Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Gujarati

(C) ધારો કે વાછરડું ચોરસ મેદાનના ખૂણા $A$ પર બાંધેલું છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો એ $90^{\circ}$ ના કેન્દ્રિય ખૂણા અને $R = 11.5 \,m$ $(6 \,m + 5.5 \,m)$ તથા $r = 6 \,m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
ક્ષેત્રફળમાં જરૂરી વધારો $= R$ ત્રિજ્યાવાળા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $- r$ ત્રિજ્યાવાળા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times R^2 - \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times r^2$
$= \frac{1}{4} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (11.5^2 - 6^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (11.5 + 6) \times (11.5 - 6)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 17.5 \times 5.5$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{11}{2}$
$= \frac{11 \times 5 \times 11}{8} = \frac{605}{8} = 75.625 \,m^2$.

(D) આપેલ છે,વર્તુળાકાર રમતના મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $= 22176 \, m^{2}$.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\pi r^{2} = 22176$.
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા,$\frac{22}{7} r^{2} = 22176$.
$r^{2} = \frac{22176 \times 7}{22} = 1008 \times 7 = 7056$.
$r = \sqrt{7056} = 84 \, m$.
વર્તુળાકાર મેદાનનો પરિઘ $2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 84 = 44 \times 12 = 528 \, m$ થાય.
વાડ કરવાનો ખર્ચ $= \text{પરિઘ} \times \text{દર}$.
ખર્ચ $= 528 \times 50 = 26400 \, Rs.$

(A) આપેલ છે કે,આગળના પૈડાનો વ્યાસ $d_{1} = 80 \,cm$.
પાછળના પૈડાનો વ્યાસ $d_{2} = 2 \,m = 200 \,cm$.
આગળના પૈડાનો પરિઘ $C_{1} = \pi d_{1} = 80\pi \,cm$.
પાછળના પૈડાનો પરિઘ $C_{2} = \pi d_{2} = 200\pi \,cm$.
આગળના પૈડા દ્વારા $1400$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું કુલ અંતર $D = 1400 \times C_{1} = 1400 \times 80\pi \,cm$.
ધારો કે પાછળના પૈડા દ્વારા કરવામાં આવતા પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ છે.
તેથી,$n \times C_{2} = D$.
$n \times 200\pi = 1400 \times 80\pi$.
$n = \frac{1400 \times 80\pi}{200\pi} = 7 \times 80 = 560$.
આમ,પાછળનું પૈડું $560$ પરિભ્રમણ કરશે.

(A) આપેલ છે કે,એક ત્રિકોણાકાર ખેતરની બાજુઓ $a = 15 \, m$,$b = 16 \, m$ અને $c = 17 \, m$ છે.
દરેક પ્રાણીને એક ખૂણા પર $r = 7 \, m$ લંબાઈના દોરડા સાથે બાંધવામાં આવ્યું છે. દરેક પ્રાણી તેના ખૂણા પર એક વૃતાંશ (sector) જેટલો ભાગ ચરે છે.
ત્રણેય વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \pi r^2 = \frac{(\angle A + \angle B + \angle C)}{360^{\circ}} \pi r^2$
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times (7)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 49 = 77 \, m^2$.
હવે,હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને ત્રિકોણાકાર ખેતરનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{15 + 16 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, m$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(24-15)(24-16)(24-17)} = \sqrt{24 \times 9 \times 8 \times 7} = 24\sqrt{21} \, m^2$.
જે ભાગ ચરી શકાતો નથી તે કુલ ક્ષેત્રફળ અને ચરેલા ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે:
ન ચરાયેલ ભાગ $= (24\sqrt{21} - 77) \, m^2$.

(N/A) આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 12 \, cm$ અને વૃત્તાંશનો કેન્દ્રિય ખૂણો $(\theta) = 60^{\circ}$ છે.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} = \frac{3.14 \times 12 \times 12 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}} = 3.14 \times 2 \times 12 = 75.36 \, cm^2$.
બે ત્રિજ્યાઓ અને જીવા દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં શિરોબિંદુનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3} \, cm^2$.
વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $=$ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $-$ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= (75.36 - 36\sqrt{3}) \, cm^2$.

(D) આપેલ છે કે,એક વર્તુળાકાર તળાવની આસપાસ $2 \, m$ પહોળો રસ્તો છે.
વર્તુળાકાર તળાવનો વ્યાસ $= 17.5 \, m$.
વર્તુળાકાર તળાવની ત્રિજ્યા $(r_i) = \frac{17.5}{2} = 8.75 \, m$.
રસ્તાની પહોળાઈ $= 2 \, m$.
રસ્તા સાથેના બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_e) = 8.75 + 2 = 10.75 \, m$.
વર્તુળાકાર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_e^2 - \pi r_i^2 = \pi(r_e^2 - r_i^2) = \pi(r_e + r_i)(r_e - r_i)$.
ક્ષેત્રફળ $= 3.14 \times (10.75 + 8.75) \times (10.75 - 8.75) = 3.14 \times 19.5 \times 2 = 122.46 \, m^2$.
રસ્તો બનાવવાનો ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 122.46 \times 25 = Rs. \, 3061.50$.

(A) આપેલ છે: $AB = 18 \, cm$,$DC = 32 \, cm$,ઊંચાઈ $(h) = 14 \, cm$ અને દરેક ચાપની ત્રિજ્યા $(r) = 7 \, cm$.
$AB \parallel DC$ હોવાથી,ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$ heta$ ખૂણાવાળા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $D$ આગળના વૃતાંશોનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\angle A + \angle D}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 7 = 77 \, cm^2$.
તે જ રીતે,$B$ અને $C$ આગળના વૃતાંશોનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\angle B + \angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = 77 \, cm^2$.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (AB + DC) \times h = \frac{1}{2} \times (18 + 32) \times 14 = \frac{1}{2} \times 50 \times 14 = 350 \, cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $-$ (ચારેય વૃતાંશોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો) = $350 - (77 + 77) = 350 - 154 = 196 \, cm^2$.

(B) આપેલ છે કે,ત્રણ વર્તુળો એવી રીતે દોરવામાં આવ્યા છે કે દરેક વર્તુળ બાકીના બે વર્તુળોને સ્પર્શે છે.
ધારો કે ત્રણ વર્તુળોના કેન્દ્રો $A, B$ અને $C$ છે. દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 3.5\, cm$ હોવાથી,કોઈપણ બે સ્પર્શતા વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2r = 2 \times 3.5 = 7\, cm$ થાય.
આમ,$AB = BC = CA = 7\, cm$. આથી $7\, cm$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ બને છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (7)^{2} = \frac{49\sqrt{3}}{4} \approx \frac{49 \times 1.732}{4} \approx 21.2176\, cm^{2}$.
ત્રણ વર્તુળો વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણની અંદર આવેલા ત્રણ વૃતાંશના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાથી મળે છે. સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોય છે.
ત્રણ વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 3 \times \left( \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \right) = 3 \times \frac{1}{6} \times \pi \times (3.5)^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 11 \times 0.5 \times 3.5 = 19.25\, cm^{2}$.
તેથી,વર્તુળો વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= \triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ - ત્રણ વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ
$= 21.2176 - 19.25 = 1.9676\, cm^{2}$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $1.967\, cm^{2}$ મળે છે.

(C) વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times l \times r$
જ્યાં $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r) = 5\, cm$
ચાપની લંબાઈ $(l) = 3.5\, cm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3.5 \times 5$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{17.5}{2} = 8.75\, cm^2$
આમ,વૃત્તાંશનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $8.75\, cm^2$ છે.

(D) આપેલ છે કે ચાર વર્તુળાકાર કાર્ડબોર્ડના ટુકડાઓને કાગળ પર એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે જેથી દરેક ટુકડો અન્ય બે ટુકડાઓને સ્પર્શે છે。
ધારો કે ચાર વર્તુળોના કેન્દ્રો $A, B, C$ અને $D$ છે. દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $7 \, cm$ હોવાથી, કોઈપણ બે સ્પર્શતા વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $7 + 7 = 14 \, cm$ થાય。
આમ, $AB = BC = CD = DA = 14 \, cm$. આ $14 \, cm$ બાજુવાળો એક ચોરસ $ABCD$ બનાવે છે。
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = (14)^2 = 196 \, cm^2$.
ચોરસની અંદર ચાર વૃતાંશ છે, જે દરેકનો કેન્દ્રિય ખૂણો $90^{\circ}$ અને ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ છે。
એક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{4} \times 22 \times 7 = 38.5 \, cm^2$.
ચાર વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 38.5 = 154 \, cm^2$.
આ ટુકડાઓ વચ્ચે ઘેરાયેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ = (ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ) - (ચાર વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ)
$= 196 - 154 = 42 \, cm^2$.
તેથી, જરૂરી ક્ષેત્રફળ $42 \, cm^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે, ચોરસ શીટનું ક્ષેત્રફળ $= 784 \, cm^{2}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^{2}$ હોવાથી, $(\text{બાજુ})^{2} = 784$.
તેથી, બાજુ $= \sqrt{784} = 28 \, cm$.
ચાર એકરૂપ વર્તુળાકાર પ્લેટો એવી રીતે મૂકવામાં આવી છે કે દરેક પ્લેટ અન્ય બે પ્લેટોને અને ચોરસની બાજુઓને સ્પર્શે છે, તેથી દરેક વર્તુળાકાર પ્લેટનો વ્યાસ ચોરસની બાજુના અડધા જેટલો થાય.
દરેક વર્તુળાકાર પ્લેટનો વ્યાસ $= 28 / 2 = 14 \, cm$.
દરેક વર્તુળાકાર પ્લેટની ત્રિજ્યા $(r) = 14 / 2 = 7 \, cm$.
એક વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times (7)^{2} = 22 \times 7 = 154 \, cm^{2}$.
ચાર વર્તુળાકાર પ્લેટોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 154 = 616 \, cm^{2}$.
વર્તુળાકાર પ્લેટો દ્વારા આવરી ન લેવાયેલ ચોરસ શીટનું ક્ષેત્રફળ $= \text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} - \text{ચાર વર્તુળાકાર પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ}$.
$= 784 - 616 = 168 \, cm^{2}$.

(B) આપેલ છે કે,રૂમનું ભોંયતળિયું વર્તુળાકાર લાદીઓથી ઢંકાયેલું છે.
ભોંયતળિયાની લંબાઈ $(l) = 5 \, m$.
ભોંયતળિયાની પહોળાઈ $(b) = 4 \, m$.
ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ $= l \times b = 5 \times 4 = 20 \, m^2$.
દરેક વર્તુળાકાર લાદીનો વ્યાસ $= 50 \, cm = 0.5 \, m$.
દરેક વર્તુળાકાર લાદીની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m = \frac{1}{4} \, m$.
એક વર્તુળાકાર લાદીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = 3.14 \times (0.25)^2 = 3.14 \times 0.0625 = 0.19625 \, m^2$.
આકૃતિ પરથી,લંબાઈ પર લાદીઓની સંખ્યા $= \frac{5 \, m}{0.5 \, m} = 10$ લાદી.
પહોળાઈ પર લાદીઓની સંખ્યા $= \frac{4 \, m}{0.5 \, m} = 8$ લાદી.
લાદીઓની કુલ સંખ્યા $= 10 \times 8 = 80$ લાદી.
$80$ લાદીઓ દ્વારા આવરી લેવાયેલ કુલ ક્ષેત્રફળ $= 80 \times 0.19625 = 15.7 \, m^2$.
લાદીઓથી ન ઢંકાયેલ ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ $=$ ભોંયતળિયાનું કુલ ક્ષેત્રફળ $-$ લાદીઓનું કુલ ક્ષેત્રફળ.
ન ઢંકાયેલ ક્ષેત્રફળ $= 20 - 15.7 = 4.3 \, m^2$.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= 1256 \, cm^{2}$.
$\pi r^{2} = 1256$
$r^{2} = \frac{1256}{3.14} = 400$
$r = \sqrt{400} = 20 \, cm$.
જ્યારે સમબાજુ ચતુષ્કોણના બધા શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોય,ત્યારે તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ ચોરસ બને છે કારણ કે તેના વિકર્ણો વર્તુળના વ્યાસ છે અને તેઓ એકબીજાને $90^{\circ}$ પર દુભાગે છે.
આમ,વિકર્ણો $d_{1}$ અને $d_{2}$ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલા થાય છે.
$d_{1} = d_{2} = 2 \times r = 2 \times 20 = 40 \, cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2}$
$= \frac{1}{2} \times 40 \times 40$
$= 20 \times 40 = 800 \, cm^{2}$.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $800 \, cm^{2}$ છે.

(D) ધારો કે સમકેન્દ્રી વર્તુળોના વ્યાસ $k, 2k$ અને $3k$ છે.
તેથી,સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $\frac{k}{2}, k$ અને $\frac{3k}{2}$ છે.
અંદરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ,$A_1 = \pi \left(\frac{k}{2}\right)^2 = \frac{\pi k^2}{4}$.
વચ્ચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ,$A_2 = \pi(k)^2 - \frac{\pi k^2}{4} = \frac{3\pi k^2}{4}$.
બહારના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ,$A_3 = \pi \left(\frac{3k}{2}\right)^2 - \pi(k)^2 = \frac{9\pi k^2}{4} - \pi k^2 = \frac{5\pi k^2}{4}$.
ક્ષેત્રફળોનો જરૂરી ગુણોત્તર $A_1 : A_2 : A_3 = \frac{\pi k^2}{4} : \frac{3\pi k^2}{4} : \frac{5\pi k^2}{4} = 1 : 3 : 5$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે,$60\, \text{min}$ માં,મિનિટ કાંટો $360^{\circ}$ પરિભ્રમણ કરે છે.
$1\, \text{min}$ માં,મિનિટ કાંટો $\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$ પરિભ્રમણ કરે છે.
તેથી,સવારે $6:05$ થી $6:40$ સુધીના સમયગાળામાં,વીતેલો સમય $35\, \text{min}$ છે.
$35\, \text{min}$ માં મિનિટ કાંટા દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta = 6^{\circ} \times 35 = 210^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે મિનિટ કાંટાની લંબાઈ $(r) = 5\, \text{cm}$ છે.
મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ એ ત્રિજ્યા $r = 5\, \text{cm}$ અને ખૂણા $\theta = 210^{\circ}$ વાળા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{210^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (5)^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{7}{12} \times \frac{22}{7} \times 25 = \frac{22 \times 25}{12} = \frac{11 \times 25}{6} = \frac{275}{6}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,$\frac{275}{6} = 45 \frac{5}{6}\, \text{cm}^2$.
આમ,મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ જરૂરી ક્ષેત્રફળ $45 \frac{5}{6}\, \text{cm}^2$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 200^{\circ}$ છે.
વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $770 = \frac{200}{360} \times \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$770 = \frac{5}{9} \times \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$r^{2} = \frac{770 \times 9 \times 7}{5 \times 22} = \frac{770 \times 63}{110} = 7 \times 63 = 441$.
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
હવે,ચાપની લંબાઈ $l$ નું સૂત્ર: $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
$l = \frac{200}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$.
$l = \frac{5}{9} \times 2 \times 22 \times 3 = \frac{5 \times 2 \times 22}{3} = \frac{220}{3} \, cm$.
$l = 73 \frac{1}{3} \, cm$.

(N/A) ધારો કે બે વૃતાંશની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 7 \, cm$ અને $r_2 = 21 \, cm$ છે,અને તેમના કેન્દ્રિય ખૂણા $\theta_1 = 120^{\circ}$ અને $\theta_2 = 40^{\circ}$ છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ વૃતાંશ માટે:
$A_1 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 = \frac{22 \times 7}{3} = \frac{154}{3} \approx 51.33 \, cm^2$.
બીજા વૃતાંશ માટે:
$A_2 = \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 441 = \frac{22 \times 63}{9} = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$.
ચાપની લંબાઈ $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ વૃતાંશ માટે:
$l_1 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{1}{3} \times 44 = \frac{44}{3} \approx 14.67 \, cm$.
બીજા વૃતાંશ માટે:
$l_2 = \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = \frac{1}{9} \times 2 \times 22 \times 3 = \frac{132}{9} = \frac{44}{3} \approx 14.67 \, cm$.
અવલોકન: બંને વૃતાંશના ચાપની લંબાઈ સમાન છે,પરંતુ તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન નથી.

(N/A) બાહ્ય ચોરસની બાજુનું માપ $14 \, cm$ છે.
ચોરસની દરેક બાજુથી અંદરની આકૃતિનું અંતર $3 \, cm$ છે.
અંદરની આકૃતિ એક મધ્યવર્તી ચોરસ અને તેની બાજુઓ પર જોડાયેલા ચાર અર્ધવર્તુળોની બનેલી છે.
અંદરના ચોરસની બાજુની લંબાઈ $14 - (3 + 3) = 8 \, cm$ છે.
આ $8 \, cm$ ના ચોરસની બાજુઓ પર ચાર અર્ધવર્તુળો જોડાયેલા હોવાથી,દરેક અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $8 / 2 = 4 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \, cm$ થાય.
બાહ્ય ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 14^2 = 196 \, cm^2$.
અંદરના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 8^2 = 64 \, cm^2$.
ચાર અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = 2 \pi r^2 = 2 \times \pi \times (2)^2 = 8 \pi \, cm^2$.
અછાયાંકિત અંદરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{અંદરના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ચાર અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ} = 64 + 8 \pi \, cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{બાહ્ય ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} - \text{અછાયાંકિત અંદરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ} = 196 - (64 + 8 \pi) = 132 - 8 \pi \, cm^2$.

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર પૈડા દ્વારા કરવામાં આવતા પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે,વર્તુળાકાર પૈડાનું ક્ષેત્રફળ $= 1.54 \, m^2$.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર મુજબ,$\pi r^2 = 1.54$.
$\frac{22}{7} \times r^2 = 1.54 \Rightarrow r^2 = \frac{1.54 \times 7}{22} = 0.07 \times 7 = 0.49$.
આમ,$r = \sqrt{0.49} = 0.7 \, m$.
એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર એ પૈડાના પરિઘ જેટલું હોય છે.
પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 2 \times 22 \times 0.1 = 4.4 \, m$.
કુલ કાપેલું અંતર $176 \, m$ છે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{પરિઘ}} = \frac{176}{4.4} = \frac{1760}{44} = 40$.
તેથી,પૈડું $40$ પરિભ્રમણ કરશે.

(D) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$OA = OB = r \, cm$.
આપેલ છે કે જીવાની લંબાઈ $AB = 5 \, cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = OA^2 + OB^2 \implies 5^2 = r^2 + r^2 \implies 2r^2 = 25 \implies r^2 = 12.5$.
$\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times r^2 \times 1 = \frac{12.5}{2} = 6.25 \, cm^2$.
વૃત્તાંશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 12.5 = \frac{12.5 \pi}{4} = 3.125 \pi \, cm^2$.
લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ - $\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ = $(3.125 \pi - 6.25) \, cm^2$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2 = 12.5 \pi \, cm^2$.
ગુરુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ - લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = $12.5 \pi - (3.125 \pi - 6.25) = (9.375 \pi + 6.25) \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળનો તફાવત = $(9.375 \pi + 6.25) - (3.125 \pi - 6.25) = 6.25 \pi + 12.5 = (6.25 \pi + 12.5) \, cm^2$ અથવા $(\frac{25 \pi}{4} + \frac{25}{2}) \, cm^2$.

(C) આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 21 \, cm$ અને લઘુ વૃત્તાંશનો કેન્દ્રિય ખૂણો $(\theta) = 120^{\circ}$ છે.
પ્રથમ,વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધો:
ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
ત્યારબાદ,લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો:
લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 1386 = \frac{1}{3} \times 1386 = 462 \, cm^2$.
હવે,ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો:
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ} - \text{લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ} = 1386 - 462 = 924 \, cm^2$.
અંતે,ગુરુ વૃત્તાંશ અને લઘુ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો તફાવત શોધો:
તફાવત $= 924 - 462 = 462 \, cm^2$.

(N/A) અહીં,વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $r = 77\, m$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 77 = 2 \times 22 \times 11 = 484\, m$ મળે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \frac{22}{7} \times 77 \times 77 = 22 \times 11 \times 77 = 18634\, m^2$ મળે.
આમ,વર્તુળાકાર મેદાનનો પરિઘ $484\, m$ અને ક્ષેત્રફળ $18634\, m^2$ છે.

(A) વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = \pi d$ છે,જ્યાં $C$ એ પરિઘ છે અને $d$ એ વ્યાસ છે.
અહીં $C = 251.2 \, cm$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $251.2 = 3.14 \times d$.
વ્યાસ $d$ શોધવા માટે,પરિઘને $\pi$ વડે ભાગતા: $d = \frac{251.2}{3.14}$.
$d = 80 \, cm$.
આમ,વર્તુળનો વ્યાસ $80 \, cm$ છે.

(B) વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
આપેલ છે કે,$A = 5544 \, cm^{2}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ ની કિંમત મૂકતા:
$5544 = \frac{22}{7} \times r^{2}$
$r^{2} = 5544 \times \frac{7}{22}$
$r^{2} = 252 \times 7$
$r^{2} = 1764$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \sqrt{1764} = 42$
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $42 \, cm$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $r_{1}$ છે અને રસ્તા સાથેના વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $r_{2}$ છે.
આપેલ છે કે,મેદાનનો પરિઘ $= 2 \pi r_{1} = 220\, m$.
આપેલ છે કે,રસ્તા સાથેના મેદાનનો પરિઘ $= 2 \pi r_{2} = 264\, m$.
રસ્તાની પહોળાઈ $w = r_{2} - r_{1}$ દ્વારા મળે છે.
બંને પરિઘની બાદબાકી કરતા:
$2 \pi r_{2} - 2 \pi r_{1} = 264 - 220$
$2 \pi (r_{2} - r_{1}) = 44$
$2 \times \frac{22}{7} \times w = 44$
$w = \frac{44 \times 7}{2 \times 22}$
$w = \frac{44 \times 7}{44}$
$w = 7\, m$.
આમ,રસ્તાની પહોળાઈ $7\, m$ છે.

(D) $1$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર એ પૈડાના પરિઘ જેટલું હોય છે.
પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 132 \, cm$.
$1$ મિનિટમાં કાપેલું અંતર $= 800 \times 132 \, cm = 105600 \, cm$.
$1$ કલાક ($60$ મિનિટ) માં કાપેલું અંતર $= 105600 \times 60 \, cm = 6336000 \, cm$.
સેન્ટિમીટરને કિલોમીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ભાગીશું (મીટર મેળવવા માટે) અને પછી $1000$ વડે ભાગીશું (કિલોમીટર મેળવવા માટે).
ઝડપ $= \frac{6336000}{100 \times 1000} \, km/h = 63.36 \, km/h$.
આમ,કારની ઝડપ $63.36 \, km/h$ છે.

(A) બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_{1} = 23 \, cm$ છે અને અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_{2} = 16 \, cm$ છે.
વર્તુળાકાર વલયનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \pi r_{1}^{2} - \pi r_{2}^{2}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \pi (r_{1}^{2} - r_{2}^{2})$
નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \pi (r_{1} + r_{2})(r_{1} - r_{2})$
$\pi = \frac{22}{7}$ કિંમત મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times (23 + 16) \times (23 - 16)$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 39 \times 7$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 39 = 858 \, cm^{2}$

(A) આપેલ વ્યાસ $d = 42 \, cm$ છે.
ત્રિજ્યા $r = d / 2 = 42 / 2 = 21 \, cm$.
વર્તુળનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times (22 / 7) \times 21 = 2 \times 22 \times 3 = 132 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = (22 / 7) \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
આમ,વર્તુળનો પરિઘ $132 \, cm$ અને ક્ષેત્રફળ $1386 \, cm^2$ છે.

(A) આપેલ છે: વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 12 \, cm$ અને $\pi = 3.14$.
વર્તુળનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times 3.14 \times 12 = 75.36 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = 3.14 \times (12)^2 = 3.14 \times 144 = 452.16 \, cm^2$.
આમ,વર્તુળનો પરિઘ $75.36 \, cm$ અને ક્ષેત્રફળ $452.16 \, cm^2$ છે.

(D) વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે,જ્યાં $C$ એ પરિઘ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $C = 176 \, cm$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$176 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$176 = \frac{44}{7} \times r$
$r = \frac{176 \times 7}{44}$
$r = 4 \times 7$
$r = 28 \, cm$
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $28 \, cm$ છે.

(A) વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $A = 346.5 \, cm^2$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$346.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{346.5 \times 7}{22}$
$r^2 = \frac{2425.5}{22}$
$r^2 = 110.25$
$r = \sqrt{110.25}$
$r = 10.5 \, cm$.

(B) આપેલ છે કે,વર્તુળાકાર મેદાનનો પરિઘ $C = 352\, m$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પરિઘનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 352$
$r = \frac{352 \times 7}{2 \times 22}$
$r = \frac{352 \times 7}{44} = 8 \times 7 = 56\, m$.
હવે,વર્તુળાકાર મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$A = \frac{22}{7} \times 56 \times 56$
$A = 22 \times 8 \times 56$
$A = 176 \times 56 = 9856\, m^2$.

(C) આપેલ છે કે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = 75.46\, cm^{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
$\pi = 3.14$ લેતા,$75.46 = 3.14 \times r^{2}$ મળે.
$r^{2} = \frac{75.46}{3.14} = 24.0318... \approx 24.01$.
વર્ગમૂળ લેતા,$r = \sqrt{24.01} = 4.9\, cm$ મળે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$C = 2 \times 3.14 \times 4.9 = 6.28 \times 4.9 = 30.772\, cm$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પરિઘ $30.8\, cm$ થાય છે.

(D) ધારો કે વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $r = 35 \, m$ છે.
રસ્તાની પહોળાઈ $w = 3.5 \, m$ છે.
બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા (મેદાન + રસ્તો) $R = r + w = 35 + 3.5 = 38.5 \, m$ થશે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળાકાર મેદાનના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R - r)(R + r)$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times (38.5 - 35) \times (38.5 + 35)$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 73.5$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 0.5 \times 73.5 = 11 \times 73.5 = 808.5 \, m^2$.

(A) બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(R)$ $= 56 \, m$ છે。
રસ્તાની પહોળાઈ $= 7 \, m$ છે。
અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ $= R - \text{પહોળાઈ} = 56 \, m - 7 \, m = 49 \, m$ થાય。
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે。
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R - r)(R + r)$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times (56 - 49) \times (56 + 49)$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 7 \times 105$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 105 = 2310 \, m^2$.

(N/A) $1$. વાડ કરવાનો ખર્ચ: વર્તુળાકાર મેદાનની સીમા એટલે તેનો પરિઘ,જે $C = 2 \pi r$ દ્વારા મળે છે.
$r = 63 \, m$ અને $\pi = 22/7$ લેતા,$C = 2 \times (22/7) \times 63 = 2 \times 22 \times 9 = 396 \, m$.
વાડ કરવાનો ખર્ચ $396 \, m \times ₹ 50/m = ₹ 19,800$ થાય.
$2$. સમતલ કરવાનો ખર્ચ: વર્તુળાકાર મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$A = (22/7) \times 63 \times 63 = 22 \times 9 \times 63 = 12,474 \, m^2$.
સમતલ કરવાનો ખર્ચ $12,474 \, m^2 \times ₹ 40/m^2 = ₹ 4,98,960$ થાય.

(C) $1$. વર્તુળાકાર મેદાનનો પરિઘ: $\text{પરિઘ} = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{મીટર દીઠ દર}} = \frac{26,400}{60} = 440 \ m$.
$2$. ધારો કે મેદાનની ત્રિજ્યા $r$ છે। પરિઘનું સૂત્ર $2\pi r = 440$ છે.
$3$. $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 440$, તેથી $r = \frac{440 \times 7}{44} = 70 \ m$.
$4$. મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 70 \times 70 = 22 \times 10 \times 70 = 15,400 \ m^2$.
$5$. $₹ 50/m^2$ ના દરે મેદાનને સમતલ કરવાનો ખર્ચ $15,400 \times 50 = ₹ 7,70,000$ થાય.

આપેલ છે: વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$ અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$.
લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times \frac{60}{360}$
$= \frac{22}{7} \times 36 \times \frac{1}{6}$
$= \frac{22 \times 6}{7} = \frac{132}{7} \, cm^2 \approx 18.86 \, cm^2$.
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ} - \text{લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ}$
$= \pi r^2 - \frac{132}{7}$
$= \frac{22}{7} \times 6 \times 6 - \frac{132}{7}$
$= \frac{792}{7} - \frac{132}{7} = \frac{660}{7} \, cm^2 \approx 94.29 \, cm^2$.
આમ,લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{132}{7} \, cm^2$ અને ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{660}{7} \, cm^2$ છે.

(A) લઘુવૃત્તાંશના ખૂણાનું માપ $\theta = 90^{\circ}$ છે (કારણ કે $OA \perp OB$).
લઘુવૃત્તાંશની પરિમિતિ = લઘુચાપની લંબાઈ $+ 2 \times$ (ત્રિજ્યા).
$75 = \frac{\pi r \theta}{180} + 2r$
$75 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 90}{180} + 2r$
$75 = r \left( \frac{11}{7} + 2 \right)$
$75 = \frac{25}{7} r$
$r = \frac{75 \times 7}{25} = 21 \, cm$.
લઘુવૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2 \theta}{360} = \frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 90}{360} = 346.5 \, cm^2$.
$\Delta OAB$ માં,$m\angle O = 90^{\circ}$,તેથી $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 21 \times 21 = 220.5 \, cm^2$.
લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = લઘુવૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $- \Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 346.5 - 220.5 = 126 \, cm^2$.

(A) $60$ મિનિટ ($1$ કલાક) દરમિયાન,મિનિટ કાંટો એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,એટલે કે તે $360^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
સવારે $10.10$ થી $10.30$ સુધીનો સમયગાળો $20$ મિનિટનો છે.
તેથી,$20$ મિનિટમાં મિનિટ કાંટા દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta$:
$\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 20 = 120^{\circ}$.
સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ એ મિનિટ કાંટાની લંબાઈ છે,જે $14 \, cm$ છે.
આવરી લેવાયેલ ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 196 \times \frac{1}{3}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 28 \times \frac{1}{3} = \frac{616}{3} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 205 \frac{1}{3} \, cm^2$.

(C) વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $R = 35 \, m$ છે. તેની અંદરની બાજુએ $w = 3.5 \, m$ પહોળો રસ્તો છે. તેથી અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = R - w = 35 - 3.5 = 31.5 \, m$ થશે.
સમારકામ કરવાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળના અનુરૂપ વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે,જ્યાં કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 72^{\circ}$ છે.
સમારકામ કરવાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{72}{360} \times \frac{22}{7} \times (35^2 - 31.5^2)$
$= \frac{1}{5} \times \frac{22}{7} \times (35 - 31.5)(35 + 31.5)$
$= \frac{22}{35} \times 3.5 \times 66.5$
$= \frac{22}{35} \times \frac{7}{2} \times 66.5$
$= 11 \times 0.2 \times 66.5 = 2.2 \times 66.5 = 146.3 \, m^{2}$.
સમારકામનો કુલ ખર્ચ $= 146.3 \, m^{2} \times ₹ 80 / m^{2} = ₹ 11,704$.

(D) ધારો કે ગાયને ચોરસ ખેતર $ABCD$ ના શિરોબિંદુ $A$ પર $3 \, m$ લાંબા દોરડા વડે બાંધવામાં આવી છે.
ચોરસના દરેક ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોવાથી,ગાય જે ભાગમાં ચરી શકે તે ભાગ એ $r = 3 \, m$ ત્રિજ્યા અને $\theta = 90^{\circ}$ ના ખૂણાવાળા વર્તુળનો વૃતાંશ છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{3.14 \times (3)^2 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}$
$= \frac{3.14 \times 9 \times 1}{4}$
$= \frac{28.26}{4}$
$= 7.065 \, m^2$
આમ,ખેતરના જે ભાગમાં ગાય ચરી શકે છે તેનું ક્ષેત્રફળ $7.065 \, m^2$ છે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 6.3 \ cm$,કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 150^{\circ}$.
ચાપની લંબાઈ $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{150}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 6.3 = \frac{5}{12} \times 2 \times 22 \times 0.9 = 16.5 \ cm$.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{150}{360} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 = \frac{5}{12} \times 22 \times 0.9 \times 6.3 = 51.975 \ cm^2$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 42 \, cm$ અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$.
ચાપની લંબાઈ $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = \frac{1}{3} \times 2 \times 22 \times 6 = 88 \, cm$.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 42 \times 42 = \frac{1}{3} \times 22 \times 6 \times 42 = 22 \times 2 \times 42 = 1848 \, cm^2$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 28 \ cm$,ચાપની લંબાઈ $l = 22 \ cm$.
$1$. કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે:
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ છે.
$22 = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 28$.
$22 = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 176$.
$\theta = \frac{22 \times 360^{\circ}}{176} = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$.
$2$. વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે:
વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ છે.
$A = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28$.
$A = \frac{1}{8} \times 22 \times 4 \times 28 = 11 \times 28 = 308 \ cm^2$.

(D) વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ છે.
અહીં બે ત્રિજ્યાઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થશે.
આપેલ છે કે,$\text{Area} = 38.5 \, cm^2$ અને $\pi = \frac{22}{7}$.
કિંમતો મૂકતા: $38.5 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times r^2$.
$38.5 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times r^2$.
$38.5 = \frac{11}{14} \times r^2$.
$r^2 = \frac{38.5 \times 14}{11}$.
$r^2 = 3.5 \times 14 = 49$.
$r = \sqrt{49} = 7 \, cm$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 14 \,cm$,ખૂણો $\theta = 90^\circ$.
$1$. ચાપની લંબાઈ = $\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = \frac{1}{4} \times 88 = 22 \,cm$.
$2$. લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = \frac{1}{4} \times 22 \times 28 = 154 \,cm^2$.
$3$. લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ - ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $154 - \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin(90^\circ) = 154 - \frac{1}{2} \times 14 \times 14 \times 1 = 154 - 98 = 56 \,cm^2$.

(N/A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 21 \, cm$,ચાપની લંબાઈ $l = 33 \, cm$.
$1$. કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો ખૂણો $(\theta)$: ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ છે. કિંમતો મૂકતા: $33 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$. $\theta$ માટે ઉકેલતા: $33 = \theta \times \frac{132}{360} \implies \theta = 90^\circ$.
$2$. લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ: $A_{sector} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = \frac{1}{4} \times 22 \times 3 \times 21 = 346.5 \, cm^2$.
$3$. લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ: $A_{segment} = A_{sector} - A_{triangle} = 346.5 - \frac{1}{2} r^2 \sin(90^\circ) = 346.5 - \frac{1}{2} \times 21 \times 21 = 346.5 - 220.5 = 126 \, cm^2$.

(A) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 56 \, cm$. બે ત્રિજ્યાઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 56 \times 56 = \frac{1}{4} \times 22 \times 8 \times 56 = 2464 \, cm^2$.
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ - લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2 - 2464 = \frac{22}{7} \times 56 \times 56 - 2464 = 9856 - 2464 = 7392 \, cm^2$.
લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ - ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $2464 - \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin(90^\circ) = 2464 - \frac{1}{2} \times 56 \times 56 \times 1 = 2464 - 1568 = 896 \, cm^2$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 42 \ cm$,કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$.
$1$. લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 42 \times 42 = \frac{1}{6} \times 22 \times 6 \times 42 = 22 \times 42 = 924 \ cm^2$.
$2$. લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ - $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} r^2 \sin(\theta) = \frac{1}{2} \times 42 \times 42 \times \sin(60^{\circ}) = 882 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 441 \times 1.73 = 762.93 \ cm^2$.
લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = $924 - 762.93 = 161.07 \ cm^2$.