Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Hindi

(A) दिया गया है,वृत्त का क्षेत्रफल $A = 154 \, cm^2$ है।
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
मान रखने पर: $154 = \frac{22}{7} \times r^2$.
$r^2 = 154 \times \frac{7}{22}$.
$r^2 = 7 \times 7 = 49$.
$r = \sqrt{49} = 7 \, cm$.
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है।
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 7$.
$C = 2 \times 22 = 44 \, cm$.

(B) $r$ त्रिज्या वाले एक पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यह क्षेत्रफल $360^{\circ}$ के केंद्रीय कोण के अनुरूप है।
ऐकिक नियम के अनुसार,$\theta$ डिग्री के केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल,कोण $\theta$ और कुल कोण $360^{\circ}$ के अनुपात के समानुपाती होता है।
इसलिए,$\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$।
इसे सरल करने पर $\frac{\pi r^2 \theta}{360}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई शर्त के अनुसार,
$R$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = $R_{1}$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल + $R_{2}$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल
चूंकि वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,इसलिए हमारे पास है:
$\pi R^{2} = \pi R_{1}^{2} + \pi R_{2}^{2}$
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R^{2} = R_{1}^{2} + R_{2}^{2}$

(D) दी गई शर्त के अनुसार,
$R$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि $=$ $R_{1}$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि $+$ $R_{2}$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि
परिधि के सूत्र $C = 2 \pi r$ का उपयोग करने पर:
$2 \pi R = 2 \pi R_{1} + 2 \pi R_{2}$
दोनों पक्षों को $2 \pi$ से विभाजित करने पर:
$R = R_{1} + R_{2}$
अतः,सही संबंध $R_{1} + R_{2} = R$ है।

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और वर्ग की भुजा $a$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,वृत्त की परिधि और वर्ग का परिमाप बराबर हैं:
$2 \pi r = 4a$
$\pi r = 2a$
$a = \frac{\pi r}{2}$
अब,वृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $A_2 = a^2 = (\frac{\pi r}{2})^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4}$ है।
$A_1$ और $A_2$ की तुलना करने पर:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi}$.
चूंकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $\frac{4}{3.14} > 1$.
अतः,$A_1 > A_2$,जिसका अर्थ है कि वृत्त का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल से अधिक है।

(B) अर्धवृत्त में अंकित सबसे बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम त्रिभुज के आधार को अर्धवृत्त के व्यास के रूप में लेते हैं।
मान लीजिए व्यास $AB = 2r$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,इसकी ऊँचाई अधिकतम होनी चाहिए,जो कि अर्धवृत्त की त्रिज्या $r$ के बराबर होती है।
मान लीजिए $C$ परिधि पर स्थित एक शीर्ष है ताकि शीर्षलंब $CD$,$AB$ पर लंब हो। यहाँ,$CD = r$ है।
अतः,त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (2r) \times r = r^{2}$ वर्ग इकाई।

(C) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और वर्ग की भुजा $a$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,
वृत्त का परिमाप = वर्ग का परिमाप
$2 \pi r = 4a \Rightarrow a = \frac{\pi r}{2}$ ...............$(i)$
अब,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{वर्ग का क्षेत्रफल}} = \frac{\pi r^2}{a^2} = \frac{\pi r^2}{(\frac{\pi r}{2})^2}$ [समीकरण $(i)$ से]
$= \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi} = \frac{4}{\frac{22}{7}} = \frac{4 \times 7}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$
अतः,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $14: 11$ है।

(D) $16 \, m$ व्यास वाले पहले वृत्ताकार पार्क का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2 = \pi (8)^2 = 64\pi \, m^2$ है,जहाँ $r_1 = 8 \, m$ है।
$12 \, m$ व्यास वाले दूसरे वृत्ताकार पार्क का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (6)^2 = 36\pi \, m^2$ है,जहाँ $r_2 = 6 \, m$ है।
माना नए वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या $R$ है। प्रश्न के अनुसार,नए पार्क का क्षेत्रफल दोनों पार्कों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है:
$\pi R^2 = A_1 + A_2$
$\pi R^2 = 64\pi + 36\pi$
$\pi R^2 = 100\pi$
$R^2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10 \, m$.
अतः,नए पार्क की त्रिज्या $10 \, m$ होगी।

(A) दिया है, वर्ग की भुजा $= 6 \, cm$ है।
चूंकि वृत्त वर्ग के भीतर अंतर्निहित है, इसलिए वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होगा।
अतः, व्यास $(d) = 6 \, cm$ है।
वृत्त की त्रिज्या $(r) = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, cm$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2$ है।
क्षेत्रफल $= \pi (3)^2 = 9 \pi \, cm^2$ है।

(B) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $r = OC = 8 \, cm$ है।
अतः,वृत्त का व्यास $AC = 2 \times OC = 2 \times 8 = 16 \, cm$ है।
यह व्यास वर्ग के विकर्ण की लंबाई के बराबर है।
माना वर्ग की भुजा $x$ है।
समकोण $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होता है।
$(16)^2 = x^2 + x^2$.
$256 = 2x^2$.
$x^2 = 128$.
अतः,वर्ग का क्षेत्रफल $x^2 = 128 \, cm^2$ है।

(C) माना पहले वृत्त का व्यास $d_1 = 36 \, cm$ है और दूसरे वृत्त का व्यास $d_2 = 20 \, cm$ है।
पहले वृत्त की परिधि $C_1 = \pi d_1 = 36 \pi \, cm$ है।
दूसरे वृत्त की परिधि $C_2 = \pi d_2 = 20 \pi \, cm$ है।
माना नए वृत्त का व्यास $D$ है और उसकी परिधि $C$ है।
प्रश्न के अनुसार,$C = C_1 + C_2$ है।
$\pi D = 36 \pi + 20 \pi$ है।
$\pi D = 56 \pi$ है।
$D = 56 \, cm$ है।
अतः नए वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{D}{2} = \frac{56}{2} = 28 \, cm$ होगी।

(D) माना कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_{1} = 24 \, cm$ और $r_{2} = 7 \, cm$ हैं।
पहले वृत्त का क्षेत्रफल $A_{1} = \pi r_{1}^{2} = \pi(24)^{2} = 576\pi \, cm^{2}$ है।
दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल $A_{2} = \pi r_{2}^{2} = \pi(7)^{2} = 49\pi \, cm^{2}$ है।
माना कि नए वृत्त की त्रिज्या $R$ है। दी गई शर्त के अनुसार,नए वृत्त का क्षेत्रफल दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है:
$\pi R^{2} = A_{1} + A_{2}$
$\pi R^{2} = 576\pi + 49\pi$
$\pi R^{2} = 625\pi$
$R^{2} = 625$
$R = \sqrt{625} = 25 \, cm$.
अतः,नए वृत्त का व्यास $D = 2R = 2 \times 25 = 50 \, cm$ होगा।

(B) यह कथन सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है। यह केवल लघु वृत्तखंड के लिए सत्य है।
लघु वृत्तखंड के लिए,इसका क्षेत्रफल संगत त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से जीवा और त्रिज्याओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
हालाँकि,दीर्घ वृत्तखंड के मामले में,दीर्घ वृत्तखंड का कुल क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए संगत त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में त्रिभुज का क्षेत्रफल जोड़ना पड़ता है।

(A) हाँ,यह सत्य है।
माना वर्ग की भुजा $a = 5 \, cm$ है।
आंतरिक वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है,इसलिए $d_{inner} = a = 5 \, cm$। त्रिज्या $r = \frac{5}{2} \, cm$ होगी।
आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल $A_{inner} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25\pi}{4} \, cm^2$ है।
बाहरी वृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर है,इसलिए $d_{outer} = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \, cm$। त्रिज्या $R = \frac{5\sqrt{2}}{2} \, cm$ होगी।
बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल $A_{outer} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{25 \times 2}{4}\right) = \frac{50\pi}{4} = \frac{25\pi}{2} \, cm^2$ है।
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{A_{outer}}{A_{inner}} = \frac{25\pi / 2}{25\pi / 4} = \frac{4}{2} = 2$।
अतः,बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल वास्तव में आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का दोगुना है।

(N/A) असत्य।
मान लीजिए $ABCD$ एक वर्ग है जिसकी भुजा $a$ है।
चूँकि वृत्त वर्ग के अंदर स्थित है,इसलिए इसका व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होगा।
$\therefore \text{वृत्त का व्यास} = a \, cm$.
$\therefore \text{वृत्त की त्रिज्या} (r) = \frac{a}{2} \, cm$.
अब,वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\pi r^2$ है।
$\therefore \text{क्षेत्रफल} = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) = \frac{\pi a^2}{4} \, cm^2$.
चूँकि $\frac{\pi a^2}{4} \neq \pi a^2$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(A) सत्य।
दिया है,वृत्त की त्रिज्या,$r = a \, cm$।
अतः,वृत्त का व्यास,$d = 2 \times \text{त्रिज्या} = 2a \, cm$।
चूंकि वर्ग वृत्त के परिगत है,इसलिए वर्ग की भुजा वृत्त के व्यास के बराबर होगी।
अतः,वर्ग की भुजा $= 2a \, cm$।
अब,वर्ग का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा} = 4 \times 2a = 8a \, cm$।
अतः,यह कहना सत्य है कि वर्ग का परिमाप $8a \, cm$ है।

(N/A) यह कथन असत्य है।
दिया गया है कि वृत्त का व्यास $d$ है।
$1$. वृत्त के अंदर बने वर्ग के लिए,वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
विकर्ण $= d$.
माना आंतरिक वर्ग की भुजा $x$ है।
वर्ग के गुण का उपयोग करते हुए,विकर्ण $= \sqrt{2} \times \text{भुजा}$.
अतः,$\sqrt{2}x = d \Rightarrow x = \frac{d}{\sqrt{2}}$.
आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल $= x^2 = (\frac{d}{\sqrt{2}})^2 = \frac{d^2}{2}$.
$2$. वृत्त के बाहर बने वर्ग के लिए,वर्ग की भुजा वृत्त के व्यास के बराबर होती है।
भुजा $= d$.
बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल $= d^2$.
$3$. क्षेत्रफलों की तुलना करने पर:
अनुपात $= \frac{\text{बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल}}{\text{आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल}} = \frac{d^2}{d^2/2} = 2$.
अतः,बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल का दोगुना है,न कि चार गुना।

(B) यह कथन असत्य है।
$1$. वृत्त का वृत्तखंड (segment) एक जीवा और चाप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र होता है। वृत्त का त्रिज्यखंड (sector) दो त्रिज्याओं और एक चाप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र होता है।
$2$. लघु वृत्तखंड के लिए,इसका क्षेत्रफल इसके संगत लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से कम होता है क्योंकि लघु वृत्तखंड,लघु त्रिज्यखंड का ही एक भाग होता है (त्रिज्यखंड में दो त्रिज्याओं और जीवा द्वारा बना त्रिभुज भी शामिल होता है)।
$3$. हालाँकि,दीर्घ वृत्तखंड के लिए,इसका क्षेत्रफल हमेशा इसके संगत दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से अधिक होता है। इसलिए,यह कथन सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।

(B) असत्य।
एक वृत्ताकार पहिये द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है।
$d$ व्यास वाले वृत्त की परिधि का सूत्र $\pi d$ होता है।
चूंकि $d = 2r$ (जहाँ $r$ त्रिज्या है),इसलिए परिधि $\pi(2r) = 2 \pi r$ होती है।
अतः,एक चक्कर में तय की गई दूरी $\pi d$ है,न कि $2 \pi d$।

(A) यह कथन सत्य है।
एक चक्कर में पहिए द्वारा तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है,जो $2 \pi r$ मीटर के सूत्र द्वारा दी जाती है।
$s$ मीटर की दूरी तय करने में लगाए गए कुल चक्करों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल दूरी को एक चक्कर में तय की गई दूरी से विभाजित करते हैं:
$\text{चक्करों की संख्या} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{एक चक्कर में तय की गई दूरी}} = \frac{s}{2 \pi r}$.

(B) यह कथन असत्य है।
मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ है।
दोनों की तुलना करने के लिए,हम असमिका $\pi r^2 > 2\pi r$ को देखते हैं।
दोनों पक्षों को $\pi r$ से विभाजित करने पर ($r > 0$ मानते हुए),हमें $r > 2$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल परिधि से केवल तभी अधिक होता है जब त्रिज्या $r > 2$ हो।
यदि $0 < r < 2$ है,तो परिधि क्षेत्रफल से अधिक होती है।
यदि $r = 2$ है,तो संख्यात्मक मान बराबर होते हैं।
इस प्रकार,यह कथन सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।

(A) यह कथन सत्य है,असत्य नहीं।
मान लीजिए कि दो वृत्त $C_1$ और $C_2$ हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r$ और $2r$ हैं और केंद्र $O$ और $O'$ हैं।
यह दिया गया है कि $C_1$ के चाप की लंबाई $l_1$,$C_2$ के चाप की लंबाई $l_2$ के बराबर है,अर्थात $l_1 = l_2 = l$।
मान लीजिए कि $\theta_1$ वृत्त $C_1$ के चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण है और $\theta_2$ वृत्त $C_2$ के चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण है।
चाप की लंबाई का सूत्र $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R$ होता है।
$C_1$ के लिए: $l = \frac{\theta_1}{360^\circ} \times 2\pi r$ ........... $(i)$
$C_2$ के लिए: $l = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 2\pi(2r) = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 4\pi r$ ........... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{\theta_1}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 4\pi r$
$\theta_1 = 2\theta_2$
अतः,पहले वृत्त के त्रिज्यखंड का कोण दूसरे वृत्त के त्रिज्यखंड के कोण का दोगुना है। इसलिए,यह कथन सत्य है।

(B) यह कथन असत्य है।
मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं और चाप की लंबाई $l_1$ और $l_2$ है। दिया गया है कि चाप की लंबाई समान है,इसलिए $l_1 = l_2 = l$ है।
चाप की लंबाई का सूत्र $l = r \theta$ है,जहाँ $\theta$ रेडियन में कोण है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $l = r \theta$,हम $\theta = \frac{l}{r}$ लिख सकते हैं।
इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \frac{1}{2} r^2 (\frac{l}{r}) = \frac{1}{2} rl$ प्राप्त होता है।
समान चाप लंबाई $l$ वाले दो अलग-अलग वृत्तों के लिए,क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} r_1 l$ और $A_2 = \frac{1}{2} r_2 l$ हैं।
चूंकि वृत्त अलग-अलग हैं,इसलिए उनकी त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ समान नहीं हैं $(r_1 \neq r_2)$।
अतः,$A_1 \neq A_2$। इस प्रकार,क्षेत्रफल का समान होना आवश्यक नहीं है।

(B) नहीं,यह आवश्यक नहीं है कि उनकी संगत चाप की लंबाई समान हो।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\theta$ केंद्रीय कोण है।
चाप की लंबाई $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ द्वारा दी जाती है।
क्षेत्रफल के सूत्र से,हमारे पास $\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{A}{\pi r^2}$ है।
इस मान को चाप की लंबाई के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = \frac{A}{\pi r^2} \times 2\pi r = \frac{2A}{r}$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A$ समान हैं,इसलिए चाप की लंबाई $L$ त्रिज्या $r$ पर व्युत्क्रमानुपाती रूप से निर्भर करती है। यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ अलग-अलग हैं,तो त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल समान होने पर भी चाप की लंबाई अलग-अलग होगी।

(B) यह कथन असत्य है।
$a$ लंबाई और $b$ चौड़ाई $(a > b)$ वाले आयत के अंदर खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े वृत्त का व्यास आयत की छोटी भुजा यानी चौड़ाई $b$ के बराबर होता है।
इसलिए,वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{b}{2}$ होगी।
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^{2}$ होता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $A = \pi \left(\frac{b}{2}\right)^{2} = \frac{\pi b^{2}}{4} \, cm^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का क्षेत्रफल $\frac{\pi b^{2}}{4} \, cm^{2}$ है,न कि $\pi b^{2} \, cm^{2}$।

(A) हाँ, यह आवश्यक है कि उनके क्षेत्रफल समान हों।
मान लीजिए कि दो वृत्तों की परिधियाँ $C_1$ और $C_2$ हैं, और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
दिया गया है कि $C_1 = C_2$, इसलिए $2\pi r_1 = 2\pi r_2$ है।
दोनों पक्षों को $2\pi$ से विभाजित करने पर, हमें $r_1 = r_2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $r_1 = r_2$, इसलिए $\pi r_1^2 = \pi r_2^2$ होगा, जिसका अर्थ है कि $A_1 = A_2$ है।
अतः, यदि दो वृत्तों की परिधियाँ समान हैं, तो उनके क्षेत्रफल भी समान होने चाहिए।

(A) हाँ,यह आवश्यक है कि उनकी परिधियाँ समान हों।
मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^2$ है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल समान हैं,इसलिए $\pi r_1^2 = \pi r_2^2$ होगा।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $r_1^2 = r_2^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $r_1 = r_2$ (क्योंकि त्रिज्या हमेशा धनात्मक होती है)।
वृत्त की परिधि ज्ञात करने का सूत्र $C = 2\pi r$ है।
चूँकि $r_1 = r_2$ है,इसलिए $2\pi r_1 = 2\pi r_2$ होगा।
अतः,दोनों वृत्तों की परिधियाँ समान होनी चाहिए।

(D) यह कथन असत्य है।
जब एक वर्ग वृत्त के भीतर अंतर्निहित होता है,तो वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
माना वर्ग की भुजा $a$ है और वृत्त का व्यास $p$ है।
वर्ग के गुणधर्म के अनुसार,विकर्ण $d = a\sqrt{2}$ होता है।
चूंकि विकर्ण व्यास के बराबर है,इसलिए $a\sqrt{2} = p$,जिसका अर्थ है कि $a = \frac{p}{\sqrt{2}}$।
वर्ग का क्षेत्रफल $a^{2} = (\frac{p}{\sqrt{2}})^{2} = \frac{p^{2}}{2} \, cm^{2}$ होता है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} p^{2} \, cm^{2}$ है,न कि $p^{2} \, cm^{2}$।

(A) दिया है,पहले वृत्त का व्यास $d_{1} = 20 \, cm$,अतः इसकी त्रिज्या $r_{1} = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ है।
दूसरे वृत्त का व्यास $d_{2} = 48 \, cm$,अतः इसकी त्रिज्या $r_{2} = \frac{48}{2} = 24 \, cm$ है।
दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग $= \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2} = \pi(10)^{2} + \pi(24)^{2} = \pi(100 + 576) = 676\pi \, cm^{2}$ है।
माना नए वृत्त की त्रिज्या $r$ है। इसका क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\pi r^{2} = 676\pi$ है।
$r^{2} = 676$ है।
$r = \sqrt{676} = 26 \, cm$ है।
अतः,नए वृत्त का व्यास $= 2r = 2 \times 26 = 52 \, cm$ है।

(B) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$।
यहाँ,त्रिज्या $r = 21 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 120^{\circ}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times (21)^{2} \, cm^{2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \, cm^{2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times 22 \times 3 \times 21 \, cm^{2}$.
$\text{Area} = 22 \times 21 \, cm^{2} = 462 \, cm^{2}$.

(C) वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2$
$= 3.14 \times (7.5)^2 \, cm^2$
$= 3.14 \times 56.25 \, cm^2 = 176.625 \, cm^2$
स्पष्ट है कि, वर्ग की भुजा $=$ वृत्त का व्यास $= 2 \times 7.5 \, cm = 15 \, cm$ है।
अतः, वर्ग का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = 15^2 \, cm^2 = 225 \, cm^2$ है।
इसलिए, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=$ वर्ग का क्षेत्रफल $-$ वृत्त का क्षेत्रफल
$= 225 \, cm^2 - 176.625 \, cm^2 = 48.375 \, cm^2$।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 36 \, cm$ और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = 54 \pi \, cm^{2}$ है।
त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ होता है,जहाँ $l$ चाप की लंबाई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$54 \pi = \frac{1}{2} \times l \times 36$
$54 \pi = 18 \times l$
$l = \frac{54 \pi}{18}$
$l = 3 \pi \, cm$.
अतः,संगत चाप की लंबाई $3 \pi \, cm$ है।

(A) माना कि अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है।
माना कि दो दिए गए वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 15 \, cm$ और $r_2 = 18 \, cm$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,नए वृत्त की परिधि दो दिए गए वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है:
$2 \pi r = 2 \pi r_1 + 2 \pi r_2$
दोनों पक्षों को $2 \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r = r_1 + r_2$
मान रखने पर:
$r = 15 \, cm + 18 \, cm$
$r = 33 \, cm$
अतः,अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $33 \, cm$ है।

(N/A) माना वर्ग की भुजा $a$ है और वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि,वर्ग के विकर्ण की लंबाई $= 8\, cm$ है।
चूंकि वर्ग का विकर्ण $= a\sqrt{2}$ होता है,इसलिए:
$a\sqrt{2} = 8$
$a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\, cm$.
जब कोई वर्ग वृत्त के भीतर स्थित होता है,तो वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
इसलिए,वृत्त का व्यास $= 8\, cm$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{8}{2} = 4\, cm$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi(4)^2 = 16\pi\, cm^2$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $= a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32\, cm^2$ है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अंतर है:
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \text{वृत्त का क्षेत्रफल} - \text{वर्ग का क्षेत्रफल}$
$= (16\pi - 32)\, cm^2$.
अतः,छायांकित क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल $(16\pi - 32)\, cm^2$ है।

(C) दिया गया है कि,वृत्त की त्रिज्या,$r = 28 \,cm$.
केंद्रीय कोण का माप,$\theta = 45^{\circ}$.
वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (28)^{2}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{8} \times 22 \times 4 \times 28$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{8} \times 22 \times 112$
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 14 = 308 \,cm^{2}$.
अतः,त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $308 \,cm^{2}$ है।

(D) दिया गया है,पहिये की त्रिज्या $r = 35 \, cm$ है।
पहिये की परिधि $C = 2 \pi r$ द्वारा दी जाती है।
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 220 \, cm$ है।
मोटरसाइकिल की गति $66 \, km/h$ है। हमें इसे $cm/min$ में बदलने की आवश्यकता है:
$66 \, km/h = \frac{66 \times 1000 \, m}{60 \, min} = 1100 \, m/min$ है।
चूंकि $1 \, m = 100 \, cm$ होता है,इसलिए गति $1100 \times 100 = 110000 \, cm/min$ होगी।
प्रति मिनट चक्करों की संख्या ज्ञात करने के लिए,एक मिनट में तय की गई कुल दूरी को पहिये की परिधि से विभाजित करते हैं:
$\text{चक्करों की संख्या} = \frac{\text{प्रति मिनट कुल दूरी}}{\text{परिधि}} = \frac{110000}{220} = 500$ है।
अतः,पहिये को प्रति मिनट $500$ चक्कर लगाने होंगे।

(A) माना $ABCD$ एक आयताकार खेत है जिसकी विमाएँ $20 \, m \times 16 \, m$ हैं।
मान लीजिए,एक गाय को कोने $A$ पर बाँधा गया है। रस्सी की लंबाई $r = 14 \, m$ है।
गाय जिस क्षेत्र में चर सकती है,वह $r = 14 \, m$ त्रिज्या और $\theta = 90^{\circ}$ केंद्रीय कोण वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है (क्योंकि आयत का कोना $90^{\circ}$ होता है)।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (14)^2$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196$
$= \frac{1}{4} \times 22 \times 28$
$= 22 \times 7 = 154 \, m^2$.

(N/A) फूलों की क्यारी एक केंद्रीय आयताकार भाग और दो अर्धवृत्ताकार सिरों से बनी है।
आयताकार भाग की लंबाई $38 \, cm$ है और इसकी चौड़ाई $10 \, cm$ है।
आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 38 \times 10 = 380 \, cm^2$.
दोनों अर्धवृत्ताकार सिरे मिलकर $10 \, cm$ व्यास वाला एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
वृत्त की त्रिज्या $(r) = \frac{10}{2} = 5 \, cm$.
दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi \times (5)^2 = 25 \pi \, cm^2$.
फूलों की क्यारी का कुल क्षेत्रफल $= \text{आयत का क्षेत्रफल} + \text{दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल} = (380 + 25 \pi) \, cm^2$.

(C) दिया है,$AC = 6 \, cm$ और $BC = 8 \, cm$ है।
हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। अतः,$\angle C = 90^{\circ}$ है।
समकोण $\triangle ACB$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10 \, cm$ (चूंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
$\triangle ACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, cm^2$ है।
वृत्त का व्यास $AB = 10 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{10}{2} = 5 \, cm$ होगी।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = 3.14 \times (5)^2 = 3.14 \times 25 = 78.5 \, cm^2$ है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - $\triangle ACB$ का क्षेत्रफल
$= 78.5 - 24 = 54.5 \, cm^2$।

(N/A) दी गई आकृति में,$DE$ को मिलाइए।
आकृति से,अर्धवृत्त $DFE$ का व्यास $6 - 4 = 2 \, m$ है। अतः,त्रिज्या $r = 2 / 2 = 1 \, m$ है।
अब,आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= BC \times AB = 8 \times 4 = 32 \, m^2$ है।
अर्धवृत्त $DFE$ का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi}{2}(1)^2 = 0.5 \pi \, m^2$ है।
अतः,छायांकित क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल = आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल + अर्धवृत्त $DFE$ का क्षेत्रफल।
कुल क्षेत्रफल $= (32 + 0.5 \pi) \, m^2$।

(N/A) बाह्य आयत $ABCD$ की लंबाई $L = 26 \, m$ और चौड़ाई $B = 12 \, m$ है।
बाह्य आयत का क्षेत्रफल $= L \times B = 26 \times 12 = 312 \, m^2$ है।
आंतरिक अछायांकित भाग एक आयत और दो अर्धवृत्तों से बना है।
आंतरिक आयत की चौड़ाई $12 - (4 + 4) = 4 \, m$ है। यह दोनों अर्धवृत्तों का व्यास भी है।
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या $r = 4 / 2 = 2 \, m$ है।
आंतरिक आयत की लंबाई $26 - (3 + 3 + 2 + 2) = 16 \, m$ है ($3 \, m$ के अंतराल और दो अर्धवृत्तों की त्रिज्याओं को घटाने पर)।
आंतरिक आयत का क्षेत्रफल $= 16 \times 4 = 64 \, m^2$ है।
दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $= 2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \, m^2$ है।
कुल अछायांकित क्षेत्रफल $= 64 + 4\pi \, m^2$ है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=$ बाह्य आयत का क्षेत्रफल $-$ कुल अछायांकित क्षेत्रफल
$= 312 - (64 + 4\pi) = (248 - 4\pi) \, m^2$।

(B) दिया है,वृत्त की त्रिज्या $(r) = 14 \, cm$ और केंद्रीय कोण $(\theta) = 60^{\circ}$ है।
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = \frac{1}{6} \times 22 \times 2 \times 14 = \frac{308}{3} \approx 102.67 \, cm^{2}$।
चूंकि केंद्रीय कोण $60^{\circ}$ है और दो भुजाएं त्रिज्याएं हैं,इसलिए बनने वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 14^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 196 = 49 \sqrt{3} \, cm^{2} \approx 84.87 \, cm^{2}$।
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= \frac{308}{3} - 49 \sqrt{3} \, cm^{2} \approx 102.67 - 84.87 = 17.8 \, cm^{2}$।
नोट: दिए गए विकल्प लघु वृत्तखंड के बजाय त्रिभुज का क्षेत्रफल दर्शाते प्रतीत होते हैं। लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल की मानक गणना के अनुसार उत्तर $\frac{308}{3} - 49 \sqrt{3}$ है। यदि प्रश्न जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल पूछ रहा है,तो उत्तर $49 \sqrt{3}$ है।

(C) दिया है,वर्ग $ABCD$ की भुजा $= 12 \, cm$ है।
चूँकि $P, Q, R, S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए प्रत्येक चतुर्थांश चाप की त्रिज्या $r = \frac{12}{2} = 6 \, cm$ है।
एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} \pi r^{2} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times (6)^{2} = \frac{3.14 \times 36}{4} = 3.14 \times 9 = 28.26 \, cm^{2}$ है।
ऐसे चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = $4 \times 28.26 = 113.04 \, cm^{2}$ है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल = $(\text{भुजा})^{2} = (12)^{2} = 144 \, cm^{2}$ है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $-$ चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = $144 - 113.04 = 30.96 \, cm^{2}$ है।

(D) दिया गया है कि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $10 \, cm$ है।
अतः,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$ है।
चूंकि $D, E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए प्रत्येक चाप की त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
छायांकित क्षेत्र में तीन त्रिज्यखंड (sectors) शामिल हैं,जिनमें से प्रत्येक का केंद्रीय कोण $60^{\circ}$ और त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^2$.
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 25 = \frac{78.5}{6} \approx 13.0833 \, cm^2$.
छायांकित क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल $= 3 \times (\text{एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल}) = 3 \times \frac{78.5}{6} = \frac{78.5}{2} = 39.25 \, cm^2$.

(A) दिया गया है कि,प्रत्येक चाप की त्रिज्या $(r)$ $= 14 \, cm$ है।
केंद्रीय कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
तीन त्रिज्यखंडों के लिए,जिनके केंद्रीय कोण $\angle P$,$\angle Q$ और $\angle R$ हैं,उनके क्षेत्रफलों का योग:
क्षेत्रफल $= \frac{\angle P}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} + \frac{\angle Q}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} + \frac{\angle R}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{(\angle P + \angle Q + \angle R)}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times (14)^{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 196$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 22 \times 28 = 11 \times 28 = 308 \, cm^{2}$।
अतः,छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $308 \, cm^{2}$ है।

(B) दिया गया है कि,एक वृत्ताकार पार्क एक सड़क से घिरा हुआ है।
सड़क की चौड़ाई $= 21\, m$ है।
पार्क की त्रिज्या $(r_i) = 105\, m$ है।
अतः,पूरे वृत्ताकार भाग (पार्क + सड़क) की त्रिज्या $r_e = 105 + 21 = 126\, m$ होगी।
अब,सड़क का क्षेत्रफल $=$ पूरे वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल $-$ वृत्ताकार पार्क का क्षेत्रफल।
सड़क का क्षेत्रफल $= \pi r_e^2 - \pi r_i^2 = \pi(r_e^2 - r_i^2)$।
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
सड़क का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (126^2 - 105^2) = \frac{22}{7} \times (126 + 105)(126 - 105)$।
सड़क का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 231 \times 21$।
सड़क का क्षेत्रफल $= 22 \times 231 \times 3 = 15246\, m^2$।
अतः,सड़क का अभीष्ट क्षेत्रफल $15246\, m^2$ है।

(C) दिया गया है कि प्रत्येक चाप की त्रिज्या $r = 21 \, cm$ है।
केंद्रीय कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
शीर्षों $A, B, C$ और $D$ पर बने चार त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का योग:
क्षेत्रफल $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle D}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
क्षेत्रफल $= \frac{(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
चूंकि किसी भी चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए:
क्षेत्रफल $= \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \pi r^2$
$r = 21 \, cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
अतः,छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $1386 \, cm^2$ है।

(D) वृत्त के चाप की लंबाई $20 \,cm$ दी गई है।
चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$ होता है।
दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$20 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$
भिन्न को सरल करने पर:
$20 = \frac{1}{6} \times 2 \pi r$
$20 = \frac{\pi r}{3}$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{20 \times 3}{\pi} = \frac{60}{\pi} \,cm$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $\frac{60}{\pi} \,cm$ है।

(D) दिया है: त्रिज्या $r = 20\, cm$,केंद्रीय कोण $\theta = 90^{\circ}$.
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{360^{\circ} - 90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{270}{360} \times 3.14 \times (20)^2 = \frac{3}{4} \times 3.14 \times 400 = 3 \times 3.14 \times 100 = 942\, cm^2$.
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times 1 = 200\, cm^2$.
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल + $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= 942 + 200 = 1142\, cm^2$.

(B) शीर्षों $A, B$ और $C$ पर बने तीन त्रिज्यखंडों (sectors) के क्षेत्रफलों का योग इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$= \frac{(\angle A + \angle B + \angle C)}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल:
$= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^2 = 0.5 \times 3.14 \times 25 = 39.25 \, cm^2$
अब,हम $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। यहाँ $14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500 = 50^2$ है,अतः यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $48 \, cm$ और ऊँचाई $14 \, cm$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 48 \times 14 = 336 \, cm^2$
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल में से तीनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
क्षेत्रफल $= 336 - 39.25 = 296.75 \, cm^2$