો છે.
લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ $38 \, cm$ અને તેની પહોળાઈ $10 \, cm$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 38 \times 10 = 380 \, cm^2$.
બે અર્ધવર્તુળાકાર છેડાઓ મળીને $10 \, cm$ વ્યાસ ધરાવતું એક સંપૂર્ણ વર્તુળ બનાવે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{10}{2} = 5 \, cm$.
બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi \times (5)^2 = 25 \pi \, cm^2$.
ફૂલના ક્યારાનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ} = (380 + 25 \pi) \, cm^2$.

(C) આપેલ છે કે,$AC = 6 \, cm$ અને $BC = 8 \, cm$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે. તેથી,$\angle C = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\triangle ACB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10 \, cm$ (કારણ કે લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે).
$\triangle ACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, cm^2$.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB = 10 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{10}{2} = 5 \, cm$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = 3.14 \times (5)^2 = 3.14 \times 25 = 78.5 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ - $\triangle ACB$ નું ક્ષેત્રફળ
$= 78.5 - 24 = 54.5 \, cm^2$.

(N/A) આપેલ આકૃતિમાં,$DE$ ને જોડો.
આકૃતિ પરથી,અર્ધવર્તુળ $DFE$ નો વ્યાસ $6 - 4 = 2 \, m$ છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r = 2 / 2 = 1 \, m$ થાય.
હવે,લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= BC \times AB = 8 \times 4 = 32 \, m^2$ છે.
અર્ધવર્તુળ $DFE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi}{2}(1)^2 = 0.5 \pi \, m^2$ છે.
તેથી,છાયાંકિત પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ = લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ + અર્ધવર્તુળ $DFE$ નું ક્ષેત્રફળ.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= (32 + 0.5 \pi) \, m^2$.

(N/A) બાહ્ય લંબચોરસ $ABCD$ ની લંબાઈ $L = 26 \, m$ અને પહોળાઈ $B = 12 \, m$ છે.
બાહ્ય લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= L \times B = 26 \times 12 = 312 \, m^2$ થાય.
અંદરનો અછાયાંકિત ભાગ એક લંબચોરસ અને બે અર્ધવર્તુળોનો બનેલો છે.
અંદરના લંબચોરસની પહોળાઈ $12 - (4 + 4) = 4 \, m$ છે. આ બે અર્ધવર્તુળોનો વ્યાસ પણ છે.
દરેક અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 4 / 2 = 2 \, m$ થાય.
અંદરના લંબચોરસની લંબાઈ $26 - (3 + 3 + 2 + 2) = 16 \, m$ છે ($3 \, m$ ની જગ્યા અને બે અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યા બાદ કરતાં).
અંદરના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 16 \times 4 = 64 \, m^2$ થાય.
બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \, m^2$ થાય.
કુલ અછાયાંકિત ક્ષેત્રફળ $= 64 + 4\pi \, m^2$ થાય.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $=$ બાહ્ય લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $-$ કુલ અછાયાંકિત ક્ષેત્રફળ
$= 312 - (64 + 4\pi) = (248 - 4\pi) \, m^2$.

(B) આપેલ છે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 14 \, cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $(\theta) = 60^{\circ}$.
લઘુવૃતખંડનું ક્ષેત્રફળ = વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ - ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = \frac{1}{6} \times 22 \times 2 \times 14 = \frac{308}{3} \approx 102.67 \, cm^{2}$.
કેન્દ્રિય ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી અને બે બાજુઓ ત્રિજ્યા હોવાથી,બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 14^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 196 = 49 \sqrt{3} \, cm^{2} \approx 84.87 \, cm^{2}$.
લઘુવૃતખંડનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{308}{3} - 49 \sqrt{3} \, cm^{2} \approx 102.67 - 84.87 = 17.8 \, cm^{2}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો લઘુવૃતખંડને બદલે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવતા હોય તેમ લાગે છે. લઘુવૃતખંડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી મુજબ જવાબ $\frac{308}{3} - 49 \sqrt{3}$ થાય છે. જો પ્રશ્ન જીવા દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ પૂછતું હોય,તો જવાબ $49 \sqrt{3}$ છે.

(C) આપેલ છે કે,ચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $= 12 \, cm$.
ચોરસની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P, Q, R$ અને $S$ હોવાથી,દરેક ચતુર્થાંશ ચાપની ત્રિજ્યા $r = \frac{12}{2} = 6 \, cm$ થશે.
એક ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} \pi r^{2} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times (6)^{2} = \frac{3.14 \times 36}{4} = 3.14 \times 9 = 28.26 \, cm^{2}$.
આવા ચાર ચતુર્થાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $4 \times 28.26 = 113.04 \, cm^{2}$.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $(\text{બાજુ})^{2} = (12)^{2} = 144 \, cm^{2}$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $-$ ચાર ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = $144 - 113.04 = 30.96 \, cm^{2}$.

(D) આપેલ છે કે $ABC$ એ $10 \, cm$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$.
$D, E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,દરેક ચાપની ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ થશે.
છાયાંકિત પ્રદેશમાં ત્રણ વૃતાંશનો સમાવેશ થાય છે,જે દરેકનો કેન્દ્રિય ખૂણો $60^{\circ}$ અને ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ છે.
એક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^2$.
એક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 25 = \frac{78.5}{6} \approx 13.0833 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 3 \times (\text{એક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ}) = 3 \times \frac{78.5}{6} = \frac{78.5}{2} = 39.25 \, cm^2$.

(A) આપેલ છે કે,દરેક ચાપની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 14 \, cm$ છે.
કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta$ ધરાવતા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણ વૃતાંશો માટે,જેના કેન્દ્રિય ખૂણા $\angle P$,$\angle Q$ અને $\angle R$ છે,તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\angle P}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} + \frac{\angle Q}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} + \frac{\angle R}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{(\angle P + \angle Q + \angle R)}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times (14)^{2}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 196$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 22 \times 28 = 11 \times 28 = 308 \, cm^{2}$.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $308 \, cm^{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,એક વર્તુળાકાર બગીચો રસ્તાથી ઘેરાયેલો છે.
રસ્તાની પહોળાઈ $= 21\, m$.
બગીચાની ત્રિજ્યા $(r_i) = 105\, m$.
તેથી,સમગ્ર વર્તુળાકાર ભાગની (બગીચો + રસ્તો) ત્રિજ્યા $r_e = 105 + 21 = 126\, m$ થશે.
હવે,રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $=$ સમગ્ર વર્તુળાકાર ભાગનું ક્ષેત્રફળ $-$ વર્તુળાકાર બગીચાનું ક્ષેત્રફળ.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_e^2 - \pi r_i^2 = \pi(r_e^2 - r_i^2)$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times (126^2 - 105^2) = \frac{22}{7} \times (126 + 105)(126 - 105)$.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 231 \times 21$.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= 22 \times 231 \times 3 = 15246\, m^2$.
આમ,રસ્તાનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $15246\, m^2$ છે.

(C) આપેલ છે કે દરેક ચાપની ત્રિજ્યા $r = 21 \, cm$ છે.
કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta$ ધરાવતા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ પરના ચાર વૃતાંશોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle D}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
કોઈપણ ચતુષ્કોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \pi r^2$
$r = 21 \, cm$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $1386 \, cm^2$ છે.

(D) વર્તુળના ચાપની લંબાઈ $20 \,cm$ આપેલી છે.
ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$ છે.
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$20 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$20 = \frac{1}{6} \times 2 \pi r$
$20 = \frac{\pi r}{3}$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r = \frac{20 \times 3}{\pi} = \frac{60}{\pi} \,cm$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{60}{\pi} \,cm$ છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 20\, cm$,કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$.
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{360^{\circ} - 90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{270}{360} \times 3.14 \times (20)^2 = \frac{3}{4} \times 3.14 \times 400 = 3 \times 3.14 \times 100 = 942\, cm^2$.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times 1 = 200\, cm^2$.
ગુરુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ + $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 942 + 200 = 1142\, cm^2$.

(B) શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પરના ત્રણ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$= \frac{(\angle A + \angle B + \angle C)}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,ત્રણ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ:
$= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^2 = 0.5 \times 3.14 \times 25 = 39.25 \, cm^2$
હવે,આપણે $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધીએ. અહીં $14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500 = 50^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં પાયો $48 \, cm$ અને વેધ $14 \, cm$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 48 \times 14 = 336 \, cm^2$
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રણ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાથી મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= 336 - 39.25 = 296.75 \, cm^2$