Textbook - Areas Related to Circles Questions in Gujarati

(A) વાડની લંબાઈ ($m$ માં) $= \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{5280}{24} = 220$.
તેથી,ખેતરનો પરિઘ $= 220\, m$.
ધારો કે ખેતરની ત્રિજ્યા $r$ છે. તો,$2\pi r = 220$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 220$.
$r = \frac{220 \times 7}{2 \times 22} = 35\, m$.
ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 22 \times 5 \times 35 = 3850\, m^2$.
ખેતરને $1\, m^2$ ખેડવાનો ખર્ચ $= Rs. 0.50$.
ખેતરને ખેડવાનો કુલ ખર્ચ $= 3850 \times 0.50 = Rs. 1925$.

(B) પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_1) = 19\, cm$.
બીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_2) = 9\, cm$.
ધારો કે ત્રીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પ્રથમ વર્તુળનો પરિઘ $= 2\pi r_1 = 2\pi(19) = 38\pi$.
બીજા વર્તુળનો પરિઘ $= 2\pi r_2 = 2\pi(9) = 18\pi$.
ત્રીજા વર્તુળનો પરિઘ $= 2\pi r$.
પ્રશ્ન મુજબ,ત્રીજા વર્તુળનો પરિઘ એ આપેલા બે વર્તુળોના પરિઘના સરવાળા જેટલો છે:
$2\pi r = 38\pi + 18\pi$
$2\pi r = 56\pi$
બંને બાજુ $2\pi$ વડે ભાગતા:
$r = \frac{56\pi}{2\pi} = 28\, cm$.
આમ,જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $28\, cm$ છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_1) = 8 \, cm$.
બીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_2) = 6 \, cm$.
ધારો કે ત્રીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પ્રથમ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_1^2 = \pi(8)^2 = 64\pi \, cm^2$.
બીજા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_2^2 = \pi(6)^2 = 36\pi \, cm^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,ત્રીજા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ એ બે વર્તુળોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું છે:
$\pi r^2 = \pi r_1^2 + \pi r_2^2$
$\pi r^2 = 64\pi + 36\pi$
$\pi r^2 = 100\pi$
$r^2 = 100$
$r = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
ત્રિજ્યા ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી ત્રીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $10 \, cm$ છે.

(N/A) Gold વિસ્તારની ત્રિજ્યા $(r_1)$ (એટલે કે,$1^{st}$ વર્તુળ) $= \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
આપેલ છે કે દરેક વર્તુળ અગાઉના વર્તુળ કરતા $10.5\, cm$ પહોળું છે.
તેથી,$2^{nd}$ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_2) = 10.5 + 10.5 = 21\, cm$.
$3^{rd}$ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_3) = 21 + 10.5 = 31.5\, cm$.
$4^{th}$ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_4) = 31.5 + 10.5 = 42\, cm$.
$5^{th}$ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_5) = 42 + 10.5 = 52.5\, cm$.
Gold વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_1^2 = \frac{22}{7} \times (10.5)^2 = 346.5\, cm^2$.
Red વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \frac{22}{7} \times (21^2 - 10.5^2) = 1039.5\, cm^2$.
Blue વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_3^2 - \pi r_2^2 = \frac{22}{7} \times (31.5^2 - 21^2) = 1732.5\, cm^2$.
Black વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_4^2 - \pi r_3^2 = \frac{22}{7} \times (42^2 - 31.5^2) = 2425.5\, cm^2$.
White વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_5^2 - \pi r_4^2 = \frac{22}{7} \times (52.5^2 - 42^2) = 3118.5\, cm^2$.
આમ,$Gold, Red, Blue, Black$ અને $White$ વિસ્તારોના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $346.5\, cm^2, 1039.5\, cm^2, 1732.5\, cm^2, 2425.5\, cm^2$ અને $3118.5\, cm^2$ છે.

(A) પૈડાંનો વ્યાસ $= 80\, cm$.
પૈડાંની ત્રિજ્યા $(r) = 40\, cm$.
પૈડાંનો પરિઘ $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 40 = \frac{1760}{7}\, cm$.
કારની ઝડપ $= 66\, km/h = \frac{66 \times 100000\, cm}{60\, min} = 110000\, cm/min$.
$10\, \text{મિનિટમાં}$ કાપેલું અંતર $= 110000 \times 10 = 1100000\, cm$.
ધારો કે પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ છે.
$n \times \text{પરિઘ} = \text{કુલ અંતર}$.
$n \times \frac{1760}{7} = 1100000$.
$n = \frac{1100000 \times 7}{1760} = \frac{110000 \times 7}{176} = 4375$.
આમ,દરેક પૈડું $4375$ પૂર્ણ પરિભ્રમણ કરશે.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ $units$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પરિઘ અને ક્ષેત્રફળના આંકડાકીય મૂલ્યો સમાન છે,તેથી $C = A$ લેતા:
$2\pi r = \pi r^2$
બંને બાજુ $\pi r$ વડે ભાગતા (જ્યાં $r \neq 0$):
$2 = r$
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $2$ $units$ છે.

(N/A) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 4\, cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4\, cm^{2}$
$= \frac{1}{12} \times 3.14 \times 16\, cm^{2} = \frac{50.24}{12}\, cm^{2} \approx 4.19\, cm^{2}$.
અનુરૂપ ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2} - \text{લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ}$
$= (3.14 \times 4^{2}) - 4.19\, cm^{2}$
$= (3.14 \times 16) - 4.19\, cm^{2}$
$= 50.24 - 4.19 = 46.05\, cm^{2} \approx 46.1\, cm^{2}$.

(N/A) વૃત્તાંશ $AYB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{વૃત્તાંશ } OAYB \text{ નું ક્ષેત્રફળ} - \triangle OAB \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$ ......$(1)$
હવે,વૃત્તાંશ $OAYB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \, cm^2 = 462 \, cm^2$ ......$(2)$
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $OM \perp AB$ દોરો.
નોંધો કે $OA = OB$. તેથી,$RHS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle AMO \cong \triangle BMO$.
તેથી,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $\angle AOM = \angle BOM = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
ધારો કે $OM = x \, cm$.
તેથી,$\triangle OMA$ માંથી,$\frac{OM}{OA} = \cos 60^{\circ}$.
$\frac{x}{21} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{21}{2}$.
તેથી,$OM = \frac{21}{2} \, cm$.
વળી,$\frac{AM}{OA} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$AM = \frac{21\sqrt{3}}{2} \, cm$.
તેથી,$AB = 2 \times AM = 2 \times \frac{21\sqrt{3}}{2} = 21\sqrt{3} \, cm$.
તેથી,$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times OM = \frac{1}{2} \times 21\sqrt{3} \times \frac{21}{2} = \frac{441\sqrt{3}}{4} \, cm^2$ ......$(3)$
તેથી,વૃત્તાંશ $AYB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \left( 462 - \frac{441\sqrt{3}}{4} \right) cm^2$ [$(1), (2)$ અને $(3)$ પરથી].
$= \frac{21}{4} (88 - 21\sqrt{3}) \, cm^2$.

(A) ધારો કે $OACB$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ આગળ $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતો એક વૃત્તાંશ છે.
$\theta$ ખૂણાવાળા વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
$\pi = \frac{22}{7}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (6)^{2}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 36$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22 \times 6}{7} = \frac{132}{7} \, cm^{2}$
તેથી,વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{132}{7} \, cm^{2}$ છે.

(N/A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પરિઘ $= 2 \pi r = 22 \, cm$.
$r = \frac{22}{2 \pi} = \frac{11}{\pi} = \frac{11}{22/7} = \frac{11 \times 7}{22} = 3.5 \, cm$.
વર્તુળનો ચતુર્થાંશ કેન્દ્ર આગળ $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^{2}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = \frac{1}{4} \times 22 \times 0.5 \times 3.5$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{11 \times 3.5}{4} = \frac{38.5}{4} = 9.625 \, cm^{2}$.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1$ કલાકમાં (એટલે કે $60$ મિનિટમાં),મિનિટ કાંટો $360^{\circ}$ પરિભ્રમણ કરે છે.
$5$ મિનિટમાં,મિનિટ કાંટો $= \frac{360^{\circ}}{60} \times 5 = 30^{\circ}$ પરિભ્રમણ કરશે.
તેથી,$5$ મિનિટમાં મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ એ $14 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં $30^{\circ}$ ના વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ થશે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{12} \times 22 \times 2 \times 14$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{11 \times 14}{3} = \frac{154}{3} \, cm^{2}$.
તેથી,$5$ મિનિટમાં મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ $\frac{154}{3} \, cm^{2}$ છે.

(N/A) ધારો કે $AB$ એ વર્તુળની જીવા છે જે વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ આગળ $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે。
ગુરુવૃત્તાંશ $OADB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \left(\frac{360^{\circ}-90^{\circ}}{360^{\circ}}\right) \times \pi r^{2} = \left(\frac{270^{\circ}}{360^{\circ}}\right) \times 3.14 \times 10^{2}$
$= \frac{3}{4} \times 3.14 \times 100 = 235.5\, cm^{2}$
લઘુવૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = 78.5\, cm^{2}$
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50\, cm^{2}$
લઘુવૃત્તખંડ $ACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{લઘુવૃત્તાંશ } OACB \text{ } \text{નું ક્ષેત્રફળ} - \triangle OAB \text{ } \text{નું ક્ષેત્રફળ} = 78.5 - 50 = 28.5\, cm^{2}$

(N/A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 21\, cm$.
કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $(\theta) = 60^{\circ}$.
$(i)$ ચાપની લંબાઈ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$
$= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$
$= \frac{1}{6} \times 2 \times 22 \times 3 = 22\, cm$.
$(ii)$ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$= \frac{1}{6} \times 22 \times 3 \times 21 = 231\, cm^{2}$.
$(iii)$ $\Delta OAB$ માં,$OA = OB = 21\, cm$ અને $\angle AOB = 60^{\circ}$.
બે બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\angle OAB = \angle OBA$.
$\Delta OAB$ માં,$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$.
$2 \angle OAB + 60^{\circ} = 180^{\circ} \implies 2 \angle OAB = 120^{\circ} \implies \angle OAB = 60^{\circ}$.
આમ,$\Delta OAB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (21)^{2} = \frac{441\sqrt{3}}{4}\, cm^{2}$.
વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = વૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ - $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ
$= (231 - \frac{441\sqrt{3}}{4})\, cm^{2}$.

(N/A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 15 \, cm$.
વૃત્તાંશ $OPRQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{1}{6} \times 3.14 \times (15)^{2}$
$= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 225 = 117.75 \, cm^{2}$.
$\triangle OPQ$ માં,$OP = OQ = 15 \, cm$ હોવાથી,આ બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન થાય,એટલે કે $\angle OPQ = \angle OQP$.
$\angle POQ = 60^{\circ}$ હોવાથી,બાકીના બે ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય.
આમ,$\angle OPQ = \angle OQP = 60^{\circ}$.
બધા ખૂણા $60^{\circ}$ હોવાથી,$\triangle OPQ$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^{2}$
$= \frac{1.73}{4} \times (15)^{2} = \frac{1.73}{4} \times 225 = 97.3125 \, cm^{2}$.
લઘુવૃત્તખંડ $PRQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{વૃત્તાંશ } OPRQ \text{ નું ક્ષેત્રફળ} - \triangle OPQ \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
$= 117.75 - 97.3125 = 20.4375 \, cm^{2}$.
ગુરુવૃત્તખંડ $PSQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ} - \text{લઘુવૃત્તખંડ } PRQ \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
$= \pi r^{2} - 20.4375$
$= 3.14 \times 225 - 20.4375 = 706.5 - 20.4375 = 686.0625 \, cm^{2}$.

(C) ધારો કે આપણે જીવા $ST$ પર લંબ $OV$ દોરીએ છીએ. તે જીવા $ST$ ને દુભાગશે.
$SV = VT$
$\triangle OVS$ માં,
$\frac{OV}{OS} = \cos 60^{\circ}$
$\frac{OV}{12} = \frac{1}{2}$
$OV = 6 \, cm$
$\frac{SV}{SO} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{SV}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$SV = 6\sqrt{3} \, cm$
$ST = 2SV = 2 \times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \, cm$
$\triangle OST$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times ST \times OV$
$= \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times 6$
$= 36\sqrt{3} = 36 \times 1.73 = 62.28 \, cm^2$
વૃત્તાંશ $OSUT$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi(12)^2$
$= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 144 = 150.72 \, cm^2$
વૃત્તખંડ $SUT$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{વૃત્તાંશ } OSUT \text{ નું ક્ષેત્રફળ} - \triangle OST \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
$= 150.72 - 62.28$
$= 88.44 \, cm^2$

(N/A) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે ઘોડો $5 \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના $90^{\circ}$ ના વૃત્તાંશ જેટલા ભાગમાં ચરી શકે છે.
ઘોડા દ્વારા ચરી શકાય તેવું ક્ષેત્રફળ $=$ $r = 5 \, m$ અને ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ ધરાવતા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times 3.14 \times 25$
$= 19.625 \, m^{2}$
જ્યારે દોરડાની લંબાઈ $10 \, m$ હોય ત્યારે ઘોડા દ્વારા ચરી શકાય તેવું ક્ષેત્રફળ $(r = 10 \, m)$:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times (10)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100$
$= 78.5 \, m^{2}$
ચરવાના ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $= (78.5 - 19.625) \, m^{2}$
$= 58.875 \, m^{2}$

(N/A) જરૂરી તારની કુલ લંબાઈ એ $5$ વ્યાસની લંબાઈ અને બ્રોચના પરિઘનો સરવાળો છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{35}{2} \, mm$.
બ્રોચનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} = 110 \, mm$.
$5$ વ્યાસની લંબાઈ $= 5 \times 35 = 175 \, mm$.
જરૂરી તારની કુલ લંબાઈ $= 110 + 175 = 285 \, mm$.
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે વર્તુળના $10$ વૃત્તાંશમાંથી દરેક વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ $\frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
તેથી,દરેક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{36^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{1}{10} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{35}{2}\right) \times \left(\frac{35}{2}\right) = \frac{385}{4} \, mm^{2} = 96.25 \, mm^{2}$.

(N/A) એક છત્રીમાં $8$ સળિયા છે,જે વર્તુળાકાર વિસ્તારને $8$ સમાન વૃતાંશમાં વિભાજિત કરે છે.
કેન્દ્ર આગળ દરેક વૃતાંશ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 45 \, cm$ છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (45)^{2}$
$\text{Area} = \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 2025$
$\text{Area} = \frac{11}{4 \times 7} \times 2025 = \frac{11 \times 2025}{28}$
$\text{Area} = \frac{22275}{28} \, cm^{2} \approx 795.54 \, cm^{2}$.

(N/A) અહીં જોઈ શકાય છે કે વાઇપરની દરેક બ્લેડ $25 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં $115^{\circ}$ ના વૃત્તાંશ જેટલું ક્ષેત્રફળ સાફ કરે છે.
$ heta$ ખૂણો અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ છે.
એક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{115^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (25)^{2}$
$= \frac{23}{72} \times \frac{22}{7} \times 625$
$= \frac{23 \times 11 \times 625}{36 \times 7} = \frac{158125}{252} \, cm^{2}$.
અહીં બે વાઇપર હોવાથી,બંને બ્લેડ દ્વારા સાફ થતું કુલ ક્ષેત્રફળ:
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \left( \frac{158125}{252} \right)$
$= \frac{158125}{126} \, cm^{2} \approx 1254.96 \, cm^{2}$.

(D) લાઇટહાઉસ $r = 16.5 \, km$ ત્રિજ્યા અને $\theta = 80^{\circ}$ કેન્દ્રિય ખૂણાવાળા વર્તુળના વૃત્તાંશ (sector) પર પ્રકાશ ફેલાવે છે.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (16.5)^2$
$= \frac{2}{9} \times 3.14 \times 272.25$
$= \frac{2}{9} \times 854.865$
$= 189.97 \, km^2$
આમ,સમુદ્રનો તે વિસ્તાર કે જેના પર જહાજોને ચેતવણી આપવામાં આવે છે તે $189.97 \, km^2$ છે.

(A) આ ડિઝાઈન વર્તુળના વૃત્તખંડો છે.
વૃત્તખંડ $APB$ ધ્યાનમાં લો. જીવા $AB$ એ વર્તુળમાં અંતર્ગત નિયમિત ષટ્કોણની એક બાજુ છે.
દરેક જીવા કેન્દ્ર $O$ આગળ $\frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
$\triangle OAB$ માં,$OA = OB = 28\, cm$ (ત્રિજ્યાઓ).
$\angle AOB = 60^{\circ}$ અને $OA = OB$ હોવાથી,$\triangle OAB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2 = \frac{1.7}{4} \times 28 \times 28 = 1.7 \times 7 \times 28 = 333.2\, cm^2$.
વૃત્તાંશ $OAPB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28 = \frac{1232}{3} \approx 410.67\, cm^2$.
એક વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = વૃત્તાંશ $OAPB$ નું ક્ષેત્રફળ - $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1232}{3} - 333.2 = 410.67 - 333.2 = 77.47\, cm^2$.
$6$ ડિઝાઈનનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $6 \times 77.47 = 464.82\, cm^2$.
ડિઝાઈન બનાવવાનો ખર્ચ = $464.82 \times 0.35 = Rs.\, 162.687 \approx Rs.\, 162.68$.

(B) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi R^{2}$ છે.
કેન્દ્ર આગળ $\theta$ ખૂણો ધરાવતા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi R^{2}$
અહીં ખૂણો $p$ આપેલો હોવાથી,વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{p}{360^{\circ}} \times \pi R^{2}$
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળ બેસાડવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણી શકીએ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{p \times 2}{360^{\circ} \times 2} \times \pi R^{2} = \frac{p}{720^{\circ}} \times 2 \pi R^{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $a = 56 \, m$ છે.
ચોરસ લૉન $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= a^2 = 56 \times 56 = 3136 \, m^2$.
ચોરસના વિકર્ણો $O$ પર છેદે છે. $O$ થી બાજુઓનું અંતર બાજુની લંબાઈનું અડધું એટલે કે $28 \, m$ છે. ફૂલના ક્યારા બનાવતા વર્તુળાકાર વૃતાંશની ત્રિજ્યા $r = OA = OB = OC = OD$ છે. $\triangle OAB$ માં,$OA^2 + OB^2 = AB^2$,તેથી $2r^2 = 56^2$,જે $r^2 = \frac{56 \times 56}{2} = 1568$ આપે છે.
$90^\circ$ ના કેન્દ્રિય ખૂણાવાળા એક વર્તુળાકાર વૃતાંશ (ફૂલનો ક્યારો) નું ક્ષેત્રફળ $\frac{90}{360} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 1568 = 1232 \, m^2$ છે.
આવા બે ફૂલના ક્યારા છે,તેથી તેમનું કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times 1232 = 2464 \, m^2$ છે.
જોકે,ફૂલના ક્યારા એ વર્તુળના વૃતખંડ છે. એક વૃતખંડનું ક્ષેત્રફળ = (વૃતાંશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ - $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ).
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 56 \times 28 = 784 \, m^2$.
એક ફૂલના ક્યારા (વૃતખંડ) નું ક્ષેત્રફળ $= 1232 - 784 = 448 \, m^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = ચોરસનું ક્ષેત્રફળ + $2 \times$ વૃતખંડનું ક્ષેત્રફળ $= 3136 + 2 \times 448 = 3136 + 896 = 4032 \, m^2$.

(D) ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 14 \times 14 \, cm^2 = 196 \, cm^2$.
ચોરસમાં ચાર વર્તુળો હોવાથી,દરેક વર્તુળનો વ્યાસ એ ચોરસની બાજુના માપ કરતા અડધો છે.
દરેક વર્તુળનો વ્યાસ $= \frac{14}{2} \, cm = 7 \, cm$.
દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
એક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = \frac{77}{2} \, cm^2 = 38.5 \, cm^2$.
ચાર વર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 38.5 \, cm^2 = 154 \, cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = ચોરસનું ક્ષેત્રફળ - ચાર વર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= 196 \, cm^2 - 154 \, cm^2 = 42 \, cm^2$.

(A) ધારો કે ચાર અછાયાંકિત પ્રદેશોને $I, II, III$ અને $IV$ તરીકે દર્શાવીએ (આકૃતિ જુઓ).
$I$ નું ક્ષેત્રફળ $+$ $III$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{ચોરસ } ABCD \text{ નું ક્ષેત્રફળ} - 10 \, cm \text{ વ્યાસવાળા બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ}$.
ચોરસની બાજુ $10 \, cm$ હોવાથી,દરેક અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ થશે.
$I + III$ નું ક્ષેત્રફળ $= (10 \times 10) - 2 \times (\frac{1}{2} \times \pi \times 5^2) \, cm^2$
$= 100 - (3.14 \times 25) \, cm^2 = 100 - 78.5 = 21.5 \, cm^2$.
તે જ રીતે,$II + IV$ નું ક્ષેત્રફળ $= 21.5 \, cm^2$.
હવે,છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી ચાર અછાયાંકિત પ્રદેશો $(I, II, III, IV)$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો બાદ કરવાથી મળે છે:
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{ચોરસ } ABCD \text{ નું ક્ષેત્રફળ} - (I + II + III + IV \text{ નું ક્ષેત્રફળ})$
$= 100 - (21.5 + 21.5) \, cm^2 = 100 - 43 = 57 \, cm^2$.

(N/A) $1$. $RQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે. તેથી,$\angle QPR = 90^{\circ}$.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle QPR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$RQ^2 = PQ^2 + PR^2$
$RQ^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$
$RQ = \sqrt{625} = 25 \, cm$.
$3$. વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{RQ}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \, cm$.
$4$. અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (12.5)^2 = \frac{11}{7} \times 156.25 = \frac{1718.75}{7} \approx 245.536 \, cm^2$.
$5$. $\triangle QPR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84 \, cm^2$.
$6$. છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ - $\triangle QPR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1718.75}{7} - 84 = \frac{1718.75 - 588}{7} = \frac{1130.75}{7} \approx 161.54 \, cm^2$.

(N/A) છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ મોટા વર્તુળના વૃતાંશના ક્ષેત્રફળમાંથી નાના વર્તુળના વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
ધારો કે મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 14\, cm$ અને નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 7\, cm$ છે.
કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 40^{\circ}$ છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = વૃતાંશ $OAC$ નું ક્ષેત્રફળ - વૃતાંશ $OBD$ નું ક્ષેત્રફળ
$= \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi R^2 - \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$= \frac{1}{9} \times \pi (R^2 - r^2)$
$= \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times (14^2 - 7^2)$
$= \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times (196 - 49)$
$= \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 147$
$= \frac{1}{9} \times 22 \times 21$
$= \frac{462}{9} = \frac{154}{3} \approx 51.33\, cm^2$.

(D) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે ચોરસની બાજુનું માપ $14 \, cm$ છે. તેથી,દરેક અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $14 \, cm$ છે અને દરેક અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ $7 \, cm$ છે.
એક અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 49 = 77 \, cm^2$.
બે અર્ધવર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 77 = 154 \, cm^2$.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = (14)^2 = 196 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $=$ ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $-$ બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= 196 \, cm^2 - 154 \, cm^2 = 42 \, cm^2$.

(N/A) છાયાંકિત પ્રદેશ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ અને મોટા વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે,જેમાં ત્રિકોણ સાથે ઓવરલેપ થતા વૃત્તાંશ $OCDE$ ને બાદ કરવામાં આવે છે.
$1$. સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (12)^2 = 36\sqrt{3} \, cm^2$.
$2$. $r = 6 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 6^2 = \frac{792}{7} \, cm^2$.
$3$. સમબાજુ ત્રિકોણનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. વૃત્તાંશ $OCDE$ નું ક્ષેત્રફળ (જે ઓવરલેપિંગ ભાગ છે) $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 36 = \frac{132}{7} \, cm^2$.
$4$. છાયાંકિત પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $+$ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $-$ વૃત્તાંશ $OCDE$ નું ક્ષેત્રફળ.
$= 36\sqrt{3} + \frac{792}{7} - \frac{132}{7} = 36\sqrt{3} + \frac{660}{7} \, cm^2$.

(N/A) $1$. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = (4\, cm)^2 = 16\, cm^2$.
$2$. $r = 1\, cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના દરેક ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (1)^2 = \frac{22}{28} = \frac{11}{14}\, cm^2$.
$3$. $4$ ચતુર્થાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{11}{14} = \frac{22}{7}\, cm^2$.
$4$. $2\, cm$ વ્યાસવાળા (ત્રિજ્યા $r = 1\, cm$) મધ્યવર્તી વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (1)^2 = \frac{22}{7}\, cm^2$.
$5$. બાકી રહેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} - (4 \text{ ચતુર્થાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ} + \text{મધ્યવર્તી વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ})$.
$6$. ક્ષેત્રફળ $= 16 - (\frac{22}{7} + \frac{22}{7}) = 16 - \frac{44}{7} = \frac{112 - 44}{7} = \frac{68}{7}\, cm^2$.

(N/A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 32 \, cm$.
$AD$ એ $\triangle ABC$ નો મધ્યગા છે.
$O$ એ સમબાજુ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,$AO = \frac{2}{3} AD = 32 \, cm$.
તેથી,$AD = 32 \times \frac{3}{2} = 48 \, cm$.
$\triangle ABD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$AB^2 = (48)^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$
$AB^2 - \frac{AB^2}{4} = 2304$
$\frac{3 AB^2}{4} = 2304$
$AB^2 = \frac{2304 \times 4}{3} = 3072$
$AB = \sqrt{3072} = 32 \sqrt{3} \, cm$.
સમબાજુ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (32 \sqrt{3})^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1024 \times 3 = 768 \sqrt{3} \, cm^2$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (32)^2 = \frac{22}{7} \times 1024 = \frac{22528}{7} \, cm^2$.
ડિઝાઇનનું ક્ષેત્રફળ = વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $-$ $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ
$= \left(\frac{22528}{7} - 768 \sqrt{3}\right) \, cm^2$.

(D) $4$ વૃતાંશ પૈકી દરેકનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે,અને દરેક $7 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનો $90^{\circ}$ માપનો વૃતાંશ છે.
દરેક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi(7)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= \frac{77}{2} \, cm^{2} = 38.5 \, cm^{2}$
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^{2} = (14)^{2} = 196 \, cm^{2}$
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $- 4 \times$ (દરેક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ)
$= 196 - 4 \times \frac{77}{2}$
$= 196 - 154$
$= 42 \, cm^{2}$
તેથી,છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $42 \, cm^{2}$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
સીધા ભાગોની આંતરિક લંબાઈ $= 106 \, m$
આંતરિક પહોળાઈ (સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર) $= 60 \, m$
આંતરિક ત્રિજ્યા $(r) = \frac{60}{2} = 30 \, m$
ટ્રેકની પહોળાઈ $= 10 \, m$
બાહ્ય ત્રિજ્યા $(R) = 30 + 10 = 40 \, m$
$(i)$ ટ્રેકની આંતરિક ધાર પરનું અંતર $= AB + \text{ચાપ } BEC + CD + \text{ચાપ } DFA$
$= 106 + (\pi r) + 106 + (\pi r)$
$= 212 + 2 \pi r$
$= 212 + 2 \times \frac{22}{7} \times 30$
$= 212 + \frac{1320}{7} = \frac{1484 + 1320}{7} = \frac{2804}{7} \, m \approx 400.57 \, m$
$(ii)$ ટ્રેકનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\text{લંબચોરસ } 106 \times 10 \text{ નું ક્ષેત્રફળ}) + 2 \times (\text{અર્ધવર્તુળાકાર રીંગનું ક્ષેત્રફળ})$
$= 2 \times (106 \times 10) + 2 \times \left[ \frac{1}{2} \pi (R^2 - r^2) \right]$
$= 2120 + \pi (40^2 - 30^2)$
$= 2120 + \frac{22}{7} (1600 - 900)$
$= 2120 + \frac{22}{7} \times 700$
$= 2120 + 2200 = 4320 \, m^2$

(B) મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_1) = 7 \, cm$.
નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_2) = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_2^2 = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 38.5 \, cm^2$.
મોટા વર્તુળના અર્ધવર્તુળ $ACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi r_1^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 77 \, cm^2$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $=$ નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $+$ (અર્ધવર્તુળ $ACB$ નું ક્ષેત્રફળ $-$ $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ).
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= 38.5 + (77 - 49) = 38.5 + 28 = 66.5 \, cm^2$.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= 17320.5 \, cm^2$.
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 17320.5$
$\frac{1.73205}{4} a^2 = 17320.5$
$a^2 = 4 \times 10000 = 40000$
$a = 200 \, cm$.
દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2} = \frac{200}{2} = 100 \, cm$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોય છે.
એક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times 3.14 \times (100)^2 = \frac{31400}{6} = \frac{15700}{3} \, cm^2$.
ત્રણ વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 3 \times \frac{15700}{3} = 15700 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $=$ સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $-$ ત્રણ વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ
$= 17320.5 - 15700 = 1620.5 \, cm^2$.

(D) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે ચોરસની બાજુનું માપ $3 \times (2 \times 7) = 42\, cm$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = (42)^2 = 1764\, cm^2$.
એક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (7)^2 = 154\, cm^2$.
$9$ વર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $= 9 \times 154 = 1386\, cm^2$.
રૂમાલના બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} - 9 \text{ વર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ} = 1764 - 1386 = 378\, cm^2$.

(N/A) $(i)$ $OACB$ એ ચતુર્થાંશ હોવાથી,તે કેન્દ્ર $O$ પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
ચતુર્થાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^{2} = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \left( \frac{7}{2} \right)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} = \frac{11 \times 7}{8} = \frac{77}{8} \, cm^{2} = 9.625 \, cm^{2}$.
$(ii)$ $\triangle BOD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OB \times OD$
$= \frac{1}{2} \times 3.5 \times 2 = 3.5 \, cm^{2} = \frac{7}{2} \, cm^{2}$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $=$ ચતુર્થાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $- \triangle BOD$ નું ક્ષેત્રફળ
$= \frac{77}{8} - \frac{7}{2} = \frac{77 - 28}{8} = \frac{49}{8} \, cm^{2} = 6.125 \, cm^{2}$.

(B) $\triangle OAB$ માં,$OABC$ ચોરસ હોવાથી,$\angle OAB = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB^2 = OA^2 + AB^2$.
અહીં $OA = AB = 20 \, cm$ હોવાથી,$OB^2 = 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800$ મળે.
તેથી,ચતુર્થાંશની ત્રિજ્યા $(r) = OB = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, cm$ થાય.
ચતુર્થાંશ $OPBQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times (20\sqrt{2})^2$.
$= \frac{1}{4} \times 3.14 \times 800 = 3.14 \times 200 = 628 \, cm^2$.
ચોરસ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = 20^2 = 400 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = ચતુર્થાંશ $OPBQ$ નું ક્ષેત્રફળ - ચોરસ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ.
$= 628 \, cm^2 - 400 \, cm^2 = 228 \, cm^2$.

(N/A) છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ મોટા વૃતાંશ $OAB$ અને નાના વૃતાંશ $OCD$ ના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
વૃતાંશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi R^2 = \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 441 = \frac{1}{12} \times 22 \times 63 = \frac{1386}{12} = 115.5\, cm^2$.
વૃતાંશ $OCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 49 = \frac{1}{12} \times 22 \times 7 = \frac{154}{12} = \frac{77}{6}\, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $=$ વૃતાંશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $-$ વૃતાંશ $OCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 115.5 - \frac{77}{6} = \frac{693 - 77}{6} = \frac{616}{6} = \frac{308}{3}\, cm^2$.

(D) કારણ કે $ABC$ એ વર્તુળનો ચતુર્થાંશ છે,તેથી $\angle BAC = 90^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$BC^2 = AC^2 + AB^2 = (14)^2 + (14)^2 = 196 + 196 = 392$.
$BC = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \, cm$.
$BC$ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \, cm$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98 \, cm^2$.
ચતુર્થાંશ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 154 \, cm^2$.
વૃત્તખંડ $BC$ નું ક્ષેત્રફળ (જીવા $BC$ અને ચાપ $BC$ વચ્ચેનો પ્રદેશ) = ચતુર્થાંશ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ - $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 154 - 98 = 56 \, cm^2$.
$BC$ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \pi \times r_1^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 98 = 154 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = $BC$ પરના અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ - વૃત્તખંડ $BC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 154 - 56 = 98 \, cm^2$.

(N/A) ડિઝાઇનવાળો વિસ્તાર એ બે વૃત્તાંશ $BAEC$ અને $DAFC$ વચ્ચેનો સામાન્ય પ્રદેશ છે.
વૃત્તાંશ $BAEC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (8)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 64$
$= \frac{22 \times 16}{7} = \frac{352}{7} \, cm^{2}$
$\triangle BAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BA \times BC$
$= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \, cm^{2}$
ડિઝાઇનવાળા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\text{વૃત્તખંડ } AEC \text{ નું ક્ષેત્રફળ})$
$= 2 \times (\text{વૃત્તાંશ } BAEC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} - \triangle BAC \text{ નું ક્ષેત્રફળ})$
$= 2 \times \left(\frac{352}{7} - 32\right) = 2 \left(\frac{352 - 224}{7}\right)$
$= \frac{2 \times 128}{7} = \frac{256}{7} \, cm^{2}$