Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 8.4 \, cm$,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$.
લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 = \frac{1}{6} \times 22 \times 1.2 \times 8.4 = 36.96 \, cm^2$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 = 221.76 \, cm^2$.
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ - લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $221.76 - 36.96 = 184.8 \, cm^2$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $d = a\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે $d = 120\, m$,તેથી $a\sqrt{2} = 120$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{120}{\sqrt{2}} = 60\sqrt{2}\, m$.
ચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને $90^\circ$ પર દુભાગે છે. આમ,કેન્દ્ર $O$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r = \frac{120}{2} = 60\, m$ છે.
દરેક ફૂલનો ક્યારો એ $r = 60\, m$ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^\circ$ ધરાવતા વર્તુળનો લઘુવૃત્તખંડ છે.
એક લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin\theta$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{90}{360} \times 3.14 \times (60)^2 - \frac{1}{2} \times (60)^2 \times \sin(90^\circ)$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 3600 - \frac{1}{2} \times 3600 \times 1$.
$\text{Area} = 3.14 \times 900 - 1800 = 2826 - 1800 = 1026\, m^2$.
આવા બે ફૂલના ક્યારા હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times 1026 = 2052\, m^2$ થાય.

(C) સેક્ટરની પરિમિતિ $P = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{5400}{30} = 180 \, m$ દ્વારા મળે છે.
સેક્ટરની પરિમિતિ $P = 2r + l$ છે,જ્યાં $r = 50 \, m$ અને $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે.
$180 = 2(50) + l \implies 180 = 100 + l \implies l = 80 \, m$.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times l \times r = \frac{1}{2} \times 80 \times 50 = 2000 \, m^2$ છે.
ખેડવાનો ખર્ચ = $\text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 2000 \times 15 = ₹ 30,000$ થાય.

(D) વર્તુળાકાર શીટનું ક્ષેત્રફળ $A_{circle} = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386\, cm^2$ છે.
$a = 21\, cm$ બાજુ ધરાવતો નિયમિત ષટ્કોણ $6$ સમબાજુ ત્રિકોણનો બનેલો છે.
નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A_{hexagon} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (21)^2$ થાય.
$\sqrt{3} = 1.73$ અને $a = 21$ મુકતા:
$A_{hexagon} = \frac{3 \times 1.73}{2} \times 441 = 1.5 \times 1.73 \times 441 = 2.595 \times 441 = 1144.395\, cm^2$.
બાકી રહેલી શીટનું ક્ષેત્રફળ $A_{remaining} = A_{circle} - A_{hexagon} = 1386 - 1144.395 = 241.605\, cm^2$ થાય.

(A) ખેતર સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી દરેક ખૂણાનું માપ $60^{\circ}$ છે.
ગાયને એક શિરોબિંદુ પર બાંધેલી હોવાથી,તે જે વિસ્તારમાં ચરી શકે છે તે $r = 5\, m$ ત્રિજ્યા અને $\theta = 60^{\circ}$ કેન્દ્રિય ખૂણાવાળા વર્તુળનો વૃતાંશ છે.
વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^2$.
$A = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 25$.
$A = \frac{78.5}{6} \approx 13.0833\, m^2$.
દશાંશના બે સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ક્ષેત્રફળ $13.08\, m^2$ મળે છે.

(B) મિનિટ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,$r = 17.5\, cm$.
મિનિટ કાંટો $60$ મિનિટમાં એક આખું વર્તુળ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે.
$15$ મિનિટમાં,મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ખૂણો $\theta = (360^{\circ} / 60) \times 15 = 90^{\circ}$ છે.
મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ એ $\theta = 90^{\circ}$ અને ત્રિજ્યા $r = 17.5\, cm$ વાળા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= (\theta / 360^{\circ}) \times \pi r^2$.
ક્ષેત્રફળ $= (90^{\circ} / 360^{\circ}) \times (22 / 7) \times 17.5 \times 17.5$.
ક્ષેત્રફળ $= (1 / 4) \times (22 / 7) \times 17.5 \times 17.5$.
ક્ષેત્રફળ $= (1 / 4) \times 22 \times 2.5 \times 17.5$.
ક્ષેત્રફળ $= 0.25 \times 22 \times 43.75 = 240.625\, cm^2$.

(C) વર્તુળાકાર મેદાનની બહારની ત્રિજ્યા $R = 56\,m$ છે.
રસ્તાની પહોળાઈ $7\,m$ છે,તેથી અંદરની ત્રિજ્યા $r = 56 - 7 = 49\,m$ થશે.
છાયાંકિત ભાગ એ એક વર્તુળાકાર વલયનો વૃતાંશ છે જેનો કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (56^2 - 49^2)$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times (56 - 49)(56 + 49)$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 105$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{6} \times 22 \times 105 = 11 \times 35 = 385\,m^2$.
સમારકામનો દર ₹ $40/m^2$ છે.
કુલ ખર્ચ $= 385 \times 40 = ₹ 15400$.

(N/A) અહીં,$PS = 12 \text{ cm}$ અને $PQ = QR = RS$ છે.
$\therefore PQ = QR = RS = \frac{12}{3} = 4 \text{ cm}$.
$\overline{PS}$,$\overline{QS}$ અને $\overline{PQ}$ વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$r_1 = \frac{PS}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$,
$r_2 = \frac{QS}{2} = \frac{4+4}{2} = 4 \text{ cm}$,અને
$r_3 = \frac{PQ}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$.
છાયાંકિત પ્રદેશની પરિમિતિ:
$= \text{ત્રણેય અર્ધવર્તુળાકાર ચાપોની લંબાઈનો સરવાળો}$
$= \pi r_1 + \pi r_2 + \pi r_3$
$= \pi(r_1 + r_2 + r_3)$
$= 3.14(6 + 4 + 2)$
$= 37.68 \text{ cm}$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
$= \text{ત્રિજ્યા } r_1 \text{ વાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિજ્યા } r_3 \text{ વાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ} - \text{ત્રિજ્યા } r_2 \text{ વાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}$
$= \frac{1}{2} \pi r_1^2 + \frac{1}{2} \pi r_3^2 - \frac{1}{2} \pi r_2^2$
$= \frac{1}{2} \pi(r_1^2 + r_3^2 - r_2^2)$
$= \frac{1}{2} \times 3.14(6^2 + 2^2 - 4^2)$
$= \frac{1}{2} \times 3.14 \times (36 + 4 - 16)$
$= \frac{1}{2} \times 3.14 \times 24$
$= 37.68 \text{ cm}^2$.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશની પરિમિતિ $37.68 \text{ cm}$ અને તેનું ક્ષેત્રફળ $37.68 \text{ cm}^2$ છે.

(A) $1$. લંબચોરસ $ABCD$ નો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$2$. $\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વિકર્ણ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
$3$. વર્તુળનો વ્યાસ $10 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ થાય.
$4$. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 3.14 \times 5^2 = 3.14 \times 25 = 78.5 \, cm^2$ છે.
$5$. લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $AB \times BC = 8 \times 6 = 48 \, cm^2$ છે.
$6$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતા મળે છે: $78.5 - 48 = 30.5 \, cm^2$.

(B) $1$. સમબાજુ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ની બાજુ $a = 70 \, cm$ છે.
$2$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{1.73}{4} \times 70^2 = 0.4325 \times 4900 = 2119.25 \, cm^2$.
$3$. $P$ અને $R$ એ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$AP = AR = \frac{70}{2} = 35 \, cm$. આ વૃતાંશ $APR$ ની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$4$. $\triangle ABC$ સમબાજુ હોવાથી,$\angle A = 60^\circ$ થાય.
$5$. વૃતાંશ $APR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = \frac{1}{6} \times 22 \times 5 \times 35 = \frac{3850}{6} \approx 641.67 \, cm^2$.
$6$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle ABC$ ના ક્ષેત્રફળમાંથી વૃતાંશ $APR$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે.
$7$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= 2119.25 - 641.67 = 1477.58 \, cm^2$.

(C) $1$. લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 20 \times 14 = 280 \, cm^2$.
$2$. $BC = 14 \, cm$ વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ (ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$): $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 77 \, cm^2$.
$3$. $A$ કેન્દ્ર અને $AD = 14 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ (ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$): $\frac{90}{360} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 154 \, cm^2$.
$4$. બાકી રહેલી શીટનું ક્ષેત્રફળ = લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ - (અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ + વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ) = $280 - (77 + 154) = 280 - 231 = 49 \, cm^2$.

(D) છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ચતુર્થાંશ $OAB$ ના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણ $ODA$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 21 \text{ cm}$.
ચતુર્થાંશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = \frac{1}{4} \times 22 \times 3 \times 21 = \frac{1386}{4} = 346.5 \text{ cm}^2$.
ત્રિકોણ $ODA$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OD \times OA = \frac{1}{2} \times 10 \times 21 = 105 \text{ cm}^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = ચતુર્થાંશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ - ત્રિકોણ $ODA$ નું ક્ષેત્રફળ = $346.5 - 105 = 241.5 \text{ cm}^2$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો ગણતરી કરેલા પરિણામ સાથે મેળ ખાતા નથી. આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ,સાચું ક્ષેત્રફળ $241.5 \text{ cm}^2$ છે.

(A) ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $s = 14 \, cm$ છે.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= s^2 = 14^2 = 196 \, cm^2$.
ચોરસના દરેક શિરોબિંદુને $7 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું કેન્દ્ર ગણવામાં આવ્યું છે.
ચોરસની અંદર ચાર વૃત્તાંશ છે,જે દરેકનો કેન્દ્રિય ખૂણો $90^\circ$ છે (કારણ કે તે ચોરસ છે).
આ ચાર વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $= 4 \times (\frac{90}{360} \times \pi r^2) = \pi r^2$ થાય.
$r = 7 \, cm$ મૂકતા,ચાર વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = (ચોરસનું ક્ષેત્રફળ) - (ચાર વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો).
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= 196 - 154 = 42 \, cm^2$.

(B) છાયાંકિત પ્રદેશ એ સમાન કેન્દ્રિય ખૂણા $\theta = 90^\circ$ ધરાવતા બે વૃત્તાંશ વચ્ચેનો વિસ્તાર છે.
ધારો કે $R$ એ બહારના વૃત્તાંશની ત્રિજ્યા $(OB = 21 \, \text{m})$ છે અને $r$ એ અંદરના વૃત્તાંશની ત્રિજ્યા $(OD = 14 \, \text{m})$ છે.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = (બહારના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ) - (અંદરના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ)
$= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times R^2 - \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times r^2$
$= \frac{1}{4} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (21^2 - 14^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (441 - 196)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 245$
$= \frac{1}{4} \times 22 \times 35$
$= \frac{770}{4} = 192.5 \, \text{m}^2$.

(C) આપેલ છે: $AB = BC = 14 \text{ cm}$ અને $\angle B = 90^{\circ}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 14^2 + 14^2 = 196 + 196 = 392$.
$AC = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \text{ cm}$.
વ્યાસ $AC$ વાળા અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \text{ cm}$ છે.
વ્યાસ $AC$ વાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 98 = 11 \times 14 = 154 \text{ cm}^2$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98 \text{ cm}^2$.
વર્તુળના વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ (જીવા $AC$ અને ચાપ $APC$ દ્વારા ઘેરાયેલ) = વૃત્તાંશ $BAPC$ નું ક્ષેત્રફળ - $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ.
વૃત્તાંશ $BAPC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{90}{360} \times \pi \times (14)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196 = 154 \text{ cm}^2$.
વૃત્તખંડ $APC$ નું ક્ષેત્રફળ = $154 - 98 = 56 \text{ cm}^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી વૃત્તખંડ $APC$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = $154 - 56 = 98 \text{ cm}^2$.

(D) $1$. ચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $a = 60\, m$ છે.
$2$. ચોરસના વિકર્ણો $O$ બિંદુએ છેદે છે. $O$ થી કોઈપણ બાજુનું અંતર એ બાજુની લંબાઈનું અડધું છે,એટલે કે $h = 60/2 = 30\, m$.
$3$. વૃત્તખંડ બનાવતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ $O$ થી શિરોબિંદુ (દા.ત.,$OA$) સુધીનું અંતર છે. $60\, m$ બાજુવાળા ચોરસમાં,વિકર્ણ $60\sqrt{2}\, m$ છે. તેથી,$r = OA = (60\sqrt{2})/2 = 30\sqrt{2}\, m$.
$4$. કેન્દ્ર $O$ આગળ બાજુ $AD$ દ્વારા બનતો કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે (કારણ કે ચોરસના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોય છે).
$5$. એક વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 - \triangle OAD$ નું ક્ષેત્રફળ.
$6$. $\triangle OAD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 60 \times 30 = 900\, m^2$.
$7$. વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $= (\frac{90}{360} \times 3.14 \times (30\sqrt{2})^2) - 900 = (0.25 \times 3.14 \times 1800) - 900 = 1413 - 900 = 513\, m^2$.
$8$. આવા બે ફૂલના ક્યારા હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times 513 = 1026\, m^2$ થાય.

(A) ચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $a = 42 \ cm$ છે.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= a^2 = 42^2 = 1764 \ cm^2$.
ચોરસની બાજુઓ પર ચાર અર્ધવર્તુળો દોરવામાં આવ્યા છે,જેનો વ્યાસ ચોરસની બાજુ જેટલો છે,$d = 42 \ cm$. તેથી,ત્રિજ્યા $r = 21 \ cm$.
ચાર અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $4 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = 2 \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772 \ cm^2$.
છાયાંકિત વિસ્તાર એ ચાર અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળમાંથી ચોરસનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતાં મળે છે,કારણ કે ઓવરલેપિંગ ભાગો બે વાર ગણાય છે.
છાયાંકિત વિસ્તાર $= 2772 - 1764 = 1008 \ cm^2$.

(B) આપેલ છે: મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 7\, cm$.
નાના વર્તુળનો વ્યાસ $OD = R = 7\, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 3.5\, cm$ થાય.
નાના છાયાંકિત વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 38.5\, cm^2$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times\text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49\, cm^2$.
અર્ધવર્તુળ $ACB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 77\, cm^2$.
છાયાંકિત વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ (નાના વર્તુળ સિવાય) = અર્ધવર્તુળ $ACB$ નું ક્ષેત્રફળ - $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $77 - 49 = 28\, cm^2$.
કુલ છાયાંકિત ક્ષેત્રફળ = નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ + છાયાંકિત વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = $38.5 + 28 = 66.5\, cm^2$.

(C) છાયાંકિત પ્રદેશ એ વર્તુળાકાર વલયનો એક વૃત્તાંશ છે. $r$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ કેન્દ્રિય ખૂણાવાળા વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,છાયાંકિત પ્રદેશ એ મોટા વર્તુળના વૃત્તાંશ (ત્રિજ્યા $R = 28 \, cm$) અને નાના વર્તુળના વૃત્તાંશ (ત્રિજ્યા $r = 21 \, cm$) ના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે,જ્યાં બંનેનો કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 40^\circ$ છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2 - \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi (R^2 - r^2)$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{40}{360} \times \frac{22}{7} \times (28^2 - 21^2)$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times (784 - 441)$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 343$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{9} \times 22 \times 49$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1078}{9} \approx 119.777... \, cm^2$
દશાંશના બે સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $119.78 \, cm^2$ મળે છે.

(D) ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $s = 35 \, cm$ છે.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= s^2 = 35^2 = 1225 \, cm^2$.
અહીં બાજુઓ $\overline{AB}$ અને $\overline{CD}$ પર બે અર્ધવર્તુળો દોરેલા છે જેનો વ્યાસ $d = 35 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{35}{2} = 17.5 \, cm$ થાય.
બે અર્ધવર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 17.5 \times 17.5 = 22 \times 2.5 \times 17.5 = 962.5 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = (ચોરસનું ક્ષેત્રફળ) - (બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ) = $1225 - 962.5 = 262.5 \, cm^2$.

(A) દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 21\, cm$ છે.
દરેક વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 21 = 42\, cm$ છે.
ચોરસની દરેક બાજુ પર $3$ વર્તુળો હોવાથી,ચોરસની બાજુની લંબાઈ $S = 3 \times d = 3 \times 42 = 126\, cm$ થાય.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $S^2 = 126^2 = 15876\, cm^2$.
એક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386\, cm^2$.
$9$ વર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $9 \times 1386 = 12474\, cm^2$.
ડિઝાઈન વગરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ = ચોરસનું ક્ષેત્રફળ - $9$ વર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ = $15876 - 12474 = 3402\, cm^2$.

(B) આ આકૃતિમાં એક મોટું અર્ધવર્તુળ જેનો વ્યાસ $AB$ છે અને બે નાના અર્ધવર્તુળો જેમના વ્યાસ $OA$ અને $OB$ છે,તેનો સમાવેશ થાય છે.
આપેલ છે કે $OA = 70\, cm$ અને $OB = 70\, cm$,તેથી મોટા અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $AB = OA + OB = 70 + 70 = 140\, cm$ થાય.
મોટા અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 140 / 2 = 70\, cm$ છે.
દરેક નાના અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 70 / 2 = 35\, cm$ છે.
મોટા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 70 \times 70 = 11 \times 10 \times 70 = 7700\, cm^2$ થાય.
બે નાના અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 22 \times 5 \times 35 = 3850\, cm^2$ થાય.
આકૃતિનું કુલ ક્ષેત્રફળ એ મોટા અર્ધવર્તુળ અને બે નાના અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે: $7700 + 3850 = 11550\, cm^2$.

(C) છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
$\overline{AC}$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle ABC = 90^{\circ}$ થાય.
ત્રિજ્યા $r = \frac{AC}{2} = \frac{35}{2} = 17.5 \, cm$.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 17.5 \times 17.5 = 481.25 \, cm^2$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 21 \times 28 = 294 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= 481.25 - 294 = 187.25 \, cm^2$.

(D) બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 90\, m$ છે.
રસ્તાની પહોળાઈ $10\, m$ છે,તેથી અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 90 - 10 = 80\, m$ થશે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.
ક્ષેત્રફળ $= 3.14 \times (90^2 - 80^2)$.
ક્ષેત્રફળ $= 3.14 \times (8100 - 6400)$.
ક્ષેત્રફળ $= 3.14 \times 1700$.
ક્ષેત્રફળ $= 5338\, m^2$.

(N/A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 11.2 \, cm$,કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 11.2 \times 11.2 = 394.24 \, cm^2$.
લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{90}{360} \times 394.24 = \frac{1}{4} \times 394.24 = 98.56 \, cm^2$.
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $=$ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $-$ લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= 394.24 - 98.56 = 295.68 \, cm^2$.
લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $=$ લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $-$ $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 98.56 - (\frac{1}{2} \times r^2 \times \sin 90^{\circ}) = 98.56 - (0.5 \times 11.2 \times 11.2 \times 1) = 98.56 - 62.72 = 35.84 \, cm^2$.

(B) મિનિટ કાંટાની લંબાઈ $(r)$ $10.5 \, cm$ છે。
$2.25 \, PM$ અને $2.40 \, PM$ વચ્ચેનો સમયગાળો $15 \, \text{મિનિટ}$ છે。
મિનિટ કાંટો $60 \, \text{મિનિટ}$ માં એક પૂર્ણ વર્તુળ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે。
તેથી,$15 \, \text{મિનિટ}$ માં કાપેલ ખૂણો $\theta = (15/60) \times 360^{\circ} = 90^{\circ}$ થશે。
મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ એ $r = 10.5 \, cm$ અને ખૂણા $\theta = 90^{\circ}$ વાળા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે。
ક્ષેત્રફળ $= (\theta / 360^{\circ}) \times \pi r^2 = (90^{\circ} / 360^{\circ}) \times (22/7) \times 10.5 \times 10.5$.
ક્ષેત્રફળ $= (1/4) \times (22/7) \times 10.5 \times 10.5 = (1/4) \times 22 \times 1.5 \times 10.5$.
ક્ષેત્રફળ $= 0.25 \times 22 \times 15.75 = 5.5 \times 15.75 = 86.625 \, cm^2$.

(C) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર આગળ $\theta$ ખૂણો આંતરતા લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ગુરુ વૃત્તાંશ એ વર્તુળનો બાકીનો ભાગ છે.
તેથી,ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = (વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ) - (લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ).
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^{2} - \frac{\pi r^{2} \theta}{360}$.

(D) વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ છે,જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો (અંશમાં) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચાપની લંબાઈ $l$ નું સૂત્ર $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r$ છે.
આના પરથી,આપણે $\frac{\theta}{360^\circ}$ ને $\frac{l}{2 \pi r}$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા: $A = \left( \frac{l}{2 \pi r} \right) \times \pi r^2$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $A = \frac{l \times \pi r^2}{2 \pi r} = \frac{1}{2} r l$.

(A) જ્યારે ત્રિજ્યા $(r)$ અને ચાપની લંબાઈ $(l)$ આપેલી હોય ત્યારે વૃતાંશના ક્ષેત્રફળ $(A)$ માટેનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r)$ = $20\, cm$
ચાપની લંબાઈ $(l)$ = $10\, cm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} \times 10\, cm \times 20\, cm$
$A = 5\, cm \times 20\, cm$
$A = 100\, cm^2$.
તેથી,વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $100\, cm^2$ છે.

(B) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે. આપેલ છે કે $r_1 : r_2 = 4 : 5$ છે.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,તેમના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$ મળે.
આમ,તેમના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $16 : 25$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ કેન્દ્રિય ખૂણાવાળા વર્તુળના વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ છે.
ધારો કે બે વૃતાંશના ખૂણા $\theta_1 = 15^{\circ}$ અને $\theta_2 = 90^{\circ}$ છે.
બંને વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{\theta_1}{360^{\circ}} \times \pi r^2}{\frac{\theta_2}{360^{\circ}} \times \pi r^2} = \frac{\theta_1}{\theta_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{15^{\circ}}{90^{\circ}} = \frac{1}{6}$.
આમ,વૃતાંશોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $1: 6$ છે.

(D) ધારો કે મૂળ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
મૂળ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2$ છે.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $R = 2r$ થાય છે.
નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi R^2 = \pi (2r)^2 = 4 \pi r^2$ થાય.
બંને ક્ષેત્રફળોની સરખામણી કરતા,$A_2 = 4 A_1$ મળે છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ મૂળ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ કરતાં $4$ ગણું થાય છે.

(A) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{25}{36}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$ મળે.
વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
તેમના પરિઘનો ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2} = \frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{r_1}{r_2}$ થાય.
તેથી,તેમના પરિઘનો ગુણોત્તર $5: 6$ છે.

(B) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 8.4 \, cm$ છે.
બે ત્રિજ્યાઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,લઘુ વૃત્તાંશનો કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થાય.
વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (8.4)^2$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times 22 \times 1.2 \times 8.4$.
$\text{Area} = 5.5 \times 1.2 \times 8.4 = 55.44 \, cm^2$.

(C) મિનિટ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,$r = 14\, cm$.
$60$ મિનિટમાં,મિનિટ કાંટો એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે.
$1$ મિનિટમાં,કાપેલ ખૂણો $\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$ છે.
$10$ મિનિટમાં,કાપેલ ખૂણો $( heta)$ $10 \times 6^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
આવરી લેવાયેલ વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
$\text{Area} = \frac{1}{6} \times 22 \times 2 \times 14 = \frac{1}{3} \times 22 \times 28 = \frac{616}{6} \approx 102.67\, cm^2$.

(D) અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ત્રિકોણ માટે,ત્રિકોણનો પાયો એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે અને ઊંચાઈ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે,વ્યાસ $d = 30 \, cm$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
ત્રિકોણનો પાયો $b = 30 \, cm$.
ત્રિકોણની મહત્તમ ઊંચાઈ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે,$h = 15 \, cm$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 30 \times 15 = 15 \times 15 = 225 \, cm^{2}$.

(A) આપેલ છે કે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = 3850 \, cm^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$\pi r^2 = 3850$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{22}{7} \times r^2 = 3850$.
$r^2 = \frac{3850 \times 7}{22} = 175 \times 7 = 1225$.
$r = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
કેન્દ્ર આગળ $\theta$ ખૂણો આંતરતી ચાપની લંબાઈ $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\theta = 90^\circ$ (કાટખૂણો).
$L = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 35$.
$L = \frac{1}{4} \times 2 \times 22 \times 5 = \frac{220}{4} = 55 \, cm$.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 20\, cm$ અને વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = 150\, cm^2$.
વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ છે,જ્યાં $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે.
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$150 = \frac{1}{2} \times l \times 20$
$150 = l \times 10$
$l = \frac{150}{10} = 15\, cm$.
તેથી,ચાપની લંબાઈ $15\, cm$ છે.

(C) આપેલ છે કે,વર્તુળનો પરિઘ $C = 88 \, cm$ છે.
સૂત્ર $C = 2 \pi r$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$.
$r = \frac{88 \times 7}{44} = 14 \, cm$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 28 \, cm$ થાય.
જ્યારે કોઈ ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,ત્યારે ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. તો,વિકર્ણ $a \sqrt{2}$ થાય.
વિકર્ણને વ્યાસ સાથે સરખાવતા: $a \sqrt{2} = 28$.
$a = \frac{28}{\sqrt{2}} = \frac{28 \times \sqrt{2}}{2} = 14 \sqrt{2} \, cm$.

(D) જ્યારે કોઈ ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,ત્યારે ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 70 \, cm$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2 \times r = 2 \times 70 = 140 \, cm$.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $a\sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$a\sqrt{2} = 140$.
$a = \frac{140}{\sqrt{2}} = 70\sqrt{2} \, cm$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2 = (70\sqrt{2})^2 = 4900 \times 2 = 9800 \, cm^2$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે. પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2$ છે.
જો ત્રિજ્યામાં $10 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = r + 0.10r = 1.1r$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (1.1r)^2 = \pi (1.21r^2) = 1.21 \pi r^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલ વધારો $A_2 - A_1 = 1.21 \pi r^2 - \pi r^2 = 0.21 \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{0.21 \pi r^2}{\pi r^2} \times 100 \% = 21 \%$ છે.

(B) અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $d = 50 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 25 \, cm$ થાય.
અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ત્રિકોણ માટે,ત્રિકોણનો પાયો એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે $(b = 50 \, cm)$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે $(h = r = 25 \, cm)$,કારણ કે જ્યારે શિરોબિંદુ ચાપના મધ્યબિંદુ પર હોય ત્યારે મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત થાય છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{1}{2} \times 50 \times 25 = 25 \times 25 = 625 \, cm^{2}$.

(C) મિનિટ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,$r = 7\,cm$.
મિનિટ કાંટો $60$ મિનિટમાં એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ $(360^\circ)$ પૂર્ણ કરે છે.
$1$ મિનિટમાં,કાપેલ ખૂણો $\frac{360^\circ}{60} = 6^\circ$ છે.
$20$ મિનિટમાં,મિનિટ કાંટા દ્વારા કાપેલ ખૂણો $\theta = 20 \times 6^\circ = 120^\circ$ છે.
આવરી લેવાયેલ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times 22 \times 7 = \frac{154}{3}\,cm^2$.

(D) વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ છે,જ્યાં $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 30 \, cm$ અને ક્ષેત્રફળ $A = 300 \, cm^2$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$300 = \frac{1}{2} \times l \times 30$
$300 = 15 \times l$
$l = \frac{300}{15}$
$l = 20 \, cm$.
આમ,ચાપની લંબાઈ $20 \, cm$ છે.

(A) વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો છે.
ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે અને કેન્દ્ર આગળના ખૂણાઓ $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે.
આપેલ છે: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{5}{2}$.
બંને વૃત્તાંશોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{\theta_1}{360^\circ} \times \pi r_1^2}{\frac{\theta_2}{360^\circ} \times \pi r_2^2} = \left( \frac{\theta_1}{\theta_2} \right) \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{5}{2} \right) \times \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \left( \frac{5}{2} \right) \times \left( \frac{4}{9} \right) = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$.
આમ,વૃત્તાંશોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $10:9$ છે.

(B) જ્યારે ત્રિજ્યા $r$ અને ચાપની લંબાઈ $l$ આપેલી હોય ત્યારે વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 50 \, cm$
ચાપની લંબાઈ $l = 20 \, cm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} \times 20 \times 50$
$A = 10 \times 50$
$A = 500 \, cm^2$.
આમ,વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $500 \, cm^2$ છે.

(C) ચોરસ પ્લોટ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $l = 50 \, m$ છે.
ચોરસ પ્લોટ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= l^2 = 50 \times 50 = 2500 \, m^2$.
દરેક શિરોબિંદુ પર બનાવેલા ફૂલના ક્યારા માટે,ત્રિજ્યા $r = 10 \, m$ છે અને વૃતાંશનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે (કારણ કે તે ચોરસ છે).
એક ફૂલના ક્યારા (વૃતાંશ) નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 3.14 \times 10^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = 78.5 \, m^2$.
$4$ ફૂલના ક્યારાનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 78.5 = 314 \, m^2$.
ફૂલના ક્યારા સિવાયના પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $=$ ચોરસ પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $-$ ફૂલના ક્યારાનું કુલ ક્ષેત્રફળ.
$= 2500 - 314 = 2186 \, m^2$.
આમ,ફૂલના ક્યારા સિવાયના પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $2186 \, m^2$ છે.

(D) છાયાંકિત ભાગ એ ચોરસ $ABCD$ માં ચાપ $\widehat{APC}$ અને $\widehat{AQC}$ દ્વારા બનતા બે એકરૂપ વૃત્તાંશખંડોનો સરવાળો છે.
વૃત્તાંશખંડ $\widehat{APC}$ નું ક્ષેત્રફળ (વૃત્તાંશ $BAPC$ ના સંદર્ભમાં):
ક્ષેત્રફળ $= \text{વૃત્તાંશ } BAPC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} - \Delta ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
$= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (21)^2 - \frac{1}{2} \times 21 \times 21$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 441 - 220.5$
$= 346.5 - 220.5 = 126 \ cm^2$.
બંને વૃત્તાંશખંડો એકરૂપ હોવાથી,કુલ છાયાંકિત ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 126 = 252 \ cm^2$.

(A) વૃત્તાંશ $OACB$ માટે,ત્રિજ્યા $r = 35 \text{ cm}$ અને ખૂણાનું માપ $\theta = 90^{\circ}$ છે (કારણ કે $\overline{OA} \perp \overline{OB}$).
વૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{22}{7} \times \frac{35 \times 35 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}$
$= 962.5 \text{ cm}^2$
$\Delta ODA$ માં,$\angle O = 90^{\circ}$ છે.
$\Delta ODA$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OD \times OA$
$= \frac{1}{2} \times 12 \times 35$
$= 210 \text{ cm}^2$
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = વૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ - $\Delta ODA$ નું ક્ષેત્રફળ
$= 962.5 - 210$
$= 752.5 \text{ cm}^2$
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $752.5 \text{ cm}^2$ છે.

(C) વર્તુળનો પરિઘ $2\pi r$ છે,જે કેન્દ્ર આગળ $360^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
એકિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્ર આગળ $\theta$ ખૂણો આંતરતા ચાપની લંબાઈ $l$ એ ખૂણાના ગુણોત્તર અને કુલ પરિઘના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
$l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$
$l = \frac{\theta \times 2\pi r}{360^{\circ}}$
$l = \frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$
તેથી,સાચું સૂત્ર $l = \frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$ છે.